أمثلة برنولي. نظرية لابلاس المحلية

يجب إجراء تجارب n فيما يتعلق بالحدث A. دعنا نقدم الأحداث التالية: Аk - تم تحقيق الحدث А أثناء اختبار k-th ، $ k = 1،2 ، \ dots ، n $. ثم $ \ bar (A) _ (k) $ هو الحدث المعاكس (الحدث A لم يحدث أثناء التجربة k-th ، $ k = 1،2 ، \ dots ، n $).

ما هي تجارب الأقران والمستقلة

تعريف

يتم استدعاء الاختبارات من نفس النوع فيما يتعلق بالحدث A إذا كانت احتمالات الأحداث $ A1 ، A2 ، \ dots ، $ هي نفسها: $ P (A1) = P (A2) = \ dots = P (An) $ (على سبيل المثال ، يكون احتمال حدوث الحدث A في تجربة واحدة ثابتًا في جميع التجارب).

من الواضح ، في هذه الحالة الاحتمالات أحداث معاكسةتطابق أيضًا: $ P (\ bar (A) _ (1)) = P (\ bar (A) _ (2)) = ... = P (\ bar (A) _ (n)) $.

تعريف

تسمى المحاكمات مستقلة فيما يتعلق بالحدث A إذا كانت الأحداث $ A1 ، A2 ، \ dots ، An $ مستقلة.

في هذه الحالة

في هذه الحالة ، يتم الحفاظ على المساواة عند استبدال أي حدث بـ $ \ bar (A) _ (k) $.

دعونا ، فيما يتعلق بالحدث أ ، سلسلة من ن مماثلة اختبارات مستقلة. نحمل الترميز: p - احتمال وقوع الحدث A في اختبار واحد ؛ q هو احتمال وقوع حدث معاكس. وبالتالي ، P (Ak) = p ، $ P (\ bar (A) _ (k)) = q $ لأي k و p + q = 1.

يتم حساب احتمال حدوث الحدث A في سلسلة من التجارب n بالضبط k مرة (0 ≤ k ≤ n) بالصيغة:

$ P_ (n) (k) = C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (1)

المساواة (1) تسمى معادلة برنولي.

احتمال حدوث سلسلة من n تجارب مستقلة من نفس النوع الحدث A على الأقل k1 مرة وفي أقصى k2 مرة يتم حسابها بواسطة الصيغة:

$ P_ (n) (k_ (1) \ le k \ le k_ (2)) = \ sum \ limits _ (k = k_ (1)) ^ (k_ (2)) C_ (n) ^ (k) p ^ (ك) q ^ (n-k) $ (2)

تطبيق صيغة برنولي ل قيم كبيرةيؤدي n إلى حسابات مرهقة ، لذلك في هذه الحالات من الأفضل استخدام صيغ أخرى - مقاربة.

تعميم مخطط برنولي

فكر في تعميم مخطط برنولي. إذا كان في سلسلة من التجارب المستقلة n ، كل منها لها نتائج غير متوافقة ومحتملة في الزوج مع الاحتمالات المقابلة Рk = рk (Аk). إذن ، تكون صيغة التوزيع متعدد الحدود صالحة:

مثال 1

يبلغ احتمال الإصابة بالأنفلونزا أثناء الوباء 0.4. أوجد احتمال إصابة 6 موظفين بالشركة بالمرض

1. بالضبط 4 موظفين ؛
2. لا يزيد عن 4 موظفين.

المحلول. 1) من الواضح ، لحل هذه المشكلة ، أن صيغة برنولي قابلة للتطبيق ، حيث ن = 6 ؛ ك = 4 ؛ ص = 0.4 ؛ ف = 1-ص = 0.6. بتطبيق الصيغة (1) ، نحصل على: $ P_ (6) (4) = C_ (6) ^ (4) \ cdot 0.4 ^ (4) \ cdot 0.6 ^ (2) \ حوالي 0.138 $.

لحل هذه المشكلة ، الصيغة (2) قابلة للتطبيق ، حيث k1 = 0 و k2 = 4. نملك:

\ [\ start (array) (l) (P_ (6) (0 \ le k \ le 4) = \ sum \ limits _ (k = 0) ^ (4) C_ (6) ^ (k) p ^ ( ك) q ^ (6-k) = C_ (6) ^ (0) \ cdot 0.4 ^ (0) \ cdot 0.6 ^ (6) + C_ (6) ^ (1) \ cdot 0.4 ^ (1) \ cdot 0.6 ^ (5) + C_ (6) ^ (2) \ cdot 0.4 ^ (2) \ cdot 0.6 ^ (4) +) \\ (+ C_ (6) ^ (3) \ cdot 0.4 ^ (3) \ cdot 0.6 ^ (3) + C_ (6) ^ (4) \ cdot 0.4 ^ (4) \ cdot 0.6 ^ (2) \ حوالي 0.959.) \ end (array) \]

وتجدر الإشارة إلى أن هذه المهمة أسهل في الحل باستخدام الحدث المعاكس - فقد أصيب أكثر من 4 موظفين بالمرض. بعد ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار الصيغة (7) حول احتمالات الأحداث المعاكسة ، نحصل على:

الجواب: $ 0.959.

