Γεωμετρική π. Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Τα μαθηματικά είναι αυτόοι άνθρωποι ελέγχουν τη φύση και τον εαυτό τους.

Ο Σοβιετικός μαθηματικός, ακαδημαϊκός A.N. Κολμογκόροφ

Γεωμετρική πρόοδος.

Μαζί με εργασίες για αριθμητικές προόδους, εργασίες που σχετίζονται με την έννοια του γεωμετρική πρόοδος. Για επιτυχημένη λύσηΓια τέτοια προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου και να έχετε καλές δεξιότητες στη χρήση τους.

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση των κύριων ιδιοτήτων μιας γεωμετρικής προόδου. Παρέχει επίσης παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων, δανείστηκε από τις εργασίες των εισαγωγικών τεστ στα μαθηματικά.

Ας σημειώσουμε προκαταρκτικά βασικές ιδιότητεςγεωμετρική πρόοδο και ανάκληση των πιο σημαντικών τύπων και δηλώσεων, συνδέονται με αυτή την έννοια.

Ορισμός.Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος εάν κάθε αριθμός της, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Για μια γεωμετρική πρόοδοοι τύποι ισχύουν

, (1)

που . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας γεωμετρικής προόδου και ο τύπος (2) είναι η κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου: κάθε μέλος της προόδου συμπίπτει με τον γεωμετρικό μέσο όρο των γειτονικών μελών του και .

Σημείωση, ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η εν λόγω εξέλιξη ονομάζεται «γεωμετρική».

Οι τύποι (1) και (2) παραπάνω συνοψίζονται ως εξής:

, (3)

Για να υπολογίσετε το άθροισμαπρώτα μέλη μιας γεωμετρικής προόδουισχύει ο τύπος

Αν ορίσουμε

που . Επειδή , ο τύπος (6) είναι μια γενίκευση του τύπου (5).

Στην περίπτωση που και γεωμετρική πρόοδοςμειώνεται απείρως. Για να υπολογίσετε το άθροισμαγια όλα τα μέλη μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, χρησιμοποιείται ο τύπος

. (7)

Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας τον τύπο (7), μπορεί κανείς να δείξει, τι

που . Αυτές οι ισότητες λαμβάνονται από τον τύπο (7) με την προϋπόθεση ότι , (η πρώτη ισότητα) και , (η δεύτερη ισότητα).

Θεώρημα.Αν τότε

Απόδειξη. Αν τότε ,

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα "Γεωμετρική πρόοδος".

Παράδειγμα 1Δίνονται: , και . Εύρημα .

Απόφαση.Εάν εφαρμόζεται ο τύπος (5), τότε

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2Αφήστε και . Εύρημα .

Απόφαση.Αφού και , χρησιμοποιούμε τους τύπους (5), (6) και παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων

Αν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (9) διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή . Από αυτό προκύπτει . Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

1. Εάν, τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (9) έχουμε.

2. Αν , τότε .

Παράδειγμα 3Αφήστε , και . Εύρημα .

Απόφαση.Από τον τύπο (2) προκύπτει ότι ή . Από τότε ή .

Κατά συνθήκη. Ωστόσο , επομένως . Επειδή και, τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Εάν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή .

Επειδή , η εξίσωση έχει μια ενιαία κατάλληλη ρίζα . Στην περίπτωση αυτή, η πρώτη εξίσωση του συστήματος συνεπάγεται .

Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7), παίρνουμε.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4Δεδομένα: και . Εύρημα .

Απόφαση.Από τότε .

Επειδή, τότε ή

Σύμφωνα με τον τύπο (2), έχουμε . Από την άποψη αυτή, από την ισότητα (10) λαμβάνουμε ή .

Ωστόσο, κατά συνθήκη, επομένως.

Παράδειγμα 5Είναι γνωστό ότι . Εύρημα .

Απόφαση. Σύμφωνα με το θεώρημα, έχουμε δύο ισότητες

Από τότε ή . Γιατί, λοιπόν.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 6Δεδομένα: και . Εύρημα .

Απόφαση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε

Από τότε . Από , και , τότε .

Παράδειγμα 7Αφήστε και . Εύρημα .

Απόφαση.Σύμφωνα με τον τύπο (1), μπορούμε να γράψουμε

Επομένως, έχουμε ή . Είναι γνωστό ότι και , επομένως και .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 8Βρείτε τον παρονομαστή μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου αν

και .

Απόφαση. Από τον τύπο (7) προκύπτεικαι . Από εδώ και από την συνθήκη του προβλήματος, παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων

Αν η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι τετράγωνο, και μετά διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τη δεύτερη εξίσωση, τότε παίρνουμε

Ή .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9Βρείτε όλες τις τιμές για τις οποίες η ακολουθία , , είναι γεωμετρική πρόοδος.

Απόφαση.Αφήστε , και . Σύμφωνα με τον τύπο (2), που ορίζει την κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου, μπορούμε να γράψουμε ή .

Από εδώ παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση, του οποίου οι ρίζες είναικαι .

Ας ελέγξουμε: αν, τότε , και ; αν , τότε , και .

Στην πρώτη περίπτωση έχουμεκαι , και στο δεύτερο - και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 10λύσει την εξίσωση

, (11)

πού και .

Απόφαση. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (11) είναι το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, στην οποία και , με την προϋπόθεση: και .

Από τον τύπο (7) προκύπτει, τι . Από αυτή την άποψη, η εξίσωση (11) παίρνει τη μορφήή . κατάλληλη ρίζα τετραγωνική εξίσωσηείναι ένα

Απάντηση: .

