في البداية ، كونها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية للعبة النرد ، أصبحت نظرية الاحتمالية علمًا قويًا. كان فيرما وباسكال أول من أعطاها إطارًا رياضيًا.

من تأملات في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

يُعرف شخصان تدين لهما نظرية الاحتمالية بالعديد من الصيغ الأساسية ، وهما بليز باسكال وتوماس بايز ، باسم الأشخاص المتدينين بشدة ، وكان الأخير قسيسًا مشيخيًا. على ما يبدو ، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة ، ومنح الحظ السعيد لمفضلاتها ، أعطت قوة دافعة للبحث في هذا المجال. في الواقع ، أي القمارمع انتصاراتها وخسائرها ، إنها مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل الإثارة من Chevalier de Mere ، الذين في بالتساويكان مقامرًا وشخصًا لم يكن غير مبالٍ بالعلم ، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمال. كان De Mere مهتمًا بهذا السؤال: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج حتى يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟". السؤال الثاني الذي أثار اهتمام الرجل المحترم للغاية: "كيف يقسم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المنتهية؟" بالطبع ، نجح باسكال في الإجابة على كلا السؤالين عن دي مير ، الذي أصبح البادئ غير المتعمد لتطوير نظرية الاحتمال. من المثير للاهتمام أن شخصية دي مير بقيت معروفة في هذا المجال ، وليس في الأدب.

في السابق ، لم يقم أي عالم رياضيات بمحاولة حساب احتمالات الأحداث ، حيث كان يُعتقد أن هذا كان مجرد حل للتخمين. قدم بليز باسكال التعريف الأول لاحتمال وقوع حدث وأظهر أن هذا رقم محدد يمكن تبريره رياضيا. أصبحت نظرية الاحتمالات أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا اعتبرنا اختبارًا يمكن تكراره بدونه عدد محدودمرات ، ثم يمكنك تحديد حدث عشوائي. هذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظروف ثابتة.

لكي تكون قادرًا على العمل مع نتائج التجربة ، عادةً ما يتم الإشارة إلى الأحداث بالحروف A ، B ، C ، D ، E ...

احتمال وقوع حدث عشوائي

لتكون قادرًا على المضي قدمًا في الجزء الرياضي من الاحتمال ، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث هو مقياس رقمي لإمكانية حدوث حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال على أنه P (A) أو P (B).

نظرية الاحتمالية هي:

• موثوق بهاالحدث مضمون حدوثه كنتيجة للتجربة Р (Ω) = 1 ؛
• غير ممكنلا يمكن أن يحدث الحدث أبدًا Р (Ø) = 0 ؛
• عشوائييقع الحدث بين مؤكد ومستحيل ، أي أن احتمال حدوثه ممكن ، لكنه غير مضمون (احتمال حدث عشوائيدائمًا في حدود 0≤P (A) ≤1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدث ومجموع الأحداث A + B في الاعتبار عندما يتم حساب الحدث في تنفيذ أحد المكونات على الأقل ، A أو B ، أو كليهما - A و B.

فيما يتعلق ببعضها البعض ، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متناسق.
• غير متوافق.
• العكس (يستبعد أحدهما الآخر).
• يعتمد.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمالية متساوية ، فعندئذٍ ممكن بالتساوي.

إذا كان وقوع الحدث A لا يلغي احتمال وقوع الحدث B ، فعندئذٍ هم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A و B في نفس الوقت في نفس التجربة ، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. إرم عملة - مثال جيد: ظهور ذيول هو تلقائيا عدم ظهور الرؤوس.

الاحتمال لمجموع ذلك أحداث غير متوافقةيتكون من مجموع احتمالات كل حدث:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

إذا كان وقوع حدث ما يجعل حدوث حدث آخر أمرًا مستحيلًا ، فيُدعى العكس. ثم يتم تعيين أحدهما على أنه A ، والآخر - Ā (يُقرأ على أنه "ليس A"). يعني حدوث الحدث A أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة بمجموع احتمالات يساوي 1.

الأحداث التابعة لها التأثير المتبادل، تقليل أو زيادة احتمالية كل منهما.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالية ومجموعة الأحداث باستخدام الأمثلة.

التجربة التي سيتم تنفيذها هي سحب الكرات من الصندوق ، وتكون نتيجة كل تجربة نتيجة أولية.

الحدث هو أحد النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة برقم ستة ، إلخ.

رقم الاختبار 1. هناك 6 كرات ، ثلاث منها زرقاء بأرقام فردية ، والثلاث الأخرى حمراء بأرقام زوجية.

رقم الاختبار 2. 6 كرات تشارك من اللون الأزرقبأعداد من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال ، يمكننا تسمية المجموعات:

• حدث موثوق.بالإسبانية رقم 2 ، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" يمكن الاعتماد عليه ، لأن احتمال حدوثه هو 1 ، حيث أن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن تفويتها. في حين أن حدث "الحصول على الكرة بالرقم 1" يكون عشوائيًا.
• حدث مستحيل.بالإسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء ، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجواني" مستحيل ، لأن احتمال حدوثه هو صفر.
• أحداث مماثلة.بالإسبانية رقم 1 ، الأحداث "الحصول على الكرة بالرقم 2" و "الحصول على الكرة بالرقم 3" متساوية الاحتمال ، والأحداث "الحصول على الكرة برقم زوجي" و "الحصول على الكرة بالرقم 2 "احتمالات مختلفة.
• أحداث متوافقة.الحصول على ستة في عملية رمي النرد مرتين على التوالي أحداث متوافقة.
• أحداث غير متوافقة.في نفس الاسبانية لا يمكن الجمع بين الحدثين رقم 1 "الحصول على الكرة الحمراء" و "الحصول على الكرة برقم فردي" في نفس التجربة.
• الأحداث المعاكسة. معظم مثال رئيسيهذا هو رمي العملة ، عندما يكون رسم الرؤوس هو نفسه عدم رسم ذيول ، ومجموع احتمالاتهم دائمًا 1 (مجموعة كاملة).
• الأحداث التابعة. لذلك ، باللغة الإسبانية رقم 1 ، يمكنك أن تضع لنفسك هدف استخراج كرة حمراء مرتين على التوالي. يؤثر استخراجه أو عدم استخراجه في المرة الأولى على احتمال استخراجه للمرة الثانية.

يمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمال الثاني (40٪ و 60٪).

صيغة احتمالية الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة عن طريق نقل الموضوع إلى المستوى الرياضي. وهذا يعني أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمالية العالية" أو "الحد الأدنى من الاحتمال" يمكن ترجمتها إلى بيانات رقمية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر الحساب ، فإن تعريف احتمال حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُشار إلى الاحتمال بواسطة P (A) ، حيث P تعني كلمة "probability" ، والتي تُترجم من الفرنسية إلى "probability".

إذن ، صيغة احتمال وقوع حدث هي:

حيث m هو عدد النتائج المفضلة للحدث A ، n هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. دائمًا ما يكون احتمال وقوع حدث ما بين 0 و 1:

0 ≤ الفوسفور (أ) ≤ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الموصوفة سابقاً: 3 كرات زرقاء بأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار ، يمكن النظر في عدة مهام مختلفة:

• أ- قطرة الكرة الحمراء. هناك 3 كرات حمراء ، وهناك 6 خيارات في المجموع ، هذا هو أبسط مثال، حيث يكون احتمال حدوث حدث P (A) = 3/6 = 0.5.
• ب - إسقاط رقم زوجي. هناك 3 (2،4،6) أرقام زوجية في المجموع ، والعدد الإجمالي للخيارات العددية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P (B) = 3/6 = 0.5.
• ج - إسقاط رقم أكبر من 2. هناك 4 (3،4،5،6) من هذه الخيارات المجموعالنتائج المحتملة 6. احتمال وقوع الحدث С يساوي Р (С) = 4/6 = 0.67.

كما يتضح من الحسابات ، يكون للحدث C احتمالية أعلى ، نظرًا لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى منه في A و B.

أحداث غير متوافقة

لا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما في الاسبانية رقم 1 ، من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وحمراء في نفس الوقت. أي يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. بالطريقة نفسها ، لا يمكن أن يظهر الرقم الفردي والزوجي في النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال حدثين بمثابة احتمال لمجموعهما أو حاصل ضربهما. يعتبر مجموع هذه الأحداث A + B حدثًا يتكون من ظهور حدث A أو B ، وحاصل AB الخاص بهم - في ظهور كليهما. على سبيل المثال ، ظهور اثنين من الستات مرة واحدة على وجوه نردتين في رمية واحدة.

مجموع الأحداث المتعددة هو حدث يشير إلى حدوث واحد منها على الأقل. نتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات ، كقاعدة عامة ، يشير استخدام الاتحاد "و" إلى المجموع أو الاتحاد "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا تم النظر في الاحتمال أحداث مشتركة، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

على سبيل المثال: نحسب احتمال ذلك باللغة الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء سوف يسقط رقمًا بين 1 و 4. لن نحسب في إجراء واحد ، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك ، في مثل هذه التجربة هناك 6 كرات فقط أو 6 من جميع النتائج الممكنة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6 ، واحتمال الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة لمجموعة كاملة هو 1.

لذا ، إذا قمنا في التجربة باستخدام مكعب بجمع احتمالات الحصول على جميع الأرقام ، فنتيجة لذلك نحصل على واحد.

وينطبق هذا أيضًا على الأحداث المعاكسة ، على سبيل المثال ، في تجربة عملة معدنية ، حيث يكون أحد جانبيها هو الحدث A ، والآخر هو الحدث المعاكس Ā ، كما هو معروف ،

Р (А) + Р (Ā) = 1

احتمال إنتاج أحداث غير متوافقة

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عند النظر في حدوث حدثين غير متوافقين أو أكثر في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A و B فيه في نفس الوقت يساوي ناتج احتمالاتهما ، أو:

الفوسفور (أ * ب) = ف (أ) * ف (ب)

على سبيل المثال ، احتمال أن في رقم 1 نتيجة محاولتين ، ستظهر كرة زرقاء مرتين ، تساوي

أي أن احتمال وقوع حدث عندما ، نتيجة محاولتين لاستخراج الكرات ، سيتم استخراج الكرات الزرقاء فقط ، هو 25٪. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن ظهور أحدهما مع ظهور الآخر. على الرغم من حقيقة أنها مشتركة ، فإن احتمال عدم وجودها الأحداث التابعة. على سبيل المثال ، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يسقط الرقم 6 على كليهما. على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في نفس الوقت ، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن تسقط ستة واحدة فقط ، بينما لا يوجد للنرد الثاني التأثير عليه.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال لمجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

إن احتمال مجموع الأحداث A و B ، والمشتركين فيما يتعلق ببعضهما البعض ، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال منتجهم (أي التنفيذ المشترك):

مفصل R. (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)

افترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم حدث أ - إصابة الهدف في المحاولة الأولى ، ب - في المحاولة الثانية. هذه الأحداث مشتركة ، لأنه من الممكن إصابة الهدف من اللقطة الأولى ومن اللقطة الثانية. لكن الأحداث لا تتوقف. ما هو احتمالية إصابة الهدف برقطتين (واحدة على الأقل)؟ حسب الصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

والجواب على السؤال: "احتمال إصابة الهدف بضربتين 64٪".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمالية وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة ، حيث يكون احتمال الحدوث المشترك لحدث P (AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية من أجل الوضوح

ومن المثير للاهتمام ، أن احتمال مجموع الأحداث المشتركة يمكن تمثيله كمنطقتين A و B تتقاطعان مع بعضهما البعض. كما ترى من الصورة ، فإن مساحة اتحادهم تساوي المساحة الكلية مطروحًا منها مساحة تقاطعهم. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن حلول هندسيةليس من غير المألوف في نظرية الاحتمالات.

