طريقة لاغرانج هي مثال ذو حدين. القيم القصوى الشرطية وطريقة مضاعفات لاغرانج

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = و (ر)

يتكون من استبدال الثوابت التعسفية ck في الحل العام

ض (t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...

كنزن (ر)

المعادلة المتجانسة المقابلة

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = 0

إلى الدوال المساعدة ck (t) التي تلبي مشتقاتها النظام الجبري الخطي

محدد النظام (1) هو Wronskian للوظائف z1 ، z2 ، ... ، zn ، والذي يضمن قابلية حله الفريدة فيما يتعلق بـ.

إذا كانت المشتقات العكسية مأخوذة بقيم ثابتة لثوابت التكامل ، فإن الوظيفة

هو حل للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة الأصلية. اندماج معادلة غير متجانسةفي وجود حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة ، يتم تقليل ذلك إلى التربيعات.

طريقة لاغرانج (طريقة تغيير الثوابت التعسفية)

طريقة للحصول على حل عام لمعادلة غير متجانسة ، مع معرفة الحل العام لمعادلة متجانسة دون إيجاد حل معين.

للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = 0 ،

حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) معروفة ، مستمرة ، صحيحة: 1) يوجد n خطيًا معادلات الحلول المستقلة y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ 2) لأي قيم للثوابت c1 ، c2 ، ... ، cn ، الدالة y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) هي a حل المعادلة 3) لأي القيم الأولية x0، y0، y0،1، ...، y0، n-1 هناك قيم c * 1، c * n، ...، c * n مثل أن الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) يرضي لـ x = x0 الشروط الأولية y * (x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.

التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) يسمى حل مشتركالمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة n.

مجموعة الحلول المستقلة خطيًا لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة n y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) تسمى النظام الأساسي لحلول المعادلة.

للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتةهناك خوارزمية بسيطة لبناء نظام أساسي للحلول. سنبحث عن حل للمعادلة بالصيغة y (x) = exp (lx): exp (lx) (n) + a1exp (lx) (n-1) + ... + an-1exp (lx) "+ anexp (lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an) exp (lx) = 0 ، أي أن الرقم l هو الجذر معادلة مميزة ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. يسمى الجانب الأيسر من المعادلة المميزة كثير الحدود المميز لمعادلة تفاضلية خطية: P (l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. وهكذا ، فإن مشكلة حل معادلة خطية متجانسة من الدرجة n مع معاملات ثابتة يتم تقليلها إلى حل معادلة جبرية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية مختلفة l1№ l2 № ... ln ، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من الدوال y1 (x) = exp (l1x) ، y2 (x) = exp (l2x) ،. .. ، yn (x) = exp (lnx) ، والحل العام للمعادلة المتجانسة هو: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

نظام أساسي للحلول وحل عام لحالة الجذور الحقيقية البسيطة.

إذا تكررت أي من الجذور الحقيقية للمعادلة المميزة r مرات (جذر r-fold) ، فإن وظائف r تتوافق معها في نظام الحلول الأساسي ؛ إذا lk = lk + 1 = ... = lk + r-1 ، ثم في النظام الأساسيحلول المعادلة ، هناك وظائف r: yk (x) = exp (lkx) ، yk + 1 (x) = xexp (lkx) ، yk + 2 (x) = x2exp (lkx) ، ... ، yk + r-1 (x) = xr-1exp (lnx).

مثال 2. النظام الأساسي للحلول والحل العام لقضية الجذور الحقيقية المتعددة.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور معقدة ، فإن كل زوج من الجذور المعقدة البسيطة (للتعددية 1) lk ، k + 1 = ak ± ibk في النظام الأساسي للحلول يتوافق مع زوج من الوظائف yk (x) = exp (akx) cos (bkx) ، yk + 1 (x) = exp (akx) sin (bkx).

مثال 4. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة البسيطة. جذور خيالية.

إذا كان زوج معقد من الجذور له تعدد r ، فإن هذا الزوج lk = lk + 1 = ... = l2k + 2r-1 = ak ± ibk ، في نظام الحلول الأساسي يتوافق مع وظائف exp (akx) cos ( bkx) ، exp (akx) sin (bkx) ، xexp (akx) cos (bkx) ، xexp (akx) sin (bkx) ، x2exp (akx) cos (bkx) ، x2exp (akx) sin (bkx) ، .. ...... ........ xr-1exp (akx) cos (bkx) ، xr-1exp (akx) sin (bkx).

مثال 5. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة المتعددة.

وهكذا ، لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة ، يجب على المرء: كتابة المعادلة المميزة ؛ أوجد جميع جذور المعادلة المميزة l1، l2، ...، ln؛ اكتب النظام الأساسي للحلول y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ اكتب تعبيرًا عن الحل العام y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x). لحل مشكلة كوشي ، نحتاج إلى استبدال تعبير الحل العام بالشروط الأولية وتحديد قيم الثوابت c1 ، ... ، cn ، وهي حلول لنظام الخطي المعادلات الجبرية c1 y1 (x0) + c2 y2 (x0) + ... + cn yn (x0) = y0، c1 y "1 (x0) + c2 y" 2 (x0) + ... + cn y "n (x0 ) = y0،1، .........، c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn (n-1) ( x0) = y0، n-1

للحصول على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = f (x) ،

حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) ، f (x) معروفة ، مستمرة ، صالحة: 1 ) إذا كان y1 (x) و y2 (x) حلين لمعادلة غير متجانسة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) - y2 (x) هي حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ؛ 2) إذا كان y1 (x) حلاً لمعادلة غير متجانسة ، و y2 (x) هو حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) + y2 (x) هي حل لـ معادلة غير متجانسة 3) إذا كانت y1 (x) ، و y2 (x) ، ... ، yn (x) هي n حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة ، و ych (x) - قرار تعسفيمعادلة غير متجانسة ، إذن لأي قيم أولية x0 ، y0 ، y0 ، 1 ، ... ، y0 ، n-1 هناك قيم c * 1 ، c * n ، ... ، c * n مثل الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) + ych (x) يفي بـ x = x0 الشروط الأولية y * ( x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.

يُطلق على التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + ych (x) الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الترتيب التاسع.