Παράδειγμα 11.Π αλληλουχία θετικούς αριθμούς σχηματίζει μια αριθμητική πρόοδο, ένα - γεωμετρική πρόοδος, τι σχέση έχει . Εύρημα .

Απόφαση.Επειδή αριθμητική ακολουθία, έπειτα (βασική ιδιοκτησία αριθμητική πρόοδος). Επειδή η, τότε ή . Αυτό υπονοεί , ότι η γεωμετρική πρόοδος είναι. Σύμφωνα με τον τύπο (2), τότε γράφουμε ότι .

Από και τότε . Στην περίπτωση αυτή, η έκφρασηπαίρνει τη μορφή ή . Κατά συνθήκη, έτσι από την εξίσωσηπαίρνουμε τη μοναδική λύση του προβλήματος που εξετάζουμε, δηλ. .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12.Υπολογίστε το άθροισμα

. (12)

Απόφαση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας (12) επί 5 και λάβετε

Αν αφαιρέσουμε το (12) από την παράσταση που προκύπτει, έπειτα

ή .

Για να υπολογίσουμε, αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο (7) και λαμβάνουμε . Από τότε .

Απάντηση: .

Τα παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που δίνονται εδώ θα είναι χρήσιμα στους αιτούντες κατά την προετοιμασία τους εισαγωγικές εξετάσεις. Για μια βαθύτερη μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων, συνδέεται με μια γεωμετρική πρόοδο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί οδηγούς μελέτηςαπό τη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Συλλογή εργασιών στα μαθηματικά για υποψήφιους ΤΕΙ / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 σελ.

2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 σελ.

3. Medynsky M.M. Πλήρες μάθημαστοιχειώδη μαθηματικά σε εργασίες και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμών και προόδους. – Μ.: Editus, 2015. - 208 σελ.

Έχετε ερωτήσεις;

Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Η γεωμετρική πρόοδος, μαζί με την αριθμητική, είναι σημαντική αριθμητική σειράπου μελετάται σε σχολικό μάθημαάλγεβρα στην 9η τάξη. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τον παρονομαστή μιας γεωμετρικής προόδου και πώς η τιμή της επηρεάζει τις ιδιότητές της.

Ορισμός γεωμετρικής προόδου

Αρχικά, ας το ορίσουμε αυτό σειρά αριθμών. Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά ρητοί αριθμοί, το οποίο σχηματίζεται πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά το πρώτο του στοιχείο επί σταθερός αριθμός, που ονομάζεται παρονομαστής.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί της σειράς 3, 6, 12, 24, ... είναι γεωμετρική πρόοδος, γιατί αν πολλαπλασιάσουμε το 3 (το πρώτο στοιχείο) με 2, παίρνουμε 6. Αν πολλαπλασιάσουμε το 6 με 2, παίρνουμε 12, και ούτω καθεξής.

Τα μέλη της υπό εξέταση ακολουθίας συνήθως συμβολίζονται με το σύμβολο ai, όπου i είναι ένας ακέραιος αριθμός που δείχνει τον αριθμό του στοιχείου της σειράς.

Ο παραπάνω ορισμός μιας προόδου μπορεί να γραφτεί στη γλώσσα των μαθηματικών ως εξής: an = bn-1 * a1, όπου b είναι ο παρονομαστής. Είναι εύκολο να ελέγξετε αυτόν τον τύπο: αν n = 1, τότε b1-1 = 1, και παίρνουμε a1 = a1. Αν n = 2, τότε an = b * a1, και φτάνουμε πάλι στον ορισμό της σειράς των αριθμών που εξετάζουμε. Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να συνεχιστεί για μεγάλες αξίες n.

Ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου

Ο αριθμός b καθορίζει πλήρως τι χαρακτήρα θα έχει ολόκληρη η σειρά αριθμών. Ο παρονομαστής b μπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή μεγαλύτερος ή μικρότερος από ένα. Όλες οι παραπάνω επιλογές οδηγούν σε διαφορετικές ακολουθίες:

• β > 1. Υπάρχει μια αυξανόμενη σειρά ρητών αριθμών. Για παράδειγμα, 1, 2, 4, 8, ... Εάν το στοιχείο a1 είναι αρνητικό, τότε ολόκληρη η ακολουθία θα αυξηθεί μόνο modulo, αλλά θα μειωθεί λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο των αριθμών.
• b = 1. Συχνά μια τέτοια περίπτωση δεν ονομάζεται πρόοδος, αφού υπάρχει μια συνηθισμένη σειρά πανομοιότυπων ρητών αριθμών. Για παράδειγμα, -4, -4, -4.

Φόρμουλα για άθροισμα

Πριν προχωρήσει κανείς στην εξέταση συγκεκριμένων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τον παρονομαστή του τύπου εξέλιξης που εξετάζεται, θα πρέπει να φέρει σημαντική φόρμουλαγια το άθροισμα των πρώτων n στοιχείων του. Ο τύπος είναι: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Μπορείτε να λάβετε αυτήν την έκφραση μόνοι σας εάν λάβετε υπόψη μια αναδρομική ακολουθία μελών της προόδου. Σημειώστε επίσης ότι στον παραπάνω τύπο, αρκεί να γνωρίζετε μόνο το πρώτο στοιχείο και τον παρονομαστή για να βρείτε το άθροισμα ενός αυθαίρετου αριθμού όρων.