يعد تعريف احتمال مجموع مجموعة (أكثر من اثنين) من الأحداث المشتركة مرهقًا إلى حد ما. لحسابها ، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

يتم استدعاء الأحداث التابعة إذا كان حدوث أحدها (أ) يؤثر على احتمال حدوث الآخر (ب). علاوة على ذلك ، يتم أخذ تأثير حدوث كل من الحدث A وعدم حدوثه في الاعتبار. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف ، إلا أن واحدًا منها فقط يعتمد على (B). تم الإشارة إلى الاحتمال المعتاد على أنه P (B) أو الاحتمال أحداث مستقلة. في حالة المعالين ، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B) ، وهو احتمال الحدث التابع B بشرط وقوع الحدث A (الفرضية) ، والذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا ، لذا فإن له أيضًا احتمالًا يجب ويمكن أخذه في الاعتبار في الحسابات. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة أوراق اللعب القياسية.

في مثال مجموعة الأوراق المكونة من 36 بطاقة ، ضع في اعتبارك الأحداث التابعة. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من سطح السفينة بدلة ماسية ، إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

1. دف صغير.
2. حلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذا ، إذا كان الخيار الأول صحيحًا ، وهو بطاقة واحدة (35) و 1 ماسة (8) أقل في المجموعة ، فإن احتمال الحدث B:

الفوسفور أ (ب) = 8/35 = 0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا ، فهناك 35 بطاقة في المجموعة ، و الرقم الإجماليالدف (9) ، ثم احتمال الحدث التالي ب:

الفوسفور أ (ب) = 9/35 = 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بحقيقة أن البطاقة الأولى عبارة عن ماسة ، فإن احتمال الحدث B يتناقص والعكس صحيح.

مضاعفة الأحداث التابعة

بناءً على الفصل السابق ، نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة ، ولكن في جوهره ، هو كذلك شخصية عشوائية. احتمال حدوث هذا الحدث ، أي استخراج الدف من مجموعة أوراق اللعب ، يساوي:

الفوسفور (أ) = 9/36 = 1/4

بما أن النظرية لا توجد من تلقاء نفسها ، بل هي مدعوة للعمل فيها اهداف عملية، من الإنصاف ملاحظة أنه غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى احتمالية منتج الأحداث التابعة.

وفقًا للنظرية حول ناتج احتمالات الأحداث التابعة ، فإن احتمال حدوث أحداث مرتبطة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال حدث واحد A ، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (اعتمادًا على A):

ف (أ ب) \ u003d ف (أ) * ف أ (ب)

ثم في المثال الذي يحتوي على سطح السفينة ، فإن احتمال سحب ورقتين ببدلة من الماس هو:

9/36 * 8/35 = 0.0571 أو 5.7٪

واحتمال الاستخراج ليس الماس في البداية ثم الماس يساوي:

27/36 * 9/35 = 0.19 أو 19٪

يمكن ملاحظة أن احتمال حدوث الحدث B أكبر ، بشرط أن يتم رسم بطاقة من نوع آخر غير الماسة أولاً. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تمامًا.

إجمالي احتمال وقوع حدث

عندما تكون المهمة الاحتمالات الشرطيةتصبح متعددة الأوجه ، لا يمكن حسابها بالطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين ، وهما A1 ، A2 ، ... ، A n ، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث تحت الشرط:

• P (A i)> 0 ، i = 1،2 ، ...
• A i ∩ A j = Ø، i ≠ j.
• Σ ل أ ل = Ω.

إذن الصيغة الاحتمال الكاملللحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1 ، A2 ، ... ، A n هي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي أمرًا ضروريًا في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي ، والإحصاء ، والفيزياء ، وما إلى ذلك ، نظرًا لأن بعض العمليات لا يمكن وصفها بشكل حتمي ، نظرًا لأنها احتمالية بحد ذاتها ، هناك حاجة إلى طرق عمل خاصة. يمكن استخدام احتمالية نظرية الحدث في أي مجال تقني كطريقة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو عطل.

يمكن القول أنه من خلال التعرف على الاحتمال ، فإننا بطريقة ما نتخذ خطوة نظرية في المستقبل ، بالنظر إليها من خلال منظور الصيغ.

كلاسيك و التعريف الإحصائيالاحتمالات

إلى عن على الأنشطة العمليةمن الضروري أن تكون قادرًا على مقارنة الأحداث وفقًا لدرجة احتمالية حدوثها. انصح حالة كلاسيكية. تحتوي الجرة على 10 كرات ، 8 منها لون أبيض، 2 أسود. من الواضح أن حدث "سيتم سحب كرة بيضاء من الجرة" وحدث "سيتم سحب كرة سوداء من الجرة" درجات متفاوتهاحتمال حدوثها. لذلك ، لمقارنة الأحداث ، هناك حاجة إلى قياس كمي معين.

مقياس كمياحتمال وقوع حدث احتمالا . معظم استخدام واسعحصلنا على تعريفين لاحتمال وقوع حدث: كلاسيكي وإحصائي.

التعريف الكلاسيكيالاحتمال مرتبط بمفهوم النتيجة الإيجابية. دعونا نتناول هذا بمزيد من التفصيل.

دع نتائج بعض الاختبارات تشكل مجموعة كاملة من الأحداث وتكون محتملة بنفس القدر ، أي ممكنة بشكل فريد وغير متسقة وممكنة بشكل متساوٍ. تسمى هذه النتائج النتائج الأولية، أو حالات. يقال أن الاختبار تم تقليله إلى مخطط حالةأو " مخطط جرة"، لان يمكن استبدال أي مشكلة احتمالية لمثل هذا الاختبار بمشكلة مكافئة مع الجرار والكرات ذات الألوان المختلفة.

