إحصائيات الرياضيات.

الموضوع 1. طريقة أخذ العينات- الساعة 9.

• 1. الأهداف والأساليب الإحصاء الرياضي.
• 2. الطريقة الانتقائية.
• 3. السكان عامة وعينة.
• 4. طرق الاختيار.
• 5. التوزيع الإحصائي للعينة.
• 6. سلسلة التباين المنفصل والفاصل الزمني.
• 7. دالة التوزيع التجريبية.
• 8. المضلع والمدرج التكراري.
• 9. كثافة توزيع اللافتة.

الموضوع 2 تقديرات احصائيةمعلمات التوزيع - 14 ساعة.

• 1. الخصائص الانتقائية للمتغيرات العشوائية.
• 2. مفهوم تقدير النقطة.
• 3. تقديرات غير متحيزة ومتسقة وفعالة.
• 4. تقديرات النقطةعن العوارية العامة ( توقع رياضي), التباين العاموالانحراف المعياري العام.
• 5. نظرية تقديرات النقاط.
• 6. وظيفة الاحتمالية.
• 7. طريقة الاحتمالية القصوى ، طريقة اللحظات.
• 8. مفهوم تقدير الفترات.
• 9. نظرية تقدير الفترات.
• 10. فترة الثقة واحتمالية الثقة.
• 11. بناء فترات الثقة لتقدير معاملات عينة من السكان العاديين.
• 12. موثوقية فاصل الثقة.
• 13. تقدير الفاصلتوقع رياضي التوزيع الطبيعيمع تشتت معروف.
• 14. الفاصل الزمني لتقدير التوقع الرياضي لتوزيع طبيعي مع تباين غير معروف.

الموضوع 3. التحقق الإحصائيالفرضيات - 12 ساعة.

• 1. الفرضية الإحصائية والاختبار الإحصائي.
• 2. أخطاء من النوع الأول والثاني.
• 3. مستوى أهمية المحك وقوته.
• 4. مبدأ اليقين العملي.
• 5. إيجاد المناطق الحرجة.
• 6. اختبار الفرضيات حول تطابق معاملات التوزيع.
• 7. مقارنة وسائل وتباينات السكان العاديين.
• 8. اختبار الفرضيات حول نوع التوزيع.
• 9. الاختبارات اللامعلميةموافقة.
• 10. نظرية بيرسون.
• 11. اختبار تشي سكوير ، اختبار كولموغوروف.
• 12. أمثلة على استخدام اختبار كاي ، اختبار كولموغوروف.

الموضوع 4. تحليل الارتباط- 23 ساعة.

• 1. أحكام أساسية.
• 2. مجال الارتباط.
• 3. جدول الارتباط.
• 4. البحث عن المعلمات معادلة أخذ العيناتمتوسط ​​الانحدار الخطي.
• 5. عامل العينةالارتباطات.
• 6. علاقة الارتباط.
• 7. تحليل الارتباط متعدد المتغيرات.
• 8. ارتباط الترتيب.
• 9. معامل أخذ العينات ارتباط الترتيبسبيرمان وكيندال.
• 10. أمثلة لتطبيق معامل ارتباط رتبة عينة سبيرمان وكيندال.
• 11. التبعيات الوظيفية والإحصائية.
• 12. متوسطات المجموعة.
• 13. مفهوم الارتباط التبعية.
• 14. المهام الرئيسية لنظرية الارتباط: تحديد الشكل وتقييم تقارب العلاقة.
• 15. أنواع الارتباط (الزوجي والمتعدد والخطي وغير الخطي).
• 16. معادلات الانحدار.
• 17. الانحدار الخطي.
• 18. طريقة المربعات الصغرى.
• 19. تحديد معاملات الانحدار المباشر بطريقة المربعات الصغرى.
• 20. معامل الارتباط الانتقائي وخصائصه.
• 21. الانحدار غير الخطي.
• 22. اختبار الفرضية حول أهمية معامل الارتباط.
• 23- التحقق من أمثلية وكفاية الشكل المختار للربط بين متغيرين عشوائيين.

الموضوع 5. تحليل الانحدار - 6 ساعات.

• 1. أحكام أساسية تحليل الانحدار.
• 2. بناء نموذج رياضي.
• 3. معادلات الانحدار وتقديراتها.
• 4. تقدير أهمية معاملات الانحدار.
• 5. التحقق من كفاية النموذج.
• 6. أمثلة التطبيق.

دورة نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. سيفاستيانوف ب.

م: العلوم. الفصل إد. فيز.رياضيات. مضاءة ، 1982. - 256 ص.

يستند الكتاب إلى دورة محاضرات مدتها عام واحد ألقاها المؤلف لعدد من السنوات في قسم الرياضيات بكلية الميكانيكا والرياضيات في جامعة موسكو الحكومية. يتم تقديم المفاهيم والحقائق الأساسية لنظرية الاحتمالات في البداية لمخطط محدود. التوقع الرياضي في الحالة العامةيتم تعريفه بنفس الطريقة التي يتم بها تعريف Lebesgue لا يتجزأ ، ولكن من غير المتوقع أن يكون لدى القارئ أي معرفة مسبقة بتكامل Lebesgue.

يحتوي الكتاب على الأقسام التالية: الاختبارات المستقلة وسلاسل ماركوف ، نظريات Moivre-Laplace و Poisson ، المتغيرات العشوائية، الدوال المميزة والمولدة ، قانون الأعداد الكبيرة ، نظرية الحد المركزي ، المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي ، اختبار الفرضيات الإحصائية ، التقديرات الإحصائية ، فترات الثقة.

للطلاب الجامعيين من الجامعات والكليات التقنية الذين يدرسون نظرية الاحتمالات.

