Πώς να βρείτε τον αριθμό n στην αριθμητική πρόοδο. Αριθμητική πρόοδος

Ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι $u_n=n^2$. Αντικαθιστώντας $n=1$, παίρνουμε:

$$ u_1=1^2=1. $$

Αυτός είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας. Αντικαθιστώντας το $n=2$ σε $u_n=n^2$, παίρνουμε τον δεύτερο όρο της ακολουθίας:

$$ u_2=2^2=4. $$

Αν αντικαταστήσουμε $n=3$, παίρνουμε τον τρίτο όρο της ακολουθίας:

$$ u_3=3^2=9. $$

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε τον τέταρτο, τον πέμπτο, τον έκτο και άλλους όρους της ακολουθίας. Έτσι παίρνουμε τους αντίστοιχους αριθμούς:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldts $$

Αξίζει επίσης να έχετε κατά νου τους όρους της ακολουθίας $u_n=n^3$. Εδώ είναι μερικά από τα πρώτα μέλη του:

\αρχή(εξίσωση)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(εξίσωση)

Επιπλέον, για να σχηματιστεί ο γενικός όρος μιας σειράς, χρησιμοποιείται συχνά η ακολουθία $u_n=n!$, οι πρώτοι όροι της οποίας είναι οι εξής:

\αρχή(εξίσωση)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(εξίσωση)

Ηχογράφηση "n!" (διαβάστε "en factorial") δηλώνει το γινόμενο όλων φυσικούς αριθμούςαπό 1 έως n, δηλ.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Εξ ορισμού, υποτίθεται ότι $0!=1!=1$. Για παράδειγμα, ας βρούμε 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Συχνά χρησιμοποιούνται επίσης αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους. Αν το πρώτο μέλος αριθμητική πρόοδοςισούται με $a_1$ και η διαφορά είναι ίση με $d$, τότε ο κοινός όρος της αριθμητικής προόδου γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(εξίσωση)

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος; εμφάνιση απόκρυψη

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία η διαφορά μεταξύ του επόμενου και του προηγούμενου όρου είναι σταθερή. Αυτή η σταθερή διαφορά ονομάζεται διαφορά προόδου

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldts $$

Λάβετε υπόψη ότι ανεξάρτητα από το ζεύγος γειτονικών στοιχείων που λαμβάνουμε, η διαφορά μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων μελών θα είναι πάντα σταθερή και ίση με 7:

\αρχή(ευθυγραμμισμένη) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end (στοίχιση)

Αυτός ο αριθμός, δηλ. 7, και υπάρχει διαφορά προόδου. Συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $d$, δηλ. $d=7$. Το πρώτο στοιχείο της προόδου είναι $a_1=3$. Γράφουμε τον γενικό όρο αυτής της προόδου χρησιμοποιώντας τον τύπο. Αντικαθιστώντας τα $a_1=3$ και $d=7$ σε αυτό, θα έχουμε:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Για λόγους σαφήνειας, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $a_n=7n-4$ για να βρούμε τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου:

\αρχή (ευθυγραμμισμένη) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end (ευθυγραμμισμένο)

Αντικαθιστώντας οποιαδήποτε τιμή του αριθμού $n$ στον τύπο $a_n=7n-4$, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε μέλος της αριθμητικής προόδου.

Αξίζει επίσης να σημειωθεί η γεωμετρική πρόοδος. Εάν ο πρώτος όρος της προόδου είναι ίσος με $b_1$ και ο παρονομαστής είναι ίσος με $q$, τότε ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(εξίσωση)

Τι συνέβη γεωμετρική πρόοδος? εμφάνιση απόκρυψη

Η γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία η σχέση μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων όρων είναι σταθερή. Αυτή η σταθερή σχέση ονομάζεται παρονομαστής της προόδου. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη σειρά:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldts $$

Λάβετε υπόψη ότι ανεξάρτητα από το ζεύγος γειτονικών στοιχείων που λαμβάνουμε, ο λόγος του επόμενου προς το προηγούμενο θα είναι πάντα σταθερός και ίσος με 3:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end (ευθυγραμμισμένο)

Αυτός ο αριθμός, δηλ. 3 είναι ο παρονομαστής της προόδου. Συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $q$, δηλ. $q=3$. Το πρώτο στοιχείο της προόδου είναι $b_1=6$. Γράφουμε τον γενικό όρο αυτής της προόδου χρησιμοποιώντας τον τύπο. Αντικαθιστώντας τα $b_1=6$ και $q=3$ σε αυτό, θα έχουμε:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Για λόγους σαφήνειας, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ για να βρούμε τους πρώτους όρους της γεωμετρικής προόδου:

\αρχή (ευθυγραμμισμένη) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end (ευθυγραμμισμένο)

Αντικαθιστώντας οποιαδήποτε τιμή του αριθμού $n$ στον τύπο $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, μπορείτε να λάβετε οποιονδήποτε όρο της γεωμετρικής προόδου.

