Ο τύπος για τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος. Πώς μοιάζει ένα πρίσμα

ΣΤΟ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστην πορεία της στερεάς γεωμετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - ένα πολύεδρο πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται μέσα παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράπλευρα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογώνια αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, στις βάσεις του οποίου υπάρχουν 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις παριστάνονται με ορθογώνια. Άλλο όνομα για αυτό γεωμετρικό σχήμα- ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Το σχήμα, που απεικονίζει ένα τετράγωνο πρίσμα, φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα ουσιαστικά στοιχεία, από το οποίο αποτελείται γεωμετρικό σώμα . Συνήθως αναφέρονται ως:

Μερικές φορές σε προβλήματα στη γεωμετρία μπορείτε να βρείτε την έννοια μιας ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν στο επίπεδο κοπής. Η τομή είναι κάθετη (διασχίζει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ορθογώνιο πρίσμαλαμβάνεται επίσης υπόψη το διαγώνιο τμήμα ( μέγιστο ποσότμήματα που μπορούν να κατασκευαστούν - 2) περνώντας από 2 άκρες και διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Διάφοροι λόγοι και τύποι χρησιμοποιούνται για την εύρεση των μειωμένων πρισματικών στοιχείων. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από την πορεία της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sprim h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a² h

Αν μιλάμε για κύβο - κανονικό πρίσμα με ίσου μήκους, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να καταλάβετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την σάρωση του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Θέση h

Αφού η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια ενός πρίσματος, προσθέστε 2 εμβαδά βάσης στην πλευρική επιφάνεια:

Sfull = Πλαϊνό + 2Sbase

Όπως εφαρμόζεται σε ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος έχει τη μορφή:

Πλήρης = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορούν να προκύψουν τύποι:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sprim = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει ένα διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογιστεί η διαγώνιος του πρίσματος, χρησιμοποιείται ο τύπος:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις παραπάνω αναλογίες, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε μερικές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Εδώ είναι μερικές από τις εργασίες που εμφανίζονται στις κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποια θα είναι η στάθμη της άμμου αν τη μεταφέρετε σε ένα δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με μήκος βάσης 2 φορές μεγαλύτερο;

Θα πρέπει να υποστηριχθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να ορίσετε το μήκος της βάσης ως ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο, ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, οι εκφράσεις μπορούν να εξισωθούν:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:

Σαν άποτέλεσμα νέο επίπεδοάμμος θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βάση είναι ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει την ίδια τιμή, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου, ίσο με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από τη γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται από τον τύπο για τον κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρόκειται για κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Το τετράγωνο θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50 30 = 1500ρούβλια.

Έτσι, για να λύσουμε προβλήματα για ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Στη φυσική, ένα τριγωνικό πρίσμα από γυαλί χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη του φάσματος λευκό φως, γιατί είναι σε θέση να το αποσυνθέσει σε ξεχωριστά συστατικά. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τον τύπο όγκου

Τι είναι ένα τριγωνικό πρίσμα;

Πριν δώσετε τον τύπο όγκου, εξετάστε τις ιδιότητες αυτού του σχήματος.

Για να το αποκτήσετε, πρέπει να πάρετε ένα τρίγωνο αυθαίρετου σχήματος και να το μετακινήσετε παράλληλα προς τον εαυτό του για μια ορισμένη απόσταση. Οι κορυφές του τριγώνου στην αρχική και τελική θέση πρέπει να συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Ελήφθη ογκομετρικό σχήμαονομάζεται τριγωνικό πρίσμα. Έχει πέντε πλευρές. Δύο από αυτές ονομάζονται βάσεις: είναι παράλληλες και ίσες ο ένας τον άλλον. Οι βάσεις του θεωρούμενου πρίσματος είναι τρίγωνα. Οι τρεις υπόλοιπες πλευρές είναι παραλληλόγραμμες.

Εκτός από τις πλευρές, το υπό εξέταση πρίσμα χαρακτηρίζεται από έξι κορυφές (τρεις για κάθε βάση) και εννέα ακμές (6 άκρες βρίσκονται στα επίπεδα των βάσεων και 3 άκρες σχηματίζονται από την τομή των πλευρών). Εάν οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ορθογώνιο.

