التحول الغاوسي. أمثلة على حل السلاجة بطريقة جاوس

حل الأنظمة المعادلات الخطيةطريقة جاوس.لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للنظام من نالمعادلات الخطية مع نمتغيرات غير معروفة
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون في الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، × 1من كل معادلات النظام ابتداء من الثانية ثم x2من جميع المعادلات ، بدءًا من المعادلة الثالثة ، وهكذا ، حتى يبقى المتغير المجهول فقط في المعادلة الأخيرة x ن. هذه عملية تحويل معادلات النظام لـ الاستبعاد المتسلسلالمتغيرات غير المعروفة تسمى طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التحرك للأمام لطريقة غاوس ، من المعادلة الأخيرة التي وجدناها x ن، باستخدام هذه القيمة من المعادلة قبل الأخيرة يتم حسابها xn-1وهكذا ، من المعادلة الأولى × 1. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى إلى الوراءطريقة جاوس.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. تخلص من المتغير المجهول × 1من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، أضف الأول مضروبًا في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الأولى مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن ذلك × 1من خلال متغيرات أخرى غير معروفة في المعادلة الأولى للنظام وتم استبدال التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. لذا فإن المتغير × 1مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الثانية مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . لذا فإن المتغير x2مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى القضاء على المجهول × 3، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x نمن المعادلة الأخيرة باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x نتجد xn-1من المعادلة قبل الأخيرة ، وما إلى ذلك ، نجد × 1من المعادلة الأولى.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAE). الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل في نظرة عامة، ثم استبدل القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو ليس لديهم على الإطلاق.

ماذا يعني غاوس؟

تحتاج أولاً إلى كتابة نظام المعادلات الخاص بنا في يبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء حرة لتسهيل الأمر ، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

علاوة على ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلثي العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة هكذا ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر منها:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، فستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، وتم العثور على جذر آخر ، وهكذا.

هذا الوصف للحل بطريقة غاوس في الغالب بعبارات عامة. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات وخصائصها

لا أحد معنى خفيليس في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى أطفال المدارس يجب ألا يخافوا منهم.

تكون المصفوفة دائمًا مستطيلة ، لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة غاوس ، حيث كل شيء يأتي لبناء مصفوفة الثلاثي، يظهر مستطيل في الإدخال ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار ، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف الكبيرة للدلالة عليها) حروف) سيُشار إليها على أنها أ م × ن. إذا كانت m = n ، فإن هذه المصفوفة مربعة ، و m = n هو ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a xy ؛ س - رقم الصف ، التغييرات ، رقم العمود ص ، التغييرات.

ب ليست النقطة الرئيسية في الحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها ، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

محدد

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذا جدا خاصية مهمة. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف المنتجات الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. إلى عن على مصفوفة مستطيلةيمكنك القيام بما يلي: من عدد الصفوف وعدد الأعمدة ، اختر الأصغر (فليكن k) ، ثم حدد بشكل عشوائي أعمدة k وصفوف k في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة ملفًا جديدًا مصفوفة مربعة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة هو رقم غير الصفر ، فإنه يسمى الأساس الصغرى للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل الشروع في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لا نهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر ثانوي أساسي، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

وفقًا لكيفية سير الأمور بالرتبة ، يمكن تقسيم SLAE إلى:

• مشترك. فيبالنسبة لأنظمة المفاصل ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) تتطابق مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات الحرة). مثل هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حلًا واحدًا ، بالإضافة إلى ذلك أنظمة مشتركةمقسمة إلى:
• - تأكيد- وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، تتساوى رتبة المصفوفة وعدد المجهول (أو عدد الأعمدة وهو نفس الشيء) ؛
• - غير محدد -مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات لهذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
• غير متوافق. فيمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة Gauss جيدة من حيث أنها تسمح للشخص بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (دون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول أثناء الحل.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام ، من الممكن جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها هو SLAE بالتحديد. فيما يلي قائمة بهذه التحولات:

1. تبديل السلسلة. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي ، من الممكن أيضًا تبادل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
2. ضرب كل عناصر السلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! يمكن استخدامه للتقصير أعداد كبيرةفي المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
3. احذف الصفوف ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الإضافية ، مع ترك الصفوف فقط واحد.
4. إزالة السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن عندئذٍ تسمية هذه السلسلة بالصفر وإلقاءها خارج المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) إلى عناصر صف واحد ، مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

افترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني ، مضروبًا في المعامل "-2".

أ "21 \ u003d أ 21 + -2 × أ 11

أ "22 \ u003d أ 22 + -2 × أ 12

أ "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

ثم في المصفوفة يتم استبدال الصف الثاني بواحد جديد ، ويبقى الصف الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ "21 أ" 22 ... أ "2 ن | ب 2

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا كنا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات قيمة واحدة غير معروفة. وهذا ما يسمى بحل النظام باستخدام طريقة جاوس.

