طريقة أمثلة مضاعفات لاجرانج. طريقة مضاعف لاغرانج
المحلول. أوجد الحد الأقصى للدالة F (X) = 9 x 1 + x 1 2 +6 x 2 + x 2 2 باستخدام دالة لاغرانج:
أين
هي الوظيفة الموضوعية للمتجه.
- القيود الضمنية (أنا = 1..n)
كما دالة الهدف، مع مراعاة التحسين ، تعمل الوظيفة في هذه المشكلة:
F (X) = 9 x 1 + x 1 2 +6 x 2 + x 2 2
دعنا نعيد كتابة قيد المشكلة بصيغة ضمنية:
نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج المساعدة:
= 9 x 1 + x 1 2 +6 x 2 + x 2 2 + λ (x 1 + x 2 -150)
الشرط الضروري لدالة لاغرانج هو المساواة مع صفر من مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات x i و مضاعف غير محدد λ.
لنقم بإنشاء نظام:
∂L / ∂x 1 = 2 × 1 + + 9 = 0
∂L / ∂x 2 = λ + 2 x 2 +6 = 0
∂F / ∂λ = x 1 + x 2 -150 = 0
نقوم بحل النظام باستخدام طريقة Gauss أو باستخدام صيغ Cramer.
نكتب النظام بالصيغة: 
لتسهيل العمليات الحسابية ، نقوم بتبديل الخطوط: 
دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:
اضرب الصف الثاني ب (2). اضرب الصف الثالث في (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني: 
اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول: 
من السطر الأول نعبر عن x 3
من السطر الثاني نعبر عن x 2
من السطر الثالث نعبر عن x 1
وبالتالي ، من أجل أن تكون التكلفة الإجمالية للإنتاج في حدها الأدنى ، من الضروري إنتاج x 1 = 74.25 ؛ × 2 = 75.75.
ممارسه الرياضه. وفقًا لخطة الإنتاج ، تحتاج الشركة إلى إنتاج 50 منتجًا. يمكن تصنيع هذه المنتجات بطريقتين تقنيتين. في إنتاج x 1 - المنتجات بالطريقة الأولى ، تكون التكاليف 3x 1 + x 1 2 (طن روبل) ، وفي تصنيع x 2 - المنتجات بالطريقة الثانية ستكون 5x 2 + x 2 2 (طن روبل). حدد عدد المنتجات التي تحتاج كل طريقة لتصنيعها بحيث تكون تكلفة الإنتاج الإجمالية في حدها الأدنى.
الحل: يؤلف الوظيفة الموضوعية والقيود:
F (X) = 3x 1 + x 1 2 + 5x 2 + x 2 2 → دقيقة
س 1 + س 2 = 50
an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = و (ر)
يتكون من استبدال الثوابت التعسفية ck في الحل العام
ض (t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...
كنزن (ر)
ذو صلة معادلة متجانسة
an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = 0
إلى الدوال المساعدة ck (t) التي تلبي مشتقاتها النظام الجبري الخطي
محدد النظام (1) هو Wronskian للوظائف z1 ، z2 ، ... ، zn ، والذي يضمن قابلية حله الفريدة فيما يتعلق بـ.
إذا كانت المشتقات العكسية مأخوذة بقيم ثابتة لثوابت التكامل ، فإن الوظيفة
هو حل للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة الأصلية. اندماج معادلة غير متجانسةفي وجود حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة ، يتم تقليل ذلك إلى التربيعات.
طريقة لاغرانج (طريقة تغيير الثوابت التعسفية)
طريقة للحصول على حل عام لمعادلة غير متجانسة ، مع معرفة الحل العام لمعادلة متجانسة دون إيجاد حل معين.
للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة n
y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = 0 ،
حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) معروفة ، مستمرة ، صحيحة: 1) يوجد n خطيًا معادلات الحلول المستقلة y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ 2) لأي قيم للثوابت c1 ، c2 ، ... ، cn ، الدالة y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) هي a حل المعادلة 3) لأي القيم الأولية x0، y0، y0،1، ...، y0، n-1 هناك قيم c * 1، c * n، ...، c * n مثل أن الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) يرضي لـ x = x0 الشروط الأولية y * (x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.
التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) يسمى حل مشتركالمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة n.
مجموعة الحلول المستقلة خطيًا لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة n y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) تسمى النظام الأساسي لحلول المعادلة.