مثال 2

تحتوي الجرة على 20 كرة بيضاء و 10 كرات سوداء. يتم إخراج 4 كرات ، ويتم إرجاع كل كرة إلى الجرة قبل سحب الكرة التالية وخلط الكرات الموجودة في الجرة. أوجد احتمال وجود كرتين أبيضتين من بين الكرات الأربع المسحوبة.

الصورة 1.

المحلول. دع الحدث "أ" يتألف من حقيقة أن - حصلت كرة بيضاء. ثم الاحتمالات $ D (A) = \ frac (2) (3) ، \ ، \ ، D (\ overline (A)) = 1- \ frac (2) (3) = \ frac (1) (3) $.

وفقًا لمعادلة برنولي ، فإن الاحتمال المطلوب هو $ D_ (4) (2) = N_ (4) ^ (2) \ left (\ frac (2) (3) \ right) ^ (2) \ left (\ frac (1) (3) \ right) ^ (2) = \ frac (8) (27) $.

الجواب: $ \ frac (8) (27) $.

مثال 3

حدد احتمال ألا يكون لدى الأسرة التي لديها 5 أطفال أكثر من 3 فتيات. من المفترض أن تكون احتمالات إنجاب ولد وبنت هي نفسها.

المحلول. احتمال إنجاب فتاة $ \ جزئي = \ frac (1) (2) ، \ ، q = \ frac (1) (2) $ -حتمال إنجاب ولد. لا يوجد أكثر من ثلاث فتيات في الأسرة ، مما يعني أن واحدة أو اثنتين أو ثلاث فتيات قد ولدت ، أو كل الأولاد في الأسرة.

أوجد احتمالات عدم وجود فتيات في الأسرة ، ولدت فتاة واحدة أو فتاتان أو ثلاث: $ D_ (5) (0) = q ^ (5) = \ frac (1) (32) $،

\ \ \

لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب هو $ D = D_ (5) (0) + D_ (5) (1) + D_ (5) (2) + D_ (5) (3) = \ frac (13) (16) $ .

الجواب: $ \ frac (13) (16) $.

مثال 4

يمكن أن يصيب مطلق النار الأول برصاصة واحدة المراكز العشرة الأولى باحتمال 0.6 ، والتسعة باحتمال 0.3 ، والثمانية باحتمال 0.1. ما هو احتمال أنه ، من خلال 10 تسديدات ، سيضرب عشر ست مرات ، وتسع ثلاث مرات ، وثماني مرات؟

قبل طرح السؤال الثالث من المحاضرة ، يشير المعلم إلى المشكلة التي تتطلب النظر في النظرية حول تكرار التجارب ، مع ملاحظة أنه في سياق نظرية الاحتمالية التي يتم دراستها ، سيتم اعتبار نظرية معينة فقط مرتبطة بالتكرار. من التجارب المستقلة ، يظهر فيها الحدث "أ" باحتمالية ثابتة.

ثم يظهر المعلم إثبات هذه النظرية (اشتقاق صيغة برنولي).

لشرح الجوهر المادي للنظرية قيد الدراسة ، يستخدم المعلم جهاز عرض ضوئي وشرائح مُعدة.

في نهاية المحاضرة ، يشرح المعلم سبب تسمية التوزيع الاحتمالي لوقوع الحدث A في سلسلة من المحاولات n ، في الظروف التي تكون فيها غير متوافقة وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، ذات الحدين وتلفت الانتباه إلى الأهمية لمعرفة هذا التوزيع لحل المشكلات التطبيقية.

حتى الآن ، درسنا مجموعات من عدد صغير نسبيًا من الأحداث ، عندما لم يتسبب التطبيق المباشر لقواعد الجمع ومضاعفة الاحتمالات في صعوبات حسابية كبيرة. ومع ذلك ، مع زيادة عدد الأحداث أو عدد التجارب التي قد يظهر فيها الحدث الذي يهمنا ، تصبح طريقة الحساب المدروسة مرهقة للغاية.

في هذه الحالة ، تم حل المشكلة بكل بساطة فقط إذا كانت التجارب مستقلة.

يتم استدعاء العديد من التجارب لا يعتمد، إذا كان احتمال نتيجة واحدة أو أخرى لكل تجربة لا يعتمد على النتائج التي حصلت عليها التجارب الأخرى.

في الممارسة العملية ، هناك حالات عند احتمال وقوع حدث لكنفي جميع التجارب المستقلة يمكن أن تكون هي نفسها أو تتغير من تجربة إلى أخرى. على سبيل المثال ، عند ضبط النار بعد كل طلقة ، سيتغير احتمال إصابة الهدف مع كل طلقة.

في الحالة التي يكون فيها احتمال حدوث حدث من التجربة إلى تجربة التغييرات في التجارب المستقلة ، يتم استخدام النظرية العامة حول تكرار التجارب ، وعندما لا يتغير احتمال حدوث حدث من التجربة في التجارب المستقلة للتجربة ، يتم استخدام النظرية الخاصة حول تكرار التجارب.

