Trên thực tế, để tính diện tích của một hình, bạn không cần nhiều kiến ​​thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, nhiều hơn nữa Vấn đề cụ thể sẽ là kiến ​​thức và kỹ năng vẽ của bạn. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ lại các biểu đồ của hàm cơ bản và tối thiểu có thể dựng được một đường thẳng và một hyperbol.

Hình thang cong là một hình phẳng giới hạn bởi một trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được xác định không ít hơn trục x:

Sau đó quảng trường hình thang cong về mặt số học bằng tích phân xác định. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt.

Theo quan điểm hình học tích phân xác định- đây là KHU VỰC.

Đó là, một tích phân nhất định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Hàm tích phân chỉ định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (ai muốn có thể vẽ) và bản thân tích phân xác định là số bằng diện tích hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Đầu tiên và thời điểm quan trọng nhất giải pháp - vẽ bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo trình tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó- parabol, hyperbol, đồ thị hàm số khác. Sẽ có lợi hơn khi xây dựng đồ thị hàm số từng điểm.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy hoàn thành bản vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. TRONG trong trường hợp này“bằng mắt” chúng ta đếm số ô trong bản vẽ - à, sẽ có khoảng 9 ô, có vẻ như đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng là đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình đó, giới hạn bởi dòng, và trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh:

Nếu một hình thang cong nằm dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục đã cho), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học, thì nó có thể âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm khu vực hình phẳng, được giới hạn bởi các đường , .

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần hoàn thành bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích phân là giới hạn trên hội nhập

Nếu có thể, tốt hơn hết là không nên sử dụng phương pháp này..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn khi xây dựng từng đường nét một và các giới hạn của sự tích hợp “tự mình trở nên rõ ràng”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một hàm liên tục nào đó trên đoạn lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục, thì có thể tìm thấy diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm này và các đường , , bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, và nói một cách đại khái, điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.
Trên đoạn thẳng theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Ví dụ 4

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , , .

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên thường phát sinh “trục trặc” cần tìm diện tích hình bị tô đậm màu xanh lá!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định.

Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị đường thẳng;

2) Trên đoạn phía trên trục có đồ thị của một hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trong bài viết này, bạn sẽ học cách tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường bằng cách sử dụng các phép tính tích phân. Lần đầu tiên chúng ta gặp phải việc xây dựng một bài toán như vậy ở trường trung học, khi chúng ta vừa hoàn thành việc học về tích phân xác định và đã đến lúc bắt đầu giải thích hình học những kiến ​​thức đã thu được vào thực tế.

Vậy cần những gì để giải pháp thành công các bài toán tìm diện tích của một hình bằng tích phân:

• Khả năng thực hiện các bản vẽ có thẩm quyền;
• Khả năng giải tích phân xác định bằng công thức nổi tiếng Newton-Leibniz;
• Khả năng “nhìn thấy” một lựa chọn giải pháp có lợi hơn - tức là. hiểu làm thế nào sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện tích hợp trong trường hợp này hay trường hợp khác? Dọc theo trục x (OX) hay trục y (OY)?
• Chà, chúng ta sẽ ở đâu nếu không có các phép tính chính xác?) Điều này bao gồm việc hiểu cách giải loại tích phân khác đó và các phép tính số chính xác.

Thuật toán giải bài toán tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng:

1. Chúng tôi đang xây dựng một bản vẽ. Nên thực hiện việc này trên một tờ giấy ca rô, trên quy mô lớn. Chúng tôi ký tên của hàm này bằng bút chì phía trên mỗi biểu đồ. Việc ký các biểu đồ được thực hiện chỉ để thuận tiện cho việc tính toán tiếp theo. Sau khi nhận được biểu đồ của hình mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ thấy ngay giới hạn tích phân nào sẽ được sử dụng. Đây là cách chúng tôi giải quyết vấn đề phương pháp đồ họa. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là các giá trị của giới hạn là phân số hoặc không hợp lý. Do đó, bạn có thể thực hiện các phép tính bổ sung, chuyển sang bước hai.

2. Nếu các giới hạn tích phân không được xác định rõ ràng thì chúng ta tìm các giao điểm của các đồ thị với nhau và xem liệu giải pháp đồ họa với sự phân tích.