Σε όλα τα παρακάτω παραδείγματα, θα υποδηλώσουμε τα μέλη της σειράς με τα γράμματα $u_1$ (το πρώτο μέλος της σειράς), $u_2$ (το δεύτερο μέλος της σειράς) και ούτω καθεξής. Ο συμβολισμός $u_n$ θα υποδηλώνει τον κοινό όρο της σειράς.

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε τον κοινό όρο της σειράς $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Η ουσία τέτοιων εργασιών είναι να παρατηρήσετε το μοτίβο που είναι εγγενές στα πρώτα μέλη της σειράς. Και με βάση αυτό το μοτίβο, βγάλτε ένα συμπέρασμα για τον τύπο του κοινού μέλους. Τι σημαίνει η φράση «βρες τον κοινό όρο»; Σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρούμε μια τέτοια έκφραση, αντικαθιστώντας την $n=1$ στην οποία παίρνουμε τον πρώτο όρο της σειράς, δηλ. $\frac(1)(7)$; Αντικαθιστώντας $n=2$ παίρνουμε τον δεύτερο όρο της σειράς, δηλ. $\frac(2)(9)$; Αντικαθιστώντας $n=3$ παίρνουμε τον τρίτο όρο της σειράς, δηλ. $\frac(3)(11)$ και ούτω καθεξής. Γνωρίζουμε τους τέσσερις πρώτους όρους της σειράς:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Ας προχωρήσουμε σταδιακά. Όλα τα μέλη της σειράς που γνωρίζουμε είναι κλάσματα, επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το κοινό μέλος της σειράς αντιπροσωπεύεται επίσης από ένα κλάσμα:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Το καθήκον μας είναι να μάθουμε τι κρύβεται κάτω από τα ερωτηματικά στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ας δούμε πρώτα τον αριθμητή. Οι αριθμητές των μελών της σειράς που μας γνωρίζουμε είναι οι αριθμοί 1, 2, 3 και 4. Προσέξτε ότι ο αριθμός κάθε μέλους της σειράς είναι ίσος με τον αριθμητή. Ο πρώτος όρος έχει αριθμητή ένα, ο δεύτερος έχει δύο, ο τρίτος έχει ένα τρία και ο τέταρτος έχει ένα τέσσερα.

Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι ο ντος όρος θα έχει $n$ στον αριθμητή του:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Παρεμπιπτόντως, μπορούμε να καταλήξουμε σε αυτό το συμπέρασμα με άλλο τρόπο, πιο επίσημα. Ποια είναι η ακολουθία 1, 2, 3, 4; Σημειώστε ότι κάθε επόμενο μέλος αυτής της ακολουθίας είναι 1 μεγαλύτερο από το προηγούμενο. Έχουμε να κάνουμε με τέσσερις όρους μιας αριθμητικής προόδου, ο πρώτος όρος των οποίων είναι $a_1=1$ και η διαφορά είναι $d=1$. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, λαμβάνουμε την έκφραση για τον γενικό όρο της προόδου:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Άρα, η εικασία ή ο τυπικός υπολογισμός είναι θέμα γούστου. Το κυριότερο είναι ότι σημειώσαμε τον αριθμητή του κοινού όρου της σειράς. Ας περάσουμε στον παρονομαστή.

Στους παρονομαστές έχουμε την ακολουθία 7, 9, 11, 13. Πρόκειται για τέσσερις όρους μιας αριθμητικής προόδου, ο πρώτος όρος των οποίων ισούται με $b_1=7$, και η διαφορά είναι $d=2$. Βρίσκουμε τον γενικό όρο της προόδου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Η προκύπτουσα έκφραση, δηλ. $2n+5$, και θα είναι ο παρονομαστής του κοινού όρου της σειράς. Ετσι:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Λαμβάνεται ο γενικός όρος της σειράς. Ας ελέγξουμε αν ο τύπος που βρήκαμε $u_n=\frac(n)(2n+5)$ είναι κατάλληλος για τον υπολογισμό των ήδη γνωστών όρων της σειράς. Ας βρούμε τους όρους $u_1$, $u_2$, $u_3$ και $u_4$ χρησιμοποιώντας τον τύπο $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Τα αποτελέσματα, φυσικά, πρέπει να συμπίπτουν με τους τέσσερις πρώτους όρους της σειράς που μας δίνονται κατά συνθήκη.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Σωστά, τα αποτελέσματα είναι ίδια. Η σειρά που καθορίζεται στη συνθήκη μπορεί τώρα να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Ο γενικός όρος της σειράς έχει τη μορφή $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lds $$

Μια τέτοια σειρά δεν έχει δικαίωμα ύπαρξης; Έχει ακόμα. Και για αυτή τη σειρά μπορούμε να το γράψουμε

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Μπορείτε να γράψετε άλλη συνέχεια. Για παράδειγμα, αυτό:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Και μια τέτοια συνέχεια δεν έρχεται σε αντίθεση με τίποτα. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να το γράψουμε

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Εάν οι δύο πρώτες επιλογές σας φάνηκαν πολύ επίσημες, τότε θα προτείνω μια τρίτη. Ας γράψουμε τον κοινό όρο ως εξής:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Ας υπολογίσουμε τους τέσσερις πρώτους όρους της σειράς χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο τύπο γενικού όρου:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end (ευθυγραμμισμένο)

