Διακοσμητικό σύστημα συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες

Ορθογώνιο σύστημαοι συντεταγμένες στο επίπεδο σχηματίζονται από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων X’X και Y’Y. Οι άξονες των συντεταγμένων τέμνονται στο σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή των συντεταγμένων, επιλέγεται μια θετική κατεύθυνση σε κάθε άξονα. Η θετική κατεύθυνση των αξόνων (στο δεξιό σύστημα συντεταγμένων) επιλέγεται έτσι ώστε όταν ο άξονας Χ'Χ περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90 °, η θετική του φορά συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Y'Y. Οι τέσσερις γωνίες (I, II, III, IV) που σχηματίζονται από τους άξονες συντεταγμένων X'X και Y'Y ονομάζονται γωνίες συντεταγμένων (βλ. Εικ. 1).

Η θέση του σημείου Α στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες x και y. Η συντεταγμένη x είναι ίση με το μήκος του τμήματος OB, η συντεταγμένη y είναι το μήκος του τμήματος OC στις επιλεγμένες μονάδες. Τα τμήματα OB και OC ορίζονται από γραμμές που σχεδιάζονται από το σημείο Α παράλληλες στους άξονες Y'Y και X'X, αντίστοιχα. Η συντεταγμένη x λέγεται τετμημένη του σημείου Α, η συντεταγμένη y ονομάζεται τεταγμένη του σημείου Α. Την γράφουν ως εξής: Α (x, y).

Αν βρίσκεται το σημείο Α γωνία συντεταγμένων I, τότε το σημείο Α έχει θετική τετμημένη και τεταγμένη. Αν το σημείο Α βρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων II, τότε το σημείο Α έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη. Αν το σημείο Α βρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων III, τότε το σημείο Α έχει αρνητική τετμημένη και τεταγμένη. Αν το σημείο Α βρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων IV, τότε το σημείο Α έχει θετική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη.

Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημασχηματίζεται από τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων OX, OY και OZ. Οι άξονες συντεταγμένων τέμνονται στο σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή, σε κάθε άξονα επιλέγεται η θετική κατεύθυνση που υποδεικνύεται από τα βέλη και η μονάδα μέτρησης των τμημάτων στους άξονες. Οι μονάδες μέτρησης είναι ίδιες για όλους τους άξονες. OX - άξονας τετμημένης, OY - άξονας τεταγμένων, OZ - άξονας εφαρμογής. Η θετική κατεύθυνση των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε όταν ο άξονας OX περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90°, η θετική φορά του να συμπίπτει με τη θετική φορά του άξονα OY, εάν αυτή η περιστροφή παρατηρηθεί από την πλευρά της θετικής κατεύθυνσης του άξονα OZ . Ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται σωστό. Αν ένα αντίχειρας δεξί χέριπάρτε για την κατεύθυνση X, τον δείκτη για την κατεύθυνση Y και τη μεσαία για την κατεύθυνση Z, τότε σχηματίζεται ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων. Παρόμοια δάχτυλα του αριστερού χεριού σχηματίζουν το αριστερό σύστημα συντεταγμένων. Το δεξιό και το αριστερό σύστημα συντεταγμένων δεν μπορούν να συνδυαστούν έτσι ώστε οι αντίστοιχοι άξονες να συμπίπτουν (βλ. Εικ. 2).

Η θέση του σημείου Α στο χώρο καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες x, y και z. Η συντεταγμένη x είναι ίση με το μήκος του τμήματος OB, η συντεταγμένη y είναι ίση με το μήκος του τμήματος OC, η συντεταγμένη z είναι το μήκος του τμήματος OD στις επιλεγμένες μονάδες. Τα τμήματα OB, OC και OD ορίζονται από επίπεδα που σχεδιάζονται από το σημείο Α παράλληλα με τα επίπεδα YOZ, XOZ και XOY, αντίστοιχα. Η συντεταγμένη x λέγεται τετμημένη του σημείου Α, η συντεταγμένη y ονομάζεται τεταγμένη του σημείου Α, η συντεταγμένη z ονομάζεται εφαρμογή του σημείου Α. Την γράφουν ως εξής: Α (α, β, γ).

Horts

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (οποιασδήποτε διάστασης) περιγράφεται επίσης από ένα σύνολο όρτων, που κατευθύνονται από κοινού με τους άξονες συντεταγμένων. Ο αριθμός των orts είναι ίσος με τη διάσταση του συστήματος συντεταγμένων και είναι όλες κάθετες μεταξύ τους.

ΣΤΟ τρισδιάστατη θήκηΤέτοια ορτά συνήθως υποδηλώνονται Εγώ ι κή μιΧ μι y μι z . Στην περίπτωση αυτή, στην περίπτωση του σωστού συστήματος συντεταγμένων, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι με το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων:

[Εγώ ι]=κ ;
[ι κ]=Εγώ ;
[κ Εγώ]=ι .

Ιστορία

Ο Ρενέ Ντεκάρτ ήταν ο πρώτος που εισήγαγε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στον Λόγο του για τη Μέθοδο το 1637. Επομένως, το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται επίσης - Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η μέθοδος συντεταγμένων για την περιγραφή γεωμετρικών αντικειμένων έθεσε τα θεμέλια για την αναλυτική γεωμετρία. Ο Pierre Fermat συνέβαλε επίσης στην ανάπτυξη της μεθόδου των συντεταγμένων, αλλά το έργο του δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά μετά τον θάνατό του. Ο Ντεκάρτ και ο Φερμά χρησιμοποίησαν τη μέθοδο των συντεταγμένων μόνο στο επίπεδο.

Η μέθοδος συντεταγμένων για τον τρισδιάστατο χώρο εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Leonhard Euler ήδη τον 18ο αιώνα.

