أوجد الزاوية بين المستويين بطريقة الإحداثيات. الزاوية بين الطائرات

المهمة 1. قاعدة المنشور الرباعي الزوايا المستقيم ABCD 1 B 1 C 1 D 1 عبارة عن مستطيل ABCD ، حيث AB \ u003d 5، AD \ u003d 11. ابحث عن ظل الزاوية بين مستوى قاعدة المنشور والمستوى الذي يمر عبر منتصف الحافة AD عموديًا على الخط BD 1 ، إذا كانت المسافة بين الخطين المستقيمين AC و B 1 D 1 هي 12. الحل. نقدم نظام إحداثيات. B (0؛ 0؛ 0)، A (5؛ 0؛ 0)، C (0؛ 11؛ 0)، D 1 (5؛ 11؛ 12) إحداثيات المستوى العادي لمستوى القسم: إحداثيات من العادي إلى المستوى الأساسي: - زاوية حادة، ثم D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N الزاوية بين المستويات الإجابة: 0.5. نيناشيفا ن. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المهمة 2. في القاعدة الهرم الثلاثييقع SABC في مثلث قائم الزاوية ABC. الزاوية أ مستقيمة. AC \ u003d 8 ، BC \ u003d 219. ارتفاع الهرم SA هو 6. تؤخذ النقطة M على الحافة AC بحيث يتم رسم المستوى AM \ u003d 2. يتم رسم المستوى α من خلال النقطة M والرأس B والرأس النقطة N - منتصف حافة SC. أوجد الزاوية ثنائية الأضلاع المكونة من المستوى α ومستوى قاعدة الهرم. A S x B C M N y z الحل. نقدم نظام إحداثيات. ثم A (0؛ 0؛ 0)، C (0؛ 8؛ 0)، M (0؛ 2؛ 0)، N (0؛ 4؛ 3)، S (0؛ 0؛ 6)، عادي على المستوى (ABC) متجه عادي إلى مستوي (BMN) الزاوية بين الطائرات الإجابة: 60 درجة. معادلة المستوى (ВМN): NG Nenasheva مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المشكلة 3. قاعدة الهرم الرباعي الزوايا PABCD هي مربع مع ضلع يساوي 6 ، والحافة الجانبية PD متعامدة على مستوى القاعدة وتساوي 6. أوجد الزاوية بين المستويين (BDP) و (BCP). المحلول. 1. ارسم وسيط DF لمثلث متساوي الساقين CDP (BC = PD = 6) لذلك DF PC. ومن حقيقة أن BC (CDP) ، فإن ذلك يعني أن DF BC تعني DF (PCB) A D C B P F 2. منذ AC DB و AC DP ، ثم AC (BDP) 3. وهكذا ، فإن الزاوية بين المستويات (BDP) و (BCP) ) من الشرط: الزاوية بين طائرتي Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المشكلة 3. قاعدة الهرم الرباعي الزوايا PABCD هي مربع مع ضلع يساوي 6 ، والحافة الجانبية PD متعامدة على مستوى القاعدة وتساوي 6. أوجد الزاوية بين المستويين (BDP) و (BCP). الحل 4. دعونا نختار نظام إحداثيات. إحداثيات النقاط: 5. ثم يكون للمتجهات الإحداثيات التالية: 6. بحساب القيم نجد: ثم A D C B P F z x y الزاوية بين المستويين الإجابة: Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المهمة 4. في مكعب الوحدة ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، أوجد الزاوية بين المستويين (AD 1 E) و (D 1 FC) ، حيث تكون النقطتان E و F هما نقطتا منتصف الحواف A 1 B 1 و ب 1 ج 1 على التوالي. الحل: 1. أدخل نظام مستطيلإحداثيات وتحديد إحداثيات النقاط: 2. قم بتكوين معادلة المستوى (AD 1 E): 3. قم بتكوين معادلة المستوى (D 1 FC): - المتجه العادي للمستوى (AD 1 E). - ناقل عادي للطائرة (D 1 FС). الزاوية بين المستويات x y z Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المهمة 4. في مكعب الوحدة ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، أوجد الزاوية بين المستويين (AD 1 E) و (D 1 FC) ، حيث تكون النقطتان E و F هما نقطتا منتصف الحواف A 1 B 1 و ب 1 ج 1 على التوالي. الحل: 4. أوجد جيب تمام الزاوية بين المستويين باستخدام الصيغة الإجابة: الزاوية بين المستويين x y z Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المشكلة الخامسة: قطعة تربط مركز قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم بمنتصف الحافة الجانبية ، يساوي الجانبأسباب. أوجد الزاوية بين الوجوه الجانبية المجاورة للهرم. الحل: x y z 1. لنقدم نظام إحداثيات مستطيل ونحدد إحداثيات النقاط A و B و C: K لنفترض أن جانب القاعدة يكون 1. وللتوضيح ، ضع في اعتبارك الوجوه SAC و SBC 2. ابحث عن إحداثيات النقطة S: E الزاوية بين طائرتي Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المسألة 5. القطعة التي تربط مركز قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم بمنتصف الحافة الجانبية تساوي ضلع القاعدة. أوجد الزاوية بين الوجوه الجانبية المجاورة للهرم. الحل: x y z K E SO وجدنا من OSB: الزاوية بين الطائرات Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المسألة 5. القطعة التي تربط مركز قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم بمنتصف الحافة الجانبية تساوي ضلع القاعدة. أوجد الزاوية بين الوجوه الجانبية المجاورة للهرم. الحل: x y z K E 3. معادلة المستوى (SAC): - المتجه الطبيعي للمستوى (SAC). 4. معادلة المستوى (SBC): - المتجه العادي للمستوى (SBC). الزاوية بين الطائرات Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

المسألة 5. القطعة التي تربط مركز قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم بمنتصف الحافة الجانبية تساوي ضلع القاعدة. أوجد الزاوية بين الوجوه الجانبية المجاورة للهرم. الحل: x y z K E 5. أوجد جيب تمام الزاوية بين المستويين وفقًا للصيغة الإجابة: الزاوية بين المستويين Nenasheva N.G. مدرس الرياضيات GBOU الثانوية 985

الأهداف:

تطوير القدرة على النظر في الأساليب المختلفة لحل المشكلات وتحليل "تأثير" تطبيق طرق الحل هذه ؛
تطوير قدرة الطالب على اختيار طريقة لحل مشكلة وفقًا لتفضيلاتهم الرياضية ، بناءً على معرفة أكثر صلابة ومهارات واثقة ؛
تطوير القدرة على رسم خطة للمراحل المتعاقبة لتحقيق النتيجة ؛
تطوير القدرة على تبرير جميع الخطوات والحسابات المتخذة ؛
كرر وإصلاح مواضيع مختلفةوقضايا القياس الفراغي وقياس التخطيط ، والبنى الفراغية النموذجية المتعلقة بحل المشكلات الحالية ؛
تطوير التفكير المكاني.

التحليلات أساليب مختلفةحل المشكلة: تنسيق طريقة المتجه ، تطبيق نظرية جيب التمام ، تطبيق نظرية العمودي الثلاثة ؛
مقارنة مزايا وعيوب كل طريقة ؛
تكرار خصائص المكعب ، المنشور الثلاثي ، السداسي المنتظم ؛
التحضير لاجتياز الامتحان.
تنمية الاستقلال في صنع القرار.

مخطط الدرس

مكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1بحافة 1 نقطة O - مركز الوجه ا ب ت ث.

أ) الزاوية بين السطور أ 1 دو بو;

ب) المسافة من النقطة بحتى منتصف الخفض أ 1 د.