Όπως μπορείτε να δείτε, ο προτεινόμενος τύπος για τον γενικό όρο είναι αρκετά σωστός. Και μπορείτε να βρείτε έναν άπειρο αριθμό τέτοιων παραλλαγών, ο αριθμός τους είναι απεριόριστος. ΣΕ τυπικά παραδείγματα, φυσικά, χρησιμοποιείται ένα τυπικό σύνολο ορισμένων γνωστών ακολουθιών (προόδους, μοίρες, παραγοντικοί παράγοντες, κ.λπ.). Ωστόσο, σε τέτοιες εργασίες υπάρχει πάντα αβεβαιότητα και καλό είναι να το θυμάστε αυτό.

Σε όλα τα επόμενα παραδείγματα αυτή η ασάφεια δεν θα διευκρινιστεί. Θα αποφασίσουμε χρησιμοποιώντας τυπικές μεθόδους, τα οποία γίνονται δεκτά στα περισσότερα προβληματικά βιβλία.

Απάντηση: κοινός όρος της σειράς: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Παράδειγμα Νο. 2

Γράψτε τον κοινό όρο της σειράς $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Γνωρίζουμε τους πρώτους πέντε όρους της σειράς:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Όλοι οι όροι της σειράς που είναι γνωστοί σε εμάς είναι κλάσματα, πράγμα που σημαίνει ότι θα αναζητήσουμε τον κοινό όρο της σειράς με τη μορφή κλάσματος:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Ας προσέξουμε αμέσως τον αριθμητή. Όλοι οι αριθμητές περιέχουν μονάδες, επομένως ο αριθμητής του κοινού όρου της σειράς θα περιέχει επίσης μία, δηλ.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Τώρα ας δούμε τον παρονομαστή. Οι παρονομαστές των πρώτων όρων της σειράς που είναι γνωστοί μας περιέχουν τα γινόμενα των αριθμών: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Οι πρώτοι από αυτούς τους αριθμούς είναι: 1, 3, 5, 7, 9. Αυτή η ακολουθία έχει τον πρώτο όρο $a_1=1$, και κάθε επόμενος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον αριθμό $d=2$. Με άλλα λόγια, αυτοί είναι οι πρώτοι πέντε όροι μιας αριθμητικής προόδου, ο γενικός όρος της οποίας μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

Στα προϊόντα $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ οι δεύτεροι αριθμοί είναι: 5, 8, 11, 14, 17. Αυτοί είναι οι στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας είναι $b_1=5$ και ο παρονομαστής είναι $d=3$. Γράφουμε τον γενικό όρο αυτής της προόδου χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Ας συγκεντρώσουμε τα αποτελέσματα. Το γινόμενο στον παρονομαστή του κοινού όρου της σειράς είναι: $(2n-1)(3n+2)$. Και ο γενικός όρος της ίδιας της σειράς έχει την εξής μορφή:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Για να ελέγξουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε, χρησιμοποιούμε τον τύπο $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ για να βρούμε τους τέσσερις πρώτους όρους της σειράς που γνωρίζουμε:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end (ευθυγραμμισμένο)

Έτσι, ο τύπος $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ σάς επιτρέπει να υπολογίσετε με ακρίβεια τους όρους της σειράς, γνωστούς από τη συνθήκη. Εάν θέλετε, η δεδομένη σειρά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\lddots $$

Απάντηση: κοινός όρος της σειράς: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Θα συνεχίσουμε αυτό το θέμα στο δεύτερο και τρίτο μέρος.

Πολλοί άνθρωποι έχουν ακούσει για την αριθμητική πρόοδο, αλλά δεν έχουν όλοι μια καλή ιδέα για το τι είναι. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε τον αντίστοιχο ορισμό και θα εξετάσουμε επίσης το ερώτημα πώς να βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και θα δώσουμε ορισμένα παραδείγματα.

Μαθηματικός ορισμός

Οπότε αν μιλάμε γιασχετικά με την αριθμητική ή αλγεβρική πρόοδο (αυτές οι έννοιες ορίζουν το ίδιο πράγμα), τότε αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάποια σειρά αριθμών, ικανοποιώντας τον ακόλουθο νόμο: κάθε δύο διπλανοί αριθμοί σε μια σειρά διαφέρουν κατά την ίδια τιμή. Μαθηματικά γράφεται ως εξής:

Εδώ n σημαίνει τον αριθμό του στοιχείου a n στην ακολουθία και ο αριθμός d είναι η διαφορά της προόδου (το όνομά του προκύπτει από τον τύπο που παρουσιάζεται).

Τι σημαίνει να γνωρίζεις τη διαφορά d; Σχετικά με το πόσο «μακριά» είναι οι γειτονικοί αριθμοί μεταξύ τους. Ωστόσο, η γνώση του δ είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής κατάστασηγια τον προσδιορισμό (επαναφορά) ολόκληρης της εξέλιξης. Είναι απαραίτητο να γνωρίζετε έναν ακόμη αριθμό, ο οποίος μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε στοιχείο της υπό εξέταση σειράς, για παράδειγμα, ένα 4, a10, αλλά, κατά κανόνα, χρησιμοποιούν τον πρώτο αριθμό, δηλαδή ένα 1.