δείτε επίσης

Συνδέσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι το "Καρττεσιανό σύστημα συντεταγμένων" σε άλλα λεξικά:

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ένα ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων σε επίπεδο ή σε χώρο (συνήθως με αμοιβαία κάθετους άξονες και την ίδια κλίμακα κατά μήκος των αξόνων). Πήρε το όνομά του από τον R. Descartes (βλ. DECARTS του Rene). Ο Ντεκάρτ εισήγαγε για πρώτη φορά... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΚΑΡΤΕΣΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΟΝΤΙΝΩΝ- ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε επίπεδο ή σε χώρο, στο οποίο οι κλίμακες κατά μήκος των αξόνων είναι ίδιες και οι άξονες συντεταγμένων είναι αμοιβαία κάθετοι. D. s. Το κ. συμβολίζεται με τα γράμματα x:, y για ένα σημείο σε επίπεδο ή x, y, z για ένα σημείο του χώρου. (Εκ.… …

CARTEAN CORDINATE SYSTEM, ένα σύστημα που εισήγαγε ο René DECARTES, στο οποίο η θέση ενός σημείου καθορίζεται από την απόσταση από αυτό έως τις αμοιβαία τέμνουσες γραμμές (άξονες). Στην απλούστερη έκδοση του συστήματος, οι άξονες (που συμβολίζονται ως x και y) είναι κάθετοι. ... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Ένα ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων (Βλ. Συντεταγμένες) σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα (συνήθως με την ίδια κλίμακα κατά μήκος των αξόνων). Ο ίδιος ο R. Descartes στη «Γεωμετρία» (1637) χρησιμοποίησε μόνο το σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο (γενικά, πλάγιο). Συχνά…… Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Ένα σύνολο ορισμών που υλοποιεί τη μέθοδο συντεταγμένων, δηλαδή έναν τρόπο προσδιορισμού της θέσης ενός σημείου ή σώματος χρησιμοποιώντας αριθμούς ή άλλα σύμβολα. Το σύνολο των αριθμών που καθορίζει τη θέση ενός συγκεκριμένου σημείου ονομάζεται συντεταγμένες αυτού του σημείου. Στη ... ... Wikipedia

καρτεσιανό σύστημα- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. Καρτεσιανό σύστημα; Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Καρτεσιανό σύστημα, f; Καρτεσιανό σύστημα ... ... Fizikos terminų žodynas

ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΩΝ- ένα σύνολο συνθηκών που καθορίζουν τη θέση ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή, σε ένα επίπεδο, στο διάστημα. Υπάρχουν διάφορα S. έως.: Καρτεσιανό, λοξό, κυλινδρικό, σφαιρικό, καμπυλόγραμμο κ.λπ. Γραμμικά και γωνιακά μεγέθη που καθορίζουν τη θέση ... ... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Ορθοκανονικό ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων στον Ευκλείδειο χώρο. D. p. s. κ. στο επίπεδο δίνεται από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων, σε καθένα από τους οποίους επιλέγεται μια θετική κατεύθυνση και ένα τμήμα της μονάδας ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι ένα ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων με αμοιβαία κάθετους άξονες σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Το απλούστερο και επομένως πιο συχνά χρησιμοποιούμενο σύστημα συντεταγμένων. Γενικεύεται πολύ εύκολα και άμεσα για ... ... Wikipedia

Βιβλία

Υπολογιστική ρευστοδυναμική. Θεωρητική βάση. Εγχειρίδιο, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Το βιβλίο είναι αφιερωμένο στη συστηματική παρουσίαση θεωρητικές βάσειςγια τον καθορισμό στόχων μαθηματική μοντελοποίησηροή υγρών και αερίων. Ιδιαίτερη προσοχήεπικεντρώθηκε στο χτίσιμο...

Ένα διατεταγμένο σύστημα δύο ή τριών τεμνόμενων αξόνων κάθετων μεταξύ τους με κοινή αρχήαναφορά (προέλευση) και κοινή μονάδαμήκος ονομάζεται ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων .

Γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (συγγενικό σύστημα συντεταγμένων) μπορεί επίσης να περιλαμβάνει όχι απαραίτητα κάθετους άξονες. Προς τιμή του Γάλλου μαθηματικού Rene Descartes (1596-1662), ονομάζεται ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο μια κοινή μονάδα μήκους μετράται σε όλους τους άξονες και οι άξονες είναι ευθύγραμμοι.

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο έχει δύο άξονες ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα - τρεις άξονες. Κάθε σημείο σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα καθορίζεται από ένα διατεταγμένο σύνολο συντεταγμένων - αριθμών σύμφωνα με το μοναδιαίο μήκος του συστήματος συντεταγμένων.

Σημειώστε ότι, όπως προκύπτει από τον ορισμό, υπάρχει ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ευθεία γραμμή, δηλαδή σε μία διάσταση. Η εισαγωγή καρτεσιανών συντεταγμένων σε μια ευθεία είναι ένας από τους τρόπους με τους οποίους σε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας αποδίδεται ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός, δηλαδή μια συντεταγμένη.

Η μέθοδος των συντεταγμένων, που προέκυψε στα έργα του René Descartes, σηματοδότησε μια επαναστατική αναδιάρθρωση όλων των μαθηματικών. ευκαιρία για ερμηνεία αλγεβρικές εξισώσεις(ή ανισότητες) με τη μορφή γεωμετρικών εικόνων (γραφημάτων) και, αντίστροφα, αναζητήστε μια λύση γεωμετρικά προβλήματαχρησιμοποιώντας αναλυτικούς τύπους, συστήματα εξισώσεων. Ναι, ανισότητα z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyκαι βρίσκεται πάνω από αυτό το επίπεδο κατά 3 μονάδες.