للحصول على معادلة تفاضلية خطية متجانسة مع معاملات ثابتةهناك خوارزمية بسيطة لبناء نظام أساسي للحلول. سنبحث عن حل للمعادلة بالصيغة y (x) = exp (lx): exp (lx) (n) + a1exp (lx) (n-1) + ... + an-1exp (lx) "+ anexp (lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an) exp (lx) = 0 ، أي أن الرقم l هو الجذر معادلة مميزة ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. يسمى الجانب الأيسر من المعادلة المميزة كثير الحدود المميز لمعادلة تفاضلية خطية: P (l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. وهكذا ، فإن مشكلة حل معادلة خطية متجانسة من الدرجة n مع معاملات ثابتة يتم تقليلها إلى حل معادلة جبرية.
إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية مختلفة l1№ l2 № ... ln ، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من الدوال y1 (x) = exp (l1x) ، y2 (x) = exp (l2x) ،. .. ، yn (x) = exp (lnx) ، والحل العام للمعادلة المتجانسة هو: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).
نظام أساسي للحلول وحل عام لحالة الجذور الحقيقية البسيطة.
إذا تكررت أي من الجذور الحقيقية للمعادلة المميزة r مرات (جذر r-fold) ، فإن وظائف r تتوافق معها في نظام الحلول الأساسي ؛ إذا lk = lk + 1 = ... = lk + r-1 ، ثم في النظام الأساسيحلول المعادلة ، هناك وظائف r: yk (x) = exp (lkx) ، yk + 1 (x) = xexp (lkx) ، yk + 2 (x) = x2exp (lkx) ، ... ، yk + r-1 (x) = xr-1exp (lnx).
مثال 2. النظام الأساسي للحلول والحل العام لقضية الجذور الحقيقية المتعددة.
إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور معقدة ، فإن كل زوج من الجذور المعقدة البسيطة (للتعددية 1) lk ، k + 1 = ak ± ibk في النظام الأساسي للحلول يتوافق مع زوج من الوظائف yk (x) = exp (akx) cos (bkx) ، yk + 1 (x) = exp (akx) sin (bkx).
مثال 4. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة البسيطة. جذور خيالية.
إذا كان زوج معقد من الجذور له تعدد r ، فإن هذا الزوج lk = lk + 1 = ... = l2k + 2r-1 = ak ± ibk ، في نظام الحلول الأساسي يتوافق مع وظائف exp (akx) cos ( bkx) ، exp (akx) sin (bkx) ، xexp (akx) cos (bkx) ، xexp (akx) sin (bkx) ، x2exp (akx) cos (bkx) ، x2exp (akx) sin (bkx) ، .. ...... ........ xr-1exp (akx) cos (bkx) ، xr-1exp (akx) sin (bkx).
مثال 5. النظام الأساسي للحلول والحل العام لحالة الجذور المعقدة المتعددة.
وهكذا ، لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة ، يجب على المرء: كتابة المعادلة المميزة ؛ أوجد جميع جذور المعادلة المميزة l1، l2، ...، ln؛ اكتب النظام الأساسي للحلول y1 (x) ، y2 (x) ، ... ، yn (x) ؛ اكتب تعبيرًا عن الحل العام y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x). لحل مشكلة كوشي ، نحتاج إلى استبدال تعبير الحل العام بالشروط الأولية وتحديد قيم الثوابت c1 ، ... ، cn ، وهي حلول لنظام الخطي المعادلات الجبرية c1 y1 (x0) + c2 y2 (x0) + ... + cn yn (x0) = y0، c1 y "1 (x0) + c2 y" 2 (x0) + ... + cn y "n (x0 ) = y0،1، .........، c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn (n-1) ( x0) = y0، n-1
للحصول على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة n
y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = f (x) ،
حيث y = y (x) دالة غير معروفة ، a1 (x) ، a2 (x) ، ... ، an-1 (x) ، an (x) ، f (x) معروفة ، مستمرة ، صالحة: 1 ) إذا كان y1 (x) و y2 (x) حلين لمعادلة غير متجانسة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) - y2 (x) هي حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ؛ 2) إذا كان y1 (x) حلاً لمعادلة غير متجانسة ، و y2 (x) هو حل للمعادلة المتجانسة المقابلة ، فإن الوظيفة y (x) = y1 (x) + y2 (x) هي حل لـ معادلة غير متجانسة 3) إذا كانت y1 (x) ، و y2 (x) ، ... ، yn (x) هي n حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة ، و ych (x) - قرار تعسفيمعادلة غير متجانسة ، إذن لأي قيم أولية x0 ، y0 ، y0 ، 1 ، ... ، y0 ، n-1 هناك قيم c * 1 ، c * n ، ... ، c * n مثل الحل y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) + ych (x) يفي بـ x = x0 الشروط الأولية y * ( x0) = y0، (y *) "(x0) = y0،1، ...، (y *) (n-1) (x0) = y0، n-1.
يُطلق على التعبير y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + ych (x) الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الترتيب التاسع.