يسمى الخروج ملائمحدث لكنإذا كان وقوع هذه الحالة يستلزم وقوع الحدث لكن.

حسب التعريف الكلاسيكي احتمالية الحدث A يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة لهذا الحدث إلى الرقم الإجماليالنتائج، بمعنى آخر.

,

(1.1)

أين ف (أ)- احتمال وقوع حدث لكن; م- عدد القضايا المؤاتية للحدث لكن; نهو العدد الإجمالي للحالات.

المثال 1.1.عند رمي النرد ، هناك ست نتائج محتملة - خسارة 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 نقاط. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي من النقاط؟

المحلول. الجميع ن= 6 نتائج تشكل مجموعة كاملة من الأحداث وهي متساوية الاحتمال ، أي ممكنة بشكل فريد وغير متسقة وممكنة بشكل متساوٍ. الحدث أ - "ظهور عدد زوجي من النقاط" - مفضل بثلاث نتائج (حالات) - خسارة 2 أو 4 أو 6 نقاط. وفقًا للصيغة الكلاسيكية لاحتمالية حدث ما ، نحصل عليها

ف (أ) = = . ◄

بناءً على التعريف الكلاسيكي لاحتمالية حدث ما ، نلاحظ خصائصه:

1. يقع احتمال وقوع أي حدث بين صفر وواحد ، أي

0 ≤ ص(لكن) ≤ 1.

2. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا.

3. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

كما حدد سابقا، التعريف الكلاسيكيالاحتمالية قابلة للتطبيق فقط لتلك الأحداث التي قد تظهر نتيجة للتجارب التي لها تناسق في النتائج المحتملة ، أي قابلة للاختزال إلى مخطط الحالات. ومع ذلك ، هناك فئة كبيرة من الأحداث التي لا يمكن حساب احتمالاتها باستخدام التعريف الكلاسيكي.

على سبيل المثال ، إذا افترضنا أن العملة مفلطحة ، فمن الواضح أن أحداث "ظهور شعار النبالة" و "ظهور ذيول" لا يمكن اعتبارهما ممكنين بشكل متساوٍ. لذلك ، فإن صيغة تحديد الاحتمال وفقًا للمخطط الكلاسيكي لا تنطبق في هذه الحالة.

ومع ذلك ، هناك نهج آخر لتقييم احتمالية الأحداث ، بناءً على عدد مرات حدوث حدث معين في الاختبارات التي يتم إجراؤها. في هذه الحالة ، يتم استخدام التعريف الإحصائي للاحتمال.

الاحتمال الإحصائيالحدث A هو التردد النسبي (التردد) لحدوث هذا الحدث في n من الاختبارات التي تم إجراؤها ، أي

,

(1.2)

أين ص * (أ)هو الاحتمال الإحصائي لحدث ما لكن; ث (أ)هو التكرار النسبي للحدث لكن; مهو عدد المحاكمات التي وقع فيها الحدث لكن; نهو العدد الإجمالي للمحاكمات.

على عكس الاحتمال الرياضي ف (أ)يعتبر الاحتمال الإحصائي في التعريف الكلاسيكي ص * (أ)هي خاصية يختبر, تجريبي. بعبارات أخرى، الاحتمال الإحصائيالتطورات لكنيتم استدعاء الرقم ، بالنسبة إلى التردد النسبي الذي تم تثبيته (ثابت) ث (أ)مع زيادة غير محدودة في عدد الاختبارات التي يتم إجراؤها في نفس مجموعة الشروط.

على سبيل المثال ، عندما يقولون عن مطلق النار إنه يصيب هدفًا باحتمال 0.95 ، فهذا يعني أنه من بين مائة طلقة أطلقها في ظل ظروف معينة (نفس الهدف على نفس المسافة ، نفس البندقية ، إلخ. ) ، في المتوسط ​​هناك حوالي 95 ناجحًا. بطبيعة الحال ، لن تحصل كل مائة على 95 طلقة ناجحة ، وفي بعض الأحيان سيكون هناك عدد أقل ، وأحيانًا أكثر ، ولكن في المتوسط ​​، مع تكرار إطلاق النار في نفس الظروف ، ستبقى هذه النسبة المئوية من الضربات دون تغيير. عادة ما يكون الرقم 0.95 ، والذي يعمل كمؤشر على مهارة الرامي ، مرتفعًا جدًا مستقر، بمعنى آخر. ستكون نسبة الضربات في معظم عمليات إطلاق النار هي نفسها تقريبًا بالنسبة إلى مطلق النار ، فقط في حالات نادرة تنحرف بأي شكل من الأشكال عن متوسط ​​قيمتها.

عيب آخر للتعريف الكلاسيكي للاحتمال ( 1.1 ) ، مما يحد من تطبيقه هو أنه يفترض عددًا محدودًا من نتائج الاختبار المحتملة. في بعض الحالات ، يمكن التغلب على هذا العيب باستخدام التعريف الهندسيالاحتمالات ، أي إيجاد احتمال إصابة نقطة في منطقة معينة (جزء ، جزء من مستو ، إلخ).

دع الشكل المسطح زيشكل جزءا شخصية مسطحة جي(الشكل 1.1). على الشكل جييتم إلقاء نقطة بشكل عشوائي. هذا يعني أن جميع النقاط في المنطقة جي"يساوي" فيما يتعلق بضربه بنقطة عشوائية. بافتراض أن احتمالية وقوع حدث لكن- ضرب نقطة القيت على الشكل ز- يتناسب مع مساحة هذا الشكل ولا يعتمد على موقعه بالنسبة إلى جي، ولا من النموذج ز، تجد

أساسيات نظرية الاحتمالية

يخطط:

1. أحداث عشوائية

2. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

3. حساب احتمالات الحدث والتوافقيات

4. الاحتمال الهندسي

المعلومات النظرية

الأحداث العشوائية.