لإيجاد حلول خاصة غير متجانسة المعادلات التفاضليةذات المعاملات الثابتة مع الجوانب اليمنى من النموذج: Pk (x) exp (ax) cos (bx) + Qm (x) exp (ax) sin (bx) ، حيث Pk (x) ، Qm (x) هي متعددة الحدود من الدرجة k و m وفقًا لذلك ، توجد خوارزمية بسيطة لبناء حل معين ، تسمى طريقة الاختيار.

طريقة الاختيار ، أو طريقة المعاملات غير المؤكدة ، هي كما يلي. تتم كتابة الحل المطلوب للمعادلة على النحو التالي: (Pr (x) exp (ax) cos (bx) + Qr (x) exp (ax) sin (bx)) xs ، حيث Pr (x) و Qr (x) هي كثيرات الحدود للدرجة r = max (k، m) مع معاملات غير معروفة pr، pr-1، ...، p1، p0، qr، qr-1، ...، q1، q0. يُطلق على العامل xs عامل الطنين. يحدث الرنين في الحالات التي يكون فيها من بين جذور المعادلة المميزة جذر l = a ± ib من التعددية s. أولئك. إذا كان من بين جذور المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة ، هناك جزء منها يتطابق مع المعامل في الأس ، ويتزامن الجزء التخيلي مع المعامل في الوسيطة دالة مثلثيةعلى الجانب الأيمن من المعادلة ، وتعدد هذا الجذر هو s ، ثم في الحل المحدد المطلوب يوجد عامل الطنين xs. إذا لم يكن هناك مثل هذه المصادفة (s = 0) ، فلا يوجد عامل طنين.

باستبدال التعبير الخاص بحل معين على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على كثير حدود معمم من نفس الشكل مثل كثير الحدود على الجانب الأيمن من المعادلة ، ومعاملاته غير معروفة.

تتساوى كثيرات الحدود المعممة إذا وفقط إذا كانت معاملات العوامل على شكل xtexp (ax) sin (bx) و xtexp (ax) cos (bx) مع نفس قوى t متساوية. معادلة معاملات هذه العوامل ، نحصل على نظام من 2 (r + 1) المعادلات الجبرية الخطية في 2 (r + 1) مجهول. يمكن إثبات أن مثل هذا النظام متسق وله حل فريد.

دعونا أولاً ننظر في حالة دالة من متغيرين. الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z = f (x، y) $ عند النقطة $ M_0 (x_0؛ y_0) $ هو الحد الأقصى لهذه الدالة ، والذي تم الوصول إليه بشرط أن المتغيرين $ x $ و $ y $ في المنطقة المجاورة لهذه النقطة تحقق معادلة القيد $ \ varphi (x، y) = 0 $.

يرجع الاسم "الشرطي" الأقصى إلى حقيقة أن الشرط الإضافي $ \ varphi (x، y) = 0 $ مفروض على المتغيرات. إذا كان من الممكن التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة الاتصال ، فإن مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي يتم تقليلها إلى مشكلة الحد الأقصى المعتاد لدالة متغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كان $ y = \ psi (x) $ يتبع معادلة القيد ، فعند استبدال $ y = \ psi (x) $ في $ z = f (x، y) $ ، نحصل على دالة لمتغير واحد $ z = f \ left (x، \ psi (x) \ right) $. في الحالة العامةومع ذلك ، فإن هذه الطريقة قليلة الاستخدام ، لذلك يلزم وجود خوارزمية جديدة.

طريقة مضاعفات لاجرانج لوظائف متغيرين.

طريقة مضاعفات لاغرانج هي أنه للعثور على الحد الأقصى الشرطي ، تتكون وظيفة لاجرانج: $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $ (المعلمة $ \ lambda يسمى $ مضاعف لاغرانج). يتم توفير الشروط القصوى اللازمة من خلال نظام معادلات يتم من خلاله تحديد النقاط الثابتة:

$$ \ يسار \ (\ يبدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي س) = 0 ؛ \ & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 0 ؛ \ & \ فارفي (س ، ص) = 0. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

العلامة $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. إذا كان عند نقطة ثابتة $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الدالة $ z = f (x، y) $ لها حد أدنى مشروط في هذه المرحلة ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.

هناك طريقة أخرى لتحديد طبيعة الطرف الأقصى. من معادلة القيد نحصل على: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $، $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) ( \ varphi_ (y) ^ (")) dx $ ، لذلك لدينا في أي نقطة ثابتة:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) + F_ (yy) ^ ("") \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ left (\ varphi_ (y) ^ (") \ right) ^ 2) \ cdot \ left (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ حق) $$

يمكن تمثيل العامل الثاني (الموجود بين قوسين) بهذا الشكل:

عناصر $ \ left | \ start (مجموعة) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ end (مجموعة) \ right | $ وهو Hessian لوظيفة Lagrange. إذا كان $ H> 0 $ فإن $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دولار ، أي لدينا حد أدنى مشروط للدالة $ z = f (x، y) $.

ملاحظة على شكل المحدد $ H $. اظهر المخفي

$$ H = - \ left | \ start (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ نهاية (مجموعة) \ يمين | $$

في هذه الحالة ، تتغير القاعدة التي تمت صياغتها أعلاه على النحو التالي: إذا كان $ H> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، وللحالة $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

خوارزمية لدراسة دالة من متغيرين لأقصى شرطي

قم بتكوين دالة لاجرانج $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $
حل النظام $ \ left \ (\ start (align) & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 0 ؛ \\ & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 0 ؛ \\ & \ varphi (x، y) = 0. \ end (محاذاة) \ right. $
حدد طبيعة الطرف الأقصى عند كل نقطة من النقاط الثابتة الموجودة في الفقرة السابقة. للقيام بذلك ، استخدم أيًا من الطرق التالية:
- اكتب المحدد $ H $ واكتشف علامته
- مع الأخذ بعين الاعتبار معادلة القيد ، احسب علامة $ d ^ 2F $

طريقة لاجرانج المضاعفة لوظائف المتغيرات n

لنفترض أن لدينا دالة من المتغيرات $ n $ $ z = f (x_1، x_2، \ ldots، x_n) معادلات القيد $ و $ m $ ($ n> m $):

$$ \ varphi_1 (x_1 ، x_2 ، \ ldots ، x_n) = 0 ؛ \ ؛ \ varphi_2 (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0، \ ldots، \ varphi_m (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0. $$