لإيجاد حلول خاصة غير متجانسة المعادلات التفاضليةذات المعاملات الثابتة مع الجوانب اليمنى من النموذج: Pk (x) exp (ax) cos (bx) + Qm (x) exp (ax) sin (bx) ، حيث Pk (x) ، Qm (x) هي متعددة الحدود من الدرجة k و m وفقًا لذلك ، توجد خوارزمية بسيطة لبناء حل معين ، تسمى طريقة الاختيار.
طريقة الاختيار ، أو طريقة المعاملات غير المؤكدة ، هي كما يلي. تتم كتابة الحل المطلوب للمعادلة على النحو التالي: (Pr (x) exp (ax) cos (bx) + Qr (x) exp (ax) sin (bx)) xs ، حيث Pr (x) و Qr (x) هي كثيرات الحدود للدرجة r = max (k، m) مع معاملات غير معروفة pr، pr-1، ...، p1، p0، qr، qr-1، ...، q1، q0. يُطلق على العامل xs عامل الطنين. يحدث الرنين في الحالات التي يكون فيها من بين جذور المعادلة المميزة جذر l = a ± ib من التعددية s. أولئك. إذا كان من بين جذور المعادلة المميزة للمعادلة المتجانسة المقابلة ، هناك جزء منها يتطابق مع المعامل في الأس ، ويتزامن الجزء التخيلي مع المعامل في الوسيطة دالة مثلثيةعلى الجانب الأيمن من المعادلة ، وتعدد هذا الجذر هو s ، ثم في الحل المحدد المطلوب يوجد عامل الطنين xs. إذا لم يكن هناك مثل هذه المصادفة (s = 0) ، فلا يوجد عامل طنين.
باستبدال التعبير الخاص بحل معين على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على كثير حدود معمم من نفس الشكل مثل كثير الحدود على الجانب الأيمن من المعادلة ، ومعاملاته غير معروفة.
تتساوى كثيرات الحدود المعممة إذا وفقط إذا كانت معاملات العوامل على شكل xtexp (ax) sin (bx) و xtexp (ax) cos (bx) مع نفس قوى t متساوية. معادلة معاملات هذه العوامل ، نحصل على نظام من 2 (r + 1) المعادلات الجبرية الخطية في 2 (r + 1) مجهول. يمكن إثبات أن مثل هذا النظام متسق وله حل فريد.
|
طريقة لاغرانجهي طريقة لحل مشكلة التحسين الشرطي، والتي بموجبها القيود المكتوبة باسم وظائف ضمنية، مع وظيفة الهدف في شكل معادلة جديدة تسمى لاغرانج.
انصح حالة خاصة المهمة الشائعة ليس البرمجة الخطية:
نظام معين المعادلات غير الخطية (1):
(1) gi (x1، x2، ...، xn) = bi (i = 1..m) ،
أوجد أصغر (أو أكبر) قيمة للدالة (2)
(2) و (1 ، х2 ، ... ، n) ،
إذا لم تكن هناك شروط لعدم سلبية المتغيرات و f (x1، x2، ...، xn) و gi (x1، x2، ...، xn) هي دوال متصلة مع مشتقاتها الجزئية.
لإيجاد حل لهذه المشكلة ، يمكنك تقديم طلب الطريقة التالية: 1. مجموعة من المتغيرات λ1 ، λ2 ، ... ، m ، تسمى مضاعفات لاغرانج ، وتشكل دالة لاغرانج (3)
(3) F (х1، х2، ...، n، λ1، λ2، ...، m) = f (х1، х2، ...، n) + i.
2. أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج فيما يتعلق بالمتغيرين xi و i ومساواتهما بالصفر.
3. لحل نظام المعادلات ، أوجد النقاط التي يمكن أن يكون للدالة الموضوعية للمشكلة حد أقصى.
4. من بين النقاط المشبوهة بأنها ليست حدًا أقصى ، يجدون تلك النقاط التي يتم الوصول عندها إلى الحد الأقصى ، ويحسبون قيم الوظيفة عند هذه النقاط .
4. قارن بين القيم التي تم الحصول عليها للدالة f واختر أفضلها.
وفقًا لخطة الإنتاج ، تحتاج الشركة إلى إنتاج 180 منتجًا. يمكن تصنيع هذه المنتجات بطريقتين تقنيتين. في إنتاج منتجات x1 بالطريقة الأولى ، تبلغ التكاليف 4 * x1 + x1 ^ 2 روبل ، وفي تصنيع منتجات x2 بالطريقة الثانية ، تبلغ 8 * x2 + x2 ^ 2 روبل. حدد عدد المنتجات التي يجب أن تصنعها كل طريقة ، بحيث تكون التكلفة الإجمالية للإنتاج في حدها الأدنى.
الحل: تتمثل الصيغة الرياضية للمسألة في تحديد أصغر قيمة لدالة من متغيرين:
f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 ، بشرط x1 + x2 = 180.
