Εκτεταμένο Πυθαγόρειο θεώρημα. Διαφορετικοί τρόποι απόδειξης του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η πιο σημαντική δήλωση της γεωμετρίας. Το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής: το εμβαδόν ενός τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη του.

Συνήθως η ανακάλυψη αυτής της δήλωσης αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και μαθηματικό Πυθαγόρα (VI αιώνα π.Χ.). Αλλά μια μελέτη των βαβυλωνιακών πινακίδων σφηνοειδής γραφής και των αρχαίων κινεζικών χειρογράφων (αντίγραφα ακόμη παλαιότερων χειρογράφων) έδειξε ότι αυτή η δήλωση ήταν γνωστή πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, ίσως μια χιλιετία πριν από αυτόν. Η αξία του Πυθαγόρα ήταν ότι ανακάλυψε την απόδειξη αυτού του θεωρήματος.

Πιθανώς, το γεγονός που αναφέρεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα καθιερώθηκε για πρώτη φορά για τα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα. Αρκεί να δούμε το μωσαϊκό των μαύρων και ανοιχτόχρωμων τριγώνων που φαίνεται στο σχ. 1 για να επαληθεύσετε την εγκυρότητα του θεωρήματος του τριγώνου: ένα τετράγωνο που βασίζεται στην υποτείνουσα περιέχει 4 τρίγωνα και ένα τετράγωνο που περιέχει 2 τρίγωνα είναι χτισμένο σε κάθε σκέλος. Για απόδειξη γενική περίπτωσησε αρχαία Ινδίαδιατεταγμένα με δύο τρόπους: σε τετράγωνο με πλευρά, απεικονίστηκαν τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με σκέλη μήκους και (Εικ. 2, α και 2, β), μετά από τα οποία έγραψαν μια λέξη «Κοίτα!». Και πράγματι, κοιτάζοντας αυτά τα σχήματα, βλέπουμε ότι στα αριστερά είναι ένα σχήμα απαλλαγμένο από τρίγωνα, που αποτελείται από δύο τετράγωνα με πλευρές και, αντίστοιχα, το εμβαδόν του είναι ίσο, και στα δεξιά - ένα τετράγωνο με μια πλευρά - το εμβαδόν του είναι ίσος. Ως εκ τούτου, , που είναι η δήλωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ωστόσο, για δύο χιλιετίες, δεν χρησιμοποιήθηκε αυτή η οπτική απόδειξη, αλλά μια πιο περίπλοκη απόδειξη που εφευρέθηκε από τον Ευκλείδη, η οποία τοποθετείται στο διάσημο βιβλίο του "Αρχές" (βλ. Ευκλείδης και οι "Αρχές" του), ο Ευκλείδης κατέβασε το ύψος από η κορυφή ορθή γωνίαστην υποτείνουσα και απέδειξε ότι η συνέχειά της χωρίζει το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα σε δύο ορθογώνια, τα εμβαδά των οποίων είναι ίσα με τα εμβαδά των αντίστοιχων τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη (Εικ. 3). Το σχέδιο που χρησιμοποιείται για την απόδειξη αυτού του θεωρήματος ονομάζεται αστειευόμενος «Πυθαγόρειο παντελόνι». Για πολύ καιρό θεωρούνταν ένα από τα σύμβολα της μαθηματικής επιστήμης.

Σήμερα υπάρχουν αρκετές δεκάδες διάφορα στοιχείαΠυθαγόρεια θεωρήματα. Ορισμένα από αυτά βασίζονται σε ένα χώρισμα τετραγώνων, στο οποίο το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα αποτελείται από μέρη που περιλαμβάνονται στα χωρίσματα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια. άλλα - στο συμπλήρωμα ίσων αριθμών. το τρίτο - για το γεγονός ότι το ύψος, χαμηλωμένο από την κορυφή της ορθής γωνίας στην υποτείνουσα, χωρίζει το ορθογώνιο τρίγωνο σε δύο τρίγωνα παρόμοια με αυτό.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκεται κάτω από τα περισσότερα γεωμετρικούς υπολογισμούς. Ακόμη και στην αρχαία Βαβυλώνα, χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του μήκους του ύψους ισοσκελές τρίγωνοΣύμφωνα με τα μήκη της βάσης και της πλευράς, το βέλος του τμήματος σύμφωνα με τη διάμετρο του κύκλου και το μήκος της χορδής, καθορίστηκαν οι αναλογίες μεταξύ των στοιχείων ορισμένων κανονικών πολυγώνων. Με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος, αποδεικνύεται η γενίκευσή του, η οποία καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του μήκους της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από μια οξεία ή αμβλεία γωνία:

Από αυτή τη γενίκευση προκύπτει ότι η παρουσία ορθής γωνίας στο δεν είναι μόνο επαρκής, αλλά και απαραίτητη προϋπόθεση για την εκπλήρωση της ισότητας . Ο τύπος (1) υποδηλώνει τη σχέση μεταξύ των μηκών των διαγωνίων και των πλευρών ενός παραλληλογράμμου, με το οποίο είναι εύκολο να βρεθεί το μήκος της μέσης ενός τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του.

Με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα, προκύπτει επίσης ένας τύπος που εκφράζει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου ως προς τα μήκη των πλευρών του (βλ. τύπο του Heron). Φυσικά, το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιήθηκε και για την επίλυση διαφόρων πρακτικών προβλημάτων.

Αντί για τετράγωνα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, μπορείτε να φτιάξετε οποιαδήποτε σχήματα παρόμοια μεταξύ τους (ισόπλευρα τρίγωνα, ημικύκλια κ.λπ.). Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν του σχήματος που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των μορφών που είναι χτισμένες στα πόδια. Μια άλλη γενίκευση συνδέεται με τη μετάβαση από το επίπεδο στο διάστημα. Διατυπώνεται ως εξής: το τετράγωνο του μήκους της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ισούται με το άθροισματετράγωνα των μετρήσεών του (μήκος, πλάτος και ύψος). Ένα παρόμοιο θεώρημα ισχύει επίσης σε περιπτώσεις πολυδιάστατων και ακόμη και απεριόριστων διαστάσεων.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα υπάρχει μόνο στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Δεν λαμβάνει χώρα ούτε στη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι ούτε σε άλλες μη Ευκλείδειες γεωμετρίες. Δεν υπάρχει ανάλογο του Πυθαγόρειου θεωρήματος ούτε στη σφαίρα. Δύο μεσημβρινοί που σχηματίζουν γωνία 90° και ο ισημερινός συνέδεαν ένα ισόπλευρο σφαιρικό τρίγωνο στη σφαίρα, και τα τρία από τα οποία είναι ορθές. Για αυτόν, όχι όπως στο αεροπλάνο.

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, υπολογίστε την απόσταση μεταξύ των σημείων και επίπεδο συντεταγμένωνσύμφωνα με τον τύπο

.

Αφού ανακαλύφθηκε το Πυθαγόρειο θεώρημα, προέκυψε το ερώτημα πώς να βρούμε όλα τα τριπλάσια φυσικών αριθμών που μπορούν να είναι πλευρές ορθογωνίων τριγώνων (βλ. το μεγάλο θεώρημα του Φερμά). Ανακαλύφθηκαν από τους Πυθαγόρειους, αλλά ορισμένες γενικές μέθοδοι για την εύρεση τέτοιων τριπλών αριθμών ήταν γνωστές ακόμη και στους Βαβυλώνιους. Μία από τις σφηνοειδή πλάκες περιέχει 15 τρίδυμα. Ανάμεσά τους υπάρχουν τρίδυμα που αποτελούνται από έτσι μεγάλα νούμεραότι δεν μπορεί να τεθεί θέμα εύρεσης τους με επιλογή.

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΚΟΛΑΣΕΙΣ

Ιπποκρατικές τρύπες - φιγούρες που οριοθετούνται από τόξα δύο κύκλων και, επιπλέον, τέτοιες ώστε σε ακτίνες και μήκος κοινή χορδήαπό αυτούς τους κύκλους, με τη βοήθεια μιας πυξίδας και μιας ευθείας, μπορείτε να κατασκευάσετε τετράγωνα ίσου εμβαδού με αυτούς.

Από τη γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος στα ημικύκλια, προκύπτει ότι το άθροισμα των εμβαδών των ροζ οπών που φαίνονται στο σχήμα στα αριστερά είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε τριγώνου. Επομένως, εάν πάρουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, τότε λαμβάνουμε δύο τρύπες, το εμβαδόν του καθενός από τα οποία θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τριγώνου. Προσπαθώντας να λύσουμε το πρόβλημα του τετραγωνισμού ενός κύκλου (βλ. Κλασικά προβλήματααρχαιότητα), ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ιπποκράτης (5ος αι. π.Χ.) βρήκε αρκετές ακόμη τρύπες, οι περιοχές των οποίων εκφράζονται σε εμβαδά ευθύγραμμων μορφών.

