Η θεωρία των ορίων είναι μία από τις ενότητες μαθηματική ανάλυση. Το ζήτημα της επίλυσης ορίων είναι αρκετά εκτεταμένο, αφού υπάρχουν δεκάδες μέθοδοι για την επίλυση ορίων διάφορα είδη. Υπάρχουν δεκάδες αποχρώσεις και κόλπα που σας επιτρέπουν να λύσετε ένα ή άλλο όριο. Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε ακόμα να κατανοήσουμε τους κύριους τύπους ορίων που συναντώνται συχνότερα στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με την ίδια την έννοια του ορίου. Πρώτα όμως, μια σύντομη ιστορική αναδρομή. Μια φορά κι έναν καιρό ήταν ένας Γάλλος Augustin Louis Cauchy τον 19ο αιώνα, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια της μαθηματικής ανάλυσης και έδωσε αυστηρούς ορισμούς, τον ορισμό του ορίου, ειδικότερα. Πρέπει να ειπωθεί ότι ο ίδιος ο Cauchy ονειρεύτηκε, ονειρεύεται και θα ονειρεύεται σε εφιάλτες όλους τους φοιτητές των φυσικών και μαθηματικών σχολών, αφού απέδειξε έναν τεράστιο αριθμό θεωρημάτων μαθηματικής ανάλυσης και το ένα θεώρημα είναι πιο αηδιαστικό από το άλλο. Από αυτή την άποψη, δεν θα εξετάσουμε έναν αυστηρό ορισμό του ορίου, αλλά θα προσπαθήσουμε να κάνουμε δύο πράγματα:

1. Κατανοήστε τι είναι όριο.
2. Μάθετε να επιλύετε τους κύριους τύπους ορίων.

Ζητώ συγγνώμη για κάποιες αντιεπιστημονικές εξηγήσεις, είναι σημαντικό το υλικό να είναι κατανοητό ακόμη και σε μια τσαγιέρα, πράγμα που, στην πραγματικότητα, είναι το καθήκον του έργου.

Ποιο είναι λοιπόν το όριο;

Και αμέσως ένα παράδειγμα γιατί να σκαρώνεις τη γιαγιά σου ....

Οποιοδήποτε όριο αποτελείται από τρία μέρη:

1) Το γνωστό εικονίδιο ορίου.
2) Καταχωρήσεις κάτω από το εικονίδιο ορίου, σε αυτή η υπόθεση. Το λήμμα γράφει «το x τείνει προς την ενότητα». Τις περισσότερες φορές - ακριβώς, αν και αντί για "x" στην πράξη υπάρχουν άλλες μεταβλητές. Σε πρακτικές εργασίες, στη θέση μιας μονάδας, μπορεί να υπάρχει απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός, καθώς και άπειρο ().
3) Λειτουργεί κάτω από το σύμβολο ορίου, σε αυτήν την περίπτωση .

Ο ίδιος ο δίσκος διαβάζεται ως εξής: "το όριο της συνάρτησης όταν το x τείνει στη μονάδα."

Ας αναλύσουμε τα παρακάτω σημαντική ερώτησηΤι σημαίνει η έκφραση "Χ"; αναζητάστην ενότητα; Και τι είναι το «προσπαθώ» τέλος πάντων;
Η έννοια του ορίου είναι μια έννοια, ας πούμε έτσι, δυναμικός. Ας κατασκευάσουμε μια ακολουθία: πρώτα , μετά , , …, , ….
Δηλαδή η έκφραση «χ αναζητάσε ένα" πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής - το "x" παίρνει σταθερά τις τιμές που είναι απείρως κοντά στην ενότητα και πρακτικά συμπίπτουν με αυτήν.

Πώς να λύσετε το παραπάνω παράδειγμα; Με βάση τα παραπάνω, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε τη μονάδα στη συνάρτηση κάτω από το σύμβολο ορίου:

Ο πρώτος κανόνας λοιπόν είναι: Όταν δίνεται οποιοδήποτε όριο, πρώτα απλώς προσπαθήστε να συνδέσετε τον αριθμό στη λειτουργία.

Έχουμε αναθεωρήσει απλούστερο όριο, αλλά αυτά τα συναντάμε και στην πράξη, και όχι τόσο σπάνια!

Παράδειγμα Infinity:

Καταλαβαίνετε τι είναι; Αυτό συμβαίνει όταν αυξάνεται επ' αόριστον, δηλαδή: πρώτα, μετά, μετά, μετά, και ούτω καθεξής επί άπειρον.

Και τι συμβαίνει με τη λειτουργία αυτή τη στιγμή;
, , , …

Άρα: αν , τότε η συνάρτηση τείνει στο μείον το άπειρο:

Σε γενικές γραμμές, σύμφωνα με τον πρώτο μας κανόνα, αντικαθιστούμε το άπειρο στη συνάρτηση αντί για "x" και παίρνουμε την απάντηση .