في سياق نظرية الاحتمالات التي ندرسها ، سننظر فقط في مصطلح معين يتعلق بتكرار التجارب ، عندما يكون من الضروري تحديد احتمال وقوع حدث لكنفي سلسلة من التجارب المستقلة n ، وفي كل منها حدث A بنفس الاحتمال.

على سبيل المثال ، من الضروري حساب احتمال أنه مع خمس طلقات من مسدس في إعدادات ثابتة ، سيتم تلقي ضربتين بالضبط على الهدف ، إذا كانت الطلقات مستقلة وكان احتمال إصابة الهدف معروفًا ولا يتغير من أجل كل طلقة.

إذا قمنا بعمل مجموعات ممكنة من حدوث الحدث الذي يهمنا A 1 ، فإننا نحصل على:

سيكون هناك 10 مجموعات محتملة حيث سيحدث الحدث A = (احصل على ضربتين بخمس طلقات).

بتطبيق النظرية على مجموع ونتاج الأحداث المستقلة ، سيكون لدينا:

ستؤدي الزيادة في عدد الأحداث التي تهمنا أو عدد الاختبارات إلى زيادة أكبر في حجم العمليات الحسابية ، لذلك تنشأ مشكلة إيجاد طرق حساب أقل استهلاكا للوقت.

صياغة المشكلة:

لنفترض في ظل نفس الظروف إجراء ن اختبارات مستقلة ، قد تكون نتيجة كل منها البداية أو الأحداث لكنأو العكس .

للدلالة به لكن 1 وقوع حدث لكنفي الاختبار الأول ، لكن 2 - في الاختبار الثاني ، لكن ن- في الاختبار الأخير.

بسبب ثبات شروط الاختبار:

ص (أ 1 ) = ف (أ 2 ) = ... ف (أ ن ) = ص

نحن مهتمون باحتمالية حدوث الحدث A مرة واحدة تمامًا خلال n من التجارب ، ولن يحدث في التجارب المتبقية n-m (على سبيل المثال ، سيحدث الحدث المعاكس للحدث A - ).

دعونا نفترض أن هذا الحدث يهمنا لكنيحدث في صف م مرات ، ابتداء من الأول ، أي. حدث ما ه.

ه = أ 1 لكن 2 … لكن م -1 لكن م 
(1)

م ن- م

وفقًا لشرط تكرار الاختبار ، تكون الأحداث المدرجة في هذه المجموعة مستقلة ، في حين أن احتمالات حدوث الأحداث A 1 ، لكن 2 ،… لكن م -1 ، لكن منفس الشيء ومتساو ع: ف (أ 1 ) = ف (أ 2 ) =… = ف (أ م ) = ص ،واحتمالات عدم وقوع الأحداث
متماثلون ومتساوون ف= 1-p:.

بتطبيق قاعدة مضاعفة الاحتمالات للأحداث المستقلة على التعبير 1 ، نحصل على:

الفوسفور (E) = الفوسفور (أ 1 ) ص (أ 2 ) ... ف (أ م -1 ) ص (أ م ) ص (
= ص م (1-ع) ن  - م = ص م ف ن - م

نظرًا لثبات شروط الاختبار ، افترضنا أن الحدث يهمنا لكنيحدث على التوالي م مرات ، بدءا من الأول. لكن الحدث لكنفي نيمكن أن تأتي المحاكمات بالضبط ممرات في تسلسلات أو مجموعات مختلفة. في الوقت نفسه ، لا نهتم بالتسلسل المحدد الذي يظهر فيه الحدث A بالضبط مذات مرة.

عدد هذه المجموعات يساوي عدد التركيبات من ن العناصر م.

نظرًا لأن مجموعات الأحداث هذه (مثل التوليفات E) غير متوافقة ولسنا مهتمين بتسلسل حدوث الحدث لكنبالضبط في الاختبار ممرات ، ثم تدل على احتمالية الفائدة بالنسبة لنا من خلال ص م، نحن نحصل:

ص م =
ص م (1-ع) ن - م =
=

أين
- عدد التوليفات من نعناصر بواسطة م.

سميت هذه الصيغة على اسم صيغة برنولي.

تسمح لك صيغة برنولي بالحصول على إجابة للسؤال: ما هو احتمال حدوث حدث ما عند تكرار n محاكمات مستقلة لكنيأتي بالضبط ممرات إذا كان احتمال وقوع الحدث في كل من هذه التجارب لكنثابت ومتساوي الفوسفور (أ) = ص.

تعتبر صيغة برنولي أعلاه ذات أهمية استثنائية في نظرية الاحتمالية لأنها مرتبطة بتكرار الاختبارات في نفس الظروف ، أي مع مثل هذه الظروف التي تعبر فيها قوانين نظرية الاحتمالات عن نفسها.