على العموم

يجب ألا يكون هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الممتدة ويفصل بينهم شريط للراحة.

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 / a 11) ؛
• يضاف الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
• بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
• الآن المعامل الأول في ثانية جديدةالخط هو 11 × (-a 21 / أ 11) + 21 = -a 21 + أ 21 = 0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، يتم تضمين الصفين الأول والثالث فقط. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a 21 بـ 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41 ، ... a m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف يساوي صفرًا. نحتاج الآن إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

• المعامل k \ u003d (-a 32 / a 22) ؛
• يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛
• يتم استبدال نتيجة الإضافة في الأسطر الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛
• في صفوف المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m، m-1 / a mm). هذا يعني أن الخوارزمية تم تشغيلها مؤخرًا للمعادلة السفلية فقط. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. يحتوي الخلاصة على المساواة أ م ن × س ن = ب م. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x n = b m / a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1، n × (b m / a mn)) ÷ a m-1، n-1. وهكذا عن طريق القياس: يحتوي كل سطر تالٍ جذر جديد، وبعد الوصول إلى "قمة" النظام ، يمكن للمرء أن يجد العديد من الحلول. سيكون الوحيد.

عندما لا توجد حلول

إذا كان في واحد من صفوف المصفوفةجميع العناصر ، باستثناء المصطلح المجاني ، تساوي صفرًا ، ثم تبدو المعادلة المقابلة لهذا الخط 0 = ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتضح أنه في المصفوفة المثلثية المختصرة لا توجد صفوف بها عنصر واحد - معامل المعادلة ، وواحد - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

جميع المتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسية ومجانية. الأساسيات هي تلك التي تقف "على حافة" الخطوط في صعدت المصفوفة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر ينتقل إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. نتيجة لذلك ، إذا ظهر تعبير مرة أخرى يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه مرة أخرى من هناك ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا ما هو عليه قرار مشترك SLAU.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - أعط المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم في هذه الحالة بالذات ، احسب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا نهائي من الحلول الخاصة.

حل بأمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة ، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم ستتحول العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-a 21 / أ 11) = (-3/1) = -3

أ "21 \ u003d أ 21 + ك × أ 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

أ "22 \ u003d أ 22 + ك × أ 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

أ "23 = أ 23 + ك × أ 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

ب "2 \ u003d ب 2 + ك × ب 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

السطر الثالث: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

أ "3 1 = أ 3 1 + ك × أ 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

أ "3 2 = أ 3 2 + ك × أ 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

أ "3 3 = أ 33 + ك × أ 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، من الضروري كتابة المصفوفة باستخدام نتائج متوسطةالتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة جميع "السلبيات" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع العناصر في الصف الثالث عبارة عن مضاعفات للعدد ثلاثة. ثم يمكنك تقصير السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت ، لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في مثل هذا المعامل بحيث يصبح العنصر a 32 مساويًا للصفر.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 كسور ، وعندها فقط ، عندما يتم تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كنت تريد التقريب والترجمة إلى شكل آخر من الرموز)

أ "32 = أ 32 + ك × أ 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

أ "33 \ u003d أ 33 + ك × أ 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

كما ترى ، فإن المصفوفة الناتجة لها بالفعل شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو الإزالة من السطر الثالث النسبة الإجمالية "-1/7".

الآن كل شيء جميل. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

س + 2 ص + 4 ع = 12 (1)

7 س + 11 ع = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على قيمة z:

ص = (24-11 × (61/9)) / 7 = -65/9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x = (12-4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في تسمية مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى مؤكدًا ، أي وجود حل فريد. الرد مكتوب بالصيغة التالية:

× 1 \ u003d -2/3 ، ص \ u003d -65/9 ، ض \ u003d 61/9.

مثال على نظام غير محدد

المحلول نظام معينتم تحليله من خلال طريقة Gaussian ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على العديد من الحلول بشكل لا نهائي له.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3 س 1 + 2 س 2 + س 3 + س 4 - 3 س 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5 س 1 + 4 س 2 + 3 س 3 + 3 س 4 - س 5 = 12 (4)

إن مظهر النظام نفسه ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n = 5 ، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م = 4 ، أي أعظم ترتيبالمحدد المربع - 4. ومن ثم ، توجد حلول مجموعة لانهائية، ومن الضروري البحث عن شكله العام. تتيح طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولاً ، كالمعتاد ، يتم تجميع المصفوفة المعززة.