Ένας πλήρης κατάλογος των ιπποπεριθωριακών οπών ελήφθη μόνο τον 19ο-20ο αιώνα. μέσω της χρήσης των μεθόδων της θεωρίας Galois.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Η μοίρα άλλων θεωρημάτων και προβλημάτων είναι περίεργη... Πώς μπορεί κανείς να εξηγήσει, για παράδειγμα, μια τέτοια εξαιρετική προσοχή από την πλευρά των μαθηματικών και των μαθηματικών στο Πυθαγόρειο θεώρημα; Γιατί πολλοί από αυτούς δεν ήταν ικανοποιημένοι με τις ήδη γνωστές αποδείξεις, αλλά βρήκαν τις δικές τους, ανεβάζοντας τον αριθμό των αποδείξεων σε αρκετές εκατοντάδες σε είκοσι πέντε συγκριτικά παρατηρήσιμους αιώνες;
Πότε μιλαμεσχετικά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το ασυνήθιστο ξεκινά ήδη με το όνομά του. Πιστεύεται ότι σε καμία περίπτωση δεν ήταν ο Πυθαγόρας που το διατύπωσε για πρώτη φορά. Είναι επίσης αμφίβολο ότι της έδωσε αποδείξεις. Αν ο Πυθαγόρας - πραγματικό πρόσωπο(κάποιοι μάλιστα αμφιβάλλουν για αυτό!), τότε πιθανότατα έζησε τον 6ο-5ο αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Ο ίδιος δεν έγραψε τίποτα, αποκαλούσε τον εαυτό του φιλόσοφο, πράγμα που σήμαινε, κατά την κατανόησή του, «φιλοδοξώντας στη σοφία», ίδρυσε την Πυθαγόρεια Ένωση, τα μέλη της οποίας ασχολούνταν με τη μουσική, τη γυμναστική, τα μαθηματικά, τη φυσική και την αστρονομία. Προφανώς, ήταν επίσης μεγάλος ρήτορας, όπως αποδεικνύεται από τον ακόλουθο μύθο σχετικά με την παραμονή του στην πόλη του Κρότωνα: σκιαγράφησε τα καθήκοντα των νεαρών ανδρών, που οι πρεσβύτεροι της πόλης ζήτησαν να μην τους αφήσουν χωρίς διδασκαλία. Σε αυτή τη δεύτερη ομιλία, επεσήμανε τη νομιμότητα και την καθαρότητα των ηθών, ως τα θεμέλια της οικογένειας. στα επόμενα δύο απευθύνθηκε σε παιδιά και γυναίκες. Συνέπεια τελευταία ομιλίαστην οποία καταδίκασε ιδιαίτερα την πολυτέλεια ήταν ότι χιλιάδες πολύτιμα φορέματα παραδόθηκαν στο ναό της Ήρας, γιατί ούτε μια γυναίκα δεν τολμούσε να εμφανιστεί πια σε αυτά στο δρόμο…» Ωστόσο, πίσω στον δεύτερο αιώνα της εποχής μας, δηλ. μετά από 700 χρόνια έζησαν και εργάστηκαν ολοκληρωτικά αληθινοί άνθρωποι, εξαιρετικοί επιστήμονες που σαφώς επηρεάστηκαν από την πυθαγόρεια ένωση και με μεγάλο σεβασμό για όσα, σύμφωνα με το μύθο, δημιούργησε ο Πυθαγόρας.
Είναι επίσης αναμφίβολο ότι το ενδιαφέρον για το θεώρημα προκαλείται τόσο από το γεγονός ότι κατέχει μια από τις κεντρικές θέσεις στα μαθηματικά όσο και από την ικανοποίηση των συγγραφέων των αποδείξεων που ξεπέρασαν τις δυσκολίες, για τις οποίες ο Ρωμαίος ποιητής Quintus Horace Flaccus , που έζησε πριν από την εποχή μας, είπε καλά: «Είναι δύσκολο να εκφράσεις γνωστά γεγονότα» .
Αρχικά, το θεώρημα καθιέρωσε τη σχέση μεταξύ των περιοχών των τετραγώνων που χτίζονται στην υποτείνουσα και των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου:
.
Αλγεβρική διατύπωση:
ΣΤΟ ορθογώνιο τρίγωνοτο τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών.
Δηλαδή, δηλώνοντας το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου έως το c και τα μήκη των ποδιών μέσω του a και b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Και οι δύο διατυπώσεις του θεωρήματος είναι ισοδύναμες, αλλά η δεύτερη διατύπωση είναι πιο στοιχειώδης, δεν απαιτεί την έννοια του εμβαδού. Δηλαδή, η δεύτερη πρόταση μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για το εμβαδόν και μετρώντας μόνο τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Το αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα. Για κάθε τρίο θετικούς αριθμούςα, β και γ τέτοια ώστε
a 2 + b 2 = c 2 , υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a και b και υποτείνουσα c.

Απόδειξη

Στο αυτή τη στιγμήσε επιστημονική βιβλιογραφίαΚαταγράφηκαν 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος. Πιθανώς, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το μόνο θεώρημα με τόσο εντυπωσιακό αριθμό αποδείξεων. Μια τέτοια ποικιλία μπορεί να εξηγηθεί μόνο από τη θεμελιώδη σημασία του θεωρήματος για τη γεωμετρία.
Φυσικά, εννοιολογικά, όλα μπορούν να χωριστούν σε μικρό αριθμό τάξεων. Οι πιο διάσημες από αυτές: αποδείξεις με τη μέθοδο της περιοχής, αξιωματικές και εξωτικές αποδείξεις (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις).

Μέσα από παρόμοια τρίγωνα

Η ακόλουθη απόδειξη της αλγεβρικής διατύπωσης είναι η απλούστερη από τις αποδείξεις που χτίστηκαν απευθείας από τα αξιώματα. Συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιεί την έννοια του εμβαδού μιας φιγούρας.
Έστω ABC ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C. Σχεδιάστε ένα ύψος από το C και συμβολίστε τη βάση του με H. Το τρίγωνο ACH είναι παρόμοιο με το τρίγωνο ABC σε δύο γωνίες.
Ομοίως, το τρίγωνο CBH είναι παρόμοιο με το ABC. Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία

παίρνουμε

Τι είναι ισοδύναμο

Προσθέτοντας, παίρνουμε

ή

Αποδείξεις περιοχής

Οι παρακάτω αποδείξεις, παρά τη φαινομενική απλότητά τους, δεν είναι καθόλου τόσο απλές. Όλοι χρησιμοποιούν τις ιδιότητες της περιοχής, η απόδειξη των οποίων είναι πιο περίπλοκη από την απόδειξη του ίδιου του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη μέσω Ισοδυναμίας

1. Τοποθετήστε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα.
2. Τετράπλευρο με πλευρές c είναι τετράγωνο, αφού το άθροισμα του δύο αιχμηρές γωνίες 90° και η ευθεία γωνία είναι 180°.
3. Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός, με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά (a + b) και αφετέρου με το άθροισμα τέσσεριςτρίγωνα και εσωτερικό τετράγωνο.



Q.E.D.

Απόδειξη μέσω Ισοδυναμίας

Ένα παράδειγμα μιας από αυτές τις αποδείξεις φαίνεται στο σχέδιο στα δεξιά, όπου το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα μετατρέπεται με μετάθεση σε δύο τετράγωνα χτισμένα στα σκέλη.

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Η ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη είναι η εξής: ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το μισό εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των μισών εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη και μετά τα εμβαδά του τα μεγάλα και τα δύο μικρά τετράγωνα είναι ίσα. Εξετάστε το σχέδιο στα αριστερά. Κατασκευάσαμε τετράγωνα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου πάνω του και σχεδιάσαμε μια ακτίνα s από την κορυφή της ορθής γωνίας C κάθετη στην υποτείνουσα AB, κόβει το τετράγωνο ABIK, χτισμένο στην υποτείνουσα, σε δύο ορθογώνια - BHJI και HAKJ , αντίστοιχα. Αποδεικνύεται ότι τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων είναι ακριβώς ίσα με τα εμβαδά των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα αντίστοιχα σκέλη. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου DECA είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου AHJK Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε μια βοηθητική παρατήρηση: Το εμβαδόν ενός τριγώνου με το ίδιο ύψος και βάση με το δεδομένο ορθογώνιο είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του δεδομένου ορθογωνίου. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του εμβαδού ενός τριγώνου ως το μισό του γινόμενου της βάσης και του ύψους. Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου AHK (δεν φαίνεται), το οποίο, με τη σειρά του, είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου AHJK. Ας αποδείξουμε τώρα ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι επίσης ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου DECA. Το μόνο πράγμα που πρέπει να γίνει για αυτό είναι να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων ACK και BDA (καθώς το εμβαδόν του τριγώνου BDA είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου από την παραπάνω ιδιότητα). Αυτή η ισότητα είναι προφανής, τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία. Δηλαδή - AB=AK,AD=AC - η ισότητα των γωνιών CAK και BAD είναι εύκολο να αποδειχθεί με τη μέθοδο της κίνησης: ας περιστρέψουμε το τρίγωνο CAK 90 ° αριστερόστροφα, τότε είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες πλευρές των δύο υπό εξέταση τριγώνων θα συμπίπτουν (λόγω του γεγονότος ότι η γωνία στην κορυφή του τετραγώνου είναι 90°). Το επιχείρημα για την ισότητα των εμβαδών του τετραγώνου BCFG και του ορθογωνίου BHJI είναι εντελώς ανάλογο. Έτσι, αποδείξαμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Απόδειξη του Λεονάρντο ντα Βίντσι

Τα κύρια στοιχεία της απόδειξης είναι η συμμετρία και η κίνηση.

Εξετάστε το σχέδιο, όπως φαίνεται από τη συμμετρία, το τμήμα CI κόβει το τετράγωνο ABHJ σε δύο πανομοιότυπα μέρη (καθώς τα τρίγωνα ABC και JHI είναι ίσα στην κατασκευή). Χρησιμοποιώντας μια αριστερόστροφη περιστροφή 90 μοιρών, βλέπουμε την ισότητα των σκιασμένων σχημάτων CAJI και GDAB. Τώρα είναι σαφές ότι η περιοχή της φιγούρας που σκιάζεται από εμάς είναι ίση με το άθροισμα των μισών περιοχών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια και της περιοχής του αρχικού τριγώνου. Από την άλλη πλευρά, είναι ίσο με το μισό εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα, συν το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου. Το τελευταίο βήμα της απόδειξης αφήνεται στον αναγνώστη.

Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνο που σας δίνεται είναι ορθογώνιο τρίγωνο, καθώς το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα. Στα ορθογώνια τρίγωνα, μία από τις τρεις γωνίες είναι πάντα 90 μοίρες.

• Μια ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο υποδεικνύεται από ένα τετράγωνο αντί για μια καμπύλη, η οποία αντιπροσωπεύει μη ορθές γωνίες.

Σημειώστε τις πλευρές του τριγώνου.Προσδιορίστε τα σκέλη ως "a" και "b" (τα σκέλη είναι πλευρές που τέμνονται σε ορθή γωνία) και την υποτείνουσα ως "c" (η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία).

Προσδιορίστε ποια πλευρά του τριγώνου θέλετε να βρείτε.Το Πυθαγόρειο θεώρημα σάς επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (αν είναι γνωστές οι άλλες δύο πλευρές). Προσδιορίστε ποια πλευρά (a, b, c) πρέπει να βρεθεί.

