Πώς να λύσετε γρήγορα λογαριθμικές εξισώσεις. Εκμάθηση επίλυσης απλών λογαριθμικών εξισώσεων

Λογαριθμικές Εξισώσεις. Συνεχίζουμε να εξετάζουμε εργασίες από το μέρος Β της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη εξετάσει τις λύσεις ορισμένων εξισώσεων στα άρθρα "", "". Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις λογαριθμικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας πω αμέσως ότι δεν υπάρχουν σύνθετους μετασχηματισμούςκατά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων στην εξέταση δεν θα. Είναι απλοί.

Αρκεί να γνωρίζουμε και να κατανοούμε τα βασικά λογαριθμική ταυτότητα, γνωρίζουν τις ιδιότητες του λογάριθμου. Δώστε προσοχή στο γεγονός ότι μετά την απόφαση, είναι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟ να κάνετε έλεγχο - να αντικαταστήσετε την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση και να υπολογίσετε, ως αποτέλεσμα, να προκύψει η σωστή ισότητα.

Ορισμός:

Ο λογάριθμος του αριθμού a στη βάση b είναι ο εκθέτης,στο οποίο πρέπει να ανυψωθεί το b για να ληφθεί το α.

Για παράδειγμα:

Καταγραφή 3 9 = 2 αφού 3 2 = 9

Ιδιότητες λογαρίθμων:

Ειδικές περιπτώσεις λογαρίθμων:

Λύνουμε προβλήματα. Στο πρώτο παράδειγμα, θα κάνουμε έναν έλεγχο. Κάντε μόνοι σας τον παρακάτω έλεγχο.

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 3 (4–x) = 4

Αφού log b a = x b x = a, τότε

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Εξέταση:

ημερολόγιο 3 (4–(–77)) = 4

ημερολόγιο 3 81 = 4

3 4 = 81 Σωστό.

Απάντηση: - 77

Αποφασίστε μόνοι σας:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 2 (4 - x) = 7

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5(4 + x) = 2

Χρησιμοποιούμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Αφού log a b = x b x = a, τότε

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Εξέταση:

ημερολόγιο 5 (4 + 21) = 2

ημερολόγιο 5 25 = 2

5 2 = 25 Σωστό.

Απάντηση: 21

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 3 (14 - x) = log 3 5.

Συμβαίνει επόμενο ακίνητο, η σημασία του είναι η εξής: αν στο αριστερό και το δεξί μέρος της εξίσωσης έχουμε λογάριθμους με την ίδια βάση, τότε μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις κάτω από τα πρόσημα των λογαρίθμων.

14 - x = 5

x=9

Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: 9

Αποφασίστε μόνοι σας:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5 (5 - x) = log 5 3.

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Αν log c a = log c b, τότε a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: 6

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Κάντε έναν έλεγχο.

Μια μικρή προσθήκη - εδώ χρησιμοποιείται το ακίνητο

βαθμός().

Απάντηση: - 51

Αποφασίστε μόνοι σας:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 1/7 (7 - x) = - 2

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Ας μεταμορφωθούμε σωστη πλευρα. χρησιμοποιήστε το ακίνητο:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Αν log c a = log c b, τότε a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: - 21

Αποφασίστε μόνοι σας:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Λύστε την εξίσωση log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Αν log c a = log c b, τότε a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: 2,75

Αποφασίστε μόνοι σας:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Λύστε την εξίσωση log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, πρέπει να λάβετε μια έκφραση της φόρμας:

ημερολόγιο 2 (......)

Αντιπροσωπεύοντας το 1 ως λογάριθμο βάσης 2:

1 = ημερολόγιο 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Παίρνουμε:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Αν log c a = log c b, τότε a = b, τότε

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: 0,4

Αποφασίστε μόνοι σας: Στη συνέχεια, πρέπει να αποφασίσετε τετραγωνική εξίσωση. Παρεμπιπτόντως,

οι ρίζες είναι 6 και -4.

Ρίζα "-Το 4" δεν είναι λύση αφού η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι Πάνω απο το μηδέν, και πότε "– 4" ισούται με " – πέντε". Η λύση είναι η ρίζα 6.Κάντε έναν έλεγχο.

Απάντηση: 6.