Ένα άλλο παράδειγμα με το άπειρο:

Και πάλι, αρχίζουμε να αυξάνουμε στο άπειρο και εξετάζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης:

Συμπέρασμα: για , η συνάρτηση αυξάνεται απεριόριστα:

Και μια άλλη σειρά παραδειγμάτων:

Προσπαθήστε να αναλύσετε νοερά τα ακόλουθα μόνοι σας και να θυμάστε τους απλούστερους τύπους ορίων:

, , , , , , , , ,
Εάν υπάρχει κάποια αμφιβολία κάπου, μπορείτε να πάρετε μια αριθμομηχανή και να εξασκηθείτε λίγο.
Σε περίπτωση που , προσπαθήστε να δημιουργήσετε την ακολουθία , , . Αν τότε , , .

Σημείωση: αυστηρά μιλώντας, αυτή η προσέγγιση με δομικές ακολουθίες πολλών αριθμών είναι λανθασμένη, αλλά είναι αρκετά κατάλληλη για την κατανόηση των απλούστερων παραδειγμάτων.

Προσοχή επίσης στο εξής. Ακόμα κι αν δοθεί ένα όριο ένας μεγάλος αριθμόςστην κορυφή, ακόμα και με ένα εκατομμύριο: τότε δεν πειράζει , γιατί αργά ή γρήγορα το "x" θα πάρει τόσο γιγαντιαίες αξίες που ένα εκατομμύριο σε σύγκριση με αυτούς θα είναι πραγματικό μικρόβιο.

Τι πρέπει να θυμόμαστε και να κατανοούμε από τα παραπάνω;

1) Όταν δίνεται οποιοδήποτε όριο, πρώτα απλά προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε έναν αριθμό στη συνάρτηση.

2) Πρέπει να κατανοήσετε και να λύσετε άμεσα τα πιο απλά όρια, όπως π.χ , , και τα λοιπά.

Τώρα θα εξετάσουμε την ομάδα ορίων, όταν , και η συνάρτηση είναι κλάσμα, στον αριθμητή και στον παρονομαστή της οποίας είναι πολυώνυμα

Παράδειγμα:

Υπολογισμός ορίου

Σύμφωνα με τον κανόνα μας, θα προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το άπειρο σε μια συνάρτηση. Τι παίρνουμε στην κορυφή; Απειρο. Και τι γίνεται παρακάτω; Επίσης το άπειρο. Έτσι, έχουμε τη λεγόμενη απροσδιοριστία της μορφής. Κάποιος μπορεί να σκεφτεί ότι , και η απάντηση είναι έτοιμη, αλλά μέσα γενική περίπτωσηαυτό δεν ισχύει καθόλου και πρέπει να εφαρμοστεί κάποια λύση, την οποία θα εξετάσουμε τώρα.

Πώς να λύσετε τα όρια αυτού του τύπου;

Αρχικά κοιτάμε τον αριθμητή και βρίσκουμε την υψηλότερη ισχύ:

Η μεγαλύτερη ισχύς στον αριθμητή είναι δύο.

Τώρα κοιτάμε τον παρονομαστή και βρίσκουμε επίσης τον υψηλότερο βαθμό:

Η υψηλότερη ισχύς του παρονομαστή είναι δύο.

Στη συνέχεια επιλέγουμε την υψηλότερη ισχύ του αριθμητή και του παρονομαστή: in αυτό το παράδειγμασυμπίπτουν και ισούνται με δύο.

Έτσι, η μέθοδος επίλυσης είναι η εξής: για να αποκαλυφθεί η αβεβαιότητα, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον υψηλότερο βαθμό.

Εδώ είναι η απάντηση, και καθόλου το άπειρο.

Τι είναι απαραίτητο για τη λήψη μιας απόφασης;

Πρώτον, υποδεικνύουμε την αβεβαιότητα, εάν υπάρχει.

Δεύτερον, είναι επιθυμητό να διακοπεί η λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις. Συνήθως χρησιμοποιώ το πρόσημο, δεν έχει καμία μαθηματική σημασία, αλλά σημαίνει ότι η λύση διακόπτεται για μια ενδιάμεση εξήγηση.

Τρίτον, στο όριο είναι επιθυμητό να σημειωθεί τι και πού τείνει. Όταν η εργασία συντάσσεται με το χέρι, είναι πιο βολικό να το κάνετε ως εξής:

Για σημειώσεις, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε ένα απλό μολύβι.