Απεριόριστα φθίνουσα ακολουθία

Παραπάνω ήταν μια εξήγηση του τι είναι. Τώρα, γνωρίζοντας τον τύπο για το Sn, ας τον εφαρμόσουμε σε αυτήν τη σειρά αριθμών. Δεδομένου ότι οποιοσδήποτε αριθμός του οποίου το μέτρο δεν υπερβαίνει το 1, όταν αυξάνεται σε μεγάλα πτυχίατείνει στο μηδέν, δηλαδή b∞ => 0 εάν -1

Δεδομένου ότι η διαφορά (1 - b) θα είναι πάντα θετική, ανεξάρτητα από την τιμή του παρονομαστή, το πρόσημο του αθροίσματος μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου S∞ καθορίζεται μοναδικά από το πρόσημο του πρώτου στοιχείου a1.

Τώρα θα εξετάσουμε αρκετά προβλήματα, όπου θα δείξουμε πώς να εφαρμόσουμε την αποκτηθείσα γνώση σε συγκεκριμένους αριθμούς.

Αριθμός εργασίας 1. Υπολογισμός άγνωστων στοιχείων της προόδου και του αθροίσματος

Με δεδομένη μια γεωμετρική πρόοδο, ο παρονομαστής της προόδου είναι 2 και το πρώτο της στοιχείο είναι 3. Ποιοι θα είναι οι 7ος και 10ος όρος της και ποιο είναι το άθροισμα των επτά αρχικών της στοιχείων;

Η κατάσταση του προβλήματος είναι αρκετά απλή και περιλαμβάνει την άμεση χρήση των παραπάνω τύπων. Έτσι, για να υπολογίσουμε το στοιχείο με αριθμό n, χρησιμοποιούμε την έκφραση an = bn-1 * a1. Για το 7ο στοιχείο έχουμε: a7 = b6 * a1, αντικαθιστώντας τα γνωστά δεδομένα, παίρνουμε: a7 = 26 * 3 = 192. Κάνουμε το ίδιο για το 10ο μέλος: a10 = 29 * 3 = 1536.

Χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο για το άθροισμα και προσδιορίζουμε αυτή την τιμή για τα πρώτα 7 στοιχεία της σειράς. Έχουμε: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Αριθμός εργασίας 2. Προσδιορισμός του αθροίσματος των αυθαίρετων στοιχείων της προόδου

Έστω -2 ο παρονομαστής της εκθετικής προόδου bn-1 * 4, όπου n είναι ακέραιος. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα από το 5ο έως το 10ο στοιχείο αυτής της σειράς, συμπεριλαμβανομένου.

Το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί απευθείας χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους. Μπορείτε να το λύσετε με 2 διάφορες μεθόδους. Για λόγους πληρότητας, παρουσιάζουμε και τα δύο.

Μέθοδος 1. Η ιδέα του είναι απλή: πρέπει να υπολογίσετε τα δύο αντίστοιχα αθροίσματα των πρώτων όρων και μετά να αφαιρέσετε τον άλλο από τον έναν. Υπολογίστε το μικρότερο άθροισμα: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Τώρα υπολογίζουμε το μεγάλο άθροισμα: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Σημειώστε ότι στην τελευταία έκφραση συνοψίστηκαν μόνο 4 όροι, αφού ο 5ος περιλαμβάνεται ήδη στο άθροισμα που πρέπει να υπολογιστεί σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος. Τέλος, παίρνουμε τη διαφορά: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Μέθοδος 2. Πριν αντικαταστήσετε τους αριθμούς και μετρήσετε, μπορείτε να πάρετε έναν τύπο για το άθροισμα μεταξύ των όρων m και n της εν λόγω σειράς. Ενεργούμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως στη μέθοδο 1, μόνο που εργαζόμαστε πρώτα με τη συμβολική αναπαράσταση του αθροίσματος. Έχουμε: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Στην έκφραση που προκύπτει, μπορείτε να αντικαταστήσετε γνωστούς αριθμούςκαι υπολογίστε το τελικό αποτέλεσμα: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Αριθμός εργασίας 3. Ποιος είναι ο παρονομαστής;

Έστω a1 = 2, να βρούμε τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου, με την προϋπόθεση ότι το άπειρο άθροισμά της είναι 3, και είναι γνωστό ότι πρόκειται για μια φθίνουσα σειρά αριθμών.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ποιος τύπος πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την επίλυσή του. Φυσικά, για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας προόδου. Έχουμε: S∞ = a1 / (1 - b). Από όπου εκφράζουμε τον παρονομαστή: b = 1 - a1 / S∞. Μένει να αντικατασταθεί γνωστές αξίεςκαι πάρτε τον απαιτούμενο αριθμό: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ή -0,333(3). Μπορούμε να ελέγξουμε αυτό το αποτέλεσμα ποιοτικά αν θυμηθούμε ότι για αυτόν τον τύπο ακολουθίας, ο συντελεστής b δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1. Όπως μπορείτε να δείτε, |-1 / 3|

Αριθμός εργασίας 4. Επαναφορά μιας σειράς αριθμών

Έστω 2 στοιχεία μιας σειράς αριθμών, για παράδειγμα, το 5ο είναι ίσο με 30 και το 10ο είναι ίσο με 60. Είναι απαραίτητο να επαναφέρετε ολόκληρη τη σειρά από αυτά τα δεδομένα, γνωρίζοντας ότι ικανοποιεί τις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει πρώτα να γράψετε την αντίστοιχη έκφραση για κάθε γνωστό μέλος. Έχουμε: a5 = b4 * a1 και a10 = b9 * a1. Τώρα διαιρούμε τη δεύτερη παράσταση με την πρώτη, παίρνουμε: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Από εδώ προσδιορίζουμε τον παρονομαστή παίρνοντας τη ρίζα πέμπτου βαθμού του λόγου των μελών που είναι γνωστά από την συνθήκη του προβλήματος, b = 1,148698. Αντικαθιστούμε τον αριθμό που προκύπτει σε μία από τις εκφράσεις για ένα γνωστό στοιχείο, παίρνουμε: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Έτσι, βρήκαμε ποιος είναι ο παρονομαστής της προόδου bn και η γεωμετρική πρόοδος bn-1 * 17,2304966 = an, όπου b = 1,148698.