Τύποι για τον προσδιορισμό των στοιχείων προόδου

Γενικά, οι παραπάνω πληροφορίες είναι ήδη αρκετές για να προχωρήσουμε στην επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Ωστόσο, πριν δοθεί η αριθμητική πρόοδος και θα χρειαστεί να βρεθεί η διαφορά της, θα παρουσιάσουμε μερικούς χρήσιμους τύπους, διευκολύνοντας έτσι την επακόλουθη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι οποιοδήποτε στοιχείο της ακολουθίας με αριθμό n μπορεί να βρεθεί ως εξής:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Πράγματι, ο καθένας μπορεί να ελέγξει αυτόν τον τύπο με απλή αναζήτηση: αν αντικαταστήσετε το n = 1, θα λάβετε το πρώτο στοιχείο, εάν αντικαταστήσετε το n = 2, τότε η παράσταση δίνει το άθροισμα του πρώτου αριθμού και της διαφοράς, και ούτω καθεξής.

Οι συνθήκες πολλών προβλημάτων συντίθενται με τέτοιο τρόπο ώστε, δεδομένου ενός γνωστού ζεύγους αριθμών, οι αριθμοί των οποίων δίνονται επίσης στην ακολουθία, είναι απαραίτητο να ανακατασκευαστεί ολόκληρη η σειρά αριθμών (να βρείτε τη διαφορά και το πρώτο στοιχείο). Τώρα θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα γενική εικόνα.

Έστω λοιπόν δύο στοιχεία με αριθμούς n και m. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Για να βρούμε άγνωστα μεγέθη, χρησιμοποιούμε τα γνωστά απλό κόλπολύσεις σε ένα τέτοιο σύστημα: αφαιρέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά σε ζευγάρια, η ισότητα θα παραμείνει έγκυρη. Εχουμε:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Έτσι, έχουμε αποκλείσει έναν άγνωστο (α 1). Τώρα μπορούμε να γράψουμε την τελική έκφραση για τον προσδιορισμό του d:

d = (a n - a m) / (n - m), όπου n > m

Πήραμε πολύ απλή φόρμουλα: για να υπολογίσετε τη διαφορά d σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, χρειάζεται μόνο να λάβετε την αναλογία των διαφορών μεταξύ των ίδιων των στοιχείων και τους σειριακοί αριθμοί. Πρέπει να δώσετε προσοχή σε ένα σημαντικό σημείοπροσοχή: οι διαφορές λαμβάνονται μεταξύ των «ανώτερων» και των «νεώτερων» μελών, δηλαδή, n > m («ανώτερος» σημαίνει ότι στέκεστε πιο μακριά από την αρχή της ακολουθίας, απόλυτη τιμήμπορεί να είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από το στοιχείο «junior»).

Η έκφραση για τη διαφορά d προόδου θα πρέπει να αντικατασταθεί σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις στην αρχή της επίλυσης του προβλήματος για να ληφθεί η τιμή του πρώτου όρου.

Στην εποχή της ανάπτυξής μας τεχνολογία υπολογιστώνΠολλοί μαθητές προσπαθούν να βρουν λύσεις για τις εργασίες τους στο Διαδίκτυο, επομένως συχνά προκύπτουν ερωτήματα αυτού του τύπου: βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στο Διαδίκτυο. Για ένα τέτοιο αίτημα, η μηχανή αναζήτησης θα επιστρέψει έναν αριθμό ιστοσελίδων, μεταβαίνοντας στις οποίες θα χρειαστεί να εισαγάγετε τα δεδομένα που είναι γνωστά από τη συνθήκη (αυτό μπορεί να είναι είτε δύο όροι της εξέλιξης είτε το άθροισμα ενός συγκεκριμένου αριθμού ) και λάβετε αμέσως μια απάντηση. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος είναι αντιπαραγωγική όσον αφορά την ανάπτυξη του μαθητή και την κατανόηση της ουσίας της εργασίας που του έχει ανατεθεί.

Λύση χωρίς χρήση τύπων

Ας λύσουμε το πρώτο πρόβλημα χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κανέναν από τους συγκεκριμένους τύπους. Έστω να δίνονται τα στοιχεία της σειράς: a6 = 3, a9 = 18. Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου.

Τα γνωστά στοιχεία στέκονται κοντά το ένα στο άλλο σε μια σειρά. Πόσες φορές πρέπει να προστεθεί η διαφορά d στη μικρότερη για να ληφθεί η μεγαλύτερη; Τρεις φορές (την πρώτη φορά προσθέτοντας d, παίρνουμε το 7ο στοιχείο, τη δεύτερη φορά - την όγδοη, τέλος, την τρίτη φορά - την ένατη). Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί σε τρεις τρεις φορές για να πάρει το 18; Αυτός είναι ο αριθμός πέντε. Πραγματικά:

Έτσι, η άγνωστη διαφορά d = 5.

Φυσικά, η λύση θα μπορούσε να είχε πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την κατάλληλη φόρμουλα, αλλά αυτό δεν έγινε σκόπιμα. Λεπτομερής εξήγησηη λύση του προβλήματος θα πρέπει να γίνει σαφής και φωτεινό παράδειγμαΤι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Μια εργασία παρόμοια με την προηγούμενη

Τώρα ας λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα, αλλά αλλάξτε τα δεδομένα εισόδου. Έτσι, θα πρέπει να βρείτε εάν a3 = 2, a9 = 19.

Φυσικά, μπορείτε και πάλι να καταφύγετε στη μέθοδο λύσης "με τα μούτρα". Επειδή όμως δίνονται τα στοιχεία της σειράς, τα οποία είναι σχετικά μακριά το ένα από το άλλο, αυτή η μέθοδος δεν θα είναι απολύτως βολική. Αλλά χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα τύπο θα μας οδηγήσει γρήγορα στην απάντηση:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Εδώ έχουμε στρογγυλοποιήσει τελικός αριθμός. Ο βαθμός στον οποίο αυτή η στρογγυλοποίηση οδήγησε σε σφάλμα μπορεί να κριθεί ελέγχοντας το αποτέλεσμα:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Αυτό το αποτέλεσμα διαφέρει μόνο κατά 0,1% από την τιμή που δίνεται στη συνθήκη. Επομένως, η στρογγυλοποίηση που χρησιμοποιείται στα πλησιέστερα εκατοστά μπορεί να θεωρηθεί επιτυχημένη επιλογή.

Προβλήματα που αφορούν την εφαρμογή του τύπου για τον όρο an

Ας σκεφτούμε κλασικό παράδειγμαεργασίες για τον προσδιορισμό του αγνώστου d: βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου αν a1 = 12, a5 = 40.

Όταν δίνονται δύο αριθμοί μιας άγνωστης αλγεβρικής ακολουθίας και ένας από αυτούς είναι το στοιχείο a 1, τότε δεν χρειάζεται να σκεφτείτε πολύ, αλλά θα πρέπει να εφαρμόσετε αμέσως τον τύπο για τον όρο a n. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηέχουμε:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Λάβαμε τον ακριβή αριθμό κατά τη διαίρεση, επομένως δεν έχει νόημα να ελέγξουμε την ακρίβεια του υπολογισμένου αποτελέσματος, όπως έγινε στην προηγούμενη παράγραφο.

Ας λύσουμε ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα: πρέπει να βρούμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου αν a1 = 16, a8 = 37.

Χρησιμοποιούμε μια προσέγγιση παρόμοια με την προηγούμενη και παίρνουμε:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για την αριθμητική πρόοδο;

Εκτός από τα προβλήματα εύρεσης μιας άγνωστης διαφοράς ή μεμονωμένων στοιχείων, είναι συχνά απαραίτητο να λυθούν προβλήματα του αθροίσματος των πρώτων όρων μιας ακολουθίας. Η εξέταση αυτών των εργασιών είναι εκτός του πεδίου εφαρμογής του άρθρου, ωστόσο, για την πληρότητα των πληροφοριών που παρουσιάζουμε γενικός τύποςγια το άθροισμα n αριθμών σε μια σειρά:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Στόχοι:

1. Εισάγετε την έννοια της αριθμητικής προόδου.
2. Εξετάστε τους κύριους τύπους προβλημάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.
3. Χρησιμοποιήστε στοιχεία αναπτυξιακής μάθησης στο μάθημα.
4. Αναπτύσσω αναλυτική σκέψηΦοιτητές.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Δάσκαλος.Στο προηγούμενο μάθημα εισαγάγαμε την έννοια του άπειρου σειρά αριθμών, ως συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και ανακάλυψε ότι οι ακολουθίες μπορεί να είναι άπειρες και πεπερασμένες, αυξανόμενες και φθίνουσες, και επίσης έμαθε για τρόπους ορισμού τους. Καταγράψτε τα.

Φοιτητές.

1. Αναλυτική (με χρήση τύπου).
2. Λεκτική (καθορισμός σειράς με περιγραφή).
3. Επαναληπτικό (όταν οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποια, εκφράζεται μέσω προηγούμενων μελών).

Ασκηση 1.Αναφέρετε, αν είναι δυνατόν, τον 7ο όρο κάθε ακολουθίας.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Δάσκαλος. Γιατί είναι αδύνατο να απαντηθεί η ερώτηση για τις ακολουθίες b n και y n;

Φοιτητές. Δεν υπάρχει συγκεκριμένο μοτίβο σε αυτές τις ακολουθίες, αν και το (b n) αποτελείται από τετράγωνα φυσικών αριθμών, αλλά λαμβάνονται με αυθαίρετη σειρά και το (y n) είναι μια αυθαίρετη σειρά αριθμών, επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να βρίσκεται στην έβδομη θέση.

Δάσκαλος.Για ακολουθίες (a n); (cn); (x n) όλοι μπορέσατε να βρείτε σωστά τον 7ο όρο.