خاتمة المحاضرة:

في المحاضرة ، نظرنا في القضايا الأساسية لنظرية الاحتمالات فيما يتعلق بالمتغيرات العشوائية ، وقدمنا ​​الجهاز المفاهيمي الرئيسي الضروري لمزيد من الدراسة للانضباط: التعريف متغير عشوائي، تصنيفهم ؛ مفهوم قانون التوزيع وشكله ل أنواع مختلفةمتغير عشوائي.

استعدادًا للمحاضرات اللاحقة والتمارين العملية ، يجب أن تكمل ملاحظات المحاضرة بشكل مستقل بدراسة متعمقة للأدبيات الموصى بها وحل المشكلات المقترحة.

بالإضافة إلى ذلك ، في الدروس اللاحقة ، سوف ندرس النظريات والتبعيات التي تسمح لنا بتحديد احتمالية حدوث متغير عشوائي العدد المطلوب من المرات أو في فترة زمنية معينة ، على سبيل المثال ، احتمال إصابة هدف.

يكتشف:

وينتزل إي. نظرية الاحتمالات. كتاب مدرسي. الطبعة الثامنة النمطية. - م: تخرج من المدرسه، 2002-575 ص. - ص 67-78 ، 80-84

Venttsel E.S.، Ovcharov L.A نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها الهندسية. الدورة التعليمية. الطبعة الثالثة ، منقحة وموسعة. - م: "الأكاديمية" 2003 - 464 ص. - ص 73 - 93

غمرمان في. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي. الدورة التعليمية. الطبعة العاشرة النمطية. - م: المدرسة العليا 2004 - 480 ص. ص 64-73

يتم إجراء تجارب n وفقًا لمخطط برنولي مع احتمال النجاح ص. دع X يكون عدد النجاحات. المتغير العشوائي X له النطاق (0،1،2 ، ... ، ن). يمكن إيجاد احتمالات هذه القيم من خلال الصيغة: ، حيث C m n هو عدد التركيبات من n إلى m.
سلسلة التوزيع لها الشكل:

x	0	1	...	م	ن
ص	(1 - ع) ن	np (1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	ص ن

يسمى قانون التوزيع هذا ذو الحدين.

مهمة الخدمة. يتم استخدام آلة حاسبة على الإنترنت للبناء سلسلة التوزيع ذات الحدينوحساب جميع خصائص السلسلة: التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري. يتم إعداد تقرير مع قرار بتنسيق Word (مثال).

عدد من المحاكمات:ن = ، الاحتمال ص =
مع احتمال صغير p وعدد كبير من n (صيغة np Poisson.

تعليمات الفيديو

مخطط اختبار برنولي

الخصائص العددية لمتغير عشوائي موزعة وفقًا لقانون ذي الحدين

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X ، موزعة وفقًا لقانون ذي الحدين.
M [X] = np

تشتت المتغير العشوائي X ، يوزع حسب قانون ذي الحدين.
D [X] = npq

مثال 1. قد يكون المنتج معيبًا مع احتمال p = 0.3 لكل منهما. يتم تحديد ثلاثة عناصر من دفعة. X هو عدد الأجزاء المعيبة من بين الأجزاء المختارة. بحث (أدخل جميع الإجابات بصيغة الكسور العشرية): أ) سلسلة التوزيع X ؛ ب) دالة التوزيع F (x).
المحلول. المتغير العشوائي X له نطاق (0،1،2،3).
لنجد سلسلة التوزيع X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
الفوسفور 3 (1) = np (1-p) n-1 = 3 (1-0.3) 3-1 = 0.44

ف 3 (3) = ص ن = 0.3 3 = 0.027

س ط	0	1	2	3
بي	0.34	0.44	0.19	0.027

تم العثور على التوقع الرياضي من خلال الصيغة M [X] = np = 3 * 0.3 = 0.9
فحص:م = ∑ س أنا ص ط.
التوقع الرياضي M [X].
م [س] = 0 * 0.34 + 1 * 0.44 + 2 * 0.19 + 3 * 0.027 = 0.9
تم العثور على التشتت بواسطة الصيغة D [X] = npq = 3 * 0.3 * (1-0.3) = 0.63
فحص:د = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
تشتت D [X].
D [X] = 0 2 * 0.34 + 1 2 * 0.44 + 2 2 * 0.19 + 3 2 * 0.027 - 0.9 2 = 0.63
متوسط الانحراف المعياريσ (س).

وظيفة التوزيع F (X).
F (xF (0F (1F (2F (x> 3) = 1

1. احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة هو 0.6. يتم إجراء 5 اختبارات. يؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي X - عدد تكرارات الحدث.
2. قم بتكوين قانون توزيع المتغير العشوائي X لعدد الضربات بأربع طلقات ، إذا كان احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة 0.8.
3. رمي عملة معدنية 7 مرات. تجد القيمة المتوقعةوالتباين في عدد تكرارات شعار النبالة. ملاحظة: هنا احتمال ظهور شعار النبالة هو p = 1/2 (لأن للعملة وجهان).