بالإشارة إلى مضاعفات لاجرانج $ \ lambda_1 ، \ lambda_2 ، \ ldots ، \ lambda_m $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاجرانج:

$$ F (x_1، x_2، \ ldots، x_n، \ lambda_1، \ lambda_2، \ ldots، \ lambda_m) = f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_m \ varphi_m $$

يتم توفير الشروط اللازمة لوجود حد أقصى شرطي من خلال نظام معادلات يتم من خلاله العثور على إحداثيات النقاط الثابتة وقيم مضاعفات لاغرانج:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي x_i) = 0 ؛ (i = \ overline (1، n)) \\ & \ varphi_j = 0 ؛ (j = \ overline (1، m)) \ end (محاذاة) \ right. $$

من الممكن معرفة ما إذا كانت الوظيفة لها حد أدنى أو حد أقصى مشروط عند النقطة التي تم العثور عليها ، كما كان من قبل ، باستخدام العلامة $ d ^ 2F $. إذا كانت النقطة التي تم العثور عليها $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

محدد المصفوفة $ \ left | \ start (array) (ccccc) \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (2) ) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (n)) \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_1) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F ) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (n)) \ \ frac (\ جزئي ^ 2F) ) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) ^ (2)) \\ \ end ( array) \ right | $ المظلل باللون الأحمر في مصفوفة $ L $ هو دالة Hessian لوظيفة Lagrange. نستخدم القاعدة التالية:

إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ المصفوفات $ L $ تتطابق مع العلامة $ (- 1) ^ m $ ، فإن النقطة الثابتة قيد الدراسة هي الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.
إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ alternate وعلامة الصغير $ H_ (2m + 1) $ تتطابق مع علامة الرقم $ (- 1) ^ (m + 1 ) $ ، فإن النقطة الثابتة المدروسة هي النقطة القصوى المشروطة للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.

مثال 1

أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = x + 3y $ تحت الشرط $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

التفسير الهندسي لهذه المشكلة هو كما يلي: مطلوب إيجاد أكبر و أصغر قيمةتطبيقات المستوى $ z = x + 3y $ لنقاط تقاطعها مع الأسطوانة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

من الصعب نوعًا ما التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة القيد واستبداله في الدالة $ z (x ، y) = x + 3y $ ، لذلك سنستخدم طريقة Lagrange.

للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:

$$ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10)؛ \\ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 1 + 2 \ lambda x ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 3 + 2 \ لامدا ص. $$

دعونا نكتب نظام المعادلات لتحديد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 1 + 2 \ لامدا س = 0 ؛ \\ & 3 + 2 \ لامدا y = 0 ؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ النهاية (محاذاة) \ حق. $$

إذا افترضنا أن $ \ lambda = 0 $ ، فإن المعادلة الأولى تصبح: $ 1 = 0 $. التناقض الناتج يقول أن $ \ lambda \ neq 0 $. تحت الشرط $ \ lambda \ neq 0 $ ، من المعادلتين الأولى والثانية لدينا: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $ ، $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $. باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في المعادلة الثالثة ، نحصل على:

$$ \ يسار (- \ فارك (1) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2 + \ يسار (- \ فارك (3) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2-10 = 0 ؛ \ \ فارك (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10 ؛ \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4) ؛ \ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ نهاية (محاذاة) \ يمين \ تبدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1 ؛ \ ؛ y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3 ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1 ؛ \ ؛ y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ نهاية (محاذاة) $$

لذلك ، النظام لديه حلين: $ x_1 = 1 ؛ \؛ y_1 = 3 ؛ \ ؛ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ و $ x_2 = -1 ؛ \ ؛ y_2 = -3 ؛ \ ؛ \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. دعونا نكتشف طبيعة الطرف الأقصى عند كل نقطة ثابتة: $ M_1 (1 ؛ 3) $ و $ M_2 (-1 ؛ -3) $. للقيام بذلك ، نحسب المحدد $ H $ عند كل نقطة.

$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x ؛ \ ؛ \ varphi_ (y) ^ (") = 2y ؛ \ ؛ F_ (xx) ^ ("") = 2 \ لامدا ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 0 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ left | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | $$

عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ نحصل على: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ end (array) \ right | = 40> 0 $ ، لذلك عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ الدالة $ z (x، y) = x + 3y $ لها حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = z (1؛ 3) = 10 $.

وبالمثل ، عند النقطة $ M_2 (-1 ؛ -3) $ نجد: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ end (array) \ right | = -40 $. منذ $ H.< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

ألاحظ أنه بدلاً من حساب قيمة المحدد $ H $ عند كل نقطة ، يكون من الأنسب توسيعه في نظرة عامة. من أجل عدم ازدحام النص بالتفاصيل ، سأخفي هذه الطريقة تحت ملاحظة.

ترميز $ H $ المحدد بشكل عام. اظهر المخفي

$$ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ right) = -8 \ lambda \ cdot \ left (y ^ 2 + x ^ 2 \ right). $$

من حيث المبدأ ، من الواضح بالفعل علامة $ H $. نظرًا لعدم تطابق أي من النقاط $ M_1 $ أو $ M_2 $ مع الأصل ، فإن $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. لذلك ، فإن علامة $ H $ هي عكس علامة $ \ lambda $. يمكنك أيضًا إكمال العمليات الحسابية:

$$ \ start (محاذاة) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ right) = 40 ؛ \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ right) = - 40. نهاية (محاذاة) $$

يمكن حل السؤال حول طبيعة الحد الأقصى عند النقاط الثابتة $ M_1 (1؛ 3) $ و $ M_2 (-1؛ -3) $ بدون استخدام المحدد $ H $. ابحث عن علامة $ d ^ 2F $ عند كل نقطة ثابتة:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ right) $$

لاحظت أن الترميز $ dx ^ 2 $ يعني بالضبط $ dx $ مرفوعًا للقوة الثانية ، أي $ \ يسار (dx \ right) ^ 2 $. ومن ثم لدينا: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $ ، لذلك بالنسبة إلى $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ نحصل على $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

إجابه: عند النقطة $ (- 1؛ -3) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = - 10 $. عند النقطة $ (1؛ 3) $ يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 10 $

المثال رقم 2

أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ تحت الشرط $ x + y = 0 $.