نقطة القرار أ).

لنضع المكعب في نظام إحداثيات مستطيل كما هو موضح في الشكل ، الرؤوس أ 1 (1 ؛ 0 ؛ 1) ، د (1 ؛ 1 ؛ 0) ، ب 1 (0 ؛ 0 ؛ 1) ، O (½ ؛ ½ ؛ 0).

ناقلات اتجاه الخطوط أ 1 دو B1O:

(0 ؛ 1 ؛ -1) و (½ ؛ ½ ؛ -1) ؛

تم العثور على الزاوية المرغوبة φ بينهما بواسطة الصيغة:

cos∠φ = ,
من أين ∠φ = 30 درجة.

2 طريقة. نستخدم نظرية جيب التمام.

1) ارسم خطًا مستقيمًا عند 1 جبالتوازي مع خط مستقيم أ 1 د. ركن CB1Oسوف تكون مرغوبة.

2) من مثلث قائم BB 1Oوفقًا لنظرية فيثاغورس:

3) حسب قانون جيب التمام من المثلث CB1Oاحسب الزاوية CB1O:

كوس CB 1 O = ، الزاوية المرغوبة هي 30 درجة.

تعليق. عند حل المشكلة بالطريقة الثانية ، يمكن ملاحظة أنه وفقًا لنظرية على ثلاث خطوط متعامدة كوب 1 = 90 درجة، لذلك من المستطيل ∆ CB1Oمن السهل أيضًا حساب جيب التمام للزاوية المرغوبة.

نقطة القرار ب).

1 الطريق. لنستخدم صيغة المسافة بين نقطتين

دع النقطة ه- وسط أ 1 د، ثم الإحداثيات ه (1 ؛ 1/2 ؛ ½) ، ب (0 ؛ 0 ؛ 0).

B.E. = .

2 طريقة. وفقًا لنظرية فيثاغورس

من مستطيل ∆ عزيزيمباشرة عزيزيتجد يكون = .

على اليمين منشور ثلاثي ABCA 1 B 1 C 1كل الحواف متساوية أ. أوجد الزاوية بين الخطوط ABو أ 1 ج.

1 الطريق. تنسيق طريقة المتجهات

إحداثيات رؤوس المنشور في نظام مستطيل عند تحديد موقع المنشور ، كما في الشكل: أ (0 ؛ 0 ؛ 0) ، ب (أ ؛ 0) ، أ 1 (0 ؛ 0 ؛ أ) ، ج (0 ؛ أ ؛ 0).

ناقلات اتجاه الخطوط أ 1 جو AB:

(0 ؛ أ ؛ -أ)و (أ; ; 0} ;

كوس φ = ;

2 طريقة. نستخدم قانون جيب التمام

نحن نعتبر ∆ أ 1 ب 1 ج، حيث أ 1 ب 1 || AB. نملك

كوس φ = .

(من مجموعة امتحان الدولة الموحدة 2012. الرياضيات: نموذجية خيارات الامتحانإد. أ.ل سيمينوفا ، آي في ياشينكو)

في منشور سداسي منتظم ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1، كل حوافها تساوي 1 ، أوجد المسافة من النقطة هعلى التوالي ب 1 ج 1.

1 الطريق. تنسيق طريقة المتجهات

1) ضع المنشور في نظام إحداثيات مستطيل ، ضع محاور الإحداثيات كما هو موضح في الشكل. SS 1, جنوب غربو متكون متعامدة في اتجاه زوجي ، لذا يمكنك التوجيه على طولهما تنسيق المحاور. نحصل على الإحداثيات:

ج 1 (0 ؛ 0 ؛ 1) ، ه (؛ 0 ؛ 0) ، ب 1 (0 ؛ 1 ؛ 1).

2) ابحث عن إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط من 1 إلى 1و ج 1 هـ:

(0;1;0), (;0;-1).

3) أوجد جيب تمام الزاوية الواقعة بين من 1 إلى 1و ج 1 هـاستخدام منتج عدديناقلات و:

cos β = = 0 => β = 90 ° => C 1 E هي المسافة المطلوبة.

4)C 1 E \ u003d \ u003d 2.

الخلاصة: المعرفة مقاربات مختلفةلحل المشكلات المجسمة يسمح لك باختيار الطريقة المفضلة لأي طالب ، أي وسيلة يثق بها الطالب وتساعد على تجنب الأخطاء وتؤدي إلى حل ناجح للمشكلة والحصول على درجة جيدة في الامتحان. تتميز طريقة الإحداثيات عن الطرق الأخرى من حيث أنها تتطلب اعتبارات ورؤية مجسمة أقل ، وتستند إلى استخدام الصيغ التي تحتوي على العديد من المقارنات التخطيطية والجبرية المألوفة لدى الطلاب.

شكل الدرس هو مزيج من شرح المعلم والعمل الجماعي الأمامي للطلاب.

تظهر الأشكال المتعددة السطوح قيد الدراسة على الشاشة باستخدام جهاز عرض فيديو ، مما يجعل من الممكن المقارنة طرق مختلفةحلول.

الواجب المنزلي: حل المسألة 3 بطريقة مختلفة ، على سبيل المثال ، باستخدام نظرية العمودي الثلاثة .

المؤلفات

1. Ershova A.P. ، Goloborodko V.V. مستقل و أوراق الاختبارفي الهندسة للصف 11. - M: ILEKSA ، - 2010. - 208 ص.

2. الهندسة ، 10-11: كتاب مدرسي لـ المؤسسات التعليمية: المستويات الأساسية والملف الشخصي / L.S. Atanasyan، V.F. بوتوزوف ، س. كادومتسيف وآخرون - م: التعليم ، 2007. - 256 ص.

3. USE-2012. الرياضيات: خيارات الامتحان النموذجية: 10 خيارات / محرر. A.L. Semenova ، IV Yashchenko. - م: التربية الوطنية، 2011. - 112 ص. - (USE-2012. FIPI - مدرسة).

المقال يتحدث عن إيجاد الزاوية بين الطائرات. بعد تقديم التعريف ، سنضع رسمًا توضيحيًا ، ضع في اعتبارك طريقة مطولةإيجاد طريقة الإحداثيات. نحصل على صيغة للمستويات المتقاطعة ، والتي تتضمن إحداثيات المتجهات العادية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ستستخدم المادة البيانات والمفاهيم التي تمت دراستها مسبقًا في مقالات حول المستوى والخط في الفضاء. بادئ ذي بدء ، من الضروري الانتقال إلى التفكير الذي يسمح للمرء أن يكون لديه نهج معين لتحديد الزاوية بين مستويين متقاطعين.

معطى مستويان متقاطعتان γ 1 و 2. سيأخذ التقاطع بينهما التسمية ج. يرتبط بناء الطائرة مع تقاطع هذه الطائرات. المستوى χ يمر بالنقطة م كخط مستقيم ج. سيتم تقاطع المستويين 1 و γ 2 باستخدام المستوى. نحن نقبل تسميات الخط المتقاطع 1 و للخط أ ، ويتقاطع 2 و للخط ب. نحصل على أن تقاطع المستقيمين أ و ب يعطينا النقطة م.

لا يؤثر موقع النقطة M على الزاوية بين الخطوط المتقاطعة a و b ، والنقطة M تقع على السطر c الذي يمر من خلاله المستوى χ.

من الضروري بناء مستوى χ 1 عموديًا على الخط c ومختلفًا عن المستوى χ. سيأخذ تقاطع المستويين 1 و γ 2 بمساعدة χ 1 تعيين الخطوط a 1 و b 1.