Εργασία 2.Ελάτε με το δικό σας παρόμοιο παράδειγμαμια τέτοια σειρά. Αναφέρετε τα πρώτα 4 μέλη του. Ανταλλάξτε σημειωματάρια με τον γείτονα του γραφείου σας και καθορίστε τον 5ο όρο αυτής της ακολουθίας.

Δάσκαλος.Τι κοινή περιουσίαέχουν παρόμοιες ακολουθίες;

Μαθητης σχολειου. Κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό.

Δάσκαλος.Οι ακολουθίες αυτού του τύπου ονομάζονται αριθμητικές προόδους. Θα αποτελέσουν το αντικείμενο της μελέτης μας σήμερα. Διατυπώστε το θέμα του μαθήματος.

(Ο μαθητής μπορεί εύκολα να διατυπώσει το πρώτο μέρος του θέματος. Ο δάσκαλος μπορεί να διατυπώσει μόνος του το δεύτερο μέρος)

Δάσκαλος. Διατυπώστε τους στόχους του μαθήματος με βάση αυτό το θέμα.

(Είναι σημαντικό οι μαθητές να διατυπώνουν όσο το δυνατόν πληρέστερα και ακριβέστερα μαθησιακούς στόχους, τότε τα αποδέχονται και προσπαθούν να τα επιτύχουν)

Φοιτητές.

1. Ορίστε την αριθμητική πρόοδο.
2. Να εξάγετε τον τύπο για τον ν ο όρο μιας αριθμητικής προόδου.
3. Μάθετε να λύνετε προβλήματα σε ένα θέμα (εξετάστε Διάφοροι τύποικαθήκοντα).

Στη συνέχεια, είναι χρήσιμο να προβάλετε τους στόχους του δασκάλου για τους μαθητές στην οθόνη για να διασφαλίσετε ότι έχουν κοινούς στόχους.

Δάσκαλος.Λίγη ιστορία. Ο όρος «πρόοδος» προέρχεται από το λατινικό progression, που σημαίνει «προχωρώ», και εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα μ.Χ. και έλαβε περαιτέρω ανάπτυξηστα έργα των Fibonacci, Chuquet, Gauss και άλλων επιστημόνων.

Ορισμός.Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου και συμβολίζεται d.

(a n): a 1 ; Α2 ; α 3 ; ...α ν ...αριθμητική πρόοδος.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Εργασία 3.Έστω a 1 = 7; d = 0.

Ονομάστε τους επόμενους 3 όρους της ακολουθίας.

Φοιτητές. 7; 7; 7

Δάσκαλος. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται σταθερές ή ακίνητες.

Έστω 1 = -12; d = 3. Ονομάστε 3 μέλη αυτής της ακολουθίας.

Μαθητης σχολειου. -9; -6; -3

Δάσκαλος. Θα έχω δίκιο αν ονομάσω τους αριθμούς: -15; -18; -21;

Κατά κανόνα, οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι αυτό είναι σωστό. Στη συνέχεια θα πρέπει να τους ζητήσετε να προσδιορίσουν τον αριθμό κάθε μέλους. Εφόσον ο αριθμός ενός μέλους της ακολουθίας πρέπει να εκφράζεται ως φυσικός αριθμός, οι ονομασμένοι αριθμοί δεν μπορούν να υπάρχουν σε αυτήν την ακολουθία.

Εργασία 4.Στην αριθμητική πρόοδο a 1 ; Α2 ; 6; 4; a 5 βρείτε ένα 1 ; Α2 ; α 5.

Η εργασία εκτελείται σε ζευγάρια, ένας μαθητής, εάν το επιθυμεί, την ολοκληρώνει αντιθετη πλευρασανίδες.

Λύση:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

Καθορίστε για αυτήν την ακολουθία ένα 8 και ένα 126

Φοιτητές. μπορούν να καθοριστούν 8 = -4 και 126, αλλά χρειάζεται πολύς χρόνος για να μετρηθούν.

Δάσκαλος.Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε έναν τρόπο που θα μας επιτρέψει να βρούμε γρήγορα οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας. Προσπαθήστε να εξαγάγετε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Μπορείτε να καλέσετε έναν δυνατό μαθητή στον πίνακα και, μέσα από ξεκάθαρες ερωτήσεις και τη βοήθεια της τάξης, να βγάλετε τον τύπο.

Παραγωγή του τύπου:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
και τα λοιπά.

ΕΝΑ n = a 1 + (n – 1) ρε- φόρμουλανος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Δάσκαλος. Λοιπόν, τι πρέπει να γνωρίζετε για να προσδιορίσετε οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου;

Φοιτητές. α 1 και δ

Δάσκαλος.Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, βρείτε το 126.

Φοιτητές. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Εργασία 5. Έστω (b n): μια αριθμητική πρόοδος στην οποία b 1 είναι ο πρώτος όρος και d η διαφορά. Εύρεση σφαλμάτων:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Εργασία 6.Ας εξετάσουμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Ας μάθουμε ποιοι τύποι προβλημάτων μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο. Διατυπώστε ένα άμεσο πρόβλημα.

Φοιτητές.Με δεδομένες αξίες a 1 και δ βρείτε ένα n.

Δάσκαλος.Οι οποίες αντίστροφα προβλήματαμπορώ να το βάλω;

Φοιτητές.

1. Δίνεται ένα 1 και ένα n. Βρείτε δ.
2. Δίνονται d και a n. Βρείτε ένα 1.
3. Δίνονται 1, d και n. Εύρεση n.

Εργασία 7. Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στην οποία y 1 = 10; y 5 = 22

Λύση στο ταμπλό:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4δ
4d = 12
d=3

Εργασία 8. Η αριθμητική πρόοδος περιέχει 2; 9; ... αριθμός 156;

Ανάλυση: με συλλογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι επειδή κάθε αριθμός στην ακολουθία έχει τον δικό του αριθμό, που εκφράζεται ως φυσικός αριθμός, τότε πρέπει να βρείτε τον αριθμό του μέλους της ακολουθίας και να μάθετε αν ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αν ανήκει, τότε η ακολουθία περιέχει δεδομένου αριθμού, διαφορετικά - όχι.

Λύση στο σανίδι:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Απάντηση: a 23 = 156

Εργασία 9.Να βρείτε τους τρεις πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου στην οποία

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

Αναλύουμε την εργασία, δημιουργούμε ένα σύστημα εξισώσεων που προτείνουμε να λύσουμε στο σπίτι.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

Ανακεφαλαίωση σύνολο μάθημα.

Τι καινούργιο μάθατε σήμερα στην τάξη; Τι έχεις μαθει?

Εργασία για το σπίτι. Διαβάστε την ύλη της παραγράφου 25 του σχολικού βιβλίου. Μάθετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου και τον τύπο για τον nο όρο. Να είναι σε θέση να εκφράσει από έναν τύπο όλες τις ποσότητες που περιλαμβάνονται σε αυτόν. Λύστε το σύστημα για την εργασία 9. Ακολουθήστε το σχολικό βιβλίο Νο. 575 (α, β). 576; 578(a); 579(α).

Πρόσθετη Εργασία Αξιολόγησης: έστω ένα 1 ; Α2 ; α 3 ; ...α ν ...αριθμητική πρόοδος. Να αποδείξετε ότι a n+1 = (a n + a n+2) : 2

Τι το βασικό σημείοΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι?

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε και τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Το να απομνημονεύσετε (ή να ξαπλώσετε) αυτή τη φόρμουλα δεν αρκεί. Πρέπει να κατανοήσετε την ουσία του και να εφαρμόσετε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Και μην ξεχνάτε κατάλληλη στιγμή, αλλά πως μην ξεχάσεις- Δεν γνωρίζω. Και εδώ πώς να θυμάστεΕάν χρειαστεί, θα σας συμβουλεύσω οπωσδήποτε. Για όσους ολοκληρώσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Λοιπόν, ας δούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι μια φόρμουλα γενικά; Παρεμπιπτόντως, ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι είναι η θητεία.

Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος, α 4- το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστή - s ένα 120.

Πώς μπορούμε να το ορίσουμε με γενικούς όρους; όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου, με όποιοςαριθμός? Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι νος όρος μιας αριθμητικής προόδου.Το γράμμα n κρύβει όλους τους αριθμούς μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκεφτείτε, αντί για έναν αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητική πρόοδο. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και λύστε ένα σωρό άλλα προβλήματα προόδου. Θα δείτε μόνοι σας περαιτέρω.

Στον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου:

a n = a 1 + (n-1)d

Α'1- ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεΚαι n. Όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτές τις παραμέτρους.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, το πρόβλημα μπορεί να λέει ότι η πρόοδος καθορίζεται από τη συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να είναι αδιέξοδο... Δεν υπάρχει ούτε σειρά ούτε διαφορά... Όμως, συγκρίνοντας την κατάσταση με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι σε αυτή την εξέλιξη a 1 =5 και d=2.

Και μπορεί να είναι ακόμα χειρότερο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,Ναι, να ανοίξω την παρένθεση και να φέρεις παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

a n = 3 + 2n.

Αυτό Απλά όχι γενικά, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ κρύβεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα ο πρώτος όρος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με έναν τέτοιο τροποποιημένο τύπο.

Στα προβλήματα προόδου υπάρχει μια άλλη σημείωση - ένα ν+1. Αυτός είναι, όπως μαντέψατε, ο όρος "n συν πρώτος" της προόδου. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό n κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε a nπέμπτη θητεία τότε ένα ν+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα ν+1που βρέθηκαν σε τύπους υποτροπής. Μην φοβάστε αυτήν την τρομακτική λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός μέλους μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αμέσως, ας πούμε, τον εικοστό όρο; ένα 20? Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση!) Μέχρι να μάθουμε τον 19ο όρο, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τον 20ο. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επαναλαμβανόμενου τύπου και του τύπου του nου όρου. Τα επαναλαμβανόμενα έργα μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου είναι μέσω πρώτακαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίσετε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε αριθμητική πρόοδο τύπος υποτροπήςεύκολο να μετατραπεί σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη του μορφή και δουλέψτε μαζί του. Τέτοια καθήκοντα συναντώνται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.

Εφαρμογή του τύπου για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Προσθέστε και προσθέστε... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Ας αποφασίσουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 =3, d=1/6.Μένει να καταλάβουμε τι είναι ίσο n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Γράφουμε λοιπόν:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε συγκεκριμένο αριθμό: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει ο όρος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει τον πεντακόσιο δέκατο όρο, και τον χίλια τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε παρένθεση, και μετράμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω το σημείο: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα με πιο πονηρό τρόπο. Ας συναντήσουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n), εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε κάποιες δυσκολίες, θα σας πω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με τα χέρια σου, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

a n = a 1 + (n-1)d

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος... Είναι αυτό; Αν νομίζετε ότι είναι αυτό, τότε δεν θα λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε ακόμα έναν αριθμό n! Σε κατάσταση a 17 =-2κρυμμένος δύο παραμέτρους.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου όρου (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό», όχι το κεφάλι!) το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Αυτό είναι βασικά όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να τον υπολογίσουμε. Η απάντηση θα είναι: α 1 = 6.

Αυτή η τεχνική - η καταγραφή ενός τύπου και η απλή αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ απλές εργασίες. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά μπορεί να μην μελετηθούν καθόλου...

Ένα άλλο δημοφιλές παζλ:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε? Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τον τύπο!)

a n = a 1 + (n-1)d

Ας εξετάσουμε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (θα τονίσω ιδιαίτερα!) n=15. Μη διστάσετε να το αντικαταστήσετε στον τύπο:

12=2 + (15-1)δ

Κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Έτσι, τα καθήκοντα για α ν, α 1Και ρεαποφασισμένος. Το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές μας ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a n- αυτό είναι κάποιο μέλος της εξέλιξης με έναν αριθμό n...Και γνωρίζουμε αυτό το μέλος του progression! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,Αυτός ο αριθμός λοιπόν είναι αυτό που πρέπει να βρείτε. Αντικαθιστούμε τον όρο της προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί μας δίνονται μάτια;) Βλέπουμε τον πρώτο όρο της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 = -3,6.Διαφορά ρεΜπορείτε να καταλάβετε από τη σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Έτσι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με τον άγνωστο αριθμό nκαι ο ακατάληπτος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν... Τι να κάνουμε!; Λοιπόν, τι να κάνουμε, τι να κάνουμε... Άναψε Δημιουργικές δεξιότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι, ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου ανάμεσα στους εκατό πρώτους και εκατό δεύτερους όρους. Αν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. είναι θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: Οχι.

Βάσει εργασιών πραγματική επιλογή GIA:

Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη διαμορφώνεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιος τύπος... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Δεν πειράζει, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, αντικαθιστούμε n=1 V αυτή τη φόρμουλα:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Αναζητούμε τον δέκατο όρο με τον ίδιο τρόπο:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Αυτό είναι.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης, Κρατική Εξέταση ή Ενιαία Κρατική Εξέταση, ξεχάσατε χρήσιμη φόρμουλανος όρος μιας αριθμητικής προόδου. Θυμάμαι κάτι, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο... Ή nεκεί, ή n+1, ή ν-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Όχι πολύ αυστηρά, αλλά για αυτοπεποίθηση και η σωστή απόφασησίγουρα αρκετά!) Για να βγάλουμε ένα συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθούμε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και να έχουμε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σημειώστε την πρώτη πάνω της. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώνουμε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: τι σημαίνει ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες? Δεν είναι για τίποτα που επισημαίνω κάποιες λέξεις με έντονους. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα).

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, Πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Δηλαδή στον αριθμό n, αριθμός διαστημάτωνθα n-1.Επομένως, ο τύπος θα είναι (χωρίς παραλλαγές!):

a n = a 1 + (n-1)d

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών στη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείτε να εισάγετε μια εικόνα στην εξίσωση...

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Βρείτε ένα 3.

Υπόδειξη: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε 20 δευτερόλεπτα... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για την κυριαρχία του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τόσο την εικόνα όσο και τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, δεν θέλετε να ζωγραφίσετε;) Φυσικά! Καλύτερα σύμφωνα με τον τύπο, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτήν την εργασία, η πρόοδος καθορίζεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν είναι όλοι ικανοί για ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα του nου όρου είναι στη δύναμη του καθενός!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον μικρότερο αριθμό θετικός όροςπροχώρηση.

5. Σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας 4, να βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών όρων της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι ίσο με μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι...) Η μέθοδος "δάχτυλο" δεν θα λειτουργήσει εδώ. Θα πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην τελευταία εργασία. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για το τέταρτο, και μια λεπτή στιγμή για το έκτο, και γενικές προσεγγίσειςγια να λύσετε τυχόν προβλήματα που αφορούν τον τύπο του nου όρου - όλα είναι γραμμένα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.