الطريقة الأولى (طريقة مضاعفات لاجرانج)

للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x + y $ نقوم بتكوين دالة لاجرانج: $ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.

$$ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 8x-y + \ lambda ؛ \ ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 9y ^ 2-x + \ lambda. \\ \ left \ (\ start (align) & 8x-y + \ lambda = 0 ؛ \\ & 9y ^ 2-x + \ lambda = 0 ؛ \\ & x + y = 0. \ end (محاذاة) \ حق. $$

عند حل النظام ، نحصل على: $ x_1 = 0 $ ، $ y_1 = 0 $ ، $ \ lambda_1 = 0 $ و $ x_2 = \ frac (10) (9) $ ، $ y_2 = - \ frac (10) (9 ) $، $ \ lambda_2 = -10 دولارات. لدينا نقطتان ثابتتان: $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. دعونا نكتشف طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة ثابتة باستخدام المحدد $ H $.

$$ H = \ اليسار | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \ end (array) \ right | = -10-18y $$

عند النقطة $ M_1 (0 ؛ 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $ ، لذا في هذه المرحلة يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.

نتحرى عن طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة من النقاط بطريقة مختلفة ، بناءً على علامة $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

من معادلة القيد $ x + y = 0 $ لدينا: $ d (x + y) = 0 $ ، $ dx + dy = 0 $ ، $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

بما أن $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ ، فإن $ M_1 (0 ؛ 0) $ هو الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. وبالمثل ، $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

الطريقة الثانية

من معادلة القيد $ x + y = 0 $ نحصل على: $ y = -x $. بالتعويض عن $ y = -x $ في الدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ ، نحصل على بعض وظائف المتغير $ x $. دعنا نشير إلى هذه الوظيفة كـ $ u (x) $:

$$ u (x) = z (x، -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$

وهكذا ، قمنا بتقليل مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي لدالة لمتغيرين إلى مشكلة تحديد الحد الأقصى لدالة متغير واحد.

$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x ؛ \\ -9x ^ 2 + 10x = 0 ؛ \ ؛ x \ cdot (-9x + 10) = 0 ؛ \\ x_1 = 0 ؛ \ ؛ y_1 = -x_1 = 0 ؛ \\ x_2 = \ frac (10) (9) ؛ \ ؛ y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$

حصلت على النقاط $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. مزيد من البحوثمعروف من الدورة حساب التفاضلوظائف متغير واحد. عند فحص علامة $ u_ (xx) ^ ("") $ في كل نقطة ثابتة أو التحقق من تغيير العلامة $ u_ (x) ^ (") $ في النقاط التي تم العثور عليها ، نحصل على نفس الاستنتاجات كما في الحل الأول . على سبيل المثال ، حدد علامة $ u_ (xx) ^ ("") $:

$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10 ؛ \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10 ؛ \ ؛ u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10

بما أن $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $ ، فإن $ M_1 $ هو الحد الأدنى للدالة $ u (x) $ ، بينما $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $. منذ $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

تتطابق قيم الدالة $ u (x) $ بموجب شرط الاتصال المحدد مع قيم الدالة $ z (x، y) $ ، أي. القيمة القصوى التي تم العثور عليها للدالة $ u (x) $ هي القيمة القصوى الشرطية المطلوبة للدالة $ z (x، y) $.

إجابه: عند النقطة $ (0؛ 0) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = 0 $. عند النقطة $ \ left (\ frac (10) (9) ؛ - \ frac (10) (9) \ right) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) ) $.

لنفكر في مثال آخر نكتشف فيه طبيعة الحد الأقصى من خلال تحديد علامة $ d ^ 2F $.

المثال رقم 3

أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة $ z = 5xy-4 $ إذا كانت المتغيرات $ x $ و $ y $ موجبة وتفي بمعادلة القيد $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac ( ص ^ 2) (2) -1 = 0 دولار.

قم بتكوين دالة لاغرانج: $ F = 5xy-4 + \ lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. أوجد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + \ frac (\ lambda x) (4)؛ \؛ F_ (y) ^ (") = 5x + \ lambda y. \\ \ left \ (\ start (align) & 5y + \ frac (\ lambda x) (4) = 0؛ \\ & 5x + \ lambda y = 0؛ \\ & \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0؛ \\ & x> 0؛ \؛ y> 0. \ end (محاذاة) \ right. $$

يتم إجراء جميع التحولات الأخرى مع الأخذ في الاعتبار $ x> 0 ؛ \ ؛ y> 0 $ (هذا منصوص عليه في حالة المشكلة). من المعادلة الثانية ، نعبر عن $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ واستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأولى: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) ( 4) = 0 دولار ، 4 س ^ 2-س ^ 2 = 0 دولار ، س = 2 س دولار. بالتعويض عن $ x = 2y $ في المعادلة الثالثة ، نحصل على: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، $ y ^ 2 = 1 $ ، $ ص = 1 دولار.

بما أن $ y = 1 $ ، فإن $ x = 2 $ ، $ \ lambda = -10 $. يتم تحديد طبيعة الحد الأقصى عند النقطة $ (2؛ 1) $ من علامة $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 5 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$

بما أن $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، إذن:

$$ d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) = 0 ؛ \ ؛ د \ يسار (\ فارك (س ^ 2) (8) \ يمين) + د \ يسار (\ فارك (y ^ 2) (2) \ يمين) = 0 ؛ \ ؛ \ frac (x) (4) dx + ydy = 0 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (xdx) (4y). $$

من حيث المبدأ ، يمكنك هنا على الفور استبدال إحداثيات النقطة الثابتة $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ والمعامل $ \ lambda = -10 $ ، وبالتالي الحصول على:

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = - 10 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) -10 \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

ومع ذلك ، في مشاكل أخرى للطرف الأقصى الشرطي ، قد يكون هناك عدة نقاط ثابتة. في مثل هذه الحالات ، من الأفضل تمثيل $ d ^ 2F $ بشكل عام ، ثم استبدال إحداثيات كل نقطة ثابتة تم العثور عليها في التعبير الناتج:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ left (- \ frac (xdx) (4y) \ right) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = \ left (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \ right) \ cdot dx ^ 2 $$

استبدال $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ ، $ \ lambda = -10 $ ، نحصل على:

$$ d ^ 2 F = \ left (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ right) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

منذ $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

إجابه: عند النقطة $ (2؛ 1) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 6 $.