3. Tiếp theo, bạn cần phân tích bản vẽ. Tùy thuộc vào cách sắp xếp đồ thị hàm số, có phương pháp tiếp cận khác nhauđể tìm diện tích của một hình. Hãy xem xét ví dụ khác nhau về việc tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân.

3.1. Phiên bản cổ điển và đơn giản nhất của bài toán là khi bạn cần tìm diện tích hình thang cong. Hình thang cong là gì? Đây là hình phẳng được giới hạn bởi trục x (y = 0), thẳng x = a, x = b và bất kỳ đường cong nào liên tục trên khoảng từ Một trước b. Hơn nữa, con số này không âm và nằm không dưới trục x. Trong trường hợp này, diện tích của hình thang cong bằng số với một tích phân nhất định, được tính bằng công thức Newton-Leibniz:

ví dụ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hình đó được giới hạn bởi những đường nào? Chúng ta có một parabol y = x2 – 3x + 3, nằm phía trên trục Ồ, nó không âm, bởi vì tất cả các điểm của parabol này có giá trị tích cực. Tiếp theo, cho các đường thẳng x = 1 Và x = 3, chạy song song với trục OU, là các đường ranh giới của hình bên trái và bên phải. Tốt y = 0, nó cũng là trục x, giới hạn hình từ bên dưới. Hình kết quả được tô bóng, như có thể thấy từ hình bên trái. Trong trường hợp này, bạn có thể bắt đầu giải quyết vấn đề ngay lập tức. Trước mắt chúng ta là một ví dụ đơn giản về hình thang cong mà chúng ta giải quyết thêm bằng công thức Newton-Leibniz.

3.2. Trong đoạn 3.1 trước, chúng ta đã xem xét trường hợp hình thang cong nằm phía trên trục x. Bây giờ hãy xem xét trường hợp các điều kiện của bài toán giống nhau, ngoại trừ hàm số nằm dưới trục x. ĐẾN công thức chuẩnĐiểm trừ Newton-Leibniz được thêm vào. Chúng tôi sẽ xem xét cách giải quyết vấn đề như vậy dưới đây.

Ví dụ 2 . Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

TRONG trong ví dụ này chúng ta có một parabol y = x2 + 6x + 2, xuất phát từ trục Ồ, thẳng x = -4, x = -1, y = 0. Đây y = 0 giới hạn con số mong muốn từ phía trên. Trực tiếp x = -4 Và x = -1đây là các ranh giới trong đó tích phân xác định sẽ được tính. Nguyên lý giải bài toán tìm diện tích hình gần như trùng khớp hoàn toàn với ví dụ số 1. Điểm khác biệt duy nhất là hàm đã cho không dương và vẫn liên tục trong khoảng [-4; -1] . Ý bạn là không tích cực? Như có thể thấy trên hình, hình nằm trong x đã cho chỉ có tọa độ “âm”, đây là điều chúng ta cần nhìn và ghi nhớ khi giải bài toán. Chúng ta tìm diện tích của hình bằng công thức Newton-Leibniz, chỉ có dấu trừ ở đầu.

Bài viết chưa được hoàn thành.

Hãy chuyển sang các ứng dụng Tích phân tích. Trong bài học này chúng ta sẽ phân tích nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định. Cuối cùng mọi thứ tìm kiếm ý nghĩa V. toán cao hơn- cầu mong họ tìm thấy anh ấy. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu không xác định, không thể thiếuít nhất là ở mức trung bình. Vì vậy, người ngu trước tiên nên đọc bài học Không.

2) Áp dụng được công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng nhiệt với một số tích hợp nhất định trên trang Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, vì vậy kiến ​​thức và kỹ năng vẽ của bạn cũng sẽ là một vấn đề có liên quan. Tối thiểu, bạn cần có khả năng dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong. Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số nào đó y = f(x), trục CON BÒ ĐỰC và dòng x = Một; x = b.

Diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định

Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Tại bài học Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp chúng ta đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nói thêm một điều nữa sự thật hữu ích. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH. Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Xét tích phân xác định

tích phân

xác định một đường cong trên mặt phẳng (có thể vẽ nó nếu muốn) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

, , , .