Πού χρησιμοποιούνται οι γεωμετρικές προόδους;

Αν δεν υπήρχε εφαρμογή αυτής της αριθμητικής σειράς στην πράξη, τότε η μελέτη της θα περιοριζόταν σε καθαρά θεωρητικό ενδιαφέρον. Αλλά υπάρχει μια τέτοια εφαρμογή.

Τα 3 πιο διάσημα παραδείγματα παρατίθενται παρακάτω:

• Το παράδοξο του Ζήνωνα, στο οποίο ο ευκίνητος Αχιλλέας δεν μπορεί να προλάβει την αργή χελώνα, λύνεται χρησιμοποιώντας την έννοια μιας απείρως φθίνουσας ακολουθίας αριθμών.
• Εάν τοποθετηθούν κόκκοι σιταριού σε κάθε κελί της σκακιέρας έτσι ώστε να τοποθετηθεί 1 κόκκος στο 1ο κελί, 2 - στο 2ο, 3 - στο 3ο και ούτω καθεξής, τότε θα χρειαστούν 18446744073709551615 κόκκοι για να γεμίσουν όλα τα κελιά του ο πίνακας!
• Στο παιχνίδι "Tower of Hanoi", για να αναδιατάξετε τους δίσκους από τη μια ράβδο στην άλλη, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε 2n - 1 λειτουργίες, δηλαδή ο αριθμός τους αυξάνεται εκθετικά από τον αριθμό των δίσκων n που χρησιμοποιούνται.

Ας εξετάσουμε μια σειρά.

7 28 112 448 1792...

Είναι απολύτως σαφές ότι η αξία οποιουδήποτε από τα στοιχεία του είναι ακριβώς τέσσερις φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Αυτή η σειρά λοιπόν είναι μια εξέλιξη.

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια άπειρη ακολουθία αριθμών κύριο χαρακτηριστικόπου είναι αυτό επόμενος αριθμόςπου προκύπτει από το προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας με κάποιο συγκεκριμένο αριθμό. Αυτό εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο.

a z +1 =a z q, όπου z είναι ο αριθμός του επιλεγμένου στοιχείου.

Αντίστοιχα, z ∈ N.

Η περίοδος που μελετάται μια γεωμετρική πρόοδος στο σχολείο είναι η 9η τάξη. Τα παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε την έννοια:

0.25 0.125 0.0625...

Με βάση αυτόν τον τύπο, ο παρονομαστής της προόδου μπορεί να βρεθεί ως εξής:

Ούτε το q ούτε το b z μπορεί να είναι μηδέν. Επίσης, καθένα από τα στοιχεία της προόδου δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν.

Αντίστοιχα, για να μάθετε τον επόμενο αριθμό της σειράς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον τελευταίο επί q.

Για να καθορίσετε αυτήν την πρόοδο, πρέπει να καθορίσετε το πρώτο στοιχείο και τον παρονομαστή της. Μετά από αυτό, είναι δυνατό να βρείτε οποιονδήποτε από τους επόμενους όρους και το άθροισμά τους.

ποικιλίες

Ανάλογα με το q και το a 1, αυτή η εξέλιξη χωρίζεται σε διάφορους τύπους:

• Εάν και το 1 και το q είναι μεγαλύτερα από ένα, τότε μια τέτοια ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος που αυξάνεται με κάθε επόμενο στοιχείο. Ένα τέτοιο παράδειγμα παρουσιάζεται παρακάτω.

Παράδειγμα: a 1 =3, q=2 - και οι δύο παράμετροι είναι μεγαλύτερες από μία.

Τότε η αριθμητική ακολουθία μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 6 12 24 48 ...

• Αν |q| λιγότερο από ένα, δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός με αυτό ισοδυναμεί με διαίρεση, τότε μια πρόοδος με παρόμοιες συνθήκες είναι μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. Ένα τέτοιο παράδειγμα παρουσιάζεται παρακάτω.

Παράδειγμα: a 1 =6, q=1/3 - a 1 είναι μεγαλύτερο από ένα, το q είναι μικρότερο.

Επειτα σειρά αριθμώνμπορεί να γραφτεί ως εξής:

6 2 2/3 ... - οποιοδήποτε στοιχείο είναι 3 φορές μεγαλύτερο από το στοιχείο που το ακολουθεί.

• Σήμα-μεταβλητή. Αν q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Παράδειγμα: a 1 = -3 , q = -2 - και οι δύο παράμετροι είναι μικρότερες από το μηδέν.

Τότε η σειρά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3, 6, -12, 24,...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Για εύκολη χρήση των γεωμετρικών προόδων, υπάρχουν πολλοί τύποι:

• Τύπος του z-ου μέλους. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε το στοιχείο κάτω από έναν συγκεκριμένο αριθμό χωρίς να υπολογίζετε τους προηγούμενους αριθμούς.