في الجزء التالي ، سننظر في تطبيق طريقة لاغرانج للوظائف أكثرالمتغيرات.

تبدأ طريقة تحديد الحد الأقصى الشرطي ببناء دالة لاغرانج المساعدة ، والتي تصل ، في منطقة الحلول الممكنة ، إلى الحد الأقصى لنفس قيم المتغيرات x 1 ، س 2 ، ... ، x ن ، وهي الوظيفة الموضوعية ض . دع مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي للوظيفة ض = و (س) تحت قيود φ أنا ( x 1 , x 2 , ..., x ن ) = 0, أنا = 1, 2, ..., م , م < ن

يؤلف وظيفة

من اتصل وظيفة لاغرانج. X ، - عوامل ثابتة ( مضاعفات لاغرانج). لاحظ أنه يمكن إعطاء مضاعفات لاغرانج معنى اقتصاديًا. اذا كان و (x 1 ، س 2 ، ... ، x ن ) - الدخل حسب الخطة X = (س 1 ، س 2 ، ... ، x ن ) ، والوظيفة φ أنا (x 1 ، س 2 ، ... ، x ن ) هي تكاليف المورد الأول الموافق لهذه الخطة ، إذن X ، - السعر (التقييم) للمورد الأول ، الذي يميز التغير في القيمة القصوى دالة الهدفاعتمادًا على التغيير في حجم المورد الأول (تقدير هامشي). L (X) - وظيفة ن + م المتغيرات (x 1 ، س 2 ، ... ، x ن , λ 1 , λ 2 , ..., λ ن ) . يؤدي تحديد النقاط الثابتة لهذه الوظيفة إلى حل نظام المعادلات

من السهل رؤية ذلك . وبالتالي ، فإن مشكلة إيجاد أقصى حد شرطي للدالة ض = و (س) يقلل من إيجاد الحد الأقصى المحلي للدالة L (X) . إذا تم العثور على النقطة الثابتة ، فإن مسألة وجود أقصى حد في أبسط الحالات يتم حلها على أساس الشروط الكافية للأقصى - دراسة علامة التفاضل الثاني د 2 L (X) عند نقطة ثابتة ، بشرط أن يتزايد المتغير Δx أنا - مرتبطة بالعلاقات

تم الحصول عليها عن طريق تمييز معادلات القيد.

حل نظام معادلات غير خطية ذات مجهولين باستخدام أداة Solver

ضبط إيجاد حليسمح لك بإيجاد حل للنظام المعادلات غير الخطيةمع مجهولين:

أين
- دالة غير خطية للمتغيرات x و ذ ,
ثابت تعسفي.

ومن المعروف أن الزوج x , ذ ) هو حل لنظام المعادلات (10) إذا وفقط إذا كان حلًا للمعادلة التالية في مجهولين:

منمن ناحية أخرى ، فإن حل النظام (10) هو نقاط تقاطع منحنيين: F ] (x, ذ) = ج و F 2 (س ، ص) = ج 2 على السطح XOص.

من هذا يتبع طريقة لإيجاد جذور النظام. المعادلات غير الخطية:

حدد (على الأقل تقريبًا) الفترة الزمنية لوجود حل لنظام المعادلات (10) أو المعادلة (11). من الضروري هنا مراعاة نوع المعادلات المضمنة في النظام ، ومجال تعريف كل من معادلاتها ، وما إلى ذلك. في بعض الأحيان يتم استخدام اختيار التقريب الأولي للحل ؛

جدولة حل المعادلة (11) للمتغيرين x و y على الفاصل الزمني المحدد ، أو أنشئ رسومًا بيانية للوظائف F 1 (x, ذ) = ج و F 2 (س ، ص) = ج 2 (نظام (10)).

حدد الجذور المزعومة لنظام المعادلات - ابحث عن عدة القيم الدنياجدولة جذور المعادلة (11) من الجدول ، أو حدد نقاط تقاطع المنحنيات المتضمنة في النظام (10).

4. أوجد جذور نظام المعادلات (10) باستخدام الوظيفة الإضافية ابحث عن حل.

طريقة مضاعفات لاجرانج.

طريقة مضاعف لاغرانج هي إحدى الطرق التي تسمح بحل المشكلات ليس البرمجة الخطية.

البرمجة غير الخطية هي قسم البرمجة الرياضية، الذي يدرس طرق حل المشكلات المتطرفة باستخدام وظيفة ومنطقة موضوعية غير خطية حلول مجديةالتي تحددها القيود غير الخطية. في علم الاقتصاد ، يتوافق هذا مع حقيقة أن النتائج (الكفاءة) تزيد أو تنقص بشكل غير متناسب مع التغيرات في حجم استخدام الموارد (أو ، على نحو مكافئ ، حجم الإنتاج): على سبيل المثال ، بسبب تقسيم تكاليف الإنتاج في المؤسسات إلى متغيرات والثوابت المشروطة. بسبب تشبع الطلب على البضائع ، عندما يكون بيع كل وحدة لاحقة أكثر صعوبة من سابقتها ، إلخ.

يتم طرح مشكلة البرمجة غير الخطية على أنها مشكلة إيجاد أفضل وظيفة موضوعية معينة

F (x 1،… x n) ، F (x) → ماكس

بشروط

g j (x 1،… x n) ≥0 ، ز (x) ≤ ب , x ≥ 0

أين x-ناقل المتغيرات المطلوبة.

F (x) -دالة الهدف؛

ز (x) هي دالة القيد (قابلة للتفاضل باستمرار) ؛

ب - متجه ثوابت القيد.

يمكن أن ينتمي حل مشكلة البرمجة غير الخطية (الحد الأقصى أو الحد الأدنى العام) إما إلى الحد أو إلى الجزء الداخلي للمجموعة المقبولة.