المثال رقم 2. احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة هو 0.6. بتطبيق نظرية برنولي ، حدد عدد التجارب المستقلة ، بدءًا من احتمال انحراف تواتر حدث عن احتمالية حدوثه من حيث قيمه مطلقهأقل من 0.1 ، أكثر من 0.97. (الجواب: 801)

المثال رقم 3. أداء الطلاب اختبارفي فئة علوم الكمبيوتر. يتكون العمل من ثلاث مهام. للحصول على درجة جيدة ، تحتاج إلى العثور على الإجابات الصحيحة لمشكلتين على الأقل. لكل مشكلة 5 إجابات ، منها واحدة فقط صحيحة. يختار الطالب إجابة بشكل عشوائي. ما هو احتمال حصوله على تقدير جيد؟
المحلول. احتمال الإجابة على السؤال بشكل صحيح: p = 1/5 = 0.2 ؛ ن = 3.
يجب إدخال هذه البيانات في الآلة الحاسبة. انظر ف (2) + ف (3) للإجابة.

المثال رقم 4. احتمال إصابة الرامي للهدف برصاصة واحدة هو (م + ن) / (م + ن + 2). يتم إطلاق n + 4 طلقات. أوجد احتمال ألا يفوت أكثر من مرتين.

ملحوظة. يتضمن احتمال عدم تفويت أكثر من مرتين الأحداث التالية: لا يخطئ P (4) ، يخطئ مرة واحدة P (3) ، يخطئ مرتين P (2).

مثال رقم 5. حدد التوزيع الاحتمالي لعدد الطائرات الفاشلة في حالة تحليق 4 طائرات. احتمال عدم فشل تشغيل الطائرة Р = 0.99. عدد الطائرات التي فشلت في كل طلعة يتم توزيعها وفقا لقانون ذي الحدين.

1

1. بوجوليوبوف أ. الرياضيات. الميكانيكا: دليل السيرة الذاتية. - كييف: نوكوفا دومكا 1983.

2. Gulay T.A. ، Dolgopolova A.F. ، Litvin D.B. تحليل وتقييم أولويات أقسام التخصصات الرياضية التي درسها طلاب التخصصات الاقتصادية الجامعات الزراعية// نشرة مجمع الصناعات الزراعية في ستافروبول. - 2013. - رقم 1 (9). - ص 6-10.

3. Dolgopolova A.F.، Gulay T.A.، Litvin D.B. آفاق التطبيق الطرق الرياضيةفي البحث الاقتصادي// العلوم الزراعية ، الإبداع ، النمو. - 2013. - س 255-257.

في الرياضيات ، غالبًا ما توجد مشاكل موجودة عدد كبير منتكرار نفس الحالة أو الاختبار أو التجربة. سيتم اعتبار نتيجة كل اختبار نتيجة مختلفة تمامًا عن النتيجة السابقة. كما لن يتم ملاحظة الاعتماد على النتائج. كنتيجة للاختبار ، يمكن التمييز بين عدة احتمالات للعواقب الأولية: وقوع حدث (أ) أو وقوع حدث يكمل أ.

ثم دعونا نحاول أن نفترض أن احتمال حدوث الحدث Р (А) منتظم ويساوي р (0<р<1).

يمكن أن تكون أمثلة هذا التحدي عددًا كبيرًا من المهام ، مثل رمي عملة معدنية ، أو استخراج كرات سوداء وبيضاء من كيس مظلم ، أو ولادة أرانب سوداء وبيضاء.

تسمى هذه التجربة تكوين اختبار مستقل متكرر أو مخطط برنولي.

ولد جاكوب برنولي في عائلة صيدلانية. حاول الأب إرشاد ابنه إلى المسار الطبي ، لكن ج. برنولي أصبح مهتمًا بالرياضيات بمفرده ، وأصبحت فيما بعد مهنته. يمتلك العديد من الجوائز في أعماله حول موضوعات في نظرية الاحتمالات والأرقام ، وحساب التفاضل والتسلسل. بعد دراسة نظرية الاحتمالية من أحد أعمال Huygens "حول الحسابات في المقامرة" ، أصبح جاكوب مهتمًا بهذا. في هذا الكتاب ، لم يكن هناك حتى تعريف واضح لمفهوم "الاحتمال". كان ج. برنولي هو من أدخل معظم المفاهيم الحديثة لنظرية الاحتمالات في الرياضيات. كان برنولي أيضًا أول من عبر عن نسخته من قانون الأعداد الكبيرة. يحمل اسم جاكوب العديد من الأعمال والنظريات والمخططات: "أرقام برنولي" و "برنولي متعدد الحدود" و "معادلة برنولي التفاضلية" و "توزيع برنولي" و "معادلة برنولي".

دعنا نعود إلى التكرار. كما ذكرنا سابقًا ، نتيجة للاختبارات المختلفة ، هناك نتيجتان محتملتان: إما أن يظهر الحدث A ، أو عكس هذا الحدث. يشير مخطط برنولي نفسه إلى إنتاج العدد n من التجارب المجانية النموذجية ، وفي كل من هذه التجارب قد يظهر الحدث A الذي نحتاجه (يُعرف احتمال هذا الحدث: P (A) \ u003d p) ، يشار إلى احتمال وقوع الحدث المعاكس للحدث A بواسطة q \ u003d P (A) = 1-p. من الضروري تحديد احتمال حدوث الحدث A بالضبط بمقدار k مرة عند اختبار رقم غير معروف.