ظاهرة عشوائية- ظاهرة يتم تحديد نتائجها بشكل لا لبس فيه. يمكن تفسير هذا المفهوم بالأحرى بالمعنى الواسع. أي: كل شيء في الطبيعة عرضي تمامًا ، وظهور وولادة أي فرد هو ظاهرة عشوائية ، واختيار البضائع في المتجر هو أيضًا ظاهرة عشوائية ، والحصول على علامة في الامتحان هو ظاهرة عشوائية ، والمرض والشفاء عشوائي. الظواهر ، إلخ.

أمثلة على الظواهر العشوائية:

~ إطلاق نار من مسدس مثبت تحته زاوية معينةفي الأفق. ضربها على الهدف هو عرضي ، ولكن ضرب قذيفة في "شوكة" معينة هو نمط. يمكنك تحديد المسافة الأقرب من والتي لن تطير بعدها المقذوف. الحصول على بعض "تشتت شوكة القذائف"

~ يتم وزن نفس الجسم عدة مرات. بالمعنى الدقيق للكلمة ، سيتم الحصول على نتائج مختلفة في كل مرة ، وإن كانت تختلف بمقدار ضئيل للغاية ، ولكنها مختلفة.

~ للطائرة التي تحلق على طول نفس المسار ممر طيران معين يمكن للطائرة المناورة فيه ، ولكن لن يكون لها نفس المسار تمامًا

~ لن يتمكن الرياضي مطلقًا من الركض في نفس المسافة في نفس الوقت. ستكون نتائجه أيضًا ضمن نطاق عددي معين.

الخبرة ، التجربة ، الملاحظة هي اختبارات

محاكمة- مراقبة أو استيفاء مجموعة معينة من الشروط التي يتم إجراؤها بشكل متكرر ، وتتكرر بانتظام في نفس التسلسل ، والمدة ، مع مراعاة معايير أخرى متطابقة.

لنفكر في أداء الرياضي لتسديدة على هدف. لكي يتم إنتاجها ، من الضروري استيفاء شروط مثل إعداد الرياضي ، وتحميل السلاح ، والتصويب ، وما إلى ذلك. "ضرب" و "يغيب" هي أحداث نتيجة اللقطة.

حدث- نتيجة الاختبار النوعي.

قد يقع أو لا يقع حدث يشار إلى الأحداث بأحرف كبيرة بأحرف لاتينية. على سبيل المثال: D = "ضرب مطلق النار الهدف". S = "خارج كرة بيضاء". K =" مأخوذة عشوائيًا بطاقة اليانصيبلا ربح."

رمي قطعة نقود هو اختبار. سقوط "شعار النبالة" حدث واحد ، وسقوط "رقمها" هو الحدث الثاني.

أي اختبار ينطوي على وقوع عدة أحداث. قد تكون هناك حاجة لبعض منهم هذه اللحظةوقت الباحث ، والبعض الآخر غير ضروري.

يسمى الحدث عشوائي، إذا كان في إطار تنفيذ مجموعة معينة من الشروط سيمكن أن يحدث أو لا يحدث. في ما يلي ، بدلًا من أن نقول "تحققت مجموعة الشروط" ، نقول بإيجاز: "تم إجراء الاختبار". وبالتالي ، سيتم اعتبار الحدث كنتيجة للاختبار.

~ يطلق النار على هدف مقسم إلى أربع مناطق. اللقطة اختبار. ضرب منطقة معينة من الهدف هو حدث.

~ هناك كرات ملونة في الجرة. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من الجرة. إخراج الكرة من الجرة هو اختبار. مظهر الكرة لون معين- حدث.

أنواع الأحداث العشوائية

1. يقال أن الأحداث غير متوافقةإذا كان وقوع أحدهما يمنع وقوع أحداث أخرى في نفس المحاكمة.

~ تم أخذ جزء عشوائيًا من صندوق به أجزاء. يستثني مظهر الجزء القياسي مظهر الجزء غير القياسي. الأحداث ظهر جزء قياسي "وظهر مع جزء غير قياسي" - غير متوافق.

~ رُميَت عملة. ظهور "شعار النبالة" يستثني ظهور النقش. الأحداث "ظهر شعار النبالة" و "ظهر نقش" غير متوافقين.

عدة أحداث تتشكل مجموعة كاملةإذا ظهر واحد منهم على الأقل نتيجة للاختبار. وبعبارة أخرى ، فإن وقوع حدث واحد على الأقل من أحداث المجموعة الكاملة هو حدث معين.

على وجه الخصوص ، إذا كانت الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة غير متوافقة مع الزوج ، فسيظهر حدث واحد فقط نتيجة للاختبار. هذا حالة خاصةيمثل لنا أعظم مصلحة، حيث سيتم استخدامه أدناه.

تم شراء تذكرتي يانصيب النقود والملابس. يجب أن يقع حدث واحد فقط من الأحداث التالية:

1. "سقطت المكاسب على التذكرة الأولى ولم تقع على الثانية" ،

2. "المكاسب لم تقع على التذكرة الأولى وسقطت على الثانية" ،

3. "سقطت المكاسب على كلتا التذكرتين" ،

4. "كلا التذكرتين لم تفز".

تشكل هذه الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية ،

~ أطلق مطلق النار رصاصة على الهدف. من المؤكد حدوث أحد الحدثين التاليين: ضرب ، تفوت. يشكل هذان الحدثان المنفصلان أيضًا مجموعة كاملة.

2. يتم استدعاء الأحداث ممكن بالتساويإذا كان هناك سبب للاعتقاد بأن أيًا منهما ليس ممكنًا أكثر من الآخر.

~ ظهور "شعار النبالة" وظهور نقش عند رمي عملة من الأحداث المحتملة بنفس القدر. في الواقع ، من المفترض أن العملة مصنوعة من مادة متجانسة ، ولها شكل أسطواني منتظم ، ولا يؤثر وجود العملة المعدنية على فقدان جانب أو آخر من وجه العملة.

