Συνδυασμός αποσύνθεσης. Συνδυασμοί με επαναλήψεις

Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά το ερώτημα πόσοι συνδυασμοί ορισμένου τύπουμπορεί να αποτελείται από αυτά τα αντικείμενα (στοιχεία).

Κανόνας πολλαπλασιασμού (βασικός συνδυαστικός τύπος)

Συνολικός αριθμόςτρόποι με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε ένα στοιχείο από κάθε ομάδα και να τα τακτοποιήσετε με μια συγκεκριμένη σειρά (δηλαδή, να λάβετε μια παραγγελία συλλογής) ισούται με:

Παράδειγμα 1

Το κέρμα αναποδογυρίστηκε 3 φορές. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα ρόλων μπορείτε να περιμένετε;

Απόφαση

Το πρώτο νόμισμα έχει εναλλακτικές - είτε κεφάλια είτε ουρές. Υπάρχουν και εναλλακτικές για το δεύτερο νόμισμα κ.λπ., δηλ. .

Ο επιθυμητός αριθμός τρόπων:

Κανόνας προσθήκης

Εάν υπάρχουν δύο ομάδες και δεν έχουν κοινά στοιχεία, τότε η επιλογή ενός στοιχείου είτε από , είτε από , ... είτε από μπορεί να γίνει με τρόπους.

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 30 βιβλία στο ράφι, τα 20 από αυτά είναι μαθηματικά, τα 6 είναι τεχνικά και τα 4 είναι οικονομικά. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξετε ένα μαθηματικό ή ένα οικονομικό βιβλίο.

Απόφαση

Ένα μαθηματικό βιβλίο μπορεί να επιλεγεί με τρόπους, ένα οικονομικό βιβλίο με τρόπους.

Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος, υπάρχει τρόπος να επιλέξετε ένα μαθηματικό ή οικονομικό βιβλίο.

Τοποθετήσεις και μεταθέσεις

Διαμονή- Πρόκειται για ταξινομημένες συλλογές στοιχείων που διαφέρουν μεταξύ τους είτε στη σύνθεση είτε στη σειρά των στοιχείων.

Τοποθετήσεις χωρίς επανάληψηόταν το επιλεγμένο στοιχείο δεν επιστρέφεται στον πληθυσμό πριν από την επιλογή του επόμενου. Μια τέτοια επιλογή ονομάζεται διαδοχική επιλογή χωρίς αντικατάσταση και το αποτέλεσμά της είναι μια τοποθέτηση χωρίς επαναλήψεις από στοιχεία με .

Ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει μια διαδοχική επιλογή χωρίς επιστροφή στοιχείων από πληθυσμόςο όγκος είναι ίσος με:

Παράδειγμα 3

Το ημερήσιο πρόγραμμα αποτελείται από 5 διάφορα μαθήματα. Προσδιορίστε τον αριθμό των επιλογών χρονοδιαγράμματος όταν επιλέγετε από 11 κλάδους.

Απόφαση

Κάθε παραλλαγή του προγράμματος αντιπροσωπεύει ένα σύνολο 5 επιστημονικών κλάδων από τους 11, που διαφέρουν από άλλες παραλλαγές τόσο στη σύνθεση όσο και στη σειρά. Έτσι:

Μεταθέσειςείναι διατεταγμένες συλλογές που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων. Ο αριθμός όλων των μεταθέσεων ενός συνόλου στοιχείων είναι

Παράδειγμα 4

Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα σε ένα τραπέζι;

Απόφαση

Κάθε επιλογή καθίσματος διαφέρει μόνο ως προς τη σειρά των συμμετεχόντων, δηλαδή, είναι μια μετάθεση 4 στοιχείων:

Τοποθετήσεις με επαναλήψειςόταν το επιλεγμένο στοιχείο επιστρέφεται στον πληθυσμό πριν από την επιλογή του επόμενου. Μια τέτοια επιλογή ονομάζεται διαδοχική επιλογή με επιστροφή και το αποτέλεσμά της είναι μια τοποθέτηση με επαναλήψεις στοιχείων κατά .

Ο συνολικός αριθμός διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει μια επιλογή, επιστρέφοντας στοιχεία από έναν πληθυσμό όγκου, είναι

Παράδειγμα 5

Ο ανελκυστήρας σταματά σε 7 ορόφους. Με πόσους τρόπους μπορούν να βγουν 6 επιβάτες στο ασανσέρ σε αυτούς τους ορόφους;

Προκειμένου η λύση του προβλήματος στη θεωρία πιθανοτήτων να είναι όσο το δυνατόν ακριβέστερη και σωστή, πολλοί παραγγέλνουν φθηνά δοκιμήσε αυτόν τον ιστότοπο. Λεπτομέρειες (τρόπος αποχώρησης από αίτηση, τιμές, όροι, τρόποι πληρωμής) θα βρείτε στη σελίδα Αγορά τεστ για τη θεωρία πιθανοτήτων...

Απόφαση

Καθένας από τους τρόπους κατανομής των επιβατών σε ορόφους είναι ένας συνδυασμός 6 επιβατών σε 7 ορόφους, ο οποίος διαφέρει από άλλους συνδυασμούς τόσο στη σύνθεση όσο και στη σειρά τους. Εφόσον τόσο ένας όσο και πολλοί επιβάτες μπορούν να φύγουν από τον ίδιο όροφο, οι ίδιοι επιβάτες μπορούν να επαναληφθούν. Επομένως, ο αριθμός τέτοιων συνδυασμών είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις 7 στοιχείων επί 6:

Συνδυασμοί

Συνδυασμοίτων n στοιχείων κατά k ονομάζονται μη ταξινομημένες συλλογές που διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο.

Αφήστε πολλά στοιχεία να ληφθούν ταυτόχρονα από τον γενικό πληθυσμό (ή τα στοιχεία λαμβάνονται διαδοχικά, αλλά δεν λαμβάνεται υπόψη η σειρά εμφάνισής τους). Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας ταυτόχρονης μη διατεταγμένης επιλογής στοιχείων από τον γενικό πληθυσμό όγκου, προκύπτουν συνδυασμοί, οι οποίοι ονομάζονται συνδυασμοί χωρίς επανάληψηαπό στοιχεία από .

Ο αριθμός των συνδυασμών των στοιχείων είναι ίσος με:

Παράδειγμα 6

Υπάρχουν 9 μήλα σε ένα κουτί. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 3 μήλα από το κουτί;

Απόφαση

Κάθε επιλογή αποτελείται από 3 μήλα και διαφέρει από τις άλλες μόνο στη σύνθεση, δηλαδή είναι ένας συνδυασμός χωρίς επαναλήψεις 9 στοιχείων:

Αριθμός τρόπων για να επιλέξετε 3 μήλα από τα 9:

Αφήστε τα στοιχεία να επιλέγονται από τον γενικό πληθυσμό του τόμου, ένα προς ένα, και κάθε επιλεγμένο στοιχείο επιστρέφεται στον γενικό πληθυσμό πριν από την επιλογή του επόμενου. Τηρεί αρχείο για το ποια στοιχεία εμφανίστηκαν και πόσες φορές, αλλά δεν λαμβάνεται υπόψη η σειρά εμφάνισής τους. Οι συλλογές που προκύπτουν καλούνται συνδυασμούς με επαναλήψειςαπό στοιχεία από .

Ο αριθμός των συνδυασμών με επαναλήψεις στοιχείων από:

Παράδειγμα 7

Το ταχυδρομείο πουλά καρτ ποστάλ 3 τύπων. Με πόσους τρόπους μπορούν να αγοραστούν 6 καρτ ποστάλ;

Αυτή είναι μια εργασία για να βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών με επαναλήψεις από 3 έως 6:

Διαχωρισμός ενός συνόλου σε ομάδες

Αφήστε το σύνολο των διάφορα στοιχείαχωρίζεται σε ομάδες έτσι ώστε η πρώτη ομάδα να περιλαμβάνει στοιχεία, η δεύτερη - στοιχεία, η -η ομάδα - στοιχεία και . Αυτή η κατάσταση ονομάζεται κατάτμηση του συνόλου σε ομάδες.

Ο αριθμός των κατατμήσεων σε ομάδες, όταν τα στοιχεία εμπίπτουν στην πρώτη, τα στοιχεία στη δεύτερη, μέσα κ-η ομάδα- στοιχεία, ισούται με:

Παράδειγμα 8

Μια ομάδα 16 ατόμων πρέπει να χωριστεί σε τρεις υποομάδες, η πρώτη από τις οποίες πρέπει να έχει 5 άτομα, η δεύτερη - 7 άτομα και η τρίτη - 4 άτομα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Απόφαση

Εδώ

Αριθμός κατατμήσεων σε 3 υποομάδες:

Η ιδέα γεωμετρικός νόμοςκατανομή διακριτών τυχαία μεταβλητήκαι εξετάζεται ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος. Δίνονται τύποι μαθηματική προσδοκίακαι τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με έναν γεωμετρικό νόμο.

Στη συνδυαστική, μελετώνται ερωτήσεις σχετικά με το πόσοι συνδυασμοί ενός συγκεκριμένου τύπου μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα (στοιχεία).

Η γέννηση της συνδυαστικής ως κλάδου συνδέεται με τα έργα των B. Pascal και P. Fermat για τη θεωρία ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ. Μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξη συνδυαστικών μεθόδων είχε ο G.V. Leibniz, J. Bernoulli and L. Euler.

Ο Γάλλος φιλόσοφος, συγγραφέας, μαθηματικός και φυσικός Blaise Pascal (1623–1662) έδειξε από νωρίς τα εξαιρετικά του μαθηματική ικανότητα. Ο κύκλος των μαθηματικών ενδιαφερόντων του Πασκάλ ήταν πολύ διαφορετικός. Ο Πασκάλ το απέδειξε
από τα βασικά θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας (θεώρημα του Pascal), σχεδίασε μια αθροιστική μηχανή (μηχανή πρόσθεσης του Pascal), έδωσε μια μέθοδο υπολογισμού διωνυμικών συντελεστών (τρίγωνο του Pascal), για πρώτη φορά όρισε με ακρίβεια και εφάρμοσε τη μέθοδο για απόδειξη μαθηματική επαγωγή, έκανε ένα σημαντικό βήμα στην ανάπτυξη της απειροελάχιστης ανάλυσης, έπαιξε σημαντικός ρόλοςστην ανάπτυξη της θεωρίας των πιθανοτήτων. Στην υδροστατική, ο Pascal καθιέρωσε τον βασικό του νόμο (νόμο του Pascal). Τα Γράμματα του Πασκάλ σε έναν επαρχιώτη ήταν ένα αριστούργημα της γαλλικής κλασικής πεζογραφίας.

Ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ήταν Γερμανός φιλόσοφος, μαθηματικός, φυσικός και εφευρέτης, δικηγόρος, ιστορικός και γλωσσολόγος. Στα μαθηματικά μαζί με τον Ι. Νεύτωνα ανέπτυξε το διαφορικό και ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Είχε σημαντική συμβολή στη συνδυαστική. Συγκεκριμένα, με το όνομά του συνδέονται προβλήματα αριθμοθεωρίας.

Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς είχε μια λίγο εντυπωσιακή εμφάνιση και ως εκ τούτου έδωσε την εντύπωση ενός μάλλον απεριποίητου ανθρώπου. Μόλις στο Παρίσι, πήγε σε ένα βιβλιοπωλείο με την ελπίδα να αγοράσει ένα βιβλίο από τον γνωστό του φιλόσοφο. Όταν ένας επισκέπτης ρώτησε για αυτό το βιβλίο, ο βιβλιοπώλης, αφού τον εξέτασε από την κορυφή ως τα νύχια, απάντησε κοροϊδευτικά: «Γιατί το χρειάζεσαι; Είστε ικανοί να διαβάσετε τέτοια βιβλία;» Πριν προλάβει ο επιστήμονας να απαντήσει, ο ίδιος ο συγγραφέας του βιβλίου μπήκε στο κατάστημα με τις λέξεις: «Χαιρετισμούς και σεβασμό στον μεγάλο Λάιμπνιτς!» Ο πωλητής δεν μπορούσε να καταλάβει ότι είχε πραγματικά τον περίφημο Leibniz, τα βιβλία του οποίου είχαν μεγάλη ζήτηση μεταξύ των επιστημόνων.

Στο μέλλον, τα παρακάτω θα παίξουν σημαντικό ρόλο.

Λήμμα.Αφήστε στο σύνολο των στοιχείων, και στο σύνολο - στοιχεία. Τότε ο αριθμός όλων των διακριτών ζευγών, όπου θα είναι ίσος με .

Απόδειξη.Πράγματι, με ένα στοιχείο από το σύνολο μπορούμε να κάνουμε τόσο διαφορετικά ζεύγη, αλλά μόνο στο σύνολο των στοιχείων.

Τοποθετήσεις, μεταθέσεις, συνδυασμοί

Ας πούμε ότι έχουμε ένα σύνολο τριών στοιχείων. Με ποιους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε δύο από αυτά τα στοιχεία; .

Ορισμός.Οι διευθετήσεις ενός συνόλου διαφορετικών στοιχείων κατά στοιχεία είναι συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομένα στοιχεία κατά > στοιχεία και διαφέρουν είτε ως προς τα ίδια τα στοιχεία είτε ως προς τη σειρά των στοιχείων.

Ο αριθμός όλων των τοποθετήσεων ενός συνόλου στοιχείων ανά στοιχεία συμβολίζεται με (από αρχικό γράμμα Γαλλική λέξη“arrangement”, που σημαίνει τοποθέτηση), όπου και .

Θεώρημα.Ο αριθμός των τοποθετήσεων ενός συνόλου στοιχείων ανά στοιχεία είναι ίσος με

Απόδειξη.Ας πούμε ότι έχουμε στοιχεία. Ας είναι πιθανές τοποθετήσεις. Θα δημιουργήσουμε αυτές τις τοποθετήσεις διαδοχικά. Αρχικά, ας ορίσουμε το πρώτο στοιχείο τοποθέτησης. Από αυτό το σύνολο στοιχείων, μπορεί να επιλεγεί διαφορετικοί τρόποι. Αφού επιλέξετε το πρώτο στοιχείο για το δεύτερο στοιχείο, υπάρχουν τρόποι επιλογής και ούτω καθεξής. Δεδομένου ότι κάθε τέτοια επιλογή δίνει μια νέα τοποθεσία, όλες αυτές οι επιλογές μπορούν ελεύθερα να συνδυαστούν μεταξύ τους. Επομένως έχουμε:

Παράδειγμα.Με πόσους τρόπους μπορεί μια σημαία να αποτελείται από τρεις οριζόντιες λωρίδες διαφορετικών χρωμάτων, αν υπάρχει ένα υλικό πέντε χρωμάτων;

Απόφαση.Ο επιθυμητός αριθμός σημαιών με τρεις ρίγες:

Ορισμός.Μια μετάθεση ενός συνόλου στοιχείων είναι η διάταξη των στοιχείων σε μια ορισμένη σειρά.

Έτσι, όλες οι διαφορετικές μεταθέσεις ενός συνόλου τριών στοιχείων είναι

Υποδεικνύεται ο αριθμός όλων των μεταθέσεων των στοιχείων (από το αρχικό γράμμα της γαλλικής λέξης "permutation", που σημαίνει "μετάθεση", "κίνηση"). Επομένως, ο αριθμός όλων των διαφορετικών μεταθέσεων υπολογίζεται από τον τύπο

Παράδειγμα.Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν οι πύργοι σε μια σκακιέρα για να μην επιτίθενται μεταξύ τους;

Απόφαση.Απαιτούμενος αριθμός τοποθέτησης πύργου

A-priory!

Ορισμός.Συνδυασμοί διαφορετικών στοιχείων ανά στοιχεία είναι συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομένα στοιχεία ανά στοιχεία και διαφέρουν κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο (με άλλα λόγια, υποσύνολα -στοιχεία δεδομένο σύνολοαπό στοιχεία).

Όπως μπορείτε να δείτε, στους συνδυασμούς, σε αντίθεση με τις τοποθετήσεις, δεν λαμβάνεται υπόψη η σειρά των στοιχείων. Υποδεικνύεται ο αριθμός όλων των συνδυασμών στοιχείων ανά στοιχεία σε κάθε ένα (από το αρχικό γράμμα της γαλλικής λέξης "combinasion", που σημαίνει "συνδυασμός").

Αριθμοί

Όλοι οι συνδυασμοί από το σετ των δύο - .

Ιδιότητες αριθμού (\sf C)_n^k

Πράγματι, κάθε υποσύνολο στοιχείου ενός δεδομένου συνόλου στοιχείων αντιστοιχεί σε ένα και μόνο υποσύνολο ενός στοιχείου του ίδιου συνόλου.

Πράγματι, μπορούμε να επιλέξουμε υποσύνολα στοιχείων με τον ακόλουθο τρόπο: διορθώνουμε ένα στοιχείο. ο αριθμός των υποσυνόλων -στοιχείων που περιέχουν αυτό το στοιχείο είναι ; ο αριθμός των υποσυνόλων -στοιχείων που δεν περιέχουν αυτό το στοιχείο είναι .

Το τρίγωνο του Πασκάλ

Σε αυτό το τρίγωνο, οι ακραίοι αριθμοί σε κάθε σειρά είναι ίσοι με 1 και κάθε μη ακραίος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο αριθμών της προηγούμενης σειράς από πάνω του. Έτσι, αυτό το τρίγωνο σας επιτρέπει να υπολογίζετε αριθμούς.

Θεώρημα.

Απόδειξη.Εξετάστε ένα σύνολο στοιχείων και λύστε το ακόλουθο πρόβλημα με δύο τρόπους: πόσες ακολουθίες μπορούν να αποτελούνται από στοιχεία ενός δεδομένου
σύνολα στα οποία κανένα στοιχείο δεν εμφανίζεται δύο φορές;

1 τρόπος. Επιλέγουμε το πρώτο μέλος της ακολουθίας, μετά το δεύτερο, το τρίτο και ούτω καθεξής. μέλος

2 τρόπος. Αρχικά επιλέγουμε στοιχεία από ένα δεδομένο σύνολο και μετά τα τακτοποιούμε με κάποια σειρά

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με:

Παράδειγμα.Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 5 αριθμούς από τους 36 στο παιχνίδι Sportloto;

Ο επιθυμητός αριθμός τρόπων

Καθήκοντα.

1. Οι αριθμοί αυτοκινήτων αποτελούνται από 3 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου (33 γράμματα) και 4 αριθμούς. Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί αυτοκινήτου υπάρχουν;
2. Το πιάνο έχει 88 πλήκτρα. Με πόσους τρόπους μπορούν να παραχθούν διαδοχικά 6 ήχοι;
3. Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί διαιρούνται με το 5;
4. Με πόσους τρόπους μπορούν να μπουν 7 διαφορετικά νομίσματα σε τρεις τσέπες;
5. Πόσους πενταψήφιους αριθμούς μπορείτε να φτιάξετε δεκαδικός συμβολισμόςπου ο αριθμός 5 εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά;
6. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 20 άτομα στρογγυλό τραπέζι, θεωρώντας τις μεθόδους τις ίδιες, εάν μπορούν να ληφθούν η μία από την άλλη με κίνηση σε κύκλο;
7. Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί διαιρούμενοι με το 5 υπάρχουν που δεν έχουν τα ίδια ψηφία;
8. Σε καρό χαρτί με πλευρά κελιού 1 cm, σχεδιάζεται ένας κύκλος ακτίνας 100 cm, που δεν διέρχεται από τις κορυφές των κελιών και δεν αγγίζει τις πλευρές των κελιών. Πόσα τετράγωνα μπορεί να τέμνει αυτός ο κύκλος;
9. Με πόσους τρόπους μπορούν να ταξινομηθούν οι αριθμοί στη σειρά, ώστε οι αριθμοί να βρίσκονται δίπλα-δίπλα και, επιπλέον, να ακολουθούν αύξουσα σειρά;
10. Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από ψηφία εάν κάθε ψηφίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μία φορά;
11. Από τη λέξη ROT, αναδιατάσσοντας τα γράμματα, μπορείτε επίσης να πάρετε τις ακόλουθες λέξεις: TOR, ORT, OTR, TRO, RTO. Ονομάζονται αναγραμματισμοί. Πόσους αναγραμματισμούς μπορείτε να κάνετε με το LOGARITH;
12. Ας καλέσουμε δυνατόςένας φυσικός αριθμός η αναπαράστασή του ως άθροισμα φυσικούς αριθμούς. Εδώ, για παράδειγμα, είναι όλα τα διαμερίσματα ενός αριθμού:

Οι κατατμήσεις θεωρούνται διαφορετικές εάν διαφέρουν είτε σε αριθμούς είτε ως προς τη σειρά των αθροίσεων.

