Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος, εμβαδού ενός επιπέδου σχήματος. Περιοχή επίπεδης φιγούρας

Διάλεξη 21 Εφαρμογές οριστικό ολοκλήρωμα(2 ώρες)

Γεωμετρικές Εφαρμογές

ΕΝΑ) Περιοχή του σχήματος

Όπως σημειώνεται στη Διάλεξη 19, αριθμητικά ίσο με εμβαδόν καμπύλο τραπεζοειδές, που οριοθετείται από μια καμπύλη στο = φά(Χ), ευθεία Χ = ΕΝΑ, Χ = σικαι το τμήμα [ ένα, σι] άξονας OX. Επιπλέον, εάν φά(Χ) 0 £ στις [ ένα, σι], τότε το ολοκλήρωμα πρέπει να ληφθεί με το σύμβολο μείον.

Αν ενεργοποιηθεί δεδομένο τμήμαλειτουργία στο = φά(Χ) αλλάζει πρόσημο, στη συνέχεια για να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης και του άξονα OX, θα πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα σε μέρη, σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της και να βρείτε το εμβαδόν του κάθε μέρος του σχήματος. Η απαιτούμενη περιοχή σε αυτήν την περίπτωση είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε αυτά τα τμήματα και τα ολοκληρώματα που αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές της συνάρτησης λαμβάνονται σε αυτό το άθροισμα με πρόσημο μείον.

Αν ένα σχήμα οριοθετείται από δύο καμπύλες στο = φά 1 (Χ) Και στο = φά 2 (Χ), φά 1 (Χ)£ φά 2 (Χ), τότε, όπως προκύπτει από το Σχ. 9, το εμβαδόν του είναι ίσο με τη διαφορά στα εμβαδά των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών ΕΝΑΉλιος σιΚαι ΕΝΑΕΝΑ Δ σι, καθένα από τα οποία είναι αριθμητικά ίσο με το ολοκλήρωμα. Που σημαίνει,

Σημειώστε ότι η περιοχή του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 10α βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο: S = (απόδειξε το!). Σκεφτείτε πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 10β;

Μιλούσαμε μόνο για καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή δίπλα στον άξονα OX. Όμως παρόμοιοι τύποι ισχύουν και για ψηφία δίπλα στον άξονα OU. Για παράδειγμα, η περιοχή του σχήματος που φαίνεται στο Σχήμα 11 βρίσκεται από τον τύπο

Αφήστε τη γραμμή y=φά(Χ), που οριοθετεί ένα καμπύλο τραπεζοειδές, μπορεί να δοθεί παραμετρικές εξισώσεις , tО , και j(a)= ΕΝΑ, j(b) = σι, δηλ. στο= . Τότε η περιοχή αυτού του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με

.

σι) Καμπύλη μήκος τόξου

Ας δοθεί η καμπύλη στο = φά(Χ). Ας θεωρήσουμε το τόξο αυτής της καμπύλης που αντιστοιχεί στη μεταβολή Χστο τμήμα [ ένα, σι]. Ας βρούμε το μήκος αυτού του τόξου. Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε το τόξο ΑΒ σε Πμέρη κατά σημεία A = M 0, M 1, M 2, ..., M Π= B (Εικ. 14), που αντιστοιχεί σε σημεία Χ 1 , Χ 2 , ..., x n Î [ ένα, σι].

Ας υποδηλώσουμε το Δ l iμήκος τόξου, λοιπόν μεγάλο= . Αν το τόξο είναι D l iείναι αρκετά μικρά, τότε μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση ίσα μήκηαντίστοιχα τμήματα που συνδέουν τα σημεία Μ Εγώ-1, Μ Εγώ. Αυτά τα σημεία έχουν συντεταγμένες Μ Εγώ -1 (x i -1, φά (x i-1)), Μ Εγώ(x i, φά(x i)). Τότε τα μήκη των τμημάτων είναι ίσα, αντίστοιχα

Εδώ χρησιμοποιείται ο τύπος του Lagrange. Ας βάλουμε x i – x i-1 =Δ x i, παίρνουμε

Επειτα μεγάλο = , που

μεγάλο = .

Έτσι, το μήκος του τόξου της καμπύλης στο = φά(Χ), που αντιστοιχεί στην αλλαγή Χστο τμήμα [ ένα, σι], που βρέθηκε από τον τύπο

μεγάλο = , (1)

Εάν η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, tО, δηλ. y(t) = φά(Χ(t)), τότε από τον τύπο (1) παίρνουμε:

μεγάλο=
.

Αυτό σημαίνει ότι εάν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά, τότε το μήκος του τόξου αυτής της καμπύλης αντιστοιχεί στη μεταβολή tΟ, βρίσκεται από τον τύπο

V) Όγκος σώματος περιστροφής.

Εικ.15

Σκεφτείτε ένα καμπύλο τραπεζοειδές ΕΝΑΑΒ σι, που οριοθετείται από μια γραμμή στο = φά(Χ), ευθεία Χ = ΕΝΑ, Χ = σικαι το τμήμα [ ένα,σι] άξονας OX (Εικ. 15). Αφήστε αυτό το τραπεζοειδές να περιστραφεί γύρω από τον άξονα OX, το αποτέλεσμα θα είναι ένα σώμα περιστροφής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο όγκος αυτού του σώματος θα είναι ίσος με

Ομοίως, μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα OU, που περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης Χ= j( στο), ευθεία y = ντο , y = ρεκαι το τμήμα [ ντο,ρε] άξονας του op-amp (Εικ. 15):

Φυσικές Εφαρμογέςοριστικό ολοκλήρωμα

Στη Διάλεξη 19 αποδείξαμε ότι από φυσική άποψη, το ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με μάζαευθύγραμμη λεπτή ανομοιόμορφη ράβδος μήκους μεγάλο= σι – ένα, με μεταβλητή γραμμική πυκνότητα r = φά(Χ), φά(Χ) ³ 0, όπου Χ– την απόσταση από το σημείο της ράβδου στο αριστερό της άκρο.

Ας εξετάσουμε άλλες φυσικές εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πρόβλημα 1. Βρείτε το έργο που απαιτείται για την άντληση λαδιού από κάθετη κυλινδρική δεξαμενή με ύψος H και ακτίνα βάσης R. Η πυκνότητα του λαδιού είναι r.