R φάτε μόνοι σας:

Λύστε την εξίσωση log x –5 49 = 2. Αν η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, απαντήστε στη μικρότερη.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν σύνθετοι μετασχηματισμοί με λογαριθμικές εξισώσειςόχι. Αρκεί να γνωρίζουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου και να μπορούμε να τις εφαρμόζουμε. ΣΤΟ ΧΡΗΣΗ Εργασιώνπου σχετίζονται με τον μετασχηματισμό των λογαριθμικών παραστάσεων, γίνονται πιο σοβαροί μετασχηματισμοί και απαιτούνται βαθύτερες δεξιότητες στη λύση. Θα εξετάσουμε τέτοια παραδείγματα, μην το χάσετε!Σου εύχομαι επιτυχία!!!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Όλοι γνωρίζουμε τις εξισώσεις. δημοτικό σχολείο. Ακόμα και εκεί μάθαμε να λύνουμε τα πιο απλά παραδείγματα, και πρέπει να ομολογήσουμε ότι βρίσκουν την εφαρμογή τους ακόμα και μέσα ανώτερα μαθηματικά. Όλα είναι απλά με τις εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των τετραγώνων. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτό το θέμα, σας συνιστούμε να το δοκιμάσετε ξανά.

Λογάριθμους μάλλον έχετε ήδη περάσει και εσείς. Παρόλα αυτά, θεωρούμε σημαντικό να πούμε τι είναι για όσους δεν γνωρίζουν ακόμα. Ο λογάριθμος ισοδυναμεί με την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός στα δεξιά του πρόσημου του λογαρίθμου. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα, βάσει του οποίου, όλα θα σας ξεκαθαρίσουν.

Αν σηκώσετε το 3 στην τέταρτη δύναμη, παίρνετε 81. Τώρα αντικαταστήστε τους αριθμούς με αναλογία και τελικά θα καταλάβετε πώς λύνονται οι λογάριθμοι. Τώρα μένει μόνο να συνδυαστούν οι δύο εξεταζόμενες έννοιες. Αρχικά, η κατάσταση φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη, αλλά μετά από πιο προσεκτική εξέταση, το βάρος μπαίνει στη θέση του. Είμαστε σίγουροι ότι μετά από αυτό το σύντομο άρθρο δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα σε αυτό το μέρος της εξέτασης.

Σήμερα, υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Θα μιλήσουμε για τις πιο απλές, αποτελεσματικές και πιο εφαρμόσιμες στην περίπτωση των εργασιών USE. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να ξεκινά από την αρχή. ένα απλό παράδειγμα. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις αποτελούνται από μια συνάρτηση και μια μεταβλητή σε αυτήν.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το x βρίσκεται μέσα στο όρισμα. Τα Α και β πρέπει να είναι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε απλά να εκφράσετε τη συνάρτηση με όρους αριθμού σε δύναμη. Μοιάζει με αυτό.

Φυσικά, η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση. Το πρόβλημα όμως της συντριπτικής πλειοψηφίας των μαθητών σε αυτή την περίπτωση είναι ότι δεν καταλαβαίνουν από τι και από πού προέρχεται. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπομένετε τα λάθη και να μην πάρετε τους επιθυμητούς βαθμούς. Το πιο προσβλητικό λάθος θα είναι αν ανακατεύετε τα γράμματα κατά τόπους. Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να απομνημονεύσετε αυτόν τον τυπικό σχολικό τύπο, γιατί είναι δύσκολο να τον κατανοήσετε.

Για να το κάνετε πιο εύκολο, μπορείτε να καταφύγετε σε μια άλλη μέθοδο - την κανονική μορφή. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή. Δώστε ξανά προσοχή στην εργασία. Θυμηθείτε ότι το γράμμα a είναι αριθμός, όχι συνάρτηση ή μεταβλητή. Το Α δεν είναι ίσο με ένα και είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο β. Τώρα από όλους τους τύπους, θυμόμαστε έναν. Το Β μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

Από αυτό προκύπτει ότι όλες οι αρχικές εξισώσεις με λογάριθμους μπορούν να παρασταθούν ως:

Τώρα μπορούμε να απορρίψουμε τους λογάριθμους. Το αποτέλεσμα είναι μια απλή κατασκευή, την οποία έχουμε ήδη δει νωρίτερα.

Η ευκολία αυτής της φόρμουλας έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο μέγιστο διαφορετικές περιστάσειςκαι όχι μόνο για τα πιο απλά σχέδια.

Μην ανησυχείτε για το OOF!