Πόσες διαφορετικές κατατμήσεις ενός αριθμού υπάρχουν;
13. Πόσοι μη αυξανόμενοι 3ψήφιοι αριθμοί υπάρχουν;
14. Πόσοι μη αυξανόμενοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν;
15. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 17 άτομα στη σειρά ώστε να είναι το ένα δίπλα στο άλλο;
16. κορίτσια και αγόρια κάθονται τυχαία σε μια σειρά θέσεων. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν έτσι ώστε να μην κάθονται δύο κορίτσια δίπλα-δίπλα;
17. κορίτσια και αγόρια κάθονται τυχαία σε μια σειρά θέσεων. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν έτσι ώστε όλα τα κορίτσια να κάθονται δίπλα δίπλα;

Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνδυαστική είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΜΗΜΑ ανώτερα μαθηματικά(και όχι μέρος του terver) και έχουν γραφτεί βαριά εγχειρίδια σε αυτόν τον κλάδο, το περιεχόμενο των οποίων, κατά καιρούς, δεν είναι ευκολότερο από την αφηρημένη άλγεβρα. Ωστόσο, ένα μικρό κλάσμα θα μας αρκεί. θεωρητική γνώση, και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσω να αναλύσω τα βασικά του θέματος με τυπικά συνδυαστικά προβλήματα σε προσιτή μορφή. Και πολλοί από εσάς θα με βοηθήσετε ;-)

Τι θα κάνουμε? Με μια στενή έννοια, συνδυαστική είναι ο υπολογισμός διαφόρων συνδυασμών που μπορούν να γίνουν από ένα συγκεκριμένο σύνολο διακεκριμένοςαντικείμενα. Ως αντικείμενα νοούνται οποιαδήποτε μεμονωμένα αντικείμενα ή ζωντανά όντα - άνθρωποι, ζώα, μανιτάρια, φυτά, έντομα κ.λπ. Ταυτόχρονα, η συνδυαστική δεν νοιάζεται καθόλου που το σετ αποτελείται από ένα πιάτο σιμιγδάλι, ένα κολλητήρι και έναν βάλτο βάτραχο. Είναι θεμελιωδώς σημαντικό ότι αυτά τα αντικείμενα είναι αναρίθμητα - υπάρχουν τρία από αυτά. (διακριτικότητα)και είναι σημαντικό κανένα από αυτά να μην είναι όμοιο.

Με τα πολλά τακτοποιημένα, τώρα για τους συνδυασμούς. Οι πιο συνηθισμένοι τύποι συνδυασμών είναι οι μεταθέσεις αντικειμένων, η επιλογή τους από ένα σύνολο (συνδυασμός) και η κατανομή (τοποθέτηση). Ας δούμε πώς συμβαίνει αυτό τώρα:

Μεταθέσεις, συνδυασμοί και τοποθετήσεις χωρίς επανάληψη

Μην φοβάστε τους σκοτεινούς όρους, ειδικά επειδή ορισμένοι από αυτούς δεν είναι πραγματικά πολύ επιτυχημένοι. Ας ξεκινήσουμε με την ουρά του τίτλου - που σημαίνει " χωρίς επανάληψη"; Αυτό σημαίνει ότι σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε σύνολα που αποτελούνται από διάφοροςαντικείμενα. Για παράδειγμα, ... όχι, δεν θα προσφέρω χυλό με κολλητήρι και βάτραχο, κάτι πιο νόστιμο είναι καλύτερο =) Φανταστείτε ότι ένα μήλο, ένα αχλάδι και μια μπανάνα υλοποιήθηκαν στο τραπέζι μπροστά σας (αν υπάρχουν οποιαδήποτε, η κατάσταση μπορεί να προσομοιωθεί σε πραγματικό). Απλώνουμε τα φρούτα από αριστερά προς τα δεξιά με την ακόλουθη σειρά:

μήλο / αχλάδι / μπανάνα

Ερώτηση πρώτο: με πόσους τρόπους μπορούν να αναδιαταχθούν;

Ένας συνδυασμός έχει ήδη γραφτεί παραπάνω και δεν υπάρχουν προβλήματα με τους υπόλοιπους:

μήλο / μπανάνα / αχλάδι
αχλάδι / μήλο / μπανάνα
αχλάδι / μπανάνα / μήλο
μπανάνα / μήλο / αχλάδι
μπανάνα / αχλάδι / μήλο

Σύνολο: 6 συνδυασμοί ή 6 μεταθέσεις.

Λοιπόν, δεν ήταν δύσκολο να απαριθμήσω όλες τις πιθανές περιπτώσεις εδώ, αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότερα αντικείμενα; Ήδη με τέσσερα διαφορετικά φρούτα, ο αριθμός των συνδυασμών θα αυξηθεί σημαντικά!

Κανένα μαρτύριο - 3 αντικείμενα μπορούν να αναδιαταχθούν με τρόπους.

Ερώτηση δεύτερη: με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε α) ένα φρούτο, β) δύο φρούτα, γ) τρία φρούτα, δ) τουλάχιστον ένα φρούτο;

Γιατί να επιλέξετε; Άνοιξαν λοιπόν όρεξη στην προηγούμενη παράγραφο - για να φάνε! α) Ένα φρούτο μπορεί να επιλεγεί, προφανώς, με τρεις τρόπους - πάρτε είτε ένα μήλο, είτε ένα αχλάδι ή μια μπανάνα.

Η επίσημη καταμέτρηση βασίζεται σε τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:

Ηχογράφηση σε αυτή η υπόθεσηπρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: "με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 1 φρούτο στα τρία;"

β) Παραθέτουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς δύο φρούτων:

μήλο και αχλάδι?
μήλο και μπανάνα?
αχλάδι και μπανάνα.

Ο αριθμός των συνδυασμών είναι εύκολο να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο:

Το λήμμα κατανοείται με τον ίδιο τρόπο: «με πόσους τρόπους μπορείς να επιλέξεις 2 φρούτα από τα τρία;».

γ) Και τέλος, μπορούν να επιλεγούν τρία φρούτα ο μόνος τρόπος:

Παρεμπιπτόντως, ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών έχει νόημα και για ένα κενό δείγμα:
Με αυτόν τον τρόπο, δεν μπορείτε να επιλέξετε ούτε ένα φρούτο - στην πραγματικότητα, να μην πάρετε τίποτα και αυτό είναι.

δ) Με πόσους τρόπους μπορείτε να πάρετε τουλάχιστον ένακαρπός? Η συνθήκη «τουλάχιστον μία» σημαίνει ότι είμαστε ικανοποιημένοι με 1 φρούτο (οποιοδήποτε) ή οποιοδήποτε 2 φρούτο ή και τα 3 φρούτα:
τρόπους με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε τουλάχιστον ένα φρούτο.

Για απάντηση στο επόμενη ερώτησηΧρειάζομαι δύο εθελοντές ... ... Λοιπόν, αφού κανείς δεν θέλει, τότε θα καλέσω στον πίνακα =)

Ερώτηση τρίτη: με πόσους τρόπους μπορεί να διανεμηθεί ένα φρούτο στη Ντάσα και τη Νατάσα;

Για να διανείμετε δύο φρούτα, πρέπει πρώτα να τα επιλέξετε. Σύμφωνα με την παράγραφο "be" της προηγούμενης ερώτησης, αυτό μπορεί να γίνει με τρόπους, θα τους ξαναγράψω:

μήλο και αχλάδι?
μήλο και μπανάνα?
αχλάδι και μπανάνα.

Τώρα όμως θα υπάρχουν διπλάσιοι συνδυασμοί. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το πρώτο ζευγάρι φρούτων:
μπορείτε να περιποιηθείτε τη Dasha με ένα μήλο και τη Νατάσα με ένα αχλάδι.
ή το αντίστροφο - η Ντάσα θα πάρει το αχλάδι και η Νατάσα το μήλο.

Και μια τέτοια μετάθεση είναι δυνατή για κάθε ζευγάρι φρούτων.

Σε αυτή την περίπτωση λειτουργεί τύπος τοποθέτησης:

Διαφέρει από τον τύπο στο ότι λαμβάνει υπόψη ΟΧΙ μονοο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να επιλεγούν πολλά αντικείμενα, αλλά και όλες οι μεταθέσεις των αντικειμένων σε κάθεπιθανό δείγμα. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό όχι μόνο να μπορείτε απλά να επιλέξετε, για παράδειγμα, ένα αχλάδι και μια μπανάνα, αλλά και πώς θα διανεμηθούν (τοποθετηθούν) μεταξύ της Dasha και της Natasha.

Προσπαθήστε να κατανοήσετε καλά τη διαφορά μεταξύ μεταθέσεων, συνδυασμών και τοποθετήσεων. Στις πιο απλές περιπτώσεις, μπορεί κανείς να τα μετρήσει όλα πιθανούς συνδυασμούςχειροκίνητα, αλλά τις περισσότερες φορές γίνεται μια αφόρητη εργασία, γι 'αυτό πρέπει να κατανοήσετε την έννοια των τύπων.

Υπενθυμίζω επίσης ότι τώρα μιλάμε για ένα σύνολο διάφοροςαντικείμενα και εάν ένα μήλο/αχλάδι/μπανάνα αντικατασταθεί από 3 μήλα ή ακόμα και 3 πολύ παρόμοια μήλα, τότε στο πλαίσιο του εξεταζόμενου προβλήματος θα εξακολουθήσουν να εξετάζονται διάφορος.