يمكن ملاحظة أنه عند إنشاء χ و 1 ، يكون الخطان a و b متعامدين على الخط c ، ثم a 1 ، b 1 متعامدين على الخط c. إيجاد الخطين a و 1 في المستوى γ 1 المتعامدين مع المستقيم c ، فيمكن اعتبارهما متوازيين. بنفس الطريقة ، يشير موقع b و b 1 في المستوى γ 2 مع عمودية المستقيم c إلى التوازي. هذا يعني أنه من الضروري إجراء نقل موازٍ للمستوى 1 إلى ، حيث نحصل على خطين متطابقين a و 1 و b و b 1. نحصل على الزاوية بين الخطين المتقاطعين أ وب 1 يساوي الزاويةخطوط متقاطعة أ و ب.

النظر في الشكل أدناه.

تم إثبات هذا الحكم من خلال حقيقة أنه بين الخطوط المتقاطعة أ و ب توجد زاوية لا تعتمد على موقع النقطة M ، أي نقطة التقاطع. تقع هذه الخطوط في المستويين 1 و γ 2. في الواقع ، يمكن اعتبار الزاوية الناتجة هي الزاوية بين مستويين متقاطعين.

دعنا ننتقل إلى تحديد الزاوية بين المستويات المتقاطعة الحالية γ 1 و γ 2.

التعريف 1

الزاوية بين مستويين متقاطعتين 1 و γ 2نسمي الزاوية المتكونة من تقاطع الخطين a و b ، حيث يتقاطع المستويان 1 و 2 مع المستوى χ المتعامد مع الخط c.

النظر في الشكل أدناه.

يمكن تقديم التعريف في شكل آخر. عند تقاطع المستويين 1 و 2 ، حيث c هو الخط الذي يتقاطعان عليه ، قم بتمييز النقطة M ، التي من خلالها ارسم الخطين أ و ب ، عموديًا على المستقيم ج والكذب في المستويين 1 و 2 ، فإن الزاوية بين الخطين أ و ب ستكون الزاوية بين المستويين. في الممارسة العملية ، هذا ينطبق على بناء زاوية بين الطائرات.

عند التقاطع ، تتشكل زاوية تقل قيمتها عن 90 درجة ، أي ، قياس الدرجةالزاوية صالحة في فترة من هذا النوع (0 ، 90]. في نفس الوقت ، تسمى هذه المستويات عموديًا إذا تم تشكيل الزاوية اليمنى عند التقاطع. الزاوية بين طائرات موازيةتعتبر صفر.

الطريقة المعتادة لإيجاد الزاوية بين الطائرات المتقاطعة هي إجراء إنشاءات إضافية. يساعد هذا في تحديده بدقة ، ويمكن القيام بذلك باستخدام علامات المساواة أو التشابه للمثلث ، الجيب ، جيب التمام للزاوية.

فكر في حل المشكلات باستخدام مثال من مهام الاستخدامبلوك ج 2.

مثال 1

يتم إعطاء متوازي المستطيل A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ، حيث الجانب A B \ u003d 2 ، A D \ u003d 3 ، A A 1 \ u003d 7 ، النقطة E تفصل الجانب A A 1 بنسبة 4: 3. أوجد الزاوية بين المستويين ب ج ، ب ه د ١.

المحلول

من أجل الوضوح ، تحتاج إلى عمل رسم. لقد حصلنا على ذلك

التمثيل المرئي ضروري لجعل العمل بالزاوية بين المستويين أكثر ملاءمة.

نقوم بتعريف الخط المستقيم الذي تتقاطع فيه المستويات ب ج وب هـ د ١. النقطة ب هي نقطة مشتركة. يجب العثور على نقطة تقاطع أكثر شيوعًا. ضع في اعتبارك الخطين D A و D 1 E الموجودين في نفس المستوى A D D 1. لا يشير موقعهم إلى التوازي ، مما يعني أن لديهم نقطة تقاطع مشتركة.

ومع ذلك ، فإن الخط د أ يقع في المستوي أ ب ج ود ١ هـ في ب هـ د ١. ومن ثم حصلنا على تلك الخطوط د أو د 1 هـلها نقطة تقاطع مشتركة ، وهو أمر شائع أيضًا للمستويات أ ب ج وب هـ د 1. يشير إلى نقطة تقاطع الخطوط د أو د 1 ه الحرف F. من هنا نحصل على أن B F هو خط مستقيم يتقاطع على طوله المستويان A B C و B E D 1.

النظر في الشكل أدناه.

للحصول على إجابة ، من الضروري إنشاء خطوط مستقيمة تقع في المستويين A B C و B E D 1 مع مرور عبر نقطة تقع على الخط B F ومتعامدة عليها. ثم تعتبر الزاوية الناتجة بين هذين الخطين هي الزاوية المرغوبة بين المستويين ب ج و ب ه د ١.

من هذا يمكن ملاحظة أن النقطة A هي إسقاط النقطة E على المستوى A B C. من الضروري رسم خط يتقاطع مع الخط B F بزاوية قائمة عند النقطة M. ويمكن ملاحظة أن الخط المستقيم م هو إسقاط الخط E م على المستوي ب ج ، بناءً على نظرية تلك العمودين م ⊥ ب ف. النظر في الشكل أدناه.

∠ A M E هي الزاوية المرغوبة المكونة من المستويين A B C و B E D 1. من المثلث الناتج A E M يمكننا إيجاد جيب الزاوية أو جيب التمام أو ظل الزاوية ، وبعد ذلك الزاوية نفسها ، ضلعيها المعروفين فقط. حسب الشرط ، لدينا أن طول A E موجود بهذه الطريقة: السطر A A 1 مقسوم على النقطة E بنسبة 4: 3 ، مما يعني أن الطول الإجمالي للخط هو 7 أجزاء ، ثم A E \ u003d 4 اجزاء. نجد A.M.

من الضروري التفكير في مثلث قائم الزاوية A B F. لدينا زاوية قائمة أ بارتفاع أ م. من الشرط أ ب \ u003d 2 ، يمكننا إذن إيجاد الطول أ و تشابه المثلثات د د 1 و أ هـ ف. حصلنا على أن A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

من الضروري إيجاد طول الضلع B F من المثلث A B F باستخدام نظرية فيثاغورس. نحصل على أن B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5. نوجد طول الضلع م في مساحة المثلث ب ف. لدينا أن المساحة يمكن أن تكون مساوية لكلا S A B C = 1 2 · A B · A F و S A B C = 1 2 · B F · A M.

نحصل على أن أ م = أ ب أ ف ب و = 2 4 2 5 = 4 5 5

ثم يمكننا إيجاد قيمة ظل زاوية المثلث A E M. نحصل على:

t g ∠ A M E = A E A M = 5 4 5 5 = 5

الزاوية المرغوبة التي تم الحصول عليها من تقاطع المستويين ب ج و ب د ١ تساوي ص ج ت ج ٥ ، ثم ، عند التبسيط ، نحصل على ج ت ج ٥ = أ ص ج جيب ٣٠ ٦ = أ ر ج كوس ٦ ٦.

إجابه: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

يتم إعطاء بعض حالات إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة باستخدام خطة تنسيقحول x y z وطريقة الإحداثيات. دعونا نفكر بمزيد من التفصيل.

إذا تم تقديم مشكلة حيث من الضروري إيجاد الزاوية بين المستويين المتقاطعين γ 1 و γ 2 ، فإننا نشير إلى الزاوية المرغوبة بواسطة α.

