Bảng nguyên hàm và tích phân. Tích phân cho hình nộm: cách giải, quy tắc tính toán, giải thích

Trong một tài liệu trước đó, vấn đề tìm đạo hàm đã được xem xét và các ứng dụng khác nhau của nó đã được chỉ ra: tính hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị, giải các bài toán tối ưu hóa, nghiên cứu các hàm đơn điệu và cực trị. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $

Bức tranh 1.

Bài toán tìm tốc độ tức thời $ v (t) $ bằng cách sử dụng đạo hàm đối với quãng đường đã biết trước đó, được biểu thị bằng hàm $ s (t) $, cũng được xem xét.

Hình 2.

Bài toán nghịch đảo cũng rất phổ biến, khi bạn cần tìm đoạn đường $ s (t) $ đi được của một điểm trong thời gian $ t $, biết vận tốc của điểm $ v (t) $. Nếu bạn nhớ, tốc độ tức thời $ v (t) $ được tìm thấy dưới dạng đạo hàm của hàm đường dẫn $ s (t) $: $ v (t) = s ’(t) $. Điều này có nghĩa là để giải bài toán nghịch đảo, tức là để tính đường đi, bạn cần tìm một hàm mà đạo hàm của nó sẽ bằng hàm tốc độ. Nhưng chúng ta biết rằng đạo hàm của đường đi là tốc độ, đó là: $ s '(t) = v (t) $. Tốc độ bằng tích của gia tốc và thời gian: $ v = lúc $. Dễ dàng xác định rằng hàm đường dẫn mong muốn sẽ có dạng: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) $. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn toàn. Lời giải hoàn chỉnh sẽ giống như sau: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, trong đó $ C $ là một hằng số nào đó. Tại sao điều này là như vậy sẽ được thảo luận sau. Trong thời gian chờ đợi, hãy kiểm tra tính đúng đắn của lời giải tìm được: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v (t) $.

Điều đáng chú ý là việc tìm đường đi theo tốc độ là ý nghĩa vật lý của hàm phản.

Hàm kết quả $ s (t) $ được gọi là hàm phản của $ v (t) $. Một cái tên khá thú vị và khác thường phải không. Có một ý nghĩa tuyệt vời trong đó, giải thích bản chất của khái niệm này và dẫn đến sự hiểu biết của nó. Bạn có thể thấy rằng nó có chứa hai từ "đầu tiên" và "hình ảnh". Họ nói cho chính họ. Đó là, đây là hàm là ban đầu cho đạo hàm mà chúng ta có. Và bằng đạo hàm này, chúng tôi đang tìm kiếm hàm mà ở đầu, là “đầu tiên”, “hình ảnh đầu tiên”, tức là, hàm phản đạo hàm. Nó đôi khi còn được gọi là một hàm nguyên thủy hoặc một phản đạo hàm.

Như chúng ta đã biết, quá trình tìm đạo hàm được gọi là phân biệt. Và quá trình tìm ra phản nguyên tố được gọi là tích phân. Phép toán tích hợp là nghịch đảo của phép toán phân biệt. Các ngược lại cũng đúng.

Sự định nghĩa.Đạo hàm đối với hàm $ f (x) $ trên một khoảng nào đó là hàm $ F (x) $ có đạo hàm bằng hàm này $ f (x) $ với mọi $ x $ từ khoảng đã chỉ định: $ F '( x) = f (x) $.

Ai đó có thể có câu hỏi: $ F (x) $ và $ f (x) $ đến từ đâu trong định nghĩa, nếu ban đầu nó là khoảng $ s (t) $ và $ v (t) $. Thực tế là $ s (t) $ và $ v (t) $ là các trường hợp đặc biệt của việc chỉ định các hàm có ý nghĩa cụ thể trong trường hợp này, tức là chúng lần lượt là một hàm của thời gian và một hàm của tốc độ. Điều này cũng đúng với biến $ t $ - nó đại diện cho thời gian. Và $ f $ và $ x $ lần lượt là biến thể truyền thống của chỉ định chung của một hàm và một biến. Cần đặc biệt chú ý đến ký hiệu của hàm chống chất diệt khuẩn $ F (x) $. Đầu tiên, $ F $ là vốn. Nguyên thủy được biểu thị bằng chữ in hoa. Thứ hai, các chữ cái giống nhau: $ F $ và $ f $. Nghĩa là, đối với hàm $ g (x) $, hàm phản đạo hàm sẽ được ký hiệu là $ G (x) $, cho $ z (x) $ - bằng $ Z (x) $. Bất kể ký hiệu nào, các quy tắc tìm hàm phản nguyên tố luôn giống nhau.

Hãy xem một vài ví dụ.

ví dụ 1 Chứng minh rằng hàm $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ là đạo hàm của hàm $ f (x) = \ cos5x $.

Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng định nghĩa, hay đúng hơn là $ F '(x) = f (x) $, và tìm đạo hàm của hàm $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. Vậy $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ là hàm phản của $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.

Ví dụ 2 Tìm những hàm nào mà các đạo hàm sau đây tương ứng với: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (l) = \ sin l $.

Để tìm các hàm mong muốn, chúng tôi tính các đạo hàm của chúng:
a) $ F '(z) = (\ tg z)' = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) '= \ cos l $.

Ví dụ 3Điều gì sẽ là antideriuctor cho $ f (x) = 0 $?
Hãy sử dụng định nghĩa. Hãy nghĩ xem hàm nào có thể có đạo hàm bằng $ 0 $. Ghi nhớ bảng đạo hàm, chúng ta nhận được rằng bất kỳ hằng số nào cũng sẽ có đạo hàm như vậy. Chúng ta nhận được rằng số phản đạo hàm mà chúng ta đang tìm: $ F (x) = C $.