السطر الثاني: المعامل k = (-a 21 / a 11) = -3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذلك لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

بضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المرغوبة ، نحصل على المصفوفة النوع التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. عموماً الثاني والرابع متماثلان ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروب في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة ​​أخرى ، اترك أحد سطرين متطابقين.

اتضح مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملين 11 \ u003d 1 و 22 \ u003d 1 ، ومجاني - كل الباقي.

المعادلة الثانية لها متغير أساسي واحد فقط - x 2. وبالتالي ، يمكن التعبير عنها من هناك ، الكتابة من خلال المتغيرات x 3 ، x 4 ، x 5 ، وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

لقد تم التوصل إلى معادلة يكون فيها المتغير الأساسي الوحيد هو x 1. لنفعل نفس الشيء مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، التي يوجد منها متغيران ، في شكل ثلاثة متغيرات مجانية ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الإجابة:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على نظام غير متوافق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يعتبر النظام التالي:

س + ص - ض = 0 (1)

2 س - ص - ض = -2 (2)

4 س + ص - 3 ع = 5 (3)

كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ويتم تقليله إلى شكل متدرج:

ك 1 \ u003d -2 ك 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول ، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

ليس لديها حل. لذلك ، فإن النظام غير متسق ، والإجابة هي المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق باستخدام قلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. في التحولات الأوليةيكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن المحدد أو بعض المصفوفة المعكوسة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات، اتضح أن مثل هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد ، والقاصر ، والعكس ، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الجهاز سيحسب هذه القيم بنفسه ولن يخطئ ، فمن الأفضل استخدامه طريقة المصفوفةأو صيغ كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات و المصفوفات المعكوسة.

طلب

نظرًا لأن حل Gaussian عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، ينبغي القول إن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا مع قيود معينة) ، إيجاد المصفوفات المعكوسة والمحوّلة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.

ال آلة حاسبة على الانترنتيجد حلاً لنظام المعادلات الخطية (SLE) بطريقة غاوس. معطى حل مفصل. للحساب ، اختر عدد المتغيرات وعدد المعادلات. ثم أدخل البيانات في الخلايا وانقر على "احسب".

× 1 +x2 +× 3 × 1 +x2 +× 3 × 1 +x2 +× 3 = = =

تمثيل الرقم:

الأعداد الصحيحة و (أو) الكسور المشتركة
الأعداد الصحيحة و / أو الأعداد العشرية

عدد الخانات بعد الفاصل العشري

×

تحذير

مسح كافة الخلايا؟

إغلاق واضح

تعليمات إدخال البيانات.يتم إدخال الأرقام كأرقام كاملة (أمثلة: 487 ، 5 ، -7623 ، إلخ) ، أو أرقام عشرية (مثل 67. ، 102.54 ، إلخ) أو كسور. يجب كتابة الكسر بالصيغة a / b ، حيث يكون a و b (b> 0) عددًا صحيحًا أو أرقام عشرية. أمثلة 45/5 ، 6.6 / 76.4 ، -7 / 6.7 ، إلخ.

طريقة جاوس

طريقة غاوس هي طريقة للانتقال من النظام الأصلي للمعادلات الخطية (باستخدام تحويلات مكافئة) إلى نظام يسهل حله أكثر من النظام الأصلي.

التحولات المكافئة لنظام المعادلات الخطية هي:

• مبادلة معادلتين في النظام ،
• ضرب أي معادلة في النظام بواحد غير صفري عدد حقيقي,
• إضافة إلى معادلة واحدة معادلة أخرى مضروبة في رقم عشوائي.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات الخطية:

(1)

نكتب النظام (1) في شكل مصفوفة:

الفأس = ب

(2)

(3)

أيسمى مصفوفة معامل النظام ، ب − الجزء الصحيحقيود x- ناقلات المتغيرات التي سيتم إيجادها. اسمحوا رتبة ( أ)=ص.

لا تغير التحويلات المكافئة رتبة مصفوفة المعامل ورتبة المصفوفة المعززة للنظام. مجموعة حلول النظام أيضًا لا تتغير عندما التحولات المكافئة. يتمثل جوهر طريقة غاوس في إحضار مصفوفة المعاملات أقطري أو متدرج.