Με τη βοήθεια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, η υπαγωγή ενός σημείου σε μια δεδομένη καμπύλη αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι αριθμοί Χκαι yικανοποιεί κάποια εξίσωση. Άρα, οι συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο με κέντρο δεδομένο σημείο (ένα; σι) ικανοποιεί την εξίσωση (Χ - ένα)² + ( y - σι)² = R² .

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

Δύο κάθετοι άξονες σε ένα επίπεδο με κοινή αρχή και την ίδια μορφή μονάδας κλίμακας Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο αεροπλάνο . Ένας από αυτούς τους άξονες ονομάζεται άξονας Βόδι, ή άξονας x , το άλλο - ο άξονας Oy, ή άξονας y . Αυτοί οι άξονες ονομάζονται επίσης άξονες συντεταγμένων. Σημειώστε με ΜΧκαι Μyαντίστοιχα η προβολή αυθαίρετου σημείου Μστον άξονα Βόδικαι Oy. Πώς να λάβετε προβολές; Περάστε από την τελεία Μ Βόδι. Αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα Βόδιστο σημείο ΜΧ. Περάστε από την τελεία Μευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα Oy. Αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα Oyστο σημείο Μy. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χκαι yσημεία Μθα ονομάσουμε αντίστοιχα μεγέθη των κατευθυνόμενων τμημάτων ΟΜΧκαι ΟΜy. Οι τιμές αυτών των κατευθυντικών τμημάτων υπολογίζονται αντίστοιχα ως Χ = Χ0 - 0 και y = y0 - 0 . Καρτεσιανές συντεταγμένες Χκαι yσημεία Μ τετμημένη και τεταγμένη . Το γεγονός ότι η τελεία Μέχει συντεταγμένες Χκαι y, συμβολίζεται ως εξής: Μ(Χ, y) .

Οι άξονες συντεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτοκύκλιο , του οποίου η αρίθμηση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Υποδεικνύει επίσης τη διάταξη των πινακίδων για τις συντεταγμένες των σημείων, ανάλογα με τη θέση τους σε ένα ή άλλο τεταρτημόριο.

Εκτός από τις καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες στο επίπεδο, συχνά λαμβάνεται υπόψη και το πολικό σύστημα συντεταγμένων. Σχετικά με τη μέθοδο μετάβασης από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο - στο μάθημα πολικό σύστημα συντεταγμένων .

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες στο διάστημα εισάγονται σε πλήρη αναλογία με τις καρτεσιανές συντεταγμένες σε ένα επίπεδο.

Τρεις αμοιβαίοι κάθετοι άξονες στο χώρο (άξονες συντεταγμένων) με κοινή αρχή Οκαι την ίδια μορφή μονάδας κλίμακας Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα .

Ένας από αυτούς τους άξονες ονομάζεται άξονας Βόδι, ή άξονας x , το άλλο - ο άξονας Oy, ή άξονας y , τρίτος - άξονας Οζ, ή άξονας εφαρμογής . Αφήνω ΜΧ, Μy Μz- προβολές αυθαίρετου σημείου Μχώρους στον άξονα Βόδι , Oyκαι Οζαντίστοιχα.

Περάστε από την τελεία Μ ΒόδιΒόδιστο σημείο ΜΧ. Περάστε από την τελεία Μεπίπεδο κάθετο στον άξονα Oy. Αυτό το επίπεδο τέμνει τον άξονα Oyστο σημείο Μy. Περάστε από την τελεία Μεπίπεδο κάθετο στον άξονα Οζ. Αυτό το επίπεδο τέμνει τον άξονα Οζστο σημείο Μz.

Καρτεσιανή ορθογώνιες συντεταγμένες Χ , yκαι zσημεία Μθα ονομάσουμε αντίστοιχα μεγέθη των κατευθυνόμενων τμημάτων ΟΜΧ, ΟΜyκαι ΟΜz. Οι τιμές αυτών των κατευθυντικών τμημάτων υπολογίζονται αντίστοιχα ως Χ = Χ0 - 0 , y = y0 - 0 και z = z0 - 0 .

Καρτεσιανές συντεταγμένες Χ , yκαι zσημεία Μονομάζονται ανάλογα τετμημένη , τεταγμένη και απλικέ .

Λαμβάνονται σε ζεύγη, οι άξονες συντεταγμένων βρίσκονται στα επίπεδα συντεταγμένων xOy , yOzκαι zOx .

Προβλήματα σχετικά με σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Παράδειγμα 1

ΕΝΑ(2; -3) ;

σι(3; -1) ;

ντο(-5; 1) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα x.

Λύση. Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα x βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα x, δηλαδή στον άξονα Βόδι, και επομένως έχει μια τετμημένη ίση με την τετμημένη του ίδιου του σημείου, και μια τεταγμένη (συντεταγμένη στον άξονα Oy, το οποίο ο άξονας x τέμνει στο σημείο 0), ίσο με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες αυτών των σημείων στον άξονα x:

ΕΝΑx(2;0);

σιx(3;0);

ντοx(-5;0).

Παράδειγμα 2Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-3; 2) ;

σι(-5; 1) ;

ντο(3; -2) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα y.

Λύση. Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα y βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα y, δηλαδή στον άξονα Oy, και επομένως έχει μια τεταγμένη ίση με την τεταγμένη του ίδιου του σημείου και μια τετμημένη (η συντεταγμένη στον άξονα Βόδι, τον οποίο ο άξονας y τέμνει στο σημείο 0), ίσο με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες αυτών των σημείων στον άξονα y:

ΕΝΑy(0; 2);

σιy (0; 1);

ντοy(0;-2).

Παράδειγμα 3Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(2; 3) ;

σι(-3; 2) ;

ντο(-1; -1) .