Φυσικά, δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα από αυτό, αλλά στη συνέχεια, ίσως, ο δάσκαλος θα σημειώσει τις ελλείψεις στη λύση ή θα αρχίσει να κάνει πρόσθετες ερωτήσεις σχετικά με την εργασία. Και το χρειάζεσαι;

Παράδειγμα 2

Βρείτε το όριο
Και πάλι στον αριθμητή και στον παρονομαστή βρίσκουμε στον υψηλότερο βαθμό:

Μέγιστος βαθμός στον αριθμητή: 3
Μέγιστος βαθμός στον παρονομαστή: 4
Επιλέγω μέγιστοςτιμή, σε αυτήν την περίπτωση τέσσερα.
Σύμφωνα με τον αλγόριθμό μας, για να αποκαλύψουμε την αβεβαιότητα, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το .
Μια πλήρης εργασία μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

Παράδειγμα 3

Βρείτε το όριο
Ο μέγιστος βαθμός του "x" στον αριθμητή: 2
Η μέγιστη ισχύς του "x" στον παρονομαστή: 1 (μπορεί να γραφτεί ως)
Για να αποκαλυφθεί η αβεβαιότητα, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με . Μια καθαρή λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

Η εγγραφή δεν σημαίνει διαίρεση με το μηδέν (είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν), αλλά διαίρεση με έναν απείρως μικρό αριθμό.

Έτσι, όταν αποκαλύπτουμε την απροσδιοριστία της μορφής, μπορούμε να πάρουμε πεπερασμένος αριθμός , μηδέν ή άπειρο.

Όρια με αβεβαιότητα τύπου και μέθοδος επίλυσής τους

Η επόμενη ομάδα ορίων είναι κάπως παρόμοια με τα όρια που μόλις εξετάστηκαν: υπάρχουν πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή, αλλά το "x" δεν τείνει πλέον στο άπειρο, αλλά στο τελικός αριθμός.

Παράδειγμα 4

Λύστε το όριο
Αρχικά, ας προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το -1 σε ένα κλάσμα:

Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει η λεγόμενη αβεβαιότητα.

Γενικός κανόνας : εάν υπάρχουν πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή και υπάρχει αβεβαιότητα για τη μορφή , τότε για την αποκάλυψή του παραγοντοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Για να γίνει αυτό, είναι συχνά απαραίτητο να αποφασίσετε τετραγωνική εξίσωσηκαι/ή χρησιμοποιήστε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Εάν αυτά τα πράγματα ξεχαστούν, τότε επισκεφθείτε τη σελίδα Μαθηματικοί τύποι και πίνακεςκαι ελέγξτε έξω μεθοδολογικό υλικό Καυτές φόρμουλες σχολικό μάθημαμαθηματικά. Παρεμπιπτόντως, είναι καλύτερο να το εκτυπώσετε, απαιτείται πολύ συχνά και οι πληροφορίες από το χαρτί απορροφώνται καλύτερα.

Ας λύσουμε λοιπόν το όριο μας

Παραγοντοποίηση αριθμητή και παρονομαστή

Για να παραγοντοποιήσετε τον αριθμητή, πρέπει να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση:

Πρώτα βρίσκουμε τη διάκριση:

Και η τετραγωνική ρίζα αυτού: .

Εάν η διάκριση είναι μεγάλη, για παράδειγμα 361, χρησιμοποιούμε μια αριθμομηχανή, τη συνάρτηση εξαγωγής τετραγωνική ρίζαβρίσκεται στην απλούστερη αριθμομηχανή.

! Εάν η ρίζα δεν έχει εξαχθεί πλήρως (αποδεικνύεται ένας κλασματικός αριθμόςμε ερωτηματικό), είναι πολύ πιθανό το διακριτικό να έχει υπολογιστεί λανθασμένα ή να υπάρχει τυπογραφικό λάθος στην εργασία.

Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις ρίζες:

Ετσι:

Τα παντα. Ο αριθμητής λαμβάνεται υπόψη.

Παρονομαστής. Ο παρονομαστής είναι ήδη ο απλούστερος παράγοντας και δεν υπάρχει τρόπος να απλοποιηθεί.

Προφανώς, μπορεί να συντομευτεί σε:

Τώρα αντικαθιστούμε -1 στην έκφραση που παραμένει κάτω από το οριακό πρόσημο:

Φυσικά, σε μια δοκιμή, σε μια δοκιμή, μια εξέταση, η λύση δεν είναι ποτέ ζωγραφισμένη με τόση λεπτομέρεια. Στην τελική έκδοση, το σχέδιο θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή.

Παράδειγμα 5

Υπολογισμός ορίου

Πρώτον, μια «καθαρή» λύση

Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Αριθμητής:
Παρονομαστής:



,

Τι είναι σημαντικό σε αυτό το παράδειγμα;
Πρώτα, πρέπει να καταλάβετε καλά πώς αποκαλύπτεται ο αριθμητής, πρώτα βάλαμε σε αγκύλες το 2 και μετά χρησιμοποιήσαμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων. Αυτή είναι η φόρμουλα που πρέπει να γνωρίζετε και να δείτε.