Η διαφορά μεταξύ ενός τριγωνικού πρίσματος και όλων των άλλων σχημάτων αυτής της κατηγορίας είναι ότι είναι πάντα κυρτό (τα πρίσματα τεσσάρων, πέντε, ..., n-γωνικών μπορούν επίσης να είναι κοίλα).

το ορθογώνιο σχήμα, η οποία βασίζεται σε ισόπλευρο τρίγωνο.

Όγκος τριγωνικού πρίσματος γενικού τύπου

Πώς να βρείτε τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος; φόρμουλα σε γενική εικόναπαρόμοιο με αυτό για ένα πρίσμα κάθε είδους. Έχει την ακόλουθη μαθηματική σημειογραφία:

Εδώ h είναι το ύψος του σχήματος, δηλαδή η απόσταση μεταξύ των βάσεων του, S o είναι η περιοχή του τριγώνου.

Η τιμή του S o μπορεί να βρεθεί εάν ορισμένες παράμετροι για ένα τρίγωνο είναι γνωστές, για παράδειγμα, μία πλευρά και δύο γωνίες ή δύο πλευρές και μία γωνία. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του ύψους του και του μήκους της πλευράς στην οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει.

Όσο για το ύψος h του σχήματος, είναι πιο εύκολο να το βρείτε για ένα ορθογώνιο πρίσμα. ΣΤΟ τελευταία περίπτωσηΤο h συμπίπτει με το μήκος του πλευρικού άκρου.

Όγκος κανονικού τριγωνικού πρίσματος

Γενικός τύποςΟ όγκος ενός τριγωνικού πρίσματος, που δίνεται στην προηγούμενη ενότητα του άρθρου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αντίστοιχης τιμής για ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα. Εφόσον η βάση του είναι ισόπλευρο τρίγωνο, το εμβαδόν του είναι:

Ο καθένας μπορεί να πάρει αυτόν τον τύπο αν θυμηθεί ότι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και αποτελούν 60 o. Εδώ το σύμβολο α είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου.

Το ύψος h είναι το μήκος της άκρης. Δεν έχει να κάνει με τη βάση. δεξιό πρίσμακαι μπορεί να πάρει αυθαίρετες τιμές. Ως αποτέλεσμα, ο τύπος για τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος σωστό είδοςμοιάζει με αυτό:

Έχοντας υπολογίσει τη ρίζα, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:

Έτσι, για να βρούμε τον όγκο ενός κανονικού πρίσματος με τριγωνική βάση, είναι απαραίτητο να τετραγωνίσουμε την πλευρά της βάσης, να πολλαπλασιάσουμε αυτή την τιμή με το ύψος και να πολλαπλασιάσουμε την τιμή που προκύπτει κατά 0,433.

Ο όγκος του πρίσματος. Επίλυση προβλήματος

Η γεωμετρία είναι το πιο ισχυρό εργαλείο για τη βελτίωση των νοητικών μας ικανοτήτων και μας δίνει τη δυνατότητα να σκεφτόμαστε και να συλλογιζόμαστε σωστά.

Γ. Γαλιλαίος

Σκοπός του μαθήματος:

• να διδάξει επίλυση προβλημάτων για τον υπολογισμό του όγκου των πρισμάτων, να γενικεύσει και να συστηματοποιήσει τις πληροφορίες που έχουν οι μαθητές για το πρίσμα και τα στοιχεία του, να σχηματίσει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας.
• αναπτύσσω λογική σκέψη, ικανότητα για ανεξάρτητη εργασία, δεξιότητες αμοιβαίου ελέγχου και αυτοελέγχου, ικανότητα ομιλίας και ακρόασης.
• αναπτύξουν μια συνήθεια μόνιμη απασχόληση, όποιος χρήσιμο πράγμα, εκπαίδευση ανταπόκρισης, επιμέλεια, ακρίβεια.