Παράδειγμα:q = 3, ένα 1 = 4. Απαιτείται ο υπολογισμός του τέταρτου στοιχείου της προόδου.

Απόφαση:ένα 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Το άθροισμα των πρώτων στοιχείων των οποίων ο αριθμός είναι z. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα όλων των στοιχείων μιας ακολουθίας μέχριa zπεριεκτικός.

Από (1-q) είναι στον παρονομαστή, τότε (1 - q)≠ 0, επομένως το q δεν είναι ίσο με 1.

Σημείωση: αν q=1, τότε η πρόοδος θα είναι μια σειρά από έναν άπειρα επαναλαμβανόμενο αριθμό.

Το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου, παραδείγματα:ένα 1 = 2, q= -2. Υπολογίστε το S 5 .

Απόφαση:μικρό 5 = 22 - υπολογισμός με τύπο.

• Ποσό εάν |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Παράδειγμα:ένα 1 = 2 , q= 0,5. Βρείτε το ποσό.

Απόφαση:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Μερικές ιδιότητες:

• χαρακτηριστική ιδιότητα. Εάν η ακόλουθη συνθήκη εκτελείται για οποιαδήποτεz, τότε η δεδομένη σειρά αριθμών είναι μια γεωμετρική πρόοδος:

a z 2 = a z -1 · έναz+1

• Επίσης, το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού μιας γεωμετρικής προόδου βρίσκεται προσθέτοντας τα τετράγωνα οποιωνδήποτε άλλων δύο αριθμών σε μια δεδομένη σειρά, εάν απέχουν ίσα από αυτό το στοιχείο.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , πουtείναι η απόσταση μεταξύ αυτών των αριθμών.

• Στοιχείαδιαφέρουν σε qμια φορά.
• Οι λογάριθμοι των στοιχείων προόδου σχηματίζουν επίσης μια πρόοδο, αλλά ήδη αριθμητική, δηλαδή καθένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο κατά έναν ορισμένο αριθμό.

Παραδείγματα ορισμένων κλασικών προβλημάτων

Για να κατανοήσετε καλύτερα τι είναι μια γεωμετρική πρόοδος, μπορούν να βοηθήσουν παραδείγματα με λύση για τον βαθμό 9.

• Συνθήκες:ένα 1 = 3, ένα 3 = 48. Βρεq.

Λύση: κάθε επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενοq μια φορά.Είναι απαραίτητο να εκφράσουμε ορισμένα στοιχεία μέσω άλλων χρησιμοποιώντας έναν παρονομαστή.

Συνεπώς,ένα 3 = q 2 · ένα 1

Κατά την αντικατάστασηq= 4

• Συνθήκες:ένα 2 = 6, ένα 3 = 12. Υπολογίστε το S 6 .

Απόφαση:Για να γίνει αυτό, αρκεί να βρείτε το q, το πρώτο στοιχείο και να το αντικαταστήσετε στον τύπο.

ένα 3 = q· ένα 2 , Συνεπώς,q= 2

a 2 = q Α'1 ,να γιατί α 1 = 3

S 6 = 189

• · ένα 1 = 10, q= -2. Βρείτε το τέταρτο στοιχείο της προόδου.

Λύση: για να γίνει αυτό, αρκεί να εκφράσουμε το τέταρτο στοιχείο μέσω του πρώτου και μέσω του παρονομαστή.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Παράδειγμα εφαρμογής:

• Ο πελάτης της τράπεζας έκανε κατάθεση στο ποσό των 10.000 ρούβλια, υπό τους όρους της οποίας κάθε χρόνο ο πελάτης θα προσθέτει το 6% του στο αρχικό ποσό. Πόσα χρήματα θα υπάρχουν στον λογαριασμό μετά από 4 χρόνια;

Λύση: Το αρχικό ποσό είναι 10 χιλιάδες ρούβλια. Άρα, ένα χρόνο μετά την επένδυση, ο λογαριασμός θα έχει ποσό ίσο με 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Αντίστοιχα, το ποσό στον λογαριασμό μετά από ένα ακόμη έτος θα εκφράζεται ως εξής:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Δηλαδή κάθε χρόνο το ποσό αυξάνεται κατά 1,06 φορές. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε το ποσό των κεφαλαίων στον λογαριασμό μετά από 4 χρόνια, αρκεί να βρείτε το τέταρτο στοιχείο της προόδου, το οποίο δίνεται από το πρώτο στοιχείο ίσο με 10 χιλιάδες και τον παρονομαστή ίσο με 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Παραδείγματα εργασιών για τον υπολογισμό του αθροίσματος:

Σε διάφορα προβλήματα, χρησιμοποιείται μια γεωμετρική πρόοδος. Ένα παράδειγμα για την εύρεση του αθροίσματος μπορεί να δοθεί ως εξής:

ένα 1 = 4, q= 2, υπολογίστεS5.

Λύση: όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τον υπολογισμό είναι γνωστά, απλά πρέπει να τα αντικαταστήσετε στον τύπο.

μικρό 5 = 124

• ένα 2 = 6, ένα 3 = 18. Υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων έξι στοιχείων.

Απόφαση:

Geom. προόδου, κάθε επόμενο στοιχείο είναι q φορές μεγαλύτερο από το προηγούμενο, δηλαδή, για να υπολογίσετε το άθροισμα, πρέπει να γνωρίζετε το στοιχείοένα 1 και παρονομαστήςq.

ένα 2 · q = ένα 3

q = 3

Ομοίως, πρέπει να βρούμεένα 1 , γνωρίζονταςένα 2 καιq.