Ας δούμε ενδεικτικά παραδείγματα.

Έστω x αριθμός μεταβλητός, Χ είναι το εμβαδόν της μεταβολής του. Εάν κάθε αριθμός x που ανήκει στο X σχετίζεται με κάποιον αριθμό y, τότε λένε ότι ορίζεται μια συνάρτηση στο σύνολο X και γράφουν y \u003d f (x).
Το σύνολο Χ σε αυτή την περίπτωση είναι ένα επίπεδο που αποτελείται από δύο άξονες συντεταγμένων– 0Χ και 0Υ. Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε μια συνάρτηση y \u003d x 2. Οι άξονες 0X και 0Y σχηματίζουν το X - την περιοχή της αλλαγής του. Το σχήμα δείχνει καθαρά πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι η συνάρτηση y \u003d x 2 ορίζεται στο σύνολο X.

Το σύνολο Y όλων των ιδιωτικών τιμών μιας συνάρτησης ονομάζεται σύνολο τιμών f(x). Με άλλα λόγια, το σύνολο τιμών είναι το διάστημα κατά μήκος του άξονα 0Y όπου ορίζεται η συνάρτηση. Η εικονιζόμενη παραβολή δείχνει ξεκάθαρα ότι f(x) > 0 , επειδή x2 > 0. Επομένως, το εύρος θα είναι . Εξετάζουμε το σύνολο τιμών κατά 0Y.

Το σύνολο όλων των x ονομάζεται πεδίο ορισμού της f(x). Εξετάζουμε το σύνολο των ορισμών κατά 0Χ και στην περίπτωσή μας ανά περιοχή επιτρεπόμενες τιμέςείναι ένα [-; +].

Ένα σημείο α (το α ανήκει ή στο Χ) λέγεται οριακό σημείο του συνόλου Χ αν σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου α υπάρχουν σημεία του συνόλου Χ εκτός του α.

Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε - ποιο είναι το όριο μιας συνάρτησης;

Το καθαρό b, στο οποίο τείνει η συνάρτηση όταν το x τείνει στον αριθμό a, καλείται όριο λειτουργίας. Είναι γραμμένο ως εξής:

Για παράδειγμα, f (x) \u003d x 2. Πρέπει να βρούμε σε τι τείνει η συνάρτηση (δεν είναι ίση με) στο x 2. Αρχικά, ας γράψουμε το όριο:

Ας δούμε το γράφημα.

Σχεδιάστε μια γραμμή παράλληλη στον άξονα 0Y μέσω του σημείου 2 στον άξονα 0X. Θα διασταυρώσει το γράφημά μας στο σημείο (2;4). Ας ρίξουμε μια κάθετο από αυτό το σημείο στον άξονα 0Y - και θα φτάσουμε στο σημείο 4. Αυτό επιδιώκει η συνάρτησή μας στο x 2. Αν τώρα αντικαταστήσουμε την τιμή 2 στη συνάρτηση f (x), τότε η απάντηση θα να είσαι ο ίδιος.

Τώρα πριν προχωρήσουμε στο υπολογισμός ορίου, εισάγουμε βασικούς ορισμούς.

Εισήχθη Γάλλος μαθηματικόςΟ Augustin Louis Cauchy τον 19ο αιώνα.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f(x) ορίζεται σε κάποιο διάστημα που περιέχει το σημείο x = A, αλλά δεν είναι καθόλου απαραίτητο να οριστεί η τιμή της f(A).

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον ορισμό του Cauchy, όριο λειτουργίαςΗ f(x) θα είναι κάποιος αριθμός B στο x που τείνει στο A εάν για κάθε C > 0 υπάρχει ένας αριθμός D > 0 τέτοιος ώστε

Εκείνοι. αν η συνάρτηση f(x) στο x A περιορίζεται από το όριο B, αυτό γράφεται ως

Όριο ακολουθίαςένας ορισμένος αριθμός Α καλείται αν για οποιοδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικός αριθμόςΣτο > 0, υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε όλες οι τιμές στην περίπτωση n > N να ικανοποιούν την ανισότητα

Αυτό το όριο μοιάζει με .

Μια ακολουθία που έχει ένα όριο θα ονομάζεται συγκλίνουσα, αν όχι, αποκλίνουσα.

Όπως έχετε ήδη παρατηρήσει, τα όρια υποδεικνύονται από το σύμβολο lim, κάτω από το οποίο γράφεται κάποια προϋπόθεση για τη μεταβλητή και, στη συνέχεια, η ίδια η συνάρτηση είναι ήδη γραμμένη. Ένα τέτοιο σύνολο θα διαβαστεί ως "το όριο της συνάρτησης υπό την προϋπόθεση ...". Για παράδειγμα:

είναι το όριο της συνάρτησης καθώς το x τείνει στο 1.

