Το σχολικό πρόγραμμα προβλέπει τη διδασκαλία της γεωμετρίας σε παιδιά από μικρή ηλικία. Μια από τις πιο βασικές γνώσεις αυτής της περιοχής είναι η εύρεση της περιοχής των διαφόρων μορφών. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να δώσουμε όλους τους πιθανούς τρόπους απόκτησης αυτής της τιμής, από τον πιο απλό έως τον πιο περίπλοκο.

Το Ίδρυμα

Η πρώτη φόρμουλα που μαθαίνουν τα παιδιά στο σχολείο περιλαμβάνει την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου ως προς το μήκος του ύψους και της βάσης του. Το ύψος είναι ένα τμήμα που τραβιέται από την κορυφή του τριγώνου σε ορθή γωνία προς την απέναντι πλευρά, η οποία θα είναι η βάση. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου από αυτές τις τιμές;

Αν V είναι το ύψος και Ο η βάση, τότε το εμβαδόν είναι S=V*O:2.

Μια άλλη επιλογή για τη λήψη της επιθυμητής τιμής απαιτεί να γνωρίζουμε τα μήκη των δύο πλευρών, καθώς και τη γωνία μεταξύ τους. Εάν έχουμε L και M - τα μήκη των πλευρών, και Q - τη γωνία μεταξύ τους, τότε μπορείτε να πάρετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο S=(L*M*sin(Q))/2.

Η φόρμουλα του Heron

Εκτός από όλες τις άλλες απαντήσεις στο ερώτημα πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου, υπάρχει ένας τύπος που μας επιτρέπει να πάρουμε την τιμή που χρειαζόμαστε, γνωρίζοντας μόνο τα μήκη των πλευρών. Δηλαδή, αν γνωρίζουμε τα μήκη όλων των πλευρών, τότε δεν χρειάζεται να σχεδιάσουμε το ύψος και να υπολογίσουμε το μήκος του. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λεγόμενη φόρμουλα Heron.

Αν M, N, L είναι τα μήκη των πλευρών, τότε μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου, ως εξής. P \u003d (M + N + L) / 2, τότε η τιμή που χρειαζόμαστε S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπολογίσουμε μόνο τη ρίζα.

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ο τύπος του Heron είναι ελαφρώς απλοποιημένος. Αν τα M, L είναι πόδια, τότε S=(P-M)*(P-L).

κύκλους

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι να χρησιμοποιήσετε εγγεγραμμένους και περιγεγραμμένους κύκλους. Για να λάβουμε την τιμή που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τον εγγεγραμμένο κύκλο, πρέπει να γνωρίζουμε την ακτίνα του. Ας το χαρακτηρίσουμε "r". Στη συνέχεια, ο τύπος με τον οποίο θα πραγματοποιήσουμε τους υπολογισμούς θα έχει την ακόλουθη μορφή: S \u003d r * P, όπου το P είναι το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών όλων των πλευρών.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αυτός ο τύπος μετασχηματίζεται ελαφρώς. Φυσικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα παραπάνω, αλλά είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική έκφραση για τους υπολογισμούς. S=E*W, όπου E και W είναι τα μήκη των τμημάτων στα οποία διαιρείται η υποτείνουσα με το σημείο εφαπτομένης του κύκλου.

Μιλώντας για τον περιγεγραμμένο κύκλο, η εύρεση της περιοχής ενός τριγώνου δεν είναι επίσης δύσκολη. Εισάγοντας τον προσδιορισμό R ως την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, μπορείτε να πάρετε τον ακόλουθο τύπο που απαιτείται για τον υπολογισμό της επιθυμητής τιμής: S= (M*N*L):(4*R). Όπου οι τρεις πρώτες ποσότητες είναι οι πλευρές του τριγώνου.

Μιλώντας για ένα ισόπλευρο τρίγωνο, λόγω ενός αριθμού απλών μαθηματικών μετασχηματισμών, μπορεί κανείς να αποκτήσει ελαφρώς τροποποιημένους τύπους:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r2.

Σε κάθε περίπτωση, οποιοσδήποτε τύπος που σας επιτρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να αλλάξει σύμφωνα με το δεδομένο πρόβλημα. Άρα όλες οι γραπτές εκφράσεις δεν είναι απόλυτες. Όταν λύνετε προβλήματα, σκεφτείτε για να βρείτε τον καταλληλότερο τρόπο επίλυσής τους.

