Βρίσκοντας τη διάμεσο. Μέσος ή διάμεσος; Μέσες και διάμεσες τιμές

Λειτουργία και διάμεσος- ένα ειδικό είδος μέσου όρου που χρησιμοποιείται για τη μελέτη της δομής της σειράς παραλλαγών. Μερικές φορές ονομάζονται δομικοί μέσοι όροι, σε αντίθεση με τους μέσους όρους ισχύος-νόμου που συζητήθηκαν προηγουμένως.

Μόδα- αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού (παραλλαγή), που βρίσκεται πιο συχνά σε αυτόν τον πληθυσμό, δηλ. έχει την υψηλότερη συχνότητα.

Η μόδα έχει μεγάλη πρακτική εφαρμογή και σε ορισμένες περιπτώσεις μόνο η μόδα μπορεί να χαρακτηρίσει κοινωνικά φαινόμενα.

Διάμεσοςείναι η παραλλαγή που βρίσκεται στη μέση της σειράς διατεταγμένων παραλλαγών.

Η διάμεσος δείχνει το ποσοτικό όριο της τιμής του χαρακτηριστικού της μεταβλητής, το οποίο επιτυγχάνεται από τις μισές μονάδες πληθυσμού. Η χρήση του μέσου όρου μαζί με τον μέσο όρο ή αντί αυτού είναι σκόπιμο εάν υπάρχουν ανοιχτά διαστήματα στη σειρά διακύμανσης, επειδή ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής δεν απαιτεί τον υπό όρους καθορισμό των ορίων των ανοιχτών διαστημάτων και επομένως η απουσία πληροφοριών σχετικά με αυτά δεν επηρεάζει την ακρίβεια του υπολογισμού της διάμεσης τιμής.

Ο διάμεσος χρησιμοποιείται επίσης όταν οι δείκτες που θα χρησιμοποιηθούν ως σταθμά είναι άγνωστοι. Ο διάμεσος χρησιμοποιείται αντί του αριθμητικού μέσου όρου στις στατιστικές μεθόδους ελέγχου ποιότητας του προϊόντος. Το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των επιλογών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

Εξετάστε τον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής σε μια διακριτή μεταβλητή σειρά :

Προσδιορίστε τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Fashion Mo = 4 χρόνια, αφού αυτή η τιμή αντιστοιχεί στην υψηλότερη συχνότητα f = 5.

Εκείνοι. Οι περισσότεροι από τους εργαζόμενους έχουν 4 χρόνια εμπειρία.

Για να υπολογίσουμε τη διάμεσο, βρίσκουμε πρώτα το μισό άθροισμα των συχνοτήτων. Εάν το άθροισμα των συχνοτήτων είναι περιττός αριθμός, τότε προσθέτουμε πρώτα ένα σε αυτό το άθροισμα και μετά το διαιρούμε στο μισό:

Η διάμεσος θα είναι η όγδοη επιλογή.

Για να βρούμε ποια επιλογή θα είναι η όγδοη σε αριθμό, θα συσσωρεύσουμε συχνότητες μέχρι να πάρουμε το άθροισμα των συχνοτήτων ίσο ή μεγαλύτερο από το μισό του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων. Η αντίστοιχη επιλογή θα είναι η διάμεσος.

Μου = 4 χρόνια.

Εκείνοι. Οι μισοί εργαζόμενοι έχουν λιγότερο από τέσσερα χρόνια εμπειρίας, οι μισοί περισσότερα.

Εάν το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων έναντι μιας επιλογής είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των συχνοτήτων, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της επιλογής και της επόμενης.

Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής σε μια σειρά διαστημάτων διακύμανσης

Ο τρόπος λειτουργίας στη σειρά παραλλαγής διαστήματος υπολογίζεται από τον τύπο

όπου Χ М0- αρχικό όριο του διαστήματος των τρόπων,

ηΜ 0 είναι η τιμή του τροπικού διαστήματος,

φάΜ 0 , φάΜ 0-1 , φάΜ 0+1 - τη συχνότητα του διαστήματος των τρόπων, αντίστοιχα, που προηγείται του τροπικού και του επακόλουθου.

ΤροπικόςΤο διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται.

Παράδειγμα 1

Ομάδες από εμπειρία	Αριθμός εργαζομένων, άτομα	Συσσωρευμένες Συχνότητες

Προσδιορίστε τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Τροπικό διάστημα, γιατί αντιστοιχεί στην υψηλότερη συχνότητα f = 35. Τότε:

Χμ 0 =6, fm 0 =35

ΠΡΑΚΤΙΚΗ #4 .

Υπολογισμός των δομικών χαρακτηριστικών της σειράς μεταβλητής κατανομής.

Ο μαθητής πρέπει:

ξέρω:

- πεδίο εφαρμογής και μεθοδολογία για τον υπολογισμό των διαρθρωτικών μέσων όρων·

έχω την δυνατότητα να:

- Υπολογίστε τους διαρθρωτικούς μέσους όρους·

- διατυπώσετε ένα συμπέρασμα με βάση τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Κατευθυντήριες γραμμές

Στα στατιστικά, υπολογίζεται ο τρόπος και η διάμεσος, τα οποία σχετίζονται με δομικούς μέσους όρους, οπότε από ποια τιμή εξαρτάται κτίριαστατιστικό σύνολο.