Η έκφραση "πηγαίνω στο 1" σημαίνει ότι το x παίρνει διαδοχικά τιμές που πλησιάζουν απείρως κοντά στο 1.

Τώρα γίνεται σαφές ότι για να υπολογίσετε αυτό το όριο, αρκεί να αντικαταστήσετε την τιμή 1 αντί του x:

Εκτός από συγκεκριμένα αριθμητική αξίαΤο x μπορεί επίσης να πάει στο άπειρο. Για παράδειγμα:

Η έκφραση x σημαίνει ότι το x αυξάνεται συνεχώς και πλησιάζει το άπειρο επ' αόριστον. Επομένως, αντικαθιστώντας το άπειρο αντί του x, γίνεται προφανές ότι η συνάρτηση 1-x θα τείνει, αλλά με το αντίθετο πρόσημο:

Ετσι, υπολογισμός ορίουκαταλήγει στην εύρεση της συγκεκριμένης τιμής του ή μιας συγκεκριμένης περιοχής στην οποία πέφτει η συνάρτηση που οριοθετείται από το όριο.

Με βάση τα προαναφερθέντα, προκύπτει ότι κατά τον υπολογισμό των ορίων, είναι σημαντικό να χρησιμοποιούνται αρκετοί κανόνες:

συνειδητοποιώντας ουσία του ορίουκαι βασικοί κανόνες υπολογισμούς ορίων, Θα πάρεις προβολή κλειδιούγια τον τρόπο επίλυσής τους. Εάν ποιο όριο θα σας δημιουργήσει δυσκολίες, τότε γράψτε στα σχόλια και σίγουρα θα σας βοηθήσουμε.

Σημείωση: Η νομολογία είναι η επιστήμη των νόμων, που βοηθά σε συγκρούσεις και άλλες δυσκολίες ζωής.

Αυτό μαθηματική αριθμομηχανή online θα σας βοηθήσει αν χρειαστεί υπολογίστε το όριο συνάρτησης. Πρόγραμμα λύσεις περιορισμούόχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά οδηγεί λεπτομερής λύσημε εξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει την πρόοδο του υπολογισμού του ορίου.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία γενικής εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για εργασίες ελέγχουκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από τις εξετάσεις, οι γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε το συντομότερο δυνατό; εργασία για το σπίτιμαθηματικά ή άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.

Έτσι, μπορείτε να πραγματοποιήσετε τη δική σας δική σας εκπαίδευσηή/και την εκπαίδευσή τους μικρότερα αδέρφιαή αδελφές, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των εργασιών που επιλύονται.

Εισαγάγετε μια έκφραση συνάρτησης

Υπολογισμός ορίου

Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτής της εργασίας δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Έχετε απενεργοποιήσει τη JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Η JavaScript πρέπει να είναι ενεργοποιημένη για να εμφανιστεί η λύση.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από μερικά δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε σχετικά στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Το όριο της συνάρτησης στο x-> x 0

Αφήστε τη συνάρτηση f(x) να οριστεί σε κάποιο σύνολο X και έστω το σημείο \(x_0 \σε X \) ή \(x_0 \όχι στο X \)

Πάρτε από το X μια ακολουθία σημείων εκτός από το x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
συγκλίνοντας στο x*. Οι τιμές συναρτήσεων στα σημεία αυτής της ακολουθίας σχηματίζουν επίσης μια αριθμητική ακολουθία
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
και μπορεί κανείς να θέσει το ζήτημα της ύπαρξης του ορίου του.

Ορισμός. Ο αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης f (x) στο σημείο x \u003d x 0 (ή στο x -> x 0), εάν για οποιαδήποτε ακολουθία (1) τιμών του ορίσματος x που συγκλίνει στο x 0, διαφορετικό από το x 0, η αντίστοιχη ακολουθία (2) συνάρτησης τιμών συγκλίνει στον αριθμό A.

$$ \lim_(x\έως x_0)( f(x)) = A $$

Η συνάρτηση f(x) μπορεί να έχει μόνο ένα όριο στο σημείο x 0. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ακολουθία
(f(x n)) έχει μόνο ένα όριο.

Υπάρχει ένας άλλος ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης.

ΟρισμόςΟ αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x = x 0 αν για οποιονδήποτε αριθμό \(\varepsilon > 0 \) υπάρχει ένας αριθμός \(\δέλτα > 0 \) τέτοιος ώστε για όλους \ (x \σε X, \; x \neq x_0 \) που ικανοποιεί την ανισότητα \(|x-x_0| Χρησιμοποιώντας λογικά σύμβολα, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Σημειώστε ότι οι ανισώσεις \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ο πρώτος ορισμός βασίζεται στην έννοια του ορίου σειρά αριθμών, γι' αυτό και αναφέρεται συχνά ως ο ορισμός της "γλώσσας ακολουθίας". Ο δεύτερος ορισμός ονομάζεται ορισμός "γλώσσας \(\varepsilon - \delta \)".
Αυτοί οι δύο ορισμοί του ορίου μιας συνάρτησης είναι ισοδύναμοι και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς, όποιο είναι πιο βολικό για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Σημειώστε ότι ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης "στη γλώσσα των ακολουθιών" ονομάζεται επίσης ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Heine και ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης "στη γλώσσα \(\varepsilon - \δέλτα \)" ονομάζεται επίσης ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy.