دعنا نؤلف وظيفة لاغرانج:
F (x1، x2، λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).
نحسب مشتقاته الجزئية بالنسبة إلى x1 و x2 و ونساويها بـ 0:
ننقل المعادلتين الأوليين إلى الأطراف اليمنى ونساوي الجانبين الأيسر ، نحصل على 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2 ، أو x1 - x2 = 2.
بحل المعادلة الأخيرة مع المعادلة x1 + x2 = 180 ، نجد x1 = 91 ، x2 = 89 ، أي أننا حصلنا على حل يلبي الشروط:
لنجد قيمة الدالة الموضوعية f لقيم المتغيرات هذه:
و (س 1 ، س 2) = 17278
هذه النقطة مشبوهة بالنسبة للأطراف المتطرفة. باستخدام المشتقات الجزئية الثانية ، يمكننا توضيح أنه عند النقطة (91.89) يكون للدالة f صغرى.
دعونا أولاً ننظر في حالة دالة من متغيرين. الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z = f (x، y) $ عند النقطة $ M_0 (x_0؛ y_0) $ هو الحد الأقصى لهذه الدالة ، والذي تم الوصول إليه بشرط أن المتغيرين $ x $ و $ y $ في المنطقة المجاورة لهذه النقطة تحقق معادلة القيد $ \ varphi (x، y) = 0 $.
يرجع الاسم "الشرطي" الأقصى إلى حقيقة أن الشرط الإضافي $ \ varphi (x، y) = 0 $ مفروض على المتغيرات. إذا كان من الممكن التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة الاتصال ، فإن مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي يتم تقليلها إلى مشكلة الحد الأقصى المعتاد لدالة متغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كان $ y = \ psi (x) $ يتبع معادلة القيد ، فعند استبدال $ y = \ psi (x) $ في $ z = f (x، y) $ ، نحصل على دالة لمتغير واحد $ z = f \ left (x، \ psi (x) \ right) $. في الحالة العامةومع ذلك ، فإن هذه الطريقة قليلة الاستخدام ، لذلك يلزم وجود خوارزمية جديدة.
طريقة مضاعفات لاجرانج لوظائف متغيرين.
طريقة مضاعفات لاغرانج هي أنه للعثور على الحد الأقصى الشرطي ، تتكون وظيفة لاجرانج: $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $ (المعلمة $ \ lambda يسمى $ مضاعف لاغرانج). يتم توفير الشروط القصوى اللازمة من خلال نظام معادلات يتم من خلاله تحديد النقاط الثابتة:
$$ \ يسار \ (\ يبدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي س) = 0 ؛ \ & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 0 ؛ \ & \ فارفي (س ، ص) = 0. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$
العلامة $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. إذا كان عند نقطة ثابتة $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الدالة $ z = f (x، y) $ لها حد أدنى مشروط في هذه المرحلة ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.
هناك طريقة أخرى لتحديد طبيعة الطرف الأقصى. من معادلة القيد نحصل على: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $، $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) ( \ varphi_ (y) ^ (")) dx $ ، لذلك لدينا في أي نقطة ثابتة:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) + F_ (yy) ^ ("") \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ left (\ varphi_ (y) ^ (") \ right) ^ 2) \ cdot \ left (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ حق) $$
يمكن تمثيل العامل الثاني (الموجود بين قوسين) بهذا الشكل:
عناصر $ \ left | \ start (مجموعة) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ end (مجموعة) \ right | $ وهو Hessian لوظيفة Lagrange. إذا كان $ H> 0 $ فإن $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دولار ، أي لدينا حد أدنى مشروط للدالة $ z = f (x، y) $.