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo trình tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó– parabol, hyperbol, đồ thị của các hàm số khác. Kỹ thuật xây dựng từng điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.

Hãy vẽ (lưu ý rằng phương trình y= 0 chỉ định trục CON BÒ ĐỰC):

Chúng ta sẽ không tô bóng một hình thang cong ở đây rõ ràng là diện tích nào Chúng ta đang nói về. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn [-2; 1] đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm phía trên trụcCON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:

Trả lời: .

Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz

,

tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 2

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ ĐỰC.

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trụcCON BÒ ĐỰC?

Ví dụ 3

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y = bán tại, x= 1 và trục tọa độ.

Giải: Hãy vẽ hình:

Nếu là hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục CON BÒ ĐỰC , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

.

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x – x 2 , y = -x.

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng hình vẽ trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích hợp Một= 0, giới hạn trên của tích phân b= 3. Việc xây dựng các đường từng điểm một thường có lợi hơn và nhanh hơn và các giới hạn của sự tích hợp “tự chúng” trở nên rõ ràng. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Chúng ta hãy nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn tích phân thường được xác định một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc:

Nếu trên đoạn [ Một; b] một số hàm liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục g(x), thì có thể tìm diện tích của hình tương ứng bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, mà là điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó từ 2 x – x 2 phải bị trừ – x.

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 trên cùng và thẳng y = -x từ phía dưới.

Trên đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:

Trả lời: .

Trên thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong ở nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là trương hợp đặc biệt công thức

.

Bởi vì trục CON BÒ ĐỰCđược cho bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm số g(x) nằm phía dưới trục CON BÒ ĐỰC, Cái đó

.

Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng

Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã được thực hiện đúng, tính toán đúng, nhưng do bất cẩn... Khu vực của hình sai đã được tìm thấy.

Ví dụ 7

Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên người ta thường quyết định cần tìm diện tích của hình được tô xanh!

Ví dụ này cũng hữu ích vì nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn [-1; 1] phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị nằm thẳng y = x+1;

2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị của một hyperbol nằm y = (2/x).

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Ví dụ 8

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học”

và vẽ từng điểm một:

Rõ ràng từ bản vẽ là giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: b = 1.

Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì?

Có lẽ, Một=(-1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là như vậy Một=(-1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?

Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp về mặt phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đồ thị

Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:

.

Kể từ đây, Một=(-1/3).

Giải pháp tiếp theo là tầm thường. Điều chính là không bị nhầm lẫn giữa sự thay thế và dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là đơn giản nhất. Trên phân khúc

, ,

theo công thức tương ứng:

Để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng

Giải pháp: Hãy mô tả hình này trong bản vẽ.

Để vẽ được nét vẽ từng điểm bạn cần biết vẻ bề ngoài hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản cũng như một số giá trị sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị hàm lượng giác . Trong một số trường hợp (ví dụ, trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây; chúng tuân theo điều kiện:

– “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:

Trên một đoạn, đồ thị của hàm số y= tội lỗi 3 x nằm phía trên trục CON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:

(1) Bạn có thể thấy cách tích phân sin và cosin theo lũy thừa lẻ trong bài Tích phân của hàm lượng giác. Chúng tôi véo một xoang.

(2) Ta sử dụng đẳng thức lượng giác chính ở dạng

(3) Hãy thay đổi biến t= cos x, thì: nằm phía trên trục, do đó:

.

.

Ghi chú: lưu ý cách lấy tích phân của tiếp tuyến trong hình lập phương; hệ quả tất yếu của tích phân chính được sử dụng ở đây; nhận dạng lượng giác

.

Bài tập số 3. Vẽ và tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng

Ứng dụng tích phân vào lời giải bài toán ứng dụng

Tính diện tích

Tích phân xác định của hàm không âm liên tục f(x) bằng diện tích của một hình thang cong được giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục O x và các đường thẳng x = a và x = b. Theo đó, công thức diện tích được viết như sau:

Hãy xem xét một số ví dụ về tính diện tích của các hình phẳng.