Όριο συνάρτησης στο x->x 0 - και στο x->x 0 +

Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τις έννοιες των μονόπλευρων ορίων μιας συνάρτησης, οι οποίες ορίζονται ως εξής.

ΟρισμόςΟ αριθμός A ονομάζεται δεξιό (αριστερό) όριο της συνάρτησης f (x) στο σημείο x 0 εάν για οποιαδήποτε ακολουθία (1) που συγκλίνει στο x 0, της οποίας τα στοιχεία x n είναι μεγαλύτερα (λιγότερα) από x 0, η αντίστοιχη ακολουθία (2) συγκλίνει στο Α.

Συμβολικά γράφεται ως εξής:
$$ \lim_(x \έως x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \έως x_0-) f(x) = A \δεξιά) $$

Μπορεί κανείς να δώσει έναν ισοδύναμο ορισμό των μονόπλευρων ορίων μιας συνάρτησης "στη γλώσσα \(\varepsilon - \delta \)":

Ορισμόςο αριθμός A ονομάζεται δεξιό (αριστερό) όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 εάν για οποιοδήποτε \(\varepsilon > 0 \) υπάρχει \(\δέλτα > 0 \) τέτοιο ώστε για όλα τα x ικανοποιητικά οι ανισότητες \(x_0 Συμβολικές εγγραφές:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Θέμα 4.6 Υπολογισμός ορίων

Το όριο μιας συνάρτησης δεν εξαρτάται από το αν ορίζεται στο οριακό σημείο ή όχι. Αλλά στην πρακτική του υπολογισμού των ορίων των στοιχειωδών συναρτήσεων, αυτή η περίσταση είναι απαραίτητη.

1. Εάν η συνάρτηση είναι στοιχειώδης και αν η οριακή τιμή του ορίσματος ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε ο υπολογισμός του ορίου της συνάρτησης ανάγεται σε μια απλή αντικατάσταση της οριακής τιμής του ορίσματος, επειδή όριο στοιχειώδης λειτουργία f(x) x προσπαθώντας γιαένα , που περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού, ισούται με την ιδιωτική τιμή της συνάρτησης στο x= ένα, δηλ. lim f(x)=f( ένα) .

2. Αν Το x πηγαίνει στο άπειροή το όρισμα τείνει σε έναν αριθμό που δεν ανήκει στον τομέα της συνάρτησης, τότε σε κάθε τέτοια περίπτωση, η εύρεση του ορίου της συνάρτησης απαιτεί ειδική μελέτη.

Τα παρακάτω είναι τα απλούστερα όρια, με βάση τις ιδιότητες των ορίων, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως τύποι:

Περισσότερο δύσκολες περιπτώσειςβρίσκοντας το όριο μιας συνάρτησης:

το καθένα εξετάζεται χωριστά.

Αυτή η ενότητα θα παρουσιάσει τους κύριους τρόπους αποκάλυψης αβεβαιοτήτων.

1. Η περίπτωση που x προσπαθώντας γιαένα η συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύει τον λόγο δύο απειροελάχιστων μεγεθών

α) Πρώτα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι το όριο της συνάρτησης δεν μπορεί να βρεθεί με άμεση αντικατάσταση και, με την υποδεικνυόμενη αλλαγή στο όρισμα, αντιπροσωπεύει την αναλογία δύο απειροελάχιστων μεγεθών. Γίνονται μετασχηματισμοί για να μειωθεί το κλάσμα με έναν παράγοντα που τείνει στο 0. Σύμφωνα με τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης, το όρισμα x τείνει στην οριακή του τιμή, χωρίς να συμπίπτει ποτέ με αυτό.

Γενικά, αν αναζητείται το όριο μιας συνάρτησης x προσπαθώντας γιαένα , τότε πρέπει να θυμόμαστε ότι το x δεν παίρνει την τιμή ένα, δηλ. Το x δεν ισούται με a.

β) Εφαρμόζεται το θεώρημα του Bezout. Αν ψάχνετε για το όριο ενός κλάσματος του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα που μετατρέπονται σε 0 στο οριακό σημείο x \u003d ένα, τότε σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, και τα δύο πολυώνυμα διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο με x- ένα.