Συντεταγμένες

Κατά τη μελέτη των αξόνων συντεταγμένων, τα καθήκοντα που αντιμετωπίζουν οι μαθητές γίνονται πιο περίπλοκα. Ωστόσο, δεν είναι αρκετό για να πανικοβληθεί. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο, αλλά ελαφρώς τροποποιημένο τύπο Heron. Για τις συντεταγμένες, έχει την ακόλουθη μορφή:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Ωστόσο, κανείς δεν απαγορεύει, χρησιμοποιώντας συντεταγμένες, να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους τύπους που γράφτηκαν παραπάνω, να υπολογίσετε το εμβαδόν. Για να μετατρέψετε τις συντεταγμένες σε μήκος, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Σημειώσεις

Το άρθρο χρησιμοποιούσε την τυπική σημείωση για τις ποσότητες που χρησιμοποιούνται στις συνθήκες των περισσότερων προβλημάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, ο βαθμός "1/2" σημαίνει ότι πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από ολόκληρη την έκφραση κάτω από τις αγκύλες.

Όταν επιλέγετε μια φόρμουλα, να είστε προσεκτικοί. Ορισμένα από αυτά χάνουν τη σημασία τους ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, ο τύπος του περιγεγραμμένου κύκλου. Είναι σε θέση να υπολογίσει το αποτέλεσμα για εσάς σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, μπορεί να υπάρχει μια κατάσταση όπου ένα τρίγωνο με τις δεδομένες παραμέτρους μπορεί να μην υπάρχει καθόλου.

Εάν κάθεστε στο σπίτι και κάνετε τα μαθήματά σας, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Πολλοί ιστότοποι παρέχουν τη δυνατότητα υπολογισμού διαφόρων τιμών για δεδομένες παραμέτρους και δεν έχει σημασία ποιες. Μπορείτε απλά να εισάγετε τα αρχικά δεδομένα στα πεδία και ο υπολογιστής (ιστοσελίδα) θα υπολογίσει το αποτέλεσμα για εσάς. Έτσι, μπορείτε να αποφύγετε λάθη που γίνονται από απροσεξία.

Ελπίζουμε ότι το άρθρο μας απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις σας σχετικά με τον υπολογισμό του εμβαδού των διαφόρων τριγώνων και δεν χρειάζεται να αναζητήσετε πρόσθετες πληροφορίες αλλού. Καλή επιτυχία στις σπουδές σου!

Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους. Από όλες τις μεθόδους, η πιο εύκολη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι ο πολλαπλασιασμός του ύψους με το μήκος της βάσης και στη συνέχεια η διαίρεση του αποτελέσματος με το δύο. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος απέχει πολύ από τη μοναδική. Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους.

Ξεχωριστά, θα εξετάσουμε μεθόδους για τον υπολογισμό του εμβαδού συγκεκριμένων τύπων τριγώνων - ορθογώνιο, ισοσκελές και ισόπλευρο. Συνοδεύουμε κάθε φόρμουλα με μια σύντομη εξήγηση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία της.

Καθολικοί τρόποι για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν ειδική σημείωση. Θα αποκρυπτογραφήσουμε το καθένα από αυτά:

• α, β, γ είναι τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος που εξετάζουμε.
• r είναι η ακτίνα ενός κύκλου που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνό μας.
• R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω του.
• α - η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές b και c.
• β είναι η γωνία μεταξύ a και c.
• γ - η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές a και b.
• h είναι το ύψος του τριγώνου μας, χαμηλωμένο από τη γωνία α στην πλευρά α.
• Το p είναι το ήμισυ του αθροίσματος των πλευρών a, b και c.

Είναι λογικά σαφές γιατί μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Το τρίγωνο συμπληρώνεται εύκολα σε ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο η μία πλευρά του τριγώνου θα λειτουργεί ως διαγώνιος. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας από τις πλευρές του με την τιμή του ύψους που τραβιέται σε αυτό. Η διαγώνιος διαιρεί αυτό το υπό όρους παραλληλόγραμμο σε 2 ίδια τρίγωνα. Επομένως, είναι προφανές ότι το εμβαδόν του αρχικού μας τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με το μισό του εμβαδού αυτού του βοηθητικού παραλληλογράμμου.

S=½ a b sin γ

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών του, δηλαδή των a και b, με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν. Αυτός ο τύπος προκύπτει λογικά από τον προηγούμενο. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία β στην πλευρά b, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας γ, παίρνουμε το ύψος του τριγώνου, δηλαδή h.

Το εμβαδόν του υπό εξέταση σχήματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της ακτίνας του κύκλου, που μπορεί να εγγραφεί σε αυτόν, με την περίμετρό του. Βρίσκουμε δηλαδή το γινόμενο της ημιπεριμέτρου και της ακτίνας του αναφερόμενου κύκλου.