Λύση.Ας χτίσουμε μαθηματικό μοντέλοαυτού του καθήκοντος. Αφήστε τον άξονα OX να περάσει κατά μήκος του άξονα συμμετρίας ενός κυλίνδρου ύψους H και ακτίνας R, η αρχή είναι στο κέντρο της άνω βάσης του κυλίνδρου (Εικ. 17). Ας χωρίσουμε τον κύλινδρο σε Πμικρά οριζόντια μέρη. Τότε πού A i– εργασίες άντλησης Εγώου στρώμα. Αυτή η διαίρεση του κυλίνδρου αντιστοιχεί στη διαίρεση του τμήματος αλλαγής του ύψους του στρώματος σε Πεξαρτήματα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα στρώματα που βρίσκονται σε απόσταση x iαπό την επιφάνεια, πλάτος Δ Χ(ή αμέσως dx). Η άντληση αυτού του στρώματος μπορεί να θεωρηθεί ως «ανύψωση» του στρώματος σε ύψος x i.

Τότε η εργασία για την άντληση αυτού του στρώματος είναι ίση με

A i"Ρ i x i, ,

όπου ο Π Εγώ=rgV Εγώ= rgpR 2 dx, Ρ Εγώ– βάρος, V Εγώ– όγκος του στρώματος. Επειτα A i"Ρ i x i= rgpR 2 δχ.χ θ, που

, και ως εκ τούτου .

Πρόβλημα 2. Βρείτε τη ροπή αδράνειας

α) ένας κοίλος κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τον άξονα συμμετρίας του·

β) ένας συμπαγής κύλινδρος σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τον άξονα συμμετρίας του.

γ) μια λεπτή ράβδο μήκους μεγάλοσε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από τη μέση του·

δ) λεπτό μήκος ράβδου μεγάλοσε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από το αριστερό του άκρο.

Λύση.Όπως είναι γνωστό, η ροπή αδράνειας ενός σημείου ως προς τον άξονα είναι ίση με J=κύριος 2, και συστήματα σημείων.

α) Ο κύλινδρος είναι με λεπτό τοίχωμα, που σημαίνει ότι το πάχος των τοιχωμάτων μπορεί να παραμεληθεί. Έστω η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου R, το ύψος του H και η πυκνότητα μάζας στα τοιχώματα είναι ίση με r.

Ας χωρίσουμε τον κύλινδρο σε Πμέρη και βρείτε πού J i- ροπή αδράνειας Εγώτο στοιχείο του διαμερίσματος.

Ας σκεφτούμε Εγώτο στοιχείο του διαμερίσματος (απειροελάχιστος κύλινδρος). Όλα τα σημεία του βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα μεγάλο. Αφήστε τη μάζα αυτού του κυλίνδρου t i, Επειτα t i= rV Εγώ» rS πλευρά= 2prR dx i, Οπου x iΟ. Επειτα J i» R 2 prR dx i, που

.

Αν το r είναι σταθερά, τότε J= 2prR 3 N, και εφόσον η μάζα του κυλίνδρου είναι ίση με M = 2prRΝ, τότε J=MR 2.

β) Αν ο κύλινδρος είναι συμπαγής (γεμάτος), τότε τον χωρίζουμε σε Π vloλεπτοί κύλινδροι διασυνδεδεμένοι ο ένας μέσα στον άλλο. Αν Πείναι μεγάλος, καθένας από αυτούς τους κύλινδρους μπορεί να θεωρηθεί με λεπτό τοίχωμα. Αυτό το διαμέρισμα αντιστοιχεί στο διαμέρισμα του τμήματος σε Πμέρη με σημεία R Εγώ. Ας βρούμε τη μάζα Εγώο κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα: t i= rV Εγώ, Οπου

V Εγώ= pR Εγώ 2 H – pR Εγώ - 1 2 Η = pH(R Εγώ 2 –R Εγώ -1 2) =

PH(R Εγώ– R Εγώ-1) (R Εγώ+R Εγώ -1).

Λόγω του γεγονότος ότι τα τοιχώματα του κυλίνδρου είναι λεπτά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το R Εγώ+R Εγώ-1 » 2R Εγώ, και R Εγώ– R Εγώ-1 = DR Εγώ, μετά V Εγώ» pH2R Εγώ D.R. Εγώ, που t i» rpН×2R Εγώ D.R. Εγώ,

Μετά τέλος

γ) Θεωρήστε μια ράβδο μήκους μεγάλο, του οποίου η πυκνότητα μάζας είναι ίση με r. Αφήστε τον άξονα περιστροφής να περάσει από τη μέση του.

Μοντελοποιούμε τη ράβδο ως τμήμα του άξονα OX, τότε ο άξονας περιστροφής της ράβδου είναι ο άξονας OU. Ας εξετάσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα, η μάζα του, η απόσταση από τον άξονα μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίση r i= x i. Τότε η ροπή αδράνειας αυτού του τμήματος είναι ίση με , οπότε η ροπή αδράνειας ολόκληρης της ράβδου είναι ίση με . Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μάζα της ράβδου είναι ίση με , τότε

δ) Ας περάσει τώρα ο άξονας περιστροφής από το αριστερό άκρο της ράβδου, δηλ. Το μοντέλο της ράβδου είναι ένα τμήμα του άξονα OX. Τότε ομοίως, r i= x i, , που , και απο τοτε .

Εργασία 3.Να βρείτε τη δύναμη της πίεσης ενός υγρού με πυκνότητα r σε ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη ΕΝΑΚαι σι, βυθισμένο κατακόρυφα σε υγρό έτσι ώστε το πόδι ΕΝΑβρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού.

Λύση.

Ας φτιάξουμε ένα μοντέλο του προβλήματος. Αφήστε την κορυφή ορθή γωνίατο τρίγωνο είναι στην αρχή, πόδι ΕΝΑσυμπίπτει με ένα τμήμα του άξονα OU (ο άξονας OU καθορίζει την επιφάνεια του υγρού), ο άξονας OX κατευθύνεται προς τα κάτω, το σκέλος σισυμπίπτει με ένα τμήμα αυτού του άξονα. Η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου έχει την εξίσωση , ή .

Είναι γνωστό ότι εάν σε μια οριζόντια περιοχή της περιοχής μικρό, βυθισμένο σε υγρό πυκνότητας r, πιέζεται από στήλη υγρού ύψους η, τότε η δύναμη πίεσης είναι ίση (νόμος Pascal). Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον νόμο.

Το οριστικό ολοκλήρωμα (DI) χρησιμοποιείται ευρέως σε πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών και της φυσικής.

Συγκεκριμένα, στη γεωμετρία, οι περιοχές εντοπίζονται χρησιμοποιώντας ROI απλές φιγούρεςκαι σύνθετες επιφάνειες, όγκοι σωμάτων περιστροφής και σώματα αυθαίρετου σχήματος, μήκη καμπυλών σε επίπεδο και σε χώρο.