شكل: djvu / الرمز البريدي

الحجم: 2.5 7 ميجابايت

/ تحميل الملف

جدول المحتويات
تمهيد 7
الفصل 1 الفضاء الاحتمالي 9
§ 1. موضوع نظرية الاحتمال 9
§ 2. الأحداث 12
الفقرة 3. الفضاء الاحتمالي 16
§ 4. منتهية مساحة الاحتمال. التعريف الكلاسيكيالاحتمالات 19
§ 5 الاحتمالات الهندسية 23
المهام 24
الفصل 2 الاحتمالات الشرطية. الاستقلالية 26
الفقرة 6. الاحتمالات المشروطة 26
§ 7. الصيغة الاحتمال الكامل 28
§ 8. Bayes Formulas 29
§ 9. استقلالية الأحداث 30
§ 10. استقلالية الأقسام والجبر والجبر .... 33
§ أحد عشر. الاختبارات المستقلة 35
المهام 39
الفصل 3. المتغيرات العشوائية (المخطط النهائي). 41
§ 12. المتغيرات العشوائية. المؤشرات 41
§ 13. التوقع الرياضي 45
14.قوانين التوزيع المتعددة الأبعاد 50
§ 15. استقلالية المتغيرات العشوائية 53
§ 10. الفضاء الإقليدي للمتغيرات العشوائية. . . . الخامس
§ 17. التوقعات المشروطة 5E
§ 18. عدم مساواة تشيبيشيف. قانون الأعداد الكبيرة .... 61
المهام 64
الفصل 4 الحد من النظرياتفي مخطط برنولي. 65
§ 19. توزيع ثنائي 65
§ 20. نظرية بواسون 66
§ 21. نظرية الحد المحلي لدي Moivre - لابلاس. . 70
§ 22. نظرية الحد المتكامل لدي Moivre - لابلاس 71
§ 23. تطبيقات نظرية الحدود. 73
المهام 76
الفصل 5. سلاسل ماركوف 77
§ 24. اختبار الاعتماد على ماركوف 77
25. احتمالات الانتقال 78
§ 26. نظرية في الاحتمالات الهامشية 80
المهام 83
الفصل 6. المتغيرات العشوائية (حالة عامة) 84
27. المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها 84
28. التوزيعات متعددة المتغيرات 92
29. استقلالية المتغيرات العشوائية 96
المهام 98
الفصل السابع: توقع 100
§ 30. تعريف التوقع الرياضي 100
§ 31. معادلات لحساب التوقع الرياضي 108
115- إبراء الذمة
الفصل 8 توليد الوظائف 117
§ 32. المتغيرات العشوائية الصحيحة ووظائف توليدها 117
§ 33. لحظات عاملية 118
المادة 34. خاصية المضاعفة 120
§ 35. نظرية الاستمرارية 123
المادة 36. عمليات التفريع 125
المهام 127
الفصل 9 وظائف مميزة 129
§ 37. التعريف والخصائص الأولية للوظائف المميزة 129
§ 38. صيغ الانعكاس للوظائف المميزة 136
§ 39. نظرية المطابقة المستمرة بين مجموعة الوظائف المميزة ومجموعة وظائف التوزيع 140
145ـ المصاريف
الفصل 10. نظرية الحدود المركزية 146
§ 40. نظرية الحد المركزي للمصطلحات المستقلة الموزعة بشكل متماثل 146
§ 41. نظرية ليابونوف 147
§ 42. تطبيقات نظرية الحد المركزي 150
المهام 153
الفصل 11
43. التعريف والخصائص الأولية 154
§ 44. صيغة التحويل 158
§ 45. حد النظريات للوظائف المميزة 159
46. ​​التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات والتوزيعات ذات الصلة 164
المهام 173
الفصل الثاني عشر
§ 47. Borel-Cantelli Lemma. القانون "0 أو 1" كولموغوروف 174
القسم 48 أنواع مختلفةتقارب المتغيرات العشوائية. . . 177
49. القانون القوي للأعداد الكبيرة 181
المهام 188
الفصل 13 الإحصاء 189
50. المهام الرئيسية للإحصاء الرياضي .... 189
§ 51. طريقة أخذ العينات 190
المهام 194
الفصل 14 المعايير الإحصائية 195
§ 52. الفرضيات الإحصائية 195
§ 53. مستوى أهمية وقوة الاختبار 197
54. معيار نيومان - بيرسون الأمثل .... 199
§ 55. المعايير المثلى لاختبار الفرضيات حول معلمات التوزيعات العادية وذات الحدين 201
§ 56. معايير اختبار الفرضيات المعقدة 2E4
57. الاختبارات غير البارامترية 206
211- مناشير
الفصل 15 تقديرات المعلمات 213
58. التقديرات الإحصائية وممتلكاتها 213
59. قوانين التوزيع المشروطة 216
60. إحصائيات كافية 220
§ 61. كفاءة التقييمات 223
62. طرق إيجاد التقديرات 228
232
الفصل السادس عشر فترات الثقة 234
63. تحديد فترات الثقة 234
§ 64. فترات الثقة لمعلمات التوزيع الطبيعي 236
§ 65. فترات الثقة لاحتمال النجاح في مخطط برنولي 240
المهام 244
245- حل مشكلة
جداول التوزيع الطبيعي 251
الأدب 253
الفهرس 254

الوزارة الاتحاد الروسيللتواصل والمعلوماتية

سيبيريا جامعة الدولةالاتصالات والمعلوماتية

ن.إي تشيرنوفا

الرياضيات

الإحصاء

الدورة التعليمية

نوفوسيبيرسك

أستاذ مشارك ، كاند. فيز.رياضيات. العلوم N. I. Chernova. الإحصاء الرياضي: كتاب مدرسي / SibGUTI - نوفوسيبيرسك ، 2009. - 90 ص.

يحتوي الكتاب المدرسي على دورة نصف سنوية من المحاضرات حول الإحصاء الرياضي لطلاب التخصصات الاقتصادية. الكتاب المدرسي يتوافق مع متطلبات معيار الدولة التربوي للمحترفين برامج تعليميةتخصص 080116 - "الطرق الرياضية في الاقتصاد".