Πολλοί έμπειροι μαθηματικοί θα παρατηρήσουν ότι δεν έχουμε δώσει προσοχή στον τομέα του ορισμού. Ο κανόνας συνοψίζεται στο γεγονός ότι το F(x) είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από 0. Όχι, δεν έχουμε χάσει αυτό το σημείο. Τώρα μιλάμε για ένα άλλο σοβαρό πλεονέκτημα της κανονικής μορφής.

Δεν θα υπάρχουν επιπλέον ρίζες εδώ. Εάν η μεταβλητή εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος, τότε το πεδίο εφαρμογής δεν είναι απαραίτητο. Εκτελείται αυτόματα. Για να επαληθεύσετε αυτήν την κρίση, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε μερικά απλά παραδείγματα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις

Αυτές είναι ήδη πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις και η προσέγγιση της επίλυσής τους θα πρέπει να είναι ειδική. Εδώ σπάνια είναι δυνατόν να περιοριστούμε στην περιβόητη κανονική μορφή. Ας ξεκινήσουμε το δικό μας αναλυτική ιστορία. Έχουμε την παρακάτω κατασκευή.

Παρατηρήστε το κλάσμα. Περιέχει τον λογάριθμο. Αν το δείτε αυτό στην εργασία, αξίζει να θυμηθείτε ένα ενδιαφέρον κόλπο.

Τι σημαίνει? Κάθε λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως πηλίκο δύο λογαρίθμων με βολική βάση. Και αυτή η φόρμουλα έχει ειδική περίπτωση, το οποίο ισχύει με αυτό το παράδειγμα (που σημαίνει αν c=b).

Αυτό ακριβώς βλέπουμε στο παράδειγμά μας. Με αυτόν τον τρόπο.

Μάλιστα, γύρισαν το κλάσμα και πήραν μια πιο βολική έκφραση. Θυμηθείτε αυτόν τον αλγόριθμο!

Τώρα χρειαζόμαστε ότι η λογαριθμική εξίσωση δεν περιέχει διαφορετικές βάσεις. Ας παραστήσουμε τη βάση ως κλάσμα.

Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας κανόνας, βάσει του οποίου, μπορείτε να βγάλετε το πτυχίο από τη βάση. Αποδεικνύεται η ακόλουθη κατασκευή.

Φαίνεται ότι τώρα τι μας εμποδίζει να μετατρέψουμε την έκφρασή μας σε κανονική μορφήκαι στοιχειώδες να το λύσω; Όχι τόσο απλό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα πριν από τον λογάριθμο. Ας φτιάξουμε αυτή την κατάσταση! Ένα κλάσμα επιτρέπεται να βγαίνει ως βαθμός.

Αντίστοιχα.

Εάν οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να αφαιρέσουμε τους λογάριθμους και να εξισώσουμε τις ίδιες τις παραστάσεις. Έτσι η κατάσταση θα γίνει πολλές φορές πιο εύκολη από ό,τι ήταν. θα παραμείνει στοιχειώδης εξίσωση, που ο καθένας μας ήξερε να λύνει στην 8η ή και στην 7η δημοτικού. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.

Πήραμε τη μόνη αληθινή ρίζα αυτής της λογαριθμικής εξίσωσης. Τα παραδείγματα επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης είναι αρκετά απλά, σωστά; Τώρα θα μπορείτε να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα ακόμη και τα περισσότερα απαιτητικές εργασίεςγια την προετοιμασία και την παράδοση της εξέτασης.

Ποιο είναι το αποτέλεσμα?

Στην περίπτωση οποιωνδήποτε λογαριθμικών εξισώσεων, ξεκινάμε από ένα πολύ σημαντικός κανόνας. Είναι απαραίτητο να ενεργήσετε με τέτοιο τρόπο ώστε να φέρετε την έκφραση στο μέγιστο κοινή θέα. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχετε περισσότερες πιθανότητες όχι μόνο να λύσετε σωστά το πρόβλημα, αλλά και να το κάνετε με τον πιο απλό και λογικό τρόπο. Έτσι δουλεύουν πάντα οι μαθηματικοί.

Συνιστούμε ανεπιφύλακτα να μην κάνετε αναζήτηση περίπλοκους τρόπους, ειδικά σε αυτή την περίπτωση. Θυμηθείτε μερικά απλούς κανόνες, που θα σας επιτρέψει να μεταμορφώσετε οποιαδήποτε έκφραση. Για παράδειγμα, φέρτε δύο ή τρεις λογάριθμους στην ίδια βάση ή πάρτε μια δύναμη από τη βάση και κερδίστε σε αυτήν.