S= a b c/4R

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο των πλευρών του σχήματος με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό.

Αυτοί οι τύποι είναι καθολικοί, καθώς καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της περιοχής οποιουδήποτε τριγώνου (σκαλοπάτι, ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Αυτό μπορεί να γίνει με τη βοήθεια πιο περίπλοκων υπολογισμών, στους οποίους δεν θα σταθούμε λεπτομερώς.

Περιοχές τριγώνων με συγκεκριμένες ιδιότητες

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; Ένα χαρακτηριστικό αυτού του σχήματος είναι ότι οι δύο πλευρές του είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του. Εάν τα a και b είναι σκέλη και το c γίνεται η υποτείνουσα, τότε η περιοχή βρίσκεται ως εξής:

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου; Έχει δύο πλευρές με μήκος α και μια πλευρά με μήκος β. Επομένως, το εμβαδόν του μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας με το 2 το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς a με το ημίτονο της γωνίας γ.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου; Σε αυτό, το μήκος όλων των πλευρών είναι α και η τιμή όλων των γωνιών είναι α. Το ύψος του είναι το μισό του γινόμενου του μήκους μιας πλευράς επί την τετραγωνική ρίζα του 3. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου, χρειάζεστε το τετράγωνο της πλευράς a πολλαπλασιασμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3 και διαιρούμενο με το 4.

Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουπου είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τις διαστάσεις του. Οι τύποι παρουσιάζονται με τη μορφή εικόνας, εδώ υπάρχουν εξηγήσεις για την εφαρμογή ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Επίσης, ένα ξεχωριστό σχήμα δείχνει την αντιστοιχία των συμβόλων γραμμάτων στους τύπους και των γραφικών συμβόλων στο σχέδιο.

Σημείωση . Εάν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες (ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους, καθώς και επιπλέον ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύποι για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο
η- το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο στο πλάι
Π- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - η γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - η γωνία απέναντι από την πλευρά b του τριγώνου
γ - η γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο στην πλευρά a, b, c

Λάβετε υπόψη ότι η συγκεκριμένη σημείωση αντιστοιχεί στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση ενός πραγματικού προβλήματος στη γεωμετρία, θα είναι οπτικά ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε τις σωστές τιμές στις σωστές θέσεις στον τύπο.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ήμισυ του γινόμενου του ύψους ενός τριγώνου και του μήκους της πλευράς στην οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Αν συμπληρώσουμε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε, προφανώς, το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρά το γεγονός ότι φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά β, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ, σύμφωνα με τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου που χαράσσεται από μας, που θα μας δώσει την προηγούμενη φόρμουλα
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου δουλειάτο ήμισυ της ακτίνας ενός κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με άλλα λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη μισή περίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (είναι πιο εύκολο να θυμάστε με αυτόν τον τρόπο)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς τα μήκη των πλευρών του και την ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω των μήκων των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων ενός κύκλου που περικλείονται γύρω του και των ημιτόνων κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν το μήκος μιας πλευράς και το μέγεθος των δύο γειτονικών γωνιών είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς, διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών γωνίες (Formula 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη ενός τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου σύμφωνα με τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες δίνονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωση. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στη γεωμετρία για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, παρόμοιο με το οποίο δεν υπάρχει εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Σε λύσεις, η συνάρτηση sqrt() μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί για το σύμβολο "τετραγωνική ρίζα", στο οποίο sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε αγκύλες.Μερικές φορές το σύμβολο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για απλές ριζικές εκφράσεις √

Μια εργασία. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 εκ. Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Δεδομένου ότι έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από τη δήλωση προβλήματος στον τύπο:
S=1/2*5*6*sin60

Στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, βρίσκουμε και αντικαθιστούμε στην έκφραση την τιμή του ημιτόνου 60 μοίρες. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρία επί δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, πιθανότατα μπορούν να μείνουν και 15 √3/2)

Μια εργασία. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Από ένα \u003d b \u003d c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου θα έχει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Μια εργασία. Αλλαγή στην περιοχή όταν αλλάζετε το μήκος των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν ενός τριγώνου αν τετραπλασιαστούν οι πλευρές;

Λύση.