γ) Ο παραλογισμός στον αριθμητή ή στον παρονομαστή καταστρέφεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή ή τον παρονομαστή με το συζυγές σε παράλογη έκφραση, τότε μετά την απλοποίηση το κλάσμα μειώνεται.

δ) Χρησιμοποιείται η 1η υπέροχο όριο (4.1).

ε) Χρησιμοποιούμε το απειροελάχιστο θεώρημα ισοδυναμίας και το ακόλουθο β.μ.:

2. Η περίπτωση που x προσπαθώντας γιαένα η συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύει τον λόγο δύο απείρως μεγάλων μεγεθών

α) Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον υψηλότερο βαθμόάγνωστος.

β) Γενικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα

3. Η περίπτωση που x προσπαθώντας γιαένα η συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύει το γινόμενο μιας απειροελάχιστης τιμής και μιας απείρως μεγάλης

Το κλάσμα μετατρέπεται σε μια μορφή της οποίας ο αριθμητής και ο παρονομαστής τείνουν ταυτόχρονα στο 0 ή στο άπειρο, δηλ. Η περίπτωση 3 μειώνεται στην περίπτωση 1 ή στην περίπτωση 2.

4. Η περίπτωση που x προσπαθώντας γιαένα η συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύει τη διαφορά δύο θετικών απείρως μεγάλων μεγεθών

Αυτή η περίπτωση περιορίζεται στα είδη 1 ή 2 με έναν από τους ακόλουθους τρόπους:

α) αναγωγή των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή·

β) μετατροπή της συνάρτησης σε μορφή κλάσματος.

γ) απαλλαγή από τον παραλογισμό.

5. Η περίπτωση που x προσπαθώντας γιαένα η συνάρτηση f(x) παριστάνει μια δύναμη της οποίας η βάση τείνει στο 1 και της οποίας ο εκθέτης τείνει στο άπειρο.

Η συνάρτηση μετασχηματίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να χρησιμοποιείται το 2ο αξιοσημείωτο όριο (4.2).

Παράδειγμα.Εύρημα .

Επειδή Το x τείνει στο 3, τότε ο αριθμητής του κλάσματος τείνει στον αριθμό 3 2 +3 *3+4=22, και ο παρονομαστής στον αριθμό 3+8=11. Συνεπώς,

Παράδειγμα

Εδώ ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος στο x τείνει στο 2τείνουμε στο 0 (αβεβαιότητα της μορφής), αποσυνθέτουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε παράγοντες, παίρνουμε lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Παράδειγμα

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την έκφραση που είναι συζευγμένη με τον αριθμητή, έχουμε

Ανοίγοντας τις αγκύλες στον αριθμητή, παίρνουμε

Παράδειγμα

Επίπεδο 2 Παράδειγμα. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής της έννοιας του ορίου μιας συνάρτησης σε οικονομικούς υπολογισμούς. Σκεφτείτε μια συνηθισμένη οικονομική συναλλαγή: δανεισμός ενός ποσού μικρό 0 με την προϋπόθεση ότι μετά από ένα χρονικό διάστημα Ττο ποσό θα επιστραφεί Σ Τ. Ας ορίσουμε την τιμή r σχετική ανάπτυξητύπος

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Η σχετική ανάπτυξη μπορεί να εκφραστεί ως ποσοστό πολλαπλασιάζοντας την τιμή που προκύπτει rκατά 100.

Από τον τύπο (1) είναι εύκολο να προσδιοριστεί η τιμή Σ Τ:

Σ Τ= μικρό 0 (1 + r)

Κατά τη διευθέτηση μακροπρόθεσμων δανείων που καλύπτουν πολλά ολόκληρα χρόνια, χρησιμοποιήστε το σχήμα ανατοκισμός. Συνίσταται στο ότι αν για 1ο έτος το ποσό μικρό 0 αυξάνεται σε (1 + r) φορές, στη συνέχεια για δεύτερο χρόνο στο (1 + r) φορές το άθροισμα αυξάνεται μικρό 1 = μικρό 0 (1 + r), αυτό είναι μικρό 2 = μικρό 0 (1 + r) 2 . Ομοίως, αποδεικνύεται μικρό 3 = μικρό 0 (1 + r) 3. Από τα παραπάνω παραδείγματα μπορεί να συναχθεί γενικός τύποςγια να υπολογίσετε την αύξηση του ποσού για nέτη κατά τον υπολογισμό σύμφωνα με το καθεστώς ανατοκισμού:

S n= μικρό 0 (1 + r) n.