~ ظهور عدد واحد أو آخر من النقاط على نرد رمي هو حدث محتمل بنفس القدر. في الواقع ، من المفترض أن حجر النردمصنوع من مادة متجانسة ، له شكل متعدد الوجوه العادية، ووجود النقاط ليس له تأثير على سقوط أي وجه.

3. يسمى الحدث أصلي،إذا كان لا يمكن أن يحدث

4. يسمى الحدث غير موثوقإذا كان لا يمكن أن يحدث.

5. يسمى الحدث عكسلحدث ما إذا كان يتكون من عدم حدوث حدث معين. الأحداث المعاكسة ليست متوافقة ، ولكن يجب أن يحدث أحدها بالضرورة. يشار إلى الأحداث المعاكسة عادة بالنفي ، أي شرطة مكتوبة فوق الحرف. الأحداث متعاكسة: A و ؛ U و Ū ، إلخ. .

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

هناك عدة تعريفات لهذا المفهوم. دعونا نعطي تعريف يسمى الكلاسيكية. بعد ذلك ، نشير الجوانب الضعيفةمن هذا التعريف ونقدم تعريفات أخرى تسمح لنا بالتغلب على أوجه القصور في التعريف الكلاسيكي.

ضع في اعتبارك الموقف: يحتوي الصندوق على 6 كرات متطابقة ، 2 منها حمراء ، و 3 زرقاء وواحدة بيضاء. من الواضح أن إمكانية رسم كرة ملونة (أي حمراء أو زرقاء) عشوائيًا من جرة أكبر من إمكانية رسم كرة بيضاء. يمكن وصف هذا الاحتمال برقم يسمى احتمالية وقوع حدث (ظهور كرة ملونة).

احتمالا- رقم يميز درجة احتمالية وقوع الحدث.

في الحالة قيد النظر ، نشير إلى:

الحدث أ = "سحب كرة ملونة".

يتم استدعاء كل نتيجة من النتائج المحتملة للاختبار (يتكون الاختبار من استخراج كرة من الجرة) النتيجة الأولية (المحتملة) والحدث.يمكن الإشارة إلى النتائج الأولية بأحرف مع فهارس أدناه ، على سبيل المثال: ك 1 ، ك 2.

في مثالنا ، هناك 6 كرات ، لذلك هناك 6 نتائج محتملة: ظهرت كرة بيضاء ؛ ظهرت كرة حمراء ظهرت كرة زرقاء ، وهكذا. من السهل أن ترى أن هذه النتائج تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة مع الزوج (ستظهر كرة واحدة بالضرورة) وهي متساوية الاحتمال (يتم إخراج الكرة عشوائيًا ، والكرات متشابهة ومختلطة تمامًا).

النتائج الأولية ، التي يحدث فيها الحدث الذي يهمنا ، سوف ندعو نتائج مواتيةهذا الحدث. في مثالنا ، يتم تفضيل الحدث لكن(ظهور كرة ملونة) النتائج الخمس التالية:

هكذا الحدث لكنلوحظ إذا حدث أحد في الاختبار ، بغض النظر عن النتائج الأولية التي تفضلها لكن.هذا شكل أي كرة ملونة ، يوجد منها 5 قطع في الصندوق

في هذا المثال النتائج الأولية 6 ؛ منها 5 تفضل الحدث لكن.بالتالي، ف (أ) = 5/6. يعطي هذا الرقم هذا التقدير الكمي لدرجة احتمالية ظهور كرة ملونة.

تعريف الاحتمالية:

احتمالية الحدث أهي نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة الممكنة والمتساوية التي تشكل مجموعة كاملة.

P (A) = m / n أو P (A) = m: n ، حيث:

م هو عدد النتائج الأولية التي تفضل لكن؛

ص- عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للاختبار.

من المفترض هنا أن النتائج الأولية غير متوافقة ، واحتمالية متساوية وتشكل مجموعة كاملة.

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمالية:

1. احتمال حدث معين يساوي واحد.

في الواقع ، إذا كان الحدث موثوقًا به ، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة م = نومن ثم ص = 1

2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تكون أي من النتائج الأولية للمحاكمة في صالح الحدث. في هذه الحالة م = 0 ، ومن ثم ف = 0.

3.احتمالية وقوع حدث عشوائي رقم موجب، عدد إيجابيبين صفر وواحد. 0ر< n.

في الموضوعات اللاحقة ، سيتم إعطاء النظريات التي تسمح ، من الاحتمالات المعروفة لبعض الأحداث ، بالعثور على احتمالات الأحداث الأخرى.

قياس. هناك 6 فتيات و 4 فتيان في مجموعة الطلاب. ما هو احتمال أن تكون الطالبة التي تم اختيارها عشوائيًا فتاة؟ هل سيكون شابا؟

p dev = 6/10 = 0.6 p jun = 4/10 = 0.4

إن مفهوم "الاحتمال" في الدورات الحديثة الصارمة لنظرية الاحتمالات مبني على أساس نظري المجموعة. دعنا نلقي نظرة على بعض من هذا النهج.

افترض أنه نتيجة للاختبار حدث حدث واحد فقط من الأحداث التالية: ث أنا(أنا = 1 ، 2 ، .... ن). التطورات ث أنا، يسمى الأحداث الابتدائية (النتائج الأولية). اويترتب على ذلك أن الأحداث الأولية غير متوافقة مع الزوج. يتم استدعاء مجموعة جميع الأحداث الأولية التي يمكن أن تظهر في التجربة مساحة الحدث الابتدائيةΩ (حرف أوميغا يوناني كبير) ، والأحداث الأولية نفسها - نقطة في هذا الفضاء..

حدث لكنتم تحديده بمجموعة فرعية (من الفضاء) التي تعتبر عناصرها الأولية النتائج المفضلة لكن؛حدث فيهي مجموعة فرعية عناصرها هي النتائج المفضلة في،وهكذا ، فإن مجموعة جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث في الاختبار هي مجموعة جميع مجموعات فرعية من Ω. نفسها تحدث مع أي نتيجة للاختبار ، وبالتالي فإن Ω حدث معين ؛ مجموعة فرعية فارغة من الفضاء هي حدث مستحيل (لا يحدث لأي نتيجة للاختبار).