علامة تبويب كرسي MMBP. 7 ، رسومات - 9 ، قائمة مضاءة. - 8 اسماء

المراجعون: A.P. Kovalevsky، Ph.D. فيز.رياضيات. علوم ، أستاذ مشارك بالقسم رياضيات أعلى NSTU V. I. Lotov ، Dr. Sci. العلوم ، أستاذ القسم

نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي NSU

للتخصص 080116 - "الطرق الرياضية في الاقتصاد"

تمت الموافقة عليه من قبل مجلس التحرير والنشر في SibGUTI ككتاب مدرسي

ج جامعة ولاية سيبيريا

الاتصالات والمعلوماتية ، 2009

مقدمة. . . . . . . . . .
	1. المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي. . . . . . . .
	مشاكل الإحصاء الرياضي . . . . . . . . . . . . . . . . .
	عينة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	خصائص مختارة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	خصائص دالة التوزيع التجريبية. . . . . . . . .

§ 5. خصائص لحظات العينة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. الرسم البياني كتقدير للكثافة. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

الباب الثاني. تقدير النقطة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. تقديرات النقاط وخصائصها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. طريقة اللحظات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	خصائص تقديرات طريقة اللحظات. . . . . . . . . . . . . . . . .
	طريقة الاحتمالية القصوى. . . . . . . . . . . . . . .
	طبيعية مقاربة للتقديرات. . . . . . . . . . . . . .
	أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		مقارنة الدرجات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	نهج الجذر التربيعي لمقارنة التقديرات. . . . . . . . .
	عدم المساواة راو كرامر. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	رابعا. تقدير الفاصل. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	فترات الثقة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	مبادئ بناء فترات الثقة. . . . . . . .
	أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		التوزيعات المتعلقة بالطبيعي. . . . . . . . . .
	رئيسي التوزيعات الإحصائية. . . . . . . . . . . . . .
	تحولات العينات العادية. . . . . . . . . . . . . . .
	فترات الثقة للتوزيع الطبيعي. . .

§ 1. الفرضيات والمعايير. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

الفصل السابع. معايير الموافقة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. الشكل العاممعايير الموافقة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. اختبار فرضيات بسيطة حول المعلمات. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. معايير اختبار فرضية التوزيع. . . . . . . . 56

§ 4. معايير اختبار الفرضيات البارامترية. . . . . . . . 59

§ 5. معايير اختبار التجانس. . . . . . . . . . . . . . . 61

الفقرة 6. المعيار χ 2 لاختبار الاستقلال. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. أسئلة وتمارين. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. طريقة الاحتمال الأقصى.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. طريقة المربعات الصغرى.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

مقدمة

يحتوي البرنامج التعليمي على ملفات دورة كاملةمحاضرات حول الإحصاء الرياضي للطلاب الذين يدرسون في تخصص "الأساليب الرياضية في الاقتصاد" بجامعة ولاية سيبيريا للاتصالات والمعلوماتية. محتوى الدورة بالكامل المعايير التعليميةإعداد البكالوريوس في التخصص المحدد.

يعتمد مسار الإحصاء الرياضي على مسار الفصل الدراسي لنظرية الاحتمالات وهو أساسه دورة سنويةالاقتصاد القياسي. نتيجة لدراسة الموضوع ، يجب على الطلاب إتقان الطرق الرياضيةالبحث في نماذج مختلفة من الإحصاء الرياضي.

تتكون الدورة من ثمانية فصول. الفصل الأول هو الفصل الرئيسي لفهم الموضوع. يقدم للقارئ المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي. الفصل الثاني مخصص لطرق تقدير النقاط لمعلمات التوزيع غير المعروفة: اللحظات والاحتمالية القصوى.

يتناول الفصل الثالث مقارنة التقديرات في جذر متوسط ​​المعنى التربيعي. هنا ، يتم أيضًا دراسة عدم المساواة Rao-Cramer كوسيلة للتحقق من فعالية التقديرات.

يناقش الفصل الرابع تقدير الفاصلالمعلمات ، والتي تنتهي بـ الفصل التاليبناء فترات لمعلمات التوزيع الطبيعي. للقيام بذلك ، يتم تقديم توزيعات إحصائية خاصة ، والتي يتم استخدامها بعد ذلك في اختبارات جودة الملاءمة في الفصل الثامن. يقدم الفصل السادس المفاهيم الأساسية اللازمة لنظرية اختبار الفرضيات ، لذلك يجب على القارئ دراستها بعناية فائقة.

أخيرًا ، يقدم الفصلان السابع والثامن قائمة بمعايير الموافقة الأكثر استخدامًا في الممارسة العملية. يناقش الفصل التاسع نماذج وأساليب بسيطة لتحليل الانحدار ويثبت الخصائص الأساسيةتلقى تقييمات.

ينتهي كل فصل تقريبًا بقائمة من التمارين في نص الفصل. التطبيق يحتوي على جداول مع قائمة بالخصائص الرئيسية المتميزة والمطلقة توزيعات مستمرة، وجداول التوزيعات الإحصائية الأساسية.

مقدمة

يوجد فهرس مفصل في نهاية الكتاب. تسرد قائمة المراجع الكتب المدرسية التي يمكن استخدامها بالإضافة إلى الدورة ومجموعات المهام للتمارين العملية.

ترقيم الفقرات في كل فصل منفصل. يتم ترقيم الصيغ والأمثلة والبيانات وما إلى ذلك على التوالي. عند الإشارة إلى كائن من فصل آخر ، من أجل راحة القارئ ، يشار إلى رقم الصفحة الذي يحتوي عليه الكائن. عند الإشارة إلى كائن من نفس الفصل ، يتم إعطاء رقم الصيغة فقط ، مثال ، البيان. نهاية البراهين معلمة بالرمز.

الفصل الأول

المفاهيم الأساسية للإحصاءات الرياضية

يعتمد الإحصاء الرياضي على طرق نظرية الاحتمالات ، لكنه يحل مشكلات أخرى. في نظرية الاحتمالات ، تعتبر المتغيرات العشوائية مع التوزيع المعطىأو التجارب العشوائية التي تُعرف خصائصها بالكامل. ولكن من أين تأتي المعرفة حول التوزيعات في التجارب العملية؟ ما هو الاحتمال ، على سبيل المثال ، أن يظهر شعار النبالة على عملة معينة؟ لتحديد هذا الاحتمال ، يمكننا قلب العملة عدة مرات. ولكن على أي حال ، يجب استخلاص النتائج من النتائج. عدد محدودالملاحظات. لذلك ، عند ملاحظة 5035 شعارًا من النبالة بعد 10000 رمية لعملة واحدة ، من المستحيل استخلاص استنتاج دقيق حول احتمال سقوط شعار النبالة: حتى لو كان هذا الاحتمال يختلف عن 0.5 ، فقد يتساقط شعار النبالة 5035 مرة. . لا يمكن إجراء استنتاجات دقيقة حول التوزيع إلا عند إجراء عدد لا حصر له من الاختبارات ، وهو أمر غير ممكن. تسمح الإحصائيات الرياضية ، بناءً على نتائج عدد محدود من التجارب ، باستخلاص استنتاجات أكثر أو أقل دقة حول توزيعات المتغيرات العشوائية التي لوحظت في هذه التجارب.