Βόδι .

Βόδι Βόδι Βόδι, θα έχει την ίδια τετμημένη με δεδομένο σημείο, και μια τεταγμένη ίση με απόλυτη τιμήτεταγμένη του δεδομένου σημείου και απέναντι σε αυτό σε πρόσημο. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Βόδι :

ΕΝΑ"(2; -3) ;

ΣΙ"(-3; -2) ;

ΝΤΟ"(-1; 1) .

Λύστε μόνοι σας προβλήματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και μετά δείτε τις λύσεις

Παράδειγμα 4Προσδιορίστε σε ποια τεταρτημόρια (τέταρτα, σχήμα με τεταρτημόρια - στο τέλος της παραγράφου "Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο") μπορεί να εντοπιστεί το σημείο Μ(Χ; y) , αν

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) Χ − y = 0 ;

4) Χ + y = 0 ;

5) Χ + y > 0 ;

6) Χ + y < 0 ;

7) Χ − y > 0 ;

8) Χ − y < 0 .

Παράδειγμα 5Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-2; 5) ;

σι(3; -5) ;

ντο(ένα; σι) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy .

Συνεχίζουμε να λύνουμε τα προβλήματα μαζί

Παράδειγμα 6Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-1; 2) ;

σι(3; -1) ;

ντο(-2; -2) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy .

Λύση. Περιστρέψτε 180 μοίρες γύρω από τον άξονα Oyκατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα από άξονα Oyμέχρι αυτό το σημείο. Στο σχήμα, όπου υποδεικνύονται τα τεταρτημόρια του επιπέδου, βλέπουμε ότι το σημείο συμμετρικό προς το δεδομένο ως προς τον άξονα Oy, θα έχει την ίδια τεταγμένη με το δεδομένο σημείο, και μια τετμημένη ίση σε απόλυτη τιμή με την τετμημένη του δεδομένου σημείου και αντίθετη σε πρόσημο με αυτήν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy :

ΕΝΑ"(1; 2) ;

ΣΙ"(-3; -1) ;

ΝΤΟ"(2; -2) .

Παράδειγμα 7Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(3; 3) ;

σι(2; -4) ;

ντο(-2; 1) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς την αρχή.

Λύση. Περιστρέφουμε 180 μοίρες γύρω από την αρχή του κατευθυνόμενου τμήματος πηγαίνοντας από την αρχή στο δεδομένο σημείο. Στο σχήμα, όπου υποδεικνύονται τα τεταρτημόρια του επιπέδου, βλέπουμε ότι ένα σημείο συμμετρικό σε ένα δεδομένο ως προς την αρχή των συντεταγμένων θα έχει μια τετμημένη και μια τεταγμένη ίση σε απόλυτη τιμή με την τετμημένη και την τεταγμένη του δεδομένου σημείου , αλλά απέναντι σε αυτά. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς την αρχή:

ΕΝΑ"(-3; -3) ;

ΣΙ"(-2; 4) ;

ντο(2; -1) .

Παράδειγμα 8

ΕΝΑ(4; 3; 5) ;

σι(-3; 2; 1) ;

ντο(2; -3; 0) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων:

1) σε αεροπλάνο Oxy ;

2) στο αεροπλάνο Oxz ;

3) στο αεροπλάνο Oyz ;

4) στον άξονα της τετμημένης.

5) στον άξονα y.

6) στον άξονα απλικέ.

1) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oxyπου βρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τετμημένη και τεταγμένη ίση με την τετμημένη και τεταγμένη του δεδομένου σημείου και μια εφαρμογή ίση με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oxy :

ΕΝΑxy(4;3;0);

σιxy (-3; 2; 0);

ντοxy(2;-3;0).

2) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oxzπου βρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τετμημένη και εφαρμογή ίση με την τετμημένη και εφαρμογή του δεδομένου σημείου και μια τεταγμένη ίση με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oxz :

ΕΝΑxz (4; 0; 5);

σιxz (-3; 0; 1);

ντοxz(2;0;0).

3) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oyzβρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τεταγμένη και μια εφαρμογή ίση με την τεταγμένη και μια εφαρμογή ενός δεδομένου σημείου και μια τετμημένη ίση με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oyz :

ΕΝΑyz (0; 3; 5);

σιyz (0; 2; 1);

ντοyz(0;-3;0).

4) Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα x βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα x, δηλαδή στον άξονα Βόδι, και επομένως έχει μια τετμημένη ίση με την τετμημένη του ίδιου του σημείου, και η τεταγμένη και η εφαρμογή της προβολής είναι ίσες με μηδέν (αφού η τεταγμένη και η εφαρμογή άξονες τέμνουν την τετμημένη στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα x:

ΕΝΑx(4;0;0);

σιx(-3;0;0);

ντοx(2;0;0).

5) Η προβολή ενός σημείου στον άξονα y βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα y, δηλαδή στον άξονα Oy, και επομένως έχει τεταγμένη ίση με την τεταγμένη του ίδιου του σημείου, και η τετμημένη και η εφαρμογή της προβολής είναι ίσα με μηδέν (αφού η τετμημένη και οι εφαρμοζόμενοι άξονες τέμνουν τον άξονα τεταγμένης στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα y:

ΕΝΑy(0;3;0);

σιy(0;2;0);

ντοy(0;-3;0).

6) Η προβολή ενός σημείου στον άξονα εφαρμογής βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα εφαρμογής, δηλαδή στον άξονα Οζ, και επομένως έχει μια εφαρμογή ίση με την εφαρμογή του ίδιου του σημείου, και η τετμημένη και η τεταγμένη της προβολής είναι ίσες με μηδέν (αφού οι άξονες της τετμημένης και της τεταγμένης τέμνουν τον άξονα εφαρμογής στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα εφαρμογής:

ΕΝΑz(0; 0; 5);

σιz(0;0;1);

ντοz(0; 0; 0).