يتم تمييز الأحداث الأولية من بين جميع الأحداث حسب الموضوعات ، "كل منها يحتوي على عنصر واحد فقط Ω

لكل نتيجة أولية ث أناتطابق رقم موجب ص طهو احتمال هذه النتيجة ، ومجموع الكل ص طيساوي 1 أو بعلامة المجموع ، ستتم كتابة هذه الحقيقة كتعبير:

بحكم التعريف ، الاحتمال ف (أ)التطورات لكنيساوي مجموع احتمالات تفضيل النتائج الأولية لكن.لذلك ، فإن احتمال حدث معين يساوي واحدًا ، المستحيل - إلى الصفر ، تعسفي - بين صفر وواحد.

دعونا ننظر في حالة معينة مهمة ، عندما تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال ، حيث يكون عدد النتائج مساويًا لـ n ومجموع احتمالات جميع النتائج يساوي واحدًا ؛ ومن ثم فإن احتمال كل نتيجة هو 1 / ن. دع الحدث لكنتفضل م النتائج.

احتمالية الحدث لكنيساوي مجموع احتمالات تفضيل النتائج لكن:

الفوسفور (أ) = 1 / ن + 1 / ن + ... + 1 / ن = ن 1 / ن = 1

يتم الحصول على التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

لا تزال هناك بديهينهج لمفهوم "الاحتمال". في نظام البديهيات المقترحة. Kolmogorov A.N. ، المفاهيم غير المحددة هي حدث واحتمال أولي. يعتمد بناء نظرية احتمالية كاملة منطقيًا على التعريف البديهي للحدث العشوائي واحتمالية حدوثه.

فيما يلي البديهيات التي تحدد الاحتمال:

1. كل حدث لكنتعيين رقم حقيقي غير سالب ص (أ).هذا الرقم يسمى احتمالية الحدث. لكن.

2. احتمال حدث معين يساوي واحدًا:

3. إن احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث غير المتوافقة الزوجية يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

بناءً على هذه البديهيات ، تُشتق خصائص الاحتمالات للعلاقة بينهما كنظريات.

احتمالاالحدث هو نسبة عدد النتائج الأولية التي تفضل حدثًا معينًا إلى عدد جميع النتائج الممكنة المتساوية للخبرة التي قد يحدث فيها هذا الحدث. يُشار إلى احتمال وقوع حدث A بواسطة P (A) (هنا P هو الحرف الأول من الكلمة الفرنسية probabilite - probabilite - probabilite). حسب التعريف
(1.2.1)
أين هو عدد النتائج الأولية التي تفضل الحدث أ ؛ - عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للتجربة ، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث.
يسمى هذا التعريف للاحتمال الكلاسيكي. نشأت في المرحلة الأولى من تطوير نظرية الاحتمالات.

احتمال وقوع حدث له الخصائص التالية:
1. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا. دعنا نحدد حدثًا معينًا بالحرف. لحدث معين ، لذلك
(1.2.2)
2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. نشير إلى الحدث المستحيل بالحرف. لحدث مستحيل ، لذلك
(1.2.3)
3. يتم التعبير عن احتمال وقوع حدث عشوائي في صورة عدد موجب أقل من واحد. منذ المتباينات ، أو راضون عن حدث عشوائي ، إذن
(1.2.4)
4. إن احتمال أي حدث يحقق المتباينات
(1.2.5)
هذا يتبع من العلاقات (1.2.2) - (1.2.4).

مثال 1تحتوي الجرة على 10 كرات من نفس الحجم والوزن ، 4 منها حمراء و 6 زرقاء. يتم سحب كرة واحدة من الجرة. ما هو احتمال أن تكون الكرة المسحوبة زرقاء؟

المحلول. سيتم الإشارة إلى الحدث "الكرة المسحوبة باللون الأزرق" بالحرف أ. هذه التجربة لها 10 نتائج أولية متساوية ، منها 6 لصالح الحدث أ. وفقًا للصيغة (1.2.1) ، نحصل على

مثال 2جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 30 مكتوبة على بطاقات متطابقة وتوضع في وعاء. بعد خلط البطاقات جيدًا ، تتم إزالة بطاقة واحدة من الجرة. ما هو احتمال أن الرقم المرسوم على البطاقة هو مضاعف 5؟

المحلول.قم بالإشارة إلى الحدث "الرقم الموجود على البطاقة المأخوذة هو مضاعف 5". في هذا الاختبار ، هناك 30 نتيجة أولية محتملة متساوية ، منها 6 نتائج لصالح الحدث A (الأرقام 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30). بالتالي،

مثال 3يتم رمي نردتين ويتم احتساب النتيجة الإجمالية. الوجوه العلوية. أوجد احتمالية الحدث ب ، والذي يتكون من حقيقة أن الوجوه العلوية للمكعبات سيكون لها إجمالي 9 نقاط.