§ 1. مشاكل الإحصاء الرياضي

لنفترض أننا نكرر نفس التجربة العشوائية تحت نفس الظروف. نتيجة لكل تكرار للتجربة ، يتم ملاحظة مجموعة معينة من البيانات (العددية أو غير ذلك).

هذا يثير الأسئلة التالية.

1. إذا لوحظ متغير عشوائي واحد ، فكيف يمكن للمرء أن يصل إلى الاستنتاج الأكثر دقة حول توزيعه بناءً على مجموعة من قيمه في عدة تجارب؟

2. إذا لوحظ ظهور علامتين أو أكثر ، فماذا يمكن أن يقال عن نوع وقوة اعتماد المتغيرات العشوائية المرصودة؟

غالبًا ما يكون من الممكن وضع بعض الافتراضات حول التوزيع المرصود أو حول خصائصه. في هذه الحالة ، وفقًا للبيانات التجريبية ، يلزم تأكيد أو دحض هذه الافتراضات ("الفرضيات"). في الوقت نفسه ، يجب أن نتذكر أنه لا يمكن إعطاء الإجابة بـ "نعم" أو "لا" إلا بدرجة معينة من اليقين ، وكلما طالت مدة استمرار التجربة ، زادت دقة الاستنتاجات. في بعض الأحيان يكون من الممكن تأكيد الوجود مقدمًا

8 الفصل الأول. مفاهيم أساسية للإحصاءات الرياضية

بعض خصائص التجربة المرصودة - على سبيل المثال ، حول الاعتماد الوظيفي بين الكميات المرصودة ، حول الحالة الطبيعية للتوزيع ، حول تناسقه ، حول وجود الكثافة في التوزيع أو حول طبيعته المنفصلة ، إلخ.

لذلك ، تعمل الإحصائيات الرياضية حيث توجد تجربة عشوائية ، تكون خصائصها غير معروفة جزئيًا أو كليًا ، وحيث يمكننا إعادة إنتاج هذه التجربة في نفس الظروف بعض (أو أفضل ، أي عدد) من المرات.

يمكن أن تكون النتائج التجريبية كمية أو الطابع النوعي. يمكن تلخيص النتائج الكمية ، على سبيل المثال. وبالتالي ، فإن إحدى خصائصها ذات المعنى هي الوسيلة الحسابية للملاحظات. لا جدوى من إضافة نتائج نوعية ، على الرغم من إمكانية وضعها في شكل رقمي. لنفترض أن شهر ميلاد الشخص الذي تمت مقابلته هو ملاحظة نوعية وليست كمية: على الرغم من أنه يمكن إعطاؤه كرقم ، فإن المتوسط ​​الحسابي لهذه الأرقام يحمل قدرًا معقولاً من المعلومات مثل الرسالة التي تشير إلى أن الشخص ، في المتوسط ​​، قد ولد. بين يونيو ويوليو.

في الفصول الأولى ، سوف ندرس العمل مع نتائج المراقبة الكمية.

§ 2. الاختيار

لنفترض أن ξ: Ω → R يكون متغيرًا عشوائيًا لوحظ في تجربة عشوائية. عند إجراء هذه التجربة n مرة في نفس الظروف ، سنحصل على الأرقام X1 ، X2 ،. . . ، Xn - قيم المتغير العشوائي المرصود في التجارب الأولى والثانية وما إلى ذلك. المتغير العشوائي ξ له بعض التوزيع F ، وهو غير معروف لنا جزئيًا أو كليًا.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في المجموعة X = (X1،..، Xn) ، تسمى العينة.

في سلسلة من التجارب التي تم إجراؤها بالفعل ، تكون العينة عبارة عن مجموعة من الأرقام. ولكن قبل إجراء التجربة ، من المنطقي اعتبار العينة مجموعة من المتغيرات العشوائية (مستقلة وموزعة بنفس طريقة ξ). في الواقع ، قبل إجراء التجارب ، لا يمكننا تحديد القيم التي ستتخذها عناصر العينة: ستكون هذه بعض قيم المتغير العشوائي ξ. لذلك ، من المنطقي اعتبار أنه قبل التجربة Xi هو متغير عشوائي موزع بالتساوي مع ξ ، وبعد التجربة هو الرقم الذي نلاحظه في التجربة ith ، أي إحدى القيم المحتملة للمتغير العشوائي Xi .

التعريف 1. العينة X = (X1،..، Xn) بالحجم n من التوزيع F هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتشابهة التوزيع التي لها توزيع F.

غالبًا ما يتم تحويل عناصر العينة لتسهيل العمل مع مجموعة بيانات كبيرة - يتم ترتيبها أو تجميعها.

إذا كانت عناصر العينة X1 ،. . . ، وفرز Xn بترتيب تصاعدي ، نحصل على مجموعة من المتغيرات العشوائية الجديدة ، تسمى سلسلة متغيرة:

X (1) 6 X (2) 6. . . 6 X (ن − 1) 6 X (ن).

هنا X (1) = min (X1،..، Xn)، X (n) = max (X1،.، Xn). العنصر X (k) يسمى العضو k سلسلة الاختلافأو إحصاء الترتيب k.

عند تجميع البيانات ، يتم التمييز بين عدة مجموعات من قيم عناصر العينة ، ويتم حساب عدد العناصر في كل مجموعة ، ثم يتم التعامل مع مجموعة البيانات الجديدة هذه فقط. يتجاهل كل من تجميع البيانات وطلبها بعض المعلومات الواردة في العينة.