Ας σταθούμε σε κάθε τύπο συνδυασμού με περισσότερες λεπτομέρειες:

Μεταθέσεις

Μεταθέσεις ονομάζονται συνδυασμοί από το ίδιο διάφοροςαντικείμενα και διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά με την οποία τοποθετούνται. Ο αριθμός όλων των πιθανών μεταθέσεων εκφράζεται με τον τύπο

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των μεταθέσεων είναι ότι κάθε μία από αυτές περιλαμβάνει ΤΑ ΠΑΝΤΑσετ, δηλαδή, Ολοιαντικείμενα. Για παράδειγμα, μια φιλική οικογένεια:

Εργασία 1

Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 5 άτομα σε ένα τραπέζι;

Απόφαση: χρησιμοποιήστε τον τύπο για τον αριθμό των μεταθέσεων:

Απάντηση: 120 τρόποι

Απίστευτο κι όμως αληθινό. Σημειώστε ότι εδώ δεν έχει σημασία αν το τραπέζι είναι στρογγυλό, τετράγωνο ή γενικά όλοι οι άνθρωποι κάθονται σε ένα παγκάκι κατά μήκος ενός τοίχου - μόνο ο αριθμός των αντικειμένων και αμοιβαία διευθέτηση. Εκτός από τη μετάθεση ανθρώπων, το πρόβλημα της μετάθεσης διαφορετικών βιβλίων σε ένα ράφι συναντάται συχνά, αλλά αυτό θα ήταν πολύ απλό ακόμα και για μια τσαγιέρα:

Εργασία 2

Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τέσσερις κάρτες με αριθμούς 0, 5, 7, 9;

Για να δημιουργήσετε έναν τετραψήφιο αριθμό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε Ολοιτέσσερις κάρτες (οι αριθμοί στους οποίουςδιαφορετικός! ) , και αυτό είναι μια πολύ σημαντική προϋπόθεση για την εφαρμογή του τύπου Προφανώς, με την αναδιάταξη των καρτών, θα πάρουμε διαφορετικούς τετραψήφιους αριθμούς, ... περιμένετε, όλα καλά εδώ; ;-)

Σκεφτείτε προσεκτικά το πρόβλημα! Γενικά αυτό χαρακτηριστικό γνώρισμασυνδυαστικά και πιθανοτικά προβλήματα - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΝ. Και συχνά σκέφτεστε με κοσμικό τρόπο, όπως, για παράδειγμα, στην ανάλυση εισαγωγικό παράδειγμαμε φρούτα. Όχι, φυσικά, δεν ζητώ ανόητη επεξεργασία άλλων τμημάτων των μαθηματικών, αλλά πρέπει να σημειώσω ότι το ίδιο ολοκληρώματαμπορώ μάθετε να αποφασίζετεκαθαρά μηχανικό.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Αύξηση τζίρου:

Συνδυασμοί

Τα σχολικά βιβλία δίνουν συνήθως συνοπτικά και όχι πολύ σαφής ορισμόςσυνδυασμοί, λοιπόν, στο στόμα μου η διατύπωση δεν θα είναι ιδιαίτερα ορθολογική, αλλά, ελπίζω, κατανοητή:

Συνδυασμοί ονομάστε διαφορετικούς συνδυασμούς αντικειμένων που επιλέγονται από μια ποικιλία διαφορετικών αντικειμένων και που διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα αντικείμενο. Με άλλα λόγια, ένας ενιαίος συνδυασμός είναι μια μοναδική επιλογή στοιχείων στα οποία η σειρά τους δεν έχει σημασία(τοποθεσία). Ο συνολικός αριθμός τέτοιων μοναδικών συνδυασμών υπολογίζεται από τον τύπο .

Εργασία 3

Υπάρχουν 15 μέρη σε ένα κουτί. Με πόσους τρόπους μπορούν να ληφθούν 4 μέρη;

Απόφαση: καταρχάς εφιστώ και πάλι την προσοχή στο γεγονός ότι, σύμφωνα με τη λογική της συνθήκης, λαμβάνονται υπόψη οι λεπτομέρειες διάφορος- ακόμα κι αν είναι στην πραγματικότητα ο ίδιος τύπος και οπτικά ίδιοι (στην περίπτωση αυτή, μπορούν, για παράδειγμα, να είναι αριθμημένα) .

Στο πρόβλημα μιλάμε για μια επιλογή 4 μερών, στα οποία τα « περαιτέρω μοίρα«- χοντρικά», απλώς διάλεξαν 4 κομμάτια και τέλος. Έτσι, έχουμε έναν συνδυασμό εξαρτημάτων. Μετράμε τον αριθμό τους:

Εδώ, φυσικά, δεν χρειάζεται να μετακινήσετε τεράστιους αριθμούς.
Σε παρόμοια περίπτωση, σας συμβουλεύω να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο κόλπο: στον παρονομαστή, επιλέξτε το μεγαλύτερο παραγοντικό (σε αυτήν την περίπτωση, ) και μειώστε το κλάσμα με αυτό. Για να γίνει αυτό, ο αριθμητής πρέπει να παριστάνεται ως . Θα γράψω αναλυτικά:

Μπορείτε να πάρετε 4 μέρη από το κουτί με τρόπους.

Για άλλη μια φορά, τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι από ένα σετ 15 διαφορετικών εξαρτημάτων μπορείτε να φτιάξετε χίλια τριακόσια εξήντα πέντε μοναδικόςσυνδυασμοί 4 μερών. Δηλαδή, κάθε τέτοιος συνδυασμός 4 μερών θα διαφέρει από άλλους συνδυασμούς σε τουλάχιστον μία λεπτομέρεια.

Απάντηση: 1365 τρόποι

Τύπος πρέπει να δοθεί το μέγιστο μεγάλη προσοχή, γιατί είναι «χτύπημα» της συνδυαστικής. Ταυτόχρονα, είναι χρήσιμο να κατανοήσετε και να καταγράψετε τις «ακραίες» τιμές χωρίς υπολογισμούς: . Όπως εφαρμόζεται στο αναλυόμενο πρόβλημα:

Ο μόνος τρόπος είναι να μην πάρεις ούτε μια λεπτομέρεια.
τρόπους με τους οποίους μπορείτε να πάρετε 1 μέρος (οποιοδήποτε από τα 15).
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να πάρετε 14 μέρη (σε αυτήν την περίπτωση, ένα από τα 15 θα παραμείνει στο κουτί).
- ο μόνος τρόπος που μπορείτε να πάρετε και τα δεκαπέντε μέρη.

Σας συνιστώ να εξοικειωθείτε προσεκτικά με το διώνυμο του Newton και το τρίγωνο του Pascal, σύμφωνα με τα οποία, παρεμπιπτόντως, είναι πολύ βολικό να ελέγχετε τους υπολογισμούς για μικρές τιμές του "en".

Εργασία 4

Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 3 φύλλα από μια τράπουλα 36 φύλλων;

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση. Αυτό που είναι ευχάριστο σε πολλά συνδυαστικά προβλήματα είναι η συντομία - το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε την ουσία. Και η ουσία, μερικές φορές, ανοίγει από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Ας δούμε ένα πολύ διδακτικό παράδειγμα:

Εργασία 4

Ένα άτομο συμμετέχει σε ένα τουρνουά σκακιού και όλοι παίζουν 1 παρτίδα με όλους. Πόσα παιχνίδια έγιναν στο τουρνουά;

Δεδομένου ότι εγώ ο ίδιος παίζω σκάκι και έχω συμμετάσχει επανειλημμένα σε τουρνουά στρογγυλής κούρσας, προσανατολίστηκα αμέσως σύμφωνα με τον πίνακα τουρνουά με βάση το μέγεθος των κελιών, όπου το αποτέλεσμα κάθε παιχνιδιού λαμβάνεται υπόψη δύο φορές και, επιπλέον, κελιά της «κύριας διαγώνιας» είναι σκιασμένα (γιατί τα μέλη δεν παίζουν με τον εαυτό τους). Με βάση τις παραπάνω συζητήσεις, σύνολοτων παιχνιδιών που παίζονται υπολογίζονται με τον τύπο . Αυτή η απόφαση είναι απολύτως σωστή. (δείτε το αντίστοιχο αρχείοδοχείο έτοιμες λύσεις ) και για πολύ καιρό το ξέχασα με την αρχή του «αποφάσισα, ναι, εντάξει».

Ωστόσο, ένας από τους επισκέπτες του ιστότοπου παρατήρησε ότι στην πραγματικότητα, εδώ μπορείτε να καθοδηγηθείτε από τους πιο κοινότοπους συνδυασμούς:
διαφορετικά ζευγάρια μπορούν να αποτελούνται από αντιπάλους (ποιος παίζει λευκό, ποιος παίζει μαύρο - δεν πειράζει).

Ένα αντίστοιχο πρόβλημα αφορά τις χειραψίες: υπάρχουν άνδρες που εργάζονται στο τμήμα και όλοι δίνουν τα χέρια μεταξύ τους, πόσες χειραψίες κάνουν; Παρεμπιπτόντως, οι σκακιστές κάνουν και χειραψία μεταξύ τους πριν από κάθε παιχνίδι.

Λοιπόν, υπάρχουν δύο συμπεράσματα:

Πρώτον, δεν είναι προφανή όλα όσα είναι προφανή.

Και δεύτερον, μην φοβάστε να λύσετε προβλήματα "εκτός του κουτιού"!

Σας ευχαριστούμε πολύ για τις επιστολές σας, βοηθούν στη βελτίωση της ποιότητας του διδακτικού υλικού!

Διαμονή

Ή «προχωρημένους» συνδυασμούς. Τοποθετήσεις ονομάστε διάφορους συνδυασμούς αντικειμένων που επιλέγονται από πολλά διαφορετικά αντικείμενα και τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους ως τη σύνθεση των αντικειμένων στο δείγμα, έτσι και η σειρά τους. Ο αριθμός των τοποθετήσεων υπολογίζεται από τον τύπο

Ποια είναι η ζωή μας; Ενα παιχνίδι:

Εργασία 5

Ο Borya, ο Dima και ο Volodya κάθισαν για να παίξουν σημείο. Με πόσους τρόπους μπορούν να μοιράσουν ένα φύλλο ο καθένας; (η τράπουλα περιέχει 36 κάρτες)

Απόφαση: η κατάσταση είναι παρόμοια με το Πρόβλημα 4, αλλά διαφέρει στο ότι είναι σημαντικό όχι μόνο ποια τρία φύλλα θα τραβηχτούν από την τράπουλα, αλλά και ΠΩΣ θα διανεμηθούν μεταξύ των παικτών. Τύπος τοποθέτησης:

Τρόποι για να μοιράσετε 3 φύλλα στους παίκτες.

Υπάρχει ένα άλλο σχέδιο λύσης, το οποίο, κατά την άποψή μου, είναι ακόμη πιο ξεκάθαρο:

τρόποι με τους οποίους μπορείτε να τραβήξετε 3 φύλλα από την τράπουλα.

Τώρα ας δούμε ένα από επτά χιλιάδες εκατόν σαράντασυνδυασμοί, για παράδειγμα: βασιλιάς μπαστούνι, 9 καρδιές, 7 καρδιές. Σε συνδυαστική ορολογία, αυτές οι 3 κάρτες μπορούν να «αναδιαταχθούν» μεταξύ των Borey, Dima και Volodya με τους εξής τρόπους:

ΚΡ, 9Η, 7Η;
ΚΡ, 7Η, 9Η;
9Η, ΚΡ, 7Η;
9Η, 7Η, ΚΡ;
7Η, ΚΡ, 9Η;
7Η, 9Η, ΚΡ.