المحلول.هناك 6 2 = 36 نتيجة أولية محتملة متساوية في هذه التجربة. يتم تفضيل الحدث B من خلال 4 نتائج: (3 ؛ 6) ، (4 ؛ 5) ، (5 ؛ 4) ، (6 ؛ 3) ، لذلك

مثال 4. تم اختياره بشكل عشوائي عدد طبيعيلا يزيد عن 10. ما هو احتمال أن يكون هذا العدد أوليًا؟

المحلول.قم بالإشارة بالحرف C إلى الحدث "أن الرقم المختار أولي". في هذه الحالة ، ن = 10 ، م = 4 (الأعداد الأولية 2 ، 3 ، 5 ، 7). لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب

مثال 5يتم رمي عملتين متماثلتين. ما هو احتمال وجود أرقام على الجانبين العلويين لكلتا العمالتين؟

المحلول.دعنا نشير بالحرف D إلى الحدث "كان هناك رقم على الجانب العلوي من كل عملة". هناك 4 نتائج أولية متساوية في هذا الاختبار: (G ، G) ، (G ، C) ، (C ، G) ، (C ، C). (يعني الترميز (G ، C) أنه يوجد على العملة الأولى شعار النبالة ، في الثانية - رقم). يفضل الحدث D نتيجة أولية واحدة (C ، C). بما أن م = 1 ، ن = 4 ، إذن

مثال 6ما هو احتمال أن الأرقام في عدد مكون من رقمين تم اختياره عشوائيًا هي نفسها؟

المحلول.الأرقام المكونة من رقمين هي أرقام من 10 إلى 99 ؛ يوجد 90 رقمًا في المجموع. 9 أرقام لها نفس الأرقام (هذه هي الأرقام 11 ، 22 ، 33 ، 44 ، 55 ، 66 ، 77 ، 88 ، 99). بما أن م = 9 ، ن = 90 في هذه الحالة ، إذن
,
حيث A هو حدث "الرقم الذي يحتوي على نفس الأرقام".

مثال 7من حروف الكلمة التفاضليهيتم اختيار حرف واحد عشوائيًا. ما هو احتمال أن يكون هذا الحرف: أ) حرف متحرك ب) حرف ساكن ج) حرف ح?

المحلول. يوجد 12 حرفًا في كلمة التفاضل ، منها 5 أحرف متحركة و 7 أحرف ساكنة. حروف حهذه الكلمة لا. دعنا نشير إلى الأحداث: أ - "حرف متحرك" ، ب - "ساكن" ، ج - "حرف ح". عدد النتائج الأولية المواتية: - للحدث A ، - للحدث B ، - للحدث C. منذ n \ u003d 12 ، إذن
، و .

المثال 8يتم رمي نردتين ، ويتم تدوين عدد النقاط على الوجه العلوي لكل نرد. أوجد احتمال أن كلا النرد لهما نفس عدد النقاط.

المحلول.دعونا نشير إلى هذا الحدث بالحرف أ. يتم تفضيل الحدث A من خلال 6 نتائج أولية: (1 ؛]) ، (2 ؛ 2) ، (3 ؛ 3) ، (4 ؛ 4) ، (5 ؛ 5) ، ( 6 ؛ 6). في المجموع ، هناك نتائج أولية محتملة متساوية والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، في هذه الحالة n = 6 2 = 36. لذا فإن الاحتمال المطلوب

المثال 9الكتاب يحتوي على 300 صفحة. ما هو احتمال أن الصفحة المفتوحة عشوائيًا سيكون لها رقم تسلسلي من مضاعفات 5؟

المحلول.ويترتب على ظروف المشكلة أنه سيكون هناك 300 = n من جميع النتائج الأولية الممكنة المتساوية التي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، ومن بينها m = 60 تفضل حدوث الحدث المحدد. في الواقع ، الرقم المضاعف للعدد 5 يكون على الشكل 5k ، حيث k هو رقم طبيعي ، ومن أين . بالتالي،
، حيث A - حدث "الصفحة" له رقم تسلسلي مضاعف لـ 5 ".

المثال 10. يتم رمي نردتين ، يتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. ما الذي يحتمل أن تحصل على إجمالي 7 أو 8؟

المحلول. دعونا نحدد الأحداث: أ - "سقطت 7 نقاط" ، ب - "سقطت 8 نقاط". يتم تفضيل الحدث A من خلال 6 نتائج أولية: (1 ؛ 6) ، (2 ؛ 5) ، (3 ؛ 4) ، (4 ؛ 3) ، (5 ؛ 2) ، (6 ؛ 1) ، والحدث B - من خلال 5 نتائج: (2 ؛ 6) ، (3 ؛ 5) ، (4 ؛ 4) ، (5 ؛ 3) ، (6 ؛ 2). هناك n = 6 2 = 36 من جميع النتائج الأولية الممكنة المتساوية. و .

إذن ، P (A)> P (B) ، أي أن الحصول على إجمالي 7 نقاط هو حدث أكثر احتمالًا من الحصول على إجمالي 8 نقاط.

مهام

1. يتم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 30 بشكل عشوائي ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم من مضاعفات 3؟
2. في الجرة أأحمر و بكرات زرقاء بنفس الحجم والوزن. ما هو احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًا من هذه الجرة زرقاء؟
3. يتم اختيار رقم لا يزيد عن 30 بشكل عشوائي ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم مقسومًا على zo؟
4. في الجرة أالأزرق و بكرات حمراء من نفس الحجم والوزن. يتم سحب كرة واحدة من هذه الجرة وتوضع جانبًا. هذه الكرة حمراء. ثم يتم سحب كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا.
5. عدد طبيعي لا يزيد عن 50 يتم اختياره عشوائياً ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم أولياً؟
6. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ، ويتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح - الحصول على إجمالي 9 أو 10 نقاط؟
7. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ، ويتم احتساب مجموع النقاط التي تم إسقاطها. ما الذي يحتمل أن يحصل على إجمالي 11 (الحدث أ) أو 12 نقطة (الحدث ب)؟

الإجابات

1. 1/3. 2 . ب/(أ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(أ+ب-1). 5 .0,3.6 . ع 1 \ u003d 25/216 - احتمال الحصول على 9 نقاط إجمالاً ؛ ع 2 \ u003d 27/216 - احتمال الحصول على 10 نقاط إجمالاً ؛ p2> p1 7 . الفوسفور (أ) = 27/216 ، الفوسفور (ب) = 25/216 ، الفوسفور (أ)> الفوسفور (ب).

أسئلة

1. ما يسمى احتمال وقوع حدث؟
2. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟
3. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟
4. ما هي حدود احتمال وقوع حدث عشوائي؟
5. ما هي حدود احتمال وقوع أي حدث؟
6. ما هو تعريف الاحتمال يسمى الكلاسيكي؟