Sự kiện 2 hành động. Các định lý về phép cộng và nhân các xác suất: nhiệm vụ chính

bảng điểm

1 Đáp án = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P (4, 5, 6) = a) P 4 = 24; b) P (2, 2) = C22 4 C2 8 =, 30, 60, Không đủ, 9, Hành động trên các sự kiện Một sự kiện được gọi là ngẫu nhiên hoặc có thể nếu kết quả của thử nghiệm dẫn đến sự xuất hiện hoặc không xảy ra sự kiện này . Ví dụ như việc mất quốc huy khi tung đồng xu; rơi một mặt có số điểm bằng 3 khi ném một con xúc xắc. Một sự kiện được gọi là chắc chắn nếu trong các điều kiện thử nghiệm, nó chắc chắn sẽ xảy ra. Ví dụ, chiết một quả bóng màu trắng từ một cái lọ chỉ chứa các quả bóng màu trắng; rơi không quá 6 điểm khi ném xúc xắc. Một sự kiện được cho là không thể xảy ra nếu, trong các điều kiện của thử nghiệm, nó được biết là không xảy ra. Ví dụ, mất bảy điểm khi ném một con xúc xắc; rút nhiều hơn bốn quân Át từ một bộ bài thông thường. Các sự kiện ngẫu nhiên được biểu thị bằng các chữ cái Latinh của bảng chữ cái A, B, C, v.v. Các sự kiện là chung và không tương thích. Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu, trong các điều kiện thử nghiệm, sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác. Ví dụ, mất quốc huy và đuôi với một lần tung đồng xu; đánh và bỏ lỡ với một cú đánh. Các sự kiện được gọi là chung nếu, trong các điều kiện thử nghiệm, sự xuất hiện của một trong số chúng không loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác. Ví dụ, bắn trúng mục tiêu và bắn hụt khi bắn hai khẩu súng trường cùng một lúc; mất hai áo khoác khi ném hai đồng xu. Các sự kiện được gọi là có khả năng xảy ra như nhau nếu trong các điều kiện của một thử nghiệm đã cho, xác suất xảy ra của mỗi sự kiện này là như nhau. Ví dụ về các sự kiện có thể xảy ra như nhau: mất quốc huy và mất đuôi trong một lần tung đồng xu; mười ba

2 rơi một số điểm từ 1 đến 6 khi ném một con xúc xắc. Sự kiện C, bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện A hoặc B, được gọi là tổng (kết hợp) của các sự kiện và được ký hiệu là C = A + B (C = A B). Sự kiện C, bao gồm sự xuất hiện chung của các sự kiện A và B, được gọi là tích (giao điểm) của các sự kiện này và được ký hiệu là C = A B (C = A B). Sự kiện C, bao gồm sự kiện a không xảy ra, được gọi là sự kiện ngược lại và được ký hiệu là A. Tổng các sự kiện ngược lại là một sự kiện Ω nào đó, nghĩa là A + A = Ω. Tích của các sự kiện đối lập là một sự kiện bất khả thi (V), nghĩa là A A = V. Tập hợp các sự kiện có thể tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nếu ít nhất một trong các sự kiện này xuất hiện như một kết quả của phép thử: n A i = Ω. i = 1 Ví dụ, khi ném một con súc sắc, những học sinh bỏ học từ một đến sáu điểm tạo nên một nhóm hoàn chỉnh Sự kiện A gồm bốn bóng đèn được thử nghiệm, tất cả đều bị lỗi; sự kiện B tất cả các bóng đèn đều tốt. Các sự kiện có nghĩa là gì: 1) A + B; 2) A B; 3) Đáp án; 4) B? Quyết định. 1) Sự kiện A là tất cả các bóng đèn đều bị hỏng và sự kiện B là tất cả các bóng đèn đều tốt. Tổng các sự kiện A + B có nghĩa là tất cả các bóng đèn phải là bóng hỏng hoặc tốt. 2) Sự kiện A B bóng đèn phải vừa hỏng vừa tốt nên sự kiện A B là không thể xảy ra. 3) Tất cả các bóng đèn A đều bị hỏng, do đó A có ít nhất một bóng đèn còn tốt. 4) B tất cả các bóng đèn đều tốt, do đó B có ít nhất một bóng đèn bị hỏng. mười bốn

3 2.2. Một số được lấy ngẫu nhiên từ một bảng các số ngẫu nhiên. Biến cố A số được chọn chia hết cho 2, biến cố B số được chọn chia hết cho 3. Các biến cố có ý nghĩa gì: 1) A + B; 2) A B; 3) A B? Quyết định. 1) Tổng các sự kiện a + B là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện A hoặc B, nghĩa là, một số được chọn ngẫu nhiên phải chia hết cho 2 hoặc 3 hoặc 6. 2) tích của các sự kiện A B có nghĩa là các sự kiện A và B xảy ra cùng một lúc. Do đó, số được chọn phải chia hết cho 6. 3) A B số được chọn không chia hết cho Hai người bắn một phát vào cùng một mục tiêu. Sự kiện A người bắn đầu tiên bắn trúng mục tiêu; sự kiện B người bắn thứ hai bắn trúng mục tiêu. Ý nghĩa của các sự kiện: a) A + B; b) A B; c) A + B; d) A B? Quyết định. a) Sự kiện A + B có nghĩa là: ít nhất một trong số các vận động viên bắn trúng mục tiêu; b) sự kiện A B có nghĩa là: cả hai mũi tên đều trúng mục tiêu; c) sự kiện A + B có nghĩa là: ít nhất một lần trượt; d) Sự kiện A B có nghĩa là: cả hai đều mắc lỗi Hai người chơi cờ cùng chơi một ván. Sự kiện A sẽ được giành bởi người chơi đầu tiên, sự kiện B bởi người chơi thứ hai. Sự kiện nào nên được thêm vào tập hợp đã chỉ định để có được một nhóm sự kiện hoàn chỉnh? Quyết định. Sự kiện C vẽ Cho hai khối trùng lặp a 1 và a 2. Viết sự kiện hệ thống bị đóng. Quyết định. Hãy giới thiệu ký hiệu sau: Một sự kiện 1, bao gồm thực tế là khối 1 có thể sử dụng được; a1 a A 2 2 kiện khối a 2 khỏe mạnh; S là sự kiện hệ thống đóng. Các khối là dư thừa, vì vậy hệ thống sẽ bị đóng khi có ít nhất một trong các khối đang hoạt động, nghĩa là, S = A 1 + A Một hệ thống gồm ba khối a 1, a 2, b đã cho. Viết ra các sự kiện - 15

4 tie, bao gồm thực tế là hệ thống đã đóng cửa. Quyết định. Hãy giới thiệu ký hiệu: A 1 a a 1 2 b sự kiện sau, bao gồm thực tế là khối a 1 có thể sử dụng được; Một sự kiện 2 mà khối một 2 là lành mạnh; B một sự kiện bao gồm thực tế là khối b là lành mạnh; S là sự kiện hệ thống đóng. Hãy chia hệ thống thành hai phần. Việc đóng một hệ thống bao gồm các khối trùng lặp, như chúng ta thấy, có thể được viết dưới dạng sự kiện A 1 + A 2. Để đóng toàn bộ hệ thống, khả năng sử dụng của khối B luôn được yêu cầu, do đó S = (A 1 + A 2) B. Các bài toán về giải độc lập 2.7. Một số được lấy ngẫu nhiên từ một bảng các số ngẫu nhiên. Biến cố A số được chọn chia hết cho 5, biến cố B số này kết thúc bằng không. Các sự kiện có nghĩa là gì: 1) A + B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Ba người bắn cùng bắn vào một mục tiêu. Sự kiện: Một lần bắn trúng mục tiêu bởi người bắn đầu tiên; A 2 bị bắn bởi người bắn thứ hai; Một cú 3 trúng đích bởi người bắn thứ ba. Tạo thành một nhóm hoàn chỉnh Có một số quả bóng cùng kích thước nhưng khác màu trong hộp: trắng, đỏ, xanh. Sự kiện K i một bi đỏ lấy ngẫu nhiên; sự kiện B i là màu trắng; sự kiện C i có màu xanh lam. Hai viên bi được lấy ra liên tiếp (i = 1, 2 là số thứ tự của các viên bi lấy ra). Viết các sự kiện sau: a) Biến cố A, viên bi thứ hai được lấy ngẫu nhiên có màu xanh; b) sự kiện A; c) biến cố B cả hai bi đều đỏ? Tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh Ba phát súng được bắn vào mục tiêu. Cho các sự kiện A i (i = 1, 2, 3) bắn trúng mục tiêu trong lần bắn thứ i. Biểu thị thông qua A i và A i các sự kiện sau: 1) không một cú đánh nào trong 16

Mục tiêu 5; 2) một lần trúng mục tiêu; 3) hai cú đánh vào mục tiêu; 4) ba lần truy cập vào mục tiêu; 5) ít nhất một lần bắn trúng mục tiêu; 6) ít nhất một lần trượt Các sự kiện sau có không tương thích: a) trải nghiệm tung đồng xu; sự kiện: A sự xuất hiện của quốc huy, B sự xuất hiện của các con số; b) trải qua hai lần bắn vào mục tiêu; sự kiện: Ít nhất một lần trúng đích, ít nhất một lần bắn trượt Các sự kiện sau đây có khả thi như nhau không: a) Kinh nghiệm tung đồng xu; sự kiện: A sự xuất hiện của quốc huy, B sự xuất hiện của các con số; b) kinh nghiệm tung đồng xu bị cong; sự kiện: A sự xuất hiện của quốc huy, B sự xuất hiện của các con số; c) kinh nghiệm: bắn vào một mục tiêu; sự kiện: Một lần trúng, B trượt Thực hiện các sự kiện sau đây tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện: a) Kinh nghiệm tung đồng xu; sự kiện: Một quốc huy, B figure; b) kinh nghiệm tung hai đồng xu; sự kiện: A hai lớp cánh tay, B hai con số Ném một con xúc xắc. Hãy xác định các sự kiện: A mất 6 điểm, B mất 3 điểm, C mất một số điểm chẵn; D đánh rơi một số điểm là bội số của ba. Mối quan hệ giữa những sự kiện này là gì? Cho A, B, C là các biến cố tùy ý. Các sự kiện sau có nghĩa là gì: ABC; ABC; A + BC; ABC + ABC + + ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Qua các biến cố A, B, C tùy ý, tìm biểu thức cho các biến cố sau: a) Chỉ xảy ra biến cố A; b) A và B xảy ra, C không xảy ra; c) cả ba sự kiện đã xảy ra; d) ít nhất một trong những sự kiện này đã xảy ra; e) ít nhất hai sự kiện đã xảy ra; e) một và chỉ một sự kiện đã xảy ra; g) hai và chỉ hai sự kiện đã xảy ra; 17

CÁC YẾU TỐ CỦA LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG LỢI NHUẬN. Lý thuyết xác suất là một nhánh của toán học nghiên cứu các mẫu hình xuất hiện trong các thử nghiệm ngẫu nhiên. Kết quả của thử nghiệm là ngẫu nhiên liên quan đến thử nghiệm, nếu trong quá trình này

1 Các khái niệm cơ bản về tổ hợp 1 Định nghĩa Ứng dụng Tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n bao gồm được gọi là giai thừa n và được viết Ví dụ Compute 4! 3! N! 1 3 n 4! -3! = 1 3 4 1 3 4 18

Sự kiện đáng tin cậy. Một sự kiện được gọi là chắc chắn nếu nó nhất thiết phải xảy ra trong một tập hợp các điều kiện nhất định. Kí hiệu: Ω (true). Sự kiện bất khả thi. Sự kiện đó

CHỦ ĐỀ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG TĂNG CƯỜNG. CƠ SỞ HÌNH HỌC VÀ CỔ ĐIỂN Môn học của lý thuyết xác suất. Khái niệm về một sự kiện ngẫu nhiên. Không gian của các sự kiện sơ cấp. cổ điển và hình học

1.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là khái niệm về một sự kiện ngẫu nhiên. Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện mà trong những điều kiện nhất định, có thể

Các quy định chính của lý thuyết xác suất Một sự kiện được gọi là ngẫu nhiên đối với các điều kiện nhất định, mà dưới sự thực hiện của các điều kiện này, có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Lý thuyết xác suất có

(σ-đại số - trường sự kiện ngẫu nhiên - nhóm tiên đề thứ nhất của Kolmogorov - nhóm thứ hai của tiên đề Kolmogorov - công thức cơ bản của lý thuyết xác suất - định lý cộng xác suất - xác suất có điều kiện

Môn học lý thuyết xác suất Trong các ngành khoa học và công nghệ, các tình huống thường nảy sinh khi không thể dự đoán trước kết quả của một trong nhiều thí nghiệm được thực hiện, nhưng có thể điều tra.

NỘI DUNG CHỦ ĐỀ III. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT VỀ KHẢ NĂNG ... 2 1. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 2 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN ... 2 1.2. HÀNH ĐỘNG VỀ SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN ... 4 1.3. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN

BÀI 3 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG KHẢ NĂNG KIẾN NGHỊ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MISIS 2013 DUYỆT: D.E. Kaputkin Chủ tịch Ủy ban Giáo dục và Phương pháp về việc thực hiện Thỏa thuận với Sở Giáo dục miền núi.

1.6. Các bài kiểm tra độc lập. Công thức Bernoulli Khi giải các bài toán xác suất, người ta thường phải giải quyết các tình huống trong đó cùng một phép thử được lặp lại nhiều lần và kết quả của mỗi lần thử

Tính xác suất. Nó là gì? Lý thuyết xác suất, như tên cho thấy, đề cập đến các xác suất. Xung quanh chúng ta có rất nhiều sự vật, hiện tượng mà dù khoa học có tiên tiến đến đâu cũng không thể đưa ra dự đoán chính xác.

Thực hành 1. Xác định xác suất Tính chất của các sự kiện ngẫu nhiên 1. [Wentzel E.S., 1.1.] Các nhóm sự kiện sau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh: a) Kinh nghiệm ném đồng xu; sự kiện: b) Ném kinh nghiệm

MÔN HỌC. CÁC LÝ THUYẾT VỀ BỔ SUNG VÀ ĐA THỦ THUẬT Các phép toán dựa trên các sự kiện ngẫu nhiên. Đại số của các sự kiện. Khái niệm về sự tương thích của các sự kiện. Hoàn thành nhóm sự kiện. Sự phụ thuộc và tính độc lập của các sự kiện ngẫu nhiên. Có điều kiện

Bài giảng 2. Các định lý về phép cộng và phép nhân các xác suất Tổng và tích của một biến cố

Toán học (BkPl-100) M.P. Kharlamov Năm học 2011/2012 Bài giảng học kì 1 5. Chuyên đề: Tổ hợp, nhập môn lý thuyết xác suất 1 Chuyên đề: Tổ hợp Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu

Chủ đề bài học: "Các bài toán xác suất đơn giản nhất." Giáo viên Toán lớp 11 Pereverzeva N.S. MOU Lyceum 6 Điều đáng chú ý là khoa học, bắt đầu từ việc xem xét cờ bạc, hứa hẹn sẽ trở thành quan trọng nhất

Các yếu tố của lý thuyết xác suất. Kế hoạch. 1. Sự kiện, các loại sự kiện. 2. Xác suất của một sự kiện a) Xác suất cổ điển của một sự kiện. b) Xác suất thống kê của một sự kiện. 3. Đại số của các biến cố a) Tính tổng của các biến cố. Xác suất

Chủ đề 33 “Xác suất của các sự kiện” Tất cả chúng ta thường nói “điều này thật khó tin”, “nhiều khả năng hơn”, “điều này khó xảy ra”, v.v., khi chúng ta cố gắng dự đoán sự xuất hiện của một sự kiện. Trong đó

Cơ quan Liên bang về Giáo dục Hệ thống Điều khiển và Vô tuyến điện tử Đại học Bang Tomsk HỘI THẢO VỀ LÝ THUYẾT TÍNH KHẢ NĂNG Sách giáo khoa Tomsk 2006 Người phản biện: Cand.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline Statisticstika Bài giảng 1 Sự kiện ngẫu nhiên Hành động trên các sự kiện Õppejõud: I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Gusseva Giới thiệu Lý thuyết xác suất đối phó với

TÍNH KHẢ NĂNG CỦA MỘT SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN Tiên đề của Kolmogorov Năm 1933 AN Kolmogorov trong cuốn sách "Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất" đã đưa ra một tiên đề cơ bản của lý thuyết xác suất. "Điều này có nghĩa là sau khi

Bài tập về nhà 1 "Lý thuyết xác suất" Nhiệm vụ 1. 1.1. Có năm vé trị giá một rúp, ba vé trị giá ba rúp và hai vé trị giá năm rúp. Ba vé được rút ngẫu nhiên. Xác định xác suất

Đề thi môn Toán ứng dụng dành cho sinh viên năm 2 hệ đại học văn hóa trường Đại học Kinh tế, hướng dẫn xây dựng 08.03.01 Phương án 1 1) Một số tự nhiên không quá

Công việc thực tế 3 Đại số các biến cố. Phép cộng và nhân các xác suất Mục đích của công việc: nắm vững cách tính xác suất của các biến cố, định nghĩa xác suất bằng công thức tổng và tích. Trang thiết bị

BỘ GIÁO DỤC LIÊN BANG NGA VOLGOGRAD TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT NHÀ NƯỚC VOLGA POLYTECHNICAL INSTITUTE KHOA TOÁN Lý thuyết xác suất (phần mở đầu) Phần 1 Phương pháp

Bộ môn Toán Tin học Tổ hợp giáo dục và phương pháp luận dành cho học sinh trung cấp nghề sử dụng công nghệ từ xa Mô đun 6 Yếu tố lý thuyết xác suất và thống kê toán học

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG LƯU ĐỘNG. 3.1. Những sự kiện ngẫu nhiên. Mỗi khoa học khi nghiên cứu các hiện tượng của thế giới vật chất đều vận hành bằng những khái niệm nhất định, trong đó nhất thiết có những khái niệm cơ bản;

Công việc thực tế 2 Chuyên đề 2 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Sự lặp lại các thí nghiệm (lược đồ Bernoulli). Chúng ta sẽ nói rằng các sự kiện H 1, H 2, H n tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, nếu là kết quả của thí nghiệm:

13 Phép cộng và nhân các xác suất Biến cố A được gọi là trường hợp đặc biệt của biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra và ghi lại B: Các biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi biến cố là trường hợp đặc biệt

KHẢ NĂNG TỔNG HỢP Chủ đề 5 Nội dung bài giảng 1 Phần mở đầu 2 3 4 Đoạn tiếp theo 1 Phần mở đầu 2 3 4 Bài toán ... Bài toán ... Bài toán ... ... và giải pháp: Cô gái

Bài giảng Chủ đề: ĐẠI SỐ CÁC SỰ KIỆN LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BẤT ĐNG THỨC Đại số các biến cố Tổng các biến cố được gọi là biến cố S = +, trong đó có ít nhất một biến cố xảy ra. Tích của các biến cố và được gọi là

Bài giảng 9

NHIỆM VỤ KIỂM SOÁT Bài thi 1 Phương án 1 1. Trong số 0 sản phẩm gốm sứ mà cửa hàng nhận được, có 4 sản phẩm bị lỗi. Để kiểm tra chất lượng, người bán hàng chọn ngẫu nhiên hai sản phẩm. Tìm xác suất

(định nghĩa - sự kiện ngẫu nhiên - các phép toán về xác suất sự kiện trên một không gian rời rạc của các kết quả cơ bản định nghĩa cổ điển của ví dụ xác suất ví dụ phân phối siêu đại

PRCTICUM Các công thức cơ bản của tổ hợp Các loại sự kiện Hành động trên các sự kiện Xác suất cổ điển Xác suất hình học Các công thức cơ bản của tổ hợp Tổ hợp nghiên cứu số lượng các tổ hợp,

LUYỆN TẬP 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Lý thuyết xác suất là một môn khoa học nghiên cứu về tính quy luật trong các hiện tượng ngẫu nhiên. Hiện tượng ngẫu nhiên là một hiện tượng mà với sự tái tạo lặp đi lặp lại của cùng một

1 Xác suất Dữ liệu thử nghiệm được xử lý bằng nhiều phương pháp khác nhau. Thông thường, nhà nghiên cứu nhận được dữ liệu thực nghiệm về một hoặc một số nhóm đối tượng và xác định từ chúng

Cơ sở lý thuyết xác suất Bài giảng 2 Nội dung 1. Xác suất có điều kiện 2. Xác suất của tích các biến cố 3. Xác suất của tổng các biến cố 4. Công thức xác suất toàn phần Các biến cố phụ thuộc và độc lập Định nghĩa

Chuyên đề: Lý thuyết xác suất Môn: Toán học Tác giả: Nefedova G.A. Ngày: 9.0.0. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên có thể bằng nhau. 0,5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Xác suất của một sự kiện nào đó là bằng nhau.

Lý thuyết xác suất Kế hoạch bài giảng P Về xác suất như một môn khoa học P Các định nghĩa cơ bản về xác suất P Tần suất của một sự kiện ngẫu nhiên Định nghĩa về xác suất P 4 Áp dụng tổ hợp để đếm

Chiv qua S biến cố, bao gồm thực tế là hệ không đóng, có thể được viết: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Tương tự với lời giải bài toán 2.5, 2.6, ta thu được S = A (B 1 + B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Chủ đề 8 Biến ngẫu nhiên rời rạc. Thường thì kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên là một con số. Ví dụ: bạn có thể tung một con súc sắc và nhận được một trong các số:, 3,4,5,6. Bạn có thể lái xe đến trạm xăng

Xác suất có điều kiện. Định lý nhân xác suất Số: .. B Bài toán: Xác suất đồng thời xảy ra các biến cố độc lập A và B được xác định bởi công thức Đáp án :). P (A) PA (B)). P (A) + P (B)).

Bài giảng 10 CHỦ ĐỀ Cơ bản lý thuyết xác suất (phần 2). Tác giả: Maksim Igorevich Pisarevsky, Giảng viên Trung tâm Đào tạo Dự bị Đại học, Đại học Hạt nhân Nghiên cứu Quốc gia MEPhI. Moscow, 2017 Các định nghĩa và tính chất Các định nghĩa cơ bản của lý thuyết

Nhiệm vụ Giải các bài toán trong lý thuyết xác suất Đề tài: "Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên." Nhiệm vụ. Đồng xu được tung ba lần liên tiếp. Theo kết quả của thử nghiệm, chúng tôi muốn nói đến chuỗi X X X. trong đó mỗi

Bài kiểm tra 01 1. Các sự kiện ngẫu nhiên và sự phân loại của chúng. 2. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên. 3. Có 15 quả bóng màu đỏ, 9 quả bóng màu xanh lam và 6 quả bóng màu xanh lá cây trong một hộp. 6 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Xác suất là gì

BÀI 1 SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN Khái niệm chính của khoa học tự nhiên là khái niệm thực nghiệm, không phụ thuộc vào nó, bản chất hay người nghiên cứu thực hiện thí nghiệm này.

Giải các bài toán từ bộ sưu tập Nhiệm vụ lý thuyết xác suất Chudesenko -0. Tùy chọn 6 Nhiệm vụ. Hai con xúc xắc được ném ra. Xác định xác suất để: a) tổng số điểm không vượt quá N; b) công việc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TOMSK NHÀ NƯỚC Khoa Kinh tế HỘI THẢO VỀ LÝ THUYẾT TĂNG CƯỜNG VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC DÀNH CHO CÁC NHÀ KINH TẾ PHẦN Tomsk 06 PHÊ DUYỆT CỦA Bộ môn Phương pháp Toán học và Thông tin

1 PHẦN I. LÝ THUYẾT TỔ HỢP CHƯƠNG 1. 1. Các yếu tố của tổ hợp Định nghĩa 1. Các ví dụ: Định nghĩa. -factorial là số được ký hiệu là !, while! = 1 ** * với mọi số tự nhiên 1 ,; bên cạnh đó,

Đoạn văn: Các khái niệm chung Lý thuyết xác suất Các sự kiện ngẫu nhiên Định nghĩa: Lý thuyết xác suất là một môn khoa học toán học nghiên cứu các dạng định lượng trong các hiện tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất không

Các công cụ đánh giá để theo dõi tiến độ hiện tại, chứng nhận trung cấp dựa trên kết quả của việc nắm vững kỷ luật và hỗ trợ giáo dục và phương pháp cho công việc độc lập của sinh viên 1 Các biến thể của công việc kiểm soát

Vorobyov V.V. "Lyceum" của Kalachinsk, vùng Omsk Hội thảo giải các bài toán trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học

A.V. Câu lạc bộ Giáo trình Lý thuyết Xác suất Nizhny Novgorod 06 Bộ Giáo dục và Khoa học của Liên bang Nga Ngân sách Nhà nước Liên bang Cơ quan Giáo dục Giáo dục Chuyên nghiệp Đại học

Cuốn sách vấn đề Chudesenko, lý thuyết xác suất, biến thể Hai con xúc xắc được ném. Xác định xác suất để: a tổng số điểm không vượt quá N; b là tích của số điểm không vượt quá N; trong

Biên soạn: Phó Giáo sư Bộ môn Vật lý Y và Sinh học Romanova N.Yu. Bài giảng lý thuyết xác suất 1 Phần mở đầu. Lý thuyết xác suất là một môn khoa học toán học nghiên cứu các mô hình của các hiện tượng ngẫu nhiên.

MVDubatovskaya Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Bài giảng 3 Phương pháp xác định xác suất 0 Định nghĩa cổ điển về xác suất Chúng tôi gọi bất kỳ kết quả nào có thể có của một thí nghiệm là sơ cấp

1. Đoàn tàu gồm 12 toa. Mỗi người trong số 7 hành khách chọn ngẫu nhiên một toa bất kỳ. Tìm xác suất của các biến cố sau: A = (tất cả hành khách đều lên ba toa đầu tiên); B = (tất cả hành khách đã vào

Các yếu tố của lý thuyết xác suất Sự kiện ngẫu nhiên Các quá trình xác định Trong khoa học và công nghệ, người ta coi các quá trình, kết quả của nó có thể được dự đoán một cách chắc chắn: Nếu một sự khác biệt được áp dụng cho các đầu của dây dẫn

Cơ quan liên bang về giáo dục Cơ quan giáo dục của bang về giáo dục chuyên nghiệp đại học "ĐẠI HỌC QUỐC GIA NGHIÊN CỨU TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY" TRÊN LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất 1 Bộ bài có 3 quân bài được xáo trộn cẩn thận Tìm xác suất để cả bốn quân át chủ bài lần lượt nằm trong bộ bài mà không xen kẽ các quân bài khác Bài giải Số

Bài giảng 3 TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC SỰ KIỆN CÔNG THỨC TỔNG THỂ XÁC SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BAY MỤC ĐÍCH CỦA SỰ KIỆN: xác định các khái niệm về xác suất có điều kiện và tính độc lập của các sự kiện; xây dựng một quy tắc nhân

NHIỆM VỤ KIỂM SOÁT Nhiệm vụ. Nó là cần thiết để giải quyết vấn đề tương ứng với số lượng tùy chọn của bạn. Hộp chứa cuộn dây có bốn màu: trắng 5 đỏ xanh lục lam 0. Xác suất để ngẫu nhiên

1. Có 14 quả táo trong một rổ, 4 quả màu đỏ. Một cách ngẫu nhiên (không trả lại) họ nhận được 4 quả táo. Tìm xác suất để bắt được đúng 3 con đỏ. 2. Danh sách 20 cuộc gọi công việc được thực hiện ngẫu nhiên.

1. Các số 1, ..., n theo thứ tự ngẫu nhiên. Tìm xác suất để các số 1, 2 và 3 đứng cạnh nhau theo thứ tự đã cho. 2. Trong số mười đội, bốn đội vào chung kết. Giả sử rằng mỗi

LIÊN BANG NGÂN SÁCH NGÂN SÁCH NHÀ NƯỚC THỂ CHẾ GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO HƠN "Học viện Văn hóa và Nghệ thuật Bang Chelyabinsk" Khoa Tin học LÝ THUYẾT NĂNG LỰC

CHỦ ĐỀ 1 Tổ hợp Tính xác suất Bài toán 1B 17 đội tham dự cúp bóng đá quốc gia có bao nhiêu cách phân phối huy chương vàng, bạc, đồng? Trong chừng mực

Chúng tôi giới thiệu khái niệm ngẫu nhiên sự kiện. Vì trong tương lai, chúng ta sẽ chỉ xem xét các sự kiện ngẫu nhiên, nên bắt đầu từ thời điểm này, chúng ta sẽ gọi chúng đơn giản là các sự kiện.

Bất kỳ bộ kết quả sơ cấp hay nói cách khác là một tập hợp con tùy ý không gian của kết quả sơ cấp, triệu tập Sự kiện .

Các kết quả cơ bản là các phần tử của tập hợp con được xem xét (các sự kiện) được gọi là kết quả cơ bản, thuận lợi được cho Sự kiện , hoặc tạo ra Cái này Sự kiện .

Các sự kiện sẽ được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa, cung cấp cho chúng các chỉ số nếu cần, ví dụ: NHƯNG, TẠI 1 ,Với 3 v.v.

Họ nói rằng sự kiện NHƯNGđã xảy ra (hoặc đã xảy ra) nếu bất kỳ kết quả cơ bản nào xuất hiện do kết quả của thử nghiệm.

Nhận xét 1.Để thuận tiện cho việc trình bày tài liệu, thuật ngữ “sự kiện” như một tập con của không gian các sự kiện cơ bản Ω được xác định với thuật ngữ “một sự kiện xảy ra do kinh nghiệm”, hoặc “một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của một số sự kiện sơ cấp kết quả ”.

Vì vậy, trong ví dụ 2, nơi
, Sự kiện NHƯNG là một tập hợp con
. Nhưng chúng tôi cũng sẽ nói rằng sự kiện NHƯNG là sự xuất hiện của bất kỳ kết quả cơ bản nào

Ví dụ 1.5. Trong ví dụ 2, chỉ ra rằng chỉ với một lần ném xúc xắc

ở đâu - một kết quả cơ bản, bao gồm cả sự mất mát tôiđiểm. Hãy xem xét các sự kiện sau: NHƯNG- mất một số điểm chẵn; TẠI- mất một số điểm lẻ; Với- mất một số điểm là bội số của ba. Hiển nhiên là

,
,

Một sự kiện bao gồm tất cả các kết quả cơ bản, tức là một sự kiện nhất thiết phải xảy ra trong một kinh nghiệm nhất định được gọi là một sự kiện nhất định.

Một sự kiện nhất định được biểu thị bằng chữ cái Ω .

Biến cố , ngược lại với một sự kiện nhất định Ω, được gọi là Không thể nào. Rõ ràng là một sự kiện không thể không thể xuất hiện như một kết quả của kinh nghiệm. Ví dụ, rơi nhiều hơn sáu điểm khi ném một con xúc xắc. Sự kiện không thể xảy ra sẽ được ký hiệu bằng Ø.

Một sự kiện không thể không chứa bất kỳ sự kiện sơ cấp nào. Nó tương ứng với cái gọi là "tập hợp rỗng", không chứa một điểm nào.

Về mặt hình học, các sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bằng tập hợp các điểm trong miền Ω, tức là các vùng nằm bên trong Ω (Hình 1.1). Một sự kiện đáng tin cậy tương ứng với toàn bộ vùng Ω.

Trong lý thuyết xác suất, các phép toán khác nhau được thực hiện trên các sự kiện, tổng của các sự kiện đó tạo thành cái gọi là đại số sự kiện, liên quan chặt chẽ đến đại số logic, được sử dụng rộng rãi trong các máy tính hiện đại.

Cơm. 1.1 Hình. 1,2

Để xem xét các vấn đề của đại số các sự kiện, chúng tôi giới thiệu các định nghĩa chính.

Hai sự kiện được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng bao gồm các sự kiện cơ bản giống nhau. Sự tương đương của các sự kiện được biểu thị bằng dấu bằng:

NHƯNG=TẠI.

Sự kiện B được gọi là hệ quả của sự kiện NHƯNG:

NHƯNGTẠI,

Nếu từ sự xuất hiện NHƯNG tiếp theo là sự xuất hiện TẠI. Rõ ràng là nếu NHƯNGTẠI và TẠINHƯNG, sau đó NHƯNG=TẠI, nếu NHƯNGTẠI và TẠIVới, sau đó NHƯNGVới(Hình 1.2).

Tổng hoặc sự kết hợp hai sự kiện NHƯNG và TẠI một sự kiện như vậy được gọi là Với, bao gồm hoặc trong việc hiện thực hóa sự kiện NHƯNG, hoặc các sự kiện TẠI, hoặc các sự kiện NHƯNG và TẠI cùng với nhau. Có điều kiện viết như thế này:

Với=NHƯNG+TẠI hoặc Với=NHƯNG
TẠI.

Tổng của bất kỳ số nào sự kiện NHƯNG 1 ,NHƯNG 2 , … , NHƯNG n được gọi là một sự kiện Với, bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong những sự kiện này và được viết là

hoặc

công việc hoặc chồng chéo (giao nhau) hai sự kiện NHƯNG và TẠIđược gọi là một sự kiện Với, cũng bao gồm việc hiện thực hóa sự kiện NHƯNG và các sự kiện TẠI. Có điều kiện viết như thế này:

Với=AB hoặc Với=NHƯNGTẠI.

Tích của bất kỳ số lượng sự kiện nào cũng được định nghĩa tương tự. Biến cố Với, tương đương với sản phẩm N sự kiện NHƯNG 1 ,NHƯNG 2 , … , NHƯNG n được viết là

hoặc
.

Tổng và tích của các sự kiện có các tính chất sau.

NHƯNG+TẠI=TẠI+NHƯNG.

(NHƯNG+TẠI)+Với=NHƯNG+(TẠI+Với)=NHƯNG+TẠI+Với.

AB=VA.

(AB)Với=NHƯNG(Mặt trời)=ABC.

NHƯNG(TẠI+Với)=AB+AC.

Hầu hết chúng đều dễ dàng tự kiểm tra. Chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng một mô hình hình học cho việc này.

Chúng tôi trình bày bằng chứng về tài sản thứ 5.

Biến cố NHƯNG(TẠI+Với) bao gồm các sự kiện cơ bản thuộc về và NHƯNG và TẠI+Với, I E. Sự kiện NHƯNG và ít nhất một trong những sự kiện TẠI,Với. Nói cách khác, NHƯNG(TẠI+Với) là tập hợp các sự kiện cơ bản thuộc về sự kiện AB, hoặc một sự kiện AC, I E. Sự kiện AB+AC. Sự kiện hình học NHƯNG(TẠI+Với) là phần chung của các khu vực NHƯNG và TẠI+Với(Hình 1.3.a), và sự kiện AB+AC- hợp nhất các khu vực AB và AC(Hình 1.3.b), tức là cùng một khu vực NHƯNG(TẠI+Với).

Cơm. 1.3.a Hình. 1.3.b

Biến cố Với, có nghĩa là sự kiện NHƯNG xảy ra và sự kiện TẠI không xảy ra, được gọi là Sự khác biệt sự kiện NHƯNG và TẠI. Có điều kiện viết như thế này:

Với=NHƯNG-TẠI.

Sự kiện NHƯNG và TẠI triệu tập chung nếu chúng có thể xuất hiện trong cùng một phiên tòa. Điều này có nghĩa là có những sự kiện cơ bản như vậy là một phần của và NHƯNG và TẠIđồng thời (Hình 1.4).

Sự kiện NHƯNG và TẠI triệu tập không tương thích , nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của cái còn lại, tức là nếu AB= Ø. Nói cách khác, không có một sự kiện cơ bản nào là một phần của và NHƯNG và TẠIđồng thời (Hình 1.5). Đặc biệt, các sự kiện ngược lại và luôn luôn không tương thích.

Cơm. 1.4 Hình. 1,5

Sự kiện
triệu tập không tương thích với nhau nếu bất kỳ hai trong số chúng không tương thích.

Sự kiện
biểu mẫu nhóm đầy đủ , nếu chúng không tương thích theo từng cặp và cùng nhau tạo ra một sự kiện đáng tin cậy, tức là nếu có tôi, k

Ø;
.

Rõ ràng, mỗi sự kiện sơ cấp phải là một phần của một và chỉ một sự kiện của nhóm đầy đủ
. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là toàn bộ vùng Ω của vùng
chia cho N các bộ phận không có điểm chung với nhau (Hình 1.6).

Sự kiện đối lập và đại diện cho trường hợp đơn giản nhất của một nhóm hoàn chỉnh.

Bạn có thể thực hiện các hành động khác nhau trên các sự kiện trong khi nhận các sự kiện khác. Hãy để chúng tôi xác định các hành động này.

Định nghĩa 2.13.

Nếu đối với mọi thử nghiệm trong đó một sự kiện xảy ra NHƯNG, xảy ra và sự kiện TẠI, sau đó là sự kiện NHƯNG triệu tập trương hợp đặc biệt sự kiện B.

Họ cũng nói rằng một đòi hỏi B, và viết: ( NHƯNGđã đầu tư vào TẠI) hoặc (Hình 2.1).

Ví dụ, hãy để sự kiện NHƯNG bao gồm sự xuất hiện của hai điểm khi ném xúc xắc và sự kiện TẠI Bao gồm sự xuất hiện của một số chẵn khi ném một con xúc xắc B = (2; 4; 6). Sau đó, sự kiện NHƯNG có một trường hợp đặc biệt của sự kiện TẠI bởi vì hai là một số chẵn. Chúng ta có thể viết ra.

Cơm. 2.1 . Biến cố NHƯNG- một trường hợp đặc biệt của một sự kiện TẠI

Định nghĩa 2.14.

Nếu một NHƯNGđòi hỏi TẠI, một TẠIđòi hỏi NHƯNG, sau đó những sự kiện này tương đương với , vì chúng tấn công cùng nhau hoặc không tấn công cùng nhau.

Từ cái gì và (sau) A = B.

Ví dụ, NHƯNG- một sự kiện bao gồm thực tế là một số chẵn nhỏ hơn ba rơi ra trên một viên xúc xắc. Sự kiện này tương đương với sự kiện TẠI, bao gồm thực tế là số 2 rơi vào con súc sắc.

Định nghĩa 2.15.

Một sự kiện bao gồm sự xuất hiện chung của cả hai sự kiện và NHƯNG, và TẠI, được gọi là ngã tư những sự kiện này A∩B, hoặc công việc những sự kiện này AB(Hình 2.2).

Cơm. 2.2. Giao điểm của các sự kiện

Ví dụ, hãy để sự kiện NHƯNG bao gồm việc mất một số điểm chẵn khi ném một con xúc xắc, sau đó cuộc tấn công của nó được ưa chuộng bởi các sự kiện cơ bản bao gồm mất 2, 4 và 6 điểm. NHƯNG -(2; 4; 6). Biến cố TẠI bao gồm mất một số điểm nhiều hơn ba khi ném một con xúc xắc, sau đó sự khởi đầu của nó được ưa chuộng bởi các sự kiện cơ bản bao gồm mất 4, 5 và 6 điểm. TẠI= (4; 5; 6). Sau đó, bởi sự giao nhau hoặc sản phẩm của các sự kiện NHƯNG và TẠI sẽ có một sự kiện bao gồm việc mất số điểm chẵn lớn hơn ba (sự kiện NHƯNG, và sự kiện TẠI):

A∩B = AB ={4; 6}.

Giao điểm của các sự kiện, một trong số đó NHƯNG- sự mất mát của một người phụ nữ từ một bộ bài, và một người khác TẠI- mất câu lạc bộ, sẽ có một nữ hoàng câu lạc bộ.

Ghi chú. Nếu hai sự kiện NHƯNG và TẠI không tương thích, thì cuộc tấn công chung của họ là không thể AB = 0.

Định nghĩa 2.16.

Một sự kiện bao gồm một sự kiện xảy ra hoặc một sự kiện NHƯNG, hoặc các sự kiện TẠI(ít nhất một trong các sự kiện, ít nhất một trong các sự kiện này), được gọi là liên hiệp của chúng NHƯNG và TẠI, hoặc tổng các sự kiện NHƯNG và TẠI và được ký hiệu là A + B (Hình 2.3).

Cơm. 2.3. Hợp nhất các sự kiện

Ví dụ, sự kiện NHƯNG bao gồm việc mất một số điểm chẵn khi ném một con xúc xắc, sau đó sự xuất hiện của nó được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản bao gồm việc mất 2, 4 và 6 điểm, hoặc NHƯNG -(2; 4; 6). Sự kiện TẠI bao gồm việc mất nhiều hơn ba điểm khi ném một con xúc xắc, khi đó sự khởi đầu của nó được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản bao gồm mất 4, 5 và 6 điểm, hoặc B \ u003d (4; 5; 6). Sau đó, liên minh hoặc tổng các sự kiện NHƯNG và TẠI sẽ có một sự kiện bao gồm việc mất ít nhất một trong số chúng - một số điểm chẵn hoặc một số điểm lớn hơn ba (đã thực hiện hoặc sự kiện NHƯNG, hoặc sự kiện TẠI):

A ∩ B = A + B ={2; 4; 5; 6}.

Định nghĩa 2.17.

Một sự kiện bao gồm thực tế là sự kiện NHƯNG không xảy ra, được gọi là ngược lại với sự kiện NHƯNG và được ký hiệu bởi Ā (Hình 2.4).

Cơm. 2.4. Sự kiện đối lập

Ví dụ, hãy để sự kiện NHƯNG bao gồm việc mất một số điểm chẵn khi ném một con xúc xắc, sau đó sự xuất hiện của nó được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản bao gồm mất 2, -4 và 6 điểm, hoặc A =(2; 4; 6). Sau đó, sự kiện Ā bao gồm việc mất một số điểm lẻ, và sự xuất hiện của nó được ưa chuộng bởi các sự kiện cơ bản bao gồm việc mất điểm thứ 1, thứ 3 và thứ 5. Ā ={1;3;5}.

Định nghĩa 2.18.

Sự kiện (A và B), bao gồm thực tế là NHƯNG xảy ra, nhưng không xảy ra, được gọi là sự khác biệt của các sự kiện NHƯNG và TẠI và được ký hiệu bởi A-B. Tuy nhiên, ký hiệu này có thể được phân phát, vì nó tuân theo định nghĩa A - B -(Hình 2.5).

Cơm. 2.5. Sự khác biệt của sự kiện NHƯNG và TẠI

Ví dụ, hãy để sự kiện NHƯNG bao gồm việc mất một số điểm chẵn khi ném một con xúc xắc, sau đó A =(2; 4; 6). Biến cố TẠI bao gồm việc mất một số điểm nhiều hơn ba. TẠI= {4; 5; 6}.

Khi đó - một sự kiện bao gồm việc mất số điểm không quá ba, và sự kiện xảy ra được ưu tiên bởi các sự kiện cơ bản bao gồm việc mất điểm 1, 2 và 3. = {1; 2; 3}.

sự khác biệt của các sự kiện NHƯNG và TẠI sẽ có một sự kiện bao gồm trong đó sự kiện được thực thi NHƯNG và sự kiện không được thực hiện TẠI. Cuộc tấn công của nó được ưu tiên bởi một sự kiện cơ bản bao gồm việc mất 2 điểm:

A-B = A∩= {2}.

Định nghĩa tổng và sản phẩm sự kiện áp dụng cho nhiều sự kiện hơn:

A + B + ... + N =(NHƯNG hoặc TẠI, hoặc hoặc N) (2.1)

có một sự kiện bao gồm trong sự xuất hiện ít nhất một từ các sự kiện A, B, ... N;

AB ... N =(NHƯNG và TẠI và và N), (2.2)

có một sự kiện mà tấn công chung tất cả các sự kiện A, B, ... N.

Tổng và tích của vô số sự kiện được định nghĩa tương tự A 1, A 2, ... A p, ...

Lưu ý rằng, tuy nhiên, một số quy tắc của đại số được bảo toàn cho các hành động trên các sự kiện. Ví dụ, có một luật giao hoán (tính giao tiếp):

A + B \ u003d B + A, AB \ u003d BA,(2.3)

luật phân phối (phân phối) nắm giữ:

(A + B) C \ u003d AC + BC,(2.4)

vì bên trái và bên phải đại diện cho sự kiện mà sự kiện C và ít nhất một trong các sự kiện NHƯNG và TẠI. Luật kết hợp (tính liên kết) cũng hợp lệ:

A + (B + C) \ u003d (A + B) + C \ u003d A + B + C;

A (BC) = (AB) C = ABC.(2.5)

Ngoài ra, có những bằng nhau như vậy có vẻ vô lý trong đại số thông thường. Ví dụ, đối với bất kỳ A, B, C:

AA = A(2.6)

A + A= NHƯNG(2.7)

A + AB= NHƯNG(2.8)

AB + C \ u003d (A + C) (B + C)(2.9)

Các sự kiện đối lập có liên quan:

Quy luật phủ định kép:

= A;(2.10)

luật của trung gian bị loại trừ

NHƯNG + = Ω. (tổng của chúng là một sự kiện nào đó); (2.11)

Quy luật mâu thuẫn:

A =Ø (sản phẩm của sự kiện bất khả thi của họ). (2.12)

Các đẳng thức (2.6) - (2.12) được chứng minh cho các mệnh đề trong quá trình toán học rời rạc. Chúng tôi mời người đọc tự mình kiểm tra điều này, sử dụng các định nghĩa của tổng và tích của các sự kiện.

Nếu một B \ u003d A 1 + A 2 + ... + A p và các sự kiện NHƯNG không tương thích theo cặp, tức là mỗi cái không tương thích với những cái khác: A j A k= Ø tại tôi k nói rằng sự kiện B được chia nhỏ thành các trường hợp đặc biệt A 1, A 2, ..., A p. Ví dụ, sự kiện TẠI, bao gồm việc mất một số điểm lẻ, được chia thành các trường hợp đặc biệt E 1, E 3, E 5, bao gồm lần lượt mất 1, 3 và 5 điểm.

Dựa trên định nghĩa của các hành động trên các sự kiện, chúng ta có thể xác định một nhóm sự kiện hoàn chỉnh rõ ràng hơn.

Định nghĩa 2.19.

Nếu một A 1 + A 2 + ... + A p = Ω , I E. nếu ít nhất một trong các sự kiện A 1 + A 2 + ... + A p chắc chắn phải trở thành sự thật, và nếu đồng thời A j không tương thích theo cặp (tức là sự kiện nhất định Ω được chia thành các trường hợp đặc biệt A 1 + A 2 + ... + A p), sau đó chúng tôi nói rằng các sự kiện A 1 + A 2 + ... + A p tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Do đó, nếu A 1 + A 2 + ... + A p- một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện, sau đó ở mỗi lần kiểm tra một và chỉ một trong các sự kiện nhất thiết phải xảy ra A 1 + A 2 + ... + A p.

Ví dụ: khi ném một con xúc xắc, nhóm sự kiện hoàn chỉnh cũng bao gồm các sự kiện E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 và E 6, bao gồm lần lượt mất 1, 2, 3,4, 5 và 6 điểm.

Tuyên bố chung của bài toán: xác suất của một số sự kiện đã biết, nhưng cần tính toán xác suất của các sự kiện khác có liên quan đến các sự kiện này. Trong những bài toán này, cần có các phép toán về xác suất như phép cộng và nhân các xác suất.

Ví dụ, hai phát súng đã được bắn trong khi đi săn. Biến cố Một- đánh một con vịt từ lần bắn đầu tiên, sự kiện B- đánh từ lần bắn thứ hai. Sau đó, tổng các sự kiện Một và B- đánh từ phát thứ nhất hoặc thứ hai hoặc từ hai phát.

Các nhiệm vụ thuộc một loại khác. Một số sự kiện được đưa ra, ví dụ, một đồng xu được tung ba lần. Yêu cầu tìm xác suất để cả ba lần quốc huy bị rơi ra hoặc quốc huy bị rơi ra ít nhất một lần. Đây là một bài toán nhân.

Bổ sung xác suất của các sự kiện không tương thích

Phép cộng xác suất được sử dụng khi cần tính xác suất của một tổ hợp hoặc tổng lôgic của các sự kiện ngẫu nhiên.

Tổng các sự kiện Một và B chỉ định Một + B hoặc Một ∪ B. Tổng của hai sự kiện là một sự kiện xảy ra nếu và chỉ khi có ít nhất một trong các sự kiện đó xảy ra. Nó có nghĩa là Một + B- một sự kiện xảy ra nếu và chỉ khi một sự kiện xảy ra trong quá trình quan sát Một hoặc sự kiện B, hoặc đồng thời Một và B.

Nếu sự kiện Một và B không nhất quán lẫn nhau và xác suất của chúng được đưa ra, xác suất một trong những sự kiện này sẽ xảy ra do một lần thử được tính bằng cách cộng các xác suất.

Định lý về phép cộng các xác suất. Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện không tương thích lẫn nhau bằng tổng xác suất của các sự kiện này:

Ví dụ, hai phát súng đã được bắn trong khi đi săn. Biến cố NHƯNG- đánh một con vịt từ lần bắn đầu tiên, sự kiện TẠI- đánh từ lần bắn thứ hai, sự kiện ( NHƯNG+ TẠI) - đánh từ phát thứ nhất hoặc thứ hai hoặc từ hai phát. Vì vậy, nếu hai sự kiện NHƯNG và TẠI là các sự kiện không tương thích, sau đó NHƯNG+ TẠI- sự xuất hiện của ít nhất một trong những sự kiện này hoặc hai sự kiện.

ví dụ 1 Một hộp chứa 30 quả bóng có cùng kích thước: 10 quả đỏ, 5 quả xanh và 15 quả bóng trắng. Tính xác suất để một quả bóng màu (không phải màu trắng) được lấy ra mà không cần nhìn.