ملاحظة على شكل المحدد $ H $. اظهر المخفي
$$ H = - \ left | \ start (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ نهاية (مجموعة) \ يمين | $$
في هذه الحالة ، تتغير القاعدة التي تمت صياغتها أعلاه على النحو التالي: إذا كان $ H> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، وللحالة $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
خوارزمية لدراسة دالة من متغيرين لأقصى شرطي
- قم بتكوين دالة لاجرانج $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $
- حل النظام $ \ left \ (\ start (align) & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 0 ؛ \\ & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 0 ؛ \\ & \ varphi (x، y) = 0. \ end (محاذاة) \ right. $
- تحديد طبيعة الطرف الأقصى في كل من تلك الموجودة في الفقرة السابقة نقاط ثابتة. للقيام بذلك ، استخدم أيًا من الطرق التالية:
- اكتب المحدد $ H $ واكتشف علامته
- مع الأخذ بعين الاعتبار معادلة القيد ، احسب علامة $ d ^ 2F $
طريقة لاجرانج المضاعفة لوظائف المتغيرات n
لنفترض أن لدينا دالة من المتغيرات $ n $ $ z = f (x_1، x_2، \ ldots، x_n) معادلات القيد $ و $ m $ ($ n> m $):
$$ \ varphi_1 (x_1 ، x_2 ، \ ldots ، x_n) = 0 ؛ \ ؛ \ varphi_2 (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0، \ ldots، \ varphi_m (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0. $$
بالإشارة إلى مضاعفات لاجرانج $ \ lambda_1 ، \ lambda_2 ، \ ldots ، \ lambda_m $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاجرانج:
$$ F (x_1، x_2، \ ldots، x_n، \ lambda_1، \ lambda_2، \ ldots، \ lambda_m) = f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_m \ varphi_m $$
يتم توفير الشروط اللازمة لوجود حد أقصى شرطي من خلال نظام معادلات يتم من خلاله العثور على إحداثيات النقاط الثابتة وقيم مضاعفات لاغرانج:
$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي x_i) = 0 ؛ (i = \ overline (1، n)) \\ & \ varphi_j = 0 ؛ (j = \ overline (1، m)) \ end (محاذاة) \ right. $$
من الممكن معرفة ما إذا كانت الوظيفة لها حد أدنى أو حد أقصى مشروط عند النقطة التي تم العثور عليها ، كما كان من قبل ، باستخدام العلامة $ d ^ 2F $. إذا كانت النقطة التي تم العثور عليها $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
محدد المصفوفة $ \ left | \ start (array) (ccccc) \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (2) ) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (n)) \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_1) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F ) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (n)) \ \ frac (\ جزئي ^ 2F) ) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) ^ (2)) \\ \ end ( array) \ right | $ المظلل باللون الأحمر في مصفوفة $ L $ هو دالة Hessian لوظيفة Lagrange. نستخدم القاعدة التالية:
- إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ المصفوفات $ L $ تتطابق مع العلامة $ (- 1) ^ m $ ، فإن النقطة الثابتة قيد الدراسة هي الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.
- إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ alternate وعلامة الصغير $ H_ (2m + 1) $ تتطابق مع علامة الرقم $ (- 1) ^ (m + 1 ) $ ، فإن النقطة الثابتة المدروسة هي النقطة القصوى المشروطة للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.
مثال 1
أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = x + 3y $ تحت الشرط $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.
التفسير الهندسي لهذه المشكلة هو كما يلي: مطلوب إيجاد أكبر و أصغر قيمةتطبيقات المستوى $ z = x + 3y $ لنقاط تقاطعها مع الأسطوانة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.
من الصعب نوعًا ما التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة القيد واستبداله في الدالة $ z (x ، y) = x + 3y $ ، لذلك سنستخدم طريقة لاغرانج.
للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:
$$ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10)؛ \\ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 1 + 2 \ lambda x ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 3 + 2 \ لامدا ص. $$
دعونا نكتب نظام المعادلات لتحديد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:
$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 1 + 2 \ لامدا س = 0 ؛ \\ & 3 + 2 \ لامدا y = 0 ؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ النهاية (محاذاة) \ حق. $$
إذا افترضنا أن $ \ lambda = 0 $ ، فإن المعادلة الأولى تصبح: $ 1 = 0 $. التناقض الناتج يقول أن $ \ lambda \ neq 0 $. تحت الشرط $ \ lambda \ neq 0 $ ، من المعادلتين الأولى والثانية لدينا: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $ ، $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $. باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في المعادلة الثالثة ، نحصل على:
$$ \ يسار (- \ فارك (1) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2 + \ يسار (- \ فارك (3) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2-10 = 0 ؛ \ \ فارك (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10 ؛ \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4) ؛ \ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ نهاية (محاذاة) \ يمين \ تبدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1 ؛ \ ؛ y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3 ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1 ؛ \ ؛ y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ نهاية (محاذاة) $$
لذلك ، النظام لديه حلين: $ x_1 = 1 ؛ \؛ y_1 = 3 ؛ \ ؛ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ و $ x_2 = -1 ؛ \ ؛ y_2 = -3 ؛ \ ؛ \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. دعونا نكتشف طبيعة الطرف الأقصى عند كل نقطة ثابتة: $ M_1 (1 ؛ 3) $ و $ M_2 (-1 ؛ -3) $. للقيام بذلك ، نحسب المحدد $ H $ عند كل نقطة.
$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x ؛ \ ؛ \ varphi_ (y) ^ (") = 2y ؛ \ ؛ F_ (xx) ^ ("") = 2 \ لامدا ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 0 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ left | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | $$
عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ نحصل على: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ end (array) \ right | = 40> 0 $ ، لذلك عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ الدالة $ z (x، y) = x + 3y $ لها حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = z (1؛ 3) = 10 $.