Στη φυσική και θεωρητική μηχανικήΤα ROI χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό στατικών ροπών, μαζών και κέντρων μάζας καμπυλών και επιφανειών υλικού, για τον υπολογισμό του έργου μιας μεταβλητής δύναμης κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής κ.λπ.

Περιοχή επίπεδης φιγούρας

Αφήστε κάποια επίπεδη φιγούρα στα καρτεσιανά ορθογώνιο σύστημαοι συντεταγμένες $xOy$ οριοθετούνται πάνω από την καμπύλη $y=y_(1) \left(x\right)$, κάτω από την καμπύλη $y=y_(2) \left(x\right)$ και στα αριστερά και δεξιά από κάθετες ευθείες $ x=a$ και $x=b$ αντίστοιχα. ΣΕ γενική περίπτωσηη περιοχή ενός τέτοιου σχήματος εκφράζεται χρησιμοποιώντας RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x \right)\right )\cdot dx $.

Αν κάποιο επίπεδο σχήμα στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων $xOy$ οριοθετείται στα δεξιά από την καμπύλη $x=x_(1) \left(y\right)$, στα αριστερά από την καμπύλη $x=x_(2) \left(y\right) $, και κάτω και πάνω από οριζόντιες ευθείες γραμμές $y=c$ και $y=d$, αντίστοιχα, τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου αριθμού εκφράζεται χρησιμοποιώντας το ROI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Έστω ένα επίπεδο σχήμα (καμπυλόγραμμος τομέας) που λαμβάνεται υπόψη πολικό σύστημασυντεταγμένες, σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης $\rho =\rho \left(\phi \right)$, καθώς και από δύο ακτίνες που περνούν υπό γωνίες $\phi =\alpha $ και $\phi =\beta $ , αντίστοιχα. Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τέτοιου καμπυλόγραμμου τομέα είναι: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha)^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Καμπύλη μήκος τόξου

Εάν στο τμήμα $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση $\rho =\rho \left(\phi \right)$ στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, τότε το μήκος του τόξου της υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το OR $L=\int \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ phi $.

Εάν μια καμπύλη σε ένα τμήμα $\left$ δίνεται από την εξίσωση $y=y\left(x\right)$, τότε το μήκος του τόξου του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το ROI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Εάν στο τμήμα $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, δηλαδή, $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, τότε το μήκος του τόξου της υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος από τα εμβαδά των παράλληλων τομών

Ας είναι απαραίτητο να βρεθεί ο όγκος ενός χωρικού σώματος του οποίου οι σημειακές συντεταγμένες ικανοποιούν τις συνθήκες $a\le x\le b$ και για το οποίο οι περιοχές διατομής $S\left(x\right)$ κατά επίπεδα κάθετα προς ο άξονας $Ox$ είναι γνωστός.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός τέτοιου σώματος είναι $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Τόμος ενός σώματος επανάστασης

Έστω μια μη αρνητική συνεχής συνάρτηση $y=y\left(x\right)$ στο τμήμα $\left$, σχηματίζοντας ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο (CrT). Εάν περιστρέψετε αυτό το KrT γύρω από τον άξονα $Ox$, τότε σχηματίζεται ένα σώμα που ονομάζεται σώμα περιστροφής.

Ο υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής είναι μια ειδική περίπτωση υπολογισμού του όγκου ενός σώματος χρησιμοποιώντας διάσημες πλατείεςτα παράλληλά του τμήματα. Ο αντίστοιχος τύπος είναι $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \αριστερά(x\δεξιά)\cdot dx $.

Αφήστε κάποιο επίπεδο στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων $xOy$ να οριοθετηθεί από πάνω από την καμπύλη $y=y_(1) \left(x\right)$, από κάτω από την καμπύλη $y=y_(2) \left (x\right)$ , όπου οι $y_(1) \left(x\right)$ και $y_(2) \left(x\right)$ είναι μη αρνητικές συνεχείς συναρτήσεις και στα αριστερά και δεξιά είναι κάθετες ευθείες $x=a$ και $x= b$ αντίστοιχα. Τότε ο όγκος του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα $Ox$ εκφράζεται με RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Αφήστε κάποιο επίπεδο σχήμα στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων $xOy$ να οριοθετηθεί στα δεξιά από την καμπύλη $x=x_(1) \left(y\right)$, στα αριστερά από την καμπύλη $x=x_(2) \left(y\right)$ , όπου $x_(1) \left(y\right)$ και $x_(2) \left(y\right)$ είναι μη αρνητικές συνεχείς συναρτήσεις και κάτω και πάνω είναι οριζόντιες ευθείες γραμμές $y=c$ και $y= d$ αντίστοιχα. Τότε ο όγκος του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα $Oy$ εκφράζεται με RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Επιφάνεια σώματος περιστροφής

Ας δοθεί μια μη αρνητική συνάρτηση $y=y\left(x\right)$ στο τμήμα $\left$ με μια συνεχή παράγωγο $y"\left(x\right)$. Αυτή η συνάρτηση σχηματίζει ένα CRT. Εάν αυτός ο CRT περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $Ox $, τότε ο ίδιος σχηματίζει ένα σώμα περιστροφής και το τόξο KrT είναι η επιφάνειά του. Το εμβαδόν επιφάνειας ενός τέτοιου σώματος περιστροφής εκφράζεται με τον τύπο $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη $x=\phi \left(y\right)$, όπου η $\phi \left(y\right)$ είναι μια μη αρνητική συνάρτηση που ορίζεται στο τμήμα $c\le y\le d $, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $Oy$. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν της επιφάνειας του σχηματισμένου σώματος περιστροφής εκφράζεται με RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Φυσικές εφαρμογές του ROI

1. Για να υπολογίσετε την απόσταση που διανύθηκε τη στιγμή $t=T$ με μεταβλητή ταχύτητα κίνησης $v=v\left(t\right)$ ενός υλικού σημείου που άρχισε να κινείται τη στιγμή $t=t_(0)$, χρησιμοποιήστε το ROI $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Για να υπολογίσετε το έργο μιας μεταβλητής δύναμης που εφαρμόζεται στην $F=F\left(x\right)$ υλικό σημείο, προχωράω ίσιο μονοπάτικατά μήκος του άξονα $Ox$ από το σημείο $x=a$ έως το σημείο $x=b$ (η κατεύθυνση της δύναμης συμπίπτει με την κατεύθυνση κίνησης) χρησιμοποιήστε το ROI $A=\int \limits _(a)^ (β)F\αριστερά(x \δεξιά)\cdot dx $.
3. Στατικές στιγμές σχετικές άξονες συντεταγμένωνη καμπύλη υλικού $y=y\left(x\right)$ στο διάστημα $\left$ εκφράζονται με τους τύπους $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ αριστερά(x\ δεξιά)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ και $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(β) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, όπου η γραμμική πυκνότητα $\rho $ αυτής της καμπύλης θεωρείται σταθερή.
4. Το κέντρο μάζας μιας υλικής καμπύλης είναι το σημείο στο οποίο όλη η μάζα της συγκεντρώνεται υπό όρους κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι στατικές ροπές του σημείου σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων να είναι ίσες με τις αντίστοιχες στατικές ροπές ολόκληρης της καμπύλης στο σύνολό της.

Οι τύποι για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του κέντρου μάζας μιας επίπεδης καμπύλης έχουν τη μορφή $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx) $ και $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. Στατικές στιγμές υλικού επίπεδη φιγούραμε τη μορφή KpT σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων εκφράζονται με τους τύπους $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\ right)\cdot dx $ και $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας ενός υλικού επίπεδου σχήματος με τη μορφή KrT, που σχηματίζεται από την καμπύλη $y=y\left(x\right)$ στο διάστημα $\left$, υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους $x_( Γ) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx)(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ και $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx) $.

Διαλέξεις 8. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος.

Εφαρμογή του ολοκληρώματος σε σωματικές εργασίεςβασίζεται στην ιδιότητα της προσθετικότητας του ολοκληρώματος σε ένα σύνολο. Επομένως, χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, μπορούν να υπολογιστούν ποσότητες που είναι οι ίδιες προσθετικές στο σύνολο. Για παράδειγμα, το εμβαδόν ενός σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των μερών του.Το μήκος του τόξου, η επιφάνεια, ο όγκος του σώματος και η μάζα του σώματος έχουν την ίδια ιδιότητα. Επομένως, όλες αυτές οι ποσότητες μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε δύο μεθόδους για να λύσετε προβλήματα: μέθοδος ολοκληρωτικών αθροισμάτων και μέθοδος διαφορικών.

Η μέθοδος των ολοκληρωτικών αθροισμάτων επαναλαμβάνει την κατασκευή ενός ορισμένου ολοκληρώματος: κατασκευάζεται ένα διαμέρισμα, σημειώνονται σημεία, υπολογίζεται η συνάρτηση σε αυτά, υπολογίζεται το ολοκληρωτικό άθροισμα και εκτελείται η μετάβαση στο όριο. Σε αυτή τη μέθοδο, η κύρια δυσκολία είναι να αποδειχθεί ότι στο όριο το αποτέλεσμα είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεται στο πρόβλημα.

Η διαφορική μέθοδος χρησιμοποιεί το αόριστο ολοκλήρωμα και τον τύπο Newton–Leibniz. Υπολογίζεται η διαφορά της προς προσδιορισμό ποσότητας και στη συνέχεια, με την ολοκλήρωση αυτής της διαφοράς, προκύπτει η απαιτούμενη ποσότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz. Σε αυτή τη μέθοδο, η κύρια δυσκολία είναι να αποδειχθεί ότι είναι η διαφορά της απαιτούμενης τιμής που έχει υπολογιστεί και όχι κάτι άλλο.

Υπολογισμός εμβαδών επίπεδων σχημάτων.

1. Το σχήμα περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης που καθορίζεται στο Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες

Καταλήξαμε στην έννοια ενός ορισμένου ολοκληρώματος από το πρόβλημα της περιοχής ενός καμπύλου τραπεζοειδούς (στην πραγματικότητα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων). Εάν η συνάρτηση δέχεται μόνο αρνητικές τιμές, τότε η περιοχή κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. σημειώσε ότι Ως εκ τούτου, η μέθοδος των διαφορών μπορεί επίσης να φανεί εδώ.

Αλλά η συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει αρνητικές τιμές σε ένα συγκεκριμένο τμήμα, τότε το ολοκλήρωμα σε αυτό το τμήμα θα δώσει μια αρνητική περιοχή, η οποία έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της περιοχής.

Μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπομικρό=. Αυτό ισοδυναμεί με την αλλαγή του πρόσημου της συνάρτησης στις περιοχές εκείνες στις οποίες παίρνει αρνητικές τιμές.

Εάν πρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης και κάτω από το γράφημα της συνάρτησης, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπομικρό= , επειδή .

Παράδειγμα. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από ευθείες x=0, x=2 και γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=x 2, y=x 3.

Σημειώστε ότι στο διάστημα (0,1) ισχύει η ανισότητα x 2 > x 3, και για x >1 ισχύει η ανισότητα x 3 > x 2. Να γιατί

2. Το σχήμα περιορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που καθορίζεται σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ας δοθεί η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων και θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τομέα που οριοθετείται από δύο ακτίνες και το γράφημα μιας συνάρτησης σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, υπολογίζοντας το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τομέα ως το όριο του αθροίσματος των περιοχών των στοιχειωδών τομέων στους οποίους η γραφική παράσταση της συνάρτησης αντικαθίσταται από ένα κυκλικό τόξο .

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη διαφορική μέθοδο: .

Μπορείτε να σκεφτείτε έτσι. Αντικατάσταση του στοιχειώδους καμπυλόγραμμου τομέα που αντιστοιχεί σε κεντρική γωνίακυκλικός τομέας, έχουμε την αναλογία . Από εδώ . Ενσωματώνοντας και χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton–Leibniz, παίρνουμε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του κύκλου (ελέγξτε τον τύπο). Πιστεύουμε. Το εμβαδόν του κύκλου είναι .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την περιοχή που οριοθετείται από το καρδιοειδές .

3 Το σχήμα περιορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ορίζεται παραμετρικά.

Η συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί παραμετρικά στη μορφή . Χρησιμοποιούμε τον τύπο μικρό= , αντικαθιστώντας σε αυτό τα όρια ολοκλήρωσης έναντι της νέας μεταβλητής. . Συνήθως, κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, απομονώνονται εκείνες οι περιοχές όπου η συνάρτηση ολοκλήρωσης έχει ορισμένο πρόσημο και λαμβάνεται υπόψη η αντίστοιχη περιοχή με το ένα ή το άλλο πρόσημο.

Παράδειγμα. Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από την έλλειψη.

Χρησιμοποιώντας τη συμμετρία της έλλειψης, υπολογίζουμε το εμβαδόν του τετάρτου της έλλειψης που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Σε αυτό το τεταρτημόριο. Να γιατί .

Υπολογισμός όγκων σωμάτων.

1. Υπολογισμός όγκων σωμάτων από τα εμβαδά παράλληλων τομών.

Έστω ότι απαιτείται ο υπολογισμός του όγκου ενός ορισμένου σώματος V από τις γνωστές επιφάνειες διατομής αυτού του σώματος κατά επίπεδα κάθετα στην ευθεία OX που σύρεται σε οποιοδήποτε σημείο x του ευθύγραμμου τμήματος OX.

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο των διαφορικών. Θεωρώντας τον στοιχειώδη όγκο πάνω από το τμήμα ως τον όγκο ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου με εμβαδόν βάσης και ύψος, παίρνουμε . Ενσωματώνοντας και εφαρμόζοντας τον τύπο Newton–Leibniz, λαμβάνουμε

2. Υπολογισμός όγκων σωμάτων επανάστασης.

Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ΒΟΔΙ.

Επειτα .

Επίσης, όγκος ενός σώματος περιστροφής γύρω από έναν άξοναOY, εάν η συνάρτηση δίνεται στη μορφή , μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο .

Εάν η συνάρτηση καθορίζεται στη φόρμα και απαιτείται να προσδιοριστεί ο όγκος ενός σώματος περιστροφής γύρω από έναν άξοναOY, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μπορεί να ληφθεί ως εξής.

Περνώντας στο διαφορικό και παραμελώντας τους τετραγωνικούς όρους, έχουμε . Ενσωματώνοντας και εφαρμόζοντας τον τύπο Newton–Leibniz, έχουμε .

Παράδειγμα. Υπολογίστε τον όγκο της σφαίρας.

Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός δεξιού κυκλικού κώνου που οριοθετείται από μια επιφάνεια και ένα επίπεδο.

Ας υπολογίσουμε τον όγκο ως τον όγκο ενός σώματος περιστροφής που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από τον άξονα OZ ορθογώνιο τρίγωνοστο επίπεδο OXZ, τα σκέλη του οποίου βρίσκονται στον άξονα OZ και η ευθεία z = H, και η υποτείνουσα βρίσκεται στην ευθεία.

Εκφράζοντας το x ως z, παίρνουμε .

Υπολογισμός μήκους τόξου.

Για να λάβετε τύπους για τον υπολογισμό του μήκους ενός τόξου, θυμηθείτε τους τύπους που προέκυψαν στο 1ο εξάμηνο για τη διαφορά του μήκους τόξου.

Αν το τόξο είναι η γραφική παράσταση μιας συνεχώς διαφοροποιήσιμης συνάρτησης, η διαφορά μήκους τόξου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

. Να γιατί

Εάν ένα λείο τόξο προσδιορίζεται παραμετρικά, Οτι

. Να γιατί .

Εάν το τόξο καθορίζεται σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων, Οτι

. Να γιατί .

Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, . .

Αρχική > Διάλεξη

Διάλεξη 18. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος.

18.1. Υπολογισμός εμβαδών επίπεδων σχημάτων.

Είναι γνωστό ότι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σε ένα τμήμα αντιπροσωπεύει την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). Εάν το γράφημα βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ox, δηλ. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, τότε η περιοχή έχει ένα σύμβολο "+".

Για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια, χρησιμοποιήστε τον τύπο.

Το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ορισμένες γραμμές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ορισμένα ολοκληρώματα εάν οι εξισώσεις αυτών των γραμμών είναι γνωστές.

Παράδειγμα.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x, y = x2, x = 2.

Η απαιτούμενη περιοχή (σκιασμένη στο σχήμα) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

18.2. Εύρεση του εμβαδού ενός κυρτού τομέα.

Για να βρούμε την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τομέα, εισάγουμε ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων. Η εξίσωση της καμπύλης που περιορίζει τον τομέα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή  = f(), όπου  είναι το μήκος του διανύσματος ακτίνας που συνδέει τον πόλο με αυθαίρετο σημείοκαμπύλη, και  είναι η γωνία κλίσης αυτού του διανύσματος ακτίνας προς τον πολικό άξονα.

Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τομέα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

18.3. Υπολογισμός του μήκους τόξου μιας καμπύλης.

y y = f(x)

S i y i

Το μήκος της διακεκομμένης γραμμής που αντιστοιχεί στο τόξο μπορεί να βρεθεί ως
.

Τότε το μήκος του τόξου είναι
.

Από γεωμετρικές εκτιμήσεις:

Ταυτοχρονα

Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι

Εκείνοι.

Εάν η εξίσωση της καμπύλης δοθεί παραμετρικά, τότε λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον υπολογισμό της παραμετρικά δεδομένης παραγώγου, παίρνουμε

,

όπου x = (t) και y = (t).

Εάν έχει οριστεί χωρική καμπύλη, και x = (t), y = (t) και z = Z(t), τότε

Αν δοθεί η καμπύλη πολικές συντεταγμένες, Οτι

,  = f().

Παράδειγμα:Να βρείτε την περιφέρεια του κύκλου που δίνεται από την εξίσωση x 2 + y 2 = r 2 .

1 τρόπος.Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή y από την εξίσωση.

Ας βρούμε την παράγωγο

Τότε S = 2r. Πήραμε τον γνωστό τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου.

Μέθοδος 2.Αν παρουσιάσουμε τη δεδομένη εξίσωση στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, παίρνουμε: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, δηλ. συνάρτηση  = f() = r,
Επειτα

18.4. Υπολογισμός όγκων σωμάτων.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος από τα γνωστά εμβαδά των παράλληλων τομών του.

Έστω ένα σώμα όγκου V. Η περιοχή οποιασδήποτε διατομής του σώματος Q είναι γνωστή ως συνεχής συνάρτηση Q = Q(x). Ας χωρίσουμε το σώμα σε «στρώσεις» με διατομές που διέρχονται από τα σημεία x i του διαμερίσματος του τμήματος. Επειδή Η συνάρτηση Q(x) είναι συνεχής σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο τμήμα του διαμερίσματος, τότε παίρνει το μέγιστο και μικρότερη τιμή. Ας τα συμβολίσουμε M i και m i , αντίστοιχα.

Αν σε αυτά τα μεγαλύτερα και μικρότερα τμήματα κατασκευάσουμε κυλίνδρους με γενετικές παράλληλες στον άξονα x, τότε οι όγκοι αυτών των κυλίνδρων θα είναι αντίστοιχα ίσοι με M i x i και m i x i εδώ x i = x i - x i -1.

Έχοντας κάνει τέτοιες κατασκευές για όλα τα τμήματα του χωρίσματος, λαμβάνουμε κυλίνδρους των οποίων οι όγκοι είναι ίσοι, αντίστοιχα
Και
.

Καθώς το βήμα διαμερίσματος  τείνει στο μηδέν, αυτά τα αθροίσματα έχουν ένα κοινό όριο:

Έτσι, ο όγκος του σώματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Το μειονέκτημα αυτού του τύπου είναι ότι για να βρείτε τον όγκο πρέπει να γνωρίζετε τη συνάρτηση Q(x), η οποία είναι πολύ προβληματική για πολύπλοκα σώματα.

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας ακτίνας R.

ΣΕ διατομέςη μπάλα παράγει κύκλους μεταβλητής ακτίνας y. Ανάλογα με την τρέχουσα συντεταγμένη x, αυτή η ακτίνα εκφράζεται με τον τύπο
.

Τότε η συνάρτηση επιφάνειας διατομής έχει τη μορφή: Q(x) = .

Παίρνουμε τον όγκο της μπάλας:

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας με ύψος H και εμβαδόν βάσης S.

Όταν η πυραμίδα τέμνεται από επίπεδα κάθετα στο ύψος, σε διατομή παίρνουμε σχήματα παρόμοια με τη βάση. Ο συντελεστής ομοιότητας αυτών των σχημάτων είναι ίσος με τον λόγο x/H, όπου x είναι η απόσταση από το επίπεδο τομής μέχρι την κορυφή της πυραμίδας.

Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι ο λόγος των εμβαδών όμοιων σχημάτων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας στο τετράγωνο, δηλ.

Από εδώ λαμβάνουμε τη συνάρτηση των περιοχών διατομής:

Εύρεση του όγκου της πυραμίδας:

18.5. Όγκος σωμάτων περιστροφής.

Θεωρήστε την καμπύλη που δίνεται από την εξίσωση y = f(x). Έστω ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα. Αν το αντίστοιχο καμπυλόγραμμο τραπέζιο με βάσεις a και b περιστραφεί γύρω από τον άξονα Ox, τότε παίρνουμε το λεγόμενο σώμα της επανάστασης.

Επειδή Κάθε τμήμα ενός σώματος κατά επίπεδο x = const είναι ένας κύκλος ακτίνας, τότε ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί εύκολα να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που λήφθηκε παραπάνω:

18.6. Επιφάνεια ενός σώματος επανάστασης.

Μι Β

Ορισμός: Επιφάνεια περιστροφήςΗ καμπύλη ΑΒ γύρω από έναν δεδομένο άξονα είναι το όριο στο οποίο τείνουν οι περιοχές των επιφανειών περιστροφής των διακεκομμένων γραμμών που εγγράφονται στην καμπύλη ΑΒ όταν το μεγαλύτερο από τα μήκη των συνδέσμων αυτών των διακεκομμένων γραμμών τείνει στο μηδέν.

Ας χωρίσουμε το τόξο ΑΒ σε n μέρη με σημεία M 0, M 1, M 2, ..., M n. Οι συντεταγμένες των κορυφών της διακεκομμένης γραμμής που προκύπτει έχουν συντεταγμένες x i και y i . Κατά την περιστροφή της διακεκομμένης γραμμής γύρω από τον άξονα, λαμβάνουμε μια επιφάνεια που αποτελείται από τις πλευρικές επιφάνειες των κόλουρων κώνων, το εμβαδόν της οποίας είναι ίσο με P i. Αυτή η περιοχή μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ S i είναι το μήκος κάθε συγχορδίας.

Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Lagrange (βλ. Θεώρημα Lagrange) σε σχέση
.

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

ομοσπονδιακό κρατικό αυτόνομο εκπαιδευτικό ίδρυμα

ανώτερη επαγγελματική εκπαίδευση

«Βόρεια (Αρκτική) ομοσπονδιακό πανεπιστήμιοπου πήρε το όνομά του από τον M.V. Λομονόσοφ"

Τμήμα Μαθηματικών

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Στον κλάδο Μαθηματικά

Πιατίσεβα Αναστασία Αντρέεβνα

Επόπτης

Τέχνη. δάσκαλος

Borodkina T. A.

Αρχάγγελσκ 2014

ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

ΑΡΧΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ:

21. y=x 3, y=; 22.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε αυτήν την εργασία μαθήματος, μου δόθηκαν οι ακόλουθες εργασίες: να υπολογίσω τις περιοχές των σχημάτων που περιορίζονται από γραφήματα συναρτήσεων, περιορίζεται από γραμμές, δεδομένες εξισώσεις, επίσης περιορισμένες από ευθείες, δεδομένες εξισώσεις σε πολικές συντεταγμένες, υπολογίστε τα μήκη των τόξων των καμπυλών, δίνονται με εξισώσειςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που καθορίζεται από παραμετρικές εξισώσεις, καθορίζεται από εξισώσεις σε πολικές συντεταγμένες, και υπολογίζει επίσης τους όγκους των σωμάτων που περιορίζονται από επιφάνειες, περιορίζονται από γραφήματα συναρτήσεων και σχηματίζονται από την περιστροφή των σχημάτων που περιορίζονται από γραφήματα συναρτήσεων γύρω από την πολική άξονας. Επέλεξα μια εργασία μαθήματος με θέμα «Ορισμένο ολοκλήρωμα. Από αυτή την άποψη, αποφάσισα να μάθω πόσο εύκολα και γρήγορα μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ολοκληρωμένοι υπολογισμοί και με πόσο ακρίβεια μπορούν να υπολογιστούν οι εργασίες που μου έχουν ανατεθεί.

Το INTEGRAL είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών, που προέκυψε σε σχέση με την ανάγκη, αφενός, να βρεθούν συναρτήσεις από τις παράγωγές τους (για παράδειγμα, να βρεθεί μια συνάρτηση που εκφράζει τη διαδρομή που διανύει ένα κινούμενο σημείο με βάση την ταχύτητα αυτού του σημείου), και, αφετέρου, για τη μέτρηση περιοχών, όγκων, μηκών τόξων, έργου δυνάμεων σε μια ορισμένη χρονική περίοδο κ.λπ.

Αποκάλυψη θέματος εργασία μαθημάτωνΠραγματοποίησα το ακόλουθο σχέδιο: ο ορισμός ενός ορισμένου ολοκληρώματος και οι ιδιότητές του. μήκος τόξου καμπύλης? περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. επιφάνεια περιστροφής.

Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x), συνεχής στο διάστημα, υπάρχει μια αντιπαράγωγος σε αυτό το διάστημα, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα.

Αν η συνάρτηση F(x) είναι οποιαδήποτε αντιπαράγωγος του συνεχής λειτουργία f(x), τότε αυτή η έκφραση είναι γνωστή ως τύπος Newton-Leibniz:

Βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος:

Αν το κατώτερο και το ανώτερο όριο της ολοκλήρωσης είναι ίσα (a=b), τότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν:

Αν f(x)=1, τότε:

Κατά την αναδιάταξη των ορίων ολοκλήρωσης, το καθορισμένο ολοκλήρωμα αλλάζει υποδηλώνει το αντίθετο:

Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος:

Εάν οι συναρτήσεις είναι ενσωματώσιμες στο, τότε το άθροισμά τους και το ολοκλήρωμα του αθροίσματος είναι ενσωματώσιμα στο ίσο με το άθροισμαολοκληρώματα:

Υπάρχουν επίσης βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης, όπως αλλαγή μεταβλητής:

Διόρθωση διαφοράς:

Ο τύπος ολοκλήρωσης με μέρη καθιστά δυνατή τη μείωση του υπολογισμού του ολοκληρώματος στον υπολογισμό του ολοκληρώματος, ο οποίος μπορεί να αποδειχθεί απλούστερος:

Γεωμετρική σημασίαενός ορισμένου ολοκληρώματος είναι ότι, για μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση, είναι, με γεωμετρική έννοια, η περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Επιπλέον, χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από καμπύλες, ευθείες γραμμές και, όπου

Εάν ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο περιορίζεται από μια καμπύλη που ορίζεται από τις παραμετρικές γραμμές x = a και x = b και τον άξονα Ox, τότε το εμβαδόν του βρίσκεται από τον τύπο, ο οποίος προσδιορίζεται από την ισότητα:

. (12)

Η κύρια περιοχή, η περιοχή της οποίας βρίσκεται χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, είναι ένας καμπυλόγραμμος τομέας. Αυτή είναι μια περιοχή που οριοθετείται από δύο ακτίνες και μια καμπύλη, όπου r και είναι πολικές συντεταγμένες:

Εάν η καμπύλη είναι ένα γράφημα της συνάρτησης όπου και η συνάρτηση η παράγωγός της είναι συνεχής σε αυτό το τμήμα, τότε η επιφάνεια του σχήματος που σχηματίζεται με την περιστροφή της καμπύλης γύρω από τον άξονα Ox μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

. (14)

Εάν μια συνάρτηση και η παράγωγός της είναι συνεχείς σε ένα τμήμα, τότε η καμπύλη έχει μήκος ίσο με:

Αν η εξίσωση της καμπύλης δίνεται σε παραμετρική μορφή

όπου x(t) και y(t) είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους και τότε το μήκος της καμπύλης βρίσκεται από τον τύπο:

Εάν η καμπύλη δίνεται από μια εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες, όπου και είναι συνεχείς στο τμήμα, τότε το μήκος του τόξου μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές, οριοθετημένο από ένα συνεχές ευθύγραμμο τμήμα και ευθείες x = a και x = b, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, τότε ο όγκος του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα Ox θα είναι ίσος με:

Αν ένα καμπύλο τραπεζοειδές περιορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης και τις ευθείες x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Εάν το σχήμα περιορίζεται από καμπύλες και (είναι «υψηλότερο» από και από ευθείες x = a, x = b), τότε ο όγκος του σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα Ox θα είναι ίσος με:

και γύρω από τον άξονα Oy (:

Εάν ο καμπυλόγραμμος τομέας περιστρέφεται γύρω από τον πολικό άξονα, τότε η περιοχή του σώματος που προκύπτει μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Πρόβλημα 14: Υπολογίστε τις περιοχές των σχημάτων που οριοθετούνται από γραφήματα συναρτήσεων:

1) Λύση:

Εικόνα 1 - Γράφημα συνάρτησης

Το X αλλάζει από 0 σε

x 1 = -1 και x 2 = 2 είναι τα όρια της ολοκλήρωσης (αυτό φαίνεται στο Σχήμα 1).

3) Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (10).

Απάντηση: S = .

Πρόβλημα 15: Υπολογίστε τα εμβαδά των σχημάτων που οριοθετούνται από ευθείες που δίνονται από τις εξισώσεις:

1) Λύση:

Εικόνα 2 - Γράφημα συνάρτησης

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση στο διάστημα .

Εικόνα 3 - Πίνακας μεταβλητών για τη συνάρτηση

Δεδομένου ότι, αυτή η περίοδος θα χωρέσει 1 τόξο. Το τόξο αυτό αποτελείται από ένα κεντρικό τμήμα (S 1) και πλευρικά μέρη. Το κεντρικό τμήμα αποτελείται από το επιθυμητό τμήμα και ένα ορθογώνιο (S r):. Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κεντρικού τμήματος του τόξου.

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

και y = 6, επομένως

Για το διάστημα - τα όρια της ολοκλήρωσης.

3) Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (12).

καμπύλη αναπόσπαστο τραπεζοειδές

Πρόβλημα 16: Υπολογίστε τα εμβαδά των σχημάτων που οριοθετούνται από ευθείες που δίνονται από εξισώσεις σε πολικές συντεταγμένες:

1) Λύση:

Εικόνα 4 - Γράφημα συνάρτησης,

Εικόνα 5 - Πίνακας μεταβλητών συναρτήσεων,

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

ως εκ τούτου -

3) Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (13).

Απάντηση: S =.

Εργασία 17: Υπολογίστε τα μήκη των τόξων των καμπυλών που δίνονται από εξισώσεις σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1) Λύση:

Εικόνα 6 - Γράφημα συνάρτησης

Εικόνα 7 - Πίνακας μεταβλητών συναρτήσεων

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

αλλάζει από ln σε ln, αυτό είναι προφανές από την κατάσταση.

3) Βρείτε το μήκος του τόξου χρησιμοποιώντας τον τύπο (15).

Απάντηση: μεγάλο =

Εργασία 18: Υπολογίστε τα μήκη των τόξων των καμπυλών που δίνονται από τις παραμετρικές εξισώσεις: 1)

1) Λύση:

Εικόνα 8 - Γράφημα συνάρτησης

Εικόνα 11 - Πίνακας μεταβλητών συναρτήσεων

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

c ποικίλλει από, αυτό είναι προφανές από την κατάσταση.

Ας βρούμε το μήκος τόξου χρησιμοποιώντας τον τύπο (17).

Εργασία 20: Υπολογίστε τους όγκους των σωμάτων που οριοθετούνται από επιφάνειες:

1) Λύση:

Εικόνα 12 - Γράφημα συνάρτησης:

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

Το Z ποικίλλει από 0 έως 3.

3) Βρείτε τον όγκο του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (18)

Εργασία 21: Υπολογίστε τους όγκους των σωμάτων που περιορίζονται από γραφήματα συναρτήσεων, άξονα περιστροφής Ox: 1)

1) Λύση:

Εικόνα 13 - Γράφημα συνάρτησης

Εικόνα 15 - Πίνακας γραφήματος συναρτήσεων

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

Τα σημεία (0;0) και (1;1) είναι κοινά και στα δύο γραφήματα, επομένως αυτά είναι τα όρια ολοκλήρωσης, που είναι προφανές στο σχήμα.

3) Βρείτε τον όγκο του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (20).

Εργασία 22: Υπολογίστε το εμβαδόν των σωμάτων που σχηματίζονται από την περιστροφή των σχημάτων που περιορίζεται από γραφήματα συναρτήσεων γύρω από τον πολικό άξονα:

1) Λύση:

Εικόνα 16 - Γράφημα συνάρτησης

Εικόνα 17 - Πίνακας μεταβλητών για το γράφημα συνάρτησης

2) Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης.

γ ποικίλλει από

3) Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (22).

Απάντηση: 3,68

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Κατά τη διαδικασία ολοκλήρωσης της εργασίας μαθημάτων με το θέμα "Ορισμένο ολοκλήρωμα", έμαθα να υπολογίζω εμβαδά διαφορετικά σώματα, βρείτε τα μήκη διαφόρων τόξων καμπυλών και υπολογίστε επίσης όγκους. Αυτή η παρουσίασησχετικά με την εργασία με ολοκληρώματα, θα με βοηθήσει στο μέλλον επαγγελματική δραστηριότηταπώς να εκτελέσετε γρήγορα και αποτελεσματικά διάφορες δράσεις. Εξάλλου, το ίδιο το ολοκλήρωμα είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών, που προέκυψε σε σχέση με την ανάγκη, αφενός, να βρεθούν συναρτήσεις από τις παράγωγές τους (για παράδειγμα, να βρεθεί μια συνάρτηση που εκφράζει τη διαδρομή που διανύει ένα κινούμενο σημαδέψτε με την ταχύτητα αυτού του σημείου), και από την άλλη πλευρά, για να μετρήσετε εμβαδά, όγκους, μήκη τόξων, έργο δυνάμεων σε μια ορισμένη χρονική περίοδο κ.λπ.

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΠΗΓΩΝ

1. Γραπτός, Δ.Τ. Σημειώσεις διάλεξης για ανώτερα μαθηματικά: Μέρος 1 - 9η έκδ. - Μ.: Iris-press, 2008. - 288 σελ.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Διαφορικό και ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 p.

3. Zorich V. A. Μαθηματική ανάλυση. Μέρος Ι. -- Εκδ. 4ο - Μ.: MTsNMO, 2002. -664 σελ.

4. Kuznetsov D.A. «Συλλογή προβλημάτων για ανώτερα μαθηματικά"Μόσχα, 1983

5. Nikolsky S. N. «Στοιχεία μαθηματική ανάλυση" - Μ.: Nauka, 1981.

Παρόμοια έγγραφα

Υπολογισμός εμβαδών επίπεδων σχημάτων. Εύρεση ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Προσδιορισμός της περιοχής κάτω από μια καμπύλη, η περιοχή ενός σχήματος που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών. Υπολογισμός όγκων σωμάτων επανάστασης. Όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος μιας συνάρτησης. Προσδιορισμός του όγκου ενός κυλίνδρου.

παρουσίαση, προστέθηκε 18/09/2013


Χαρακτηριστικά υπολογισμού των όγκων των σωμάτων που οριοθετούνται από επιφάνειες με χρήση γεωμετρικής σημασίας διπλό ολοκλήρωμα. Προσδιορισμός των περιοχών των επίπεδων σχημάτων που οριοθετούνται από γραμμές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης σε ένα μάθημα λογισμού.

παρουσίαση, προστέθηκε 17/09/2013


Παράγωγος ορισμένου ολοκληρώματος ως προς μια μεταβλητή ανώτατο όριο. Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος ως όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος με χρήση του τύπου Newton–Leibniz, αλλαγή μεταβλητής και ολοκλήρωση ανά μέρη. Μήκος τόξου στο πολικό σύστημα συντεταγμένων.

δοκιμή, προστέθηκε στις 22/08/2009


Ροπές και κέντρα μάζας επίπεδων καμπυλών. Θεώρημα Gulden. Το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τόξου μιας επίπεδης καμπύλης γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται στο επίπεδο του τόξου και δεν το τέμνει είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του τόξου και του μήκους του κύκλου.

διάλεξη, προστέθηκε 09/04/2003


Μεθοδολογία και κύρια στάδια εύρεσης παραμέτρων: εμβαδόν καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς και τομέα, μήκος τόξου καμπύλης, όγκος σωμάτων, εμβαδόν επιφάνειας σωμάτων περιστροφής, έργο μεταβλητής δύναμης. Η διαδικασία και ο μηχανισμός για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας το πακέτο MathCAD.

δοκιμή, προστέθηκε στις 21/11/2010


Απαραίτητο και επαρκής κατάστασηύπαρξη ορισμένου ολοκληρώματος. Ισότητα ορισμένου ολοκληρώματος του αλγεβρικό άθροισμα(διαφορές) δύο συναρτήσεων. Θεώρημα μέσης τιμής – συμπέρασμα και απόδειξη. Γεωμετρική έννοια ορισμένου ολοκληρώματος.

παρουσίαση, προστέθηκε 18/09/2013


Εργο αριθμητική ολοκλήρωσηλειτουργίες. Υπολογισμός της κατά προσέγγιση τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Εύρεση ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των ορθογωνίων, των μεσαίων ορθογωνίων και των τραπεζοειδών. Λάθος τύπων και σύγκριση μεθόδων ως προς την ακρίβεια.

εκπαιδευτικό εγχειρίδιο, προστέθηκε 07/01/2009


Μέθοδοι υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Τύποι και επαλήθευση αόριστο ολοκλήρωμα. Εμβαδόν κυρτού τραπεζοειδούς. Αβέβαιο, οριστικό και σύνθετο ολοκλήρωμα. Βασικές εφαρμογές ολοκληρωμάτων. Γεωμετρική έννοια ορισμένων και αόριστων ολοκληρωμάτων.

παρουσίαση, προστέθηκε 15/01/2014


Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός αριθμού είναι περιορισμένος δεδομένες γραμμές, χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα. Υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος μεταβαίνοντας στο πολικές συντεταγμένες. Μέθοδος προσδιορισμού καμπυλόγραμμο ολοκλήρωματου δεύτερου είδους κατά μήκος μιας δεδομένης γραμμής και ροής ενός διανυσματικού πεδίου.

δοκιμή, προστέθηκε 14/12/2012


Η έννοια ορισμένου ολοκληρώματος, υπολογισμός εμβαδού, όγκου σώματος και μήκους τόξου, στατική ροπή και κέντρο βάρους της καμπύλης. Υπολογισμός του εμβαδού στην περίπτωση μιας ορθογώνιας καμπύλης περιοχής. Εφαρμογή καμπυλόγραμμων, επιφανειακών και τριπλών ολοκληρωμάτων.