على عكس مشكلة البرمجة الخطية ، في مشكلة البرمجة غير الخطية ، لا يكمن الأمثل بالضرورة على حدود المنطقة المحددة بواسطة القيود. بمعنى آخر ، تكمن المشكلة في اختيار مثل هذه القيم غير السلبية للمتغيرات ، والتي تخضع لنظام من القيود في شكل عدم المساواة ، والتي بموجبها يتم تحقيق الحد الأقصى (أو الحد الأدنى) للوظيفة المعينة. في هذه الحالة ، لا يتم تحديد أشكال الوظيفة الموضوعية أو عدم المساواة. يمكن ان يكون حالات مختلفة: الوظيفة الموضوعية غير خطية ، والقيود خطية ؛ الوظيفة الموضوعية خطية ، والقيود (واحدة منها على الأقل) غير خطية ؛ كل من الوظيفة الموضوعية والقيود غير خطية.

تحدث مشكلة البرمجة غير الخطية في علوم طبيعيةالتكنولوجيا والاقتصاد والرياضيات في هذا المجال علاقات عملوفي علم الحكومة.

البرمجة غير الخطية ، على سبيل المثال ، مرتبطة بمشكلة اقتصادية أساسية. لذلك في مشكلة تخصيص الموارد المحدودة ، إما أن يتم تعظيم الكفاءة ، أو ، إذا تمت دراسة المستهلك ، الاستهلاك في ظل وجود قيود تعبر عن ظروف ندرة الموارد. في مثل هذه الصيغة العامة ، قد تكون الصيغة الرياضية للمشكلة مستحيلة ، ولكن في تطبيقات محددةيمكن تحديد الشكل الكمي لجميع الوظائف مباشرة. فمثلا، مؤسسة صناعيةتصنع المنتجات البلاستيكية. يتم قياس كفاءة الإنتاج هنا من خلال الربح ، ويتم تفسير القيود على أنها العمالة المتاحة ، ومساحة الإنتاج ، وإنتاجية المعدات ، وما إلى ذلك.

تتناسب طريقة "الفعالية من حيث التكلفة" أيضًا مع مخطط البرمجة غير الخطية. هذه الطريقةتم تصميمه للاستخدام في صنع القرار في الحكومة. الوظيفة العامةالكفاءة خير. تنشأ هنا مشكلتان في البرمجة غير الخطية: الأولى هي تعظيم التأثير بتكاليف محدودة ، والثانية هي تقليل التكاليف ، بشرط أن يكون التأثير أعلى من حد أدنى معين. عادة ما يتم تصميم هذه المشكلة بشكل جيد باستخدام البرمجة غير الخطية.

نتائج حل مشكلة البرمجة غير الخطية مفيدة في اتخاذ القرارات الحكومية. الحل الناتج هو ، بالطبع ، موصى به ، لذلك من الضروري التحقيق في الافتراضات ودقة صياغة مشكلة البرمجة غير الخطية قبل اتخاذ القرار النهائي.

المشاكل غير الخطية معقدة ، وغالبًا ما يتم تبسيطها عن طريق الوصول إلى مشاكل خطية. للقيام بذلك ، من المفترض بشكل مشروط أنه في منطقة معينة تزيد أو تنقص الوظيفة الموضوعية بما يتناسب مع التغيير في المتغيرات المستقلة. يُطلق على هذا النهج طريقة التقريب الخطي متعدد التعريفات ؛ ومع ذلك ، فهو قابل للتطبيق فقط على أنواع معينة من المشكلات غير الخطية.

يتم حل المشكلات غير الخطية في ظل ظروف معينة باستخدام وظيفة لاغرانج: بعد أن عثروا على نقطة السرج ، وجدوا أيضًا حلًا للمشكلة. من بين الخوارزميات الحسابية لـ N. p. ، يشغل مكان كبير طرق التدرج. لا توجد طريقة عالمية للمشكلات غير الخطية ، وعلى ما يبدو ، قد لا تكون موجودة ، لأنها متنوعة للغاية. المشاكل متعددة الأطراف يصعب حلها بشكل خاص.

إحدى الطرق التي تسمح بتقليل مشكلة البرمجة غير الخطية لحل نظام المعادلات هي الطريقة مضاعفات غير محددةلاغرانج.

بمساعدة طريقة لاغرانج المضاعفة ، يؤسس المرء بشكل أساسي الشروط اللازمة، مما يسمح بتحديد النقاط المثلى في مشاكل التحسين ذات القيود في شكل مساواة. في هذه الحالة ، تتحول مشكلة القيود إلى مشكلة مماثلة التحسين غير المشروط، والتي تظهر فيها بعض المعلمات غير المعروفة ، تسمى مضاعفات لاغرانج.

تتمثل طريقة مضاعف لاغرانج في تقليل مشاكل الطرف الأقصى الشرطي إلى مشاكل الطرف الأقصى غير المشروط لوظيفة مساعدة - ما يسمى. وظائف لاغرانج.

لمشكلة الحد الأقصى للوظيفة F(x 1 ، x 2 ، ... ، x n) بشروط (معادلات الاقتران) φ أنا(x 1 ، x 2 ، ... ، x n) = 0, أنا= 1, 2,..., م، دالة لاغرانج لها الشكل

L (x 1، x 2 ... x n، λ 1، λ 2، ... λm) = f (x 1، x 2 ... x n) + ∑ i -1 م λ i φ i (x 1، x 2 ... x n)

المضاعفات λ 1، λ 2، ...، λmاتصل مضاعفات لاغرانج.

إذا كانت الكميات x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، λ 1 ، λ 2 ، ... ، λmهي حلول المعادلات التي تحدد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج ، أي بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل ، فهي حلول لنظام المعادلات

ثم في ظل الافتراضات العامة الكافية x 1 ، x 2 ، ... ، x n تقدم حدًا أقصى للدالة f.

ضع في اعتبارك مشكلة تقليل دالة n متغيرات ، مع مراعاة قيد واحد في شكل مساواة:

تصغير f (x 1، x 2 ... x n) (1)

مع قيود h 1 (x 1، x 2… x n) = 0 (2)

وفقًا لطريقة Lagrange المضاعفة ، تتحول هذه المشكلة إلى مشكلة التحسين غير المقيدة التالية:

تصغير L (x، λ) = f (x)-* h (x) (3)

حيث تسمى الوظيفة L (х ؛ λ) وظيفة لاغرانج ،

λ ثابت غير معروف يسمى مضاعف لاغرانج. لا توجد متطلبات مفروضة على علامة λ.