ένα 1 · q = ένα 2

α 1 =2

μικρό 6 = 728.

Σκοπός του μαθήματος: να εισαγάγει τους μαθητές σε ένα νέο είδος ακολουθίας - μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.
Καθήκοντα:
διατύπωση της αρχικής ιδέας του ορίου της αριθμητικής ακολουθίας.
γνωριμία με έναν άλλο τρόπο μετατροπής άπειρων περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.
η ανάπτυξη των πνευματικών ιδιοτήτων της προσωπικότητας των μαθητών, όπως η λογική σκέψη, η ικανότητα για αξιολογικές ενέργειες, η γενίκευση.
εκπαίδευση δραστηριότητας, αλληλοβοήθεια, συλλογικότητα, ενδιαφέρον για το αντικείμενο.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Σχετικό μάθημα «Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος» (άλγεβρα, τάξη 10)

Σκοπός του μαθήματος: εισάγοντας τους μαθητές σε ένα νέο είδος ακολουθίας - μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.

Καθήκοντα:

διατύπωση της αρχικής ιδέας του ορίου της αριθμητικής ακολουθίας. γνωριμία με έναν άλλο τρόπο μετατροπής άπειρων περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

η ανάπτυξη των πνευματικών ιδιοτήτων της προσωπικότητας των μαθητών, όπως η λογική σκέψη, η ικανότητα για αξιολογικές ενέργειες, η γενίκευση.

εκπαίδευση δραστηριότητας, αλληλοβοήθεια, συλλογικότητα, ενδιαφέρον για το αντικείμενο.

Εξοπλισμός: τάξη υπολογιστή, προβολέας, οθόνη.

Τύπος μαθήματος: Μάθημα - κατάκτηση νέου θέματος.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργ. στιγμή. Μήνυμα για το θέμα και το σκοπό του μαθήματος.

II. Επικαιροποίηση των γνώσεων των μαθητών.

Στην 9η δημοτικού μελετήσατε αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους.

Ερωτήσεις

1. Ορισμός αριθμητικής προόδου.

(Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος,

Ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο, που προστίθεται με τον ίδιο αριθμό).

2. Τύπος n -ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου

3. Ο τύπος για το άθροισμα του πρώτου n μέλη μιας αριθμητικής προόδου.

( ή )

4. Ορισμός γεωμετρικής προόδου.

(Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών,

Κάθε όρος του οποίου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο, πολλαπλασιαζόμενο επί

τον ίδιο αριθμό).

5. Τύπος n ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου

6. Ο τύπος για το άθροισμα του πρώτου n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου.

7. Ποιους τύπους γνωρίζετε ακόμα;

(, που ; ;

; , )

Καθήκοντα

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον τύπο a n = 7 - 4n. Βρείτε ένα 10. (-33)

2. Αριθμητική πρόοδος a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε ένα 4. (4)

3. Αριθμητική πρόοδος a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε ένα 17. (-35)

4. Αριθμητική πρόοδος a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε το S 17. (-187)

5. Για μια γεωμετρική πρόοδοβρείτε τον πέμπτο όρο.

6. Για μια γεωμετρική πρόοδοβρείτε το ν ο όρος.

7. Εκθετικά b 3 = 8 και b 5 = 2 . Βρείτε το β 4. (4)

8. Εκθετικά b 3 = 8 και b 5 = 2 . Βρείτε τα b 1 και q .

9. Εκθετικά b 3 = 8 και b 5 = 2 . Βρείτε το S 5. (62)

III. Εξερευνώντας ένα νέο θέμα(παρουσίαση επίδειξης).

Θεωρούμε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 1. Ας σχεδιάσουμε ένα άλλο τετράγωνο, η πλευρά του οποίου είναι το μισό του πρώτου τετραγώνου, μετά ένα άλλο, η πλευρά του οποίου είναι το μισό του δεύτερου, μετά το επόμενο κ.ο.κ. Κάθε φορά η πλευρά του νέου τετραγώνου είναι η μισή από την προηγούμενη.

Ως αποτέλεσμα, πήραμε μια ακολουθία πλευρών τετραγώνωνσχηματίζοντας μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή.

Και, αυτό που είναι πολύ σημαντικό, όσο περισσότερο χτίζουμε τέτοια τετράγωνα, τόσο μικρότερη θα είναι η πλευρά του τετραγώνου.Για παράδειγμα ,

Εκείνοι. καθώς ο αριθμός n αυξάνεται, οι όροι της προόδου πλησιάζουν το μηδέν.

Με τη βοήθεια αυτού του σχήματος, μπορεί να εξεταστεί μια ακόμη ακολουθία.

Για παράδειγμα, η ακολουθία εμβαδών τετραγώνων:

Και, πάλι, αν n αυξάνεται επ 'αόριστον, τότε η περιοχή πλησιάζει το μηδέν αυθαίρετα κλείσιμο.

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1 cm. Ας χτίσουμε το επόμενο τρίγωνο με κορυφές στα μέσα των πλευρών του 1ου τριγώνου, σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου - η πλευρά του 2ου είναι ίση με τη μισή πλευρά του πρώτου, η πλευρά του 3ου είναι η μισή πλευρά του το 2ο κ.λπ. Και πάλι παίρνουμε μια ακολουθία μηκών των πλευρών των τριγώνων.

Στο .

Αν θεωρήσουμε μια γεωμετρική πρόοδο με αρνητικό παρονομαστή.