• Για παράδειγμα, δίνεται μια υποτείνουσα ίση με 5 και δίνεται ένα πόδι ίσο με 3. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βρείτε το δεύτερο σκέλος. Θα επιστρέψουμε σε αυτό το παράδειγμα αργότερα.
• Εάν οι άλλες δύο πλευρές είναι άγνωστες, είναι απαραίτητο να βρεθεί το μήκος μιας από τις άγνωστες πλευρές για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε το βασικό τριγωνομετρικές συναρτήσεις(αν σας δοθεί η τιμή μιας από τις μη ορθές γωνίες).

Αντικαταστήστε στον τύπο a 2 + b 2 \u003d c 2 τις τιμές που σας δόθηκαν (ή τις τιμές που βρήκατε).Θυμηθείτε ότι το a και το b είναι πόδια και το c είναι η υποτείνουσα.

• Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 3² + b² = 5².

Τετράγωνο κάθε γνωστή πλευρά.Ή αφήστε τις μοίρες - μπορείτε να τετραγωνίσετε τους αριθμούς αργότερα.

• Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 9 + b² = 25.

Απομονώνω άγνωστη πλευράστη μία πλευρά της εξίσωσης.Για να το κάνετε αυτό, μετακινηθείτε γνωστές αξίεςστην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Εάν βρείτε την υποτείνουσα, τότε στο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ήδη απομονωμένη στη μία πλευρά της εξίσωσης (άρα δεν χρειάζεται να γίνει τίποτα).

• Στο παράδειγμά μας, μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης για να απομονώσετε το άγνωστο b². Θα λάβετε b² = 16.

Εκχύλισμα Τετραγωνική ρίζακαι από τις δύο πλευρές της εξίσωσης αφού το άγνωστο (τετράγωνο) υπάρχει στη μία πλευρά της εξίσωσης και ο ελεύθερος όρος (αριθμός) υπάρχει στην άλλη πλευρά.

• Στο παράδειγμά μας, b² = 16. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης και λάβετε b = 4. Άρα το δεύτερο σκέλος είναι 4.

Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Καθημερινή ζωή, γιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεγάλοι αριθμοίπρακτικές καταστάσεις. Για να το κάνετε αυτό, μάθετε να αναγνωρίζετε ορθογώνια τρίγωνα στην καθημερινή ζωή - σε οποιαδήποτε κατάσταση στην οποία δύο αντικείμενα (ή γραμμές) τέμνονται σε ορθή γωνία και ένα τρίτο αντικείμενο (ή γραμμή) συνδέει (διαγώνια) τις κορυφές των δύο πρώτων αντικειμένων (ή γραμμές), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την άγνωστη πλευρά (αν είναι γνωστές οι άλλες δύο πλευρές).

• Παράδειγμα: Δίνεται μια σκάλα που ακουμπάει σε ένα κτίριο. Κάτω μέροςσκάλα βρίσκεται 5 μέτρα από τη βάση του τοίχου. Επάνω μέροςσκάλες βρίσκεται 20 μέτρα από το έδαφος (πάνω στον τοίχο). Ποιο είναι το μήκος της σκάλας;
  • "5 μέτρα από τη βάση του τοίχου" σημαίνει ότι a = 5; «είναι 20 μέτρα από το έδαφος» σημαίνει ότι b = 20 (δηλαδή, σας δίνονται δύο σκέλη ορθογωνίου τριγώνου, αφού ο τοίχος του κτιρίου και η επιφάνεια της Γης τέμνονται σε ορθή γωνία). Το μήκος της σκάλας είναι το μήκος της υποτείνουσας, το οποίο είναι άγνωστο.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Έτσι, το κατά προσέγγιση μήκος των σκαλοπατιών είναι 20,6 μέτρα.

Μια κινούμενη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι ένα από τα θεμελιώδηςθεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνουν τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πιστεύεται ότι αποδείχθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα, από τον οποίο πήρε το όνομά του (υπάρχουν και άλλες εκδοχές, ειδικότερα, μια εναλλακτική άποψη ότι αυτό το θεώρημα βρίσκεται στο γενική εικόναδιατυπώθηκε από τον Πυθαγόρειο μαθηματικό Ιππάσο).
Το θεώρημα λέει:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Δηλώνει το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου ντο,και τα μήκη των ποδιών όπως ένακαι σι,παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:

Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα δημιουργεί μια σχέση που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας τα μήκη των άλλων δύο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου, που καθορίζει τη σχέση μεταξύ των πλευρών αυθαίρετο τρίγωνο.
Αποδεικνύεται επίσης ο αντίστροφος ισχυρισμός (ονομάζεται επίσης θεώρημα αντίστροφηςΠυθαγόρας):

Για οποιουσδήποτε τρεις θετικούς αριθμούς a, b και c τέτοιοι ώστε a ; +β; = c ?, υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a και b και υποτείνουσα c.