Και ισχύει το ίδιο γεγονός Για οποιονδηποτεένα μοναδικό σετ 3 καρτών. Και μην ξεχνάτε, τέτοια σετ μετρήσαμε. Δεν χρειάζεται να είστε καθηγητής για να καταλάβετε ότι ο αριθμός των συνδυασμών που βρέθηκαν πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι:

Υπάρχουν τρόποι να μοιράσετε ένα φύλλο σε 3 παίκτες.

Ουσιαστικά αποδείχθηκε ότι ήταν οπτικός έλεγχος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι, το τελικό νόημα του οποίου θα διευκρινίσουμε στην επόμενη ενότητα.

Απάντηση: 42840

Ίσως εξακολουθείτε να έχετε μια ερώτηση, αλλά ποιος μοίρασε τα χαρτιά; …Μάλλον δάσκαλος =)
Και για να μην προσβληθεί κανείς, ολόκληρη η μαθητική ομάδα θα λάβει μέρος στην παρακάτω εργασία:

Εργασία 6

ΣΤΟ φοιτητική ομάδα 23 άτομα. Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί ένας επικεφαλής και ο αναπληρωτής του;

Το έργο της «τοποθέτησης» θέσεων στην ομάδα είναι πολύ συνηθισμένο και είναι ένα πραγματικό ακορντεόν με κουμπί. Γρήγορη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ανάλογα συνδυαστικών εννοιών και μεθόδων χρησιμοποιούνται επίσης στην τοπολογία, κατά τη μελέτη ενός δέντρου αποφάσεων, μερικώς διατεταγμένων συνόλων, χρωματισμών γραφημάτων κ.λπ.

25) Τι ονομάζονται μεταθέσεις;

Μεταθέσεις- διαφορετικά ταξινομημένα σύνολα που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων (δηλαδή, μπορούν να ληφθούν από το ίδιο σύνολο).

26) Με ποιο τύπο υπολογίζεται ο αριθμός των μεταθέσεων n διαφορετικών στοιχείων;

Μεταθέσεις.Ας πάρουμε nδιάφορα στοιχεία: ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , …, ένα . Θα τα αναδιατάξουμε όλα πιθανούς τρόπους, διατηρώντας τον αριθμό τους και αλλάζοντας μόνο τη σειρά της τοποθεσίας τους. Κάθε ένας από τους συνδυασμούς που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται μετάθεση.Σύνολο μεταθέσεις n στοιχείωνσυμβολίζεται P n. Αυτός ο αριθμός είναι ίσος με το γινόμενο όλων των ακεραίων από το 1 έως n:

Σύμβολο n! (που ονομάζεται παραγοντικό) - συντομογραφία του έργου: 1 2 3 ... ... ( n- 1) · n.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βρείτε τον αριθμό των μεταθέσεων από τρία στοιχεία: ένα, σι, ντο.

ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο: Π 3 = 1 2 3 = 6.
Πράγματι, έχουμε 6 μεταθέσεις: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

27) Τι ονομάζονται τοποθετήσεις; Γράψτε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των τοποθετήσεων n στοιχείων κατά m.

Διαμονήείναι διατεταγμένα υποσύνολα ενός δεδομένου πεπερασμένου συνόλου.

Διαμονή.Θα κάνουμε ομάδες από Μ nστοιχεία, τακτοποιώντας αυτά Μλαμβάνονται στοιχεία διαφορετική σειρά. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν ονομάζονται διατάξεις n στοιχείων κατά m .

Ο συνολικός αριθμός τους συμβολίζεται: και ισούται με το γινόμενο:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βρείτε τον αριθμό των τοποθετήσεων τεσσάρων στοιχείων Α Β Γ Δανα δυο.

Λύση Σύμφωνα με τον τύπο, λαμβάνουμε:

Αυτές είναι οι τοποθετήσεις: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

28) Τι ονομάζονται συνδυασμοί; Να γράψετε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των συνδυασμών n στοιχείων κατά m.

Συνδυασμός χωρίς επαναλήψεις n στοιχείων κατά mτρώω Μ-στοιχείο υποσύνολο ορισμένων n- σύνολο στοιχείων.

Εν συντομία, τέτοιοι συνδυασμοί ονομάζονται «συνδυασμοί του Μεπί n" και ο αριθμός τους δηλώνει ή . Περαιτέρω n-Το σύνολο στοιχείων θα συμβολίζεται ως n-ένα μάτσο.

Συνδυασμοί.Θα κάνουμε ομάδες από Μδιάφορα στοιχεία που λαμβάνονται από ένα σύνολο που αποτελείται από nστοιχεία, ανεξάρτητα από τη σειρά αυτών των m στοιχείων.Τότε θα πάρουμε συνδυασμοί n στοιχείων κατά m .

Ο συνολικός αριθμός τους υποδεικνύεται και μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Από αυτόν τον τύπο είναι σαφές ότι

Σημειώστε ότι μπορούμε μόνο να συνθέσουμε ένας συνδυασμός n στοιχείων από n που περιέχει όλα τα n στοιχεία.Ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών δίνει αυτήν την τιμή, αρκεί να την αποδεχθούμε 0! = 1 , τι είναι ο ορισμός 0! .

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, παίρνουμε:

Ο συνολικός αριθμός των συνδυασμών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας μια άλλη έκφραση:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών πέντε στοιχείων: α, β, γ, δ, ετρία.

Απόφαση:

Αυτοί οι συνδυασμοί: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

29) Με ποιον τύπο υπολογίζεται ο αριθμός των μεταθέσεων n στοιχείων αν τα στοιχεία επαναληφθούν;

Μεταθέσειςαπό n στοιχεία ονομάζονται τοποθετήσεις αυτών nστοιχεία από n (Μεταθέσεις - ειδική περίπτωσητοποθετήσεις).

Αριθμός μεταθέσεων χωρίς επανάληψη (n

Παράδειγμα . Ας πάρουμε τα γράμματα ΜΠΑΡ . Ποιες μεταθέσεις αυτών των γραμμάτων μπορούν να ληφθούν; Πόσα τέτοια σετ θα ληφθούν εάν: 1) τα γράμματα του σετ δεν επαναλαμβάνονται. 2) το γράμμα Α επαναλαμβάνεται δύο φορές;

Απόφαση.

1. Λάβετε σετ: ΜΠΑΡ, ΣΟΥΤΙΕΝ, ARB, ADB, RAB, RBA.

Με τον τύπο (3.3) παίρνουμε: σκηνικά.

2. Λάβετε σετ: BARA, BRAA, BAAR, AARB, AABR, ABAR, ARAB, ARBA, ABRA, RABA, RAAB, RBAA.

Με τον τύπο (3.4) παίρνουμε: σκηνικά.

Παράδειγμα . Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν από τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 ώστε οι αριθμοί να μην επαναλαμβάνονται στον αριθμό;

Απόφαση.Από αυτά τα έξι ψηφία, μπορείτε να κάνετε P 6 \u003d 6! = 720 μεταθέσεις. Αλλά οι αριθμοί που ξεκινούν με μηδέν δεν είναι εξαψήφιοι. Τέτοιοι αριθμοί διαφέρουν μεταξύ τους με μια μετάθεση των υπόλοιπων πέντε ψηφίων, πράγμα που σημαίνει ότι θα είναι P 5 \u003d 120. Επομένως, θα υπάρχουν 720 - 120 \u003d 600 εξαψήφιοι αριθμοί.

Παράδειγμα . Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν τα λευκά πιόνια (2 πύργοι, 2 ιππότες, 2 επίσκοποι, βασίλισσα και βασιλιάς) στην πρώτη γραμμή της σκακιέρας;

Απόφαση.Η πρώτη γραμμή της σκακιέρας αποτελείται από 8 κελιά, στα οποία πρέπει να τοποθετηθούν αυτά τα 8 πιόνια. Διάφορες επιλογέςοι διατάξεις θα διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των σχημάτων, πράγμα που σημαίνει ότι πρόκειται για μεταθέσεις με επαναλήψεις P 8 (2,2,2).

Σύμφωνα με τον τύπο (3.4) παίρνουμε: τρόπους.

30) Ποιος τύπος καθορίζει τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις n στοιχείων κατά m στοιχεία;

Διαμονή

Τοποθετήσειςαπό n στοιχεία από Μ στοιχεία ( Μ < n) ονομάζονται συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομένα n στοιχεία από Μ στοιχεία που διαφέρουν είτε ως προς τα ίδια τα στοιχεία είτε ως προς τη σειρά των στοιχείων.

Αριθμός τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψειςαπό n επί Μ (nδιάφορα στοιχεία) υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα . Ας πάρουμε τα γράμματα ΜΠΑΡ . Ποιες τοποθετήσεις αυτών των γραμμάτων, που λαμβάνονται δύο προς δύο, μπορούν να ληφθούν; Πόσα τέτοια σετ θα ληφθούν εάν: 1) τα γράμματα του σετ δεν επαναλαμβάνονται. 2) τα γράμματα μπορούν να επαναληφθούν;

Απόφαση.

1. Θα λάβετε τα ακόλουθα σετ: BA, BR, AR, AB, RB, RA .

Με τον τύπο (3.1) παίρνουμε: σκηνικά.

2. Λάβετε σετ: BB, BA, BR, AA, AB, AR, RR, RB, RA.

Με τον τύπο (3.2) λαμβάνουμε: σύνολα.

Παράδειγμα. Κατά μήκος του δρόμου υπάρχουν 6 φανάρια. Πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί των σημάτων τους μπορεί να υπάρχουν αν κάθε φανάρι έχει 3 καταστάσεις: "κόκκινο", "κίτρινο", "πράσινο";

Απόφαση.Ας γράψουμε διάφορους συνδυασμούς: KKKZHZZ, ZZZZZZZZ, KZhZKZHZ... Βλέπουμε ότι η σύνθεση του δείγματος αλλάζει και η σειρά των στοιχείων είναι σημαντική (εξάλλου, εάν, για παράδειγμα, στο δείγμα KZHZKZHZ, K και F είναι εναλλάσσονται, η κατάσταση στο δρόμο θα είναι διαφορετική). Επομένως, εφαρμόζουμε τον τύπο (3.2) και υπολογίζουμε τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις από 3 έως 6, παίρνουμε συνδυασμούς.

31) Ποιος τύπος καθορίζει τον αριθμό των συνδυασμών με επαναλήψεις n στοιχείων κατά m στοιχεία;

Συνδυασμοί

Συνδυασμοί n στοιχείων από m στοιχείακαλούνται συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομένα n στοιχεία από Μ στοιχεία που διαφέρουν κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο (η διαφορά μεταξύ συνδυασμών και τοποθετήσεων είναι ότι η σειρά των στοιχείων δεν λαμβάνεται υπόψη στους συνδυασμούς).

Αριθμός συνδυασμών χωρίς επαναλήψεις(n διάφορα στοιχεία που λαμβάνονται από Μ ) υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα . Ας πάρουμε τα γράμματα ΜΠΑΡ . Ποιοι συνδυασμοί αυτών των γραμμάτων, που λαμβάνονται δύο προς δύο, μπορούν να ληφθούν; Πόσα τέτοια σετ θα ληφθούν εάν: 1) τα γράμματα του σετ δεν επαναλαμβάνονται. 2) μπορείτε να πάρετε δύο πανομοιότυπα γράμματα.

Απόφαση.

1. Λάβετε σετ: ΒΑ (ΒΑ και ΑΒ - το ίδιο σετ) AR και RB

Με τον τύπο (3.5) παίρνουμε: σκηνικά.

2. Λάβετε σετ: BB, BA, BR, AA, AR, RR.

Με τον τύπο (3.6) λαμβάνουμε: σύνολα.

Παράδειγμα . Από τους 20 μαθητές πρέπει να επιλεγούν δύο συνοδοί. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Απόφαση.Είναι απαραίτητο να επιλέξετε δύο άτομα από τα 20. Είναι σαφές ότι τίποτα δεν εξαρτάται από τη σειρά επιλογής, δηλαδή, ο Ivanov-Petrov ή ο Petrov-Ivanov είναι το ίδιο ζευγάρι συνοδών. Επομένως, αυτοί θα είναι συνδυασμοί 20 έως 2.

Με τον τύπο (3.5) παίρνουμε: τρόπους.

Παράδειγμα . Στο τμήμα ψωμιού υπάρχουν κουλούρες από λευκό και μαύρο ψωμί. Με πόσους τρόπους μπορείτε να αγοράσετε 6 καρβέλια ψωμί;

Απόφαση.Δηλώνοντας τα ψωμάκια του λευκού και του μαύρου ψωμιού με τα γράμματα Β και Η, θα κάνουμε πολλά δείγματα: BBBBBBB, BBCHCHBB, HCHCHCHCHB, ... Η σύνθεση αλλάζει από δείγμα σε δείγμα, η σειρά των στοιχείων δεν είναι σημαντική, πράγμα που σημαίνει ότι Πρόκειται για συνδυασμούς με επαναλήψεις από το 2 έως το 6. Σύμφωνα με τον τύπο (3.6 ) παίρνουμε τρόπους.

Θα ελέγξουμε και θα γράψουμε όλες τις επιλογές αγοράς: BBBBBBB, BBBBBCH, BBBBBCHCH, BBBCHCHCH, BBCHCHCHCH, BCHCHCHCHCH, HCHCHCHCHCH. Στην πραγματικότητα υπάρχουν 7 από αυτά.

32) Τι λέγεται το άθροισμα δύο γεγονότων;

Το άθροισμα δύο γεγονότων καιονομάστε ένα συμβάν που συνίσταται στην εμφάνιση ενός γεγονότος ή ενός συμβάντος ή και των δύο αυτών συμβάντων.
Το άθροισμα πολλών γεγονότωνονομάστε ένα συμβάν που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα.

33) Τι λέγεται το γινόμενο δύο γεγονότων;

Το προϊόν δύο γεγονότωνκαλούμε το συμβάν που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση αυτών των γεγονότων.

34) Ποια είναι η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστα γεγονότα?

Εκδήλωσηπου ονομάζεται εκδήλωση ανεξάρτητη, εάν η εμφάνιση του γεγονότος δεν αλλάζει την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος, δηλαδή εάν η υπό όρους πιθανότητα του γεγονότος είναι ίση με την άνευ όρων πιθανότητα:
.
Η ιδιότητα της ανεξαρτησίας των γεγονότων είναι αμοιβαία: εάν ένα γεγονός δεν εξαρτάται από το γεγονός, τότε το γεγονός δεν εξαρτάται από το γεγονός.
Θεώρημα.Η πιθανότητα κοινής εμφάνισης δύο ανεξάρτητες εκδηλώσειςείναι ίσο με το γινόμενο της πιθανότητας αυτών των γεγονότων:
.
Καλούνται διάφορα γεγονότα κατά ζεύγη ανεξάρτητηαν κάθε δύο από αυτά είναι ανεξάρτητα.
Καλούνται διάφορα γεγονότα συλλογικά ανεξάρτητη, αν κάθε δύο από αυτά είναι ανεξάρτητα και κάθε εκδήλωση και όλα πιθανά έργατο υπόλοιπο.

35) Να διατυπώσετε το θεώρημα πρόσθεσης;

Πιθανότητα R(Α+Β) αθροίσματα γεγονότων ΚΑΙκαι ΣΤΟείναι ίσο με

R (Α+Β) = R (ΚΑΙ) + R (ΣΤΟ) – R (ΑΒ). (2.2)

Απόδειξη.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα πρόσθεσης για το σχήμα των περιπτώσεων. Αφήνω Π- τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων του πειράματος, τ Α- τον αριθμό των αποτελεσμάτων, ευνοϊκό γεγονός ΚΑΙ, t V -τον αριθμό των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για την εκδήλωση ΣΤΟ, ένα t AB -ο αριθμός των αποτελεσμάτων της εμπειρίας στα οποία συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα (δηλαδή, αποτελέσματα ευνοϊκά για το προϊόν ΑΒ). Στη συνέχεια, ο αριθμός των αποτελεσμάτων για τα οποία συμβαίνει το συμβάν Α+Β, ίσον t A + t B - t AB(γιατί συνολικά ( t A + t B)t ABυπολογίζεται δύο φορές: ως αποτελέσματα, ευνοϊκά ΚΑΙκαι τα αποτελέσματα ευνοϊκά ΣΤΟ). Επομένως, η πιθανότητα του αθροίσματος μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο 2.2, ο οποίος έπρεπε να αποδειχθεί.

Συνδυαστική - ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά ερωτήματα σχετικά με το πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί, υπό ορισμένες συνθήκες, μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα.

Η συνδυαστική προέκυψε τον 16ο αιώνα. Τα πρώτα συνδυαστικά προβλήματα αφορούσαν τον τζόγο. Σήμερα συνδυαστικές μεθόδουςχρησιμοποιείται για την επίλυση εργασίες μεταφοράς, κατάρτιση σχεδίων παραγωγής και πώλησης προϊόντων. Δημιουργούνται συνδέσεις μεταξύ συνδυαστικής και προβλημάτων γραμμικός προγραμματισμός, στατιστικά. Η συνδυαστική χρησιμοποιείται για τη σύνθεση και την αποκωδικοποίηση κρυπτογράφησης, για την επίλυση άλλων προβλημάτων της θεωρίας της πληροφορίας.

Οι συνδυαστικές μέθοδοι παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο σε καθαρά μαθηματικά ερωτήματα - η θεωρία των ομάδων και οι αναπαραστάσεις τους, η μελέτη των θεμελίων της γεωμετρίας, οι μη συνειρμικές άλγεβρες κ.λπ.

Ένα παράδειγμα συνδυαστικού προβλήματος. Πόσο τριψήφιους αριθμούςμπορεί να αποτελείται από τα ψηφία 0, 2, 4, 6, 8, χρησιμοποιώντας καθένα από αυτά όχι περισσότερες από μία φορές στη σημειογραφία;

Εγώτρόπος. Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε όλους αυτούς τους αριθμούς. Η πρώτη θέση μπορεί να είναι οποιοδήποτε ψηφίο εκτός από το 0. Για παράδειγμα, 2. Η δεύτερη θέση είναι οποιοδήποτε ψηφίο από το 0, 4, 6 και 8. Έστω 0. Στη συνέχεια, οποιοδήποτε από τα 4, 6, 8 μπορεί να επιλεγεί ως τρίτο ψηφίο. πάρε τρεις αριθμούς

Αντί για 0, θα μπορούσε να τεθεί το 4 στη δεύτερη θέση, τότε το τρίτο ψηφίο μπορεί να γραφεί είτε 0, είτε 6, είτε 8:

Με το ίδιο επιχείρημα, παίρνουμε άλλες δύο τριάδες τριψήφιων αριθμών με τον αριθμό 2 στην πρώτη θέση:

Δεν υπάρχουν άλλοι, εκτός από τους γραμμένους 12, τριψήφιους αριθμούς με τον αριθμό 2 στην πρώτη θέση, και να ικανοποιούν την προϋπόθεση.

Αν γράψουμε τον αριθμό 4 στην πρώτη θέση και επιλέξουμε τους υπόλοιπους από τους αριθμούς 0, 2, 6, 8, τότε θα έχουμε 12 ακόμη αριθμούς:

Ο ίδιος αριθμός τριψήφιων αριθμών μπορεί να γίνει με τον αριθμό 6 στην πρώτη θέση και τον αριθμό 8 στην πρώτη θέση. Άρα η απαιτούμενη ποσότητα είναι:

Εδώ είναι οι αριθμοί:

204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;

402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;

602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;

802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.

Απάντηση: 48. ◄

Η μέθοδος συλλογισμού που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση του προηγούμενου προβλήματος ονομάζεται απαρίθμηση επιλογές .

Κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού

Κανόνας συνδυαστικής πρόσθεσης(κανόνας "ή". - ένας από τους βασικούς κανόνες της συνδυαστικής, που δηλώνει ότι αν υπάρχει n στοιχεία και στοιχείο Α'1μπορεί να επιλέξει Μ 1 τρόποι, στοιχείο Α2μπορεί να επιλέξει Μ 2 ΕΝΑ n μπορεί να επιλέξει Μ n τρόπους, μετά επιλέξτε ή Α'1, ή Α2, ή, και ούτω καθεξής, ΕΝΑ n μπορώ

Μ 1 + Μ 2 + ... + Μ n

τρόπους.

Για παράδειγμα, επιλέξτε ένα δώρο για ένα παιδί από 9 αυτοκίνητα, 7 αρκουδάκια και 3 σιδηροδρόμωνμπορώ

τρόπους.

Απάντηση: 19. ◄

Κανόνας πολλαπλασιασμού (κανόνας "και") - ένα ακόμη από σημαντικούς κανόνεςσυνδυαστική. Σύμφωνα με τον ίδιο, αν το στοιχείο Α'1μπορεί να επιλέξει Μ 1 τρόποι, στοιχείο Α2μπορεί να επιλέξει Μ 2 τρόπους και ούτω καθεξής, στοιχείο ΕΝΑ n μπορεί να επιλέξει Μ n τρόπους, μετά το σύνολο των στοιχείων ( Α'1, Α2, ... , ΕΝΑ n ) μπορεί να επιλέξει

Μ 1 · Μ 2 · ... · Μ n

τρόπους.

Για παράδειγμα.

1) Μπορείτε να επιλέξετε ένα αυτοκίνητο, ένα αρκουδάκι και ένα σιδηρόδρομο ως δώρο για ένα παιδί, επιλέγοντας από 9 αυτοκίνητα, 7 αρκουδάκια και 3 σιδηροδρόμους, μπορείτε

9 7 3 = 189

τρόπους.

Απάντηση: 189.

2) Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού για να λύσουμε το πρόβλημα που έχουμε ήδη εξετάσει παραπάνω: Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0, 2, 4, 6, 8, χρησιμοποιώντας τον καθένα όχι περισσότερο από μία φορά στην καταχώριση αριθμών;

IIτρόπος.

Το 0 δεν μπορεί να είναι το πρώτο, επομένως το πρώτο ψηφίο πρέπει να επιλεγεί από 2, 4, 6, 8 - 4 τρόπους.

το δεύτερο ψηφίο μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα τέσσερα υπόλοιπα - 4 τρόποι.

το τρίτο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί από τους υπόλοιπους τρεις - 3 τρόπους.

Έτσι, ο επιθυμητός αριθμός τριψήφιων αριθμών:

4 4 3 = 48.

Απάντηση: 48. ◄

Μεταθέσεις

Σύνολο απο n στοιχεία ονομάζεται τακτικός , αν σε κάθε στοιχείο του αποδοθεί ένας φυσικός αριθμός από το 1 έως n .

μετάθεση από n στοιχεία είναι οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο n στοιχεία.

Για παράδειγμα, από 4 στοιχεία ♦ ♣ ♠ μπορούν να γίνουν οι ακόλουθες 24 μεταθέσεις:

♦ ♣ ♠	♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♠ ♣	♦ ♠ ♣	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♠ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♦ ♣	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♣ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦

◄

Αριθμός μεταθέσεων από n συνήθως σημειώνονται στοιχεία Π n . Με την απαρίθμηση των πιθανών επιλογών, είναι εύκολο να το επαληθεύσετε

P1 = 1; P2 = 2; P3 = 6; P4 = 24.

Γενικά, ο αριθμός των πιθανών μεταθέσεων από n στοιχεία ισούται με το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το n , αυτό είναι n! (διαβάστε "en factorial"):

Π n= 1 2 3 ... ( n- 1 ) · n = n!.

Για τον Π nο αναδρομικός τύπος είναι έγκυρος:

Π n = nΠ n- 1 .

Η παραγοντική τιμή ορίζεται όχι μόνο για φυσικούς αριθμούς, αλλά και για 0:

0! = 1 .

Πίνακας παραγοντικών ακεραίων από 0 πριν 10
n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320	362 880	3 628 800

Για παράδειγμα, με πόσους τρόπους μπορούν 5 αγόρια και 5 κορίτσια να πάρουν θέσεις στην ίδια σειρά από την 1η έως τη 10η στο θέατρο, εάν δεν κάθονται δίπλα-δίπλα δύο αγόρια και κανένα κορίτσι;

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις με τον ίδιο αριθμό τρόπων: 1) τα αγόρια βρίσκονται σε μονές θέσεις, τα κορίτσια σε ζυγές θέσεις και 2) το αντίστροφο.

Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση. Τα αγόρια σε περίεργα μέρη μπορούν να καθίσουν

P5 = 120

τρόπους. Τόσοι τρόποι και για κορίτσια σε ομοιόμορφα μέρη. Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, τα αγόρια βρίσκονται σε μονές θέσεις, τα κορίτσια σε ζυγά σημεία μπορούν να εντοπιστούν

120 120 = 14400

τρόπους. Όλοι οι τρόποι λοιπόν

14 400 + 14 400 = 28 800.

Απάντηση: 28 800. ◄

Μεταθέσεις με επαναλήψεις

μετάθεση με επαναλήψεις από n στοιχεία, μεταξύ των οποίων κ διαφορετικά, ενώ υπάρχουν n 1 δυσδιάκριτα στοιχεία του πρώτου τύπου, n 2 δυσδιάκριτα στοιχεία του δεύτερου τύπου, και ούτω καθεξής, n κ δυσδιάκριτα στοιχεία κ -ο τύπος (όπου n 1 + n 2 + … + nk = n ), είναι οποιαδήποτε διάταξη αυτών των στοιχείων κατά μήκος n διάφορα μέρη.

Αριθμός μεταθέσεων με επαναλήψεις μήκους n από κ διαφορετικά στοιχεία, λαμβάνονται σύμφωνα με n 1 , n 2 , …, nk αφού το καθένα συμβολίζεται και υπολογίζεται ως εξής: $$P_(n_1,n_2, ... , n_k)=\frac(n{n_1!n_2! ... n_k!}~.$$!}

Για παράδειγμα, πόσοι διαφορετικοί δεκαψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4;

Σε αυτήν την περίπτωση: n= 10, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3, n 4 = 4,$$P_(1, 2, 3, 4)=\frac(10{1!2! 3! 4!}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=12~600.$$!}

Απάντηση: 12 600. ◄

Διαμονή

Τοποθέτηση n στοιχείων κατά m(m ≤ n) Μ στοιχεία που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά από τα δεδομένα n στοιχεία.

Δύο τοποθετήσεις από nστοιχεία από Μθεωρούνται διαφορετικά εάν διαφέρουν ως προς τα ίδια τα στοιχεία ή στη σειρά της διάταξής τους.

Για παράδειγμα, θα συνθέσουμε όλες τις τοποθετήσεις από τέσσερα στοιχεία Α Β Γ Δδύο στοιχεία το καθένα:

A B; A C;A D;

Β Α; ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ; B D;

C A; C B; C D;

D A; D B; D.C.

◄

Αριθμός όλων των τοποθετήσεων από nστοιχεία από Μσημαίνει \(A_n^m\) (διαβάστε: " ΚΑΙαπό nεπί Μ") και υπολογίζεται με οποιονδήποτε από τους τύπους: $$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-m+1)\\A_n^ m= \frac(n{(n-m)!}$$!}

Παραδείγματα εργασιών.

1) Ας χρησιμοποιήσουμε την έννοια των τοποθετήσεων από n στοιχεία από Μ για να λύσετε το πρόβλημα, το οποίο εξετάστηκε ήδη δύο φορές νωρίτερα: Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να δημιουργηθούν από τους αριθμούς 0, 2, 4, 6, 8, χρησιμοποιώντας τον καθένα από αυτούς όχι περισσότερες από μία φορές στη σημειογραφία;

Εγώ ΕγώΕγώτρόπος.

Το πρώτο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με τέσσερις τρόπους από το σύνολο 2, 4, 6, 8. Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, ο αριθμός των ζευγών του δεύτερου και του τρίτου ψηφίου είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων των 4 υπολοίπων ψηφίων κατά 2 Άρα ο επιθυμητός αριθμός τριψήφιων αριθμών είναι: $$4\cdot A_4^ 2=4\cdot \frac(4{(4-2)!}=4\cdot \frac{4!}{2!}=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.!}

2) Για μια πτήση στο διάστημα, είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε ένα πλήρωμα έξι ατόμων. Θα πρέπει να περιλαμβάνει: τον κυβερνήτη του πλοίου, τον πρώτο και δεύτερο βοηθό του, δύο μηχανικούς πτήσης, εκ των οποίων ο ένας ανώτερος και ένας γιατρός. Το επιτελείο διοίκησης επιλέγεται από 20 πιλότους, μηχανικούς πτήσης από 15 ειδικούς και έναν γιατρό από 5 γιατρούς. Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το πλήρωμα;

Γιατί στην επιλογή διοικητέςΗ σειρά είναι σημαντική, τότε ο διοικητής και οι δύο βοηθοί του μπορούν να επιλεγούν με \(A_(20)^3\) τρόπους. Η σειρά των μηχανικών πτήσης είναι επίσης σημαντική, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχουν \(A_(15)^2\) τρόποι επιλογής τους. Υπάρχει μόνο ένας γιατρός, για την επιλογή του υπάρχει 5 τρόπους. Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα συνδυαστικού πολλαπλασιασμού και ας βρούμε τον αριθμό των πιθανών πληρωμάτων πλοίων: $$A_(20)^3\cdot A_(15)^2\cdot 5=\frac(20{17!}\cdot \frac{15!}{13!}\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7~182~000.$$Ответ: 7 182 000. !} ◄

Είναι σαφές ότι αν m = n , τότε$$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$

Είναι επίσης αλήθεια ότι αν m = n- 1 , τότε$$A_n^(n-1)=A_n^n=P_n=n!.$$

Τοποθετήσεις με επαναλήψεις

Εκτός από τις συνηθισμένες τοποθετήσεις, υπάρχουν τοποθετήσεις με επαναλήψεις ή παραλαβές επιστροφής .

Ας υπάρχει n διάφορα αντικείμενα. Ας επιλέξουμε από αυτούς Μ κομμάτια, ενεργώντας επάνω ακολουθώντας την αρχή. Ας πάρουμε οποιοδήποτε, αλλά δεν θα το εγκαταστήσουμε σε καμία σειρά, αλλά απλώς θα γράψουμε το όνομά του στον αριθμό 1 και μετά θα επιστρέψουμε το ίδιο το αντικείμενο στα υπόλοιπα. Μετά πάλι από όλους n Επιλέγουμε ένα αντικείμενο (συμπεριλαμβανομένου, ενδεχομένως, αυτού που μόλις τραβήχτηκε), σημειώνουμε το όνομά του, σημειώνοντάς το με τον αριθμό 2 και επιστρέφουμε ξανά το αντικείμενο. Και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσουμε Μ τίτλους.

Οι τοποθετήσεις με επαναλήψεις συμβολίζονται με \(\overline(A)_n^m\) και, σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού, υπολογίζονται με τον τύπο $$\overline(A)_n^m=n^m.$$ m > n , δηλαδή, υπάρχουν περισσότερα επιλεγμένα αντικείμενα από όσα είναι συνολικά. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη: κάθε αντικείμενο μετά τη "χρήση" επιστρέφεται πίσω και μπορεί να επαναχρησιμοποιηθεί.