Είδος μαθήματος: μάθημα εφαρμογής γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Εξοπλισμός: κάρτες ελέγχου, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση «Μάθημα. Πρίσμα όγκου», υπολογιστές.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

• Πλευρικές νευρώσεις του πρίσματος (Εικ. 2).
• Πλαϊνή επιφάνειαπρίσματα (Εικόνα 2, Εικόνα 5).
• Το ύψος του πρίσματος (Εικόνα 3, Εικόνα 4).
• Άμεσο πρίσμα (Εικ. 2,3,4).
• κεκλιμένο πρίσμα(Εικόνα 5).
• Σωστό πρίσμα (Εικ. 2, Εικ. 3).
• Διαγώνια τομή πρίσματος (Εικ. 2).
• Διαγώνιος πρίσματος (Εικόνα 2).
• Κάθετη τομή του πρίσματος (pi3, σχ.4).
• Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος.
• Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος.
• Ο όγκος του πρίσματος.

1. Ελέγξτε τις ΕΡΓΑΣΙΕΣ (8 λεπτά)

Ανταλλάξτε σημειωματάρια, ελέγξτε τη λύση στις διαφάνειες και σημειώστε το σημάδι (σημειώστε 10 εάν η εργασία έχει συντεθεί)

Σχεδιάστε ένα πρόβλημα και λύστε το. Ο μαθητής υπερασπίζεται το πρόβλημα που έχει συντάξει στον πίνακα. Εικόνα 6 και Εικόνα 7.





Κεφάλαιο 2, §3
Εργασία.2. Τα μήκη όλων των άκρων ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσα μεταξύ τους. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η επιφάνειά του είναι cm 2 (Εικ. 8)



Κεφάλαιο 2, §3
Πρόβλημα 5. Η βάση του ευθύς πρίσματος ABCA 1B 1C1 είναι ορθογώνιο τρίγωνο ABC (γωνία ABC=90°), AB=4cm. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου τριγώνου ABC είναι 2,5 cm και το ύψος του πρίσματος είναι 10 cm. (Εικόνα 9).



Κεφάλαιο 2, § 3
Πρόβλημα 29. Το μήκος της πλευράς της βάσης ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι 3cm. Η διαγώνιος του πρίσματος σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο της πλευρικής όψης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος (Εικόνα 10).



2. Κοινή εργασία του δασκάλου με την τάξη (2-3 λεπτά).

Σκοπός: σύνοψη των αποτελεσμάτων της θεωρητικής προθέρμανσης (οι μαθητές βάζουν βαθμούς ο ένας στον άλλο), μαθαίνοντας πώς να λύνουν προβλήματα σχετικά με το θέμα.

3. PHYSICAL MINUTE (3 λεπτά)
4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (10 λεπτά)

Στο αυτό το στάδιοο δάσκαλος οργανώνει μετωπική εργασία για την επανάληψη μεθόδων επίλυσης επιπεδομετρικών προβλημάτων, τύπους επιπεδομετρίας. Η τάξη χωρίζεται σε δύο ομάδες, άλλες λύνουν προβλήματα, άλλες δουλεύουν στον υπολογιστή. Μετά αλλάζουν. Οι μαθητές καλούνται να λύσουν όλα τα Νο. 8 (προφορικά), Νο. 9 (προφορικά). Αφού χωριστούν σε ομάδες και παραβιάσουν για να λύσουν προβλήματα Νο 14, Νο 30, Νο 32.

Κεφάλαιο 2, §3, σελίδα 66-67

Πρόβλημα 8. Όλες οι ακμές ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσες μεταξύ τους. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος αν η περιοχή διατομής του επιπέδου που διέρχεται από την άκρη της κάτω βάσης και το μέσο της πλευράς της άνω βάσης είναι cm (Εικ. 11).



Κεφάλαιο 2, §3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 9. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο και οι πλευρικές ακμές του είναι διπλάσια από την πλευρά της βάσης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η ακτίνα του κύκλου που περικλείεται κοντά στο τμήμα του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από την πλευρά της βάσης και το μέσο της απέναντι πλευρικής ακμής είναι cm (Εικ. 12)



Κεφάλαιο 2, §3, σελίδα 66-67
Εργασία 14.Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος, του οποίου η μία διαγώνιος είναι ίση με την πλευρά του. Υπολογίστε την περίμετρο της τομής με ένα επίπεδο που διέρχεται από τη μεγάλη διαγώνιο της κάτω βάσης, αν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος και όλες οι πλευρικές όψεις είναι τετράγωνες (Εικ. 13).



Κεφάλαιο 2, §3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 30.ABCA 1 B 1 C 1 είναι ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, το σημείο περίπου στο μέσο της ακμής BB 1. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στην τομή του πρίσματος από το επίπεδο AOS, εάν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος (Εικ. 14).