Μετά, πάλι, με αυξανόμενους αριθμούς n οι όροι της προσέγγισης προόδου μηδέν.

Ας προσέξουμε τους παρονομαστές αυτών των ακολουθιών. Παντού οι παρονομαστές ήταν λιγότεροι από 1 modulo.

Μπορούμε να συμπεράνουμε: μια γεωμετρική πρόοδος θα είναι απείρως φθίνουσα αν το μέτρο του παρονομαστή της είναι μικρότερο από 1.

Μπροστινή εργασία.

Ορισμός:

Μια γεωμετρική πρόοδος λέγεται ότι μειώνεται άπειρα αν το μέτρο του παρονομαστή της είναι μικρότερο από ένα..

Με τη βοήθεια του ορισμού, είναι δυνατό να λυθεί το ερώτημα εάν μια γεωμετρική πρόοδος μειώνεται απεριόριστα ή όχι.

Μια εργασία

Είναι η ακολουθία μια απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος αν δίνεται από τον τύπο:

Απόφαση:

Ας βρούμε q .

; ; ; .

αυτή η γεωμετρική πρόοδος μειώνεται απείρως.

σι) αυτή η ακολουθία δεν είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 1. Χωρίστε το στη μέση, ένα από τα μισά πάλι στη μέση κ.ο.κ. τα εμβαδά όλων των παραλληλόγραμμων που προκύπτουν σχηματίζουν μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο:

Το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο θα είναι ίσο με το εμβαδόν του 1ου τετραγώνου και ίσο με 1.

Αλλά στην αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας βρίσκεται το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων.

Θεωρήστε το άθροισμα των πρώτων n όρων.

Σύμφωνα με τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου, ισούται με.

Εάν n αυξάνεται επ' αόριστον, λοιπόν

ή . Επομένως, δηλ. .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδουυπάρχει όριο ακολουθίας S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Για παράδειγμα, για μια εξέλιξη,

έχουμε

Επειδή

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδουμπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο.

III. Προβληματισμός και εμπέδωση(ολοκλήρωση εργασιών).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Συνοψίζοντας.

Τι ακολουθία συναντήσατε σήμερα;

Ορίστε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.

Πώς να αποδείξετε ότι μια γεωμετρική πρόοδος μειώνεται απείρως;

Δώστε τον τύπο για το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

V. Εργασία για το σπίτι.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Όλοι θα πρέπει να μπορούν να σκέφτονται με συνέπεια, να κρίνουν οριστικά και να αντικρούουν λάθος συμπεράσματα: ένας φυσικός και ένας ποιητής, ένας οδηγός τρακτέρ και ένας χημικός. E.Kolman Στα μαθηματικά, δεν πρέπει να θυμόμαστε τύπους, αλλά διαδικασίες σκέψης. VP Ermakov Είναι πιο εύκολο να βρεις το τετράγωνο ενός κύκλου παρά να ξεγελάσεις έναν μαθηματικό. Augustus de Morgan Ποια επιστήμη θα μπορούσε να είναι πιο ευγενής, πιο αξιοθαύμαστη, πιο χρήσιμη για την ανθρωπότητα από τα μαθηματικά; Φράνκλιν

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος Βαθμός 10

ΕΓΩ. Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους. Ερωτήσεις 1. Ορισμός αριθμητικής προόδου. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. 2. Τύπος του ν ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου. 3. Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου. 4. Ορισμός γεωμετρικής προόδου. Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό 5. Ο τύπος του nο μέλους μιας γεωμετρικής προόδου. 6. Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας γεωμετρικής προόδου.

II. Αριθμητική πρόοδος. Εργασίες Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον τύπο a n = 7 – 4 n Να βρείτε το 10 . (-33) 2. Στην αριθμητική πρόοδο a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε ένα 4. (4) 3. Στην αριθμητική πρόοδο a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε ένα 17. (-35) 4. Στην αριθμητική πρόοδο a 3 = 7 και a 5 = 1 . Βρείτε το S 17. (-187)

II. Γεωμετρική πρόοδος. Εργασίες 5. Για γεωμετρική πρόοδο, βρείτε τον πέμπτο όρο 6. Για γεωμετρική πρόοδο, βρείτε τον ν-ο όρο. 7. Εκθετικά b 3 = 8 και b 5 = 2. Βρείτε το β 4. (4) 8. Σε γεωμετρική πρόοδο b 3 = 8 και b 5 = 2 . Βρείτε τα b 1 και q . 9. Σε γεωμετρική πρόοδο b 3 = 8 και b 5 = 2. Βρείτε το S 5. (62)

ορισμός: Μια γεωμετρική πρόοδος λέγεται ότι είναι απείρως φθίνουσα εάν το μέτρο του παρονομαστή της είναι μικρότερο από ένα.

Πρόβλημα №1 Είναι η ακολουθία απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, αν δίνεται από τον τύπο: Λύση: α) αυτή η γεωμετρική πρόοδος είναι άπειρα φθίνουσα. β) αυτή η ακολουθία δεν είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι το όριο της ακολουθίας S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Για παράδειγμα, για μια πρόοδο, έχουμε Αφού το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Ολοκλήρωση εργασιών Βρείτε το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με τον πρώτο όρο 3, τον δεύτερο 0,3. 2. Νο. 13; Νο. 14; σχολικό βιβλίο, σελ. 138 3. Αρ. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Νο. 19; Νο 20.