لنقم ببناء المصفوفة الموسعة للنظام:

في المرحلة التالية ، نقوم بإعادة تعيين جميع عناصر العمود 2 ، أسفل العنصر. إذا كان العنصر المحدد فارغًا ، فسيتم تبادل هذا الصف مع الصف الموجود أسفل الصف المحدد مع وجود عنصر غير صفري في العمود الثاني. بعد ذلك ، نحذف جميع عناصر العمود 2 أسفل العنصر البادئ من الصفر أ 22. للقيام بذلك ، أضف الصفوف 3 ، ... ممع الصف 2 مضروبًا في - أ 32 /أ 22 , ..., −أم 2 / أ 22 على التوالي. استمرارًا للإجراء ، نحصل على مصفوفة قطرية أو نوع صعدت. دع المصفوفة المعززة الناتجة تبدو كما يلي:

(7)

لان رتبة أ = رتبة(أ | ب) ، ثم مجموعة الحلول (7) هي ( ن − ص) هو مجموعة متنوعة. بالتالي ن − صيمكن اختيار المجهول بشكل تعسفي. يتم حساب المجهول المتبقية من النظام (7) على النحو التالي. من المعادلة الأخيرة نعبر عنها x p من خلال بقية المتغيرات وإدراجها في التعبيرات السابقة. بعد ذلك ، من المعادلة قبل الأخيرة ، نعبر عنها xص − 1 عبر باقي المتغيرات وأدخلها في التعبيرات السابقة ، إلخ. ضع في اعتبارك طريقة Gauss على أمثلة ملموسة.

أمثلة على حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس

مثال 1. أوجد الحل العام لنظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة Gauss:

للدلالة به أعناصر ij أنا-الخط و يالعمود.

استبعد عناصر العمود الأول من المصفوفة أسفل العنصر أأحد عشر . للقيام بذلك ، أضف الصفوف 2 ، 3 مع الصف 1 ، مضروبًا في -2/3 ، -1/2 ، على التوالي:

نقسم كل صف من المصفوفة على العنصر البادئ المقابل (إذا كان العنصر الأول موجودًا):

باستبدال التعبيرات العلوية بالتعبيرات السفلية ، نحصل على الحل.

منذ بداية القرنين السادس عشر والثامن عشر ، بدأ علماء الرياضيات في دراسة الوظائف بشكل مكثف ، والتي بفضلها تغير الكثير في حياتنا. تكنولوجيا الكمبيوتربدون هذه المعرفة ببساطة لن تكون موجودة. عن الحلول المهام الصعبة، تم إنشاء المعادلات والدوال الخطية مفاهيم مختلفة، نظريات وطرق الحل. إحدى هذه الأساليب والتقنيات العالمية والعقلانية لحل المعادلات الخطية وأنظمتها كانت طريقة غاوس. المصفوفات ورتبتها ومحدداتها - يمكن حساب كل شيء دون استخدام عمليات معقدة.

ما هو SLAU

في الرياضيات ، هناك مفهوم SLAE - نظام خطي المعادلات الجبرية. ماذا تمثل؟ هذه مجموعة من معادلات m مع n مجهولة مطلوبة ، وعادة ما يشار إليها بالرموز x أو y أو z أو x 1 أو x 2 ... x n أو غيرها من الرموز. حل بطريقة جاوس هذا النظام- يعني البحث عن جميع المجهول المطلوب. إذا كان النظام يحتوي على نفس العددالمجهول والمعادلات ، ثم يطلق عليه نظام الترتيب رقم n.

أكثر الطرق شيوعًا لحل SLAE

في المؤسسات التعليميةيدرس التعليم الثانوي تقنيات مختلفة لحل مثل هذه الأنظمة. في أغلب الأحيان هذا معادلات بسيطة، تتكون من مجهولين ، أي الطريقة الحاليةلن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للعثور على إجابات لهم. يمكن أن تكون مثل طريقة الاستبدال ، عندما يتم اشتقاق معادلة أخرى من معادلة واحدة واستبدالها بالمعادلة الأصلية. أو مصطلح عن طريق الطرح والجمع. لكن طريقة غاوس تعتبر الأسهل والأكثر عالمية. يجعل من الممكن حل المعادلات بأي عدد من المجاهيل. لماذا تعتبر هذه التقنية عقلانية؟ كل شيء بسيط. طريقة المصفوفةالشيء الجيد هنا أنه ليس مطلوبًا إعادة كتابة الأحرف غير الضرورية عدة مرات في شكل مجاهيل ، يكفي إجراء عمليات حسابية على المعاملات - وستحصل على نتيجة موثوقة.

أين يتم استخدام SLAEs في الممارسة؟

حل SLAE هو نقاط تقاطع الخطوط على الرسوم البيانية للوظائف. في عصر الكمبيوتر عالي التقنية ، يحتاج الأشخاص الذين يشاركون عن كثب في تطوير الألعاب والبرامج الأخرى إلى معرفة كيفية حل هذه الأنظمة وما تمثله وكيفية التحقق من صحة النتيجة الناتجة. في أغلب الأحيان ، يطور المبرمجون حاسبات جبر خطية خاصة ، وهذا يشمل نظام المعادلات الخطية. تتيح لك طريقة Gauss حساب جميع الحلول الموجودة. كما يتم استخدام صيغ وتقنيات مبسطة أخرى.