Για παράδειγμα, ο αριθμός των επιλογών για έναν εξαψήφιο κωδικό πρόσβασης στον οποίο κάθε χαρακτήρας είναι ένας αριθμός από το 0 έως το 9 ή ένα γράμμα Λατινικό αλφάβητο(το ίδιο πεζό και κεφαλαίο γράμμα - ένας χαρακτήρας) και μπορεί να επαναληφθεί, ισούται με: $$\overline(A)_(10+26)^6=\overline(A)_(36)^6=36^ 6 =2~176~782~336.$$Εάν πεζά και κεφαλαία γράμματαθεωρούνται διακριτοί χαρακτήρες (όπως συμβαίνει συνήθως), ο αριθμός των πιθανών κωδικών πρόσβασης γίνεται ακόμη πιο κολοσσιαίος: $$\overline(A)_(10+26+26)^6=\overline(A)_(62)^ 6= 62^6=56~800~235~584.$$

◄

Συνδυασμοί

Συνδυασμός n στοιχείων κατά m(m ≤ n) οποιοδήποτε σύνολο καλείται Μ στοιχεία που επιλέγονται από τα δεδομένα n στοιχεία.

Σε αντίθεση με τις τοποθετήσεις σε συνδυασμούς, δεν έχει σημασία με ποια σειρά καθορίζονται τα στοιχεία. Δύο συνδυασμοί των nστοιχεία από Μθεωρούνται διακριτά εάν διαφέρουν κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο.

Για παράδειγμα, ας κάνουμε όλους τους συνδυασμούς τεσσάρων στοιχείων Α Β Γ Δδύο στοιχεία το καθένα:

A B; A C;A D;

ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ; B D;

Γ Δ.

◄

Ο αριθμός όλων των συνδυασμών του nστοιχεία από Μσημαίνει \(C_n^m\) (διαβάστε: " ντοαπό nεπί Μ") και υπολογίζεται με οποιονδήποτε από τους τύπους: $$C_n^m=\frac(A_n^m)(P_m)$$$$C_n^m=\frac(n\cdot (n-1)\cdot (n -2 )~\cdot~ ...~\cdot~ (n-m+1))(1\cdot2\cdot3~\cdot~...~\cdot ~m)$$$$C_n^m=\ frac(n{m!\cdot (n-m)!}.$$!}

Παραδείγματα εργασιών.

1) Η ομάδα ανακαίνισης σχολείου αποτελείται από 12 ζωγράφους και 5 μάστορες. Από αυτούς, 4 βαφείς και 2 μάστορες θα πρέπει να διατεθούν για την επισκευή του γυμναστηρίου. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Εφόσον η σειρά των ζωγράφων σε κάθε επιλεγμένο τετράπτυχο και η σειρά των ξυλουργών σε κάθε επιλεγμένο ζευγάρι δεν έχει σημασία, τότε, σύμφωνα με τον κανόνα συνδυαστικού πολλαπλασιασμού, ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι: $$C_(12)^4 \cdot C_5^2 =\frac(12{4!\cdot 8!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \frac{4\cdot5}{1\cdot 2}=4~950.$$Ответ: 4 950. !} ◄

2) Στην τάξη φοιτούν 30 μαθητές, εκ των οποίων 13 αγόρια και 17 κορίτσια. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια ομάδα 7 μαθητών από αυτήν την τάξη εάν πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα κορίτσι;

Ο αριθμός όλων των πιθανών ομάδων των 7 ατόμων από την τάξη είναι \(C_(30)^7\). Ο αριθμός των ομάδων με μόνο αγόρια είναι \(C_(13)^7\). Έτσι, ο αριθμός των ομάδων με τουλάχιστον ένα κορίτσι είναι: $$C_(30)^7 - C_(13)^7 =\frac(30{7!\cdot 23!} - \frac{13!}{7!\cdot 6!}=2~035~800-1~716=2~034~084.$$Ответ: 2 034 084. !} ◄

Συνδυασμοί με επαναλήψεις

Εκτός από τους συνήθεις συνδυασμούς, σκεφτείτε συνδυασμούς με επαναλήψεις .

Αφήστε το σετ να έχει n αντικείμενα. Ας επιλέξουμε από αυτούς Μ κομμάτια, ακολουθώντας την ακόλουθη αρχή. Ας πάρουμε οποιοδήποτε, αλλά δεν θα το εγκαταστήσουμε σε καμία σειρά, αλλά απλώς θα το γράψουμε και μετά θα επιστρέψουμε το ίδιο το αντικείμενο στα υπόλοιπα. Μετά πάλι από όλους n θα επιλέξουμε ένα αντικείμενο (συμπεριλαμβανομένου, ενδεχομένως, αυτού που λήφθηκε και καταγράφηκε νωρίτερα), θα σημειώσουμε το όνομά του και θα επιστρέψουμε ξανά το αντικείμενο. Και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσουμε Μ τίτλους.

Η θεμελιώδης διαφορά από τις τοποθετήσεις με επαναλήψεις είναι ότι σε αυτή την περίπτωση τα στοιχεία της λίστας δεν είναι αριθμημένα. Για παράδειγμα, λίστα "Α, Γ, Α, Β"και λίστα "Α, Α, Β, Γ"θεωρούνται τα ίδια.

Οι συνδυασμοί με επαναλήψεις συμβολίζονται με \(\overline(C)_n^m\) και υπολογίζονται με τον τύπο $$\overline(C)_n^m=P_(m,~n-1)=\frac((m+ n-1 ){m!\cdot (n-1)!}.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline{C}_n^m=C_{m+n-1}^m=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда !} m > n , δηλαδή, υπάρχουν περισσότερα επιλεγμένα αντικείμενα από όσα είναι συνολικά. Πράγματι, κάθε αντικείμενο μετά τη "χρήση" επιστρέφει και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ξανά και ξανά.

Για παράδειγμα, ας μάθουμε με πόσους τρόπους μπορείτε να αγοράσετε 7 κέικ στο τμήμα ζαχαροπλαστικής εάν υπάρχουν 4 ποικιλίες από αυτά σε προσφορά;

Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κέικ κάθε τύπου είναι τουλάχιστον 7 και, αν θέλετε, μπορείτε να αγοράσετε μόνο κέικ από ένα από αυτά. Δεδομένου ότι η σειρά με την οποία τοποθετούνται τα αγορασμένα κέικ στο κουτί δεν είναι σημαντική, έχουμε να κάνουμε με συνδυασμούς με επαναλήψεις. Εφόσον πρέπει να επιλέξετε 7 κέικ από 4 τύπους του, ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι: $$\overline(C)_4^7=\frac((7+4-1){7!\cdot (4-1)!}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$!}

Απάντηση: 120. ◄

Διωνυμικοί και διωνυμικοί συντελεστές Newton

Ισότητα$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^(n-1)a^1+...+C_n^mx^(n-m)a^m+...+ C_n^nx^0a^n$$ καλείται Διώνυμο του Νεύτωνα ή τύπος του Νεύτωνα . Δεξί μέροςισότητα λέγεται διωνυμική επέκταση σε άθροισμα , και οι συντελεστές \(C_n^0,~C_n^1,~...~,~C_n^n\) είναι διωνυμικούς συντελεστές .

Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών:

\(~~~~~~~~~1.~~C_n^0=C_n^n=1\\ ~~~~~~~~~2.~~C_n^m=C_n^(n-m)\\ ~~ ~~~~~~3.~~C_n^m=C_(n-1)^(m-1)+C_(n-1)^(m)\\ ~~~~~~~~~4.~ ~C_n^0+C_n^1+C_n^2+~...~+C_n^n=2^n\\ ~~~~~~~~~5.~~C_n^0+C_n^2+C_n^ 4+~... =C_n^1+C_n^3+C_n^5+~...=2^(n-1)\\ ~~~~~~~~~6.~~C_n^n+C_ (n+1)^n+C_(n+2)^n+~...~+C_(n+m-1)^n=C_(n+m)^(n+1)\\ \)

Ιδιότητες διωνυμικής επέκτασης:

1. Ο αριθμός όλων των όρων επέκτασης είναι ένας μεγαλύτερος από τον εκθέτη του διωνύμου,

που ισούται με n+ 1 .

2. Άθροισμα εκθετών Χ και ένα κάθε όρος επέκτασης είναι ίσος με τον διωνυμικό εκθέτη,

αυτό είναι (n - m) + m = n .

3. Κοινός όρος της επέκτασης (σημ Τ n+1 ) έχει τη μορφή $$T_(n+1)=C_n^m x^(n-m)a^m,~~~~m=0,~1,~2,~...~,~n.$$

Το τρίγωνο του Πασκάλ

Όλες οι πιθανές τιμές διωνυμικών συντελεστών (αριθμός συνδυασμών) για κάθε διωνυμικό εκθέτη n μπορεί να γραφτεί ως ένας άπειρος τριγωνικός πίνακας. Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται Το τρίγωνο του Πασκάλ:

					\(C_0^0\)
				\(C_1^0\)		\(C_1^1\)
			\(C_2^0\)		\(C_2^1\)		\(C_2^2\)
		\(C_3^0\)		\(C_3^1\)		\(C_3^2\)		\(C_3^3\)
	\(C_4^0\)		\(C_4^1\)		\(C_4^2\)		\(C_4^3\)		\(C_4^4\)
\(C_5^0\)		\(C_5^1\)		\(C_5^2\)		\(C_5^3\)		\(C_5^4\)		\(C_5^5\)
	. . .				. . .				. . .

Σε αυτό το τρίγωνο, οι ακραίοι αριθμοί σε κάθε σειρά είναι ίσοι με 1. Πράγματι, \(C_n^0=C_n^n=1\). Και κάθε μη ακραίος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο αριθμών της προηγούμενης γραμμής από πάνω του: \(C_n^m=C_(n-1)^(m-1)+C_(n-1)^(m )\).

Έτσι, αυτό το τρίγωνο προσφέρει έναν άλλο (επαναλαμβανόμενο) τρόπο υπολογισμού των αριθμών \(C_n^m\):

n = 0									1
n = 1								1		1
n = 2							1		2		1
n = 3						1		3		3		1
n = 4					1		4		6		4		1
n = 5				1		5		10		10		5		1
n = 6			1		6		15		20		15		6		1
n = 7		1		7		21		35		35		21		7		1
n = 8	1		8		28		56		70		56		28		8		1
...				...				...		...				...