Quyết định. Giả sử rằng sự kiện NHƯNG- "quả bóng màu đỏ được lấy đi", và sự kiện TẠI- "Quả bóng màu xanh được lấy đi." Sau đó, sự kiện là "một quả bóng màu (không phải màu trắng) được lấy đi". Tìm xác suất của một sự kiện NHƯNG:

và các sự kiện TẠI:

Sự kiện NHƯNG và TẠI- không tương thích lẫn nhau, vì nếu lấy một quả bóng thì không thể lấy các quả bóng có màu sắc khác nhau. Do đó, chúng tôi sử dụng phép cộng các xác suất:

Định lý cộng các xác suất cho một số sự kiện không tương thích. Nếu các sự kiện tạo thành tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh, thì tổng xác suất của chúng bằng 1:

Tổng xác suất của các sự kiện đối lập cũng bằng 1:

Các sự kiện đối lập tạo thành một tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh và xác suất của một tập hợp các sự kiện hoàn chỉnh là 1.

Xác suất của các sự kiện ngược lại thường được ký hiệu bằng các chữ cái nhỏ. P và q. Đặc biệt,

từ đó các công thức sau đây cho xác suất của các sự kiện ngược lại tuân theo:

Ví dụ 2 Mục tiêu trong dấu gạch ngang được chia thành 3 vùng. Xác suất để một người chơi bắn súng nhất định bắn vào mục tiêu trong vùng đầu tiên là 0,15, ở vùng thứ hai - 0,23, ở vùng thứ ba - 0,17. Tìm xác suất người bắn trúng mục tiêu và xác suất người bắn trượt mục tiêu.

Giải: Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu:

Tìm xác suất để người bắn trượt mục tiêu:

Các nhiệm vụ khó hơn trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất - trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau cho phép cộng và phép nhân xác suất".

Bổ sung xác suất của các sự kiện chung lẫn nhau

Hai sự kiện ngẫu nhiên được cho là liên kết với nhau nếu sự xuất hiện của một sự kiện không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện thứ hai trong cùng một quan sát. Ví dụ, khi ném một con xúc xắc, sự kiện NHƯNGđược coi là sự xuất hiện của số 4, và sự kiện TẠI- giảm một số chẵn. Vì số 4 là số chẵn nên hai sự kiện tương thích với nhau. Trong thực tế, có các nhiệm vụ tính toán xác suất xảy ra một trong các sự kiện chung lẫn nhau.

Định lý cộng các xác suất cho các biến cố chung. Xác suất mà một trong các sự kiện chung sẽ xảy ra bằng tổng xác suất của các sự kiện này, từ đó trừ đi xác suất xuất hiện chung của cả hai sự kiện, nghĩa là tích của các xác suất. Công thức tính xác suất của các sự kiện chung như sau:

Bởi vì các sự kiện NHƯNG và TẠI tương thích, sự kiện NHƯNG+ TẠI xảy ra nếu một trong ba sự kiện có thể xảy ra: hoặc AB. Theo định lý cộng các biến cố xung khắc, ta tính như sau:

Biến cố NHƯNG xảy ra nếu một trong hai sự kiện không tương thích xảy ra: hoặc AB. Tuy nhiên, xác suất xảy ra một sự kiện từ một số sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của tất cả các sự kiện này:

Tương tự:

Thay các biểu thức (6) và (7) vào biểu thức (5), chúng ta thu được công thức xác suất cho các biến cố chung:

Khi sử dụng công thức (8), cần lưu ý rằng các sự kiện NHƯNG và TẠI có thể:

Độc lập với nhau;
Phụ thuộc lẫn nhau.

Công thức xác suất cho các sự kiện độc lập lẫn nhau:

Công thức xác suất cho các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau:

Nếu sự kiện NHƯNG và TẠI không nhất quán, thì sự trùng hợp của chúng là một trường hợp không thể xảy ra và do đó, P(AB) = 0. Công thức xác suất thứ tư cho các sự kiện không tương thích như sau:

Ví dụ 3 Trong đua ô tô, khi lái xe thứ nhất tính xác suất thắng, khi lái xe ở xe thứ hai. Để tìm:

xác suất để cả hai xe cùng thắng;
xác suất để có ít nhất một ô tô trúng thưởng;

1) Xác suất để ô tô thứ nhất trúng giải không phụ thuộc vào kết quả của ô tô thứ hai, do đó các biến NHƯNG(xe đầu tiên thắng) và TẠI(xe thứ hai thắng) - các sự kiện độc lập. Tìm xác suất để cả hai xe cùng thắng:

2) Tìm xác suất để một trong hai xe trúng thưởng:

Các nhiệm vụ khó hơn trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân xác suất - trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau cho phép cộng và phép nhân xác suất".

Tự giải quyết vấn đề cộng các xác suất, rồi xem xét giải pháp

Ví dụ 4 Hai đồng xu được ném. Biến cố Một- mất quốc huy trên đồng tiền đầu tiên. Biến cố B- mất quốc huy trên đồng tiền thứ hai. Tìm xác suất của một sự kiện C = Một + B .

Phép nhân xác suất

Phép nhân xác suất được sử dụng khi tính xác suất của một tích hợp lý của các sự kiện.

Trong trường hợp này, các sự kiện ngẫu nhiên phải độc lập. Hai sự kiện được cho là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện của một sự kiện không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của sự kiện thứ hai.

Định lý nhân xác suất cho các biến cố độc lập. Xác suất xảy ra đồng thời hai sự kiện độc lập NHƯNG và TẠI bằng tích xác suất của các sự kiện này và được tính theo công thức:

Ví dụ 5Đồng xu được tung ba lần liên tiếp. Tìm xác suất để quốc huy bị rơi ra ngoài cả ba lần.

Quyết định. Xác suất để quốc huy rơi vào lần tung đồng xu đầu tiên, lần thứ hai và lần thứ ba. Tìm xác suất để quốc huy rơi ra cả ba lần:

Tự giải các bài toán nhân các xác suất rồi xem lời giải

Ví dụ 6 Có một hộp với chín quả bóng tennis mới. Ba quả bóng được lấy cho trò chơi, sau khi trò chơi được đặt lại. Khi chọn bóng, họ không phân biệt bóng đã chơi và chưa chơi. Xác suất để sau ba trò chơi không còn bi nào trong hộp?

Ví dụ 7 32 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Nga được viết trên các thẻ bảng chữ cái đã cắt. Năm lá bài được rút ngẫu nhiên, lần lượt và được đặt trên bàn theo thứ tự xuất hiện của chúng. Tìm xác suất để các chữ cái tạo thành từ "end".

Ví dụ 8 Từ một bộ bài đầy đủ (52 tờ), bốn thẻ được lấy ra cùng một lúc. Tìm xác suất để cả bốn thẻ này đều giống nhau.

Ví dụ 9 Vấn đề tương tự như trong ví dụ 8, nhưng mỗi thẻ được trả lại bộ bài sau khi được rút ra.

Các nhiệm vụ phức tạp hơn, trong đó bạn cần áp dụng cả phép cộng và phép nhân các xác suất, cũng như tính tích của một số sự kiện, trên trang "Các nhiệm vụ khác nhau để cộng và nhân các xác suất".

Xác suất để ít nhất một trong các sự kiện độc lập lẫn nhau sẽ xảy ra có thể được tính bằng cách lấy 1 công thức trừ đi tích các xác suất của các sự kiện đối lập nhau.