Εφόσον οι διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου είναι άγνωστες σε εμάς, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα με αυθαίρετους αριθμούς a, b, c. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, βρίσκουμε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου και μετά βρίσκουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Στη συνέχεια, δίνουμε μια επεξήγηση κειμένου της λύσης του προβλήματος σε βήματα. Ωστόσο, στο τέλος, η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια γραφική μορφή που είναι πιο βολική για την αντίληψη. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ρίξουν αμέσως τη λύση.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο Heron (βλ. παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου δίνονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να μπει σε παρένθεση και από τις τέσσερις εκφράσεις σύμφωνα με τους γενικούς κανόνες των μαθηματικών.
Επειτα

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Από τον αριθμό 256 εξάγεται τέλεια η τετραγωνική ρίζα, οπότε θα την βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή του παρακάτω σχήματος)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τίθεται στο πρόβλημα, αρκεί να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Καθορίζουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Το τρίγωνο είναι ένα γνωστό σχήμα. Και αυτό, παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι κάπως διαφορετικό. Αλλά για οποιοδήποτε απαιτείται να γνωρίζει το εμβαδόν του τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n in, n s.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, της πλευράς και του ύψους που έχει χαμηλώσει πάνω του. S = ½ * a * n a. Ομοίως, θα πρέπει κανείς να γράψει τύπους για τις άλλες δύο πλευρές.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνηθίζεται να τη συμβολίζουμε με μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος ημιπεριμέτρου: p \u003d (a + b + c) / 2. Στη συνέχεια, η ισότητα για το εμβαδόν του \ Το σχήμα μοιάζει με αυτό: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε θα σας φανεί χρήσιμος ένας τέτοιος τύπος, στον οποίο υπάρχουν μόνο τα μήκη των πλευρών: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( β + γ - α) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι κάπως μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν ξεχάσετε πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι στους οποίους εμφανίζονται οι γωνίες ενός τριγώνου

Ο συμβολισμός που απαιτείται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι στις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S \u003d (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γωνίες δίπλα της. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι πολύ δύσκολο να τα θυμάσαι.

Γενικοί τύποι για την κατάσταση όταν είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R — ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Με άλλο τρόπο, μπορεί να γραφτεί ως εξής: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με την τετραπλή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Κυριολεκτικά, μοιάζει με αυτό: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά χρειάζεστε τις τιμές και των τριών γωνιών. S \u003d 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Συμβολίζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά, μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι η πιο εύκολη στη μνήμη. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δηλώνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι οι δύο πλευρές του είναι ίσες, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Εάν το μετατρέψετε, θα γίνει πιο σύντομο. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο, εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως, σε προβλήματα σχετικά με αυτόν, η πλευρά είναι γνωστή ή μπορεί με κάποιο τρόπο να αναγνωριστεί. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Εργασίες εύρεσης της περιοχής, εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Στη συνέχεια, στο σχήμα που προκύπτει θα υπάρχουν 3 τρίγωνα. Ένα είναι αυτό που δίνεται στην εργασία. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιορίζονται με τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Καθορίζεται το εμβαδόν του τριγώνου.

Πολύ πιο δύσκολη είναι η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Ένα παράδειγμα προβλήματος στον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 εκ. Πρέπει να μάθετε την περιοχή του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Εάν δεν χρειάζεστε περισσότερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι 3,74. Τότε το εμβαδόν θα είναι ίσο με 7,48.

Απάντηση. S \u003d 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 31 cm μακρύτερο από το δεύτερο. Απαιτείται να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Πρέπει να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο έχει να κάνει με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 \u003d ½ (σε + 31) * in. Έχει μόνο μια άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, προκύπτει μια τετραγωνική εξίσωση: σε 2 + 31 σε - 360 \u003d 0. Δίνει δύο τιμές για "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση , αφού το μήκος της πλευράς του τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητική τιμή.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε το 31 στον αριθμό που προκύπτει. Βγαίνει 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Το έργο της εύρεσης της πλευράς μέσα από την περιοχή, την πλευρά και τη γωνία ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν κάποιου τριγώνου είναι 60 cm2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση τους αποδεκτούς χαρακτηρισμούς, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 \u003d ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η επιθυμητή πλευρά είναι 16 cm.

Το πρόβλημα ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο ξαπλώνουν στα πόδια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός σκέλους είναι 42 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται στο γνωστό σκέλος του αρχικού τριγώνου. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένο πόδι 42 cm μείον την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη του μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm. Είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 \u003d 24 / x, δηλαδή, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42, διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η επιθυμητή περιοχή είναι 1176 cm 2.