Τι ακολουθία συναντήσατε σήμερα; Ορίστε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Πώς να αποδείξετε ότι μια γεωμετρική πρόοδος μειώνεται απείρως; Δώστε τον τύπο για το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Ερωτήσεις

Ο διάσημος Πολωνός μαθηματικός Hugo Steinghaus υποστηρίζει αστειευόμενος ότι υπάρχει ένας νόμος που διατυπώνεται ως εξής: ένας μαθηματικός θα το κάνει καλύτερα. Δηλαδή, αν εμπιστευτείτε δύο άτομα, εκ των οποίων ο ένας είναι μαθηματικός, να κάνουν οποιαδήποτε εργασία δεν γνωρίζουν, τότε το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το εξής: ο μαθηματικός θα το κάνει καλύτερα. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ VI

§ 148. Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου

Μέχρι τώρα, μιλώντας για αθροίσματα, πάντα υποθέταμε ότι ο αριθμός των όρων σε αυτά τα αθροίσματα είναι πεπερασμένος (για παράδειγμα, 2, 15, 1000 κ.λπ.). Αλλά όταν λύνουμε ορισμένα προβλήματα (ειδικά ανώτερα μαθηματικά), πρέπει να ασχοληθούμε με τα αθροίσματα ενός άπειρου αριθμού όρων

S= ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n + ... . (1)

Ποια είναι αυτά τα ποσά; Α-πριό το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων ένα 1 , ένα 2 , ..., ένα n , ... ονομάζεται όριο του αθροίσματος S n πρώτα Π αριθμοί όταν Π -> ∞ :

S=S n = (ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n ). (2)

Το όριο (2), φυσικά, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Κατά συνέπεια, το άθροισμα (1) λέγεται ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει.

Πώς να μάθετε εάν το άθροισμα (1) υπάρχει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση; Κοινή απόφασηΑυτή η ερώτηση υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο του προγράμματός μας. Ωστόσο, υπάρχει ένα σημαντικό ειδική περίπτωσηπου τώρα πρέπει να εξετάσουμε. Θα μιλήσουμε για το άθροισμα των όρων μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Ας είναι ένα 1 , ένα 1 q , ένα 1 q 2 , ... είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. Αυτό σημαίνει ότι | q |< 1. Сумма первых Π μέλη αυτής της προόδου ισούται με

Από τα κύρια οριακά θεωρήματα μεταβλητές(βλ. § 136) έχουμε:

Αλλά 1 = 1, α q n = 0. Επομένως

Άρα, το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τον πρώτο όρο αυτής της προόδου διαιρεμένο με το ένα μείον τον παρονομαστή αυτής της προόδου.

1) Το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... είναι

και το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι 12. -6; 3; - 3 / 2 , ... ισούται

2) Απλό περιοδικό κλάσμα 0,454545 ... μετατροπή σε συνηθισμένο.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, παρουσιάζουμε δεδομένο κλάσμαως άπειρο άθροισμα:

Δεξί μέροςαυτής της ισότητας είναι το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας είναι 45/100 και ο παρονομαστής είναι 1/100. Να γιατί

Με τον τρόπο που περιγράφεται, μπορεί κανείς να αποκτήσει γενικός κανόναςμετατροπή απλών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα (βλ. Κεφ. II, § 38):

Για να μετατρέψετε ένα απλό περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένο, πρέπει να κάνετε τα εξής: βάλτε την τελεία στον αριθμητή δεκαδικό κλάσμα, και στον παρονομαστή - ένας αριθμός που αποτελείται από εννιά που λαμβάνονται όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο του δεκαδικού κλάσματος.

3) Μικτό περιοδικό κλάσμα 0,58333 .... μετατρέπεται σε συνηθισμένο κλάσμα.

Ας αντιπροσωπεύσουμε αυτό το κλάσμα ως άπειρο άθροισμα:

Στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας, όλοι οι όροι, ξεκινώντας από το 3/1000, σχηματίζουν μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος της οποίας είναι 3/1000 και ο παρονομαστής είναι 1/10. Να γιατί

Με τον τρόπο που περιγράφηκε, μπορεί επίσης να ληφθεί ο γενικός κανόνας για τη μετατροπή μικτών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38). Δεν το συμπεριλαμβάνουμε εσκεμμένα εδώ. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτόν τον δυσκίνητο κανόνα. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε μικτό περιοδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου και κάποιου αριθμού. Και η φόρμουλα

για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, πρέπει φυσικά να θυμόμαστε.

Ως άσκηση, σας καλούμε, εκτός από τα προβλήματα Νο. 995-1000 παρακάτω, να στραφείτε και πάλι στο πρόβλημα Νο. 301 § 38.

Γυμνάσια

995. Τι ονομάζεται το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου;

996. Βρείτε αθροίσματα άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου:

997. Για ποιες αξίες Χ προχώρηση

μειώνεται απείρως; Βρείτε το άθροισμα μιας τέτοιας προόδου.

998. Σε ισόπλευρο τρίγωνομε πάρτι ένα ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται συνδέοντας τα μέσα των πλευρών του. ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum.

α) το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τριγώνων.

β) το άθροισμα των εκτάσεών τους.

999. Σε τετράγωνο με πλευρά ένα εγγράφεται ενώνοντας τα μέσα των πλευρών του νέα πλατεία; ένα τετράγωνο εγγράφεται σε αυτό το τετράγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum. Να βρείτε το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τετραγώνων και το άθροισμα των εμβαδών τους.

1000. Κάντε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ίσο με 25 / 4 και το άθροισμα των τετραγώνων των όρων της να είναι ίσο με 625 / 24.