تتمثل مهمة الإحصاء الرياضي في استخلاص استنتاجات من عينة حول التوزيع غير المعروف F ، والتي يتم استخلاصها منها. يتميز التوزيع بوظيفة التوزيع أو الكثافة أو الجدول الخصائص العددية: E ξ = E X1، Dξ = D X1، Eξ ك = E X1 ك. بناءً على العينة ، يجب أن يكون المرء قادرًا على بناء تقديرات تقريبية لجميع هذه الخصائص. تسمى هذه التقديرات التقريبية. مصطلح "النتيجة" لا علاقة له بعدم المساواة. إن تقدير بعض الخصائص غير المعروفة للتوزيع هو متغير عشوائي يتم إنشاؤه من عينة ، وهو بمعنى ما تقريب لهذه الخاصية غير المعروفة للتوزيع.

مثال 1. يتم دحرجة قالب نرد سداسي الجوانب 100 مرة. سقط الوجه الأول 25 مرة ، والثاني والخامس - 14 مرة لكل منهما ، والثالث - 21 مرة ، والرابع - 15 مرة ، والسادس - 11 مرة. نحن نتعامل مع عينة عددية ، والتي ، من أجل الملاءمة ، مجمعة حسب عدد النقاط التي تم إسقاطها.

وفقًا لنتائج التجربة ، من المستحيل تحديد الاحتمالات p1 ،. . . قطرات الوجه p6. يمكننا فقط أن نقول أنه تم الحصول على تقديرات عددية لهذه الاحتمالات: 0.25 لـ p1 و 0.14 لـ p2 و p5 ، إلخ.

حتى بدون إجراء مثل هذه التجربة ، يمكننا القول مقدمًا أن تقدير الاحتمال غير المعروف p1 سيكون متغيرًا عشوائيًا

وتقدير الاحتمال p2 هو المتغير العشوائي

في هذه السلسلة من التجارب ، أخذت هذه المتغيرات العشوائية القيمتين 0.25 و 0.14 على التوالي. في سلسلة أخرى ستتغير معانيها.

الفصل الأول. مفاهيم أساسية للإحصاءات الرياضية

§ 3. خصائص مختارة

من نظرية الاحتمالات ، نعلم علاج عالميلحساب تقريبي للتوقعات الرياضية المختلفة: قانون الأعداد الكبيرة. يضمن هذا القانون أن الوسائل الحسابية للمصطلحات المستقلة والموزعة بشكل متماثل تقترب إلى حد ما من توقع مصطلح نموذجي (إذا كان هذا التوقع الرياضي موجودًا بالطبع).

لذلك ، كتقريب (تقدير) للتوقع الرياضي غير المعروف E X1 ، يمكنك استخدام المتوسط ​​الحسابي لجميع عناصر العينة: متوسط ​​العينة

X1 +. . . + Xn

كتقدير لـ E X1 k ، لحظة العينة k

X1 ك +. . . + Xn ك

شي ك =

وكتقدير للتباين D X1 = E (X1 - E X1) 2 = E X1 2 - (E X1) 2

تم استخدام عينة التباين

S2 = ن 1

(Xi - X) 2 = X2 - X

بشكل عام ، القيمة

ز (X1) +. . . + ز (Xn)

ز (الحادي عشر) =

يمكن استخدامها لتقدير الكمية E g (X1).

وبالمثل ، يسمح لنا قانون برنولي للأعداد الكبيرة بالتقدير احتمالات مختلفة. على سبيل المثال ، احتمال وقوع حدث (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = كمية Xi< 3n

سوف تتقارب (في الاحتمالية) مع احتمال النجاح P (X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

ولكن بمساعدة دالة التوزيع التجريبية

المزيد من المرشحات

في المعلم أو الطالب

في المعلم

عند الطالب

عن بعد

سعر الساعة

من

قبل

فرك

يعرض

فقط مع الصورة

فقط مع المراجعات

تم التحقق منها فقط

متخرج

مدرس المدرسة

أستاذ

مدرس خصوصي

متحدث قومي

أكثر من 10 عاما

فوق 50 سنة

إحصائيات:

تم العثور على 500 مدرس

عدد التعليقات 2246 تركها الطلاب

متوسط ​​تقييم: 4,5 5 1 متوسط ​​تصنيف المدرسين الذين تم العثور عليهم بواسطة التصفية

تم العثور على 500 مدرس

إعادة تعيين المرشحات

استخدام OGE (GIA) التحضير للأولمبيادبالطبع المدرسة الجبر الهندسة التحليلية رياضيات أعلى+8 التوافقية الهندسية الجبر الخطي إحصائيات الرياضيات التحليل الرياضي الرياضيات التطبيقية نظرية الاحتمالاتعلم المثلثات

الأطفال من سن 6-7 سنوات تلاميذ المدارس من الصف الأول إلى الحادي عشرالطلاب الكبار

م أوزيرنايا م يوغو زابادنايا م كونتسفسكايا (فيليوفسكايا)

الكسندر الكسندروفيتش

خبرة مدرس جامعي 17 سنة

من 2000 فرك / ساعة

اتصال مجاني

في المعلم

معلم فعال للغاية ومعلم موهوب - يعرف كيف يقدم برنامج الرياضيات العليا للجامعة بطريقة تجعل منهج الرياضيات من الكابوس مزعجًا. ضرورة - على الرغم من حقيقة ذلك دورة مدرسيةيعرف الطالب بثقة برنامج الصفوف 5-6 فقط.جميع التقييمات (46)

الهندسة التحليلية حساب الاختلافات تحليل المتجهات +33 رياضيات أعلىالهندسة الرياضيات المنفصلة الهندسة التفاضلية المعادلات التفاضليةالتوافقية الجبر الخطي الهندسة الخطية البرمجة الخطية إحصائيات الرياضيات الفيزياء الرياضية النماذج الرياضية التحليل الرياضي طرق القرار المثلى طرق التحسين التحكم الأمثل الرياضيات التطبيقيةسوبرومات تحليل موتر الميكانيكا النظرية نظرية الاحتمالاتنظرية الرسوم البيانية لعبة النظرية نظرية التحسيننظرية الأعداد الطبولوجيا علم المثلثات TFKT المعادلات التفاضلية الجزئية معادلات الفيزياء الرياضية الرياضيات المالية تحليل وظيفيالاقتصاد القياسي