ثم نظام معينتُظهر الإحداثيات أن لدينا إحداثيات المتجهات العادية للمستويات المتقاطعة 1 و 2. ثم نشير إلى أن n 1 → = n 1 x ، n 1 y ، n 1 z هو متجه عادي للمستوى γ 1 ، و n 2 → = (n 2 x ، n 2 y ، n 2 z) - من أجل الطائرة γ 2. ضع في اعتبارك اكتشافًا مفصلاً للزاوية الواقعة بين هذه المستويات وفقًا لإحداثيات المتجهات.

من الضروري تحديد الخط المستقيم الذي تتقاطع فيه المستويات 1 و γ 2 مع الحرف ج. على الخط الذي به النقطة M ، نرسم من خلالها مستوى χ عموديًا على c. المستوى χ على طول الخطين أ وب يتقاطع مع المستويين 1 و γ 2 عند النقطة م. يتبع من التعريف أن الزاوية بين المستويين المتقاطعين 1 و γ 2 تساوي زاوية المستقيمين المتقاطعين أ و ب المنتمين إلى هذين المستويين ، على التوالي.

في المستوى ، نرسم من النقطة M نواقل عاديةوالدلالة عليها n 1 → و n 2 →. يقع المتجه n 1 → على خط عمودي على الخط a ، والمتجه n 2 → على خط عمودي على الخط b. ومن ثم حصلنا على ذلك طائرة معينةχ لها متجه عادي للخط a يساوي n 1 → وللخط المستقيم b يساوي n 2 →. النظر في الشكل أدناه.

من هنا نحصل على صيغة يمكننا بواسطتها حساب جيب الزاوية لزاوية الخطوط المتقاطعة باستخدام إحداثيات المتجهات. وجدنا أن جيب تمام الزاوية الواقعة بين الخطين أ وب هو نفسه جيب التمام بين المستويين المتقاطعين γ 1 و γ 2 مشتق من صيغ كوسα = cos n 1 →، n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 ، حيث لدينا n 1 → = (n 1 x، n 1 y، n 1 z) و n 2 → = (n 2 x، n 2 y، n 2 z) هي إحداثيات نواقل الطائرات الممثلة.

يتم حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة باستخدام الصيغة

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

مثال 2

حسب الشرط ، يتم إعطاء متوازي خط А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , حيث تفصل A B \ u003d 2 و A D \ u003d 3 و A A 1 \ u003d 7 والنقطة E بين الجانب A A 1 4: 3. أوجد الزاوية بين المستويين ب ج ، ب ه د ١.

المحلول

يمكن أن نرى من الحالة أن جوانبها متعامدة في اتجاه زوجي. هذا يعني أنه من الضروري إدخال نظام إحداثيات O x y z برأس عند النقطة C وتنسيق المحاور O x و O y و O z. من الضروري وضع الاتجاه على الجوانب المناسبة. النظر في الشكل أدناه.

الطائرات المتقاطعة أ ب جو ب ه د 1شكل زاوية ، والتي يمكن إيجادها بالصيغة 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 ، حيث n 1 → = (n 1 x، n 1 y، n 1 z) and n 2 → = (n 2 س ، ن 2 ص ، ن 2 ض) متجهات عادية لهذه المستويات. من الضروري تحديد الإحداثيات. من الشكل ، نرى أن محور الإحداثيات O x y يتزامن في المستوى A B C ، مما يعني أن إحداثيات المتجه العادي k → تساوي القيمة n 1 → = k → = (0 ، 0 ، 1).

المتجه العادي للمستوى B E D 1 هو منتج المتجه لـ B E → و B D 1 → ، حيث توجد إحداثياتهما بواسطة الإحداثيات نقاط متطرفة B ، E ، D 1 ، والتي يتم تحديدها بناءً على حالة المشكلة.

نحصل على ب (0 ، 3 ، 0) ، د 1 (2 ، 0 ، 7). لأن A E E A 1 = 4 3 ، من إحداثيات النقاط A 2 ، 3 ، 0 ، A 1 2 ، 3 ، 7 نجد E 2 ، 3 ، 4. حصلنا على ذلك B E → = (2 ، 0 ، 4) ، B D 1 → = 2 ، - 3 ، 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2-3 7 = 12 i ← - 6 ي ← - 6 ك ← ⇔ ن 2 ← = (12 ، - 6 ، - 6)

من الضروري استبدال الإحداثيات الموجودة في الصيغة لحساب الزاوية من خلال جيب التمام القوسي. نحن نحصل

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

طريقة الإحداثيات تعطي نتيجة مماثلة.

إجابه:أ ص ج كوس 6 6.

يتم النظر في المسألة الأخيرة من أجل إيجاد الزاوية بين المستويات المتقاطعة مع المعادلات المعروفة المتوفرة للمستويات.

مثال 3

احسب الجيب وجيب الزاوية وقيمة الزاوية المكونة من خطين متقاطعين ، والتي تم تحديدها في نظام الإحداثيات O x y z والمعادلتان 2 x - 4 y + z + 1 = 0 و 3 y - ض - 1 = 0.

المحلول

عند دراسة موضوع معادلة عامةكشف خط الصورة A x + B y + C z + D = 0 أن معاملات A و B و C تساوي إحداثيات المتجه العادي. ومن ثم ، فإن n 1 → = 2 ، - 4 ، 1 و n 2 → = 0 ، 3 ، - 1 هي نواقل عادية لخطوط معينة.

من الضروري استبدال إحداثيات المتجهات العادية للطائرات في صيغة حساب الزاوية المرغوبة للمستويات المتقاطعة. ثم نحصل على ذلك

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13210

ومن ثم ، لدينا أن جيب تمام الزاوية يأخذ الصيغة cos α = 13210. ثم زاوية الخطوط المتقاطعة ليست منفرجة. استبدال في الهوية المثلثية، نحصل على أن قيمة جيب الزاوية تساوي التعبير. نحسب ونحصل على ذلك

sin α = 1 - cos 2 α = 1-13 210 = 41210

إجابه: sin α = 41210 ، cos α = 13210 ، α = a r c cos 13210 = a r c sin 41210.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

\ (\ blacktriangleright \) الزاوية ثنائية الأضلاع هي الزاوية المكونة من أنصاف مستويين والخط المستقيم \ (أ \) ، وهو الحد المشترك بينهما.

\ (\ blacktriangleright \) لإيجاد الزاوية بين الطائرات \ (\ xi \) و \ (\ pi \) ، عليك إيجاد الزاوية الخطية حارأو مستقيم) زاوية زوجيةشكلتها الطائرات \ (\ xi \) و \ (\ pi \):

الخطوة 1: دع \ (\ xi \ cap \ pi = a \) (خط تقاطع الطائرات). في الطائرة \ (\ xi \) نلاحظ نقطة تعسفية\ (F \) ورسم \ (FA \ perp a \) ؛

الخطوة 2: ارسم \ (FG \ perp \ pi \) ؛

الخطوة 3: وفقًا لـ TTP (\ (FG \) - عمودي ، \ (FA \) - منحرف ، \ (AG \) - الإسقاط) لدينا: \ (AG \ perp a \) ؛

الخطوة 4: الزاوية \ (\ الزاوية FAG \) تسمى الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي شكلتها الطائرات \ (\ xi \) و \ (\ pi \).