معيار توافق SLAE

لا يمكن حل مثل هذا النظام إلا إذا كان متوافقًا. من أجل الوضوح ، نقدم SLAE بالشكل Ax = b. لها حل إذا كان المدى (أ) يساوي رن (أ ، ب). في هذه الحالة ، (أ ، ب) عبارة عن مصفوفة ممتدة يمكن الحصول عليها من المصفوفة أ بإعادة كتابتها بشروط مجانية. اتضح أن حل المعادلات الخطية باستخدام طريقة Gaussian سهل للغاية.

ربما تكون بعض الرموز غير واضحة تمامًا ، لذلك من الضروري النظر في كل شيء بمثال. لنفترض أن هناك نظامًا: x + y = 1 ؛ 2 س -3 ص = 6. يتكون من معادلتين فقط حيث يوجد 2 مجهولين. سيكون للنظام حل فقط إذا كانت رتبة المصفوفة الخاصة به مساوية لرتبة المصفوفة المعززة. ما هي الرتبة؟ هذا هو عدد الخطوط المستقلة للنظام. في حالتنا ، رتبة المصفوفة هي 2. ستتألف المصفوفة A من المعاملات الواقعة بالقرب من المجهول ، والمعاملات خلف علامة "=" سوف تتناسب أيضًا مع المصفوفة الموسعة.

لماذا يمكن تمثيل SLAE في شكل مصفوفة

استنادًا إلى معيار التوافق وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli التي أثبتت جدواها ، يمكن تمثيل نظام المعادلات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة. باستخدام طريقة Gaussian cascade ، يمكنك حل المصفوفة والحصول على الإجابة الوحيدة الموثوقة للنظام بأكمله. إذا كانت رتبة المصفوفة العادية تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، ولكن أقل من عدد المجهول ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الإجابات.

تحولات المصفوفة

قبل الانتقال إلى حل المصفوفات ، من الضروري معرفة الإجراءات التي يمكن تنفيذها على عناصرها. هناك عدة تحولات أولية:

• إعادة كتابة النظام إلى عرض المصفوفةوتحقيق الحل ، من الممكن ضرب جميع عناصر السلسلة بنفس المعامل.
• لتحويل مصفوفة إلى شكل متعارف عليه ، يمكن تبديل صفين متوازيين. يشير الشكل الأساسي إلى أن جميع عناصر المصفوفة الموجودة على طول القطر الرئيسي تصبح عناصر ، بينما تصبح العناصر المتبقية أصفارًا.
• يمكن إضافة العناصر المقابلة للصفوف المتوازية للمصفوفة الواحدة إلى الأخرى.

طريقة جوردان جاوس

جوهر حل الأنظمة الخطية المتجانسة و معادلات غير متجانسةالطريقة الغاوسية هي القضاء على المجهول تدريجياً. لنفترض أن لدينا نظامًا من معادلتين فيهما مجهولان. للعثور عليهم ، تحتاج إلى التحقق من توافق النظام. تم حل المعادلة الغاوسية بكل بساطة. من الضروري كتابة المعاملات الموجودة بالقرب من كل مجهول في شكل مصفوفة. لحل النظام ، تحتاج إلى كتابة المصفوفة المعززة. إذا كانت إحدى المعادلات تحتوي على عدد أقل من المجاهيل ، فيجب وضع "0" بدلاً من العنصر المفقود. يتم تطبيق جميع طرق التحويل المعروفة على المصفوفة: الضرب ، والقسمة برقم ، وإضافة العناصر المقابلة من الصفوف إلى بعضها البعض ، وغيرها. اتضح أنه في كل صف من الضروري ترك متغير واحد بالقيمة "1" ، والباقي يؤدي إلى لا عقل. لفهم أكثر دقة ، من الضروري النظر في طريقة غاوس مع الأمثلة.

مثال بسيط لحل نظام 2x2

بادئ ذي بدء ، لنأخذ نظامًا بسيطًا من المعادلات الجبرية ، حيث سيكون هناك مجهولين.

دعنا نعيد كتابتها في مصفوفة مكثفة.

لحل نظام المعادلات الخطية هذا ، يلزم إجراء عمليتين فقط. علينا إحضار المصفوفة إلى الصورة المتعارف عليها بحيث توجد وحدات على طول القطر الرئيسي. لذلك ، بالترجمة من نموذج المصفوفة إلى النظام ، نحصل على المعادلات: 1x + 0y = b1 و 0 x + 1y = b2 ، حيث b1 و b2 هي الإجابات التي تم الحصول عليها في عملية الحل.