تلاميذ المدارس في الصفوف 9-11الطلاب الكبار

م ديمتري دونسكوي بوليفارد

أليكسي فاسيليفيتش

خبرة مدرس جامعي 44 سنة

من 1500 فرك / ساعة

اتصال مجاني

مدرس الإحصاء الرياضي

في المعلم

دكتور في الفيزياء العلوم الرياضية. باحث رئيسي في جامعة موسكو الحكومية (كلية الميكانيكا والرياضيات) ، أستاذ جامعي تعليم إضافيوسعت MGIMO ، كان عضوا مجالس الامتحانفي الرياضيات ، جامعة موسكو الحكومية ، MGIMO ، MGUDT.

أليكسي فاسيليفيتش هو بالضبط المعلم الذي كنا نبحث عنه لفترة طويلة. يعرف كيف يجد نهجًا للطالب ويقدم المواد التعليمية بكفاءة. جميع التقييمات (29)

تلاميذ المدارس من الصفوف 10-11الطلاب

م رامينكي

أليكسي ألكساندروفيتش

خبرة مدرس خاص 11 سنة

من 1600 فرك / ساعة

اتصال مجاني

مدرس الإحصاء الرياضي

الحائز على جائزة أولمبياد لومونوسوف 2007 في الموضوعات - الرياضيات الشفوية والمكتوبة ، التركيب. مشارك في الدورة الخاصة بين أعضاء هيئة التدريس مشاكل أولمبيادوسعت قسم التحليل الرياضي لمخ مات بجامعة موسكو الحكومية. خبرة في إدارة حلقات الفرو الصغيرة 2007-2012. رياضيات اختيارية في مدرسة ليسيوم 1553. مدرس الجبر والهندسة وعلوم الكمبيوتر ، اللغة الإنجليزيةفي ليسيوم 1553 عام 2011. المرافقة لتعليم الأبناء في معسكرات اللغةإنجلترا ومالطا 2011-2012. 3 سنوات خبرة في إدارة البيع بالتجزئة المكتب المركزيأكبر بنك في رابطة الدول المستقلة. أقوم بإجراء فصول باستخدام جهاز لوحي للرسومات Wacom ولوحة عبر الإنترنت (مدفوعة ، والتي لديها القدرة على استخدام عدة أشخاص في نفس الوقت ، والتحرير المتزامن والفيديو والصوت مشتركان). بعد الدرس ، تبقى الروابط إلى الغرفة - يتمتع الطالب دائمًا بإمكانية الوصول إلى ما تم كتابته في الدرس ولديه حق الوصول إلى الملاحظات الخاصة بالدورة التدريبية بأكملها ، كما يتم إرسال جميع المواد المكتوبة على السبورة إلى العميل بتنسيق PDF. يتم استخدامه للتواصل مع كل من Skype والغرفة عبر الإنترنت نفسها. عدد الطلاب المستعدين للامتحانات أكثر من 100 ، أعدوا لـ OGE ، امتحان الدولة الموحدفي المدارس الثانوية في MEPhI ، جامعة موسكو الحكومية. أعد لطلاب الامتحانات من مختلف جامعات جامعة موسكو الحكومية للميكانيكا والرياضيات ، كلية الفيزياء ، كلية الاقتصاد ، جامعة موسكو الحكومية التربوية ، بليخانوف ، الأكاديمية المالية تحت إشراف الرئيس ، MGIMO ، MEPhI ، إلخ. أقوم بإعداد الأطفال لدورات All-Russian و Lomonosov و Vuzovsky تحت إشراف Bauman و Mifi ، MIPT. التدريس هو نشاطي الرئيسي. أستعد أيضًا للقبول في كليات اللغة الإنجليزية والسويسرية. يتغيرون امتحان واحدمستوى A في اللغة الإنجليزية في الرياضيات والفيزياء. اعداد الطلاب للتخرج الإنجليزية OGEوالاستخدام.

لقد درست مع أليكسي ألكساندروفيتش ، وفي غضون شهر تمكنت من الاستعداد معه لاستعادة التحليل الرياضي. شرح لي الموضوع بوضوح ووضوح ، توسيع مرت دون مشاكل بفضله.جميع التقييمات (52)

OGE (GIA) استخدام دورة المدرسة الجبر الهندسة التحليلية رياضيات أعلىهندسة +12 الرياضيات المنفصلة المعادلات التفاضلية الجبر الخطي الهندسة الخطية إحصائيات الرياضيات التحليل الرياضي باللغة الإنجليزية نظرية الاحتمالاتنظرية الرسم البياني لعبة نظرية المثلثات الاقتصاد القياسي

تلاميذ المدارس من الصف الأول إلى الحادي عشرالطلاب الكبار

م كراسنوجفارديسكايا

مكسيم الكسيفيتش

خبرة مدرس خاص 9 سنوات

من 1500 فرك / ساعة

اتصال مجاني

مدرس الإحصاء الرياضي

في المعلم ، عند الطالب ، عن بعد

تخرج من جامعة موسكو الحكومية. هناك خبرة في القطاع المصرفي كمحلل ، وخبرة كمحلل نظم في مجال تطوير تكنولوجيا المعلومات. توسيع المعرفة البرمجة وقواعد البيانات العلائقية (SQL). الفئة الأولى في الشطرنج. هناك تجربة ناجحة للعمل مع جميع فئات الطلاب: تلاميذ المدارس (OGE ، امتحان الدولة الموحد ، تحسين الأداء الأكاديمي) الطلاب (تقريبًا جميع أقسام الرياضيات العليا والميكانيكا) الكبار (فصول "للذات" ، مساعدة في قضايا العمل).

هل تريد العثور على مدرس إحصائيات الرياضيات في موسكو؟ هناك 164 منهم في قاعدة بياناتنا!