Παράδειγμα 9Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

ΕΝΑ(2; 3; 1) ;

σι(5; -3; 2) ;

ντο(-3; 2; -1) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς:

1) αεροπλάνο Oxy ;

2) αεροπλάνο Oxz ;

3) αεροπλάνο Oyz ;

4) άξονας τετμημένης?

5) άξονας y.

6) άξονας απλικέ.

7) η προέλευση των συντεταγμένων.

1) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oxy Oxy, θα έχει μια τετμημένη και μια τεταγμένη ίση με την τετμημένη και μια τεταγμένη του δεδομένου σημείου και μια εφαρμογή ίση σε μέγεθος με την εφαρμογή του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο με αυτό. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oxy :

ΕΝΑ"(2; 3; -1) ;

ΣΙ"(5; -3; -2) ;

ΝΤΟ"(-3; 2; 1) .

2) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oxzγια την ίδια απόσταση. Σύμφωνα με το σχήμα που δείχνει τον χώρο συντεταγμένων, βλέπουμε ότι το σημείο είναι συμμετρικό με το δεδομένο ως προς τον άξονα Oxz, θα έχει τετμημένη και ισχύει ίση με την τετμημένη και εφαρμογή του δεδομένου σημείου, και μια τεταγμένη ίση σε μέγεθος με την τεταγμένη του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο από αυτήν. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oxz :

ΕΝΑ"(2; -3; 1) ;

ΣΙ"(5; 3; 2) ;

ΝΤΟ"(-3; -2; -1) .

3) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oyzγια την ίδια απόσταση. Σύμφωνα με το σχήμα που δείχνει τον χώρο συντεταγμένων, βλέπουμε ότι το σημείο είναι συμμετρικό με το δεδομένο ως προς τον άξονα Oyz, θα έχει μια τεταγμένη και μια εφαρμογή ίσες με την τεταγμένη και μια εφαρμογή του δεδομένου σημείου, και μια τετμημένη ίση σε μέγεθος με την τετμημένη του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο από αυτήν. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oyz :

ΕΝΑ"(-2; 3; 1) ;

ΣΙ"(-5; -3; 2) ;

ΝΤΟ"(3; 2; -1) .

Κατ' αναλογία με συμμετρικά σημεία στο επίπεδο και σημεία στο χώρο συμμετρικά με δεδομένα ως προς τα επίπεδα, σημειώνουμε ότι στην περίπτωση συμμετρίας ως προς κάποιο άξονα του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο διάστημα, η συντεταγμένη στον άξονα γύρω από τον οποίο τίθεται η συμμετρία θα διατηρήσει το πρόσημο του και οι συντεταγμένες στους άλλους δύο άξονες θα είναι ίδιες σε απόλυτη τιμή με τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετες σε πρόσημο.

4) Η τετμημένη θα διατηρήσει το πρόσημά της, ενώ η τεταγμένη και η αίτηση θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα για τον άξονα x:

ΕΝΑ"(2; -3; -1) ;

ΣΙ"(5; 3; -2) ;

ΝΤΟ"(-3; -2; 1) .

5) Η τεταγμένη θα διατηρήσει το πρόσημά της, ενώ η τετμημένη και η αίτηση θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα για τον άξονα y:

ΕΝΑ"(-2; 3; -1) ;

ΣΙ"(-5; -3; -2) ;

ΝΤΟ"(3; 2; 1) .

6) Η αίτηση θα διατηρήσει το πρόσημά της και η τετμημένη και η τεταγμένη θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα σχετικά με τον άξονα εφαρμογής:

ΕΝΑ"(-2; -3; 1) ;

ΣΙ"(-5; 3; 2) ;

ΝΤΟ"(3; -2; -1) .

7) Κατ' αναλογία με τη συμμετρία στην περίπτωση σημείων σε ένα επίπεδο, στην περίπτωση συμμετρίας ως προς την αρχή, όλες οι συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς ένα δεδομένο θα είναι ίσες σε απόλυτη τιμή με τις συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετες σε υπογραφή τους. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων που είναι συμμετρικά με τα δεδομένα ως προς την αρχή.

Τον II αιώνα π.Χ. ο Έλληνας επιστήμονας Ίππαρχος πρότεινε να περικυκλωθεί στον χάρτη Γηπαράλληλοι και μεσημβρινοί, καλύπτοντάς το σαν με πλέγμα υπό όρους, και μπείτε γεωγραφικές συντεταγμένες- γεωγραφικό πλάτος και μήκος.

Είναι αλήθεια ότι ακόμη και πριν από αυτό, οι αστρονόμοι χρησιμοποίησαν αυτή την τεχνική, μελετώντας το θησαυροφυλάκιο του ουρανού.

Τον II αιώνα μ.Χ. ο διάσημος αρχαίος Έλληνας αστρονόμος και μαθηματικός Κλαύδιος Πτολεμαίος χρησιμοποίησε ενεργά το γεωγραφικό μήκος και πλάτος ως γεωγραφικές συντεταγμένες.
Αλλά συστηματοποίησε αυτές τις έννοιες τον 17ο αιώνα ο Rene Descartes.

Ρενέ Ντεκάρτ (1596 - 1650) - Γάλλος μαθηματικός, φιλόσοφος, φυσικός και φυσιολόγος.
Ήταν αυτός που εφηύρε το 1637 ένα σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται σε όλο τον κόσμο και είναι γνωστό σε κάθε μαθητή. Ονομάζεται επίσης «καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων».