Giải pháp thu được có thể được giải thích về mặt hình học và vật lý. Về mặt hình học, nó có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị $ y = F (x) $ nằm ngang tại mỗi điểm của đồ thị này và do đó, trùng với trục $ Ox $. Giải thích về mặt vật lý bằng việc một điểm có tốc độ bằng 0 vẫn ở tại chỗ, tức là đường đi của nó là không thay đổi. Dựa vào đó, chúng ta có thể hình thành định lý sau.

Định lý. (Dấu hiệu hằng số của hàm). Nếu $ F '(x) = 0 $ trên một khoảng nào đó thì hàm $ F (x) $ không đổi trên khoảng này.

Ví dụ 4 Xác định đạo hàm của hàm nào là hàm a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $, trong đó $ a $ là một số.
Sử dụng định nghĩa của một hàm phản đạo hàm, chúng tôi kết luận rằng để giải quyết công việc này, chúng ta cần tính các đạo hàm của các hàm phản đạo hàm đã cho. Khi tính toán, hãy nhớ rằng đạo hàm của một hằng số, tức là, bất kỳ số nào, đều bằng không.
a) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) ’= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $.

Chúng ta thấy gì? Một số chức năng khác nhau là các dẫn xuất của cùng một chức năng. Điều này có nghĩa là bất kỳ hàm nào cũng có vô số đạo hàm và chúng có dạng $ F (x) + C $, trong đó $ C $ là một hằng số tùy ý. Tức là hoạt động của tích hợp mang tính đa trị, ngược lại với hoạt động của khác biệt hóa. Dựa trên cơ sở này, chúng tôi xây dựng một định lý mô tả tính chất chính của các đạo hàm.

Định lý. (Thuộc tính chính của nguyên thủy). Gọi các hàm $ F_1 $ và $ F_2 $ là các đạo hàm của hàm $ f (x) $ trên một khoảng nào đó. Khi đó đẳng thức sau đúng với tất cả các giá trị trong khoảng này: $ F_2 = F_1 + C $, trong đó $ C $ là một hằng số nào đó.

Thực tế về sự tồn tại của một tập hợp vô hạn các đạo hàm có thể được giải thích bằng hình học. Với sự trợ giúp của phép tịnh tiến song song theo trục $ Oy $ người ta có thể thu được đồ thị của hai đạo hàm bất kỳ đối với $ f (x) $ từ nhau. Đây là ý nghĩa hình học của phản đạo hàm.

Điều rất quan trọng cần chú ý là bằng cách chọn hằng số $ C $, có thể làm cho đồ thị của hàm phản đi qua một điểm nào đó.

Hình 3

Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của hàm số $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $ có đồ thị đi qua điểm $ (3; 1) $.
Trước tiên, chúng ta hãy tìm tất cả các đạo hàm đối với $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
Tiếp theo, chúng ta tìm một số C mà đồ thị $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ sẽ đi qua điểm $ (3; 1) $. Để làm điều này, chúng tôi thay thế tọa độ của điểm vào phương trình của đồ thị và giải nó theo $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $.
Chúng ta nhận được đồ thị $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, tương ứng với hàm phản đạo hàm $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.

Bảng chất diệt khuẩn

Bảng công thức tìm dẫn xuất có thể được biên soạn bằng các công thức tìm dẫn xuất.

Bảng chất diệt khuẩn

Chức năng	chất chống nhiễm trùng
$0$	$ C $
$1$	$ x + C $
$ a \ trong R $	$ ax + C $
$ x ^ n, n \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (x) $	$ \ ln | x | + C $
$ \ sinx $	$ - \ cosx + C $
$ \ cos x $	$ \ sinx + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $	$ - \ ctgx + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $	$ \ tgx + C $
$ e ^ x $	$ e ^ x + C $
$ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arcsin x + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arccos x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctgx + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctg x + C $

Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của bảng như sau: với mỗi tập hợp các đạo hàm ở cột bên phải, tìm đạo hàm, kết quả là các hàm tương ứng ở cột bên trái.

Một số quy tắc để tìm chất chống nhiễm trùng

Như bạn đã biết, nhiều hàm có dạng phức tạp hơn so với những hàm được chỉ ra trong bảng các hàm đối và có thể là bất kỳ sự kết hợp tùy ý nào của các tổng và tích của các hàm từ bảng này. Và ở đây câu hỏi đặt ra, làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm tương tự. Ví dụ, từ bảng, chúng ta biết cách tính các đạo hàm $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ và $ 10 $. Nhưng làm thế nào, chẳng hạn, làm thế nào để tính toán số phản đạo hàm $ x ^ 3-10 \ sin x $? Sắp tới, điều đáng chú ý là nó sẽ bằng $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. Nếu $ F (x) $ là hàm phản đạo hàm đối với $ f (x) $, $ G (x) $ là đối với $ g (x) $ thì đối với $ f (x) + g (x) $ là hàm phản đạo hàm sẽ bằng $ F (x) + G (x) $.
2. Nếu $ F (x) $ là một hàm số đối với $ f (x) $ và $ a $ là một hằng số, thì đối với $ af (x) $, hàm số đối với $ aF (x) $.
3. Nếu đối với $ f (x) $, hàm phản đạo hàm là $ F (x) $, $ a $ và $ b $ là hằng số, thì $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ là hàm phản đạo hàm đối với $ f (ax + b) $.
Sử dụng các quy tắc thu được, chúng ta có thể mở rộng bảng các chất chống dẫn xuất.

Chức năng	chất chống nhiễm trùng
$ (ax + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ ln | ax + b | + C $
$ e ^ (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) e ^ (ax + b) + C $
$ \ sin (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle - \ frac (1) (a) \ cos (ax + b) + C $
$ \ cos (ax + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ sin (ax + b) + C $

Ví dụ 5 Tìm các chất chống nhiễm trùng cho:

a) $ \ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;

b) $ \ displaystyle \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;

c) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;

d) $ \ displaystyle \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $.

a) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) ( 4) x ^ 8 + C $;

b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;

c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;

d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.