دعونا في مجموعة القيمةλ = λ 0 يتم الوصول إلى الحد الأدنى غير المشروط للدالة L (x، λ) بالنسبة إلى x عند النقطة x = x 0 و x 0 تحقق المعادلة h 1 (x 0) = 0. بعد ذلك ، كما يسهل رؤيته ، تقلل x 0 (1) مع الأخذ في الاعتبار (2) ، لأنه بالنسبة لجميع قيم x التي ترضي (2) ، h 1 (x) = 0 و L (x ، λ) = دقيقة و (س).

بالطبع ، من الضروري اختيار القيمة λ = λ 0 بحيث يفي تنسيق النقطة الدنيا غير المشروطة × 0 بالمساواة (2). يمكن القيام بذلك إذا أخذنا في الاعتبار λ كمتغير ، وجدنا الحد الأدنى غير المشروط للوظيفة (3) في شكل دالة λ ، ثم اخترنا قيمة λ التي يتم عندها استيفاء المساواة (2). دعنا نوضح هذا بمثال محدد.

قلل f (x) = x 1 2 + x 2 2 = 0

مع التقييد h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

تتم كتابة مشكلة التحسين غير المقيد المقابلة على النحو التالي:

تصغير L (x، λ) = x 1 2 + x 2 2-(2x 1 + x 2 -2)

المحلول. نحصل على مساواة عنصري التدرج L إلى صفر

→ × 1 0 = λ

→ × 2 0 = / 2

من أجل التحقق مما إذا كانت النقطة الثابتة x ° تتوافق مع الحد الأدنى ، نحسب عناصر مصفوفة Hessian للوظيفة L (x ؛ u) ، التي تعتبر دالة في x ،

التي تبين أنها إيجابية محددة.

هذا يعني أن L (x، u) دالة محدبة لـ x. لذلك ، فإن الإحداثيات x 1 0 = λ ، x 2 0 = λ / 2 تحدد الحد الأدنى العالمي للنقطة. تم العثور على القيمة المثلى لـ λ بتعويض القيمتين x 1 0 و x 2 0 في المعادلة 2x 1 + x 2 = 2 ، حيث 2λ + λ / 2 = 2 أو λ 0 = 4/5. وبالتالي ، يتم الوصول إلى الحد الأدنى الشرطي عند x 1 0 = 4/5 و x 2 0 = 2/5 ويساوي min f (x) = 4/5.

عند حل المشكلة من المثال ، اعتبرنا L (x ؛ λ) كدالة لمتغيرين x 1 و x 2 ، بالإضافة إلى ذلك ، افترضنا أنه تم اختيار قيمة المعلمة λ بحيث تم استيفاء القيد. إذا كان حل النظام

J = 1،2،3 ، ... ، ن

كما وظائف صريحةلا يمكن الحصول على λ ، ثم يتم العثور على قيم x و من خلال حل النظام التالي ، الذي يتكون من معادلات n + 1 مع n + 1 مجهول:

J = 1،2،3 ، ... ، n. ، h 1 (x) = 0

للعثور على كل شيء الحلول الممكنةفي هذا النظام ، يمكنك استخدام طرق البحث العددي (على سبيل المثال ، طريقة نيوتن). لكل من الحلول () يجب على المرء حساب عناصر مصفوفة هسه للدالة L ، التي تعتبر دالة في x ، ومعرفة ما إذا كانت هذه المصفوفة موجبة محددة ( الحد الأدنى المحلي) أو معرّفة بشكل سلبي (الحد الأقصى المحلي).

يمكن أن تمتد طريقة مضاعفات لاغرانج إلى الحالة التي يكون فيها للمشكلة عدة قيود في شكل مساواة. ضع في اعتبارك مشكلة عامة تتطلب

تصغير f (x)

بموجب القيود h k = 0 ، k = 1 ، 2 ، ... ، K.

تأخذ وظيفة لاغرانج العرض التالي:

هنا λ 1، λ 2، ...، λk- مضاعفات الترتيب ، أي معلمات غير معروفة يجب تحديد قيمها. نحصل على معادلة المشتقات الجزئية لـ L بالنسبة إلى x بالصفر النظام القادممعادلة n مع n مجهولة:

إذا اتضح أنه من الصعب إيجاد حل للنظام أعلاه في شكل وظائف المتجه λ ، فمن الممكن توسيع النظام من خلال تضمين القيود في شكل مساواة

يحدد حل نظام موسع يتكون من معادلات n + K مع n + K غير معروف نقطة ثابتةالوظيفة L. بعد ذلك ، يتم تنفيذ إجراء للتحقق من الحد الأدنى أو الأقصى ، والذي يتم تنفيذه على أساس حساب عناصر مصفوفة Hessian للدالة L ، التي تعتبر دالة في x ، على غرار الطريقة التي تم إجراؤها بها. في حالة وجود مشكلة مع قيد واحد. بالنسبة لبعض المشكلات ، قد لا يكون لنظام موسع من معادلات n + K مع n + K غير معروف حلولًا ، واتضح أن طريقة مضاعف Lagrange غير قابلة للتطبيق. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن مثل هذه المهام نادرة جدًا في الممارسة.

انصح حالة خاصة المهمة الشائعةالبرمجة غير الخطية ، بافتراض أن نظام القيود يحتوي على معادلات فقط ، فلا توجد شروط لعدم سلبية المتغيرات و - الدوال متصلة مع مشتقاتها الجزئية. لذلك ، بعد حل نظام المعادلات (7) ، يتم الحصول على جميع النقاط التي عندها يمكن أن يكون للدالة (6) قيم قصوى.

خوارزمية طريقة مضاعفات لاجرانج

1. نقوم بتكوين دالة لاغرانج.

2. نوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج بالنسبة إلى المتغيرات x J و λ i ونساويهما بالصفر.