من المهم أن تتذكر الحالة الرئيسية عند حل المشكلات باستخدام مخطط برنولي وهو الثبات. بدونها ، المخطط يفقد كل معناه.

يمكن استخدام هذا المخطط لحل المشكلات ذات المستويات المختلفة من التعقيد: من البسيط (نفس العملة) إلى المعقدة (الفائدة). ومع ذلك ، غالبًا ما يتم استخدام مخطط برنولي في حل مثل هذه المشكلات المرتبطة بالتحكم في خصائص المنتجات المختلفة والثقة في مجموعة متنوعة من الآليات. فقط لحل المشكلة ، قبل بدء العمل ، يجب معرفة جميع الشروط والقيم مسبقًا.

لا يتم اختزال كل المشكلات في نظرية الاحتمالات إلى ثبات في ظل الظروف. حتى لو أخذنا كرات سوداء وبيضاء في كيس مظلم كمثال: عندما يتم رسم كرة واحدة ، فإن نسبة عدد الكرات وألوانها في الحقيبة قد تغيرت ، مما يعني أن الاحتمال نفسه قد تغير.

ومع ذلك ، إذا كانت شروطنا ثابتة ، فيمكننا أن نحدد بدقة الاحتمال المطلوب منا بأن الحدث A سيحدث بالضبط k مرة من n ممكن.

جمع جاكوب برنولي هذه الحقيقة في نظرية ، عُرفت فيما بعد باسمه. "نظرية برنولي" هي إحدى النظريات الرئيسية في نظرية الاحتمالات. نُشر لأول مرة في عمل جيه برنولي "فن الافتراضات". ما هذه النظرية؟ "إذا كان احتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ، فإن الاحتمال Pk ، n أن الحدث سيحدث k مرة في n من التجارب المستقلة عن بعضها البعض يساوي: ، حيث q = 1-p . "

في إثبات فعالية الصيغة ، يمكن إعطاء المهام.

مهمة 1:

بسبب نفاد عدد البرطمانات الزجاجية في الشهر من التخزين ، فإن k مكسور. استغرق عشوائيا م العلب. أوجد احتمال ألا ينكسر l من بين هذه البرطمانات. ن = 250 ، ك = 10 ، م = 8 ، ل = 4.

الحل: لدينا مخطط برنولي مع القيم:

p = 10/250 = 0.04 (احتمال كسر البنوك) ؛

ن = 8 (عدد المحاولات) ؛

k = 8-4 = 4 (عدد الجرار المكسورة).

نستخدم صيغة برنولي

حصلت:

الجواب: 0.0141

المهمة رقم 2:

يبلغ احتمال تصنيع منتج معيب في الإنتاج 0.2. ابحث عن احتمال أنه من بين 10 منتجات تم تصنيعها في منشأة الإنتاج هذه ، يجب أن يكون k بالضبط في حالة جيدة. قم بتشغيل الحل لـ k = 0 ، 1 ، 10.

نحن مهتمون بالحدث A - إنتاج الأجزاء الصالحة للخدمة ، والذي يحدث مرة واحدة في الساعة مع احتمال p = 1-0.2 = 0.8. نحتاج إلى إيجاد احتمال وقوع الحدث المعين ك مرة. الحدث أ هو عكس الحدث "ليس أ" ، أي تصنيع منتج معيب.

لذلك ، لدينا: n = 10 ؛ ع = 0.8 ؛ ف = 0.2.

نتيجة لذلك ، وجدنا احتمال أن جميع المنتجات معيبة من بين 10 منتجات مصنعة (k = 0) ، أن منتجًا واحدًا في حالة جيدة (k = 1) ، أنه لا توجد منتجات معيبة على الإطلاق (k = 10) :

في الختام ، أود أن أشير إلى أنه في العصر الحديث ، يحاول العديد من العلماء إثبات أن "صيغة برنولي" لا تتوافق مع قوانين الطبيعة وأن المشاكل يمكن حلها دون تطبيقها للاستخدام. بالطبع ، هذا ممكن ، يمكن تنفيذ معظم المشاكل في نظرية الاحتمال بدون صيغة برنولي ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين كميات كبيرة من الأرقام.

رابط ببليوغرافي

Khomutova E.A.، Kalinichenko V.A. صيغة برنيلي في نظرية الاحتمال // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - رقم 3-4. ؛
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view؟id=14141 (تاريخ الوصول: 03/12/2019). نلفت انتباهكم إلى المجلات التي تصدرها دار النشر "أكاديمية التاريخ الطبيعي".