Αξίζει επίσης να θυμάστε ότι κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να εκπαιδεύεστε συνεχώς. Σταδιακά, θα προχωρήσετε σε όλο και πιο περίπλοκες δομές και αυτό θα σας οδηγήσει να λύσετε με σιγουριά όλες τις επιλογές για προβλήματα στις εξετάσεις. Προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις σας πολύ νωρίτερα και καλή τύχη!

Επί αυτό το μάθημαθα επαναλάβουμε τα βασικά θεωρητικά δεδομένα για τους λογάριθμους και θα εξετάσουμε τη λύση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων.

Θυμηθείτε τον κεντρικό ορισμό - τον ορισμό του λογαρίθμου. Σχετίζεται με την απόφαση εκθετική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα, ονομάζεται λογάριθμος του b στη βάση a:

Ορισμός:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση a για να ληφθεί ο αριθμός b.

Ανάκληση βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Η έκφραση (έκφραση 1) είναι η ρίζα της εξίσωσης (έκφραση 2). Αντικαθιστούμε την τιμή του x από την παράσταση 1 αντί για x στην παράσταση 2 και παίρνουμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Βλέπουμε λοιπόν ότι σε κάθε τιμή εκχωρείται μια τιμή. Συμβολίζουμε b για x (), c για y, και έτσι παίρνουμε τη λογαριθμική συνάρτηση:

Για παράδειγμα:

Ας θυμηθούμε βασικές ιδιότητες λογαριθμική συνάρτηση.

Ας προσέξουμε για άλλη μια φορά, εδώ, γιατί κάτω από τον λογάριθμο μπορεί να υπάρχει μια αυστηρά θετική έκφραση, ως βάση του λογαρίθμου.

Ρύζι. 1. Γράφημα της λογαριθμικής συνάρτησης για διάφορες βάσεις

Το γράφημα της συνάρτησης στο εμφανίζεται με μαύρο χρώμα. Ρύζι. 1. Εάν το όρισμα αυξηθεί από το μηδέν στο άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο.

Το γράφημα της συνάρτησης στο εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Ρύζι. 1.

Ιδιότητες αυτής της συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της. Για μονότονες (αυστηρά) αυξήσεις, μεγαλύτερη αξίαΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Όταν μειώνεται μονοτονικά (αυστηρά), η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Οι ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης είναι το κλειδί για την επίλυση διαφόρων λογαριθμικών εξισώσεων.

Εξετάστε την απλούστερη λογαριθμική εξίσωση· όλες οι άλλες λογαριθμικές εξισώσεις, κατά κανόνα, ανάγονται σε αυτήν τη μορφή.

Εφόσον οι βάσεις των λογαρίθμων και οι ίδιοι οι λογάριθμοι είναι ίσες, οι συναρτήσεις κάτω από τον λογάριθμο είναι επίσης ίσες, αλλά δεν πρέπει να χάσουμε το πεδίο ορισμού. Κάτω από τον λογάριθμο μπορεί να σταθεί μόνο θετικός αριθμός, έχουμε:

Ανακαλύψαμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες, επομένως αρκεί να επιλέξουμε οποιαδήποτε ανισότητα για να συμμορφωθούμε με το ODZ.

Έτσι πήραμε μικτό σύστημα, στην οποία υπάρχει εξίσωση και ανισότητα:

Η ανισότητα, κατά κανόνα, δεν είναι απαραίτητη για να λυθεί, αρκεί να λυθεί η εξίσωση και να αντικατασταθούν οι ρίζες που βρέθηκαν στην ανισότητα, κάνοντας έτσι έναν έλεγχο.

Ας διατυπώσουμε μια μέθοδο για την επίλυση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων:

Να εξισωθούν οι βάσεις των λογαρίθμων.

Εξίσωση υπολογαριθμικών συναρτήσεων.

Κάντε έναν έλεγχο.

Ας εξετάσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1 - λύστε την εξίσωση:

Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες.

Παράδειγμα 2 - λύστε την εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι οι βάσεις των λογαρίθμων είναι μικρότερες από μία, αλλά αυτό δεν επηρεάζει τη λύση με κανέναν τρόπο:

Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:

Πήραμε μια λανθασμένη ανισότητα, που σημαίνει ότι η ρίζα που βρέθηκε δεν ικανοποιεί το ODZ.

Παράδειγμα 3 - λύστε την εξίσωση:

Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι αρχικά ίσες.

Ας βρούμε τη ρίζα και ας την αντικαταστήσουμε με την ανισότητα:

Προφανώς, μόνο η πρώτη ρίζα ικανοποιεί το ODZ.

Η προετοιμασία για το τελικό τεστ στα μαθηματικά περιλαμβάνει μια σημαντική ενότητα - "Λογάριθμους". Οι εργασίες από αυτό το θέμα περιλαμβάνονται απαραίτητα στην εξέταση. Η εμπειρία των προηγούμενων ετών δείχνει ότι οι λογαριθμικές εξισώσεις προκάλεσαν δυσκολίες σε πολλούς μαθητές. Επομένως, οι μαθητές με διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης θα πρέπει να κατανοήσουν πώς να βρουν τη σωστή απάντηση και να τις αντιμετωπίσουν γρήγορα.

Περάστε με επιτυχία το τεστ πιστοποίησης με τη βοήθεια της εκπαιδευτικής πύλης "Shkolkovo"!

Στο πλαίσιο της προετοιμασίας για το ενιαίο κρατική εξέτασηοι απόφοιτοι λυκείου απαιτούν μια αξιόπιστη πηγή που παρέχει την πιο πλήρη και ακριβείς πληροφορίεςΓια επιτυχημένη λύσηδοκιμαστικές εργασίες. Ωστόσο, το εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο και η αναζήτηση των απαραίτητων κανόνων και τύπων στο Διαδίκτυο απαιτεί συχνά χρόνο.

Η εκπαιδευτική πύλη "Shkolkovo" σας επιτρέπει να προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις οπουδήποτε και ανά πάσα στιγμή. Ο ιστότοπός μας προσφέρει την πιο βολική προσέγγιση για την επανάληψη και τον έλεγχο μεγάλου όγκου πληροφοριών για λογαρίθμους, καθώς και για ένα και πολλά άγνωστα. Ξεκινήστε με εύκολες εξισώσεις. Αν τα αντιμετωπίσατε χωρίς δυσκολία, προχωρήστε σε πιο δύσκολα. Εάν αντιμετωπίζετε πρόβλημα με την επίλυση μιας συγκεκριμένης ανισότητας, μπορείτε να την προσθέσετε στα Αγαπημένα σας για να επιστρέψετε σε αυτήν αργότερα.

Εύρημα απαραίτητες φόρμουλεςγια να ολοκληρώσετε την εργασία, μπορείτε να επαναλάβετε ειδικές περιπτώσεις και μεθόδους για τον υπολογισμό της ρίζας μιας τυπικής λογαριθμικής εξίσωσης κοιτάζοντας την ενότητα "Θεωρητική αναφορά". Οι δάσκαλοι του "Shkolkovo" συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και περιέγραψαν όλα τα απαραίτητα για επιτυχής παράδοσηυλικά με τον πιο απλό και κατανοητό τρόπο.

Για να αντεπεξέλθετε εύκολα σε εργασίες οποιασδήποτε πολυπλοκότητας, στην πύλη μας μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη λύση ορισμένων τυπικών λογαριθμικών εξισώσεων. Για να το κάνετε αυτό, μεταβείτε στην ενότητα "Κατάλογοι". Έχουμε παρουσιάσει ένας μεγάλος αριθμός απόπαραδείγματα, συμπεριλαμβανομένων των εξισώσεων επίπεδο προφίλΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά.

Οι μαθητές από σχολεία σε όλη τη Ρωσία μπορούν να χρησιμοποιήσουν την πύλη μας. Για να ξεκινήσετε, απλώς εγγραφείτε στο σύστημα και ξεκινήστε να λύνετε εξισώσεις. Για την ενοποίηση των αποτελεσμάτων, σας συμβουλεύουμε να επιστρέφετε καθημερινά στον ιστότοπο Shkolkovo.

Εντολή

Καταγράψτε το δεδομένο λογαριθμική έκφραση. Εάν η παράσταση χρησιμοποιεί τον λογάριθμο του 10, τότε η σημείωση της συντομεύεται και μοιάζει με αυτό: lg b είναι δεκαδικός λογάριθμος. Αν ο λογάριθμος έχει ως βάση τον αριθμό e, τότε η παράσταση γράφεται: ln b - φυσικός λογάριθμος. Εννοείται ότι το αποτέλεσμα οποιουδήποτε είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο βασικός αριθμός για να ληφθεί ο αριθμός b.

Όταν βρίσκετε το άθροισμα δύο συναρτήσεων, πρέπει απλώς να τις διαφοροποιήσετε μία προς μία και να προσθέσετε τα αποτελέσματα: (u+v)" = u"+v";

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και να προσθέσουμε την παράγωγο της δεύτερης συνάρτησης, πολλαπλασιασμένη με την πρώτη συνάρτηση: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Για να βρεθεί η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο, από το γινόμενο της παραγώγου του μερίσματος πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη, να αφαιρέσουμε το γινόμενο της παραγώγου του διαιρέτη πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη και να διαιρέσουμε όλα αυτά με τη συνάρτηση διαιρέτη στο τετράγωνο. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Εάν δοθεί σύνθετη λειτουργία, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και την παράγωγο της εξωτερικής. Έστω y=u(v(x)), μετά y"(x)=y"(u)*v"(x).

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, μπορείτε να διαφοροποιήσετε σχεδόν οποιαδήποτε συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν μερικά παραδείγματα:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *Χ));
Υπάρχουν επίσης εργασίες για τον υπολογισμό της παραγώγου σε ένα σημείο. Έστω η συνάρτηση y=e^(x^2+6x+5), πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x=1.
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης σε δεδομένο σημείο y"(1)=8*e^0=8

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές

Μάθετε τον πίνακα των στοιχειωδών παραγώγων. Αυτό θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Πηγές:

• σταθερή παράγωγο

Τι διαφορετικό λοιπόν ir ορθολογική εξίσωσηαπό ορθολογικό; Εάν η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται κάτω από το πρόσημο τετραγωνική ρίζα, τότε η εξίσωση θεωρείται παράλογη.

Εντολή

Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι η μέθοδος ανύψωσης και των δύο μερών εξισώσειςσε ένα τετράγωνο. Ωστόσο. αυτό είναι φυσικό, το πρώτο βήμα είναι να απαλλαγείτε από το σημάδι. Τεχνικά, αυτή η μέθοδος δεν είναι δύσκολη, αλλά μερικές φορές μπορεί να οδηγήσει σε προβλήματα. Για παράδειγμα, η εξίσωση v(2x-5)=v(4x-7). Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές, παίρνετε 2x-5=4x-7. Μια τέτοια εξίσωση δεν είναι δύσκολο να λυθεί. x=1. Αλλά ο αριθμός 1 δεν θα δοθεί εξισώσεις. Γιατί; Αντικαταστήστε τη μονάδα στην εξίσωση αντί για την τιμή x. Και η δεξιά και η αριστερή πλευρά θα περιέχουν εκφράσεις που δεν έχουν νόημα, δηλαδή. Μια τέτοια τιμή δεν ισχύει για τετραγωνική ρίζα. Επομένως, το 1 είναι μια εξωτερική ρίζα, και επομένως δεδομένη εξίσωσηδεν έχει ρίζες.

Άρα, η παράλογη εξίσωση λύνεται με τη μέθοδο του τετραγωνισμού και των δύο μερών της. Και έχοντας λύσει την εξίσωση, είναι απαραίτητο να αποκοπεί ξένες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση.

Σκεφτείτε ένα άλλο.
2x+vx-3=0
Φυσικά, αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την ίδια εξίσωση με την προηγούμενη. Μεταφορικές Ενώσεις εξισώσεις, που δεν έχουν τετραγωνική ρίζα, στη δεξιά πλευρά και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τη μέθοδο τετραγωνισμού. να λύσετε την προκύπτουσα ορθολογική εξίσωση και τις ρίζες. Αλλά ένα άλλο, πιο κομψό. Εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. vx=y. Αντίστοιχα, θα λάβετε μια εξίσωση όπως 2y2+y-3=0. Αυτή είναι η συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση. Βρείτε τις ρίζες του. y1=1 και y2=-3/2. Στη συνέχεια, λύστε δύο εξισώσεις vx=1; vx \u003d -3/2. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, από την πρώτη βρίσκουμε ότι x=1. Μην ξεχνάτε την ανάγκη να ελέγξετε τις ρίζες.

Η επίλυση ταυτοτήτων είναι αρκετά εύκολη. Αυτό απαιτεί να γίνει πανομοιότυπες μετατροπέςμέχρι να επιτευχθεί ο στόχος. Έτσι, με τη βοήθεια του απλού αριθμητικές πράξειςη εργασία θα λυθεί.

Θα χρειαστείτε

• - χαρτί?
• - στυλό.

Εντολή

Οι απλούστεροι τέτοιοι μετασχηματισμοί είναι αλγεβρικοί συντομευμένοι πολλαπλασιασμοί (όπως το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά), η διαφορά των τετραγώνων, το άθροισμα (διαφορά), ο κύβος του αθροίσματος (διαφορά)). Επιπλέον, υπάρχουν πολλά τριγωνομετρικούς τύπους, που είναι ουσιαστικά οι ίδιες ταυτότητες.

Πράγματι, το τετράγωνο του αθροίσματος δύο όρων είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου συν διπλό προϊόντο πρώτο στο δεύτερο και συν το τετράγωνο του δεύτερου, δηλ. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Απλοποιήστε και τα δύο

Γενικές αρχές λύσης

Επαναλάβετε το σχολικό βιβλίο μαθηματική ανάλυσηή ανώτερα μαθηματικά, που είναι οριστικό ολοκλήρωμα. Όπως γνωρίζετε, η λύση οριστικό ολοκλήρωμαυπάρχει μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος θα δώσει ένα ολοκλήρωμα. Αυτή η λειτουργίαονομάζεται πρωτόγονος. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, κατασκευάζονται τα βασικά ολοκληρώματα.
Προσδιορίστε με τη μορφή του ολοκληρώματος σε ποιο από τα ολοκληρώματα του πίνακα ταιριάζει αυτή η υπόθεση. Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί αυτό αμέσως. Συχνά, η μορφή πίνακα γίνεται αισθητή μόνο μετά από αρκετούς μετασχηματισμούς για να απλοποιηθεί το ολοκλήρωμα.

Μέθοδος μεταβλητής αντικατάστασης

Αν το ολοκλήρωμα είναι τριγωνομετρική συνάρτηση, του οποίου το όρισμα είναι κάποιο πολυώνυμο και, στη συνέχεια, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε το πολυώνυμο στο όρισμα του ολοκληρώματος με κάποια νέα μεταβλητή. Με βάση την αναλογία μεταξύ της νέας και της παλιάς μεταβλητής, καθορίστε τα νέα όρια ολοκλήρωσης. Διαφοροποιώντας αυτήν την έκφραση, βρείτε μια νέα διαφορά στο . Έτσι θα λάβετε το νέο είδοςτο πρώτο ολοκλήρωμα, κοντινό ή και αντίστοιχο σε οποιοδήποτε πίνακα.

Λύση ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

Εάν το ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, της διανυσματικής μορφής του ολοκληρώματος, τότε θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για τη μετάβαση από αυτά τα ολοκληρώματα σε βαθμωτές. Ένας τέτοιος κανόνας είναι ο λόγος Ostrogradsky-Gauss. Αυτός ο νόμοςσας επιτρέπει να πάτε από τη ροή του ρότορα σε κάποια διανυσματική συνάρτησηστο τριπλό ολοκλήρωμα πάνω από την απόκλιση του δεδομένου διανυσματικού πεδίου.

Αντικατάσταση ορίων ολοκλήρωσης

Μετά την εύρεση του αντιπαραγώγου, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα όρια ολοκλήρωσης. Συνδέστε πρώτα την τιμή ανώτατο όριοστην έκφραση για το αντιπαράγωγο. Θα λάβετε κάποιο αριθμό. Στη συνέχεια, αφαιρέστε από τον αριθμό που προκύπτει έναν άλλο αριθμό, το κατώτερο όριο που προκύπτει από το αντιπαράγωγο. Εάν ένα από τα όρια ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, τότε αντικαθιστώντας το σε αντιπαράγωγη λειτουργίαείναι απαραίτητο να πάτε στο όριο και να βρείτε σε τι τείνει η έκφραση.
Εάν το ολοκλήρωμα είναι δισδιάστατο ή τρισδιάστατο, τότε θα πρέπει να αναπαραστήσετε τα γεωμετρικά όρια ολοκλήρωσης για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. Πράγματι, στην περίπτωση, ας πούμε, ενός τρισδιάστατου ολοκληρώματος, τα όρια ολοκλήρωσης μπορεί να είναι ολόκληρα επίπεδα που περιορίζουν τον όγκο που πρόκειται να ενσωματωθεί.