1. ستكون الخطوة الأولى في حل المصفوفة المعززة كما يلي: يجب ضرب الصف الأول في -7 وإضافة العناصر المقابلة إلى الصف الثاني ، على التوالي ، من أجل التخلص من واحد غير معروف في المعادلة الثانية.
2. نظرًا لأن حل المعادلات بطريقة Gauss يعني ضمناً إحضار المصفوفة إلى الشكل المتعارف عليه ، فمن الضروري إجراء نفس العمليات مع المعادلة الأولى وإزالة المتغير الثاني. للقيام بذلك ، نطرح السطر الثاني من الأول ونحصل على الإجابة اللازمة - حل SLAE. أو ، كما هو موضح في الشكل ، نضرب الصف الثاني في عامل -1 ونضيف عناصر الصف الثاني إلى الصف الأول. نفس الشئ.

كما ترى ، تم حل نظامنا بطريقة جوردان جاوس. نعيد كتابته بالصيغة المطلوبة: x = -5 ، y = 7.

مثال على حل SLAE 3x3

افترض أن لدينا نظام معادلات خطية أكثر تعقيدًا. تجعل طريقة غاوس من الممكن حساب الإجابة حتى بالنسبة لأكثر الأنظمة التي تبدو مربكة. لذلك ، للتعمق في منهجية الحساب ، يمكنك الانتقال إلى المزيد مثال معقدمع ثلاثة مجاهيل.

كما في المثال السابق ، نعيد كتابة النظام في شكل مصفوفة موسعة ونبدأ في نقله إلى الشكل المتعارف عليه.

لحل هذا النظام ، ستحتاج إلى تنفيذ إجراءات أكثر بكثير مما في المثال السابق.

1. تحتاج أولاً إلى إنشاء عنصر واحد في العمود الأول والباقي من الأصفار. للقيام بذلك ، اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف المعادلة الثانية إليها. من المهم أن نتذكر أننا نعيد كتابة السطر الأول في شكله الأصلي ، والثاني - بالفعل في شكل معدل.
2. بعد ذلك ، نزيل نفس المجهول الأول من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الأول في -2 ونضيفها إلى الصف الثالث. الآن يتم إعادة كتابة السطر الأول والثاني في شكلهما الأصلي ، والثالث - مع التغييرات بالفعل. كما ترى من النتيجة ، حصلنا على أول واحد في بداية القطر الرئيسي للمصفوفة والباقي أصفار. عدد قليل من الإجراءات ، وسيتم حل نظام المعادلات بطريقة غاوس بشكل موثوق.
3. أنت الآن بحاجة إلى إجراء عمليات على عناصر أخرى من الصفوف. يمكن دمج الخطوتين الثالثة والرابعة في خطوة واحدة. علينا قسمة الخطين الثاني والثالث على -1 للتخلص من السالب الموجودة على القطر. لقد قمنا بالفعل بإحضار السطر الثالث إلى النموذج المطلوب.
4. بعد ذلك ، يمكننا جعل السطر الثاني عنوانًا أساسيًا. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الثالث في -3 ونضيفها إلى السطر الثاني من المصفوفة. يمكن أن نرى من النتيجة أن السطر الثاني يتم أيضًا تقليله إلى الشكل الذي نحتاجه. يبقى القيام ببعض العمليات الأخرى وإزالة معاملات المجهول من الصف الأول.
5. من أجل جعل 0 من العنصر الثاني في الصف ، تحتاج إلى ضرب الصف الثالث في -3 وإضافته إلى الصف الأول.
6. الخطوة الحاسمة التالية هي إضافة العناصر الضرورية للصف الثاني إلى الصف الأول. لذلك نحصل على الصيغة الأساسية للمصفوفة ، وبالتالي الإجابة.

كما ترى ، حل المعادلات بطريقة غاوس بسيط للغاية.

مثال على حل نظام المعادلات 4x4

اكثر أنظمة معقدةيمكن حل المعادلات بطريقة جاوس عن طريق برامج الحاسوب. من الضروري دفع معاملات المجهول إلى الخلايا الفارغة الموجودة ، وسيقوم البرنامج بحساب النتيجة المطلوبة خطوة بخطوة ، مع وصف كل إجراء بالتفصيل.

هو موضح أدناه تعليمات خطوة بخطوةحلول لهذا المثال.

في الخطوة الأولى ، يتم إدخال المعاملات والأرقام المجانية للمجهول في الخلايا الفارغة. وبالتالي ، نحصل على نفس المصفوفة المعززة التي نكتبها يدويًا.

ويتم إجراء جميع العمليات الحسابية اللازمة لإحضار المصفوفة الممتدة إلى الشكل المتعارف عليه. يجب أن يكون مفهوما أن الإجابة على نظام المعادلات ليست دائما أعداد صحيحة. في بعض الأحيان يمكن أن يكون الحل من الأعداد الكسرية.