Στους χρηματοοικονομικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούνται συστήματα όπου ο ανατοκισμός υπολογίζεται πολλές φορές το χρόνο. Παράλληλα, ορίζει ετήσιος ρυθμός rκαι αριθμός πληρωμών ανά έτος κ. Κατά κανόνα, τα δεδουλευμένα γίνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα, δηλαδή το μήκος κάθε διαστήματος Τ κείναι μέρος του έτους. Στη συνέχεια για μια περίοδο Τχρόνια (εδώ Τόχι απαραίτητα ακέραιος) Σ Τυπολογίζεται με τον τύπο

(2)

που - ολόκληρο μέροςαριθμός που ταιριάζει με τον ίδιο τον αριθμό, εάν, για παράδειγμα, Τ? ακέραιος αριθμός.

Έστω το ετήσιο επιτόκιο rκαι παράγονται nδεδουλευμένων ετησίως σε τακτά χρονικά διαστήματα. Στη συνέχεια για το έτος το ποσό μικρόΤο 0 αυξάνεται στην τιμή που καθορίζεται από τον τύπο

(3)

ΣΤΟ θεωρητική ανάλυσηκαι στην πρακτική της χρηματοοικονομικής δραστηριότητας, συναντάται συχνά η έννοια των «συνεχώς δεδουλευμένων τόκων». Για να μεταβείτε σε συνεχώς δεδουλευμένους τόκους, είναι απαραίτητο στους τύπους (2) και (3) να αυξάνονται επ' αόριστον, αντίστοιχα, οι αριθμοί κκαι n(δηλαδή στόχος κκαι nστο άπειρο) και να υπολογίσετε σε ποιο όριο θα τείνουν οι συναρτήσεις Σ Τκαι μικρόένας . Ας εφαρμόσουμε αυτή τη διαδικασία στον τύπο (3):

Σημειώστε ότι το όριο στα σγουρά σιδεράκια είναι το ίδιο με το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο. Από αυτό προκύπτει ότι με τον ετήσιο ρυθμό rσε συνεχώς δεδουλευμένους τόκους, το ποσό μικρό 0 για 1 έτος αυξάνεται στην τιμή μικρό 1 * , το οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο

μικρό 1 * = μικρό 0 εεε (4)

Τώρα αφήστε το άθροισμα μικρό 0 δανείζεται με τόκο nμία φορά το χρόνο σε τακτά χρονικά διαστήματα. Σημαίνω r eετήσιο ποσοστό με το οποίο στο τέλος του έτους το ποσό μικρόΤο 0 αυξάνεται σε μια τιμή μικρό 1 * από τον τύπο (4). Σε αυτή την περίπτωση θα το πούμε r e- αυτό ετήσιο επιτόκιο nμία φορά το χρόνο, ισοδύναμο με ετήσιο ποσοστό rμε συνεχή δεδουλευμένη.Από τον τύπο (3) παίρνουμε

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Εξίσωση των σωστών μερών του τελευταίου τύπου και του τύπου (4), υποθέτοντας ότι το τελευταίο Τ= 1, μπορούμε να αντλήσουμε σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων rκαι r e:

Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται ευρέως στους οικονομικούς υπολογισμούς.

Υπάρχει κάτι τέτοιο στα μαθηματικά όπως το όριο μιας συνάρτησης. Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε όρια, πρέπει να θυμάστε τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης: μια συνάρτηση f (x) έχει όριο L στο σημείο x = a, εάν για κάθε ακολουθία τιμών του x συγκλίνουν στο σημείο α, η ακολουθία τιμών του y προσεγγίζει:

• L lim f(x) = L

Η έννοια και οι ιδιότητες των ορίων

Το τι είναι όριο μπορεί να γίνει κατανοητό από ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε συνάρτηση y=1/x. Αν αυξάνουμε σταθερά την τιμή του x και κοιτάξουμε με τι ισούται το y, θα λάβουμε συνεχώς φθίνουσες τιμές: στο x=10000 y=1/10000; σε x=1000000 y=1/1000000. Εκείνοι. όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y. Αν x = ∞, το y θα είναι τόσο μικρό που μπορεί να θεωρηθεί ίσο με 0. Έτσι, το όριο της συνάρτησης y \u003d 1 / x καθώς το x τείνει στο ∞ είναι 0. Γράφεται ως εξής:

• lim1/х=0

Το όριο μιας συνάρτησης έχει πολλές ιδιότητες που πρέπει να θυμάστε: αυτό θα διευκολύνει σημαντικά την επίλυση προβλημάτων για την εύρεση ορίων:

• Όριο ποσού ισούται με το άθροισμαόρια: lim(x+y)=lim x+lim y
• όριο προϊόντος είναι ίσο με το γινόμενοόρια: lim(xy)=lim x*lim y
• Το όριο του πηλίκου είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων: lim(x/y)=lim x/lim y
• Ο σταθερός παράγοντας αφαιρείται από το οριακό πρόσημο: lim(Cx)=C lim x

Η συνάρτηση y=1 /x, στην οποία x →∞, το όριο είναι μηδέν, όταν x→0, το όριο είναι ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0