υπολογισμός μόδας

Μόδα η τιμή του χαρακτηριστικού (παραλλαγή) ονομάζεται, πιο συχνά όλα συμβαίνουνστον πληθυσμό που μελετήθηκε. Σε μια διακριτή σειρά διανομής, η λειτουργία θα είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα.

Για παράδειγμα: Η διανομή των γυναικείων υποδημάτων που πωλούνται κατά μέγεθος χαρακτηρίζεται ως εξής:

Το μέγεθος του παπουτσιού
Αριθμός ζευγών που πωλήθηκαν

Σε αυτήν τη σειρά διανομής, η λειτουργία είναι μέγεθος 37, δηλ. Μέγεθος Mo=37.

Για μια σειρά διανομής διαστήματος, ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από τον τύπο:

όπου Χ Μο - το κατώτερο όριο του διαστήματος των μεταφορών.

hMo - την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

fMo είναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.

fMo -1και fMo +1 – συχνότητα διαστήματος, αντίστοιχα

που προηγείται του τρόπου και ακολουθεί αυτό.

Για παράδειγμα: Η κατανομή των εργαζομένων κατά προϋπηρεσία χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα στοιχεία.

Εργασιακή εμπειρία, χρόνια	έως 2				8-10	10 ή περισσότερα
Αριθμός εργαζομένων, άτομα.

Προσδιορίστε τον τρόπο λειτουργίας της διαστημικής σειράς της κατανομής.

Ο τρόπος λειτουργίας της σειράς διαστήματος είναι

Η μόδα είναι πάντα κάπως ασαφής. Εξαρτάται από το μέγεθος των ομάδων και την ακριβή θέση των ορίων της ομάδας. Η μόδα χρησιμοποιείται ευρέως στην εμπορική πρακτική κατά τη μελέτη της καταναλωτικής ζήτησης, κατά την καταχώρηση τιμών κ.λπ.

Μέσος υπολογισμός

Διάμεσος στη στατιστική ονομάζεται μια παραλλαγή που βρίσκεται στο μέσο μιας σειράς ταξινομημένων δεδομένων και η οποία διαιρεί τον στατιστικό πληθυσμό σε δύο ίσα μέρη, έτσι ώστε η μισή τιμή να είναι μικρότερη από τη διάμεσο και η άλλη μισή να είναι μεγαλύτερη από αυτήν. Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να δημιουργήσετε μια σειρά κατάταξης, δηλ. σειρά σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ατομικές αξίεςσημάδι.

Σε μια διακριτή σειρά με μονό αριθμό μελών, η διάμεσος θα είναι η παραλλαγή που βρίσκεται στο κέντρο της σειράς.

Για παράδειγμα: Η εμπειρία πέντε εργαζομένων ήταν 2, 4, 7, 9 και 10 χρόνια. Σε αυτή τη σειρά, ο διάμεσος είναι τα 7 έτη, δηλ. Εγώ = 7 χρόνια

Εάν μια διακριτή σειρά αποτελείται από ζυγό αριθμό μελών, τότε η διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος δύο γειτονικών επιλογών στο κέντρο της σειράς.

Για παράδειγμα: Η εργασιακή εμπειρία έξι εργαζομένων ήταν 1, 3, 4, 5, 10 και 11 ετών. Υπάρχουν δύο επιλογές σε αυτή τη σειρά, που στέκονται στο κέντρο της σειράς. Αυτές είναι οι επιλογές 4 και 5. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των τιμών θα είναι ο διάμεσος της σειράς

Για να προσδιοριστεί η διάμεσος για ομαδοποιημένα δεδομένα, πρέπει να διαβαστούν οι αθροιστικές συχνότητες.

Για παράδειγμα:Με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα, προσδιορίζουμε το διάμεσο μέγεθος παπουτσιού

Το μέγεθος του παπουτσιού	Αριθμός ζευγών που πωλήθηκαν	Άθροισμα αθροιστικών συχνοτήτων
		8+19=27
		27+34=61
		61+108=169
Σύνολο

Για να προσδιοριστεί η διάμεσος, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων της σειράς. Η συσσώρευση του συνόλου συνεχίζεται έως ότου το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συχνοτήτων της σειράς. Στο παράδειγμά μας, το άθροισμα των συχνοτήτων ήταν 300, το μισό του - 150. Το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων ήταν 169. Η παραλλαγή που αντιστοιχεί σε αυτό το άθροισμα, δηλ. 37 είναι η διάμεσος της σειράς.

Εάν το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων έναντι μιας από τις επιλογές είναι ακριβώς το μισό από το άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της επιλογής και της επόμενης.

Για παράδειγμα: Με βάση τα διαθέσιμα στοιχεία, προσδιορίζουμε τους μέσους μισθούς των εργαζομένων

Μηνιαίο μισθός, χιλιάδες ρούβλια.	Αριθμός εργαζομένων, άτομα.	Άθροισμα αθροιστικών συχνοτήτων
14,0
14,2		2+6=8
16,0		8+12=20
16,8
18,0
Σύνολο:

Ο διάμεσος θα είναι:

Η διάμεσος της σειράς διαστημάτων μεταβολής της κατανομής καθορίζεται από τον τύπο:

Οπου x εμένα είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.

h Εγώ είναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.

∑ φά- το άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς.

φά Μου είναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.

Για παράδειγμα:Με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα για την κατανομή των επιχειρήσεων ανά αριθμό βιομηχανικού και παραγωγικού προσωπικού, υπολογίστε τη διάμεση τιμή στη σειρά διακύμανσης διαστήματος

	Αριθμός επιχειρήσεων	Άθροισμα αθροιστικών συχνοτήτων
100-200
200-300		1+3=4
300-400		4+7=11
400-500		11+30=41
500-600
600-700
700-800
Σύνολο:

Ας ορίσουμε πρώτα το διάμεσο διάστημα. ΣΤΟ αυτό το παράδειγματο άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων που υπερβαίνει το ήμισυ του αθροίσματος όλων των τιμών της σειράς αντιστοιχεί στο διάστημα 400-500. Αυτό είναι το διάμεσο διάστημα, δηλ. το διάστημα που περιέχει τη διάμεσο της σειράς. Ας ορίσουμε το νόημά του

Εάν το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων σε σχέση με ένα από τα διαστήματα είναι ακριβώς το μισό του αθροίσματος των συχνοτήτων της σειράς, τότε η διάμεσος καθορίζεται από τον τύπο:

όπου n- τον αριθμό των μονάδων στον πληθυσμό.

Για παράδειγμα:Με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα για την κατανομή των επιχειρήσεων ανά αριθμό βιομηχανικού και παραγωγικού προσωπικού, υπολογίστε τη διάμεσο στη σειρά διακύμανσης διαστήματος

Ομάδες επιχειρήσεων κατά αριθμό ΣΔΙΤ, ανά άτομο.	Αριθμός επιχειρήσεων	Άθροισμα αθροιστικών συχνοτήτων
100-200
200-300		1+3=4
300-400		4+6=10
400-500		10+30=40
500-600		40+20=60
600-700
700-800
Σύνολο:

Ανθρωποι

Η λειτουργία και η διάμεσος στη σειρά διαστήματος μπορεί να είναι ορίστε γραφικά:

μόδα μέσα διακριτές σειρές- από το πολύγωνο κατανομής, τον τρόπο λειτουργίας στη σειρά διαστήματος - από το ιστόγραμμα κατανομής και τη διάμεσο - από τη σώρευση.

Λειτουργία της σειράς κατανομής διαστήματος καθορίζεται από το ιστόγραμμα κατανομής καθορίζεταιμε τον εξής τρόπο. Για αυτό, επιλέγεται το ψηλότερο ορθογώνιο, το οποίο βρίσκεται μέσα αυτή η υπόθεσητροπικός. Στη συνέχεια συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με τη δεξιά πάνω γωνιάπροηγούμενο ορθογώνιο. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου είναι με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Περαιτέρω, από το σημείο τομής τους, μια κάθετη κατεβαίνει στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος διανομής.

Η διάμεσος υπολογίζεται από τη σώρευση. Για τον προσδιορισμό του, από ένα σημείο της κλίμακας των συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνότητες), που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή, παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης, μέχρι να τέμνεται με τη συσσώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής της καθορισμένης ευθείας γραμμής με τη σώρευση, μια κάθετη χαμηλώνεται στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.

Εκτός από τον τρόπο λειτουργίας και τη διάμεσο, μπορούν να οριστούν και άλλες μεταβλητές στη σειρά παραλλαγών. δομικά χαρακτηριστικά- ποσοστά. Τα ποσοστά προορίζονται για μια βαθύτερη μελέτη της δομής της σειράς διανομής.

ποσοστό- αυτή είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού που καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση στον πληθυσμό που ταξινομείται από αυτό το χαρακτηριστικό. Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι ποσοτήρων:

- τεταρτημόρια είναι οι τιμές χαρακτηριστικών που χωρίζουν το διατεταγμένο σύνολο σετέσσερα ίσα μέρη?

- δεκατιανοί – τιμές χαρακτηριστικών που διαιρούν το διατεταγμένο σύνολο με το δέκα ίσα μέρη;

- ποσοστά - τιμές χαρακτηριστικών που διαιρούν το ταξινομημένο σύνολο σε εκατό ίσα μέρη.

Έτσι, για να χαρακτηριστεί η θέση του κέντρου της σειράς διανομής, μπορούν να χρησιμοποιηθούν 3 δείκτες: σημαίνωχαρακτηριστικό, λειτουργία, διάμεσος.Κατά την επιλογή του τύπου και της μορφής ενός συγκεκριμένου δείκτη του κέντρου διανομής, είναι απαραίτητο να προχωρήσετε από τις ακόλουθες συστάσεις:

- για βιώσιμες κοινωνικοοικονομικές διαδικασίες, ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται ως δείκτης του κέντρου. Τέτοιες διαδικασίες χαρακτηρίζονται από συμμετρικές κατανομές, στις οποίες ;

- για ασταθείς διεργασίες, η θέση του κέντρου διανομής χαρακτηρίζεται από Μο ή Μου. Για ασύμμετρες διεργασίες, το προτιμώμενο χαρακτηριστικό του κέντρου διανομής είναι η διάμεσος, καθώς καταλαμβάνει μια θέση μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και του τρόπου λειτουργίας.

Μαζί με μέσες τιμές όπως στατιστικά χαρακτηριστικάτων σειρών μεταβλητής κατανομής, υπολογίζονται οι δομικοί μέσοι όροι - μόδακαι διάμεσος.
ΜόδαΤο (Mo) αντιπροσωπεύει την τιμή του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, που επαναλαμβάνεται με την υψηλότερη συχνότητα, δηλ. mode είναι η τιμή της δυνατότητας που εμφανίζεται πιο συχνά.
διάμεσος(Εγώ) είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που πέφτει στη μέση του ταξινομημένου (διατεταγμένου) πληθυσμού, δηλ. διάμεσος - η κεντρική τιμή της σειράς παραλλαγής.
Η κύρια ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή ∑|x i - Me|=min.

Προσδιορισμός λειτουργίας και διάμεσων δεδομένων από μη ομαδοποιημένα δεδομένα

Σκεφτείτε προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι τα συνεργεία εργασίας, που αποτελούνται από 9 άτομα, έχουν τις ακόλουθες μισθολογικές κατηγορίες: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Δεδομένου ότι αυτή η ομάδα έχει τους περισσότερους εργαζόμενους της 3ης κατηγορίας, αυτή η κατηγορία τιμολόγησης θα είναι modal. Mo = 3.
Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να ταξινομήσετε: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Κεντρική θέση σε αυτή τη σειρά είναι ο εργάτης της 4ης κατηγορίας, επομένως, αυτή η κατηγορία θα είναι η διάμεσος. Εάν η σειρά κατάταξης περιλαμβάνει ζυγό αριθμό μονάδων, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών.
Εάν η λειτουργία αντικατοπτρίζει την πιο κοινή παραλλαγή της τιμής του χαρακτηριστικού, τότε η διάμεσος πρακτικά εκτελεί τις λειτουργίες ενός μέσου όρου για ένα ετερογενές, μη υποδεέστερο κανονικός νόμοςκατανομή πληθυσμού. Ας επεξηγήσουμε τη γνωστική του σημασία με το ακόλουθο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να χαρακτηρίσουμε το μέσο εισόδημα μιας ομάδας ανθρώπων που αριθμούν 100 άτομα, εκ των οποίων τα 99 έχουν εισοδήματα από 100 έως 200 $ το μήνα και το μηνιαίο εισόδημα των τελευταίων είναι 50.000 $ (Πίνακας 1).
Πίνακας 1 - Μηνιαία εισοδήματα της υπό μελέτη ομάδας ατόμων. Αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, παίρνουμε ένα μέσο εισόδημα περίπου 600 - 700 δολαρίων, το οποίο έχει ελάχιστα κοινά με τα έσοδα του κύριου μέρους της ομάδας. Η διάμεσος, σε αυτή την περίπτωση ίση με Me = 163 δολάρια, θα μας επιτρέψει να δώσουμε μια αντικειμενική περιγραφή του επιπέδου εισοδήματος του 99% αυτής της ομάδας ανθρώπων.
Εξετάστε τον ορισμό του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου κατά ομαδοποιημένα δεδομένα (σειρές διανομής).
Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των εργαζομένων ολόκληρης της επιχείρησης στο σύνολό της σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία έχει επόμενη προβολή(Πίνακας 2).
Πίνακας 2 - Κατανομή των εργαζομένων της επιχείρησης σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία

Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για μια διακριτή σειρά

Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσος για μια σειρά διαστήματος

Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της μέσης τιμής για μια σειρά παραλλαγής

Προσδιορισμός της λειτουργίας από μια σειρά διακριτών παραλλαγής

Χρησιμοποιείται η σειρά τιμών χαρακτηριστικών που δημιουργήθηκαν νωρίτερα, ταξινομημένα κατά τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μονό, πάρτε την κεντρική τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών.
Προσδιορισμός της λειτουργίας από μια σειρά διακριτών παραλλαγής: υψηλότερη συχνότητα(60 άτομα) έχει την 5η κατηγορία τιμολόγησης, επομένως, είναι modal. Mo = 5.
Για να προσδιοριστεί η διάμεση τιμή του χαρακτηριστικού, ο αριθμός της διάμεσης μονάδας της σειράς (N Me) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , όπου n είναι ο όγκος του πληθυσμού.
Στην περίπτωσή μας: .
Ελήφθη κλασματική τιμή, που εμφανίζεται πάντα για ζυγό αριθμό μονάδων πληθυσμού, υποδηλώνει ότι το ακριβές ενδιάμεσο σημείο είναι μεταξύ 95 και 96 εργαζομένων. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποια ομάδα οι εργαζόμενοι με αυτά σειριακοί αριθμοί. Αυτό μπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των συσσωρευμένων συχνοτήτων. Δεν υπάρχουν εργαζόμενοι με αυτούς τους αριθμούς στην πρώτη ομάδα, όπου είναι μόνο 12 άτομα, και δεν είναι στη δεύτερη ομάδα (12+48=60). Οι εργαζόμενοι του 95ου και του 96ου ανήκουν στην τρίτη ομάδα (12+48+56=116), επομένως, η 4η μισθολογική κατηγορία είναι η διάμεσος.

Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου σε μια σειρά διαστήματος

Σε αντίθεση με τις διακριτές μεταβλητές σειρές, ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής από σειρές διαστήματος απαιτεί ορισμένους υπολογισμούς με βάση τους ακόλουθους τύπους:
, (5.6)
όπου x0- το κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων (το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται τροπικό)
Εγώείναι η τιμή του τροπικού διαστήματος.
fMoείναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.
στ Μο-1είναι η συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.
f Mo +1είναι η συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.
(5.7)
όπου x0– το κατώτερο όριο του ενδιάμεσου διαστήματος (η διάμεσος είναι το πρώτο διάστημα, η συσσωρευμένη συχνότητα του οποίου υπερβαίνει το μισό συνολικό ποσόσυχνότητες)·
Εγώείναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.
S Me-1- συσσωρευμένο διάστημα που προηγείται της διάμεσης τιμής.
στ Εγώείναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.
Παρουσιάζουμε την εφαρμογή αυτών των τύπων χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον Πίνακα. 3.
Το διάστημα με τα όρια 60 - 80 σε αυτή την κατανομή θα είναι τροπικό, γιατί έχει την υψηλότερη συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.6), προσδιορίζουμε τον τρόπο:

Για να καθοριστεί το διάμεσο διάστημα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συσσωρευμένη συχνότητα κάθε επόμενου διαστήματος έως ότου υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων (στην περίπτωσή μας, 50%) (Πίνακας 5.11).
Διαπιστώθηκε ότι η διάμεσος είναι το διάστημα με τα όρια των 100 - 120 χιλιάδων ρούβλια. Τώρα ορίζουμε τη διάμεσο:

Πίνακας 3 - Κατανομή του πληθυσμού της Ρωσικής Ομοσπονδίας με βάση το μέσο κατά κεφαλήν ονομαστικό εισόδημα σε μετρητά τον Μάρτιο του 1994

Ομάδες κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν μηνιαίου εισοδήματος, χιλιάδες ρούβλια	Μερίδιο του πληθυσμού, %
Μέχρι 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Πάνω από 300	7,7
Σύνολο	100,0

Πίνακας 4 - Ορισμός του μέσου διαστήματος
Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως γενικευμένο χαρακτηριστικό των τιμών ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού για μονάδες ενός ταξινομημένου πληθυσμού.
Το κύριο χαρακτηριστικό του κέντρου διανομής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όλες οι αποκλίσεις από αυτό (θετικές και αρνητικές) αθροίζονται στο μηδέν. Είναι χαρακτηριστικό για τη διάμεσο ότι το άθροισμα των αποκλίσεων από αυτήν στο συντελεστή είναι ελάχιστο και η λειτουργία είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Η αναλογία του τρόπου λειτουργίας, της διάμεσης και του αριθμητικού μέσου όρου δείχνει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο, μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Στις συμμετρικές κατανομές και τα τρία χαρακτηριστικά είναι ίδια. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου, τόσο πιο ασύμμετρη είναι η σειρά. Για μέτρια λοξές σειρές, η διαφορά μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου είναι περίπου τριπλάσια της διαφοράς μεταξύ της διάμεσης και του μέσου όρου, δηλ.:
|Mo–`x| = 3 |Εγώ –`x|.

Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου με γραφική μέθοδο

Η λειτουργία και η διάμεσος σε μια σειρά διαστήματος μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά. Η λειτουργία καθορίζεται από το ιστόγραμμα της κατανομής. Για να γίνει αυτό, επιλέγεται το ψηλότερο ορθογώνιο, το οποίο σε αυτή την περίπτωση είναι modal. Στη συνέχεια συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω δεξιά γωνία του προηγούμενου ορθογωνίου. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου είναι με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Από το σημείο τομής τους κατεβάζουμε την κάθετη προς τον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος κατανομής (Εικ. 5.3).


Ρύζι. 5.3. Γραφικός ορισμόςλειτουργίες ιστογράμματος.


Ρύζι. 5.4. Γραφικός προσδιορισμός της διάμεσης τιμής με αθροιστική
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος από ένα σημείο της κλίμακας των συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνοτήτων) που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης μέχρι τη διασταύρωση με τη συσσώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής, μια κάθετη κατεβαίνει στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.

τεταρτημόρια, δεκατιανές, εκατοστιαίες μονάδες

Ομοίως, με την εύρεση της διάμεσης τιμής στη μεταβλητή σειρά κατανομής, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης με τη σειρά. Έτσι, για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού σε μονάδες που χωρίζουν τη σειρά σε τέσσερα ίσα μέρη, σε 10 ή 100 μέρη. Αυτές οι τιμές ονομάζονται "τεταρτημόρια", "δεκατιανό", "εκατοστημόρια".
Τα τεταρτημόρια είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τον πληθυσμό σε 4 ίσα μέρη.
Υπάρχει ένα χαμηλότερο τεταρτημόριο (Q 1), που διαχωρίζει το ¼ του πληθυσμού με τις μικρότερες τιμέςσημάδι, και το άνω τεταρτημόριο (Q 3), περικόπτοντας το ¼ μέρος με υψηλότερες αξίεςσημάδι. Αυτό σημαίνει ότι το 25% των μονάδων πληθυσμού θα είναι μικρότερο από το Q 1 . Οι μονάδες 25% θα περικλείονται μεταξύ Q 1 και Q 2 . 25% - μεταξύ Q 2 και Q 3, και το υπόλοιπο 25% είναι ανώτερο από το Q 3. Το μεσαίο τεταρτημόριο του Q 2 είναι το διάμεσο.
Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων με βάση τη σειρά μεταβολών διαστήματος, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:
, ,
όπου x Q 1– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 25%).
x Q 3– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 75%).
Εγώ– τιμή διαστήματος.
S Q 1-1είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
S Q 3-1είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο·
f Q 1είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο.
f Q 3είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο.
Εξετάστε τον υπολογισμό του κάτω και του άνω τεταρτημορίου σύμφωνα με τον Πίνακα. 5.10. Το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 60 - 80, η αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 33,5%. Το ανώτερο τεταρτημόριο βρίσκεται στην περιοχή 160 - 180 με συσσωρευμένη συχνότητα 75,8%. Έχοντας αυτό υπόψη, παίρνουμε:
,
.
Εκτός από τα τεταρτημόρια, τα δεκατιανά μπορούν να προσδιοριστούν στα ραντάρ μεταβλητής κατανομής - επιλογές που διαιρούν την κατάταξη σειρά παραλλαγήςσε δέκα ίσα μέρη. Το πρώτο δεκαδικό (d 1) διαιρεί τον πληθυσμό 1/10 έως 9/10, το δεύτερο δεκαδικό (d 1) 2/10 έως 8/10, και ούτω καθεξής.
Υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους:
, .
Οι τιμές χαρακτηριστικών που χωρίζουν τη σειρά σε εκατό μέρη ονομάζονται εκατοστημόρια. Οι λόγοι της διάμεσης τιμής, των τεταρτημορίων, των δεκαδικών και των εκατοστημόνων φαίνονται στο Σχήμα. 5.5.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να ορίσουμε μέσο επίπεδοσε κατανομή βαθμών μαθητών ή σε δείγμα στοιχείων ποιοτικού ελέγχου. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τη διάμεσο ενός συνόλου αριθμών χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MEDIAN.

Αυτή η συνάρτηση είναι ένας τρόπος μέτρησης της κεντρικής τάσης, δηλαδή της θέσης του κέντρου ενός συνόλου αριθμών σε στατιστική κατανομή. Υπάρχουν τρεις πιο συνηθισμένοι τρόποι προσδιορισμού της κεντρικής τάσης.

Σημαίνω- αυτή είναι μια τιμή που είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, δηλαδή, υπολογίζεται προσθέτοντας ένα σύνολο αριθμών, ακολουθούμενο από διαίρεση του προκύπτοντος αθροίσματος με τον αριθμό τους. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 5 (το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αθροίσματος αυτών των αριθμών, που είναι 30, με τον αριθμό τους, που είναι 6).

Διάμεσος- ένας αριθμός που είναι το μέσο ενός συνόλου αριθμών: οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές μεγαλύτερες από τη διάμεσο και οι μισοί από τους αριθμούς έχουν μικρότερες τιμές. Για παράδειγμα, η διάμεσος για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 4.

Μόδαείναι ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά σε δεδομένο σύνολοαριθμοί. Για παράδειγμα, η λειτουργία για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 θα είναι 3.

Με μια συμμετρική κατανομή ενός συνόλου αριθμών, και οι τρεις τιμές της κεντρικής τάσης θα συμπίπτουν. Με μια προκατειλημμένη κατανομή ενός συνόλου αριθμών, οι τιμές μπορεί να είναι διαφορετικές.

Τα στιγμιότυπα οθόνης σε αυτό το άρθρο τραβήχτηκαν στο Excel 2016. Εάν χρησιμοποιείτε διαφορετική έκδοση, η διεπαφή μπορεί να φαίνεται ελαφρώς διαφορετική, αλλά η λειτουργικότητα είναι η ίδια.

Παράδειγμα

Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό το παράδειγμα, αντιγράψτε το σε ένα κενό φύλλο.

Συμβουλή:Για εναλλαγή μεταξύ των αποτελεσμάτων προβολής και των τύπων προβολής που επιστρέφουν αυτά τα αποτελέσματα, πατήστε CTRL+` (απόστροφο) ή στην καρτέλα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποισε μια ομάδα Εξαρτήσεις τύπουπάτα το κουμπί Εμφάνιση τύπων.

Η συνάρτηση MEDIAN στο Excel χρησιμοποιείται για ανάλυση εύρους αριθμητικές τιμέςκαι επιστρέφει έναν αριθμό που είναι το μέσο του υπό μελέτη συνόλου (διάμεσος). Αυτό είναι, δεδομένη λειτουργίαδιαιρεί υπό όρους το σύνολο των αριθμών σε δύο υποσύνολα, το πρώτο από τα οποία περιέχει αριθμούς μικρότερους από τη διάμεσο και το δεύτερο - περισσότερους. Η διάμεσος είναι μία από τις πολλές μεθόδους για τον προσδιορισμό της κεντρικής τάσης ενός εύρους υπό μελέτη.

Παραδείγματα χρήσης της συνάρτησης MEDIAN στο Excel

Κατά την έρευνα ηλικιακές ομάδεςφοιτητές, χρησιμοποιήθηκαν δεδομένα από μια τυχαία επιλεγμένη ομάδα φοιτητών στο πανεπιστήμιο. Το καθήκον είναι να προσδιοριστεί η διάμεση ηλικία των μαθητών.

Αρχικά δεδομένα:

Τύπος υπολογισμού:

Περιγραφή επιχειρημάτων:

• B3:B15 - το εύρος των ηλικιών που μελετήθηκαν.

Αποτέλεσμα:

Υπάρχουν, δηλαδή, μαθητές στην ομάδα των οποίων η ηλικία είναι μικρότερη των 21 ετών και μεγαλύτερη από αυτήν την τιμή.



Σύγκριση των συναρτήσεων MEDIAN και AVERAGE για τον υπολογισμό της μέσης τιμής

Κατά τη διάρκεια του βραδινού γύρου στο νοσοκομείο, μετρήθηκε η θερμοκρασία σώματος κάθε ασθενούς. Επιδείξτε τη σκοπιμότητα χρήσης της διάμεσης παραμέτρου αντί της μέσης τιμής για την εξερεύνηση μιας σειράς λαμβανόμενων τιμών.

Αρχικά δεδομένα:

Τύπος για την εύρεση της μέσης τιμής:

Τύπος για την εύρεση της διάμεσης:

Όπως φαίνεται από τη μέση τιμή, η μέση θερμοκρασία στους ασθενείς είναι πάνω από την κανονική, αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια. Η διάμεσος δείχνει ότι τουλάχιστον οι μισοί ασθενείς έχουν φυσιολογική θερμοκρασία σώματος, που δεν υπερβαίνει το 36,6.

Προσοχή! Μια άλλη μέθοδος για τον προσδιορισμό της κεντρικής τάσης είναι η λειτουργία (η πιο κοινή τιμή στο εύρος υπό μελέτη). Για να προσδιορίσετε την κεντρική τάση στο Excel, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση FASHION. Λάβετε υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα, οι τιμές μέσης τιμής και λειτουργίας είναι οι ίδιες:

Δηλαδή, η διάμεση τιμή που διαιρεί ένα σύνολο σε υποσύνολα των μικρότερων και μεγάλες αξίεςείναι επίσης η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή στο σύνολο. Όπως μπορείτε να δείτε, οι περισσότεροι ασθενείς έχουν θερμοκρασία 36,6.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της διάμεσης τιμής στη στατιστική ανάλυση στο Excel

Παράδειγμα 3. Σε ένα κατάστημα εργάζονται 3 πωλητές. Με βάση τα αποτελέσματα των τελευταίων 10 ημερών, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο υπάλληλος στον οποίο θα εκδοθεί το μπόνους. Κατά την επιλογή του καλύτερου εργάτη, λαμβάνεται υπόψη ο βαθμός αποτελεσματικότητας της εργασίας του και όχι ο αριθμός των προϊόντων που πωλήθηκαν.

Πίνακας δεδομένων πηγής:

Για να χαρακτηρίσουμε την απόδοση, θα χρησιμοποιήσουμε τρεις δείκτες ταυτόχρονα: τη μέση τιμή, τη διάμεση τιμή και τη λειτουργία. Ας τα ορίσουμε για κάθε εργαζόμενο χρησιμοποιώντας τους τύπους AVERAGE, MEDIAN και FASHION, αντίστοιχα:

Για να προσδιορίσουμε τον βαθμό διασποράς δεδομένων, χρησιμοποιούμε μια τιμή που είναι συνολική αξίατο μέτρο της διαφοράς μεταξύ του μέσου όρου και του τρόπου λειτουργίας, του μέσου όρου και του μέσου όρου, αντίστοιχα. Δηλαδή, ο συντελεστής x=|av-med|+|av-mod|, όπου:

• av – μέση τιμή.
• med είναι η διάμεσος?
• mod - μόδα.

