Μαθηματική ανάλυση κηπουρού. Μαθηματική ανάλυση - Βασικό μάθημα με παραδείγματα και προβλήματα - Gurova Z.I.

Ονομα: Μαθηματική ανάλυση - Μάθημα για αρχάριουςμε παραδείγματα και εργασίες. 2002.

Παρουσιάζει βασικές πληροφορίες από αρχικές ενότητεςμαθήματα μαθηματικής ανάλυσης για κολέγια - "Εισαγωγή στην ανάλυση", "Βασικές αρχές διαφορικού λογισμού συναρτήσεων μιας μεταβλητής", "Μέθοδοι ολοκλήρωσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής", "Αριθμητικές σειρές".
Δεδομένος σύντομη θεωρία, τυπικά παραδείγματα και εργασίες για ανεξάρτητη απόφαση. Προτείνονται αλγόριθμοι μεθόδων για την επίλυση διαφόρων τάξεων προβλημάτων.

Το εγχειρίδιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο ως σχολικό βιβλίο όσο και ως προβληματικό βιβλίο από τους μαθητές τεχνικών ειδικοτήτων, δόκιμοι στρατιωτικών σχολών, μαθητές τεχνικών και δευτεροβάθμιων σχολών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Πρόλογος από τον επιμελητή της σειράς. 7
Πρόλογος 8
Κεφάλαιο Ι. Εισαγωγή στην ανάλυση. 10
§ 1. Μερικές πληροφορίες από τη θεωρία συνόλων 10
1.1. Βασικές έννοιες (10). 1.2. Λειτουργίες σε σετ. (10)
§ 2. Ακολουθίες αριθμών. Όριο συνέπειας. 16
2.1. Βασικοί ορισμοί (16). 2.2. Όριο ακολουθίας (18). 2.3. Ιδιότητες συγκλίνουσες ακολουθίες (21). 2.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (23). 2.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (23).
§ 3. Λειτουργίες. Όριο συνάρτησης 24
3.1. Βασικοί ορισμοί. Μέθοδοι για τον καθορισμό συναρτήσεων (24). 3.2. Μιγαδικές, αντίστροφες και παραμετρικά καθορισμένες συναρτήσεις (25). 3.3. Στοιχειώδεις συναρτήσεις (27). 3.4. Μονοτονικές συναρτήσεις (29). 3.5. Περιορισμένες δυνατότητες(29). 3.6. Όριο λειτουργίας (30). 3.7. Μονόπλευρα όρια συνάρτησης (36). 3.8. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (38). 3.9. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. (39)
§ 4. Θεωρήματα για τα όρια των συναρτήσεων. 39
4.1. Βασικά θεωρήματα για τα όρια των συναρτήσεων (39). 4.2. Απείρως μικρές και απείρως μεγάλες συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους (41). 4.3. Θεωρήματα για τα όρια συναρτήσεων που σχετίζονται με αριθμητικές πράξεις (45). 4.4. Θεωρήματα για τα όρια συναρτήσεων που σχετίζονται με ανισώσεις (47). 4.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (50). 4.6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (54).
§ 5. Αξιοσημείωτα όρια. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων 54
5.1. Αξιοσημείωτα όρια (54). 5.2. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων (58). 5.3. Ιδιότητες ισοδύναμων απειροελάχιστων συναρτήσεων (60). 5.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (63). 5.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (70).
§ 6. Συνέχεια συναρτήσεων 71
6.1. Βασικοί ορισμοί (71). 6.2. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων στο σημείο (73). 6.3. Συνέχεια συναρτήσεων σε διάστημα, μισό διάστημα, τμήμα (77). 6.4. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε διάστημα (78). 6.5. Σημεία διακοπής συναρτήσεων και ταξινόμηση τους (78). 6.6. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (80). 6.7. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (85).
Κεφάλαιο II. Βασικές αρχές διαφορικού λογισμού συναρτήσεων μιας μεταβλητής. 87
§ 7. Παράγωγος συνάρτησης, ιδιότητες και εφαρμογές της 87
7.1. Προσδιορισμός της παραγώγου συνάρτησης στο σημείο (87). 7.2. Πίνακας διαφοροποίησης. Παράγωγα βασικού στοιχειώδεις λειτουργίες(89). 7.3. Ιδιότητες του παραγώγου (92). 7.4. Γεωμετρική και μηχανική αίσθησηπαράγωγο (94). 7.5. Εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (96). 7.6. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (97). 7.7. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (101).
§ 8. Διαφοροποίηση σύνθετη λειτουργία, αντίστροφη συνάρτησηκαι παραμετρικά δεδομένη λειτουργία 102
8.1. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Λογαριθμική παράγωγος (102). 8.2. Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Παράγωγα αντίστροφων τριγωνομετρικές συναρτήσεις(105). 8.3. Παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης (107). 8.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (109). 8.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (111).
§ 9. Διαφορικό συνάρτησης, ιδιότητες και εφαρμογές της.... 112
9.1. Διαφορικότητα μιας συνάρτησης. Διαφορικό (112). 9.2. Διαφορικές ιδιότητες (114). 9.3. Γεωμετρική σημασίαδιαφορικός. Υπολογισμός κατά προσέγγιση τιμών συναρτήσεων με χρήση διαφορικού (115). 9.4. Αμετάβλητο της μορφής γραφής του διαφορικού (116). 9.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (117). 9.6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (119).
§ 10. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων 120
10.1. Παράγωγα υψηλότερης τάξης (120). 10.2. Τύπος Leibniz (122). 10.3. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (124). 10.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (126). 10.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (129).
§έντεκα. Βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού. Διαλύοντας τις αβεβαιότητες 130
11.1. Θεώρημα Rolle (θεώρημα μηδενικής παραγώγου) (130). 11.2. Θεώρημα Lagrange. Τύπος πεπερασμένης αύξησης (131). 11.3. Θεώρημα Cauchy. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (133). 11.4. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Κανόνας του L'Hopital (134). 11.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (141). 11.6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (145).
§ 12. Τύπος Taylor 146
12.1. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano (146). 12.2. Τύπος Taylor για μερικές βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις (150). 12.3. Διάφορα σχήματαυπολειπόμενος όρος (152). 12.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (155). 12.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (159).
§ 13. Αύξηση, φθίνουσα, ακραία συνάρτηση 160
13.1. Συναρτήσεις αύξησης και μείωσης (160). 13.2. Ακραίο συνάρτησης (163). 13.3. Το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες (168). 13.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (172). 13.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (175).
§ 14. Κυρτότητα, κοιλότητα, σημεία καμπής καμπύλης. Ασύμπτωτες καμπύλης 176
14.1. Κυρτότητα, κοιλότητα, σημεία καμπής της καμπύλης (176). 14.2. Ασύμπτωτα της καμπύλης (180). 14.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (183). 14.4. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (185).
§ 15. Μελέτη συναρτήσεων και κατασκευή των γραφημάτων τους 186
15.1. Σχεδιασμός μελέτης συναρτήσεων (186). 15.2. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (186). 15.3. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (195).
Κεφάλαιο III. Μέθοδοι ολοκλήρωσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής. 196
§ 16. Αντιπαράγωγο συνάρτησης και αόριστο ολοκλήρωμα. 196
16.1. Ορισμός και ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (196). 16.2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης (198). 16.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (207). 16.4. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (210).
§ 17. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων. 211
17.1. Σύντομη ενημέρωσηαπό την άλγεβρα των πολυωνύμων (211). 17.2. Ολοκλήρωση στοιχειωδών κλασμάτων (214). 17.3. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων (218). 17.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (220). 17.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (227).
§ 18. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων. 227
18.1. Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση (227). 18.2. Ολοκλήρωση συναρτήσεων περιττών ως προς το sin x ή το cos x (230). 18.3. Ολοκλήρωση συναρτήσεων ακόμη και ως προς τα sin x και cos x (232). 18.4. Ενσωμάτωση προϊόντων ημιτονίων και συνημιτόνων διαφόρων επιχειρημάτων (234). 18.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (235). 18.6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (239).
§ 19. Ένταξη κάποιων παράλογες λειτουργίες. 240
19.1. Ολοκλήρωση συναρτήσεων ορθολογικών ως προς το όρισμα και τη ρίζα του κλασματική γραμμική συνάρτηση(240). 19.2. Ολοκλήρωση συναρτήσεων ορθολογικών ως προς το όρισμα και τετραγωνική ρίζααπό τετραγωνικό τριώνυμο(241). 19.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (248). 19.4. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (258).
Κεφάλαιο IV. Σειρά αριθμών. 260
§ 20. Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες των σειρών αριθμών. 260
20.1. Βασικοί ορισμοί (260). 20.2. Βασικές ιδιότητεςσειρές (265). 20.3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (270). 20.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (271). 20.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (274).
§ 21. Σειρά σταθερού πρόσημου. 275
21.1. Κριτήριο σύγκλισης σειρών σταθερού πρόσημου (275). 21.2. Επαρκή κριτήρια για τη σύγκλιση και την απόκλιση σειρών με μη αρνητικούς όρους (277). 21.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (289). 21.4. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. (297).
§ 22. Εναλλασσόμενες σειρές. 298
22.1. Εναλλασσόμενες σειρές (298). 22.2. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσες σειρές (302). 22.3. Δοκιμές D'Alembert και Cauchy για εναλλασσόμενες σειρές (303). 22.4. Ιδιότητες απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (305). 22.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (307). 22.6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση (312).
§ 23. Ακολουθίες και σειρές με μιγαδικούς όρους 313
23.1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικοί αριθμοί(313). 23.2. Ακολουθίες με μιγαδικούς όρους (318). 23.3. Σειρά με σύνθετους όρους (321). 23.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (324). 23.5. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. (329)
Εφαρμογή. 331
§ 24. Σύντομες πληροφορίες για ολοκληρώματα με άπειρα όρια. 331
Απαντήσεις σε προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. 336
Βιβλιογραφία. 343
Υλικό αναφοράς. 344
Ευρετήριο θεμάτων.

Μερικοί ορισμοί:

Το γραφικό είναι μια μέθοδος καθορισμού μιας συνάρτησης στην οποία καθορίζεται γραφικά η αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου των τιμών των ορισμάτων και του συνόλου των τιμών συνάρτησης.
Για παράδειγμα, ένα βαρόγραμμα που καταγράφεται από ένα βαρόγραφο καθορίζει γραφικά Ατμοσφαιρική πίεσηως συνάρτηση του χρόνου.

Η μέθοδος καθορισμού μιας συνάρτησης ονομάζεται πίνακας εάν καθορίζεται ένας πίνακας τιμών ορίσματος και αντίστοιχων τιμών συνάρτησης.
Για παράδειγμα, η εξάρτηση της θερμοκρασίας του αέρα από το χρόνο μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα πειραματικών δεδομένων.

Εκτός από τις παραπάνω μεθόδους για τον καθορισμό μιας συνάρτησης, υπάρχουν και άλλες. Για παράδειγμα, κατά την εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών σε υπολογιστές, οι συναρτήσεις καθορίζονται αλγοριθμικά, δηλαδή χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα για τον υπολογισμό των τιμών τους για τις απαιτούμενες τιμές ορίσματος. Η λειτουργία μπορεί επίσης να καθοριστεί λεκτική περιγραφήαντιστοιχία μεταξύ τιμών ορίσματος και τιμών συνάρτησης. Για παράδειγμα, «συνδέουμε κάθε ρητό αριθμό με τον αριθμό 1 και κάθε άρρητο αριθμό με το 0...». Η συνάρτηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται συνάρτηση Dirichlet.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΕΙΡΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 7
§ 1. Έννοια σειρά αριθμών 7
1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
§ 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
1. Απαραίτητο και επαρκής κατάστασησύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Τα σημάδια του D'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωμένη δοκιμή Cauchy - MacLaurin (21). 5, σημάδι Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
§ 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
1. Έννοιες απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσες σειρές (28). 2. Περί αναδιάταξης όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με την αναδιάταξη όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
§ 4. Δοκιμές για τη σύγκλιση αυθαίρετων σειρών 35
§ 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
§ 6. Άπειρα γινόμενα 44
1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Αποσύνθεση λειτουργίες αμαρτία x έως άπειρο γινόμενο (51)
§ 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης αποκλίνουσες σειρές.... 55
1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων όρων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
§ 8. Στοιχειώδης θεωρίαδιπλασιάστε και επαναλάβετε τις σειρές 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
§ 1. Έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
1. Έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και λειτουργικό εύρος(67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε ένα σημείο και στο σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
§ 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
§ 3. Πέρασμα ανά περίοδο στο όριο 83
§ 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Σύγκλιση κατά μέσο όρο (94)
§ 5. Ισοδύναμη συνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
§ 6. Power series 102
1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση σειρών ισχύος ανά όρο (105)
§ 7. Επέκταση λειτουργιών σε σειρά ισχύος 107
1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος(107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων στη σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις αναπαραστάσειςσχετικά με τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (CV). 4. Θεώρημα Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχής λειτουργίαπολυώνυμα (112)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
§ 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετη περιοχή (121). 4. Γενικός ορισμόςδιπλό ολοκλήρωμα (123)
«§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
§ 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο απλό ολοκλήρωμα. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
§ 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
§ 5. Αλλαγή μεταβλητών σε ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
§ 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
§ 7. Θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
$ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
1. Η έννοια των πολλαπλασίων ακατάλληλα ολοκληρώματα(159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα εναλλασσόμενων συναρτήσεων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
§ 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
§ 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
§ 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
3. Επιφάνεια (181)
§ 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 190
§ 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα του γραμμικού τελεστή 190
1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Shch8)
§ 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές διανυσματική ανάλυση 198
!. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, ρότορας και κατευθυντική παράγωγος διανυσματικό πεδίο(203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι ανάλυσης διανύσματος (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
1. Ο τύπος του Green (207). 2. Τύπος Ostrogradsky-Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
§ 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στο επίπεδο της διαδρομής ολοκλήρωσης 218
§ 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών της θεωρίας πεδίου 222
1. Έκφραση της περιοχής μιας επίπεδης περιοχής ως προς ολοκλήρωμα γραμμής(222). 2. Έκφραση όγκου σε όρους επιφανειακό ακέραιο (223)
Συμπλήρωμα στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
§ 1. Εναλλασσόμενα πολυγραμμικά έντυπα 225
1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικά έντυπα (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
§ 2. Διαφορικά έντυπα 235
1. Βασικές σημειώσεις (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες εξωτερικού διαφορικού (237;)
§ 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Εμφάνιση ιδιοτήτων f* (240)
§ 4. Ένταξη διαφορικές μορφές 243
1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
§ 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή η τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
1. Η σύνδεση μεταξύ μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών που τείνουν ομοιόμορφα σε μια μεταβλητή στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης τάσης στην οριακή συνάρτηση (254)
§ 2. Σωστά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος ανάλογα με την παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
§ 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους, ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
§ 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό κάποιων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
§ 5. Ολοκληρώματα Euler 271
k Συνάρτηση G (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σχέση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
§ 6. Τύπος Stirling 280
§ 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
§ 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
§ 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
§ 3. Κλείσιμο τριγωνομετρικό σύστημακαι συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
§ 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες απόλυτης και ομοιόμορφης σύγκλισης της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση κατά όρο της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
§ 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο 309>
1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Υποστηρικτικές προτάσεις(314). 4. Η αρχή του εντοπισμού (317). 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier της τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
§ 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
1. Έννοιες πολλαπλών τριγωνομετρικών σειρών Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά τους (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33"
§ 1. Αναπαράσταση συνάρτησης από το ολοκλήρωμα Fourier 339
1. Βοηθητικές δηλώσεις (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
§ 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
§ 3. Πολλαπλό ολοκλήρωμα Fourier 352

Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Μέρος 1: 2η έκδ., αναθεωρημένη, 1985. - 662 σελ.; Μέρος 2ο- 1987. - 358 σελ.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Το εγχειρίδιο αντιπροσωπεύει το πρώτο μέρος ενός μαθήματος μαθηματικής ανάλυσης για την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Εκπαιδευτικά ιδρύματαΕΣΣΔ, Βουλγαρία και Ουγγαρία, που συντάχθηκε σύμφωνα με τη συμφωνία συνεργασίας μεταξύ των πανεπιστημίων της Μόσχας, της Σόφιας και της Βουδαπέστης. Το βιβλίο περιλαμβάνει θεωρία πραγματικούς αριθμούς, θεωρία ορίων, θεωρία συνέχειας συναρτήσεων, διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής και οι εφαρμογές τους, διαφορικός λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και θεωρία άρρητων συναρτήσεων.

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Το εγχειρίδιο αντιπροσωπεύει το δεύτερο μέρος (Μέρος 1 - 1985) ενός μαθήματος στη μαθηματική ανάλυση, γραμμένο σύμφωνα με ένα ενιαίο πρόγραμμα που εγκρίθηκε στην ΕΣΣΔ και τη Λαϊκή Δημοκρατία της Λευκορωσίας. Το βιβλίο καλύπτει τη θεωρία των αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών, τη θεωρία των πολλαπλών, καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, τη θεωρία πεδίου (συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών μορφών), τη θεωρία των εξαρτώμενων από παραμέτρους ολοκληρωμάτων και τη θεωρία των σειρών και ολοκληρωμάτων Fourier. Η ιδιαιτερότητα του βιβλίου είναι τρία σαφώς διαχωρισμένα επίπεδα παρουσίασης: ελαφρύ, βασικό και προηγμένο, που επιτρέπει τη χρήση του από μαθητές τεχνικών πανεπιστημίωνμε εις βάθος μελέτη μαθηματικής ανάλυσης, και για φοιτητές μηχανολογικών και μαθηματικών σχολών πανεπιστημίων.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Μορφή: pdf

Μέγεθος: 10,5 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Μέγεθος: 5,5 MB

/Λήψη αρχείου

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Μορφή: pdf

Μέγεθος: 14,8 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Μέγεθος: 3,1 MB

/Λήψη αρχείου

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος από τον επιμελητή τίτλου... 5
Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 6
Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 6
Κεφάλαιο 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 10
Κεφάλαιο 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 29
§ 1. Το σύνολο των αριθμών που αναπαρίστανται ως άπειροι δεκαδικά, και η παραγγελία του 29
1. Ιδιότητες ρητών αριθμών (29). 2. Ανεπάρκεια ρητών αριθμών για τη μέτρηση τμημάτων της αριθμογραμμής (31). 3. Ταξινόμηση ενός συνόλου άπειρων δεκαδικών
κλάσματα (34)
§ 2. Οριοθετημένα πάνω (ή κάτω) σύνολα αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα.... 40 1. Βασικές έννοιες (40). 2. Ύπαρξη ακριβών ακμών (41).
§ 3. Προσέγγιση αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ρητοί αριθμοί 44
§ 4. Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή του συνόλου των πραγματικών αριθμών 46
1. Ορισμός πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή της έννοιας των πραγματικών αριθμών (46). 2. Ύπαρξη και μοναδικότητα του αθροίσματος και του γινομένου των πραγματικών αριθμών (47).
§ 5. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών 50
1. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών (50). 2. Μερικές συχνά χρησιμοποιούμενες σχέσεις (52). 3. Μερικά συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών (52).
§ 6. ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣθεωρία πραγματικών αριθμών. .54 1. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών (54). 2. Αξιωματική εισαγωγή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (57).
§ 7. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 59
1. Η έννοια του συνόλου (59). 2. Λειτουργίες σε σετ (60). 3. Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα. Αμέτρητο τμήμα. Καρδιναλότητα του σετ (61). 4. Ιδιότητες πράξεων σε σύνολα. Σύνολα χαρτογράφησης (65).
Κεφάλαιο 3. ΟΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. 68
§ 1. Ακολουθία και το όριό της 68.
1. Η έννοια της ακολουθίας. Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες (68). 2. Οριοθετημένες, απεριόριστες, απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες ακολουθίες (69). 3. Βασικές ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών (73). 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους (75).
§ 2. Μονότονες ακολουθίες 83
1. Η έννοια της μονοτονικής ακολουθίας (83). 2. Θεώρημα για τη σύγκλιση μονότονης οριοθετημένης ακολουθίας (84). 3. Αριθμός ε (86). 4. Παραδείγματα συγκλίνουσας μονοτονικές ακολουθίες (88).
§ 3. Αυθαίρετες ακολουθίες 92
1. Οριακά σημεία, άνω και κάτω όρια της ακολουθίας (92). 2. Επέκταση των εννοιών του οριακού σημείου και των άνω και κάτω ορίων (99). 3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση της ακολουθίας (102).
§ 4. Όριο (ή οριακή τιμή) μιας συνάρτησης 105
1. Έννοιες μεταβλητό μέγεθοςκαι λειτουργίες (105). 2. Όριο συνάρτησης κατά Heine και κατά Cauchy (109). 3. Κριτήριο Cauchy για την ύπαρξη ορίου συνάρτησης (115). 4. Αριθμητικές πράξεις σε συναρτήσεις που έχουν όριο (118). 5. Απείρως μικρές και απείρως μεγάλες συναρτήσεις (119).
§ 5. Γενικός ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης ως προς τη βάση.... 122
Κεφάλαιο 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 127
§ 1. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης 127
1. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης (127). 2. Αριθμητικές πράξεις σε συνεχείς συναρτήσεις (131). 3. Μιγαδική συνάρτηση και η συνέχειά της (132).
§ 2. Ιδιότητες μονότονων συναρτήσεων 132
1. Μονότονες συναρτήσεις (132). 2. Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης (133).
§ 3. Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις 138
1. Εκθετικη συναρτηση(138). 2. Λογαριθμική συνάρτηση (145). 3. Λειτουργία ισχύος (146). 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (147). 5. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (154). 6. Υπερβολικές συναρτήσεις (156).
§ 4. Δύο αξιόλογα όρια 158
1. Πρώτον υπέροχο όριο(158). 2. Δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (159).
§ 5. Σημεία ασυνέχειας συναρτήσεων και ταξινόμηση τους. . . . 162 1. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συνάρτησης (162). 2. Στα σημεία ασυνέχειας της μονότονης συνάρτησης (166).
§ 6. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. 167 1. Τοπικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (167). 2. Καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (170). 3. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης (176). 4. Η έννοια του συντελεστή συνέχειας μιας συνάρτησης (181).
§ 7. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου 184
1. Ανοιχτά και κλειστά σετ (184). 2. Σε επικαλύψεις σετ με σύστημα ανοιχτών συνόλων (184). 3. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου (186).
Κεφάλαιο 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 189
§ 1. Η έννοια του παραγώγου 189
1. Αύξηση συνάρτησης. Μορφή διαφοράς της συνθήκης συνέχειας (189). 2. Ορισμός παραγώγου (190). 3. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου (192).
§ 2. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης 193
1. Προσδιορισμός διαφοροποίησης συνάρτησης (193). 2. Διαφορικότητα και συνέχεια (195). 3. Η έννοια της διαφορικής συνάρτησης (196).
§ 3. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης 197 1. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (197). 2. Διαφοροποίηση της αντίστροφης συνάρτησης (199). 3. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (200). 4. Εφαρμογή διαφορικού για τη δημιουργία κατά προσέγγιση τύπων (201).
§ 4. Διαφοροποίηση αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου συναρτήσεων 202
§ 5. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . 205 1. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων (205). 2. Παράγωγο λογαριθμική συνάρτηση(207). 3. Παράγωγοι εκθετικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (208). 4. Παράγωγο λειτουργία ισχύος(210). 5. Πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (210). 6. Πίνακας διαφορικών των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (212). 7. Λογαριθμική παράγωγος. Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής (212).
§ 6. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων. . . 215 1. Η έννοια της παραγώγου lης τάξης (213). 2. νθ παράγωγοι κάποιων συναρτήσεων (214). 3. τύπος Leibniz για i-η παράγωγοςγινόμενο δύο συναρτήσεων (216). 4. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (218).
§ 7. Διαφοροποίηση συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά. 220*
§ 8. Παράγωγο διανυσματική συνάρτηση 222
Κεφάλαιο 6. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 224
§ 1. Αύξηση (μείωση) συνάρτησης σε σημείο. Τοπικό άκρο 224
§ 2. Θεώρημα για τη μηδενική παράγωγο 226
§ 3. Τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Lagrange). . 227 § 4. Μερικές συνέπειες από τον τύπο Lagrange.... 229 «1. Η σταθερότητα μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο (229) ίση με μηδέν στο διάστημα. 2. Προϋποθέσεις για τη μονοτονία μιας συνάρτησης στο διάστημα (230). 3. Απουσία ασυνεχειών πρώτου είδους και αφαιρούμενες ασυνέχειες στο παράγωγο (231). 4. Παραγωγή ορισμένων ανισοτήτων (233). § 5. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Cauchy). . 234
§ 6. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων (κανόνας L'Hopital). . . 235
1. Αποκάλυψη αβεβαιότητας του εντύπου (235). Αποκάλυψη της αβεβαιότητας των ειδών - (240). 3. Αποκάλυψη άλλων τύπων αβεβαιοτήτων (243).
!§ 7. Ο τύπος του Taylor «245
§ 8. Διάφορες μορφές του υπολοίπου όρου. Maclaurin τύπος 248
1. Όρος υπολειμμάτων σε μορφή Lagrange, Cauchy και Peano (248).
2. Άλλη μια καταχώρηση για τον τύπο του Taylor (250). 3. Φόρμουλα Maclaurin (251).
§ 9. Εκτίμηση της υπολειπόμενης περιόδου. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών λειτουργιών. . . . . 251
1. Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου για μια αυθαίρετη συνάρτηση (251). 2. Επέκταση σύμφωνα με τον τύπο Maclaurin ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων (252).
1§ 10. Παραδείγματα εφαρμογών του τύπου Maclaurin 256.
1. Υπολογισμός του αριθμού e σε υπολογιστή (256). 2. Απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού ε (257). 3. Υπολογισμός τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (258). 4. Ασυμπτωτική εκτίμηση στοιχειωδών συναρτήσεων και υπολογισμός ορίων (259).
Κεφάλαιο 7. ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΩΝ ΑΞΙΩΝ 262
§ 1. Αναζήτηση ακίνητα σημεία 262
1. Σημάδια μονοτονίας συνάρτησης (262). 2. Εύρεση ακίνητων σημείων (262). 3. Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση για ακρότατο (264). 4. Η δεύτερη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο "(265). 5. Η τρίτη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο (267). 6. Το άκρο μιας συνάρτησης που δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο σημείο (268). 7. Γενικό σχήμαβρίσκοντας ακραία σημεία (270).
§ 2. Κυρτότητα της γραφικής παράστασης συνάρτησης 271
§ 3. Σημεία καμπής 273
1. Προσδιορισμός του σημείου καμπής. Προαπαιτούμενολυγίζω (273). 2. Η πρώτη επαρκής συνθήκη για την κλίση (276). 3. Μερικές γενικεύσεις της πρώτης ικανής συνθήκης για την κλίση (276). 4. Δεύτερη επαρκής συνθήκη για κλίση (277). 5. Τρίτη επαρκής συνθήκη για κλίση (278).
§ 4. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 279
§ 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 281
§ 6. Καθολικές μέγιστες και ελάχιστες συναρτήσεις σε ένα τμήμα.
Edge exremum 284
1. Εύρεση του μέγιστου και ελάχιστες τιμέςσυνάρτηση που ορίζεται στο τμήμα (284). 2. Ακραίο άκρο (286). 3. Θεώρημα Darboux (287). Πρόσθεση. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων τιμών μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας μόνο τις τιμές αυτής της συνάρτησης. . . 288
Κεφάλαιο 8. ΑΝΙΜΙΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ 291
§ 1. Έννοια αντιπαράγωγη λειτουργίακαι αόριστο ολοκλήρωμα 291 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης (291). 2. Αόριστο ολοκλήρωμα (292). 3."Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (293). 4. Πίνακας βασικών μη οριστικά ολοκληρώματα (294).
§ 2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης 297
1, Ολοκλήρωση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση) (297).
2. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα (300).
§ 3. Κατηγορίες συναρτήσεων που μπορούν να ενσωματωθούν σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. 303 1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικούς αριθμούς (304). 2. Σύντομες πληροφορίες για τις ρίζες των αλγεβρικών πολυωνύμων (307). 3. Αποσύνθεση αλγεβρικού πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές στο γινόμενο μη αναγώγιμων παραγόντων (311). 4. Αποσύνθεση του σωστού ορθολογικό κλάσμαγια το άθροισμα απλών κλασμάτων (312). 5. Ολοκληρωσιμότητα ρητών κλασμάτων σε στοιχειώδεις συναρτήσεις (318). 6. Ολοκληρωσιμότητα σε στοιχειώδεις συναρτήσεις ορισμένων τριγωνομετρικών και παράλογες εκφράσεις (321).
§ 4. Ελλειπτικά ολοκληρώματα, 327
Κεφάλαιο 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ RIEMANN 330
§ 1. Ορισμός του ολοκληρώματος. Ολοκληρωσιμότητα. . . . . 330 § 2. Ανώτερα και κατώτερα αθροίσματα και οι ιδιότητές τους. . . . . 334 1. Προσδιορισμός των ανώτερων και κατώτερων ποσών (334). 2. Βασικές ιδιότητες ανώτερων και κατώτερων αθροισμάτων (335). § 3. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. . . 339
1. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ενσωμάτωση (339).
2. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων (341).
"§ 4. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων. Θεωρήματα μέσης τιμής. 347
1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος (347). 2. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων (350).
§ 5. Αντιπαράγωγο συνεχούς συνάρτησης. Κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων 357
1. Αντιπαράγωγο (357). 2. Βασικός τύπος ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ (359). 3. Σημαντικοί Κανόνες, επιτρέποντάς σας να υπολογίσετε οριστικά ολοκληρώματα (360). 4. Το υπόλοιπο του τύπου Taylor σε ακέραια μορφή (362).
§ 6. Ανισώσεις για αθροίσματα και ολοκληρώματα 365
1. Ανισότητα Young (365). 2. Η ανισότητα του Hölder για αθροίσματα (366). 3. Ανισότητα Minkowski για αθροίσματα (367). 4. Η ανισότητα του Hölder για ολοκληρώματα (367). 5. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα (368).
§ 7. Πρόσθετες πληροφορίες για το οριστικό ολοκλήρωμα Riemann 369
1. Όριο ολοκληρωτικών ποσών πάνω από τη βάση του φίλτρου (369).
2. Κριτήριο ενσωμάτωσης Lebesgue (370).
Παράρτημα 1. Ακατάλληλα ολοκληρώματα 370
§ 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους 371
1. Η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους (371).
2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επαρκείς ενδείξεις σύγκλισης (373). 3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (375). 4. Αλλαγή μεταβλητών κάτω από το ακατάλληλο ολοκληρωτικό πρόσημο και τύπο για ολοκλήρωση κατά μέρη (378).
§ 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους 379
§ 3. Η κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος.. 382
Παράρτημα 2. Αναπόσπαστο Stieltjes 384
1. Ορισμός του ολοκληρώματος Stieltjes και προϋποθέσεις ύπαρξής του (384). 2. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Stieltjes (389).
Κεφάλαιο 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ 391
§ 1. Μήκος τόξου καμπύλης 391
1. Η έννοια της απλής καμπύλης (391). 2. Η έννοια της παραμετροποιήσιμης καμπύλης (392). 3. Μήκος του τόξου της καμπύλης. Η έννοια μιας διορθώσιμης καμπύλης (394). 4. Κριτήριο ευθύτητας καμπύλης. Υπολογίστε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης (397). 5. Διαφορικό τόξου (402). 6. Παραδείγματα (403).
!§ 2. Περιοχή επίπεδη φιγούρα 405
1. Η έννοια του ορίου ενός συνόλου και ενός επίπεδου σχήματος (405).
2. Εμβαδόν επίπεδης μορφής (406). 3. Καμπυλόγραμμη περιοχή
τραπεζοειδής και καμπύλος τομέας (414). 4. Παραδείγματα εμβαδών υπολογισμού (416).
§ 3. Όγκος σώματος στο διάστημα 418
1. Όγκος σώματος (418). 2. Μερικές κατηγορίες σωμάτων σε κύβους (419). 3. Παραδείγματα (421).
Κεφάλαιο 11. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΩΝ... 422
§ 1. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού των ριζών εξισώσεων. . 422 1. Μέθοδος πιρουνιού (422). 2. Μέθοδος επανάληψης (423). 3. Μέθοδοι συγχορδιών και εφαπτομένων (426).
§ 2. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων 431 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (431). 2. Μέθοδος ορθογωνίου (434).
3. Τραπεζοειδής μέθοδος (436). 4. Μέθοδος παραβολής (438).
Κεφάλαιο 12. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.... 442
§ 1. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών 442
1. Η έννοια της m-διάστατης συντεταγμένης και των παιχνιδιών Ευκλείδειων χώρων (442). 2. Σύνολα σημείων στον ευκλείδειο χώρο m διαστάσεων (445). 3. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών (449).
§ 2. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών 451
1. Ακολουθίες σημείων στο διάστημα Em (451). 2. Ιδιότητα οριοθετημένης ακολουθίας σημείων Em (454). 3. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών (455). 4. Απειροελάχιστες συναρτήσεις m μεταβλητών (458). 5. Επαναλαμβανόμενα όρια (459).
§ 3. Συνέχεια συνάρτησης n μεταβλητών 460
1. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης m μεταβλητών (460).
2. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών σε μία μεταβλητή (462). 3. Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (465).
§ 4. Παράγωγοι και διαφορικά συναρτήσεων πολλών μεταβλητών 469
1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (469). 2. Διαφοροποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (470). 3. Γεωμετρική σημασία της συνθήκης για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών (473). 4. Επαρκείς προϋποθέσεις διαφοροποίησης (474). 5. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών (476). 6. Διαφοροποίηση μιγαδικών συναρτήσεων (476). 7. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (480). 8. Κατευθυντική παράγωγος. Κλίση (481).
§ 5. Μερικά παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων.. 485 1. Μερικά παράγωγα ανώτερων τάξεων (485). 2. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (490). 3. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Lagrange και σε ακέραια μορφή (497) 4. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano (500).
6. Τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών.... 504 1. Η έννοια του άκρου συνάρτησης m μεταβλητών. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ (504). 2. Επαρκείς προϋποθέσεις τοπικό εξτρέμσυναρτήσεις των μεταβλητών του (506). 3. Η περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών (512).
Προσθήκη 1. Μέθοδος κλίσηςαναζήτηση για το άκρο μιας έντονα κυρτής συνάρτησης 514
1. Κυρτά σύνολακαι κυρτές συναρτήσεις (515). 2. Η ύπαρξη ελάχιστου για μια έντονα κυρτή συνάρτηση και η μοναδικότητα ενός ελάχιστου για μια αυστηρά κυρτή συνάρτηση (521).
3. Αναζητήστε το ελάχιστο μιας έντονα κυρτής συνάρτησης (526).
Παράρτημα 2. Μετρικοί, κανονικοί χώροι. . 535
Μετρικοί χώροι. 1. Ορισμός μετρικού χώρου. Παραδείγματα (535). 2. Ανοιχτά και κλειστά σετ (538). 3. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (540). 4. Πυκνό και πυκνό παντού τέλεια σετ(541). 5. Σύγκλιση. Συνεχείς ενδείξεις (543). 6. Συμπαγότητα (545). 7. Βάση χώρου (548).
Ιδιότητες μετρικών χώρων 550
Τοπολογικοί χώροι 558
1. Ορισμός τοπολογικού χώρου. Τοπολογικός χώρος Hausdorff. Παραδείγματα (558). 2. Παρατήρηση στους τοπολογικούς χώρους (562).
Γραμμικοί κανονικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές 564
1. Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα (564).
2. Κανονισμένοι χώροι. Χώροι Banach.
Παραδείγματα (566). 3. Τελεστές σε γραμμικούς και κανονικούς χώρους (568). 4. Χώρος χειριστών (569).
5. Κανόνα χειριστή (569). 6. Η έννοια του χώρου Hilbert (572).
Παράρτημα 3. Διαφορικός λογισμός σε γραμμικούς κανονικούς χώρους. 574
1. Η έννοια είναι διαφοροποιήσιμη. Ισχυρή και ασθενής διαφοροποίηση σε γραμμικούς κανονικούς χώρους (575).
2. Τύπος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις (581).
3. Σχέση ασθενούς και ισχυρής διαφοροποίησης (584). 4. Διαφοροποίηση λειτουργιών (587). 5. Ολοκλήρωμα αφηρημένων συναρτήσεων (587). 6. Τύπος Newton-Leibniz για αφηρημένες συναρτήσεις (589). 7. Παράγωγα δεύτερης τάξης (592). 8. Αντιστοίχιση του ευκλείδειου χώρου m διαστάσεων σε χώρο g διαστάσεων (595). 9. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων (598). 10. Ο τύπος του Taylor για τη χαρτογράφηση ενός κανονικού χώρου σε έναν άλλο (599).
Μελέτη για το άκρο των λειτουργιών σε κανονικοποιημένα
χώρους. 602
1. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακραίο (602). 2. Επαρκείς συνθήκες για ακραίο (605).
Κεφάλαιο 13. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 609
§ 1. Ύπαρξη και διαφοροποίηση μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης 610
1. Θεώρημα ύπαρξης και διαφοροποίησης άρρητη λειτουργία(610). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης (615). 3. Ειδικά σημείαεπιφάνεια και επίπεδη καμπύλη (617). 4. Συνθήκες που διασφαλίζουν την ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης (618) για τη συνάρτηση y=)(x).
§ 2. Άμεσες συναρτήσεις που ορίζονται από ένα σύστημα λειτουργικών
εξισώσεις 619
1. Θεώρημα για τη διαλυτότητα συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (619). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων συναρτήσεων που προσδιορίζονται σιωπηρά μέσω συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (624). 3. Ένα προς ένα αντιστοίχιση δύο συνόλων m-διάστατος χώρος (625).
§ 3. Εξάρτηση συναρτήσεων 626
1. Η έννοια της εξάρτησης συνάρτησης. Επαρκής προϋπόθεση για ανεξαρτησία (626). 2. Λειτουργικοί πίνακες και οι εφαρμογές τους (628).
§ 4. Ακραίο υπό όρους. 632
1. Η έννοια του ακραίου υπό όρους (632). 2. Μέθοδος απροσδιόριστους πολλαπλασιαστές Lagrange (635). 3. Επαρκές. προϋποθέσεις (636). 4. Παράδειγμα (637).
Παράρτημα 1. Χαρτογραφήσεις χώρων Banach. Ανάλογο του θεωρήματος άρρητης συνάρτησης 638
1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα της άρρητης συνάρτησης (638). 2. Η περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων (644). 3. Μοναδικά σημεία επιφάνειας σε χώρο n διαστάσεων. Αντίστροφη χαρτογράφηση (647). 4. Υπό όρους ακρότατο σε περίπτωση χαρτογράφησης κανονικών χώρων (651).

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΕΙΡΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 7
§ 1. Η έννοια της σειράς αριθμών 7
1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
§ 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Τα σημάδια του D'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωμένη δοκιμή Cauchy - MacLaurin (21). 5, σημάδι Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
§ 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
1. Έννοιες απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσες σειρές (28). 2. Περί αναδιάταξης όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με την αναδιάταξη όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
§ 4. Δοκιμές για τη σύγκλιση αυθαίρετων σειρών 35
§ 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
§ 6. Άπειρα γινόμενα 44
1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Επέκταση της συνάρτησης sin x σε άπειρο γινόμενο (51)
§ 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης αποκλίνουσες σειρές.... 55
1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων όρων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
§ 8. Στοιχειώδης θεωρία διπλής και επαναλαμβανόμενης σειράς 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
§ 1. Έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και της συναρτησιακής σειράς (67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε ένα σημείο και στο σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
§ 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
§ 3. Πέρασμα ανά περίοδο στο όριο 83
§ 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Σύγκλιση κατά μέσο όρο (94)
§ 5. Ισοδύναμη συνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
§ 6. Power series 102
1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση σειρών ισχύος ανά όρο (105)
§ 7. Επέκταση λειτουργιών σε σειρά ισχύος 107
1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος (107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων στη σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις ιδέες για συναρτήσεις σύνθετης μεταβλητής (CV). 4. Το θεώρημα του Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
§ 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετη περιοχή (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
«§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
§ 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο απλό ολοκλήρωμα. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
§ 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
§ 5. Αλλαγή μεταβλητών σε ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
§ 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
§ 7. Θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
$ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
1. Η έννοια των πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα εναλλασσόμενων συναρτήσεων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
§ 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
§ 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
§ 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
3. Επιφάνεια (181)
§ 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 190
§ 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα του γραμμικού τελεστή 190
1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Shch8)
§ 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές διανυσματικής ανάλυσης 198
!. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, ρότορας και παράγωγος ως προς την κατεύθυνση ενός διανυσματικού πεδίου (203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι ανάλυσης διανύσματος (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
1. Ο τύπος του Green (207). 2. Τύπος Ostrogradsky-Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
§ 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στο επίπεδο της διαδρομής ολοκλήρωσης 218
§ 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών της θεωρίας πεδίου 222
1. Έκφραση του εμβαδού μιας επίπεδης περιοχής μέσω ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος (222). 2. Έκφραση όγκου μέσω ολοκληρώματος επιφάνειας (223)
Συμπλήρωμα στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
§ 1. Εναλλασσόμενα πολυγραμμικά έντυπα 225
1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικά έντυπα (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
§ 2. Διαφορικά έντυπα 235
1. Βασικές σημειώσεις (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες εξωτερικού διαφορικού (237;)
§ 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Εμφάνιση ιδιοτήτων f* (240)
§ 4. Ολοκλήρωση διαφορικών μορφών 243
1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
§ 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή η τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
1. Η σύνδεση μεταξύ μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών που τείνουν ομοιόμορφα σε μια μεταβλητή στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης τάσης στην οριακή συνάρτηση (254)
§ 2. Σωστά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος ανάλογα με την παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
§ 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους, ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
§ 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό κάποιων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
§ 5. Ολοκληρώματα Euler 271
k Συνάρτηση G (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σχέση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
§ 6. Τύπος Stirling 280
§ 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
§ 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
§ 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
§ 3. Κλείσιμο του τριγωνομετρικού συστήματος και συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
§ 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες απόλυτης και ομοιόμορφης σύγκλισης της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση κατά όρο της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
§ 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο 309>
1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις (314). 4. Η αρχή του εντοπισμού (317). 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier της τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
§ 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
1. Έννοιες πολλαπλών τριγωνομετρικών σειρών Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά τους (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33"
§ 1. Αναπαράσταση συνάρτησης από το ολοκλήρωμα Fourier 339
1. Βοηθητικές δηλώσεις (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
§ 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
§ 3. Πολλαπλό ολοκλήρωμα Fourier 352

Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Μέρος 1: 2η έκδ., αναθεωρημένη, 1985. - 662 σελ.; Μέρος 2 - 1987. - 358 σελ. Μέρος 1. - Έναρξη μαθημάτων.

Το εγχειρίδιο αντιπροσωπεύει το πρώτο μέρος ενός μαθήματος μαθηματικής ανάλυσης για ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα της ΕΣΣΔ, της Βουλγαρίας και της Ουγγαρίας, γραμμένο σύμφωνα με μια συμφωνία συνεργασίας μεταξύ των πανεπιστημίων της Μόσχας, της Σόφιας και της Βουδαπέστης. Το βιβλίο περιλαμβάνει τη θεωρία των πραγματικών αριθμών, τη θεωρία των ορίων, τη θεωρία της συνέχειας των συναρτήσεων, τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό των συναρτήσεων μιας μεταβλητής και τις εφαρμογές τους, τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και τη θεωρία των άρρητων συναρτήσεων.

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Το εγχειρίδιο αντιπροσωπεύει το δεύτερο μέρος (Μέρος 1 - 1985) ενός μαθήματος στη μαθηματική ανάλυση, γραμμένο σύμφωνα με ένα ενιαίο πρόγραμμα που εγκρίθηκε στην ΕΣΣΔ και τη Λαϊκή Δημοκρατία της Λευκορωσίας. Το βιβλίο καλύπτει τη θεωρία των αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών, τη θεωρία των πολλαπλών, καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, τη θεωρία πεδίου (συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών μορφών), τη θεωρία των εξαρτώμενων από παραμέτρους ολοκληρωμάτων και τη θεωρία των σειρών και ολοκληρωμάτων Fourier. Η ιδιαιτερότητα του βιβλίου είναι τρία σαφώς διαχωρισμένα επίπεδα παρουσίασης: ελαφρύ, βασικό και προηγμένο, που επιτρέπει τη χρήση του από φοιτητές τεχνικών πανεπιστημίων με σε βάθος μελέτημαθηματική ανάλυση, και φοιτητές μηχανολογικών και μαθηματικών σχολών πανεπιστημίων.

• ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
• Πρόλογος από τον επιμελητή τίτλου... 5
• Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 6
• Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 6
• Κεφάλαιο 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 10
• Κεφάλαιο 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 29
• § 1. Το σύνολο των αριθμών που αναπαρίστανται ως άπειρα δεκαδικά κλάσματα και η σειρά του 29
• 1. Ιδιότητες ρητών αριθμών (29). 2. Ανεπάρκεια ρητών αριθμών για τη μέτρηση τμημάτων της αριθμογραμμής (31). 3. Ταξινόμηση ενός συνόλου άπειρων δεκαδικών
• κλάσματα (34)
• § 2. Οριοθετημένα πάνω (ή κάτω) σύνολα αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα.... 40 1. Βασικές έννοιες (40). 2. Ύπαρξη ακριβείς άκρες (41).
• § 3. Προσέγγιση αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα και ρητούς αριθμούς 44
• § 4. Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή του συνόλου των πραγματικών αριθμών 46
• 1. Ορισμός πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή της έννοιας των πραγματικών αριθμών (46). 2. Ύπαρξη και μοναδικότητα του αθροίσματος και του γινομένου των πραγματικών αριθμών (47).
• § 5. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών 50
• 1. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών (50). 2. Μερικές συχνά χρησιμοποιούμενες σχέσεις (52). 3. Μερικά συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών (52).
• § 6. Πρόσθετες ερωτήσεις στη θεωρία των πραγματικών αριθμών. .54 1. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών (54). 2. Αξιωματική εισαγωγή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (57).
• § 7. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 59
• 1. Η έννοια του συνόλου (59). 2. Λειτουργίες σε σετ (60). 3. Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα. Αμέτρητο τμήμα. Καρδιναλότητα του σετ (61). 4. Ιδιότητες πράξεων σε σύνολα. Σύνολα χαρτογράφησης (65).
• Κεφάλαιο 3. ΟΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. 68
• § 1. Ακολουθία και το όριό της 68.
• 1. Η έννοια της ακολουθίας. Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες (68). 2. Οριοθετημένες, απεριόριστες, απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες ακολουθίες (69). 3. Βασικές ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών (73). 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους (75).
• § 2. Μονότονες ακολουθίες 83
• 1. Η έννοια της μονοτονικής ακολουθίας (83). 2. Θεώρημα για τη σύγκλιση μονότονης οριοθετημένης ακολουθίας (84). 3. Αριθμός ε (86). 4. Παραδείγματα συγκλίνουσες μονοτονικές ακολουθίες (88).
• § 3. Αυθαίρετες ακολουθίες 92
• 1. Οριακά σημεία, άνω και κάτω όρια της ακολουθίας (92). 2. Επέκταση των εννοιών του οριακού σημείου και των άνω και κάτω ορίων (99). 3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση της ακολουθίας (102).
• § 4. Όριο (ή οριακή τιμή) μιας συνάρτησης 105
• 1. Έννοιες μεταβλητής ποσότητας και συνάρτησης (105). 2. Όριο συνάρτησης κατά Heine και κατά Cauchy (109). 3. Κριτήριο Cauchy για την ύπαρξη ορίου συνάρτησης (115). 4. Αριθμητικές πράξεις σε συναρτήσεις που έχουν όριο (118). 5. Απείρως μικρές και απείρως μεγάλες συναρτήσεις (119).
• § 5. Γενικός ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης ως προς τη βάση.... 122
• Κεφάλαιο 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 127
• § 1. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης 127
• 1. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης (127). 2. Αριθμητικές πράξεις σε συνεχείς συναρτήσεις (131). 3. Μιγαδική συνάρτηση και η συνέχειά της (132).
• § 2. Ιδιότητες μονότονων συναρτήσεων 132
• 1. Μονότονες συναρτήσεις (132). 2. Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης (133).
• § 3. Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις 138
• 1. Εκθετική συνάρτηση (138). 2. Λογαριθμική συνάρτηση (145). 3. Λειτουργία ισχύος (146). 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (147). 5. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (154). 6. Υπερβολικές συναρτήσεις (156).
• § 4. Δύο αξιόλογα όρια 158
• 1. Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο (158). 2. Δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (159).
• § 5. Σημεία ασυνέχειας συναρτήσεων και ταξινόμηση τους. . . . 162 1. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συνάρτησης (162). 2. Στα σημεία ασυνέχειας της μονότονης συνάρτησης (166).
• § 6. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. 167 1. Τοπικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (167). 2. Καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (170). 3. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης (176). 4. Η έννοια του συντελεστή συνέχειας μιας συνάρτησης (181).
• § 7. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου 184
• 1. Ανοιχτά και κλειστά σετ (184). 2. Σε επικαλύψεις σετ με σύστημα ανοιχτών συνόλων (184). 3. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου (186).
• Κεφάλαιο 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 189
• § 1. Η έννοια του παραγώγου 189
• 1. Αύξηση συνάρτησης. Μορφή διαφοράς της συνθήκης συνέχειας (189). 2. Ορισμός παραγώγου (190). 3. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου (192).
• § 2. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης 193
• 1. Προσδιορισμός διαφοροποίησης συνάρτησης (193). 2. Διαφορικότητα και συνέχεια (195). 3. Η έννοια της διαφορικής συνάρτησης (196).
• § 3. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης 197 1. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (197). 2. Διαφοροποίηση της αντίστροφης συνάρτησης (199). 3. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (200). 4. Εφαρμογή διαφορικού για τη δημιουργία κατά προσέγγιση τύπων (201).
• § 4. Διαφοροποίηση αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου συναρτήσεων 202
• § 5. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . 205 1. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων (205). 2. Παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης (207). 3. Παράγωγοι εκθετικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (208). 4. Παράγωγος συνάρτησης ισχύος (210). 5. Πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (210). 6. Πίνακας διαφορικών των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (212). 7. Λογαριθμική παράγωγος. Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής (212).
• § 6. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων. . . 215 1. Η έννοια της παραγώγου lης τάξης (213). 2. νθ παράγωγοι κάποιων συναρτήσεων (214). 3. Τύπος Leibniz για την i-η παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων (216). 4. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (218).
• § 7. Διαφοροποίηση συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά. 220*
• § 8. Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης 222
• Κεφάλαιο 6. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 224
• § 1. Αύξηση (μείωση) συνάρτησης σε σημείο. Τοπικό άκρο 224
• § 2. Θεώρημα για τη μηδενική παράγωγο 226
• § 3. Τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Lagrange). . 227 § 4. Μερικές συνέπειες από τον τύπο Lagrange.... 229 «1. Η σταθερότητα μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο (229) ίση με μηδέν στο διάστημα. 2. Προϋποθέσεις για τη μονοτονία μιας συνάρτησης στο διάστημα (230). 3. Απουσία ασυνεχειών πρώτου είδους και αφαιρούμενες ασυνέχειες στο παράγωγο (231). 4. Παραγωγή ορισμένων ανισοτήτων (233). § 5. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Cauchy). . 234
• § 6. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων (κανόνας L'Hopital). . . 235
• 1. Αποκάλυψη αβεβαιότητας του εντύπου (235). Αποκάλυψη της αβεβαιότητας των ειδών - (240). 3. Αποκάλυψη άλλων τύπων αβεβαιοτήτων (243).
• !§ 7. Ο τύπος του Taylor «245
• § 8. Διάφορες μορφές του υπολοίπου όρου. Maclaurin τύπος 248
• 1. Όρος υπολειμμάτων σε μορφή Lagrange, Cauchy και Peano (248).
• 2. Άλλη μια καταχώρηση για τον τύπο του Taylor (250). 3. Φόρμουλα Maclaurin (251).
• § 9. Εκτίμηση της υπολειπόμενης περιόδου. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών λειτουργιών. . . . . 251
• 1. Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου για μια αυθαίρετη συνάρτηση (251). 2. Επέκταση σύμφωνα με τον τύπο Maclaurin ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων (252).
• 1§ 10. Παραδείγματα εφαρμογών του τύπου Maclaurin 256.
• 1. Υπολογισμός του αριθμού e σε υπολογιστή (256). 2. Απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού ε (257). 3. Υπολογισμός τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (258). 4. Ασυμπτωτική εκτίμηση στοιχειωδών συναρτήσεων και υπολογισμός ορίων (259).
• Κεφάλαιο 7. ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΩΝ ΑΞΙΩΝ 262
• § 1. Εύρεση ακίνητων σημείων 262
• 1. Σημάδια μονοτονίας συνάρτησης (262). 2. Εύρεση ακίνητων σημείων (262). 3. Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση για ακρότατο (264). 4. Η δεύτερη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο "(265). 5. Η τρίτη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο (267). 6. Το άκρο μιας συνάρτησης που δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο σημείο (268). 7. Η γενική σύστημα εύρεσης ακρών (270).
• § 2. Κυρτότητα της γραφικής παράστασης συνάρτησης 271
• § 3. Σημεία καμπής 273
• 1. Προσδιορισμός του σημείου καμπής. Απαραίτητη προϋπόθεση για την κλίση (273). 2. Η πρώτη επαρκής συνθήκη για την κλίση (276). 3. Μερικές γενικεύσεις της πρώτης ικανής συνθήκης για την κλίση (276). 4. Δεύτερη επαρκής συνθήκη για κλίση (277). 5. Τρίτη επαρκής συνθήκη για κλίση (278).
• § 4. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 279
• § 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 281
• § 6. Καθολικές μέγιστες και ελάχιστες συναρτήσεις σε ένα τμήμα.
• Edge exremum 284
• 1. Εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών της συνάρτησης που ορίζεται στο τμήμα (284). 2. Ακραίο άκρο (286). 3. Θεώρημα Darboux (287). Πρόσθεση. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων τιμών μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας μόνο τις τιμές αυτής της συνάρτησης. . . 288
• Κεφάλαιο 8. ΑΝΙΜΙΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ 291
• § 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης και του αορίστου ολοκληρωτικού 291 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης (291). 2. Αόριστο ολοκλήρωμα (292). 3."Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (293). 4. Πίνακας βασικών αόριστα ολοκληρώματα (294).
• § 2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης 297
• 1, Ολοκλήρωση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση) (297).
• 2. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα (300).
• § 3. Κατηγορίες συναρτήσεων που μπορούν να ενσωματωθούν σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. 303 1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικούς αριθμούς (304). 2. Σύντομες πληροφορίες για τις ρίζες των αλγεβρικών πολυωνύμων (307). 3. Αποσύνθεση αλγεβρικού πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές στο γινόμενο μη αναγώγιμων παραγόντων (311). 4. Αποσύνθεση ενός ορθού λογικού κλάσματος στο άθροισμα απλών κλασμάτων (312). 5. Ολοκληρωσιμότητα ρητών κλασμάτων σε στοιχειώδεις συναρτήσεις (318). 6. Ολοκληρωσιμότητα σε στοιχειώδεις συναρτήσεις ορισμένων τριγωνομετρικών και παράλογων εκφράσεων (321).
• § 4. Ελλειπτικά ολοκληρώματα, 327
• Κεφάλαιο 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ RIEMANN 330
• § 1. Ορισμός του ολοκληρώματος. Ολοκληρωσιμότητα. . . . . 330 § 2. Ανώτερα και κατώτερα αθροίσματα και οι ιδιότητές τους. . . . . 334 1. Προσδιορισμός των ανώτερων και κατώτερων ποσών (334). 2. Βασικές ιδιότητες ανώτερων και κατώτερων αθροισμάτων (335). § 3. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. . . 339
• 1. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ενσωμάτωση (339).
• 2. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων (341).
• "§ 4. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων. Θεωρήματα μέσης τιμής. 347
• 1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος (347). 2. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων (350).
• § 5. Αντιπαράγωγο συνεχούς συνάρτησης. Κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων 357
• 1. Αντιπαράγωγο (357). 2. Βασικός τύπος ολοκληρωτικού λογισμού (359). 3. Σημαντικοί κανόνες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε καθορισμένα ολοκληρώματα (360). 4. Το υπόλοιπο του τύπου Taylor σε ακέραια μορφή (362).
• § 6. Ανισώσεις για αθροίσματα και ολοκληρώματα 365
• 1. Ανισότητα Young (365). 2. Η ανισότητα του Hölder για αθροίσματα (366). 3. Ανισότητα Minkowski για αθροίσματα (367). 4. Η ανισότητα του Hölder για ολοκληρώματα (367). 5. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα (368).
• § 7. Πρόσθετες πληροφορίες για το οριστικό ολοκλήρωμα Riemann 369
• 1. Όριο ολοκληρωτικών ποσών πάνω από τη βάση του φίλτρου (369).
• 2. Κριτήριο ενσωμάτωσης Lebesgue (370).
• Παράρτημα 1. Ακατάλληλα ολοκληρώματα 370
• § 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους 371
• 1. Η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους (371).
• 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επαρκείς ενδείξεις σύγκλισης (373). 3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (375). 4. Αλλαγή μεταβλητών κάτω από το ακατάλληλο ολοκληρωτικό πρόσημο και τύπο για ολοκλήρωση κατά μέρη (378).
• § 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους 379
• § 3. Η κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος.. 382
• Παράρτημα 2. Αναπόσπαστο Stieltjes 384
• 1. Ορισμός του ολοκληρώματος Stieltjes και προϋποθέσεις ύπαρξής του (384). 2. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Stieltjes (389).
• Κεφάλαιο 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ 391
• § 1. Μήκος τόξου καμπύλης 391
• 1. Η έννοια της απλής καμπύλης (391). 2. Η έννοια της παραμετροποιήσιμης καμπύλης (392). 3. Μήκος του τόξου της καμπύλης. Η έννοια μιας διορθώσιμης καμπύλης (394). 4. Κριτήριο ευθύτητας καμπύλης. Υπολογίστε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης (397). 5. Διαφορικό τόξου (402). 6. Παραδείγματα (403).
• !§ 2. Εμβαδόν επίπεδης μορφής 405
• 1. Η έννοια του ορίου ενός συνόλου και ενός επίπεδου σχήματος (405).
• 2. Εμβαδόν επίπεδης μορφής (406). 3. Καμπυλόγραμμη περιοχή
• τραπεζοειδής και καμπύλος τομέας (414). 4. Παραδείγματα εμβαδών υπολογισμού (416).
• § 3. Όγκος σώματος στο διάστημα 418
• 1. Όγκος σώματος (418). 2. Μερικές κατηγορίες σωμάτων σε κύβους (419). 3. Παραδείγματα (421).
• Κεφάλαιο 11. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΩΝ... 422
• § 1. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού των ριζών εξισώσεων. . 422 1. Μέθοδος πιρουνιού (422). 2. Μέθοδος επανάληψης (423). 3. Μέθοδοι συγχορδιών και εφαπτομένων (426).
• § 2. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων 431 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (431). 2. Μέθοδος ορθογωνίου (434).
• 3. Τραπεζοειδής μέθοδος (436). 4. Μέθοδος παραβολής (438).
• Κεφάλαιο 12. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.... 442
• § 1. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών 442
• 1. Η έννοια της m-διάστατης συντεταγμένης και των παιχνιδιών Ευκλείδειων χώρων (442). 2. Σύνολα σημείων στον ευκλείδειο χώρο m διαστάσεων (445). 3. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών (449).
• § 2. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών 451
• 1. Ακολουθίες σημείων στο διάστημα Em (451). 2. Ιδιότητα οριοθετημένης ακολουθίας σημείων Em (454). 3. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών (455). 4. Απειροελάχιστες συναρτήσεις m μεταβλητών (458). 5. Επαναλαμβανόμενα όρια (459).
• § 3. Συνέχεια συνάρτησης n μεταβλητών 460
• 1. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης m μεταβλητών (460).
• 2. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών σε μία μεταβλητή (462). 3. Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (465).
• § 4. Παράγωγοι και διαφορικά συναρτήσεων πολλών μεταβλητών 469
• 1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (469). 2. Διαφοροποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (470). 3. Γεωμετρική σημασία της συνθήκης για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών (473). 4. Επαρκείς προϋποθέσεις διαφοροποίησης (474). 5. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών (476). 6. Διαφοροποίηση μιγαδικών συναρτήσεων (476). 7. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (480). 8. Κατευθυντική παράγωγος. Κλίση (481).
• § 5. Μερικά παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων.. 485 1. Μερικά παράγωγα ανώτερων τάξεων (485). 2. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (490). 3. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Lagrange και σε ακέραια μορφή (497) 4. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano (500).
• 6. Τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών.... 504 1. Η έννοια του άκρου συνάρτησης m μεταβλητών. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ (504). 2. Επαρκείς συνθήκες για τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών (506). 3. Η περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών (512).
• Παράρτημα 1. Μέθοδος κλίσης για αναζήτηση του άκρου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης 514
• 1. Κυρτά σύνολα και κυρτές συναρτήσεις (515). 2. Η ύπαρξη ελάχιστου για μια έντονα κυρτή συνάρτηση και η μοναδικότητα ενός ελάχιστου για μια αυστηρά κυρτή συνάρτηση (521).
• 3. Αναζητήστε το ελάχιστο μιας έντονα κυρτής συνάρτησης (526).
• Παράρτημα 2. Μετρικοί, κανονικοί χώροι. . 535
• Μετρικοί χώροι. 1. Ορισμός μετρικού χώρου. Παραδείγματα (535). 2. Ανοιχτά και κλειστά σετ (538). 3. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (540). 4. Παντού πυκνά και τέλεια σύνολα (541). 5. Σύγκλιση. Συνεχείς ενδείξεις (543). 6. Συμπαγότητα (545). 7. Βάση χώρου (548).
• Ιδιότητες μετρικών χώρων 550
• Τοπολογικοί χώροι 558
• 1. Ορισμός τοπολογικού χώρου. Τοπολογικός χώρος Hausdorff. Παραδείγματα (558). 2. Παρατήρηση στους τοπολογικούς χώρους (562).
• Γραμμικοί κανονικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές 564
• 1. Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα (564).
• 2. Κανονισμένοι χώροι. Χώροι Banach.
• Παραδείγματα (566). 3. Τελεστές σε γραμμικούς και κανονικούς χώρους (568). 4. Χώρος χειριστών (569).
• 5. Κανόνα χειριστή (569). 6. Η έννοια του χώρου Hilbert (572).
• Παράρτημα 3. Διαφορικός λογισμός σε γραμμικούς κανονικούς χώρους. 574
• 1. Η έννοια είναι διαφοροποιήσιμη. Ισχυρή και ασθενής διαφοροποίηση σε γραμμικούς κανονικούς χώρους (575).
• 2. Τύπος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις (581).
• 3. Σχέση ασθενούς και ισχυρής διαφοροποίησης (584). 4. Διαφοροποίηση λειτουργιών (587). 5. Ολοκλήρωμα αφηρημένων συναρτήσεων (587). 6. Τύπος Newton-Leibniz για αφηρημένες συναρτήσεις (589). 7. Παράγωγα δεύτερης τάξης (592). 8. Αντιστοίχιση του ευκλείδειου χώρου m διαστάσεων σε χώρο g διαστάσεων (595). 9. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων (598). 10. Ο τύπος του Taylor για τη χαρτογράφηση ενός κανονικού χώρου σε έναν άλλο (599).
• Μελέτη για το άκρο των λειτουργιών σε κανονικοποιημένα
• χώρους. 602
• 1. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακραίο (602). 2. Επαρκείς συνθήκες για ακραίο (605).
• Κεφάλαιο 13. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 609
• § 1. Ύπαρξη και διαφοροποίηση μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης 610
• 1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφοροποίηση της άρρητης συνάρτησης (610). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης (615). 3. Μοναδικά σημεία επιφάνειας και επίπεδη καμπύλη (617). 4. Συνθήκες που διασφαλίζουν την ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης (618) για τη συνάρτηση y=)(x).
• § 2. Άμεσες συναρτήσεις που ορίζονται από ένα σύστημα λειτουργικών
• εξισώσεις 619
• 1. Θεώρημα για τη διαλυτότητα συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (619). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων συναρτήσεων που προσδιορίζονται σιωπηρά μέσω συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (624). 3. Αντιστοίχιση ενός προς ένα δύο συνόλων m-διάστατου χώρου (625).
• § 3. Εξάρτηση συναρτήσεων 626
• 1. Η έννοια της εξάρτησης συνάρτησης. Επαρκής προϋπόθεση για ανεξαρτησία (626). 2. Λειτουργικοί πίνακες και οι εφαρμογές τους (628).
• § 4. Υπό όρους ακραίο. 632
• 1. Η έννοια του ακραίου υπό όρους (632). 2. Μέθοδος αόριστων πολλαπλασιαστών Lagrange (635). 3. Επαρκές. προϋποθέσεις (636). 4. Παράδειγμα (637).
• Παράρτημα 1. Χαρτογραφήσεις χώρων Banach. Ανάλογο του θεωρήματος άρρητης συνάρτησης 638
• 1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα της άρρητης συνάρτησης (638). 2. Η περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων (644). 3. Μοναδικά σημεία επιφάνειας σε χώρο n διαστάσεων. Αντίστροφη χαρτογράφηση (647). 4. Υπό όρους ακρότατο σε περίπτωση χαρτογράφησης κανονικών χώρων (651).
• Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.
• ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
• Πρόλογος 5
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΕΙΡΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 7
• § 1. Η έννοια της σειράς αριθμών 7
• 1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
• § 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
• 1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Τα σημάδια του D'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωμένη δοκιμή Cauchy - MacLaurin (21). 5, σημάδι Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
• § 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
• 1. Έννοιες απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσες σειρές (28). 2. Περί αναδιάταξης όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με την αναδιάταξη όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
• § 4. Δοκιμές για τη σύγκλιση αυθαίρετων σειρών 35
• § 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
• § 6. Άπειρα γινόμενα 44
• 1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Επέκταση της συνάρτησης sin x σε άπειρο γινόμενο (51)
• § 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης αποκλίνουσες σειρές.... 55
• 1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων όρων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
• § 8. Στοιχειώδης θεωρία διπλής και επαναλαμβανόμενης σειράς 59
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
• § 1. Έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
• 1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και της συναρτησιακής σειράς (67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε ένα σημείο και στο σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
• § 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
• § 3. Πέρασμα ανά περίοδο στο όριο 83
• § 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
• 1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Σύγκλιση κατά μέσο όρο (94)
• § 5. Ισοδύναμη συνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
• § 6. Power series 102
• 1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση σειρών ισχύος ανά όρο (105)
• § 7. Επέκταση λειτουργιών σε σειρά ισχύος 107
• 1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος (107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων στη σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις ιδέες για συναρτήσεις σύνθετης μεταβλητής (CV). 4. Το θεώρημα του Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
• § 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
• 1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
• 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετη περιοχή (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
• «§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
• § 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο απλό ολοκλήρωμα. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
• § 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
• § 5. Αλλαγή μεταβλητών σε ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
• § 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
• § 7. Θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
• $ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
• 1. Η έννοια των πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα εναλλασσόμενων συναρτήσεων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
• § 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
• § 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
• § 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
• 1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
• 3. Επιφάνεια (181)
• § 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 190
• § 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα του γραμμικού τελεστή 190
• 1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Shch8)
• § 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές διανυσματικής ανάλυσης 198
• !. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, ρότορας και παράγωγος ως προς την κατεύθυνση ενός διανυσματικού πεδίου (203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι ανάλυσης διανύσματος (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
• § 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
• 1. Ο τύπος του Green (207). 2. Τύπος Ostrogradsky-Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
• § 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος σε ένα επίπεδο από τη διαδρομή ολοκλήρωσης 218
• § 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών της θεωρίας πεδίου 222
• 1. Έκφραση του εμβαδού μιας επίπεδης περιοχής μέσω ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος (222). 2. Έκφραση όγκου μέσω ολοκληρώματος επιφάνειας (223)
• Συμπλήρωμα στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
• § 1. Εναλλασσόμενα πολυγραμμικά έντυπα 225
• 1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικά έντυπα (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
• § 2. Διαφορικά έντυπα 235
• 1. Βασικές σημειώσεις (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες εξωτερικού διαφορικού (237;)
• § 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
• 1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Εμφάνιση ιδιοτήτων f* (240)
• § 4. Ολοκλήρωση διαφορικών μορφών 243
• 1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
• § 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή η τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
• 1. Η σύνδεση μεταξύ μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών που τείνουν ομοιόμορφα σε μια μεταβλητή στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης τάσης στην οριακή συνάρτηση (254)
• § 2. Σωστά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
• 1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος ανάλογα με την παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
• § 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
• 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους, ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
• § 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό κάποιων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
• § 5. Ολοκληρώματα Euler 271
• k Συνάρτηση G (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σχέση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
• § 6. Τύπος Stirling 280
• § 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
• 1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
• 2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
• § 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
• 1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
• § 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
• § 3. Κλείσιμο του τριγωνομετρικού συστήματος και συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
• § 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
• 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες απόλυτης και ομοιόμορφης σύγκλισης της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
• 3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση κατά όρο της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
• § 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο 309>
• 1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις (314). 4. Η αρχή του εντοπισμού (317). 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier της τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
• § 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
• 1. Έννοιες πολλαπλών τριγωνομετρικών σειρών Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά τους (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33"
• § 1. Αναπαράσταση συνάρτησης από το ολοκλήρωμα Fourier 339
• 1. Βοηθητικές δηλώσεις (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
• § 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
• § 3. Πολλαπλό ολοκλήρωμα Fourier 352