لاحظ أن المثلث \ (AG \) مثلث قائم الزاوية.
لاحظ أيضًا أن المستوى \ (AFG \) الذي تم إنشاؤه بهذه الطريقة متعامد مع كل من المستويين \ (\ xi \) و \ (\ pi \). لذلك يمكن أن يقال بطريقة أخرى: الزاوية بين الطائرات\ (\ xi \) و \ (\ pi \) هي الزاوية بين خطين متقاطعين \ (c \ in \ xi \) و \ (b \ in \ pi \) ، وتشكيل مستوى عمودي على \ (\ xi \) ) و \ (\ pi \).

المهمة 1 # 2875

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

دانا هرم رباعي الزوايا، كل حوافها متساوية ، والقاعدة مربعة. أوجد \ (6 \ cos \ alpha \) ، حيث \ (\ alpha \) هي الزاوية بين وجهيه المجاورين.

لنفترض أن \ (SABCD \) هرمًا معينًا (\ (S \) هو رأس) الذي تساوي حوافه \ (أ \). لذلك كل شيء وجوه جانبيةهي مثلثات متساوية الأضلاع. أوجد الزاوية بين الوجوه (SAD \) و \ (SCD \).

لنرسم \ (CH \ perp SD \). لان \ (\ مثلث حزين = \ مثلث SCD \)، ثم \ (AH \) سيكون أيضًا ارتفاع \ (\ مثلث حزين \). لذلك ، بحكم التعريف ، \ (\ زاوية AHC = \ ألفا \) هي الزاوية الخطية ثنائية السطوح بين الوجوه \ (SAD \) و \ (SCD \).
بما أن القاعدة مربعة ، إذن \ (AC = a \ sqrt2 \). لاحظ أيضًا أن \ (CH = AH \) هو الارتفاع مثلث متساوي الاضلاعمع الجانب \ (أ \) ، وبالتالي \ (CH = AH = \ frac (\ sqrt3) 2a \).
ثم من خلال نظرية جيب التمام من \ (\ مثلث AHC \): \ [\ cos \ alpha = \ dfrac (CH ^ 2 + AH ^ 2-AC ^ 2) (2CH \ cdot AH) = - \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad 6 \ cos \ alpha = -2. \]

الجواب: -2

المهمة 2 # 2876

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

تتقاطع المستويات \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \) بزاوية يساوي جيب تمامها \ (0،2 \). تتقاطع الطائرات \ (\ pi_2 \) و \ (\ pi_3 \) بزاوية قائمة ، ويكون خط تقاطع المستويات \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \) موازيًا لخط تقاطع الطائرات \ (\ pi_2 \) و \ (\ pi_3 \). أوجد جيب الزاوية بين المستويين \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_3 \).

اجعل خط تقاطع \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \) هو السطر \ (a \) ، خط تقاطع \ (\ pi_2 \) و \ (\ pi_3 \) يكون الخط \ (ب \) ، وخط التقاطع \ (\ pi_3 \) و \ (\ pi_1 \) هما الخط المستقيم \ (ج \). منذ \ (أ \ متوازي ب \) ، ثم \ (ج \ متوازي أ \ متوازي ب \) (وفقًا للنظرية المأخوذة من قسم المرجع النظري "الهندسة في الفضاء" \ (\ rightarrow \) "مقدمة في القياس الفراغي ، تماثل").

حدد النقاط \ (A \ in a، B \ in b \) بحيث \ (AB \ perp a، AB \ perp b \) (هذا ممكن لأن \ (a \ متوازي ب \)). لاحظ \ (C \ in c \) بحيث \ (BC \ perp c \) ، وبالتالي \ (BC \ perp b \). ثم \ (AC \ perp c \) و \ (AC \ perp a \).
في الواقع ، بما أن \ (AB \ perp b ، BC \ perp b \) ، فإن \ (b \) يكون عموديًا على المستوى \ (ABC \). نظرًا لأن \ (ج \ موازية أ \ موازية ب \) ، فإن الخطوط \ (أ \) و \ (ج \) أيضًا متعامدة مع المستوى \ (أ ب ج \) ، وبالتالي أي خط من هذا المستوى ، على وجه الخصوص ، الخط \ (AC \).

ومن ثم يتبع ذلك \ (\ زاوية BAC = \ زاوية (\ pi_1 ، \ pi_2) \), \ (\ زاوية ABC = \ زاوية (\ pi_2، \ pi_3) = 90 ^ \ دائرة \), \ (\ زاوية BCA = \ زاوية (\ pi_3 ، \ pi_1) \). اتضح أن \ (\ مثلث ABC \) مستطيل ، مما يعني \ [\ sin \ angle BCA = \ cos \ angle BAC = 0،2. \]

الجواب: 0.2

المهمة 3 # 2877

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

نظرًا لأن الخطوط \ (أ ، ب ، ج \) تتقاطع عند نقطة واحدة ، والزاوية بين أي منهما تساوي \ (60 ^ \ circ \). أوجد \ (\ cos ^ (- 1) \ alpha \) ، حيث \ (\ alpha \) هي الزاوية بين المستوى الذي يتكون من الخطوط \ (a \) و \ (c \) والمستوى المكون من الخطوط \ (ب \) و \ (ج \). أعط إجابتك بالدرجات.

دع الخطوط تتقاطع عند النقطة \ (س \). بما أن الزاوية بين أي منهما تساوي \ (60 ^ \ circ \) ، فلا يمكن أن تقع الأسطر الثلاثة في نفس المستوى. دعونا نحدد نقطة \ (A \) على السطر \ (أ \) ونرسم \ (AB \ perp b \) و \ (AC \ perp c \). ثم \ (\ مثلث AOB = \ مثلث AOC \)كمستطيل في الوتر والزاوية الحادة. ومن ثم \ (OB = OC \) و \ (AB = AC \).
لنفعل \ (AH \ perp (BOC) \). ثم من خلال نظرية العمودي الثلاثة \ (HC \ perp c \) ، \ (HB \ perp b \). منذ \ (AB = AC \) ، إذن \ (\ مثلث AHB = \ مثلث AHC \)كمستطيل على طول الوتر والساق. لذلك ، \ (HB = HC \). ومن ثم ، فإن \ (OH \) هو منصف الزاوية \ (BOC \) (حيث أن النقطة \ (H \) متساوية البعد من جانبي الزاوية).

لاحظ أنه بهذه الطريقة قمنا أيضًا ببناء الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي شكلتها الطائرة التي شكلتها الخطوط \ (أ \) و \ (ج \) والمستوى المكون من الخطوط \ (ب \) و \ ( ج \). هذه هي الزاوية \ (ACH \).

لنجد هذه الزاوية. نظرًا لأننا اخترنا النقطة \ (A \) بشكل تعسفي ، فدعنا نختارها بحيث \ (OA = 2 \). ثم في مستطيل (\ مثلث AOC \): \ [\ sin 60 ^ \ circ = \ dfrac (AC) (OA) \ quad \ Rightarrow \ quad AC = \ sqrt3 \ quad \ Rightarrow \ quad OC = \ sqrt (OA ^ 2-AC ^ 2) = 1. \ ]بما أن \ (OH \) منصف ، إذن \ (\ زاوية HOC = 30 ^ \ دائرة \) ، لذلك ، في مستطيل \ (\ مثلث HOC \): \ [\ mathrm (tg) \، 30 ^ \ circ = \ dfrac (HC) (OC) \ quad \ Rightarrow \ quad HC = \ dfrac1 (\ sqrt3). \]ثم من المستطيل \ (\ المثلث ACH \): \ [\ cos \ angle \ alpha = \ cos \ angle ACH = \ dfrac (HC) (AC) = \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad \ cos ^ (- 1) \ alpha = 3. \]

الجواب: 3

المهمة 4 # 2910

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

تتقاطع الطائرات \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \) على طول الخط \ (l \) ، الذي يحتوي على النقاط \ (M \) و \ (N \). المقاطع \ (MA \) و \ (MB \) متعامدة مع الخط \ (l \) وتقعان في الطائرات \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \) ، على التوالي ، و \ (MN = 15 \) \ (AN = 39 \) \ (BN = 17 \) \ (AB = 40 \). ابحث عن \ (3 \ cos \ alpha \) ، حيث \ (\ alpha \) هي الزاوية بين المستويات \ (\ pi_1 \) و \ (\ pi_2 \).