Οπτικά στοιχεία για το τρίγωνο (3, 4, 5) από το Τσου Πέι 500-200 π.Χ. Η ιστορία του θεωρήματος μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα μέρη: γνώση για τους Πυθαγόρειους αριθμούς, γνώση για τον λόγο των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, γνώση για την αναλογία παρακείμενες γωνίεςκαι απόδειξη του θεωρήματος.
Μεγαλιθικές κατασκευές γύρω στο 2500 π.Χ στην Αίγυπτο και τη Βόρεια Ευρώπη, περιέχουν ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Ο Barthel Leendert van der Waerden υπέθεσε ότι εκείνες τις μέρες οι Πυθαγόρειοι αριθμοί βρίσκονταν αλγεβρικά.
Γράφτηκε μεταξύ 2000 και 1876 π.Χ πάπυρος από το Μέσο Βασίλειο της Αιγύπτου Βερολίνο 6619περιέχει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι οι Πυθαγόρειοι αριθμοί.
Κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί του Μεγάλου, μια βιβυλωνιακή πλάκα Plimpton 322,που γράφτηκε μεταξύ 1790 και 1750 π.Χ. περιέχει πολλά λήμματα που σχετίζονται στενά με τους Πυθαγόρειους αριθμούς.
Στις σούτρας Budhayana, που χρονολογούνται από διαφορετικές εκδόσεις 8ος ή 2ος αιώνας π.Χ στην Ινδία, περιέχει Πυθαγόρειους αριθμούς που προέρχονται αλγεβρικά, μια διατύπωση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και μια γεωμετρική απόδειξη για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.
Τα Apastamba Sutras (περίπου 600 π.Χ.) περιέχουν αριθμητική απόδειξηΠυθαγόρεια θεωρήματα με χρήση υπολογισμού εμβαδού. Ο Van der Waerden πιστεύει ότι βασίστηκε στις παραδόσεις των προκατόχων του. Σύμφωνα με τον Albert Burko, αυτή είναι η αρχική απόδειξη του θεωρήματος και προτείνει ότι ο Πυθαγόρας επισκέφτηκε το Αρακόνι και το αντέγραψε.
Ο Πυθαγόρας, του οποίου τα χρόνια ζωής αναφέρονται συνήθως 569 - 475 π.Χ. χρήσεις αλγεβρικές μεθόδουςυπολογισμός των πυθαγόρειων αριθμών, σύμφωνα με τα σχόλια του Proklov για τον Ευκλείδη. Ο Πρόκλος όμως έζησε μεταξύ 410 και 485 μ.Χ. Σύμφωνα με τον Thomas Giese, δεν υπάρχει καμία ένδειξη για την πατρότητα του θεωρήματος για πέντε αιώνες μετά τον Πυθαγόρα. Ωστόσο, όταν συγγραφείς όπως ο Πλούταρχος ή ο Κικέρων αποδίδουν το θεώρημα στον Πυθαγόρα, το κάνουν σαν να είναι ευρέως γνωστή και βέβαιη η συγγραφή.
Γύρω στο 400 π.Χ Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτων έδωσε μια μέθοδο για τον υπολογισμό των Πυθαγόρειων αριθμών, συνδυάζοντας άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στο 300 π.Χ., σε ΑρχέςΕυκλείδη, έχουμε την παλαιότερη αξιωματική απόδειξη που έχει διασωθεί μέχρι σήμερα.
Γράφτηκε κάπου μεταξύ του 500 π.Χ. και 200 ​​π.Χ., κινέζικα βιβλίο μαθηματικώνΤο "Chu Pei" (? ? ? ?), δίνει μια οπτική απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το οποίο στην Κίνα ονομάζεται θεώρημα gugu (????), για ένα τρίγωνο με πλευρές (3, 4, 5). Επί βασιλείας της δυναστείας των Χαν, από το 202 π.Χ. πριν από το 220 μ.Χ Οι πυθαγόρειοι αριθμοί εμφανίζονται στο βιβλίο "Εννέα Τμήματα της Μαθηματικής Τέχνης" μαζί με μια αναφορά σε ορθογώνια τρίγωνα.
Η χρήση του θεωρήματος τεκμηριώνεται για πρώτη φορά στην Κίνα, όπου είναι γνωστό ως θεώρημα gugu (????) και στην Ινδία, όπου είναι γνωστό ως θεώρημα του Baskar.
Πολλοί συζητούν αν το Πυθαγόρειο θεώρημα ανακαλύφθηκε μία φορά ή επανειλημμένα. Ο Boyer (1991) πιστεύει ότι η γνώση που βρέθηκε στο Shulba Sutra μπορεί να είναι μεσοποταμίας προέλευσης.
Αλγεβρική απόδειξη
Τα τετράγωνα σχηματίζονται από τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα. Είναι γνωστές περισσότερες από εκατό αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Εδώ τα στοιχεία βασίζονται στο θεώρημα ύπαρξης για την περιοχή ενός σχήματος:

Τοποθετήστε τέσσερα ίδια ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα.
Τετράπλευρο με πλευρές ντοείναι τετράγωνο, αφού το άθροισμα δύο οξειών γωνιών είναι , και η ευθυγραμμισμένη γωνία είναι .
Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός, με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά "a + b" και από την άλλη, με το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων και του εσωτερικού τετραγώνου .