Υπολογίστε την τιμή του συντελεστή x για τον πρώτο πωλητή:

Ομοίως, θα πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς για άλλους πωλητές. Αποτελέσματα:

Ας ορίσουμε τον πωλητή στον οποίο θα δοθεί το μπόνους:

Σημείωση: Η συνάρτηση SMALL επιστρέφει την πρώτη ελάχιστη τιμήαπό το εξεταζόμενο εύρος τιμών του συντελεστή x.

Ο συντελεστής x είναι λίγος ποσοτικό χαρακτηριστικότη σταθερότητα της δουλειάς των πωλητών, την οποία εισήγαγε ο οικονομολόγος του καταστήματος. Με τη βοήθειά του, ήταν δυνατό να προσδιοριστεί το εύρος με τις μικρότερες αποκλίσεις τιμών. Αυτή η μέθοδος δείχνει πώς τρεις μέθοδοι προσδιορισμού της κεντρικής τάσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν ταυτόχρονα για να ληφθούν τα πιο αξιόπιστα αποτελέσματα.

Δυνατότητες χρήσης της συνάρτησης MEDIAN στο Excel

Η συνάρτηση έχει την ακόλουθη σύνταξη:

MEDIAN(αριθμός 1, [αριθμός2],...)

Περιγραφή επιχειρημάτων:

• Ο αριθμός 1 είναι ένα υποχρεωτικό όρισμα που χαρακτηρίζει την πρώτη αριθμητική τιμή που περιέχεται στο εύρος υπό μελέτη.
• [number2] – προαιρετικό δεύτερο (και επόμενα ορίσματα, έως 255 ορίσματα συνολικά) που χαρακτηρίζουν τη δεύτερη και τις επόμενες τιμές του εύρους υπό μελέτη.

Σημειώσεις 1:

1. Κατά τον υπολογισμό, είναι πιο βολικό να μεταφέρετε ολόκληρο το εύρος των μελετημένων τιμών ταυτόχρονα αντί να εισάγετε τα ορίσματα διαδοχικά.
2. Τα ορίσματα είναι αριθμητικά δεδομένα, ονόματα που περιέχουν αριθμούς, δεδομένα αναφοράς και πίνακες (για παράδειγμα, =MEDIAN((1;2;3;5;7;10))).
3. Κατά τον υπολογισμό της διάμεσης τιμής, τα κελιά που περιέχουν κενές τιμέςή λογικά TRUE, FALSE, τα οποία θα ερμηνευτούν ως αριθμητικές τιμές 1 και 0 αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα της εκτέλεσης μιας συνάρτησης με λογικές τιμές στα ορίσματα (TRUE; FALSE) είναι ισοδύναμο με το αποτέλεσμα της εκτέλεσης με ορίσματα (1; 0) και ισούται με 0,5.
4. Εάν ένα ή περισσότερα ορίσματα συνάρτησης λαμβάνουν τιμές κειμένου που δεν μπορούν να μετατραπούν σε αριθμητικές τιμές ή περιέχουν κωδικούς σφάλματος, η συνάρτηση θα επιστρέψει τον κωδικό σφάλματος #VALUE!.
5. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλες μέθοδοι για τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής του δείγματος. Λειτουργίες Excel: PERCENTILE ON, QUARTILE ON, ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΑ Παραδείγματαχρήση:

• =PERCENTILE.ON(A1:A10,0.5) γιατί εξ ορισμού η διάμεσος είναι το 50ο εκατοστημόριο.
• =QUARTILE.ON(A1:A10,2) επειδή η διάμεσος είναι το 2ο τεταρτημόριο.
• =LARGE(A1:A9;COUNT(A1:A9)/2), αλλά μόνο εάν ο αριθμός των αριθμών στο εύρος είναι περιττός αριθμός.

Σημειώσεις 2:

1. Εάν όλοι οι αριθμοί στην περιοχή υπό μελέτη κατανέμονται συμμετρικά ως προς τη μέση τιμή, ο αριθμητικός μέσος όρος και η διάμεσος για αυτό το εύρος θα είναι ισοδύναμοι.
2. Με μεγάλες αποκλίσεις δεδομένων στο εύρος («σκέδαση» τιμών), η διάμεσος αντικατοπτρίζει καλύτερα την τάση στην κατανομή των τιμών παρά τον αριθμητικό μέσο όρο. Ένα εξαιρετικό παράδειγμα είναι η χρήση της διάμεσης τιμής για τον προσδιορισμό του πραγματικού επιπέδου μισθών του πληθυσμού ενός κράτους στο οποίο οι υπάλληλοι λαμβάνουν μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από τους απλούς πολίτες.
3. Το εύρος των τιμών που διερευνήθηκαν μπορεί να περιέχει:

• Μονός αριθμός αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, η διάμεσος θα είναι ενικός A που διαιρεί το εύρος σε δύο υποσύνολα μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών, αντίστοιχα.
• Ζυγός αριθμός αριθμών. Στη συνέχεια, η διάμεσος υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμητικών τιμών που διαιρούν το σύνολο στα δύο υποσύνολα που αναφέρονται παραπάνω.