Tích phân là một trong những phép toán cơ bản trong phân tích toán học. Các bảng của các đạo hàm đã biết có thể hữu ích, nhưng hiện nay, sau sự ra đời của các hệ thống đại số máy tính, chúng đang mất dần ý nghĩa. Dưới đây là danh sách các chất diệt khuẩn phổ biến nhất.

Bảng tích phân cơ bản

Một phiên bản nhỏ gọn khác

Bảng tích phân từ hàm lượng giác

Từ các chức năng hợp lý

Từ các hàm bất hợp lý

Tích phân của các hàm siêu việt

"C" là hằng số tích phân tùy ý, được xác định nếu giá trị của tích phân tại một thời điểm nào đó được biết. Hàm nào cũng có vô số đạo hàm.

Hầu hết học sinh và sinh viên đều gặp vấn đề với việc tính tích phân. Trang này chứa bảng tích phân từ hàm lượng giác, hợp lý, vô tỷ và siêu việt sẽ giúp ích trong việc giải quyết. Bảng dẫn xuất cũng sẽ giúp bạn.

Video - cách tìm tích phân

Nếu bạn không hoàn toàn rõ ràng về chủ đề này, hãy xem video, video giải thích mọi thứ chi tiết.

Hàm ngược và tích phân bất định

Sự thật 1. Tích phân đối lập với phân biệt, cụ thể là sự khôi phục một hàm từ đạo hàm đã biết của hàm này. Chức năng được khôi phục theo cách này F(x) được gọi là nguyên thủy cho chức năng f(x).

Định nghĩa 1. Chức năng F(x f(x) vào khoảng thời gian nào đó X, nếu cho tất cả các giá trị x từ khoảng thời gian này sự bình đẳng F "(x)=f(x), tức là, chức năng này f(x) là đạo hàm của hàm ngược F(x). .

Ví dụ, hàm F(x) = tội lỗi x là chất khử trùng cho chức năng f(x) = cos x trên toàn bộ dòng số, vì với bất kỳ giá trị nào của x (tội x) "= (cos x) .

Định nghĩa 2. Tích phân không xác định của một hàm f(x) là tập hợp tất cả các chất chống nhiễm trùng của nó. Điều này sử dụng ký hiệu

∫

f(x)dx

,

dấu hiệu ở đâu ∫ được gọi là dấu tích phân, hàm f(x) là một tích hợp, và f(x)dx là tích hợp.

Do đó, nếu F(x) là một số chất khử trùng cho f(x) , sau đó

∫

f(x)dx = F(x) +C

ở đâu C - hằng số (hằng số) tùy ý.

Để hiểu ý nghĩa của tập hợp các đạo hàm của một hàm dưới dạng tích phân bất định, phép loại suy sau đây là phù hợp. Để có một cánh cửa (cửa gỗ truyền thống). Chức năng của nó là "trở thành một cánh cửa". Cửa được làm bằng gì? Từ một cái cây. Điều này có nghĩa là tập hợp các đạo hàm của tích phân "là một cửa", tức là tích phân không xác định của nó, là hàm "là một cây + C", trong đó C là một hằng số, trong ngữ cảnh này có thể biểu thị, cho ví dụ, một loài cây. Giống như một cánh cửa được làm bằng gỗ với một số công cụ, đạo hàm của một hàm được "tạo ra" từ hàm phản với công thức mà chúng ta đã học bằng cách nghiên cứu đạo hàm .

Sau đó, bảng chức năng của các vật thể thông thường và nguyên thủy tương ứng của chúng ("làm cửa" - "làm cây", "làm thìa" - "làm kim loại", v.v.) tương tự như bảng tích phân cơ bản không xác định, sẽ được đưa ra dưới đây. Bảng tích phân bất định liệt kê các hàm phổ biến, chỉ ra các đạo hàm mà từ đó các hàm này được "tạo thành". Là một phần của nhiệm vụ tìm tích phân không xác định, các tích phân như vậy được đưa ra có thể được tích phân trực tiếp mà không cần nỗ lực đặc biệt, tức là, theo bảng tích phân không xác định. Trong các bài toán phức tạp hơn, tích phân trước tiên phải được biến đổi để có thể sử dụng tích phân dạng bảng.

Sự thật 2. Việc khôi phục một hàm dưới dạng hàm antideriuctor, chúng ta phải tính đến một hằng số tùy ý (hằng số) C, và để không viết danh sách các đạo hàm có các hằng số khác nhau từ 1 đến vô cùng, bạn cần phải viết ra một tập hợp các đạo hàm với một hằng số tùy ý. C, như thế này: 5 x³ + C. Vì vậy, một hằng số tùy ý (hằng số) được bao gồm trong biểu thức của hàm phản đạo hàm, vì đạo hàm có thể là một hàm, ví dụ, 5 x³ + 4 hoặc 5 x³ + 3 và khi phân biệt 4 hoặc 3 hoặc bất kỳ hằng số nào khác sẽ biến mất.

Chúng tôi đặt vấn đề tích hợp: cho một chức năng nhất định f(x) tìm một chức năng như vậy F(x), đạo hàm của ai bằng f(x).

ví dụ 1 Tìm tập hợp các đạo hàm của một hàm số

Quyết định. Đối với chức năng này, hàm chống dẫn xuất là hàm

Hàm số F(x) được gọi là antideriuctor cho hàm f(x) nếu đạo hàm F(x) bằng f(x), hoặc, cùng một thứ, sự khác biệt F(x) bằng f(x) dx, I E.

(2)

Do đó, hàm là chất chống nhiễm trùng cho hàm. Tuy nhiên, nó không phải là chất khử trùng duy nhất cho. Chúng cũng là các chức năng

ở đâu Với là một hằng số tùy ý. Điều này có thể được xác minh bằng cách phân biệt.

Do đó, nếu có một hàm phản đạo hàm, thì đối với nó sẽ có một tập hợp vô hạn các đạo hàm khác nhau bởi một tổng và không đổi. Tất cả các dẫn xuất của một hàm được viết ở dạng trên. Điều này tuân theo định lý sau.

Định lý (phát biểu chính thức của dữ kiện 2). Nếu một F(x) là chất chống dẫn xuất cho hàm f(x) vào khoảng thời gian nào đó X, sau đó bất kỳ chất chống diệt khuẩn nào khác cho f(x) trong cùng một khoảng thời gian có thể được biểu diễn dưới dạng F(x) + C, ở đâu Với là một hằng số tùy ý.

Trong ví dụ sau, chúng ta đã chuyển sang bảng tích phân, sẽ được đưa ra trong đoạn 3, sau các tính chất của tích phân bất định. Chúng tôi làm điều này trước khi tự làm quen với toàn bộ bảng, để bản chất của phần trên được rõ ràng. Và sau bảng và thuộc tính, chúng ta sẽ sử dụng chúng toàn bộ khi tích hợp.

Ví dụ 2 Tìm bộ chất chống nhiễm trùng:

Quyết định. Chúng tôi tìm thấy các tập hợp các hàm chống đạo hàm mà từ đó các hàm này được "tạo ra". Khi đề cập đến công thức từ bảng tích phân, bây giờ, chỉ cần chấp nhận rằng có những công thức như vậy, và chúng ta sẽ nghiên cứu đầy đủ hơn về bảng tích phân bất định.

1) Áp dụng công thức (7) từ bảng tích phân cho N= 3, chúng tôi nhận được

2) Sử dụng công thức (10) từ bảng tích phân cho N= 1/3, chúng tôi có

3) Kể từ

thì theo công thức (7) lúc N= -1/4 tìm

Dưới dấu tích phân, chúng không tự viết hàm f và sản phẩm của nó bởi sự khác biệt dx. Điều này được thực hiện chủ yếu để chỉ ra biến nào mà chất chống nhiễm trùng đang được tìm kiếm. Ví dụ,

, ;

ở đây trong cả hai trường hợp, tích phân bằng nhau, nhưng tích phân bất định của nó trong các trường hợp được xem xét hóa ra khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, hàm này được coi là một hàm của một biến x và thứ hai - như một chức năng của z .

Quá trình tìm tích phân không xác định của một hàm được gọi là tích phân của hàm đó.

Ý nghĩa hình học của tích phân bất định

Hãy để nó được yêu cầu để tìm một đường cong y = F (x) và chúng ta đã biết rằng tang của hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó là một hàm cho trước f (x) abscissa của điểm này.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, tiếp tuyến của hệ số góc tại một điểm cho trước trên đường cong y = F (x) bằng giá trị của đạo hàm F "(x). Vì vậy, chúng ta cần tìm một hàm như vậy F (x), mà F "(x) = f (x). Chức năng cần thiết trong nhiệm vụ F (x) có nguồn gốc từ f (x). Điều kiện của bài toán được thỏa mãn không phải bởi một đường cong, mà bởi một họ đường cong. y = F (x)- một trong những đường cong này và bất kỳ đường cong nào khác có thể nhận được từ nó bằng cách tịnh tiến song song dọc theo trục Oy.

Hãy gọi đồ thị của hàm số phản đạo hàm là f (x)đường cong tích phân. Nếu một F "(x) = f (x), thì đồ thị của hàm y = F (x) là một đường cong tích phân.

Sự thật 3. Tích phân không xác định được biểu diễn hình học bởi họ tất cả các đường cong tích phân như trong hình dưới đây. Khoảng cách của mỗi đường cong từ điểm gốc được xác định bởi một hằng số tích hợp (hằng số) tùy ý C.

Tính chất của tích phân bất định

Sự thật 4. Định lý 1. Đạo hàm của một tích phân không xác định bằng tích phân, và vi phân của nó bằng tích phân.

Sự thật 5. Định lý 2. Tích phân không xác định của vi phân của một hàm f(x) bằng với hàm f(x) lên đến một thời hạn không đổi , I E.

(3)

Định lý 1 và 2 chỉ ra rằng phân biệt và tích phân là các phép toán nghịch biến lẫn nhau.

Sự thật 6. Định lý 3. Nhân tử không đổi trong tích phân có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân bất định , I E.

Trên trang này, bạn sẽ tìm thấy:

1. Trên thực tế, bảng các chất chống nhiễm trùng - nó có thể được tải xuống ở định dạng PDF và in;

2. Video về cách sử dụng bảng này;

3. Một loạt các ví dụ về cách tính đạo hàm từ các sách giáo khoa và bài kiểm tra khác nhau.

Trong video, chúng tôi sẽ phân tích rất nhiều nhiệm vụ bắt buộc phải tính toán các hàm ngược, thường khá phức tạp, nhưng quan trọng nhất, chúng không phải là luật lũy thừa. Tất cả các hàm được tóm tắt trong bảng được đề xuất ở trên phải được biết đến thuộc lòng, giống như các hàm dẫn xuất. Nếu không có chúng, việc nghiên cứu sâu hơn về tích phân và ứng dụng của chúng để giải quyết các vấn đề thực tế là không thể.

Hôm nay chúng ta tiếp tục giải quyết vấn đề nguyên thủy và chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn một chút. Nếu lần trước chúng ta chỉ xem xét các đạo hàm của hàm lũy thừa và các cấu trúc phức tạp hơn một chút thì hôm nay chúng ta sẽ phân tích lượng giác và nhiều hơn thế nữa.

Như tôi đã nói trong bài học trước, các dẫn xuất, không giống như các dẫn xuất, không bao giờ được giải "trống" bằng cách sử dụng bất kỳ quy tắc tiêu chuẩn nào. Hơn nữa, tin xấu là, không giống như phái sinh, chất chống dẫn xuất có thể hoàn toàn không được xem xét. Nếu chúng ta viết một hàm hoàn toàn ngẫu nhiên và cố gắng tìm đạo hàm của nó, thì chúng ta sẽ thành công với xác suất rất cao, nhưng đạo hàm hầu như sẽ không bao giờ được tính trong trường hợp này. Nhưng cũng có một tin tốt là có một lớp hàm khá lớn được gọi là hàm cơ bản, các đạo hàm của chúng rất dễ tính toán. Và tất cả các cấu trúc phức tạp hơn khác được đưa ra ở nhiều điều khiển, độc lập và các kỳ thi, trên thực tế, được tạo thành từ các hàm cơ bản này bằng cách cộng, trừ và các hành động đơn giản khác. Các đạo hàm của các hàm như vậy từ lâu đã được tính toán và tóm tắt trong các bảng đặc biệt. Đó là với các hàm và bảng như vậy mà chúng ta sẽ làm việc hôm nay.

Nhưng chúng ta sẽ bắt đầu, như mọi khi, với một sự lặp lại: hãy nhớ phản đạo hàm là gì, tại sao có vô số chúng và cách xác định dạng tổng quát của chúng. Để làm điều này, tôi chọn hai nhiệm vụ đơn giản.

Giải các ví dụ dễ dàng

Ví dụ 1

Lưu ý ngay rằng $ \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (6) $ và sự hiện diện của $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ text () $ ngay lập tức gợi ý cho chúng ta rằng đạo hàm bắt buộc của hàm có liên quan đến lượng giác. Và, thực sự, nếu chúng ta nhìn vào bảng, chúng ta thấy rằng $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ không là gì khác ngoài $ \ text (arctg) x $. Vì vậy, chúng ta hãy viết:

Để tìm, bạn cần viết như sau:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

Ví dụ số 2

Ở đây chúng ta cũng đang nói về các hàm lượng giác. Nếu chúng ta nhìn vào bảng, thì quả thực, nó sẽ thành ra như thế này:

Chúng ta cần tìm trong toàn bộ tập hợp các dẫn xuất đi qua điểm được chỉ định:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

Cuối cùng chúng ta hãy viết nó ra:

Nó đơn giản mà. Vấn đề duy nhất là để đếm số đạo hàm của các hàm đơn giản, bạn cần tìm hiểu bảng của các hàm số phản nguyên tố. Tuy nhiên, sau khi tìm hiểu bảng phái sinh cho bạn, tôi đoán điều này sẽ không có vấn đề gì.

Giải các bài toán có chứa một hàm số mũ

Hãy bắt đầu bằng cách viết các công thức sau:

\ [((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

Hãy xem tất cả điều này hoạt động như thế nào trong thực tế.

Ví dụ 1

Nếu chúng ta nhìn vào nội dung của dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận thấy rằng trong bảng các đạo hàm không có biểu thức nào mà $ ((e) ^ (x)) $ nằm trong một hình vuông, vì vậy hình vuông này phải được mở. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các công thức nhân viết tắt:

Chúng ta hãy tìm chất chống vi khuẩn cho từng thuật ngữ:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e ) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

Và bây giờ chúng tôi thu thập tất cả các thuật ngữ trong một biểu thức duy nhất và nhận được một hàm chống vi rút chung:

Ví dụ số 2

Lần này, số mũ đã lớn hơn nên công thức nhân rút gọn sẽ khá phức tạp. Hãy mở rộng dấu ngoặc:

Bây giờ, chúng ta hãy thử lấy chất khử chất diệt khuẩn trong công thức của chúng ta từ cấu trúc này:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp và siêu nhiên trong các đạo hàm của hàm mũ. Tất cả đều được tính toán thông qua các bảng, tuy nhiên, những sinh viên chăm chú chắc chắn sẽ nhận thấy rằng hàm phản đạo hàm $ ((e) ^ (2x)) $ gần với chỉ $ ((e) ^ (x)) $ hơn nhiều so với $ ((a ) ^ (x)) $. Vì vậy, có thể có một số quy tắc đặc biệt hơn cho phép, khi biết đạo hàm $ ((e) ^ (x)) $, để tìm $ ((e) ^ (2x)) $? Vâng, có một quy tắc như vậy. Và, hơn thế nữa, nó là một phần không thể thiếu khi làm việc với bảng chất chống nhiễm trùng. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích nó bằng cách sử dụng các biểu thức tương tự mà chúng ta vừa làm ví dụ.

Quy tắc làm việc với bảng chất diệt khuẩn

Hãy viết lại hàm của chúng ta:

Trong trường hợp trước, chúng tôi sử dụng công thức sau để giải quyết:

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ operatorname (lna)) \]

Nhưng bây giờ hãy làm khác đi một chút: hãy nhớ $ ((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) $ trên cơ sở nào. Như đã nói, vì đạo hàm của $ ((e) ^ (x)) $ không là gì khác ngoài $ ((e) ^ (x)) $, nên đạo hàm của nó sẽ bằng $ ((e) ^ ( x)) $. Nhưng vấn đề là chúng ta có $ ((e) ^ (2x)) $ và $ ((e) ^ (- 2x)) $. Bây giờ chúng ta hãy thử tìm đạo hàm $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ left (2x \ right)) ^ ( \ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

Hãy viết lại quá trình xây dựng của chúng ta một lần nữa:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Và điều này có nghĩa là khi tìm kiếm đạo hàm $ ((e) ^ (2x)) $, chúng ta nhận được như sau:

\ [((e) ^ (2x)) \ to \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

Như bạn thấy, chúng tôi nhận được kết quả tương tự như trước đó, nhưng chúng tôi không sử dụng công thức để tìm $ ((a) ^ (x)) $. Bây giờ điều này có vẻ ngu ngốc: tại sao lại phức tạp hóa các phép tính khi có một công thức chuẩn? Tuy nhiên, trong các biểu thức phức tạp hơn một chút, bạn sẽ thấy rằng kỹ thuật này rất hiệu quả, tức là sử dụng dẫn xuất để tìm dẫn xuất.

Để khởi động, chúng ta hãy tìm đạo hàm của $ ((e) ^ (2x)) $ theo cách tương tự:

\ [((\ left (((e) ^ (- 2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ left (-2 \ right) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Khi tính toán, cách xây dựng của chúng ta sẽ được viết như sau:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) \ đến - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

Chúng tôi nhận được cùng một kết quả, nhưng đã đi theo hướng khác. Đó là cách này, hiện tại có vẻ phức tạp hơn một chút, trong tương lai sẽ hiệu quả hơn để tính toán các dẫn xuất phức tạp hơn và sử dụng các bảng.

Ghi chú! Đây là một điểm rất quan trọng: các chất chống dẫn xuất, giống như các dẫn xuất, có thể được tính theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, nếu tất cả các phép tính và phép tính đều bằng nhau, thì câu trả lời sẽ giống nhau. Chúng tôi chỉ đảm bảo điều này trong ví dụ về $ ((e) ^ (- 2x)) $ - một mặt, chúng tôi đã tính toán hàm phản đạo hàm này "trong suốt", sử dụng định nghĩa và tính toán nó với sự trợ giúp của các phép biến đổi, trên mặt khác, chúng tôi nhớ rằng $ ((e) ^ (- 2x)) $ có thể được biểu diễn dưới dạng $ ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) $ và sau đó sử dụng hàm antideriuctor cho hàm $ ((a) ^ (x)) $. Tuy nhiên, sau tất cả các lần biến đổi, kết quả vẫn như mong đợi.

Và bây giờ chúng ta đã hiểu tất cả những điều này, đã đến lúc chuyển sang một thứ gì đó quan trọng hơn. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai cấu trúc đơn giản, tuy nhiên, kỹ thuật sẽ được đặt ra khi giải chúng là một công cụ hữu ích và mạnh mẽ hơn là một cách “chạy” đơn giản giữa các đạo hàm lân cận khỏi bảng.

Giải quyết vấn đề: tìm đạo hàm của một hàm

Ví dụ 1

Cho số đó ở tử số, chia thành ba phân số riêng biệt:

Đây là một quá trình chuyển đổi khá tự nhiên và dễ hiểu - hầu hết học sinh không gặp vấn đề gì với nó. Hãy viết lại biểu thức của chúng ta như sau:

Bây giờ chúng ta hãy nhớ công thức này:

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi sẽ nhận được những điều sau:

Để loại bỏ tất cả các phân số ba tầng này, tôi khuyên bạn nên làm như sau:

Ví dụ số 2

Không giống như phân số trước, mẫu số không phải là tích, mà là tổng. Trong trường hợp này, chúng ta không thể chia phân số của mình cho tổng của một số phân số đơn giản nữa, nhưng bằng cách nào đó, chúng ta phải cố gắng đảm bảo rằng tử số chứa gần giống biểu thức với mẫu số. Trong trường hợp này, khá dễ dàng để thực hiện:

Kí hiệu như vậy, trong ngôn ngữ toán học được gọi là "cộng số không", sẽ cho phép chúng ta chia phân số thành hai phần một lần nữa:

Bây giờ chúng ta hãy tìm những gì chúng ta đang tìm kiếm:

Đó là tất cả những tính toán. Mặc dù có độ phức tạp lớn hơn rõ ràng so với bài toán trước, nhưng số lượng phép tính hóa ra còn nhỏ hơn.

Các sắc thái của giải pháp

Và đây là nơi mà khó khăn chính của việc làm việc với các nguyên mẫu dạng bảng, điều này đặc biệt đáng chú ý trong nhiệm vụ thứ hai. Thực tế là để chọn một số nguyên tố có thể đếm được dễ dàng qua bảng, chúng ta cần biết chính xác những gì chúng ta đang tìm kiếm và chính trong việc tìm kiếm các nguyên tố này là toàn bộ phép tính của các đạo hàm bao gồm.

Nói cách khác, chỉ học thuộc bảng các chất chống dẫn xuất là chưa đủ - bạn cần phải có khả năng nhìn thấy điều gì đó chưa có, nhưng tác giả và người biên dịch vấn đề này có ý nghĩa như thế nào. Đó là lý do tại sao nhiều nhà toán học, giáo viên và giáo sư liên tục tranh luận: "Lấy phản hàm hay tích phân là gì - nó chỉ là một công cụ hay nó là một nghệ thuật thực sự?" Thực ra, theo ý kiến ​​cá nhân của tôi, hội nhập hoàn toàn không phải là một nghệ thuật - chẳng có gì cao siêu cả mà chỉ là luyện tập và luyện tập lại thôi. Và để thực hành, chúng ta hãy giải quyết ba ví dụ nghiêm trọng hơn.