وبالمثل ، عند النقطة $ M_2 (-1 ؛ -3) $ نجد: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ end (array) \ right | = -40 $. منذ $ H.< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ألاحظ أنه بدلاً من حساب قيمة المحدد $ H $ عند كل نقطة ، يكون من الأنسب توسيعه في نظرة عامة. من أجل عدم ازدحام النص بالتفاصيل ، سأخفي هذه الطريقة تحت ملاحظة.
ترميز $ H $ المحدد بشكل عام. اظهر المخفي
$$ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ right) = -8 \ lambda \ cdot \ left (y ^ 2 + x ^ 2 \ right). $$
من حيث المبدأ ، من الواضح بالفعل علامة $ H $. نظرًا لعدم تطابق أي من النقاط $ M_1 $ أو $ M_2 $ مع الأصل ، فإن $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. لذلك ، فإن علامة $ H $ هي عكس علامة $ \ lambda $. يمكنك أيضًا إكمال العمليات الحسابية:
$$ \ start (محاذاة) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ right) = 40 ؛ \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ right) = - 40. نهاية (محاذاة) $$
يمكن حل السؤال حول طبيعة الحد الأقصى عند النقاط الثابتة $ M_1 (1؛ 3) $ و $ M_2 (-1؛ -3) $ بدون استخدام المحدد $ H $. ابحث عن علامة $ d ^ 2F $ عند كل نقطة ثابتة:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ right) $$
لاحظت أن الترميز $ dx ^ 2 $ يعني بالضبط $ dx $ مرفوعًا للقوة الثانية ، أي $ \ يسار (dx \ right) ^ 2 $. ومن ثم لدينا: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $ ، لذلك بالنسبة إلى $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ نحصل على $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
إجابه: عند النقطة $ (- 1؛ -3) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = - 10 $. عند النقطة $ (1؛ 3) $ يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 10 $
المثال رقم 2
أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ تحت الشرط $ x + y = 0 $.
الطريقة الأولى (طريقة مضاعفات لاجرانج)
للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x + y $ نقوم بتكوين دالة لاجرانج: $ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.
$$ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 8x-y + \ lambda ؛ \ ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 9y ^ 2-x + \ lambda. \\ \ left \ (\ start (align) & 8x-y + \ lambda = 0 ؛ \\ & 9y ^ 2-x + \ lambda = 0 ؛ \\ & x + y = 0. \ end (محاذاة) \ حق. $$
عند حل النظام ، نحصل على: $ x_1 = 0 $ ، $ y_1 = 0 $ ، $ \ lambda_1 = 0 $ و $ x_2 = \ frac (10) (9) $ ، $ y_2 = - \ frac (10) (9 ) $، $ \ lambda_2 = -10 دولارات. لدينا نقطتان ثابتتان: $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. دعونا نكتشف طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة ثابتة باستخدام المحدد $ H $.
$$ H = \ اليسار | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \ end (array) \ right | = -10-18y $$
عند النقطة $ M_1 (0 ؛ 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $ ، لذا في هذه المرحلة يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.
نتحرى عن طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة من النقاط بطريقة مختلفة ، بناءً على علامة $ d ^ 2F $:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$
من معادلة القيد $ x + y = 0 $ لدينا: $ d (x + y) = 0 $ ، $ dx + dy = 0 $ ، $ dy = -dx $.
$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$
بما أن $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ ، فإن $ M_1 (0 ؛ 0) $ هو الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. وبالمثل ، $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
الطريقة الثانية
من معادلة القيد $ x + y = 0 $ نحصل على: $ y = -x $. بالتعويض عن $ y = -x $ في الدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ ، نحصل على بعض وظائف المتغير $ x $. دعنا نشير إلى هذه الوظيفة كـ $ u (x) $:
$$ u (x) = z (x، -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$
وهكذا ، قمنا بتقليل مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي لدالة لمتغيرين إلى مشكلة تحديد الحد الأقصى لدالة متغير واحد.
$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x ؛ \\ -9x ^ 2 + 10x = 0 ؛ \ ؛ x \ cdot (-9x + 10) = 0 ؛ \\ x_1 = 0 ؛ \ ؛ y_1 = -x_1 = 0 ؛ \\ x_2 = \ frac (10) (9) ؛ \ ؛ y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$
حصلت على النقاط $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. مزيد من البحوثمعروف من الدورة حساب التفاضلوظائف متغير واحد. عند فحص علامة $ u_ (xx) ^ ("") $ في كل نقطة ثابتة أو التحقق من تغيير العلامة $ u_ (x) ^ (") $ في النقاط التي تم العثور عليها ، نحصل على نفس الاستنتاجات كما في الحل الأول . على سبيل المثال ، حدد علامة $ u_ (xx) ^ ("") $:
$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10 ؛ \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10 ؛ \ ؛ u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10
بما أن $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $ ، فإن $ M_1 $ هو الحد الأدنى للدالة $ u (x) $ ، بينما $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $. منذ $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
تتطابق قيم الدالة $ u (x) $ بموجب شرط الاتصال المحدد مع قيم الدالة $ z (x، y) $ ، أي. القيمة القصوى التي تم العثور عليها للدالة $ u (x) $ هي القيمة القصوى الشرطية المطلوبة للدالة $ z (x، y) $.