Τι είδους άνθρωπος ήταν ο Ντεκάρτ;

Ο Ντεκάρτ καταγόταν από ευγενής οικογένειακαι ήταν ο μικρότερος (τρίτος) γιος της οικογένειας. Γεννήθηκε το 1596 στη Γαλλία. Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν 1 έτους. Ο Ρενέ τα κατάφερε υπέροχα στοιχειώδης εκπαίδευσηστο αριστοκρατικό κολέγιο La Fleche. Εδώ σπούδασε με Ιησουίτες ιερείς.

Κατά τη διάρκεια των δέκα χρόνων στο κολέγιο, ο Ντεκάρτ απέκτησε δεξιότητες γραφής, μελέτησε τις μουσικές και δραματικές τέχνες και κατέκτησε ακόμη και ευγενείς αναζητήσεις όπως η ιππασία και η ξιφομαχία.
Αφού πέρασε άλλα δύο χρόνια στο Πανεπιστήμιο του Πουατιέ, έλαβε βαθμόςστον τομέα της νομολογίας, αλλά εγκατέλειψε την καριέρα του δικηγόρου.
Ο Ρενέ εγγράφηκε Στρατιωτική θητείακαι άρχισε να ταξιδεύει εκτενώς στην Ευρώπη.

Ο Ντεκάρτ έζησε τότε στην Ολλανδία για περίπου είκοσι χρόνια. Οι ανεκτικοί Ολλανδοί του δέκατου έβδομου αιώνα τα κατάφερναν καλά χωρίς πράγματα όπως η Ιερά Εξέταση, η αίρεση, το κράξιμο και το κάψιμο στην πυρά, που απειλούσαν όλους τους ευρωπαίους αρχικούς στοχαστές. Εδώ, σε αντίθεση με άλλες χώρες, δεν ήταν υποχρεωμένος να πληρώσει για τις ιδέες τους.
Ο Ντεκάρτ διεξάγει εκτενή αλληλογραφία με τους καλύτερους επιστήμονες της Ευρώπης, μελετά τα περισσότερα διάφορες επιστήμες, γράφει βιβλία. Σπούδασε αστρονομία και ιατρική.

Ο μεγάλος φυσιολόγος Ivan Petrovich Pavlov θεωρούσε τον Descartes τον πρόδρομο του

την έρευνά τους. Ο Ρενέ Ντεκάρτ ήταν ο πρώτος που πρότεινε την έννοια του αντανακλαστικού.

(Μνημείο του R. Descartes. Γλύπτης: I.F. Bezpalov. Διεύθυνση: Σοκάκι με προτομές μεγάλων επιστημόνων στο Koltushi.)

Του ανήκει διάσημη φράση: "Cogito, ergo sum",
που στα λατινικά σημαίνει:
"Σκέφτομαι, άρα υπάρχω."

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Για να ορίσετε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, επιλέγονται αμοιβαίες κάθετες γραμμές, που ονομάζονται άξονες.
Το σημείο τομής των αξόνων - "Ο" ονομάζεται αρχή.
Σε κάθε άξονα (OX και OY), ορίζεται η θετική κατεύθυνση και επιλέγεται η μονάδα κλίμακας (μονό τμήμα).

Η θέση του σημείου Α στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες x και y.
Η συντεταγμένη x είναι ίση με το μήκος του τμήματος OB, η συντεταγμένη y είναι το μήκος του τμήματος OC στις επιλεγμένες μονάδες.
Η συντεταγμένη x ονομάζεται τετμημένη του σημείου Α, η συντεταγμένη y ονομάζεται τεταγμένη του σημείου Α.
Κάθε σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος αριθμών: η τετμημένη και η τεταγμένη του: (x; y). Και το αντίστροφο: κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Σε ένα χώρο στον οποίο η θέση ενός σημείου μπορεί να οριστεί ως η προβολή του σε σταθερές γραμμές που τέμνονται σε ένα σημείο, που ονομάζεται αρχή. Αυτές οι προβολές ονομάζονται συντεταγμένες σημείου και οι γραμμές ονομάζονται άξονες συντεταγμένων.

ΣΤΟ γενική περίπτωσηστο αεροπλάνο το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( συγγενικό σύστημασυντεταγμένες) δίνεται από το σημείο Ο (η αρχή των συντεταγμένων) και ένα διατεταγμένο ζεύγος διανυσμάτων e 1 και e 2 (διανύσματα βάσης) που συνδέονται με αυτό και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή προς την κατεύθυνση των διανυσμάτων βάσης ονομάζονται άξονες συντεταγμένων του δεδομένου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Ο πρώτος, που προσδιορίζεται από το διάνυσμα e 1, ονομάζεται άξονας της τετμημένης (ή άξονας Ox), ο δεύτερος είναι ο άξονας τεταγμένων (ή ο άξονας Oy). Το ίδιο το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται Oe 1 e 2 ή Oxy. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου M (Εικόνα 1) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oe 1 e 2 είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, y), οι οποίοι είναι οι συντελεστές επέκτασης του διανύσματος OM ως προς τη βάση (e 1, e 2 ), δηλαδή τα x και y είναι τέτοια ώστε OM \u003d xe 1 + ye 2. Αριθμός x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Αν δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων Oe 1 e 2 και 0'e' 1 e' 2 εισάγονται στο επίπεδο έτσι ώστε τα διανύσματα βάσης (e' 1 , e' 2 ) να εκφράζονται ως προς τα διανύσματα βάσης (e 1 , e 2) από τους τύπους

e' 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

και το σημείο O' έχει συντεταγμένες (x 0, y 0) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oe 1 e 2, μετά τις συντεταγμένες (x, y) του σημείου M στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oe 1 e2 και τις συντεταγμένες (x' , y') του ίδιου σημείου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O'e 1 e' 2 σχετίζονται με τις σχέσεις