إذا لم يكن لديك الوقت لاختيار مدرس في الإحصاء الرياضي بنفسك ، والبحث في جميع الملفات الشخصية ، يمكنك كتابة نوع المعلم الذي تحتاجه ، والمسؤول بدون مقابلاختر الخيارات المناسبة لك.

معلمو الإحصاء الرياضي

مدرس خاصعلى الإحصاء الرياضي في موسكو.
تعليم تلاميذ المدارس 5-11 فصلا ، طلابا ، كبار. التحضير للامتحان ، OGE. جودة عالية لمرور البرنامج المدرسي. التحضير في جميع المدارس الرياضية والرياضية الرائدة. مساعدة الطلاب على دراسة الرياضيات بأنفسهم. الفصول الصيفية متوفرة.
الدروس في مجموعة صغيرة (2-4 أشخاص) ممكنة بسعر أقل من السعر الرسمي.
أنا أعمل من أجل النتائج. أستخدم طريقة التدريس التي يطور فيها الطلاب بشكل كامل مهارات إبداعيةو التفكير المنطقيويهتمون أيضًا بالرياضيات. أعمل وفقًا للأدلة والطرق الخاصة بي (بالمناسبة ، تم اختبارها في الممارسة) ...
  

• تكلفة الدرس: 1500 فرك. / 60 دقيقة
• العناصر:
• مدينة:موسكو
• أقرب محطات المترو: Electrozavodskaya ، Aviamotornaya
• زيارة منزلية:رقم
• حالة:مدرس المدرسة
• تعليم:درس في مدرسة الفيزياء والرياضيات. A.N.Kolmogorova (الآن SUNC في جامعة موسكو الحكومية) في 1986-1988. تخرج من كلية الفيزياء بجامعة موسكو الحكومية. إم في لومونوسوف في عام 1994. أنا مدرس رياضيات منذ 1994 ...

الرياضيات للطلاب في الصفوف 2-11 والمتقدمين والطلاب. التحضير لامتحان الرياضيات. التحضير لأولمبياد SU-HSE و امتحانات القبولفي جامعة ولاية ميشيغان. المساعدة في جميع مجالات المناهج الدراسية والخبرة في المدرسة. نصائح للطلاب في جميع مجالات الرياضيات العليا (التحليل الرياضي ، الجبر الخطي ، الهندسة التحليلية ، نظرية الاحتمالات ، الإحصاء الرياضي ، الاقتصاد القياسي ، الرياضيات المنفصلة ، وغيرها).
  

• تكلفة الدرس: 2000 فرك. / 60 دقيقة
• العناصر:
• مدينة:موسكو
• أقرب محطة مترو:كونتسفسكايا
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:أستاذ
• تعليم:جامعة موسكو M.V Lomonosov (MSU) ، كلية الميكانيكا والرياضيات ، تخرج عام 1981. مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية. أقوم بالتدريس في SU-HSE.

خدمات مدرس في الإحصاء الرياضي.
التحضير لامتحان GIA. إعداد الطلاب في أي مجال من مجالات الرياضيات ، والقضاء على الفجوات بين أطفال المدارس والطلاب. إعداد المتقدمين لامتحانات القبول في أي جامعات. المعلوماتية والبرمجة.
  

• تكلفة الدرس: 1500 فرك. / 60 دقيقة
• العناصر:الرياضيات ، حساب التفاضل والتكامل ، نظرية الاحتمالات ، علوم الكمبيوتر
• مدن:موسكو ، كراسنوجورسك
• أقرب محطات المترو:الشباب ، ستروجينو
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:مدرس خصوصي
• تعليم:جامعة موسكو M.V Lomonosov ، كلية الميكانيكا والرياضيات ، تخرج عام 1996.

مدرس فردي في الإحصاء الرياضي.
الرياضيات: التحضير للامتحان و GIA ، الجبر (بما في ذلك حساب المثلثات ، الحساب ، المنطق الرياضي) ، والهندسة (القياس ، والقياس الفراغي) ، والتحليل الرياضي ، والرياضيات العليا ، ونظرية الاحتمالات ، والجبر الخطي ، والرياضيات المنفصلة وتخصصات أخرى في الرياضيات ، والتحضير لدخول الجامعة ، للامتحانات في الجامعة. الفيزياء: برنامج مدرسيالتحضير للامتحان GIA.
الجغرافيا: المنهج المدرسي ، التحضير للامتحان ، GIA.
نهج كل طالب فردي. أخبرني بالنتيجة التي تريد الحصول عليها من هذه الفصول ، ونحققها معًا.
نهج كل طالب فردي ...
  

• تكلفة الدرس: 60 دقيقة / 2200-2900 روبل (حسب موقع الدرس ومستوى التدريب) ؛
  90 دقيقة / 3200-4000 روبل (حسب موقع الدرس ومستوى التدريب) ؛
  120 دقيقة / 410 ...
• العناصر:الرياضيات والفيزياء والجغرافيا ونظرية الاحتمالات
• مدن:موسكو ، أودينتسوفو
• أقرب محطة مترو:كريلاتسكوي
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:مدرس خصوصي
• تعليم:جامعة موسكو M.V Lomonosov ، كلية الميكانيكا والرياضيات ، تخرج عام 2010 متوسط ​​درجة- 4.5. أنهيت المدرسة بميدالية.

مدرس خاص في الإحصاء الرياضي.
إعداد أطفال المدارس لامتحانات الدولة الموحدة والامتحانات الداخلية ، للقبول فيها المدارس الأجنبية، مساعدة الطلاب في سد الفجوات في التحليل الرياضي ، TFKL ، الرياضيات العليا (الجبر الخطي ، الهندسة التحليلية ، الرياضيات العليا).
معتمد خبير الاستخدامفي الرياضيات ، 12 عامًا من الخبرة في التحضير لامتحان الدولة الموحد ، خبرة في التدريس - أكثر من 30 عامًا. يدخل الطلاب الميزانية في كلية الاقتصاد بجامعة موسكو الحكومية ، في الجامعة الحكومية - المدرسة العليا للاقتصاد ، FA. هناك تجربة ناجحة في التحضير لـ GSCE ، A-Level.
  