Bài tập số 1. Tính diện tích giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Giải pháp. Hãy dựng một hình có diện tích mà chúng ta sẽ phải tính.

y = x 2 + 1 là một parabol có các nhánh hướng lên trên và parabol dịch chuyển lên trên một đơn vị so với trục O y (Hình 1).

Hình 1. Đồ thị hàm số y = x 2 + 1

Bài tập số 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 – 1, y = 0 trong khoảng từ 0 đến 1.

Giải pháp.Đồ thị của hàm số này là một parabol gồm các nhánh hướng lên trên và parabol này bị dịch chuyển so với trục O y xuống dưới một đơn vị (Hình 2).

Hình 2. Đồ thị hàm số y = x 2 – 1

Bài tập số 3. Vẽ và tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng

y = 8 + 2x – x 2 và y = 2x – 4.

Giải pháp.Đường đầu tiên trong hai đường này là một parabol có các nhánh hướng xuống dưới, vì hệ số x 2 âm và đường thứ hai là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ.

Để dựng một parabol, ta tìm tọa độ đỉnh của nó: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – trục hoành của đỉnh; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 là tọa độ của nó, N(1;9) là đỉnh của nó.

Bây giờ chúng ta hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình:

Đánh đồng các vế phải của một phương trình có vế trái bằng nhau.

Ta được 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 hoặc x 2 – 12 = 0, từ đó .

Vì vậy, các điểm là giao điểm của một parabol và một đường thẳng (Hình 1).

Hình 3 Đồ thị hàm số y = 8 + 2x – x 2 và y = 2x – 4

Vẽ đường thẳng y = 2x – 4. Đường thẳng đi qua các điểm (0;-4), (2;0) trên các trục tọa độ.

Để dựng một parabol, bạn cũng có thể sử dụng các giao điểm của nó với trục 0x, tức là các nghiệm của phương trình 8 + 2x – x 2 = 0 hoặc x 2 – 2x – 8 = 0. Sử dụng định lý Vieta thì rất dễ dàng để tìm nghiệm của nó: x 1 = 2, x 2 = 4.

Hình 3 thể hiện một hình (đoạn parabol M 1 N M 2) được giới hạn bởi những đường này.

Phần thứ hai của bài toán là tìm diện tích của hình này. Diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tích phân xác định theo công thức .

Liên quan đến điều kiện này, chúng ta thu được tích phân:

2 Tính thể tích của vật quay

Thể tích của vật thu được khi quay đường cong y = f(x) quanh trục O x được tính theo công thức:

Khi quay quanh trục O y, công thức có dạng:

Nhiệm vụ số 4. Xác định thể tích của vật thu được khi quay một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = 0 x = 3 và đường cong y = quanh trục O x.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 4).

Hình 4. Đồ thị hàm số y =

Khối lượng cần thiết là

Nhiệm vụ số 5. Tính thể tích của vật thu được khi quay một hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x 2 và các đường thẳng y = 0 và y = 4 quanh trục O y.

Giải pháp. Chúng ta có:

Xem lại câu hỏi

Tích phân xác định. Cách tính diện tích của hình

Hãy chuyển sang xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này chúng ta sẽ phân tích nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất – Cách sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng. Cuối cùng, những ai đang tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao cấp - mong rằng họ sẽ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, người ngu trước tiên nên đọc bài học Không.

2) Áp dụng được công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng nhiệt với một số tích hợp nhất định trên trang Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp.

Trên thực tế, để tính diện tích của một hình, bạn không cần nhiều kiến ​​thức về tích phân bất định và xác định. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, nên kiến ​​thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là vấn đề cấp bách hơn rất nhiều. Về vấn đề này, sẽ rất hữu ích nếu bạn làm mới trí nhớ của mình về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản và ít nhất có thể xây dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol. Điều này có thể được thực hiện (đối với nhiều người, nó là cần thiết) bằng cách sử dụng tài liệu phương pháp luận và các bài viết về phép biến đổi hình học của đồ thị.

Trên thực tế, mọi người đều quen thuộc với nhiệm vụ tìm diện tích bằng cách sử dụng tích phân xác định từ khi còn đi học, và chúng ta sẽ không đi xa hơn nữa từ chương trình giáo dục. Bài viết này có thể hoàn toàn không tồn tại, nhưng thực tế là vấn đề xảy ra ở 99 trên 100 trường hợp, khi một học sinh phải chịu đựng một ngôi trường bị ghét bỏ và nhiệt tình theo học một khóa học về toán cao cấp.