Thực hành tích hợp trong thực tế

Nhiệm vụ 1

Hãy viết các công thức sau:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ to \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]

Hãy viết như sau:

Nhiệm vụ 2

Hãy viết lại nó như sau:

Tổng số chất khử trùng sẽ bằng:

Nhiệm vụ số 3

Sự phức tạp của nhiệm vụ này nằm ở chỗ, không giống như các hàm trước đó, không có biến $ x $ ở trên, tức là chúng tôi không rõ phải cộng, trừ những gì để có được ít nhất một cái gì đó tương tự như những gì dưới đây. Tuy nhiên, trên thực tế, biểu thức này được coi là thậm chí còn đơn giản hơn bất kỳ biểu thức nào từ các cấu trúc trước đó, bởi vì hàm này có thể được viết lại như sau:

Bây giờ bạn có thể hỏi: tại sao các hàm này lại bằng nhau? Hãy kiểm tra:

Hãy viết lại một lần nữa:

Hãy thay đổi biểu thức của chúng ta một chút:

Và khi tôi giải thích tất cả những điều này cho học sinh của mình, vấn đề tương tự hầu như luôn nảy sinh: với chức năng đầu tiên thì mọi thứ đều rõ ràng hơn hoặc ít hơn, với chức năng thứ hai, bạn cũng có thể tìm ra nó bằng may mắn hoặc thực hành, nhưng loại ý thức thay thế nào làm được. bạn cần phải có để giải quyết ví dụ thứ ba? Thực ra, đừng sợ hãi. Kỹ thuật mà chúng tôi đã sử dụng khi tính đạo hàm cuối cùng được gọi là “phân rã một hàm thành đơn giản nhất” và đây là một kỹ thuật rất nghiêm túc và sẽ dành một bài học video riêng cho nó.

Trong thời gian chờ đợi, tôi đề xuất quay trở lại những gì chúng ta vừa nghiên cứu, cụ thể là các hàm số mũ và phần nào làm phức tạp các nhiệm vụ với nội dung của chúng.

Các bài toán phức tạp hơn để giải các hàm số mũ đối

Nhiệm vụ 1

Lưu ý những điều dưới đây:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ left (2 \ cdot 5 \ right)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

Để tìm đạo hàm của biểu thức này, chỉ cần sử dụng công thức chuẩn $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.

Trong trường hợp của chúng ta, nguyên thủy sẽ như thế này:

Tất nhiên, dựa trên nền của công trình mà chúng ta vừa giải quyết, cái này trông đơn giản hơn.

Nhiệm vụ 2

Một lần nữa, dễ dàng thấy rằng hàm này rất dễ chia thành hai số hạng riêng biệt - hai phân số riêng biệt. Hãy viết lại:

Vẫn phải tìm ra chất chống lại của mỗi thuật ngữ này theo công thức trên:

Mặc dù có độ phức tạp lớn hơn rõ ràng của các hàm mũ so với các hàm lũy thừa, nhưng tổng số lượng các phép tính và tính toán hóa ra lại đơn giản hơn nhiều.

Tất nhiên, đối với những học sinh có kiến ​​thức, những gì chúng ta vừa xử lý (đặc biệt là so với nền của những gì chúng ta đã xử lý trước đó) có vẻ là những biểu hiện sơ đẳng. Tuy nhiên, khi chọn hai tác vụ này cho video hướng dẫn hôm nay, tôi không đặt mục tiêu cho bạn biết một thủ thuật phức tạp và lạ mắt khác - tất cả những gì tôi muốn cho bạn thấy là bạn không nên ngại sử dụng các thủ thuật đại số chuẩn để biến đổi các hàm ban đầu. .

Sử dụng kỹ thuật "bí mật"

Tóm lại, tôi muốn phân tích một kỹ thuật thú vị khác, một mặt, vượt ra ngoài những gì chúng ta đã chủ yếu phân tích ngày nay, nhưng mặt khác, trước hết, nó không phức tạp, tức là. ngay cả những sinh viên mới làm quen cũng có thể thành thạo nó, và thứ hai, nó thường được tìm thấy trong tất cả các loại công việc điều khiển và độc lập, tức là biết nó sẽ rất hữu ích ngoài việc biết bảng của các chất khử trùng.

Nhiệm vụ 1

Rõ ràng, chúng ta có một cái gì đó rất giống với một hàm quyền lực. Chúng ta nên tiến hành như thế nào trong trường hợp này? Hãy nghĩ về nó: $ x-5 $ khác với $ x $ không quá nhiều - chỉ cần thêm $ -5 $. Hãy viết nó như thế này:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ left (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Hãy thử tìm đạo hàm của $ ((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) $:

\ [((\ left (((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \]

Điều này nghĩa là:

\ [((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) = ((\ left (\ frac (((\ left (x-5 \ right))) ^ (5))) (5) \ phải)) ^ (\ prime)) \]

Không có giá trị nào như vậy trong bảng, vì vậy bây giờ chúng tôi đã tự suy ra công thức này, sử dụng công thức chống đạo hàm tiêu chuẩn cho một hàm lũy thừa. Hãy viết câu trả lời như sau:

Nhiệm vụ 2

Đối với nhiều sinh viên khi nhìn vào giải pháp đầu tiên, có vẻ như mọi thứ rất đơn giản: chỉ cần thay $ x $ trong hàm lũy thừa bằng một biểu thức tuyến tính là đủ, và mọi thứ sẽ ổn thỏa. Thật không may, mọi thứ không đơn giản như vậy, và bây giờ chúng ta sẽ thấy điều này.

Bằng cách tương tự với biểu thức đầu tiên, chúng tôi viết như sau:

\ [((x) ^ (9)) \ to \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (\ prime)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot \ left (-3 \ right) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \]

Quay trở lại đạo hàm của chúng ta, chúng ta có thể viết:

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right) ) ^ (9)) \]

\ [((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) = ((\ left (\ frac (((\ left (4-3x \ right))) ^ (10))) (- 30) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Từ đây nó ngay lập tức sau:

Các sắc thái của giải pháp

Xin lưu ý: nếu lần trước không có gì thay đổi về cơ bản, thì trong trường hợp thứ hai, $ -30 $ đã xuất hiện thay vì $ -10 $. Sự khác biệt giữa $ -10 $ và $ -30 $ là gì? Rõ ràng là theo hệ số $ -3 $. Câu hỏi: nó đến từ đâu? Nhìn kỹ hơn, bạn có thể thấy rằng nó được lấy là kết quả của việc tính đạo hàm của một hàm số phức - hệ số đứng ở mức $ x $ xuất hiện trong phần đạo hàm bên dưới. Đây là một quy tắc rất quan trọng, mà ban đầu tôi không định phân tích chút nào trong video hướng dẫn hôm nay, nhưng nếu không có nó, việc trình bày các chất chống diệt khuẩn dạng bảng sẽ không đầy đủ.

Vì vậy, chúng ta hãy làm điều đó một lần nữa. Hãy để có chức năng quyền lực chính của chúng tôi:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Và bây giờ thay vì $ x $, hãy thay bằng biểu thức $ kx + b $. Điều gì sẽ xảy ra sau đó? Chúng ta cần tìm những thứ sau:

\ [((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ to \ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1) \ right) \ cdot k) \]

Dựa trên cơ sở nào để chúng tôi khẳng định điều này? Rất đơn giản. Hãy tìm đạo hàm của phép xây dựng được viết ở trên:

\ [((\ left (\ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ right)) ^ ( \ prime)) = \ frac (1) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ cdot \ left (n + 1 \ right) \ cdot ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \]

Đây là biểu thức giống như ban đầu. Vì vậy, công thức này cũng đúng, và nó có thể được sử dụng để bổ sung vào bảng các chất chống dẫn xuất, nhưng tốt hơn là bạn chỉ cần nhớ toàn bộ bảng.

Kết luận từ "bí mật: lễ tân:

• Trên thực tế, cả hai chức năng mà chúng ta vừa xem xét đều có thể được rút gọn thành các dẫn xuất được chỉ ra trong bảng bằng cách mở các độ, nhưng nếu chúng ta ít nhiều có thể đối phó với mức độ thứ tư, thì tôi sẽ không làm mức độ thứ chín chút nào. mạo hiểm tiết lộ.
• Nếu chúng ta mở các độ, thì chúng ta sẽ nhận được một khối lượng tính toán lớn đến mức một nhiệm vụ đơn giản sẽ khiến chúng ta mất một khoảng thời gian không đủ.
• Đó là lý do tại sao các nhiệm vụ như vậy, bên trong có các biểu thức tuyến tính, không cần phải giải "trống". Ngay sau khi bạn gặp một chất chống đạo hàm, khác với hàm số trong bảng chỉ bởi sự hiện diện của biểu thức $ kx + b $ bên trong, hãy nhớ ngay công thức được viết ở trên, thay nó thành hàm kháng chất dạng bảng của bạn, và mọi thứ sẽ trở nên tốt đẹp hơn nhiều. nhanh hơn và dễ dàng hơn.

Đương nhiên, do sự phức tạp và nghiêm trọng của kỹ thuật này, chúng tôi sẽ nhiều lần xem xét kỹ thuật này trong các video hướng dẫn trong tương lai, nhưng hôm nay tôi đã có tất cả mọi thứ. Tôi hy vọng bài học này sẽ thực sự giúp ích cho những học sinh muốn hiểu về phản nguyên tố và tích phân.

Định nghĩa 1

Đạo hàm $ F (x) $ cho hàm $ y = f (x) $ trên đoạn $$ là một hàm có thể phân biệt được tại mỗi điểm của đoạn này và đẳng thức sau đây được áp dụng cho đạo hàm của nó:

Định nghĩa 2

Tập hợp tất cả các đạo hàm của một hàm số đã cho $ y = f (x) $ xác định trên một đoạn nào đó được gọi là tích phân bất định của hàm số đã cho $ y = f (x) $. Tích phân không xác định được ký hiệu là $ \ int f (x) dx $.

Từ bảng đạo hàm và định nghĩa 2, ta thu được bảng các tích phân cơ bản.

ví dụ 1

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 7 từ bảng tích phân:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C, \, \, C = const. \]

Hãy phân biệt vế phải: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ left (- \ ln | \ cos x | + C \ right) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \]

Ví dụ 2

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 8 từ bảng tích phân:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C, \, \, C = const. \]

Phân biệt vế phải: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ left (\ ln | \ sin x | \ right) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

Đạo hàm hóa ra bằng tích phân. Do đó, công thức là đúng.

Ví dụ 3

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 11 "từ bảng tích phân:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const . \]

Phân biệt vế phải: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ left ( \ frac (x) (a) \ right) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (a ^ (2) + x ^ (2)) \]

Đạo hàm hóa ra bằng tích phân. Do đó, công thức là đúng.

Ví dụ 4

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 12 từ bảng tích phân:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C, \, \, C = const. \]

Phân biệt vế phải: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C $.

$ \ left (\ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (a-x)) \ cdot \ left (\ frac (a + x) (a-x) \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) ( a + x) \ cdot \ frac (a-x + a + x) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) (a + x) \ cdot \ frac (2a) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ Đạo hàm bằng tích phân. Do đó, công thức là đúng.

Ví dụ 5

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 13 "từ bảng tích phân:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const. \]

Phân biệt vế phải: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ left (\ frac (x) (a) \ right) ^ (2 ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

Đạo hàm hóa ra bằng tích phân. Do đó, công thức là đúng.

Ví dụ 6

Kiểm tra tính hợp lệ của công thức 14 từ bảng tích phân:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C, \, \, C = const. \]

Phân biệt vế phải: $ \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ left (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ left (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot 2x \ right) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

Đạo hàm hóa ra bằng tích phân. Do đó, công thức là đúng.

Ví dụ 7

Tìm tích phân:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx. \]

Hãy sử dụng định lý tích phân tổng:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

Hãy sử dụng định lý về việc lấy thừa số hằng ra khỏi dấu tích phân:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

Theo bảng tích phân:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C; \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

Khi tính tích phân đầu tiên, chúng ta sử dụng quy tắc 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

Vì thế,

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C, \, \, C = C_ (1 ) + C_ (2) \]