Κεφάλαιο 2, §3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 32Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το άθροισμα των εμβαδών των βάσεων είναι ίσο με το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η διάμετρος του κύκλου που περικλείεται κοντά στο τμήμα του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο κορυφές της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης είναι 6 cm (Εικ. 15).



Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές συγκρίνουν τις απαντήσεις τους με αυτές που δείχνει ο δάσκαλος. Αυτό είναι ένα δείγμα λύσης στο πρόβλημα με λεπτομερή σχόλια ... Ατομική δουλειάκαθηγητές με «δυνατούς» μαθητές (10 λεπτά).

5. Ανεξάρτητη εργασίαμαθητές σε τεστ σε υπολογιστή

1. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι , και το ύψος είναι 5. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

1) Ο όγκος ενός ορθογώνιου πρίσματος, του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

2) Ο όγκος ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V \u003d 0,25a 2 h - όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h είναι το ύψος του πρίσματος.

3) Ο όγκος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσος με το μισό γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

4) Ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V \u003d a 2 h-όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h είναι το ύψος του πρίσματος.

5) Ο όγκος ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V \u003d 1,5a 2 h, όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h είναι το ύψος του πρίσματος.

3. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίση με. Ένα επίπεδο τραβιέται μέσα από την πλευρά της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης, η οποία διέρχεται υπό γωνία 45° ως προς τη βάση. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος, η πλευρά του οποίου είναι 13 και η μία από τις διαγώνιους είναι 24. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος αν η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 14.

Μαθητές που προετοιμάζονται για περνώντας τις εξετάσειςστα μαθηματικά, θα πρέπει σίγουρα να μάθετε πώς να επιλύετε προβλήματα για την εύρεση της περιοχής ενός ευθύγραμμου και κανονικού πρίσματος. Η πολυετής πρακτική επιβεβαιώνει το γεγονός ότι πολλοί μαθητές θεωρούν ότι τέτοιες εργασίες στη γεωμετρία είναι αρκετά δύσκολες.

Ταυτόχρονα, οι μαθητές γυμνασίου με οποιοδήποτε επίπεδο εκπαίδευσης θα πρέπει να μπορούν να βρουν την περιοχή και τον όγκο ενός κανονικού και άμεσου πρίσματος. Μόνο σε αυτή την περίπτωση, θα μπορούν να υπολογίζουν στη λήψη ανταγωνιστικών βαθμών με βάση τα αποτελέσματα της επιτυχίας στις εξετάσεις.

Βασικά σημεία που πρέπει να θυμάστε

• Αν οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι κάθετες στη βάση, λέγεται ευθύγραμμο. Όλες οι πλευρικές όψεις αυτού του σχήματος είναι ορθογώνια. Το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος συμπίπτει με την άκρη του.
• Είναι σωστό ένα πρίσμα, του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση στην οποία βρίσκεται. κανονικό πολύγωνο. Οι πλευρικές όψεις αυτού του σχήματος είναι ίσα ορθογώνια. Το σωστό πρίσμα είναι πάντα ευθύ.

Η προετοιμασία για την ενιαία κρατική εξέταση μαζί με το Shkolkovo είναι το κλειδί της επιτυχίας σας!

Για να κάνετε τα μαθήματα εύκολα και όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά, επιλέξτε τη μαθηματική μας πύλη. Εδώ θα βρείτε όλο το απαραίτητο υλικό που θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για το τεστ πιστοποίησης.

Ειδικοί εκπαιδευτικό έργοΤο Shkolkovo προτείνει να μεταβούμε από το απλό στο σύνθετο: πρώτα δίνουμε θεωρία, βασικούς τύπους, θεωρήματα και στοιχειώδη προβλήματα με λύσεις και στη συνέχεια προχωράμε σταδιακά σε εργασίες επιπέδου ειδικού.

Οι βασικές πληροφορίες συστηματοποιούνται και παρουσιάζονται με σαφήνεια στην ενότητα «Θεωρητική Αναφορά». Εάν έχετε ήδη καταφέρει να επαναλάβετε το απαραίτητο υλικό, σας συνιστούμε να εξασκηθείτε στην επίλυση προβλημάτων σχετικά με την εύρεση της περιοχής και του όγκου ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Στην ενότητα "Κατάλογος" υπάρχει μια μεγάλη επιλογή ασκήσεων ποικίλους βαθμούςδυσκολίες.