المثلث \ (AMN \) قائم الزاوية ، \ (AN ^ 2 = AM ^ 2 + MN ^ 2 \) ، من أين \ المثلث \ (BMN \) قائم الزاوية ، \ (BN ^ 2 = BM ^ 2 + MN ^ 2 \) ، من أين \ نكتب نظرية جيب التمام للمثلث \ (AMB \): \ ثم \ نظرًا لأن الزاوية \ (\ alpha \) بين المستويات هي زاوية حادة ، و \ (\ الزاوية AMB \) اتضح أنها منفرجة ، إذن \ (\ cos \ alpha = \ dfrac5 (12) \). ثم \

الجواب: 1.25

المهمة 5 # 2911

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

\ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) متوازي السطوح ، \ (ABCD \) مربع مع جانب \ (أ \) ، النقطة \ (م \) هي قاعدة العمود المتعامد المنحدر من النقطة \ (A_1 \) إلى المستوى \ ((ABCD) \) ، علاوة على ذلك ، \ (M \) هي نقطة تقاطع أقطار المربع \ (ABCD \). ومن المعروف أن \ (A_1M = \ dfrac (\ sqrt (3)) (2) أ \). أوجد الزاوية بين المستويين \ ((ABCD) \) و \ ((AA_1B_1B) \). أعط إجابتك بالدرجات.

نبني \ (MN \) عموديًا على \ (AB \) كما هو موضح في الشكل.

بما أن \ (ABCD \) مربع به جانب \ (a \) و \ (MN \ perp AB \) و \ (BC \ perp AB \) ، إذن \ (MN \ متوازي BC \). بما أن \ (M \) هي نقطة تقاطع أقطار المربع ، فإن \ (M \) هي نقطة المنتصف \ (AC \) ، لذلك ، \ (MN \) هي خط الوسطو \ (MN = \ frac12BC = \ frac (1) (2) أ \).
\ (MN \) هو إسقاط \ (A_1N \) على المستوى \ ((ABCD) \) ، و \ (MN \) متعامد مع \ (AB \) ، ثم باستخدام نظرية العمودي الثلاثة ، \ ( A_1N \) عمودي على \ (AB \) والزاوية بين المستويات \ ((ABCD) \) و \ ((AA_1B_1B) \) هي \ (\ زاوية A_1NM \).
\ [\ mathrm (tg) \، \ angle A_1NM = \ dfrac (A_1M) (NM) = \ dfrac (\ frac (\ sqrt (3)) (2) a) (\ frac (1) (2) a) = \ sqrt (3) \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ angle A_1NM = 60 ^ (\ circ) \]

الجواب: 60

المهمة 6 # 1854

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

في المربع \ (ABCD \): \ (O \) هي نقطة تقاطع الأقطار ؛ \ (S \) ليس في مستوى المربع ، \ (SO \ perp ABC \). أوجد الزاوية بين المستويات \ (ASD \) و \ (ABC \) إذا \ (SO = 5 \) و \ (AB = 10 \).

المثلثات اليمنى \ (\ مثلث SAO \) و \ (\ مثلث SDO \) متساوية في جانبين والزاوية بينهما (\ (SO \ perp ABC \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ زاوية SOA = \ زاوية SOD = 90 ^ \ دائرة \)؛ \ (AO = DO \) لأن \ (O \) هي نقطة تقاطع أقطار المربع ، \ (SO \) هي الجانب المشترك) \ (\ Rightarrow \) \ (AS = SD \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ مثلث ASD \) متساوي الساقين. النقطة \ (K \) هي نقطة المنتصف \ (AD \) ، ثم \ (SK \) هي الارتفاع في المثلث \ (\ مثلث ASD \) ، و \ (موافق \) هو الارتفاع في المثلث \ (AOD \) \ (\ Rightarrow \) الطائرة \ (SOK \) عمودي على الطائرات \ (ASD \) و \ (ABC \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ زاوية SKO \) تساوي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح المطلوبة.

في \ (\ مثلث SKO \): \ (OK = \ frac (1) (2) \ cdot AB = \ frac (1) (2) \ cdot 10 = 5 = SO \)\ (\ Rightarrow \) \ (\ triangle SOK \) هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين \ (\ Rightarrow \) \ (\ angle SKO = 45 ^ \ circ \).

الجواب: 45

المهمة 7 # 1855

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

في المربع \ (ABCD \): \ (O \) هي نقطة تقاطع الأقطار ؛ \ (S \) ليس في مستوى المربع ، \ (SO \ perp ABC \). أوجد الزاوية بين الطائرات \ (ASD \) و \ (BSC \) إذا \ (SO = 5 \) و \ (AB = 10 \).

المثلثات اليمنى \ (\ مثلث SAO \) ، \ (\ مثلث SDO \) ، \ (\ مثلث SOB \) و \ (\ مثلث SOC \) متساوية في جانبين والزاوية بينهما (\ (SO \ perp ABC) \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ زاوية SOA = \ زاوية SOD = \ زاوية سوب = \ زاوية SOC = 90 ^ \ دائرة \)؛ \ (AO = OD = OB = OC \) ، لأن \ (O \) هي نقطة تقاطع أقطار المربع ، \ (SO \) هو الجانب المشترك) \ (\ Rightarrow \) \ (AS = DS = BS = CS \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ مثلث ASD \) و \ (\ مثلث BSC \) متساوي الساقين. النقطة \ (K \) هي نقطة المنتصف \ (AD \) ، ثم \ (SK \) هي الارتفاع في المثلث \ (\ مثلث ASD \) ، و \ (موافق \) هو الارتفاع في المثلث \ (AOD \) \ (Rightarrow \) الطائرة \ (SOK \) عمودي على المستوى \ (ASD \). النقطة \ (L \) هي نقطة المنتصف \ (BC \) ، ثم \ (SL \) هي الارتفاع في المثلث \ (\ المثلث BSC \) ، و \ (OL \) هو الارتفاع في المثلث \ (BOC \) \ (Rightarrow \) الطائرة \ (SOL \) (الملقب بالطائرة \ (SOK \)) عمودي على المستوى \ (BSC \). وبالتالي ، نحصل على أن \ (\ زاوية KSL \) هي زاوية خطية تساوي الزاوية ثنائية السطح المطلوبة.

\ (KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\ (\ Rightarrow \) \ (OL = 5 \) ؛ \ (SK = SL \) - ارتفاعات متساوية مثلثات متساوية الساقين، والتي يمكن إيجادها باستخدام نظرية فيثاغورس: \ (SL ^ 2 = SO ^ 2 + OL ^ 2 = 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 50 \). ويمكن أن نرى أن \ (SK ^ 2 + SL ^ 2 = 50 + 50 = 100 = KL ^ 2 \)\ (\ Rightarrow \) للمثلث \ (\ مثلث KSL \) نظرية الحديثفيثاغورس \ (\ Rightarrow \) \ (\ مثلث KSL \) - مثلث قائم الزاوية \ (\ Rightarrow \) \ (\ زاوية KSL = 90 ^ \ circ \).