لذلك ، ستكون هوايتك القريبة مفيدة للغاية. بالإضافة إلى ذلك ، سأخبرك ما هو الخطأ الأغلبية الساحقةالمشاركين في اليانصيب والمقامرة. ... لا ، الإيمان أو الأمل الضعيف في "الفوز بالجائزة الكبرى" ليس له أي علاقة به ؛-) بدون حتى غمضة عين ، نتعمق في الموضوع:

ماذا او ما اختبارات مستقلة ؟ كل شيء تقريبا واضح من الاسم نفسه. لنقم ببعض الاختبارات. إذا كان احتمال وقوع حدث ما في كل منها لا تعتمدمن نتائج بقية الاختبارات ، ثم ... ننهي العبارة في الكورس =) أحسنت. في الوقت نفسه ، غالبًا ما تعني عبارة "الاختبارات المستقلة" معاداختبارات مستقلة - عندما يتم إجراؤها واحدة تلو الأخرى.

أبسط الأمثلة:
- رمي عملة معدنية 10 مرات ؛
- رمي النرد 20 مرة.

من الواضح تمامًا أن احتمال الحصول على صور أو ذيول في أي تجربة لا يعتمد على نتائج القوائم الأخرى. بيان مماثل ، بالطبع ، ينطبق أيضًا على المكعب.

لكن الإزالة المتسلسلة للبطاقات من المجموعة ليست سلسلة من الاختبارات المستقلة - كما تتذكر ، هذه سلسلة الأحداث التابعة. ومع ذلك ، إذا تم إرجاع البطاقة في كل مرة ، فسيصبح الوضع "كما ينبغي".

أسارع إلى إرضاء - لدينا Terminator آخر كضيف لدينا ، وهو غير مبالٍ تمامًا بنجاحاته / إخفاقاته ، وبالتالي فإن تسديده هو نموذج للاستقرار =):

مهمة 1

أطلق مطلق النار 4 طلقات على الهدف. احتمالية الضرب مع كل طلقة ثابتة ومتساوية. أوجد احتمال أن:

أ) سوف يصيب مطلق النار مرة واحدة فقط.
ب) سوف يصيب مطلق النار مرتين.

المحلول: تمت صياغة الشرط على العمومواحتمال إصابة الهدف مع كل طلقة تعتبر مشهورة. هي متساوية (إذا كان الأمر صعبًا حقًا ، فقم بتعيين قيمة محددة للمعامل ، على سبيل المثال ،) .

بمجرد أن نعلم ، من السهل العثور على احتمال الخطأ في كل لقطة:
، وهذا هو ، "كو" هو أيضا الكمية المعروفة.

أ) النظر في حدث "مطلق النار يضرب مرة واحدة فقط"وتدل على احتمالية بواسطة (تُفهم المؤشرات على أنها "ضربة واحدة من أصل أربعة"). يتكون هذا الحدث من 4 نتائج غير متوافقة: سيضرب مطلق النار الهدف الأول أوفي الثاني أوفي الثالث أوفي المحاولة الرابعة.

أوجد احتمال ظهور ثلاث عملات على شكل رؤوس عند رمي 10 عملات.

هنا ، الاختبارات لا تتكرر ، بل يتم إجراؤها في وقت واحد ، ولكن ، مع ذلك ، تعمل الصيغة نفسها:.

سيختلف الحل في المعنى وبعض التعليقات ، وعلى وجه الخصوص:
طرق يمكنك من خلالها اختيار 3 عملات معدنية ، والتي ستسقط رأسًا على عقب.
هو احتمال الحصول على رؤوس على كل من العملات العشر
إلخ.

ومع ذلك ، من الناحية العملية ، فإن مثل هذه المشكلات ليست شائعة جدًا ، ولهذا السبب ، فإن صيغة برنولي تقريبًا مرتبطة بشكل نمطي فقط بالاختبارات المتكررة. على الرغم من أنه ، كما تم توضيحه للتو ، فإن التكرار ليس ضروريًا على الإطلاق.

المهمة التالية لحل مستقل:

المهمة 3

رمي نرد 6 مرات. أوجد احتمال أن 5 نقاط:

أ) لن تسقط (ستنخفض 0 مرة);
ب) سوف تسقط مرتين ؛
ج) التسرب 5 مرات.

تقريب النتائج إلى 4 منازل عشرية.

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

من الواضح ، في الأمثلة قيد النظر ، أن بعض الأحداث أكثر احتمالا ، والبعض الآخر أقل احتمالا. لذلك ، على سبيل المثال ، مع 6 لفات من النرد ، حتى بدون أي حسابات ، فمن الواضح بشكل بديهي أن احتمالات أحداث النقطتين "أ" و "تكون" أكبر بكثير من احتمال سقوط "الخمسة" 5 مرات. الآن دعنا نضبط المهمة للبحث

أكبر عدد من تكرارات حدث في تجارب مستقلة

مرة أخرى ، على مستوى الحدس في المسألة رقم 3 ، يمكننا أن نستنتج أن العدد الأكثر احتمالًا لظهور "الخمسة" يساوي واحدًا - بعد كل شيء ، هناك ستة وجوه في المجموع ، و 6 لفات من النرد ، يجب أن يسقط كل منهم في المتوسط ​​مرة واحدة. أولئك الذين يرغبون يمكنهم حساب الاحتمال ومعرفة ما إذا كان أكبر من القيم "المتنافسة" و.