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο αν η βάση (e 1 , e 2 ) είναι ορθοκανονική, δηλαδή τα διανύσματα e 1 και e 2 είναι αμοιβαία κάθετα και έχουν μήκη, ίσο με ένα(τα διανύσματα e 1 και e 2 ονομάζονται ορτ σε αυτή την περίπτωση). Σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οι συντεταγμένες x και y του σημείου M είναι οι ποσότητες ορθογώνιες προβολέςσημεία M στους άξονες Ox και Oy, αντίστοιχα. Σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, η απόσταση μεταξύ των σημείων M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) είναι √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2

Οι τύποι για τη μετάβαση από ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy σε ένα άλλο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O'x'y, η αρχή του οποίου το O' του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων Oxy είναι O'(x0, y0), έχουν τη μορφή

x \u003d x’cosα - y’sinα + x 0, y \u003d x’sin α + y’cosα + y 0

x \u003d x’cosα + y’sinα + x 0, y \u003d x’sinα - y’cosα + y 0.

Στην πρώτη περίπτωση, το σύστημα O'x'y' σχηματίζεται περιστρέφοντας τα βασικά διανύσματα e 1 ; e 2 στη γωνία α και η επακόλουθη μεταφορά της αρχής των συντεταγμένων O στο σημείο O’ (Εικόνα 2),

και στη δεύτερη περίπτωση - στρέφοντας τα βασικά διανύσματα e 1, e 2 κατά γωνία α, αντανακλώντας στη συνέχεια τον άξονα που περιέχει το διάνυσμα e 2 σε σχέση με την ευθεία που φέρει το διάνυσμα e 1 και μετακινώντας την αρχή O στο σημείο O (Εικόνα 3).

Μερικές φορές χρησιμοποιούνται λοξά καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων, τα οποία διαφέρουν από τα ορθογώνια στο ότι η γωνία μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων βάσης δεν είναι ορθή.

Ομοίως, ορίζεται το γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σύστημα συντεταγμένων συγγενών) στο χώρο: ορίζεται το σημείο O - η αρχή των συντεταγμένων και ένα διατεταγμένο τριπλό διανυσμάτων e 1, e 2, e 3 (διανύσματα βάσης) που συνδέονται με αυτό που δεν ξαπλώστε στο ίδιο επίπεδο. Όπως και στην περίπτωση ενός επιπέδου, προσδιορίζονται οι άξονες συντεταγμένων - ο άξονας της τετμημένης (άξονας Ox), ο άξονας τεταγμένων (άξονας Oy) και ο άξονας εφαρμογής (άξονας Oz) (Εικόνα 4).

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα συμβολίζεται Oe 1 e 2 e 3 (ή Oxyz). Τα επίπεδα που διέρχονται από ζεύγη αξόνων συντεταγμένων ονομάζονται επίπεδα συντεταγμένων. Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα ονομάζεται δεξιό εάν η περιστροφή από τον άξονα Ox προς τον άξονα Oy είναι προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, εάν κοιτάξετε το επίπεδο Oxy από κάποιο σημείο στον θετικό ημιάξονα Oz, διαφορετικά η καρτεσιανή συντεταγμένη το σύστημα ονομάζεται αριστερό. Εάν τα διανύσματα βάσης e 1 , e 2 , e 3 έχουν μήκη ίσα με ένα και είναι κάθετα κατά ζεύγη, τότε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο. Η θέση ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο χώρο σε σχέση με ένα άλλο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με τον ίδιο προσανατολισμό ορίζεται από τρεις γωνίες Euler.

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων πήρε το όνομά του από τον R. Descartes, αν και στο έργο του "Geometry" (1637) εξετάστηκε ένα λοξό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο οι συντεταγμένες των σημείων θα μπορούσαν να είναι μόνο θετικές. Στην έκδοση του 1659-61, η Γεωμετρία συμπληρώθηκε από το έργο του Ολλανδού μαθηματικού I. Gudde, στο οποίο για πρώτη φορά τόσο θετικά όσο και αρνητικές τιμέςσυντεταγμένες. Το χωρικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εισήχθη από τον Γάλλο μαθηματικό F. Lair (1679). Στις αρχές του 18ου αιώνα καθιερώθηκε ο συμβολισμός x, y, z για τις καρτεσιανές συντεταγμένες.

ΚΑΡΤΕΣΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΟΝΤΙΝΩΝ ΚΑΡΤΕΣΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΟΝΤΙΝΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΑΤΩΝ CARTESE, ένα ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων σε επίπεδο ή σε χώρο (συνήθως με αμοιβαία κάθετους άξονες και την ίδια κλίμακα κατά μήκος των αξόνων). Πήρε το όνομά του από τον R. Descartes (εκ. DECARTS Ρενέ).
Ο Ντεκάρτ ήταν ο πρώτος που εισήγαγε ένα σύστημα συντεταγμένων, το οποίο ήταν σημαντικά διαφορετικό από αυτό που είναι γενικά αποδεκτό σήμερα. Χρησιμοποίησε ένα λοξό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, λαμβάνοντας υπόψη μια καμπύλη σε σχέση με κάποια ευθεία γραμμή με σταθερό σύστημααναφορά. Η θέση των σημείων καμπύλης ορίστηκε χρησιμοποιώντας ένα σύστημα παράλληλων τμημάτων κεκλιμένων ή κάθετων στην αρχική γραμμή. Ο Ντεκάρτ δεν εισήγαγε δεύτερο άξονα συντεταγμένων, δεν καθόρισε την κατεύθυνση αναφοράς από την αρχή. Μόλις τον 18ο αιώνα σχηματίστηκε σύγχρονη κατανόησησύστημα συντεταγμένων, που πήρε το όνομά του από τον Descartes.
***
Για να ορίσετε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, επιλέγονται αμοιβαία κάθετες γραμμές, που ονομάζονται άξονες. Σημείο τομής Οπου ονομάζεται προέλευση των συντεταγμένων. Σε κάθε άξονα δίνεται θετική κατεύθυνση και επιλέγεται μια μονάδα κλίμακας. Συντεταγμένες σημείων Πθεωρούνται θετικά ή αρνητικά ανάλογα σε ποιο ημιάξονα πέφτει η προβολή του σημείου Π.
Σύστημα 2D συντεταγμένων
Πσε ένα επίπεδο σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων ονομάζονται λαμβάνονται με ένα ορισμένο πρόσημο της απόστασης (εκφρασμένο σε μονάδες κλίμακας) αυτού του σημείου σε δύο αμοιβαία κάθετες γραμμές - τους άξονες συντεταγμένων ή την προβολή του διανύσματος ακτίνας rσημεία Πσε δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων.
Σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, ο οριζόντιος άξονας ονομάζεται άξονας τετμημένης (ο άξονας ΟΧ), κάθετος άξονας- ο άξονας τεταγμένων (άξονας OY). Στον άξονα επιλέγονται θετικές κατευθύνσεις ΟΧ- προς τα δεξιά, στον άξονα ΟΥ- πάνω. Συντεταγμένες Χκαι yονομάζονται τετμημένη και τεταγμένη του σημείου, αντίστοιχα. Ο συμβολισμός P(a,b) σημαίνει ότι το σημείο P στο επίπεδο έχει την τετμημένη α και τη τεταγμένη β.
τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων
Καρτεσιανές ορθογώνιες σημειακές συντεταγμένες Πσε τρισδιάστατο χώροονομάζονται λαμβάνονται με ορισμένο πρόσημο της απόστασης (εκφρασμένη σε μονάδες κλίμακας) αυτού του σημείου σε τρία αμοιβαία κάθετα επίπεδα συντεταγμένων ή προβολές του διανύσματος ακτίνας (εκ.ΑΚΤΙΝΗ-ΔΙΑΝΥΣΜΑ) r σημεία Πτρεις αμοιβαία κάθετοι άξονες συντεταγμένων.
Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο Ο- η αρχή των συντεταγμένων - σχεδιάζονται τρεις κατά ζεύγη κάθετες γραμμές: ο άξονας ΟΧ(άξονας τετμημένος), άξονας ΟΥ(υ-άξονας), άξονας ΟΖ(άξονας εφαρμογής).
Στους άξονες συντεταγμένων, μπορείτε να ορίσετε μοναδιαία διανύσματα Εγώ, ι, κκατά μήκος των αξόνων ΒΟΔΙ,OY, ουγκιάαντίστοιχα.
Εξαρτάται από σχετική θέσηείναι δυνατές θετικές κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων, δεξιά και αριστερά συστήματα συντεταγμένων. Κατά κανόνα, χρησιμοποιείται το σωστό σύστημα συντεταγμένων. Στο σωστό σύστημα συντεταγμένων, οι θετικές κατευθύνσεις επιλέγονται ως εξής: κατά μήκος του άξονα ΟΧ- στον παρατηρητή· κατά μήκος του άξονα OY - προς τα δεξιά. κατά μήκος του άξονα OZ - επάνω. Στο σωστό σύστημα συντεταγμένων, η συντομότερη περιστροφή από τον άξονα Χ στον άξονα Υ είναι αριστερόστροφα. αν, ταυτόχρονα με μια τέτοια περιστροφή, κινούμαστε κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ζ, τότε παίρνουμε την κίνηση σύμφωνα με τον κανόνα της δεξιάς βίδας.
Ο συμβολισμός P(a,b,c) σημαίνει ότι το σημείο P έχει μια τετμημένη a, μια τεταγμένη b και μια εφαρμογή c.
Κάθε τριπλό αριθμών (a, b, c) προσδιορίζει ένα μόνο σημείο P. Επομένως, ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δημιουργεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου των σημείων στο διάστημα και του συνόλου των διατεταγμένων τριπλών πραγματικών αριθμών.
Εκτός από τους άξονες συντεταγμένων, υπάρχουν και επίπεδα συντεταγμένων. Οι επιφάνειες συντεταγμένων για τις οποίες μία από τις συντεταγμένες παραμένει σταθερή είναι εδώ τα επίπεδα παράλληλα με τα επίπεδα συντεταγμένων και οι γραμμές συντεταγμένων κατά μήκος των οποίων αλλάζει μόνο μία συντεταγμένες είναι ευθείες, παράλληλες άξονες συντεταγμένων. Οι επιφάνειες συντεταγμένων τέμνονται κατά μήκος των γραμμών συντεταγμένων.
Συντεταγμένο επίπεδο ΧΟΥπεριέχει τσεκούρια ΟΧκαι ΟΥ, επίπεδο συντεταγμένων ΥΟΖπεριέχει τσεκούρια ΟΥκαι ΟΖ, επίπεδο συντεταγμένων ΧΟΖπεριέχει τσεκούρια ΟΧκαι ΟΖ.

εγκυκλοπαιδικό λεξικό. 2009 .

Δείτε τι είναι το "CARTES CORDINATE SYSTEM" σε άλλα λεξικά:

Το ορθογώνιο ή καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι το πιο κοινό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο διάστημα. Περιεχόμενα 1 Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε επίπεδο ... Wikipedia

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Βιβλία

Υπολογιστική ρευστοδυναμική. Θεωρητική βάση. Εγχειρίδιο, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Το βιβλίο είναι αφιερωμένο σε μια συστηματική παρουσίαση των θεωρητικών θεμελίων για τον καθορισμό προβλημάτων μαθηματικής μοντελοποίησης ροών ρευστών και αερίων. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στα θέματα κτιριακών ...