الجواب: 90

يبدأ إعداد الطلاب لامتحان الرياضيات ، كقاعدة عامة ، بتكرار الصيغ الأساسية ، بما في ذلك تلك التي تسمح لك بتحديد الزاوية بين المستويات. على الرغم من حقيقة أن هذا القسم من الهندسة مغطى بتفاصيل كافية في إطار المناهج الدراسيةيحتاج العديد من الخريجين إلى إعادة المواد الأساسية. من خلال فهم كيفية العثور على الزاوية بين المستويات ، سيتمكن طلاب المدارس الثانوية من حساب الإجابة الصحيحة بسرعة أثناء حل المشكلة والاعتماد على الحصول على درجات لائقة على أساس اختبار الحالة الموحدة.

الفروق الدقيقة الرئيسية

حتى لا تسبب مسألة كيفية العثور على الزاوية ثنائية الأضلاع صعوبات ، نوصيك باتباع خوارزمية الحل التي ستساعدك على التعامل مع مهام الاختبار.

تحتاج أولاً إلى تحديد الخط الذي تتقاطع فيه الطائرات.

ثم على هذا الخط ، تحتاج إلى اختيار نقطة ورسم عمودين عليها.

الخطوة التالية هي إيجاد دالة مثلثيةزاوية ثنائية السطوح ، والتي تتكون من الخطوط العمودية. من الأنسب القيام بذلك بمساعدة المثلث الناتج ، الذي تشكل الزاوية جزءًا منه.

ستكون الإجابة هي قيمة الزاوية أو دالة المثلثية الخاصة بها.

التحضير للاختبار مع شكولكوفو هو مفتاح نجاحك

خلال الفصل في اليوم السابق اجتياز الامتحانيواجه العديد من الطلاب مشكلة البحث عن التعريفات والصيغ التي تسمح لك بحساب الزاوية بين مستويين. الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد تمامًا عند الحاجة إليه. وتجد الصيغ الضروريةوأمثلة لتطبيقهم الصحيح ، بما في ذلك إيجاد الزاوية بين الطائرات على الإنترنت عبر الإنترنت ، أحيانًا يستغرق الأمر وقتًا طويلاً.

عروض البوابة الرياضية "شكولكوفو" نهج جديدللتحضير لامتحان الدولة. ستساعد الفصول الدراسية الموجودة على موقعنا على الإنترنت الطلاب في تحديد الأقسام الأكثر صعوبة لأنفسهم وسد الثغرات المعرفية.

لقد أعددنا وقدمنا بوضوح جميع المواد اللازمة. التعاريف الأساسيةوالصيغ معروضة في قسم "المرجع النظري".

من أجل استيعاب المادة بشكل أفضل ، نقترح أيضًا ممارسة التمارين المقابلة. مجموعة كبيرة من المهام درجات متفاوتهيتم تقديم التعقيد ، على سبيل المثال ، في ، في قسم "الكتالوج". تحتوي جميع المهام على خوارزمية مفصلة للعثور على الإجابة الصحيحة. يتم استكمال وتحديث قائمة التدريبات على الموقع باستمرار.

التدرب على حل المشكلات التي تتطلب إيجاد الزاوية بين طائرتين ، تتاح للطلاب الفرصة لحفظ أي مهمة عبر الإنترنت إلى "المفضلة". بفضل هذا ، سيتمكنون من العودة إليه. المبلغ المطلوبمرات ومناقشة مسار قرارها مع مدرس مدرسةأو مدرس.

تتناول هذه المقالة الزاوية بين الطائرات وكيفية العثور عليها. أولاً ، يتم تقديم تعريف الزاوية بين مستويين ويتم تقديم رسم توضيحي. بعد ذلك ، تم تفكيك مبدأ إيجاد الزاوية بين مستويين متقاطعين بطريقة الإحداثيات ، وتم الحصول على صيغة تسمح بحساب الزاوية بين مستويين متقاطعين وفقًا لـ الإحداثيات المعروفةالنواقل العادية لهذه الطائرات. في الختام ، فإنه يظهر حلول مفصلةمهام نموذجية.

التنقل في الصفحة.

الزاوية بين الطائرات - التعريف.

دعونا نقدم الحجج التي ستسمح لنا بالاقتراب التدريجي من تعريف الزاوية بين مستويين متقاطعين.

دعونا نعطي طائرتين متقاطعتين و. تتقاطع هذه المستويات في خط مستقيم ، ونشير إليه بالحرف c. لنقم ببناء مستوى يمر بالنقطة M للخط c وعمودي على المستقيم c. في هذه الحالة ، ستتقاطع الطائرة مع الطائرات و. تشير إلى الخط الذي تتقاطع على طوله المستويان وباعتباره a ، والخط الذي تتقاطع على طوله المستويان و b. من الواضح أن الخطين a و b يتقاطعان عند النقطة M.

من السهل إظهار أن الزاوية بين الخطين المتقاطعين a و b لا تعتمد على موقع النقطة M على السطر c الذي يمر من خلاله المستوى.

لنقم ببناء مستوى عمودي على الخط c ومختلف عن المستوى. يتقاطع المستوى مع المستويات وعلى طول الخطوط المستقيمة ، والتي نشير إليها بـ 1 و b 1 ، على التوالي.

من طريقة بناء المستويات ويترتب على ذلك أن الخطين أ وب متعامدين على الخط ج ، والخطوط أ 1 وب 1 متعامدين على الخط ج. نظرًا لأن المستقيمين a و 1 يقعان في نفس المستوى وعموديان على المستقيم c ، فإنهما متوازيان. وبالمثل ، يقع الخطان b و b 1 في نفس المستوى وعموديان على الخط c ، ومن ثم يكونان متوازيين. وبالتالي ، من الممكن إجراء نقل موازٍ للمستوى إلى المستوى ، حيث يتطابق الخط أ 1 مع الخط أ ، والخط ب مع السطر ب 1. لذلك ، فإن الزاوية بين خطين متقاطعين a 1 و b 1 تساوي الزاوية بين الخطين المتقاطعين a و b.

هذا يثبت أن الزاوية بين الخطوط المتقاطعة a و b تقع في المستويات المتقاطعة ولا تعتمد على اختيار النقطة M التي يمر بها المستوى. لذلك ، من المنطقي أن نأخذ هذه الزاوية على أنها الزاوية بين مستويين متقاطعين.

يمكنك الآن التعبير عن تعريف الزاوية بين مستويين متقاطعين و.

تعريف.

الزاوية بين مستويين يتقاطعان في خط مستقيم وهي الزاوية بين خطين متقاطعين a و b ، حيث تتقاطع المستويات مع المستوى المتعامد مع الخط c.

يمكن إعطاء تعريف الزاوية بين مستويين بشكل مختلف قليلاً. إذا كان على الخط c ، الذي تتقاطع فيه المستويات ، ضع علامة على النقطة M وارسم خطوطًا من خلالها أ و ب ، عموديًا على الخط ج والواقعة في المستويات ، وعلى التوالي ، فإن الزاوية بين الخطين أ و ب هي الزاوية بين الطائرات و. عادة ، في الممارسة العملية ، يتم تنفيذ هذه الإنشاءات من أجل الحصول على الزاوية بين الطائرات.