3. نحل نظام المعادلات (7) ، ونوجد النقاط التي يمكن أن يكون للدالة الموضوعية للمسألة حد أقصى.

4. من بين النقاط المشبوهة في الحد الأقصى ، نجد تلك التي يتم الوصول عندها إلى الحد الأقصى ، ونحسب قيم الوظيفة (6) عند هذه النقاط.

مثال.

بيانات أولية:وفقًا لخطة الإنتاج ، تحتاج الشركة إلى إنتاج 180 منتجًا. يمكن تصنيع هذه المنتجات بطريقتين تقنيتين. في إنتاج منتجات x 1 في الطريقة 1 ، تكون التكاليف 4x 1 + x 1 2 روبل ، وفي تصنيع منتجات x 2 في الطريقة 2 ، تكون 8x 2 + x 2 2 روبل. حدد عدد المنتجات التي يجب أن تصنعها كل طريقة بحيث تكون تكلفة الإنتاج في حدها الأدنى.

الوظيفة الموضوعية للمشكلة لها الشكل
® دقيقةفي ظل الظروف x 1 + x 2 = 180 ، x 2 ≥0.
1. قم بتكوين وظيفة لاغرانج
.
2. نحسب المشتقات الجزئية بالنسبة إلى x 1 و x 2 و ونساويها بالصفر:

3. لحل نظام المعادلات الناتج ، نجد x 1 \ u003d 91 ، x 2 \ u003d 89

4. بعد إجراء الاستبدال في الوظيفة الموضوعية x 2 \ u003d 180-x 1 ، نحصل على دالة لمتغير واحد ، وهي f 1 \ u003d 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- × 1) 2

احسب أو 4x1-364 = 0 ،

من أين لدينا x 1 * = 91 ، x 2 * = 89.

الإجابة: عدد المنتجات المصنعة بالطريقة الأولى هو x 1 \ u003d 91 ، بالطريقة الثانية × 2 \ u003d 89 ، بينما قيمة الوظيفة الموضوعية هي 17278 روبل.

اسم المعلمة	المعنى
موضوع المقال:	طريقة لاغرانج.
قواعد التقييم (فئة مواضيعية)	رياضيات

لإيجاد كثير الحدود يعني تحديد قيم معاملها . للقيام بذلك ، باستخدام شرط الاستيفاء ، يمكنك تكوين نظام من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE).

عادة ما يسمى محدد SLAE هذا محدد Vandermonde. لا يساوي محدد Vandermonde الصفر في حالة عدم وجود عقد مطابقة في جدول البحث. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ ، يمكن القول أن SLAE لديها حل وهذا الحل فريد من نوعه. حل SLAE وتحديد المعاملات غير المعروفة يمكن للمرء أن يبني استيفاء كثير الحدود.

كثير الحدود الذي يفي بشروط الاستيفاء ، عندما يتم إقحامه بواسطة طريقة لاغرانج ، يتم إنشاؤه كمجموعة خطية من كثيرات الحدود من الدرجة n:

تسمى كثيرات الحدود أساسيكثيرات الحدود. إلى كثير حدود لاغرانجيفي بشروط الاستيفاء ، من المهم للغاية أن تكون متعددات الحدود لأساسها وفقا للشروط:

إلى عن على .

إذا تم استيفاء هذه الشروط ، فبالنسبة لأي منها لدينا:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ ، يعني استيفاء الشروط المعطاة لكثيرات الحدود الأساسية أن شروط الاستيفاء مستوفاة أيضًا.

دعونا نحدد شكل كثيرات الحدود الأساسية بناءً على القيود المفروضة عليها.

الشرط الأول:في .

الشرط الثاني: .

أخيرًا ، بالنسبة لكثير الحدود الأساسي ، يمكننا كتابة:

بعد ذلك ، باستبدال التعبير الناتج عن كثيرات الحدود الأساسي في كثير الحدود الأصلي ، نحصل على الشكل النهائي لكثيرات حدود لاجرانج:

شكل خاصعادة ما تسمى كثيرة حدود لاجرانج في صيغة الاستيفاء الخطي:

عادةً ما يُطلق على كثير حدود لاغرانج المأخوذ في صيغة الاستيفاء التربيعي:

طريقة لاغرانج. - المفهوم والأنواع. تصنيف وميزات فئة "طريقة لاغرانج". 2017 ، 2018.

- طريقة لاغرانج (طريقة تغيير ثابت اعتباطي).

أجهزة التحكم عن بعد الخطية. تعريف. نوع التحكم ، أي الخطي فيما يتعلق بالوظيفة غير المعروفة ويطلق على مشتقها اسم خطي. لمثل هذا القرار اكتب اور اللنفكر في طريقتين: طريقة لاغرانج وطريقة برنولي ، لنفكر في طريقة DE متجانسة.

- جهاز تحكم عن بعد خطي ، متجانس وغير متجانس. مفهوم الحل العام. طريقة لاجرانج في اختلاف حاصل ضرب الثوابت.

تعريف. يُطلق على DU اسم متجانس إذا كان من الممكن تمثيل f-i كـ f-i فيما يتعلق بمثال حججهم. اسم متجانس و عشرالقياسات إذا كانت الأمثلة: 1) - الدرجة الأولى من التوحيد. 2) - الدرجة الثانية من التجانس. 3) - طلب صفرالتجانس (متجانس ببساطة ....

- المحاضرة 8. تطبيق المشتقات الجزئية: المهام القصوى. طريقة لاغرانج.

المهام القصوى لها أهمية عظيمةفي الحسابات الاقتصادية. هذا هو حساب ، على سبيل المثال ، الحد الأقصى للدخل ، والربح ، والحد الأدنى من التكاليف ، اعتمادًا على عدة متغيرات: الموارد ، أصول الإنتاج ، إلخ. نظرية إيجاد الدوال القصوى ....

- T.2.3. DE للطلبات الأعلى. المعادلة في مجموع الفروق. T.2.4. DE الخطي من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة. طريقة لاغرانج.

3. 2. 1. DE مع المتغيرات القابلة للفصل S.R. 3. في العلوم الطبيعية والتكنولوجيا والاقتصاد ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل معها الصيغ التجريبية، بمعنى آخر. تم تجميع الصيغ على أساس معالجة البيانات الإحصائية أو ...