دعونا نصوغ معيارا صارما: للعثور على العدد الأكثر احتمالاً لوقوع حدث عشوائي في تجارب مستقلة (مع احتمال في كل تجربة)تسترشد بعدم المساواة المزدوجة التالية:

، و:

1) إذا كانت القيمة كسرية ، فهناك رقم واحد محتمل ؛
على وجه الخصوص ، إذا كان عددًا صحيحًا ، فهو الرقم الأكثر احتمالًا: ؛

2) إذا كان عددًا صحيحًا ، فهو موجود اثنينالأرقام الأكثر احتمالا: و.

العدد الأكثر احتمالاً لظهور "خمسة" في 6 لفات نرد يقع تحت الحالة الخاصة للفقرة الأولى:

من أجل دمج المادة ، سنحل مشكلتين:

المهمة 4

احتمال إصابة لاعب كرة السلة بالسلة عند رمي الكرة هو 0.3. أوجد العدد الأكثر احتمالا للضربات في 8 رميات والاحتمال المقابل.

وهذا ، إن لم يكن Terminator ، إذن على الأقل رياضي بدم بارد =)

المحلول: لتقدير العدد الأكثر احتمالية من الزيارات ، نستخدم عدم المساواة المزدوجة . في هذه الحالة:

- مجموع الرميات
- احتمال ضرب السلة مع كل رمية ؛
هو احتمال الخطأ في كل رمية.

وبالتالي ، فإن العدد الأكثر احتمالاً للزيارات في 8 لفات يكون ضمن الحدود التالية:

بما أن الحد الأيسر عدد كسري (البند 1)، ثم هناك قيمة واحدة أكثر احتمالًا ، ومن الواضح أنها تساوي.

باستخدام صيغة برنولي ، احسب احتمال وجود نتيجتين بالضبط في 8 رميات:

إجابه: - العدد الأكثر احتمالا للضربات بـ 8 رميات ،
هو الاحتمال المقابل.

مهمة مماثلة لحل مستقل:

المهمة 5

تم رمي العملة 9 مرات. أوجد احتمال العدد الأكثر احتمالاً لوقوع النسر

نموذج للحل والإجابة في نهاية الدرس.

بعد استطالة مثيرة ، دعنا نلقي نظرة على بعض المشاكل الأخرى ، وبعد ذلك سوف أشارك سر المقامرة واليانصيب الصحيحين.

المهمة 6

من بين المنتجات التي يتم إنتاجها على آلة أوتوماتيكية ، يوجد في المتوسط ​​60 ٪ من منتجات الدرجة الأولى. ما هو احتمال أن يكون هناك من بين 6 عناصر تم اختيارها عشوائيًا:

أ) من 2 إلى 4 منتجات من الدرجة الأولى ؛
ب) ما لا يقل عن 5 منتجات من الدرجة الأولى ؛
ج) منتج واحد على الأقل من درجة أقل.

لا تعتمد احتمالية إنتاج منتج من الدرجة الأولى على جودة المنتجات الأخرى المنتجة ، لذلك نحن نتحدث هنا عن الاختبار المستقل. حاول ألا تهمل تحليل الحالة ، وإلا فقد يتبين أن الأحداث يعتمدأو أن المشكلة شيء آخر تمامًا.

المحلول: الاحتمالية مشفرة كنسبة مئوية ، وأذكرك ، يجب أن تقسم على مائة: - احتمال أن يكون المنتج المحدد من الدرجة الأولى.
ثم: - احتمالية ألا تكون من الدرجة الأولى.

أ) حدث "من بين 6 منتجات تم اختيارها عشوائيًا ، سيكون هناك من 2 إلى 4 منتجات من الدرجة الأولى"يتكون من ثلاث نتائج غير متوافقة:

من بين المنتجات سيكون هناك 2 من الدرجة الأولى أو 3 الدرجة الأولى أو 4 درجة أولى.

من الأنسب التعامل مع النتائج بشكل منفصل. نستخدم صيغة برنولي ثلاث مرات :

- احتمالية أن يعمل ما لا يقل عن 5 من أصل ستة أجهزة كمبيوتر دون توقف خلال اليوم.

هذه القيمة لن تناسبنا أيضًا ، لأنها أقل من الموثوقية المطلوبة لمركز الكمبيوتر:

وبالتالي ، فإن ستة أجهزة كمبيوتر ليست كافية أيضًا. دعنا نضيف واحدًا آخر:

3) يجب أن يكون هناك أجهزة كمبيوتر في مركز الكمبيوتر. ثم يجب أن تعمل 5 أو 6 أو 7 أجهزة كمبيوتر دون فشل. باستخدام صيغة برنولي و إضافة نظرية لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة، نجد احتمال أن تعمل 5 أجهزة كمبيوتر على الأقل من أصل سبعة خلال اليوم دون فشل.