Αυτό είναι που πρέπει να αποδειχθεί.
Με την ομοιότητα των τριγώνων
Χρήση παρόμοια τρίγωνα. Αφήνω αλφάβητοείναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η γωνία ντοευθεία, όπως φαίνεται στην εικόνα. Ας τραβήξουμε ένα ύψος από ένα σημείο ντο,και καλέστε Hσημείο τομής με πλευρά ΑΒ.Σχηματίστηκε τρίγωνο ACHσαν τρίγωνο αλφάβητο,αφού είναι και τα δύο ορθογώνια (εξ ορισμού ύψους) και μοιράζονται μια γωνία ΕΝΑ,προφανώς η τρίτη γωνία θα είναι ίδια και σε αυτά τα τρίγωνα. Ομοίως mirkuyuyuchy, τρίγωνο CBHεπίσης παρόμοια με το τρίγωνο ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Από την ομοιότητα τριγώνων: Αν

Αυτό μπορεί να γραφτεί ως

Αν προσθέσουμε αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε

HB + c φορές AH = c φορές (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Με άλλα λόγια, το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η απόδειξη του Ευκλείδη
Απόδειξη του Ευκλείδη στις Ευκλείδειες «Αρχές», το Πυθαγόρειο θεώρημα που αποδεικνύεται με τη μέθοδο των παραλληλογραμμών. Αφήνω Α, Β, Γκορυφές ορθογωνίου τριγώνου, με ορθή γωνία ΕΝΑ.Ρίξτε μια κάθετη από ένα σημείο ΕΝΑστην πλευρά απέναντι από την υποτείνουσα σε ένα τετράγωνο χτισμένο πάνω στην υποτείνουσα. Η γραμμή χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ορθογώνια, καθένα από τα οποία έχει την ίδια επιφάνεια με τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα πόδια. κύρια ιδέαη απόδειξη είναι ότι τα πάνω τετράγωνα μετατρέπονται σε παραλληλόγραμμα του ίδιου εμβαδού και μετά επανέρχονται και γίνονται ορθογώνια στο κάτω τετράγωνο και πάλι με την ίδια περιοχή.

Ας σχεδιάσουμε τμήματα CFκαι ΕΝΑ Δ,παίρνουμε τρίγωνα BCFκαι BDA.
γωνίες ΤΑΞΙκαι ΤΣΑΝΤΑ- ευθεία; σημεία Γ, Ακαι σολείναι συγγραμμικές. Τον ίδιο τρόπο Β, Ακαι H.
γωνίες CBDκαι FBA- και τα δύο είναι ίσια, μετά η γωνία ABD ίσο με τη γωνία fbc,αφού και τα δύο είναι το άθροισμα μιας ορθής γωνίας και μιας γωνίας ΑΛΦΑΒΗΤΟ.
Τρίγωνο ABDκαι FBCεπίπεδο στις δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.
Γιατί οι τελείες Α, Κκαι μεγάλο- συγγραμμικό, το εμβαδόν του ορθογωνίου BDLK είναι ίσο με δύο εμβαδά του τριγώνου ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Ομοίως, παίρνουμε CKLE = ACIH = AC 2
Από τη μια πλευρά η περιοχή CBDEίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων BDLKκαι CKLE,από την άλλη η περιοχή της πλατείας BC2,ή ΑΒ 2 + AC 2 = π.Χ. 2.

Χρήση διαφορικών
Η χρήση διαφορικών. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να επιτευχθεί μελετώντας πώς η αύξηση μιας πλευράς επηρεάζει το μήκος της υποτείνουσας όπως φαίνεται στο σχήμα στα δεξιά και εφαρμόζοντας έναν μικρό υπολογισμό.
Ως αποτέλεσμα της ανάπτυξης της πλευράς ένα,από παρόμοια τρίγωνα για απειροελάχιστες αυξήσεις

Ενσωματώνοντας παίρνουμε

Αν ένα ένα= 0 τότε ντο = σι,άρα το «σταθερό» είναι β 2.Επειτα

Όπως φαίνεται, τα τετράγωνα οφείλονται στην αναλογία μεταξύ των προσαυξήσεων και των πλευρών, ενώ το άθροισμα είναι το αποτέλεσμα της ανεξάρτητης συνεισφοράς των προσαυξήσεων των πλευρών, όχι εμφανής από γεωμετρικά στοιχεία. Σε αυτές τις εξισώσεις δακαι dcείναι, αντίστοιχα, απειροελάχιστες αυξήσεις των πλευρών ένακαι ντο.Αλλά αντί για αυτά χρησιμοποιούμε; ένακαι? ντο,τότε το όριο του λόγου αν τείνουν στο μηδέν είναι δα / dc,παράγωγο, και είναι επίσης ίσο με ντο / ένα,την αναλογία των μηκών των πλευρών των τριγώνων, ως αποτέλεσμα παίρνουμε διαφορική εξίσωση.
Στην περίπτωση ενός ορθογώνιου συστήματος διανυσμάτων, λαμβάνει χώρα μια ισότητα, η οποία ονομάζεται επίσης Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αν - Αυτές είναι οι προβολές του διανύσματος επάνω άξονες συντεταγμένων, τότε αυτός ο τύπος συμπίπτει με την Ευκλείδεια απόσταση και σημαίνει ότι το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με τη ρίζα τετραγωνικό άθροισματετράγωνα των συστατικών του.
Ανάλογο αυτής της ισότητας στην υπόθεση ατελείωτο σύστημαδιανύσματα ονομάζεται ισότητα Parseval.

Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο. Αυτή η δήλωση ονομάζεται Πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι από τις πιο πολλές γνωστά θεωρήματατριγωνομετρία και γενικά τα μαθηματικά. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά.

Η έννοια του ορθογώνιου τριγώνου

Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος, στο οποίο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών που είναι τετραγωνισμένα, θα πρέπει να εξετάσουμε την έννοια και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, για το οποίο ισχύει το θεώρημα.

τρίγωνο - επίπεδη φιγούρα, που έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως υποδηλώνει το όνομά του, έχει μία ορθή γωνία, δηλαδή αυτή η γωνία είναι 90 o.

Από κοινές ιδιότητεςγια όλα τα τρίγωνα είναι γνωστό ότι το άθροισμα και των τριών γωνιών αυτού του σχήματος είναι 180 o , που σημαίνει ότι για ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα δύο γωνιών που δεν είναι ορθές είναι 180 o - 90 o = 90 o . Τελευταίο γεγονόςσημαίνει ότι οποιαδήποτε γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που δεν είναι ορθή γωνία θα είναι πάντα μικρότερη από 90ο.

Η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Οι άλλες δύο πλευρές είναι τα σκέλη του τριγώνου, μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους ή μπορεί να διαφέρουν. Είναι γνωστό από την τριγωνομετρία ότι όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία έναντι της οποίας βρίσκεται μια πλευρά σε ένα τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο είναι το μήκος αυτής της πλευράς. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα (βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 90 o) θα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα σκέλη (να βρίσκεται απέναντι από τις γωνίες< 90 o).

Μαθηματική σημειογραφία του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι προηγουμένως τετράγωνο. Για να γράψετε αυτή τη διατύπωση μαθηματικά, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο οι πλευρές a, b και c είναι τα δύο σκέλη και η υποτείνουσα, αντίστοιχα. Σε αυτήν την περίπτωση, το θεώρημα, το οποίο διατυπώνεται ως το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, μπορεί να αναπαρασταθεί από τον ακόλουθο τύπο: c 2 \u003d a 2 + b 2. Από εδώ, μπορούν να ληφθούν άλλοι τύποι σημαντικοί για εξάσκηση: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) και c \u003d √ (a 2 + b 2).

Σημειώστε ότι στην περίπτωση ενός ορθογώνιου ισόπλευρο τρίγωνο, δηλαδή, a \u003d b, η διατύπωση: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των ποδιών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο, γραμμένο μαθηματικά ως εξής: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2 , από το οποίο προκύπτει η ισότητα: c \u003d a√2.

Αναφορά ιστορίας

Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο λέει ότι το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο, είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, ήταν γνωστό πολύ πριν ο διάσημος Έλληνας φιλόσοφος τραβήξει την προσοχή σε αυτό. Πολλοί πάπυροι της αρχαίας Αιγύπτου, καθώς και πήλινες πινακίδες των Βαβυλωνίων, επιβεβαιώνουν ότι αυτοί οι λαοί χρησιμοποιούσαν τη σημειωμένη ιδιότητα των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Για παράδειγμα, ένα από τα πρώτα Αιγυπτιακές πυραμίδες, η πυραμίδα Khafre, της οποίας η κατασκευή χρονολογείται από τον 26ο αιώνα π.Χ. (2000 χρόνια πριν από τη ζωή του Πυθαγόρα), χτίστηκε με βάση τη γνώση του λόγου διαστάσεων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο 3x4x5.

Γιατί, λοιπόν, το θεώρημα φέρει πλέον το όνομα Έλληνα; Η απάντηση είναι απλή: ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που απέδειξε μαθηματικά αυτό το θεώρημα. Στα σωζόμενα βαβυλωνιακά και αιγυπτιακά γραπτές πηγέςμιλάει μόνο για τη χρήση του, αλλά δεν παρέχει καμία μαθηματική απόδειξη.

Πιστεύεται ότι ο Πυθαγόρας απέδειξε το υπό εξέταση θεώρημα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες όμοιων τριγώνων, τις οποίες απέκτησε σχεδιάζοντας ένα ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο από γωνία 90 ο προς την υποτείνουσα.

Ένα παράδειγμα χρήσης του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Σκεφτείτε μια απλή εργασία: είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της κεκλιμένης σκάλας L, εάν είναι γνωστό ότι έχει ύψος H \u003d 3 μέτρα και η απόσταση από τον τοίχο στον οποίο στηρίζεται η σκάλα μέχρι το πόδι της είναι P \u003d 2,5 μέτρα.

ΣΤΟ αυτή η υπόθεση H και P είναι τα πόδια, και L είναι η υποτείνουσα. Δεδομένου ότι το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, παίρνουμε: L 2 \u003d H 2 + P 2, από όπου L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 μέτρα ή 3 μέτρα και 90, 5 cm