التحقق من صحة الحل

توفر طريقة Jordan-Gauss للتحقق من صحة النتيجة. لمعرفة ما إذا كانت المعاملات قد تم حسابها بشكل صحيح ، ما عليك سوى استبدال النتيجة في نظام المعادلات الأصلي. الجانب الأيسرمن المعادلة يجب أن يتطابق مع الجانب الأيمن ، الذي يقع خلف علامة التساوي. إذا كانت الإجابات غير متطابقة ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب النظام أو محاولة تطبيق طريقة أخرى لحل SLAE المعروف لك ، مثل الاستبدال أو الطرح والإضافة مصطلحًا تلو الآخر. بعد كل شيء ، الرياضيات هي علم له كمية كبيرة تقنيات مختلفةحلول. لكن تذكر: يجب أن تكون النتيجة هي نفسها دائمًا ، بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمتها.

طريقة غاوس: الأخطاء الأكثر شيوعاً في حل SLAE

أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، غالبًا ما تحدث أخطاء ، مثل النقل غير الصحيح للمعاملات إلى شكل مصفوفة. هناك أنظمة تفتقد فيها بعض المجهول في إحدى المعادلات ، ثم نقل البيانات إلى المصفوفة الموسعة ، يمكن أن تضيع. نتيجة لذلك ، عند حل هذا النظام ، قد لا تتوافق النتيجة مع النتيجة الحقيقية.

من الأخطاء الرئيسية الأخرى كتابة النتيجة النهائية بشكل غير صحيح. يجب أن يكون مفهوما بوضوح أن المعامل الأول سيتوافق مع المجهول الأول من النظام ، والثاني - إلى الثاني ، وما إلى ذلك.

تصف طريقة غاوس بالتفصيل حل المعادلات الخطية. بفضله ، من السهل إجراء العمليات اللازمة والعثور على النتيجة الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك علاج عالميللبحث عن إجابة موثوقة للمعادلات مهما كانت درجة تعقيدها. ربما هذا هو السبب في أنها تستخدم في كثير من الأحيان في حل SLAE.

دع النظام يُعطى ، ∆ ≠ 0. (واحد)
طريقة جاوسهي طريقة للتخلص المتتالي من المجهول.

يتمثل جوهر طريقة غاوس في التحويل (1) إلى نظام ذي مصفوفة مثلثة ، يتم من خلالها الحصول على قيم جميع المجهول بالتتابع (بشكل عكسي). لنفكر في أحد المخططات الحسابية. هذه الدائرة تسمى دائرة التقسيم الفردي. لنلق نظرة على هذا الشكل. دع 11 ≠ 0 (العنصر الرئيسي) قسّم على 11 المعادلة الأولى. احصل على
(2)
باستخدام المعادلة (2) ، من السهل استبعاد x 1 المجهول من المعادلات المتبقية للنظام (لهذا ، يكفي طرح المعادلة (2) من كل معادلة مضروبة مسبقًا بالمعامل المقابل عند x 1) ، أي ، في الخطوة الأولى نحصل عليها
.
بمعنى آخر ، في الخطوة 1 ، كل عنصر من الصفوف اللاحقة ، بدءًا من الثاني ، يساوي الفرق بين العنصر الأصلي ومنتج "الإسقاط" الخاص به في العمود الأول والصف الأول (المحول).
بعد ذلك ، وترك المعادلة الأولى بمفردها ، سنقوم بإجراء تحويل مماثل على المعادلات المتبقية للنظام التي تم الحصول عليها في الخطوة الأولى: نختار من بينها معادلة ذات عنصر رئيسي ونستخدمها لاستبعاد x 2 من المعادلات المتبقية (الخطوة 2).
بعد n من الخطوات ، بدلاً من (1) نحصل عليها نظام مكافئ
(3)
وهكذا ، في المرحلة الأولى ، سوف نحصل على نظام ثلاثي (3). هذه الخطوة تسمى إلى الأمام.
في المرحلة الثانية (التحرك العكسي) نجد بالتتابع من (3) القيم x n ، x n -1 ، ... ، x 1.
دعنا نشير إلى الحل الذي تم الحصول عليه على أنه x 0. ثم الفرق ε = b-A x 0 يسمى المتبقية.
إذا كانت ε = 0 ، فإن الحل الذي تم العثور عليه x 0 يكون صحيحًا.

يتم إجراء الحسابات بطريقة Gauss على مرحلتين:

1. المرحلة الأولى تسمى المسار المباشر للطريقة. في المرحلة الأولى ، يتم تحويل النظام الأصلي إلى شكل مثلث.
2. المرحلة الثانية تسمى العكس. في المرحلة الثانية ، يتم حل نظام مثلث مكافئ للنظام الأصلي.

المعامِلات a 11 ، a 22 ، ... ، تسمى العناصر الرئيسية.
في كل خطوة ، تم افتراض أن العنصر الرئيسي يختلف عن الصفر. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكن استخدام أي عنصر آخر كقائد ، كما لو كان يعيد ترتيب معادلات النظام.