Προσπαθήστε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ευθύγραμμου και κανονικού πρίσματος ή τώρα. Αποσυναρμολογήστε οποιαδήποτε εργασία. Εάν δεν προκάλεσε δυσκολίες, μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια σε ασκήσεις επιπέδου ειδικών. Και αν εξακολουθούν να υπάρχουν ορισμένες δυσκολίες, σας συνιστούμε να προετοιμάζεστε τακτικά για την εξέταση στο διαδίκτυο μαζί με τη μαθηματική πύλη Shkolkovo και οι εργασίες με το θέμα "Άμεσο και κανονικό πρίσμα" θα είναι εύκολες για εσάς.

Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, πρέπει να καταλάβετε τι είδους μοιάζει.

Γενική θεωρία

Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν τη μορφή παραλληλογράμμου. Επιπλέον, οποιοδήποτε πολύεδρο μπορεί να βρίσκεται στη βάση του - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Τι δεν ισχύει για τις πλευρικές όψεις - μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν είναι μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος που συναντάται. Μπορεί να είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πλευρική επιφάνεια, δηλαδή όλες τις όψεις που δεν είναι βάσεις. πλήρη επιφάνειαθα υπάρχει ήδη μια ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.

Μερικές φορές τα ύψη εμφανίζονται στις εργασίες. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή της βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν πανομοιότυπες φιγούρεςστην άνω και κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.

τριγωνικό πρίσμα

Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Είναι γνωστό ότι είναι διαφορετικό. Αν τότε αρκεί να θυμηθούμε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.

Η μαθηματική σημειογραφία μοιάζει με αυτό: S = ½ av.

Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε μια γενική μορφή, οι τύποι είναι χρήσιμοι: Ο Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Αυτό το λήμμα περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.

Δεύτερον: S = ½ n a * a.

Εάν θέλετε να μάθετε το εμβαδόν της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, το οποίο είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Έχει τον δικό του τύπο: S = ¼ a 2 * √3.

τετράγωνο πρίσμα

Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράπλευρα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.

Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = av, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.

Πότε μιλαμεπερίπου ένα τετράγωνο πρίσμα, τότε το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στη βάση. S \u003d a 2.

Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S \u003d a * n a. Συμβαίνει να δίνονται μια πλευρά παραλληλεπίπεδου και μια από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: na \u003d b * sin A. Επιπλέον, η γωνία A είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος είναι na απέναντι από αυτήν τη γωνία.

Εάν ένας ρόμβος βρίσκεται στη βάση του πρίσματος, τότε θα χρειαστεί ο ίδιος τύπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού του όπως για ένα παραλληλόγραμμο (καθώς πρόκειται για ειδική περίπτωση). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.

Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα

Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να είναι με διαφορετικό αριθμό κορυφών.

Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.

Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Σύμφωνα με την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για το εμβαδόν της βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο σε αυτό θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.

Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 και 2 * √3.

Καθήκοντα

Νο 1. Δίνεται μια κανονική ευθεία. Η διαγώνιος της είναι 22 εκ., το ύψος του πολυέδρου είναι 14 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.

Λύση.Η βάση ενός πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του δεν είναι γνωστή. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Από την άλλη, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 \u003d a 2 + a 2. Έτσι, αποδεικνύεται ότι ένα 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 εκ. Τώρα είναι εύκολο να μάθετε την περιοχή βάσης: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε διπλάσια τιμή από την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρά. Το τελευταίο είναι εύκολο να βρεθεί με τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυέδρου και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος βρέθηκε να είναι 960 cm 2 .

Απάντηση.Το εμβαδόν βάσης του πρίσματος είναι 144 cm2. Ολόκληρη η επιφάνεια - 960 cm 2 .

Νο 2. Dana Στη βάση βρίσκεται ένα τρίγωνο με πλευρά 6 εκ. Στην περίπτωση αυτή, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 εκ. Υπολογίστε τα εμβαδά: τη βάση και την πλάγια επιφάνεια.

Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με 6 τετραγωνικά επί ¼ και η τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.

Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 εκ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, αρκεί να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας τυλίγεται 180 cm 2.

Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.