إجابه: عند النقطة $ (0؛ 0) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = 0 $. عند النقطة $ \ left (\ frac (10) (9) ؛ - \ frac (10) (9) \ right) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) ) $.
لنفكر في مثال آخر نكتشف فيه طبيعة الحد الأقصى من خلال تحديد علامة $ d ^ 2F $.
المثال رقم 3
أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة $ z = 5xy-4 $ إذا كانت المتغيرات $ x $ و $ y $ موجبة وتفي بمعادلة القيد $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac ( ص ^ 2) (2) -1 = 0 دولار.
قم بتكوين دالة لاغرانج: $ F = 5xy-4 + \ lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. أوجد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:
$$ F_ (x) ^ (") = 5y + \ frac (\ lambda x) (4)؛ \؛ F_ (y) ^ (") = 5x + \ lambda y. \\ \ left \ (\ start (align) & 5y + \ frac (\ lambda x) (4) = 0؛ \\ & 5x + \ lambda y = 0؛ \\ & \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0؛ \\ & x> 0؛ \؛ y> 0. \ end (محاذاة) \ right. $$
يتم إجراء جميع التحولات الأخرى مع الأخذ في الاعتبار $ x> 0 ؛ \ ؛ y> 0 $ (هذا منصوص عليه في حالة المشكلة). من المعادلة الثانية ، نعبر عن $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ واستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأولى: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) ( 4) = 0 دولار ، 4 س ^ 2-س ^ 2 = 0 دولار ، س = 2 س دولار. بالتعويض عن $ x = 2y $ في المعادلة الثالثة ، نحصل على: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، $ y ^ 2 = 1 $ ، $ ص = 1 دولار.
بما أن $ y = 1 $ ، فإن $ x = 2 $ ، $ \ lambda = -10 $. يتم تحديد طبيعة الحد الأقصى عند النقطة $ (2؛ 1) $ من علامة $ d ^ 2F $.
$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 5 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$
بما أن $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، إذن:
$$ d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) = 0 ؛ \ ؛ د \ يسار (\ فارك (س ^ 2) (8) \ يمين) + د \ يسار (\ فارك (y ^ 2) (2) \ يمين) = 0 ؛ \ ؛ \ frac (x) (4) dx + ydy = 0 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (xdx) (4y). $$
من حيث المبدأ ، يمكنك هنا على الفور استبدال إحداثيات النقطة الثابتة $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ والمعامل $ \ lambda = -10 $ ، وبالتالي الحصول على:
$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = - 10 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) -10 \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$
ومع ذلك ، في مشاكل أخرى للطرف الأقصى الشرطي ، قد يكون هناك عدة نقاط ثابتة. في مثل هذه الحالات ، من الأفضل تمثيل $ d ^ 2F $ بشكل عام ، ثم استبدال إحداثيات كل نقطة ثابتة تم العثور عليها في التعبير الناتج:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ left (- \ frac (xdx) (4y) \ right) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = \ left (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \ right) \ cdot dx ^ 2 $$
استبدال $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ ، $ \ lambda = -10 $ ، نحصل على:
$$ d ^ 2 F = \ left (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ right) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$
منذ $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
إجابه: عند النقطة $ (2؛ 1) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 6 $.
في الجزء التالي ، سننظر في تطبيق طريقة لاغرانج للوظائف أكثرالمتغيرات.
نظرية موجزة
طريقة لاغرانج المضاعفة هي طريقة كلاسيكية لحل المشكلات البرمجة الرياضية(محدب على وجه الخصوص). لسوء الحظ ، في تطبيق عمليقد تواجه الطريقة صعوبات حسابية كبيرة ، مما يضيق نطاق استخدامها. نحن نعتبر هنا طريقة لاغرانج أساسًا لأنها جهاز يستخدم بنشاط لإثبات العديد من الأساليب الحديثة الطرق العدديةتستخدم على نطاق واسع في الممارسة. أما بالنسبة لدالة لاغرانج ومضاعفات لاجرانج ، فهما يلعبان بشكل مستقل وحصري دورا هامافي النظرية والتطبيقات ليس فقط البرمجة الرياضية.
انصح مشكلة كلاسيكيةتحسينات:
من بين قيود هذه المشكلة عدم وجود تفاوتات ، ولا توجد شروط لعدم سلبية المتغيرات ، وتقديرها ، ووظائفها وهي مستمرة ولها مشتقات جزئية من الدرجة الثانية على الأقل.