Các tài liệu của hội thảo này được trình bày đơn giản, chi tiết và ít lý thuyết.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong.

Đường cong hình thang là một hình phẳng giới hạn bởi một trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng không đổi dấu trên khoảng đó. Hãy để hình này được xác định không ít hơn trục x:

Sau đó diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Tại bài học Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp Tôi đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu ra một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (ai muốn có thể vẽ) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm đầu tiên và quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.

Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo trình tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó– parabol, hyperbol, đồ thị của các hàm số khác. Sẽ có lợi hơn khi xây dựng đồ thị hàm số từng điểm, kỹ thuật xây dựng từng điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy hoàn thành bản vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Tôi sẽ không tô bóng hình thang cong; ở đây rõ ràng chúng ta đang nói đến khu vực nào. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục, Đó là lý do tại sao:

Trả lời:

Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz , tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp.

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều đó có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.

Ví dụ 2

Tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng, trục

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục?

Ví dụ 3

Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng và trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh:

Nếu một hình thang cong nằm dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục đã cho), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ này:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , .

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần hoàn thành bản vẽ. Nói chung, khi dựng hình trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:

Điều này có nghĩa là giới hạn tích phân dưới là , giới hạn tích phân trên là .
Nếu có thể, tốt hơn hết là không nên sử dụng phương pháp này..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn khi xây dựng từng đường nét một và các giới hạn của sự tích hợp “tự mình trở nên rõ ràng”. Kỹ thuật xây dựng từng điểm cho các đồ thị khác nhau được thảo luận chi tiết trong phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:

Tôi nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn của tích phân thường được phát hiện một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một hàm liên tục nào đó trên đoạn lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục , thì diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm này và các đường thẳng , , có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hay bên dưới trục, và nói một cách đại khái, điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó cần phải trừ đi

Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol ở trên và một đường thẳng ở dưới.
Trên đoạn thẳng theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Trên thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong ở nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ đơn giản số 3) là trường hợp đặc biệt của công thức . Vì trục được xác định bởi phương trình và đồ thị của hàm số nằm không cao hơn các trục thì

Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , .

Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã được thực hiện đúng, tính toán đúng, nhưng do bất cẩn... đã tìm thấy diện tích của hình sai, đây chính là cách mà người hầu khiêm tốn của bạn đã làm hỏng việc nhiều lần. Đây trường hợp thực tế từ cuộc sống:

Ví dụ 7

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , , , .

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:

...Ơ, bản vẽ trông tệ quá, nhưng mọi thứ dường như đều rõ ràng.

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên thường xuyên xảy ra “trục trặc” khiến bạn cần tìm diện tích của hình được tô xanh!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:

1) Trên đoạn thẳng phía trên trục có đồ thị đường thẳng;

2) Trên đoạn phía trên trục có đồ thị của một hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Trả lời:

Hãy chuyển sang một nhiệm vụ có ý nghĩa khác.

Ví dụ 8

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng,
Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học” và vẽ từng điểm một:

Từ hình vẽ, có thể thấy rõ giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: .
Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì? Có lẽ ? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là... Hoặc gốc. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?

Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp về mặt phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol.
Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:


,

Thật sự, .

Giải pháp xa hơn là tầm thường, điều chính là không bị nhầm lẫn giữa các phép thay thế và dấu hiệu; các phép tính ở đây không phải là đơn giản nhất.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Chà, để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng , ,

Giải pháp: Hãy miêu tả hình này trong bản vẽ.

Chết tiệt, tôi quên ký tên vào lịch trình, và xin lỗi, tôi không muốn làm lại bức tranh. Không phải ngày vẽ đâu, tóm lại là hôm nay là ngày đó =))

Để xây dựng từng điểm một, cần phải biết hình dạng của hình sin (và nói chung sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản), cũng như một số giá trị sin, chúng có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Trong một số trường hợp (như trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích phân ở đây; chúng tuân theo trực tiếp từ điều kiện: - “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm phía trên trục nên: