Πώς να μετατρέψετε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. Δεκαδικά

Προσπαθώντας να αποφασίσω μαθηματικά προβλήματαμε τα κλάσματα, ο μαθητής καταλαβαίνει ότι η επιθυμία να λύσει αυτά τα προβλήματα δεν του αρκεί. Απαιτείται επίσης γνώση υπολογισμών με κλασματικούς αριθμούς. Σε ορισμένα προβλήματα, όλα τα αρχικά δεδομένα δίνονται στη συνθήκη σε κλασματική μορφή. Σε άλλα, μερικά από αυτά μπορεί να είναι κλάσματα και μερικά μπορεί να είναι ακέραιοι αριθμοί. Να κάνω κάποιους υπολογισμούς με αυτά δεδομένες αξίες, πρέπει πρώτα να τα φέρουμε μεμονωμένο είδος, δηλαδή, μεταφράστε ακέραιους αριθμούς σε κλασματικούς και μετά κάντε τους υπολογισμούς. Γενικά, ο τρόπος μετατροπής ενός ακέραιου σε κλάσμα είναι πολύ απλός. Για να το κάνετε αυτό, γράψτε τον ίδιο τον αριθμό στον αριθμητή του τελικού κλάσματος και έναν στον παρονομαστή του. Δηλαδή, εάν πρέπει να μετατρέψετε τον αριθμό 12 σε κλάσμα, τότε το κλάσμα που θα προκύψει θα είναι 12/1.

Τέτοιες τροποποιήσεις βοηθούν στη μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή. Αυτό είναι απαραίτητο για να μπορείτε να αφαιρέσετε ή να προσθέσετε κλασματικούς αριθμούς. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τους, δεν απαιτείται κοινός παρονομαστής. Μπορείτε να εξετάσετε ένα παράδειγμα για το πώς να μετατρέψετε έναν αριθμό σε κλάσμα και στη συνέχεια να προσθέσετε δύο κλασματικούς αριθμούς. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό 12 και τον κλασματικό αριθμό 3/4. Ο πρώτος όρος (ο αριθμός 12) μειώνεται στη μορφή 12/1. Ωστόσο, ο παρονομαστής του είναι 1, ενώ ο δεύτερος όρος είναι 4. Για τη μετέπειτα πρόσθεση αυτών των δύο κλασμάτων, πρέπει να μειωθούν σε κοινό παρονομαστή. Λόγω του γεγονότος ότι ένας από τους αριθμούς έχει παρονομαστή ίσο με 1, αυτό είναι γενικά εύκολο να γίνει. Είναι απαραίτητο να πάρουμε τον παρονομαστή του δεύτερου αριθμού και να πολλαπλασιάσουμε με αυτόν τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή του πρώτου.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα είναι: 12/1=48/4. Αν το 48 διαιρεθεί με το 4, τότε προκύπτει το 12, που σημαίνει ότι το κλάσμα ανάγεται στον σωστό παρονομαστή. Έτσι, ταυτόχρονα, μπορείτε να καταλάβετε πώς να μεταφράσετε ένα κλάσμα σε έναν ακέραιο. Αυτό ισχύει μόνο για ακατάλληλα κλάσματα, επειδή έχουν μεγαλύτερο αριθμητή από παρονομαστή. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή και, αν δεν υπάρχει υπόλοιπο, θα υπάρχει ένας ακέραιος. Με το υπόλοιπο, το κλάσμα παραμένει κλάσμα, αλλά με τονισμένο ολόκληρο μέρος. Τώρα όσον αφορά την αναγωγή σε κοινό παρονομαστή στο εξεταζόμενο παράδειγμα. Εάν ο πρώτος όρος είχε παρονομαστή ίσο με κάποιον άλλο αριθμό εκτός του 1, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πρώτου αριθμού θα έπρεπε να πολλαπλασιαστούν με τον παρονομαστή του δεύτερου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεύτερου με τον παρονομαστή του πρώτου.