Στο Διαδίκτυο υπάρχουν περισσότεροι από 10 τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Πολλοί από αυτούς χρησιμοποιούνται σε προβλήματα με γνωστές πλευρές και γωνίες ενός τριγώνου. Ωστόσο, υπάρχει ένας αριθμός σύνθετων παραδειγμάτων όπου, σύμφωνα με τις συνθήκες της ανάθεσης, είναι γνωστές μόνο η μία πλευρά και οι γωνίες του τριγώνου ή η ακτίνα του περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου και ένα ακόμη χαρακτηριστικό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μπορεί να εφαρμοστεί ένας απλός τύπος.

Οι παρακάτω τύποι θα λύσουν το 95 τοις εκατό των προβλημάτων στα οποία πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των τύπων κοινής περιοχής.
Σκεφτείτε το τρίγωνο που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα

Στο σχήμα και περαιτέρω στους τύπους, εισάγονται οι κλασικοί χαρακτηρισμοί όλων των χαρακτηριστικών του
α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου,
R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,
r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
h[b],h[a],h[c] - ύψη ​​που σχεδιάζονται σύμφωνα με τις πλευρές a,b,c.
άλφα, βήτα, χαμά - γωνίες κοντά στις κορυφές.

Βασικοί τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου

1. Το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό γινόμενο της πλευράς του τριγώνου και το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτή την πλευρά. Στη γλώσσα τύπου, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως

Έτσι, αν είναι γνωστά η πλευρά και το ύψος, τότε κάθε μαθητής θα βρει την περιοχή.
Παρεμπιπτόντως, μια χρήσιμη σχέση μεταξύ των υψών μπορεί να προκύψει από αυτόν τον τύπο

2. Αν λάβουμε υπόψη ότι το ύψος του τριγώνου μέσω της διπλανής πλευράς εκφράζεται με την εξάρτηση

Στη συνέχεια από τον πρώτο τύπο της περιοχής ακολουθεί ο ίδιος τύπος του δεύτερου

Κοιτάξτε προσεκτικά τους τύπους - είναι εύκολο να θυμάστε, επειδή το έργο διαθέτει δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους. Αν προσδιορίσουμε σωστά τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου (όπως στο παραπάνω σχήμα), τότε έχουμε δύο πλευρές a, b και η γωνία σχετίζεται με την τρίτηΓ (χάμμα).

3. Για τις γωνίες τριγώνου η σχέση

Η εξάρτηση σάς επιτρέπει να εφαρμόσετε τους ακόλουθους τύπους για το εμβαδόν ενός τριγώνου στους υπολογισμούς

Παραδείγματα αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετικά σπάνια, αλλά πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει ένας τέτοιος τύπος.

4. Εάν η πλευρά και οι δύο παρακείμενες γωνίες είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν βρίσκεται από τον τύπο

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ως προς μια πλευρά και την συνεφαπτομένη γειτονικών γωνιών είναι ο ακόλουθος

Με την αναδιάταξη των ευρετηρίων, μπορείτε να λάβετε εξαρτήσεις για τις άλλες πλευρές.

6. Ο παρακάτω τύπος εμβαδού χρησιμοποιείται σε εργασίες όταν οι κορυφές ενός τριγώνου δίνονται στο επίπεδο με συντεταγμένες. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν είναι ίσο με το ήμισυ της ορίζουσας του modulo.

7. Η φόρμουλα του Heronχρησιμοποιείται σε παραδείγματα με γνωστές πλευρές τριγώνου.
Βρείτε πρώτα την ημιπερίμετρο του τριγώνου

Και μετά προσδιορίστε την περιοχή με τον τύπο

ή

Χρησιμοποιείται συχνά στον κώδικα των προγραμμάτων αριθμομηχανής.

8. Αν είναι γνωστά όλα τα ύψη του τριγώνου, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο

Είναι δύσκολο να υπολογιστεί σε μια αριθμομηχανή, ωστόσο, στα πακέτα MathCad, Mathematica, Maple, το εμβαδόν είναι "ένα δύο".

9. Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν τις γνωστές ακτίνες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.

Συγκεκριμένα, εάν η ακτίνα και οι πλευρές ενός τριγώνου ή η περίμετρός του είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

10. Σε παραδείγματα όπου δίνονται οι πλευρές και η ακτίνα ή η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, το εμβαδόν βρίσκεται με τον τύπο

11. Ο παρακάτω τύπος καθορίζει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την πλευρά και τις γωνίες του τριγώνου.

Και τέλος - ειδικές περιπτώσεις:
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουμε τα σκέλη α και β ισούται με το μισό του γινομένου τους

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου (κανονικού) τριγώνου=

\u003d το ένα τέταρτο του γινομένου του τετραγώνου της πλευράς και της ρίζας των τριών.