• تكلفة الدرس: 60 دقيقة / 2000 روبل ؛
  120 دقيقة / 4000 فرك.
• العناصر:الرياضيات ، حساب التفاضل والتكامل ، نظرية الاحتمالات ، الجبر الخطي
• مدينة:موسكو
• أقرب محطات المترو:كيتاي جورود ، لوبيانكا
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:أستاذ
• تعليم:الأورال معهد تربوي، كلية الفيزياء والرياضيات ، تخرجت عام 1982 ، دبلوم مع مرتبة الشرف. مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية ، أستاذ مشارك بجامعة الولاية.

• تكلفة الدرس: 1500 ص - 2000 ص / 60 دقيقة. حسب الفصل.
• العناصر:الرياضيات ، حساب التفاضل والتكامل ، الجبر الخطي ، نظرية الاحتمالات
• مدينة:موسكو
• أقرب محطة مترو:نوفوجيريفو
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:مدرس المدرسة
• تعليم:معهد سفيردلوفسك التربوي ، تخصص: الرياضيات وعلوم الكمبيوتر وعلوم الكمبيوتر ، تخرج عام 1991.

مدرس ذو خبرة في الإحصاء الرياضي.
إعداد احترافي وعالي الجودة للصف التاسع من HSE Lyceum في 2019. عمل مكثف على متغيرات اختبارات HSE الشاملة ، وكذلك في المهام التي تتوافق معها بدقة خيارات الامتحان! التطوير الدقيق لأساليب حل جميع مهام الاختبار الشامل! سيكون الطالب مستعدًا جيدًا!
منهجية المعرفة للصفوف 5-11. عمليات سحب فعالة وهامة في البرنامج (الجبر والهندسة). ضمان الأداء الأكاديمي العالي باستمرار (لـ "4" و "5"). التحضير الشامل لـ OGE - 2019. تعلم حل مشاكل الجزأين الأول والثاني من خيارات OGE ...
  

مدرس خاص في الإحصاء الرياضي.
تلاميذ المدارس في الصفوف 5-11 ، المتقدمون (التحضير في جامعة موسكو الحكومية أو للمهام C5 و C6 في امتحان الدولة الموحد) ، الطلاب (دروس في سعر الصرف العامالرياضيات العليا: التحليل الرياضي ، الهندسة التحليلية ، الجبر الخطي ، نظرية الاحتمالات).
أعطي دروسًا جادة جدًا حول مواد المؤلف ، والمهام المختارة بشكل فردي لكل طالب. بالإضافة إلى ذلك ، أقوم بتحليل أرقام أولمبياد المعقدة و C6 من خلال اختبار الدولة الموحد.
أقل سعر للدرس هو 90 دقيقة. 3300 فرك.
في حالة التحضير في جامعة موسكو الحكومية أو للمهام C5 و C6 في امتحان الدولة الموحد - في حدود 3800-4000 روبل.
مدرس رياضيات محترف. جودة العمل مضمونة. النهج الفرديواختيار المنهجية لكل طالب ...
  

• تكلفة الدرس: 2200 فرك. / 60 دقيقة
• العناصر:الرياضيات ، حساب التفاضل والتكامل ، نظرية الاحتمالات ، الجبر الخطي
• مدينة:موسكو
• أقرب محطة مترو:شوكينسكايا
• زيارة منزلية:رقم
• حالة:مدرس خصوصي
• تعليم:أعلى تعليم المدرس: كلية الرياضيات ، جامعة موسكو الحكومية التربوية. تخرج عام 1996.

مدرس مؤهل في الإحصاء الرياضي.
المواد الدراسية: الرياضيات (المدرسة وما فوقها ، OGE و EGE) ، الفيزياء (المدرسة ، OGE و EGE) ، نظرية الاحتمالات ، الإحصاء الرياضي ، التوافقية.
التلاميذ والمتقدمون والطلاب. التحضير لأي جامعة ، USE ، Olympiad. المواضيع: الرياضيات ، الفيزياء ، التحليل الرياضي ، الجبر الخطي ، الهندسة التحليلية ، نظرية الاحتمالات ، الإحصاء الرياضي ، العمليات العشوائية.
معلم الدورات التحضيريةإلى الجامعة.
  

• تكلفة الدرس:سعري في المنزل في Dolgoprudny هو 3000 روبل / 60 دقيقة. ، في منزل الطالب - 3700 روبل / 60 دقيقة. ، الفصول عن بعد (سكايب) - 2700 روبل / 60 دقيقة.
• العناصر:الرياضيات ، الفيزياء ، نظرية الاحتمالات ، حساب التفاضل والتكامل
• مدن:موسكو ، لوبنيا ، دولجوبرودني ، دميتروف
• أقرب محطات المترو:ألتوفييفو ، محطة النهر
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:أستاذ
• تعليم:معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا (MIPT) ، كلية الإدارة و الرياضيات التطبيقية، مُرَشَّح العلوم التقنية, منصب أكاديمى"زميل باحث أول" ، أستاذ مشارك في قسم الرياضيات العليا في معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ...

مدرس الرياضيات من ذوي الخبرة.
الرياضيات والفيزياء لطلاب المدارس المتوسطة والثانوية والطلاب والبالغين ، والتحضير لـ OGE و USE. دروس مع المتقدمين للجامعة. الجلسات الفردية- هي الأكثر كفاءة. تضمن الخبرة التدريسية الرائعة الدراسة الناجحة لأكثر القضايا تعقيدًا.
  

• تكلفة الدرس:الرياضيات والفيزياء: 90 دقيقة / 900 روبل لأطفال المدارس.
  الطلاب والكبار 90 دقيقة / 1200 روبل.
• العناصر:الرياضيات وحساب التفاضل والتكامل والفيزياء
• مدن:موسكو ، جوكوفسكي ، جوكوفسكي ، جوكوفسكي ، جوكوفسكي
• أقرب محطات المترو: Kotelniki ، فيكينو
• زيارة منزلية:متوفرة
• حالة:مدرس خصوصي
• تعليم:جامعة موسكو في Lomonosov ، كلية الفيزياء ، قسم الرياضيات لكلية الفيزياء ، 1976. الأكاديمية الروسية لريادة الأعمال ، 1994