Και οι δύο όροι ανάγονται στον κοινό τους παρονομαστή και είναι έτοιμοι για προσθήκη. Αποδεικνύεται ότι σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να προσθέσετε δύο αριθμούς: 48/4 και 3/4. Όταν προσθέτετε δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, χρειάζεται μόνο να αθροίσετε τα πάνω μέρη τους, δηλαδή τους αριθμητές. Ο παρονομαστής του αθροίσματος θα παραμείνει αμετάβλητος. Σε αυτό το παράδειγμα, θα πρέπει να είναι 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Αυτό θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης. Αλλά στα μαθηματικά συνηθίζεται να ανάγονται τα ακατάλληλα κλάσματα σε σωστά. Παραπάνω, εξετάστηκε πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε αριθμό, αλλά σε αυτό το παράδειγμα, δεν θα ληφθεί ακέραιος από το κλάσμα 51/4, καθώς ο αριθμός 51 δεν διαιρείται με τον αριθμό 4 χωρίς υπόλοιπο. Επομένως, πρέπει να επιλέξετε το ακέραιο μέρος αυτού του κλάσματος και το κλασματικό του μέρος. Το ακέραιο μέρος θα είναι ο αριθμός που προκύπτει διαιρώντας με έναν ακέραιο τον πρώτο αριθμό μικρότερο του 51.

Δηλαδή ένα που μπορεί να διαιρεθεί με το 4 χωρίς υπόλοιπο. Ο πρώτος αριθμός μπροστά από τον αριθμό 51, ο οποίος διαιρείται πλήρως με το 4, θα είναι ο αριθμός 48. Διαιρώντας το 48 με το 4, προκύπτει ο αριθμός 12. Αυτό σημαίνει ότι το ακέραιο μέρος του ζητούμενου κλάσματος θα είναι 12. Παραμένει μόνο για να βρείτε το κλασματικό μέρος του αριθμού. Ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους παραμένει ο ίδιος, δηλαδή 4 in αυτή η υπόθεση. Για να βρείτε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από τον αρχικό αριθμητή τον αριθμό που διαιρέθηκε με τον παρονομαστή χωρίς υπόλοιπο. Σε αυτό το παράδειγμα, απαιτείται η αφαίρεση του αριθμού 48 από τον αριθμό 51. Δηλαδή, ο αριθμητής του κλασματικού μέρους είναι 3. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης θα είναι 12 ακέραιοι αριθμοί και 3/4. Το ίδιο ισχύει και κατά την αφαίρεση των κλασμάτων. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τον κλασματικό αριθμό 3/4 από τον ακέραιο 12. Για να γίνει αυτό, ο ακέραιος αριθμός 12 μετατρέπεται σε κλασματικό 12/1 και στη συνέχεια ανάγεται σε κοινό παρονομαστή με τον δεύτερο αριθμό - 48/4.

Κατά την αφαίρεση με τον ίδιο τρόπο, ο παρονομαστής και των δύο κλασμάτων παραμένει αμετάβλητος και η αφαίρεση πραγματοποιείται με τους αριθμητές τους. Δηλαδή, ο αριθμητής του δεύτερου αφαιρείται από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαθα είναι 48/4-3/4=(48-3) /4=45/4. Και πάλι αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα, το οποίο πρέπει να μειωθεί στο σωστό. Για την επιλογή του ακέραιου μέρους καθορίζεται ο πρώτος αριθμός μέχρι το 45, ο οποίος διαιρείται με το 4 χωρίς υπόλοιπο. Θα είναι 44. Εάν ο αριθμός 44 διαιρεθεί με το 4, παίρνετε 11. Άρα το ακέραιο μέρος του τελικού κλάσματος είναι 11. Στο κλασματικό μέρος, ο παρονομαστής μένει επίσης αμετάβλητος και από τον αριθμητή του αρχικού ακατάλληλο κλάσμααφαιρέστε τον αριθμό που διαιρείται με τον παρονομαστή χωρίς υπόλοιπο. Δηλαδή είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το 44 από το 45. Άρα ο αριθμητής στο κλασματικό μέρος είναι 1 και 12-3/4=11 και 1/4.

Αν δίνεται ένας ακέραιος και ένας κλασματικός αριθμός, αλλά ο παρονομαστής του είναι 10, τότε ευκολότερο το δεύτεροΜετατρέψτε τον αριθμό σε δεκαδικό και μετά κάντε τους υπολογισμούς. Για παράδειγμα, πρέπει να προσθέσετε τον ακέραιο αριθμό 12 και τον κλασματικό αριθμό 3/10. Αν ο αριθμός 3/10 γραφτεί ως δεκαδικό κλάσμα, παίρνετε 0,3. Τώρα είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε το 0,3 στο 12 και να λάβετε 2,3 από το να φέρετε κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, να εκτελέσετε υπολογισμούς και μετά να εξαγάγετε τα ακέραια και κλασματικά μέρη από ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ακόμη και τα πιο απλά προβλήματα με κλασματικούς αριθμούς υποθέτουν ότι ο μαθητής (ή ο μαθητής) ξέρει πώς να μετατρέψει έναν ακέραιο σε κλάσμα. Αυτοί οι κανόνες είναι πολύ απλοί και εύκολο να θυμάστε. Αλλά με τη βοήθειά τους είναι πολύ εύκολο να πραγματοποιήσετε υπολογισμούς κλασματικών αριθμών.

Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το κοινό κλάσμα 11/4 σε δεκαδικό. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε είναι αυτός:

						2∙2∙5∙5

Πετύχαμε γιατί σε αυτή την περίπτωση η επέκταση του παρονομαστή σε πρωταρχικούς παράγοντεςαποτελείται μόνο από δύο. Συμπληρώσαμε αυτήν την επέκταση με δύο ακόμη πεντάρια, εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι 10 = 2∙5, και πήραμε ένα δεκαδικό κλάσμα. Μια τέτοια διαδικασία είναι προφανώς δυνατή εάν και μόνο εάν η παραγοντοποίηση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες δεν περιέχει παρά δύο και πέντε. Εάν υπάρχει οποιοσδήποτε άλλος πρώτος αριθμός στην επέκταση του παρονομαστή, τότε ένα τέτοιο κλάσμα δεν μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό. Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό, αλλά μόνο με διαφορετικό τρόπο, τον οποίο θα γνωρίσουμε στο παράδειγμα του ίδιου κλάσματος 11/4. Ας διαιρέσουμε το 11 με το 4 "γωνία":

Στη γραμμή απόκρισης, πήραμε το ακέραιο μέρος ( 2 ), και έχουμε επίσης το υπόλοιπο ( 3 ). Προηγουμένως, τερματίσαμε τη διαίρεση σε αυτό, αλλά τώρα ξέρουμε ότι ένα κόμμα και μερικά μηδενικά μπορούν να αποδοθούν στο μέρισμα ( 11 ) στα δεξιά, το οποίο θα κάνουμε διανοητικά τώρα. Μετά την υποδιαστολή έρχεται η δέκατη θέση. Μηδέν, που σημαίνει το μέρισμα σε αυτήν την κατηγορία, θα αποδώσουμε στο υπόλοιπο ( 3 ):

Τώρα η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί σαν να μην είχε συμβεί τίποτα. Απλά πρέπει να θυμάστε να βάλετε κόμμα μετά το ακέραιο μέρος στη γραμμή απάντησης:

Τώρα αποδίδουμε στο υπόλοιπο ( 2 ) μηδέν, που σημαίνει το μέρισμα στη θέση των εκατοστών και φέρνουμε τη διαίρεση στο τέλος:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε, όπως και πριν,

Τώρα ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο τι ισούται με το κλάσμα 27/11:

Λάβαμε τον αριθμό 2,45 στη γραμμή απάντησης και τον αριθμό 5 στην υπόλοιπη γραμμή. Αλλά έχουμε ξαναδεί τέτοιο κατάλοιπο. Επομένως, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι αν συνεχίσουμε τη διαίρεση μας με τη "γωνία", τότε το επόμενο ψηφίο στη γραμμή απάντησης θα είναι 4, τότε ο αριθμός 5 θα πάει, μετά ξανά 4 και ξανά 5 και ούτω καθεξής, κατ' άπειρον :

27 / 11 = 2,454545454545...

Έχουμε λάβει το λεγόμενο περιοδικόςένα δεκαδικό κλάσμα με τελεία 45. Για τέτοια κλάσματα, χρησιμοποιείται μια πιο συμπαγής σημειογραφία, στην οποία η τελεία γράφεται μόνο μία φορά, αλλά ταυτόχρονα περικλείεται σε παρένθεση:

2,454545454545... = 2,(45).

Σε γενικές γραμμές, αν διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό με μια "γωνία", γράφοντας την απάντηση ως δεκαδικό κλάσμα, τότε μόνο δύο αποτελέσματα είναι δυνατά: (1) είτε αργά ή γρήγορα θα πάρουμε μηδέν στην υπόλοιπη γραμμή, (2) ή θα υπάρξει ένα τέτοιο υπόλοιπο, το οποίο έχουμε ήδη συναντήσει στο παρελθόν (το σύνολο των πιθανών υπολειμμάτων είναι περιορισμένο, αφού όλα είναι γνωστό ότι είναι λιγότερο διαιρέτης). Στην πρώτη περίπτωση, το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα, στη δεύτερη περίπτωση, ένα περιοδικό.

Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού σε κοινό κλάσμα

Ας μας δοθεί ένα θετικό περιοδικό δεκαδικό κλάσμα με μηδενικό ακέραιο μέρος, για παράδειγμα:

ένα = 0,2(45).

Πώς μπορώ να μετατρέψω αυτό το κλάσμα σε κοινό κλάσμα;

Ας το πολλαπλασιάσουμε επί 10 κ, όπου κείναι ο αριθμός των ψηφίων μεταξύ του κόμματος και της αρχικής παρένθεσης που υποδηλώνει την αρχή της περιόδου. Σε αυτήν την περίπτωση κ= 1 και 10 κ = 10:

ένα∙ 10 κ = 2,(45).

Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα επί 10 n, όπου n- "μήκος" της περιόδου, δηλαδή ο αριθμός των ψηφίων που περικλείονται μεταξύ των παρενθέσεων. Σε αυτήν την περίπτωση n= 2 και 10 n = 100:

ένα∙ 10 κ ∙ 10 n = 245,(45).

Τώρα ας υπολογίσουμε τη διαφορά

ένα∙ 10 κ ∙ 10 n − ένα∙ 10 κ = 245,(45) − 2,(45).

Εφόσον τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend είναι τα ίδια, τότε το κλασματικό μέρος της διαφοράς είναι μηδέν και καταλήγουμε στο απλή εξίσωσησχετικά ένα:

ένα∙ 10 κ ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Αυτή η εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

ένα∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

ένα∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Εσκεμμένα δεν τελειώνουμε ακόμα τους υπολογισμούς, ώστε να φανεί καθαρά πώς αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να διαγραφεί αμέσως, παραλείποντας ενδιάμεσα επιχειρήματα. Η μείωση στον αριθμητή ( 245 ) είναι το κλασματικό μέρος του αριθμού

ένα = 0,2(45)

εάν διαγράψετε τις αγκύλες στην καταχώρισή της. Το υπόστρωμα στον αριθμητή ( 2 ) είναι το μη περιοδικό μέρος του αριθμού ένα, που βρίσκεται μεταξύ του κόμματος και της αρχικής παρένθεσης. Ο πρώτος παράγοντας στον παρονομαστή ( 10 ) είναι ένας, στον οποίο αποδίδονται τόσα μηδενικά όσα και ψηφία στο μη περιοδικό μέρος ( κ). Ο δεύτερος παράγοντας στον παρονομαστή ( 99 ) είναι τόσα εννέα όσα και τα ψηφία της περιόδου ( n).

Τώρα οι υπολογισμοί μας μπορούν να ολοκληρωθούν:

Εδώ υπάρχει τελεία στον αριθμητή και τόσα εννιά στον παρονομαστή όσα ψηφία υπάρχουν στην τελεία. Μετά τη μείωση κατά 9, το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσο με

Με τον ίδιο τρόπο,

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση, θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται με το 4, δηλ. παραμένει το υπόλοιπο της διαίρεσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός ο αριθμός είναι 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, που δεν είναι στη συνήθη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Όταν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο. χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Μπορείτε να ελέγξετε κατά τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a \u003d b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο διαίρεσης των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Οι παρακάτω κανόνες είναι σωστοί:

Για να πάρετε ένα κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα με το n ίσα μέρη(μετοχές) και πάρε μ τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο με το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μείωση του κλάσματος.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε μια τέτοια ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. μικτούς αριθμούς

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4) \) σημαίνει τα τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης ενότητας, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν μέρος ενός συνόλου. ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗπροτείνει ότι το μέρος πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το σύνολο, αλλά τότε τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5) \) ή \(\frac(8)(5) \); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς ονομάζονται τέτοια κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή κλάσματα των οποίων ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, που ονομάζεται κατάλληλα κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι αυτό το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει και όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να προσδιορίσουμε εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Πρόσθεση κλασμάτων.

Με τους κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Βρείτε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7) \) και \(\frac(3)(7) \). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Αν θέλετε να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι εγγραφές όπως \(2\frac(2)(3) \) καλούνται μικτά κλάσματα. Ο αριθμός 2 ονομάζεται ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3) \) είναι του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3) \) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Η διαίρεση του αριθμού 8 με τον αριθμό 3 δίνει δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3) \) και \(2\frac(2)(3) \). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3) \) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3) \). Σε τέτοιες περιπτώσεις, λένε ότι από ένα ακατάλληλο κλάσμα ξεχώρισε το σύνολο.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, καθώς και των φυσικών, προσδιορίζεται με βάση την ενέργεια πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιαστεί μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Πάρτε το κλάσμα \(\frac(2)(3) \) και «αναποδογυρίστε» το ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2) \). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3) \).

Αν τώρα «αντιστρέφουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2) \), τότε παίρνουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3) \). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3) \) και \(\frac(3)(2) \) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7) \).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, η διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να μειωθεί σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Πολύ συχνά σε σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΤα παιδιά των μαθηματικών αντιμετωπίζουν το πρόβλημα του πώς να μετατρέψουν ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. Για να μετατρέψουμε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό, ας θυμηθούμε πρώτα τι είναι κοινό κλάσμα και δεκαδικό κλάσμα. Ένα κοινό κλάσμα είναι ένα κλάσμα της μορφής m/n, όπου m είναι ο αριθμητής και n ο παρονομαστής. Παράδειγμα: 8/13; 6/7 κ.λπ. Τα κλάσματα χωρίζονται σε κανονικούς, ακατάλληλους και μεικτούς αριθμούς. Σωστό κλάσμα- αυτό συμβαίνει όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή: m / n, όπου m 3. Ένα ακατάλληλο κλάσμα μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως μικτός αριθμός, δηλαδή: 4/3 \u003d 1 και 1/3.

Μετατροπή συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό

Τώρα ας δούμε πώς να μετατρέψουμε ένα μικτό κλάσμα σε δεκαδικό. Οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, είτε είναι σωστό είτε λάθος, μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Παράδειγμα: απλό κλάσμα (σωστό) 1/2. Διαιρούμε τον αριθμητή 1 με τον παρονομαστή 2, παίρνουμε 0,5. Πάρτε το παράδειγμα του 45/12, είναι αμέσως σαφές ότι αυτό είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εδώ ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον αριθμητή. Μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε δεκαδικό: 45: 12 \u003d 3,75.

Μετατροπή μικτών αριθμών σε δεκαδικούς

Παράδειγμα: 25/8. Πρώτα, μετατρέπουμε τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 και 1/8. τότε διαιρούμε τον αριθμητή ίσο με 1 με τον παρονομαστή ίσο με 8, σε μια στήλη ή σε μια αριθμομηχανή, και παίρνουμε ένα δεκαδικό κλάσμα ίσο με 0,125. Το άρθρο παρέχει τα πιο εύκολα παραδείγματα μετατροπής σε δεκαδικά κλάσματα. Έχοντας κατανοήσει τη μέθοδο μετάφρασης σε απλά παραδείγματα, μπορείτε εύκολα να λύσετε τα πιο δύσκολα από αυτά.

Ήδη μέσα δημοτικό σχολείοοι μαθητές ασχολούνται με κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Είναι αδύνατο να ξεχάσεις ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες είναι απλές, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.

Γιατί χρειάζονται τα κλάσματα;

Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Αλλά καθημερινή ζωήωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να εργάζονται με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.

Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλές φέτες. Εξετάστε την κατάσταση όπου το πλακίδιο του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Θα χωριστεί καλά στα τρία. Όμως οι πέντε δεν θα μπορέσουν να δώσουν ακέραιο αριθμό φετών σοκολάτας.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί στην εμφάνιση πιο σύνθετων αριθμών.

Τι είναι το «κλάσμα»;

Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη του ενός. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται με οριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που αναγράφεται στο επάνω μέρος (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Αυτό στο κάτω μέρος (δεξιά) είναι ο παρονομαστής.

Στην πραγματικότητα, η κλασματική ράβδος αποδεικνύεται ότι είναι σύμβολο διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.

Ποια είναι τα κλάσματα;

Στα μαθηματικά, υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών: συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αρχικά εισάγονται οι μαθητές δημοτικό σχολείο, αποκαλώντας τα απλά «κλάσματα». Το δεύτερο μαθαίνουν στην Ε' τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.

Κοινά κλάσματα είναι όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται από μια ράβδο. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο με κόμμα. Για παράδειγμα, 4.7. Οι μαθητές πρέπει να είναι ξεκάθαροι ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.

Κάθε απλό κλάσμαμπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα σε αντίστροφη κατεύθυνση. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα.

Τι υποείδη έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;

Καλύτερα να ξεκινήσετε από χρονολογική σειράκαθώς μελετώνται. Τα κοινά κλάσματα έρχονται πρώτα. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται 5 υποείδη.

Σωστός. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή.

Λανθασμένος. Ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Μειώσιμο / μη αναγώσιμο. Μπορεί να είναι είτε σωστό είτε λάθος. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Αν υπάρχουν, τότε υποτίθεται ότι διαιρούν και τα δύο μέρη του κλάσματος, δηλαδή το μειώνουν.

Μικτός. Ένας ακέραιος αντιστοιχίζεται στο συνηθισμένο σωστό (λανθασμένο) κλασματικό μέρος του. Και στέκεται πάντα στα αριστερά.

Σύνθετος. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που χωρίζονται το ένα στο άλλο. Δηλαδή, έχει τρία κλασματικά χαρακτηριστικά ταυτόχρονα.

Οι δεκαδικοί έχουν μόνο δύο υποείδη:

τελικό, δηλαδή αυτό στο οποίο το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος).

άπειρος - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).

Πώς να μετατρέψετε το δεκαδικό σε συνηθισμένο;

Εάν αυτό πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται συσχετισμός με βάση τον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.

Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και μερικά μηδενικά. Τα τελευταία πρέπει να γραφτούν τόσα όσα και τα ψηφία στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.

Πώς να μετατρέψετε δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα αν λείπει ολόκληρο το μέρος τους, δηλαδή ίσο με μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05. Αφού εφαρμόσετε τον καθορισμένο κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά δεν ενδείκνυται. Απομένει να γράψουμε μόνο τα κλασματικά μέρη. Για τον πρώτο αριθμό, ο παρονομαστής θα είναι 10, για τον δεύτερο - 100. Δηλαδή, τα υποδεικνυόμενα παραδείγματα θα έχουν αριθμούς ως απαντήσεις: 9/10, 5/100. Επιπλέον, το τελευταίο αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό πρέπει να γραφτεί 1/20.

Πώς να φτιάξετε ένα συνηθισμένο κλάσμα από ένα δεκαδικό αν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5.23 ή 13.00108. Και τα δύο παραδείγματα διαβάζουν το ακέραιο μέρος και γράφουν την τιμή του. Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι 5, στη δεύτερη, 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Με αυτά είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η ίδια λειτουργία. Ο πρώτος αριθμός έχει 23/100, ο δεύτερος έχει 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση είναι μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.

Πώς να μετατρέψετε ένα άπειρο δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;

Εάν δεν είναι περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε τελικό είτε σε περιοδικό.

Το μόνο που επιτρέπεται να γίνει με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσουμε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό - δεν θα δώσει ποτέ αρχική τιμή. Ατελείωτο δηλαδή μη περιοδικά κλάσματαδεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.

Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου;

Σε αυτούς τους αριθμούς, ένα ή περισσότερα ψηφία εμφανίζονται πάντα μετά την υποδιαστολή, τα οποία επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδοι. Για παράδειγμα, 0,3(3). Εδώ «3» στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά, καθώς μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορούν να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με οποιουσδήποτε αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.

Ο κανόνας με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος θα είναι διαφορετικός για αυτούς τους δύο τύπους αριθμών. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα τελικά, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο αριθμός 9 θα είναι ο παρονομαστής, επαναλαμβάνοντας όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο.

Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στο κλασματικό μέρος. Γράψε στον αριθμητή 5 και στον παρονομαστή το 9. Δηλαδή η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.

Ο κανόνας για το πώς να γράψετε ένα συνηθισμένο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα, το οποίο είναι ανάμεικτο.