الغرض من طريقة جاوس

طريقة غاوس مخصصة لحل أنظمة المعادلات الخطية. يشير إلى طرق الحل المباشرة.

أنواع طريقة جاوس

1. طريقة غاوس الكلاسيكية
2. تعديلات طريقة غاوس. أحد التعديلات التي أدخلت على طريقة غاوس هي الدائرة باختيار العنصر الرئيسي. تتمثل إحدى ميزات طريقة Gauss مع اختيار العنصر الرئيسي في تبديل المعادلات بحيث يكون العنصر الرئيسي في الخطوة k-th هو أكبر عنصر في العمود k-th.
3. طريقة جوردان جاوس

الفرق بين طريقة جوردان جاوس والطريقة الكلاسيكية طريقة جاوستتمثل في تطبيق قاعدة المستطيل عندما يحدث اتجاه البحث عن حل على طول القطر الرئيسي (التحويل إلى مصفوفة الهوية). في طريقة Gauss ، يحدث اتجاه البحث عن حل على طول الأعمدة (التحويل إلى نظام به مصفوفة مثلثة).
وضح الفرق طريقة جوردان جاوسمن طريقة غاوس على الأمثلة.

مثال على حل جاوس
لنحل النظام:

لتسهيل العمليات الحسابية ، نقوم بتبديل الخطوط:

اضرب الصف الثاني ب (2). أضف السطر الثالث إلى السطر الثاني

اضرب الصف الثاني في (-1). أضف الصف الثاني إلى الصف الأول

من السطر الأول نعبر عن x 3:
من السطر الثاني نعبر عن x 2:
من السطر الثالث نعبر عن x 1:

مثال على حل بطريقة جوردان جاوس
سنحل نفس SLAE باستخدام طريقة Jordano-Gauss.

سنختار بالتتابع عنصر حل RE ، والذي يقع على القطر الرئيسي للمصفوفة.
عنصر التمكين يساوي (1).



NE \ u003d SE - (A * B) / RE
RE - تمكين العنصر (1) ، A و B - عناصر المصفوفة التي تشكل مستطيلًا مع عناصر STE و RE.
لنقدم حساب كل عنصر في شكل جدول:

× 1	x2	× 3	ب
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

عنصر التمكين يساوي (3).
بدلاً من عنصر الحل ، نحصل على 1 ، وفي العمود نفسه نكتب الأصفار.
يتم تحديد جميع عناصر المصفوفة الأخرى ، بما في ذلك عناصر العمود B ، بقاعدة المستطيل.
للقيام بذلك ، حدد أربعة أرقام موجودة في رؤوس المستطيل وقم دائمًا بتضمين عنصر التمكين في RE.

× 1	x2	× 3	ب
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

عنصر التمكين هو (-4).
بدلاً من عنصر الحل ، نحصل على 1 ، وفي العمود نفسه نكتب الأصفار.
يتم تحديد جميع عناصر المصفوفة الأخرى ، بما في ذلك عناصر العمود B ، بقاعدة المستطيل.
للقيام بذلك ، حدد أربعة أرقام موجودة في رؤوس المستطيل وقم دائمًا بتضمين عنصر التمكين في RE.
لنقدم حساب كل عنصر في شكل جدول:

× 1	x2	× 3	ب
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

إجابه: س 1 = 1 ، س 2 = 1 ، س 3 = 1

تنفيذ طريقة غاوس

يتم تطبيق طريقة Gauss في العديد من لغات البرمجة ، على وجه الخصوص: Pascal و C ++ و php و Delphi ، وهناك أيضًا تنفيذ عبر الإنترنت لطريقة Gauss.

باستخدام طريقة جاوس

تطبيق طريقة جاوس في نظرية اللعبة

في نظرية اللعبة ، عند إيجاد الحد الأقصى من الإستراتيجية المثلى للاعب ، يتم تجميع نظام المعادلات ، والذي يتم حله بطريقة Gauss.

تطبيق طريقة جاوس في حل المعادلات التفاضلية

للبحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية ، أوجد أولاً مشتقات الدرجة المقابلة للحل المعين المكتوب (y = f (A، B، C، D)) ، والتي يتم استبدالها في المعادلة الأصلية. التالي للبحث المتغيرات أ ، ب ، ج ، ديتم تجميع نظام المعادلات ، والذي يتم حله بطريقة Gauss.

تطبيق طريقة Jordano-Gauss في البرمجة الخطية

في البرمجة الخطية، على وجه الخصوص ، في طريقة simplex لتحويل جدول بسيط في كل تكرار ، يتم استخدام قاعدة المستطيل ، والتي تستخدم طريقة Jordan-Gauss.