نظرًا لأن الزاوية بين الخطوط المتقاطعة لا تتعدى ، فإنه يتبع من التعريف أعلاه أنه يتم التعبير عن قياس درجة الزاوية بين مستويين متقاطعين بواسطة عدد حقيقيمن الفاصل الزمني. في هذه الحالة ، يتم استدعاء الطائرات المتقاطعة عموديإذا كانت الزاوية بينهما تسعون درجة. الزاوية بين المستويات المتوازية لم يتم تحديدها على الإطلاق ، أو أنها تعتبر مساوية للصفر.

إيجاد الزاوية بين مستويين متقاطعين.

عادة ، عند إيجاد الزاوية بين مستويين متقاطعين ، عليك أولاً تنفيذ إنشاءات إضافية من أجل رؤية الخطوط المتقاطعة ، الزاوية التي تساوي الزاوية المطلوبة ، ثم ربط هذه الزاوية بالبيانات الأصلية باستخدام علامات المساواة ، علامات التشابه ، نظرية جيب التمام أو تعريفات الجيب وجيب التمام وظل الزاوية. في سياق الهندسة المدرسة الثانويةتحدث مهام مماثلة.

على سبيل المثال ، دعنا نقدم حلاً للمشكلة C2 من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات لعام 2012 (تم تغيير الشرط عن قصد ، لكن هذا لا يؤثر على مبدأ الحل). في ذلك ، كان من الضروري فقط إيجاد الزاوية بين مستويين متقاطعين.

مثال.

المحلول.

أولاً ، دعنا نرسم.

دعونا نجري إنشاءات إضافية "لرؤية" الزاوية بين المستويات.

أولاً ، دعنا نحدد خطًا مستقيمًا تتقاطع على طوله المستويان ABC و BED 1. النقطة B هي إحدى النقاط المشتركة بينهما. أوجد النقطة المشتركة الثانية لهذه المستويات. يقع الخطان DA و D 1 E في نفس المستوى ADD 1 ، وهما ليسا متوازيين ، وبالتالي يتقاطعان. من ناحية أخرى ، يقع الخط DA في المستوى ABC ، ويقع الخط D 1 E في المستوى BED 1 ، وبالتالي ، ستكون نقطة تقاطع الخطين DA و D 1 E نقطة مشتركة بين المستويين ABC و سرير 1. لذلك ، نواصل الخطين DA و D 1 E حتى يتقاطعان ، نشير إلى نقطة تقاطعهما مع الحرف F. ثم BF هو الخط المستقيم الذي تتقاطع على طوله الطائرتان ABC و BED 1.

يبقى بناء خطين ملقيين في المستويين ABC و BED 1 ، على التوالي ، ويمران بنقطة واحدة على الخط BF وعمودي على الخط BF - الزاوية بين هذين الخطين ، بحكم التعريف ، ستكون مساوية للزاوية المرغوبة بين طائرات ABC و BED 1. لنفعلها.

نقطة A هو إسقاط النقطة E على المستوى ABC. ارسم خطًا يتقاطع مع الزاوية اليمنى الخط BF عند النقطة M. ثم الخط AM هو إسقاط المستقيم EM على المستوي ABC ، وبنظرية العمودي الثلاثة.

وبالتالي ، فإن الزاوية المرغوبة بين المستويين ABC و BED 1 هي.

يمكننا تحديد الجيب أو جيب التمام أو المماس لهذه الزاوية (ومن ثم الزاوية نفسها) من مثلث قائم الزاوية AEM إذا عرفنا أطوال ضلعيها. من السهل العثور على الطول AE من الحالة: حيث أن النقطة E تقسم الجانب AA 1 بالنسبة إلى 4 إلى 3 ، العد من النقطة A ، وطول الضلع AA 1 هو 7 ، ثم AE \ u003d 4. لنجد طول AM.

للقيام بذلك ، فكر في مثلث قائم الزاوية ABF بالزاوية القائمة A ، حيث AM هو الارتفاع. حسب الشرط AB = 2. يمكننا إيجاد طول الضلع AF من تشابه المثلثين القائم الزاوية DD 1 F و AEF:

باستخدام نظرية فيثاغورس ، نجد من المثلث ABF. نجد الطول AM خلال مساحة المثلث ABF: في أحد الجوانب ، مساحة المثلث ABF تساوي ، من ناحية أخرى ، أين .

وهكذا ، من المثلث الأيمن AEM لدينا .

ثم الزاوية المرغوبة بين المستويين ABC و BED 1 هي (لاحظ ذلك ).

إجابه:

في بعض الحالات ، للعثور على الزاوية بين مستويين متقاطعين ، من الملائم تحديد Oxyz واستخدام طريقة الإحداثيات. دعنا نتوقف عن ذلك.

لنحدد المهمة: إيجاد الزاوية بين مستويين متقاطعين و. دعنا نشير إلى الزاوية المرغوبة كـ.

نفترض أنه في نظام إحداثيات مستطيل معين Oxyz نعرف إحداثيات المتجهات العادية للمستويات المتقاطعة و / أو أنه من الممكن العثور عليها. يترك هو المتجه الطبيعي للطائرة ، و هو المتجه الطبيعي للطائرة. دعونا نوضح كيفية إيجاد الزاوية بين المستويات المتقاطعة ومن خلال إحداثيات المتجهات العادية لهذه المستويات.

دعونا نشير إلى الخط الذي تتقاطع على طوله الطائرات وج. من خلال النقطة M على الخط c نرسم مستوى عموديًا على الخط c. يتقاطع المستوى مع المستويات وعلى طول الخطين أ وب ، على التوالي ، يتقاطع الخطان أ وب عند النقطة م. حسب التعريف ، الزاوية بين المستويات المتقاطعة وتساوي الزاوية بين الخطوط المتقاطعة أ وب.

دعونا نضع جانبًا من النقطة M في المستوى المتجهات العادية والمستويات و. في هذه الحالة ، يقع المتجه على خط عمودي على الخط a ، ويقع المتجه على خط عمودي على الخط b. وبالتالي ، في المستوي ، يكون المتجه هو المتجه الطبيعي للخط a ، وهو المتجه الطبيعي للخط b.

في مقالة إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة ، حصلنا على صيغة تسمح لك بحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة باستخدام إحداثيات المتجهات العادية. وهكذا ، فإن جيب تمام الزاوية بين الخطين أ وب ، وبالتالي ، و جيب تمام الزاوية بين الطائرات المتقاطعةويتم العثور عليها بواسطة الصيغة ، أين و هي النواقل العادية للطائرات و ، على التوالي. ثم يتم حسابها على أنها .

لنحل المثال السابق باستخدام طريقة الإحداثيات.

مثال.

يتم إعطاء مستطيل متوازي السطوح ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، حيث AB \ u003d 2 ، AD \ u003d 3 ، AA 1 \ u003d 7 والنقطة E يقسم الجانب AA 1 بنسبة 4 إلى 3 ، العد من النقطة A . أوجد الزاوية بين المستويين ABC و BED 1.

المحلول.

منذ الجانبين مكعباني شبيه بالمكعبفي رأس واحد عمودي زوجي ، من الملائم إدخال نظام إحداثيات مستطيل Oxyz على النحو التالي: يتم محاذاة البداية مع الرأس C ، ويتم توجيه محاور الإحداثيات Ox و Oy و Oz على طول الجوانب CD و CB و CC 1 ، على التوالى.

يمكن إيجاد الزاوية بين المستويين ABC و BED 1 من خلال إحداثيات المتجهات العادية لهذه المستويات باستخدام الصيغة ، حيث تكون المتجهات العادية للمستويات ABC و BED 1 ، على التوالي. دعونا نحدد إحداثيات المتجهات العادية.