Δείτε τη διάρκεια της περιόδου. Τόσο το 9 θα έχει παρονομαστή.

Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή θα μειωθούν, μαζί με την τελεία. Αφαιρούμενο - είναι χωρίς περίοδο.

Για παράδειγμα, 0,5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο είναι μονοψήφιο. Άρα το μηδέν θα είναι ένα. Υπάρχει επίσης μόνο ένα ψηφίο στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννέα. Δηλαδή, πρέπει να γράψετε 90 στον παρονομαστή.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή από το 58, πρέπει να αφαιρέσετε το 5. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, θα πρέπει να γράψετε 53/90 ως απάντηση.

Πώς μετατρέπονται τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά;

κατά το πολύ απλή επιλογήπροκύπτει ο αριθμός στον παρονομαστή του οποίου είναι ο αριθμός 10, 100 κ.ο.κ. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κλπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με το 2, το 5 και το 4, αντίστοιχα. Μόνο που είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε όχι μόνο τον παρονομαστή, αλλά και τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.

Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας θα είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο απαντήσεις: ένα τελικό ή ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Πράξεις με κοινά κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση

Οι μαθητές τους γνωρίζουν νωρίτερα από τους άλλους. Και πρώτα με κλάσματα ίδιοι παρονομαστέςκαι μετά διαφορετικά. Γενικοί κανόνεςμπορεί να περιοριστεί σε ένα τέτοιο σχέδιο.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Γράψτε πρόσθετους παράγοντες σε όλα τα συνηθισμένα κλάσματα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους συντελεστές που ορίζονται για αυτούς.

Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή αμετάβλητο.

Εάν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθετε αν έχουμε έναν μικτό αριθμό ή ένα σωστό κλάσμα.

Στην πρώτη περίπτωση, το ακέραιο μέρος πρέπει να πάρει ένα. Προσθέστε έναν παρονομαστή στον αριθμητή ενός κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.

Στο δεύτερο - είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο κανόνας της αφαίρεσης από λιγότεροιπερισσότερο. Δηλαδή, αφαιρέστε το μέτρο του δευτερεύοντος από το μέτρο του δευτερεύοντος και βάλτε το σύμβολο «-» ως απάντηση.

Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα επιλέξει ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Για την εφαρμογή τους, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την ανάληψη δράσης. Πρέπει όμως να ακολουθήσουν τους κανόνες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι αριθμοί στους αριθμητές και στους παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.

Πολλαπλασιασμός αριθμητών.

Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές.

Εάν λάβετε ένα αναγώγιμο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα απλοποιηθεί ξανά.

Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με ένα αντίστροφο (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).

Στη συνέχεια προχωρήστε όπως στον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το βήμα 1).

Σε εργασίες όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο, ο τελευταίος υποτίθεται ότι γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.



Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το ήδη περιγραφόμενο σχέδιο. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείς χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.

Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Εκχωρήστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.

Γράψτε κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.

Προσθέστε (αφαιρέστε) όπως φυσικούς αριθμούς.

Αφαιρέστε το κόμμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Είναι σημαντικό να μην χρειάζεται να προσθέσετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα υποτίθεται ότι αφήνονται όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.

Για πολλαπλασιασμό, πρέπει να γράψετε κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.

Πολλαπλασιάστε όπως οι φυσικοί αριθμοί.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.

Για να διαιρέσετε, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.

Διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.



Τι γίνεται αν υπάρχουν και οι δύο τύποι κλασμάτων σε ένα παράδειγμα;

Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να εκτελέσετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Πρέπει να ζυγίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον καλύτερο.

Πρώτος τρόπος: αναπαράσταση συνηθισμένων δεκαδικών

Είναι κατάλληλο εάν, κατά τη διαίρεση ή τη μετάφραση, λαμβάνετε πεπερασμένα κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετρήσετε.

Ο δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα

Αυτή η τεχνική είναι βολική εάν υπάρχουν 1-2 ψηφία στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να αποδειχθεί πολύ μεγάλο. κοινό κλάσμακαι οι δεκαδικές εγγραφές θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την εργασία γρηγορότερα και ευκολότερα. Επομένως, είναι πάντα απαραίτητο να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέξετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.