يعطي النهج الكلاسيكي لحل المشكلة نظامًا من المعادلات ( الشروط اللازمة) ، والتي يجب أن تتحقق بالنقطة التي تزود الوظيفة بحد أقصى محلي في مجموعة النقاط التي تفي بالقيود (بالنسبة لمشكلة البرمجة المحدبة ، ستكون النقطة الموجودة أيضًا نقطة نهائية عالمية).
لنفترض أن الوظيفة (1) لها حد أقصى شرطي محلي عند النقطة ورتبة المصفوفة تساوي. ثم يمكن كتابة الشروط اللازمة على النحو التالي:
هي وظيفة لاغرانج. هي مضاعفات لاغرانج.
هناك أيضا شروط كافية، والذي بموجبه يحدد حل نظام المعادلات (3) النقطة القصوى للدالة. تم حل هذا السؤال على أساس دراسة علامة التفاضل الثاني لوظيفة لاغرانج. ومع ذلك ، فإن الشروط الكافية ذات أهمية نظرية.
يمكنك تحديد الإجراء التالي لحل المشكلة (1) ، (2) بواسطة طريقة مضاعف لاغرانج:
1) يؤلف دالة لاغرانج (4) ؛
2) أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج فيما يتعلق بجميع المتغيرات ومساواتها
صفر. وبالتالي ، سيتم الحصول على نظام (3) يتكون من المعادلات ، حل النظام الناتج (إذا اتضح أنه ممكن!) ، وبالتالي ابحث عن جميع النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج ؛
3) من النقاط الثابتة المأخوذة بدون إحداثيات ، حدد النقاط التي تحتوي فيها الوظيفة على قيمة قصوى محلية شرطية في ظل وجود قيود (2). يتم هذا الاختيار ، على سبيل المثال ، باستخدام الشروط الكافية الحد الأقصى المحلي. غالبًا ما يتم تبسيط الدراسة إذا تم استخدام شروط محددة للمشكلة.
مثال على حل المشكلة
المهمة
تنتج الشركة نوعين من البضائع بكميات و. يتم تحديد دالة التكلفة المفيدة من خلال العلاقة. أسعار هذه السلع في السوق متساوية وعلى التوالي.
حدد حجم الإنتاج الذي يتم تحقيقه لأقصى ربح وما يساوي إذا لم تتجاوز التكاليف الإجمالية
هل تواجه مشكلة في فهم عملية الحل؟ يحتوي الموقع على خدمة حل المشكلات بأساليب الحلول المثلى للطلب
حل المشكلة
النموذج الاقتصادي والرياضي للمشكلة
وظيفة الربح:
حدود التكلفة:
نحصل على النموذج الاقتصادي والرياضي التالي:
بالإضافة إلى ذلك ، حسب معنى المهمة
طريقة مضاعف لاغرانج
دعنا نؤلف وظيفة لاغرانج:
نجد مشتقات جزئية من الدرجة الأولى:
نؤلف ونحل نظام المعادلات:
منذ ذلك الحين
أقصى ربح:
إجابه
وبالتالي ، من الضروري إنتاج الوحدات. البضائع من النوع الأول والوحدات. البضائع من النوع الثاني. في هذه الحالة ، سيكون الربح بحد أقصى وسيكون 270.
تم إعطاء مثال لحل مشكلة البرمجة المحدبة التربيعية بطريقة رسومية.
حل مشكلة خطية بطريقة رسومية
يعتبر طريقة الرسمحل مشكلة البرمجة الخطية (LPP) بمتغيرين. في مثال المهمة ، وصف مفصلبناء رسم وإيجاد حل.
نموذج ويلسون لإدارة المخزون
في مثال حل المشكلة ، يتم النظر في النموذج الرئيسي لإدارة المخزون (نموذج ويلسون). مثل هذه المؤشرات المحسوبة للنموذج الحجم الأمثلدفعات الطلبات وتكاليف التخزين السنوية وفاصل التسليم ونقطة الطلب.
مصفوفة نسبة التكلفة المباشرة ومصفوفة المدخلات والمخرجات
في مثال حل المشكلة ، تم أخذ نموذج Leontiev المشترك بين القطاعات في الاعتبار. يظهر حساب مصفوفة معاملات تكاليف المواد المباشرة ، المصفوفة "المدخلات والمخرجات" ، مصفوفة معاملات التكاليف غير المباشرة ، متجهات الاستهلاك النهائي والإنتاج الإجمالي.
الخطابة كنموذج أولي للصحافة
اقتباسات عن Napoleon - dslinkov - LiveJournal
لي الانتقام دمر الرجل على الجرافة المدينة