Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ έχουν φιλοσοφικό νόημα. Εξομολόγηση μεγάλου λογικού

Θεώρημα μη πληρότητας του Γκόντελ

Uspensky V.A.

Ίσως το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel είναι πραγματικά μοναδικό. Μοναδικό στο ότι αναφέρονται σε αυτό όταν θέλουν να αποδείξουν «τα πάντα στον κόσμο» - από την παρουσία των θεών μέχρι την απουσία λογικής. Πάντα με ενδιέφερε ένα πιο «πρωταρχικό ερώτημα» - και ποιος από αυτούς που αναφέρονται στο θεώρημα της μη πληρότητας μπορούσε όχι μόνο να το διατυπώσει, αλλά και να το αποδείξει; Κοινοποιώ αυτό το άρθρογια το λόγο ότι παρουσιάζει μια πολύ προσιτή διατύπωση του θεωρήματος του Gödel. Σας συνιστώ να διαβάσετε πρώτα το άρθρο του Tullio Regge Kurt Gödel και το διάσημο θεώρημά του

Το συμπέρασμα σχετικά με την αδυναμία ενός καθολικού κριτηρίου αλήθειας είναι άμεση συνέπεια του αποτελέσματος που προέκυψε από τον Tarski συνδυάζοντας το θεώρημα της ακαθόριστης αποφασιστικότητας του Gödel με τη δική του θεωρία αλήθειας, σύμφωνα με την οποία δεν μπορεί να υπάρξει ένα καθολικό κριτήριο αλήθειας ακόμη και για μια σχετικά στενή περιοχή της θεωρίας αριθμών, και ως εκ τούτου για κάθε επιστήμη που χρησιμοποιεί αριθμητική. Φυσικά, αυτό το αποτέλεσμα ισχύει κατά μείζονα λόγο στην έννοια της αλήθειας σε οποιοδήποτε μη μαθηματικό πεδίο γνώσης στο οποίο η αριθμητική χρησιμοποιείται ευρέως.

Καρλ Πόπερ

Ο Uspensky Vladimir Andreevich γεννήθηκε στις 27 Νοεμβρίου 1930 στη Μόσχα. Αποφοίτησε από τη Μηχανική και Μαθηματική Σχολή του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας (1952). Διδάκτωρ Φυσικομαθηματικών Επιστημών (1964). Καθηγητής, Προϊστάμενος του Τμήματος Μαθηματικής Λογικής και Θεωρίας Αλγορίθμων της Μηχανομαθηματικής Σχολής (1966). Διαβάζει μαθήματα διαλέξεων «Εισαγωγή στη Μαθηματική Λογική», «Υπολογίσιμες Συναρτήσεις», «Θεώρημα Πληρότητας Γκέντελ». Προετοίμασε 25 υποψήφιους και 2 διδάκτορες θετικών επιστημών

1. Δήλωση του προβλήματος

Το θεώρημα της μη πληρότητας, την ακριβή διατύπωση του οποίου θα δώσουμε στο τέλος αυτού του κεφαλαίου, και ίσως αργότερα (αν ενδιαφέρεται ο αναγνώστης γι' αυτό) και την απόδειξη, δηλώνει περίπου το εξής: υπό ορισμένες προϋποθέσεις σε οποιαδήποτε γλώσσα υπάρχουν αληθείς, αλλά αναπόδεικτες δηλώσεις.

Όταν διατυπώνουμε ένα θεώρημα με αυτόν τον τρόπο, σχεδόν κάθε λέξη απαιτεί κάποια εξήγηση. Επομένως, θα ξεκινήσουμε εξηγώντας τη σημασία των λέξεων που χρησιμοποιούμε σε αυτή τη διατύπωση.

1.1. Γλώσσα

Δεν θα δώσουμε τον πιο γενικό δυνατό ορισμό μιας γλώσσας, προτιμώντας να περιοριστούμε σε εκείνες τις γλωσσικές έννοιες που θα χρειαστούμε αργότερα. Υπάρχουν δύο τέτοιες έννοιες: «το αλφάβητο της γλώσσας» και «το σύνολο των αληθινών δηλώσεων της γλώσσας».

1.1.1. Αλφάβητο

Με τον όρο αλφάβητο, εννοούμε ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών σημείων (δηλαδή πράγματα που δεν μπορούν να αναλυθούν σε συστατικά μέρη). Αυτοί οι χαρακτήρες ονομάζονται γράμματα του αλφαβήτου. Με τη λέξη του αλφαβήτου εννοούμε τελική ακολουθίαγράμματα. Για παράδειγμα, οι συνηθισμένες λέξεις στα αγγλικά (συμπεριλαμβανομένων των κατάλληλων ονομάτων) είναι λέξεις του αλφαβήτου των 54 γραμμάτων (26 μικρά γράμματα, 26 κεφαλαία γράμματα, μια παύλα και μια απόστροφη). Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι φυσικοί αριθμοί στο δεκαδικός συμβολισμόςείναι λέξεις του αλφαβήτου των 10 γραμμάτων, των οποίων τα γράμματα είναι σημάδια: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Για να δηλώσουμε αλφάβητα, θα χρησιμοποιήσουμε συνηθισμένα κεφαλαία γράμματα. Αν το L είναι αλφάβητο, τότε το L; θα υποδηλώνει το σύνολο όλων των λέξεων του αλφαβήτου L, - λέξεις που σχηματίζονται από τα γράμματά του. Θα υποθέσουμε ότι οποιαδήποτε γλώσσα έχει το δικό της αλφάβητο, έτσι ώστε όλες οι εκφράσεις αυτής της γλώσσας (δηλ. - ονόματα διαφόρων αντικειμένων, δηλώσεις για αυτά τα αντικείμενα, κ.λπ.) είναι λέξεις αυτού του αλφαβήτου. Για παράδειγμα, οποιαδήποτε πρόταση της αγγλικής γλώσσας, καθώς και οποιοδήποτε κείμενο γραμμένο στα Αγγλικά, μπορεί να θεωρηθεί ως λέξη του εκτεταμένου αλφαβήτου των 54 γραμμάτων, το οποίο περιλαμβάνει επίσης σημεία στίξης, διάστημα μεταξύ των λέξεων, σύμβολο κόκκινης γραμμής και πιθανώς μερικούς άλλους χρήσιμους χαρακτήρες. Υποθέτοντας ότι οι γλωσσικές εκφράσεις είναι λέξεις κάποιου αλφαβήτου, αποκλείουμε από την εξέταση "πολυεπίπεδες" εκφράσεις όπως ???f(x)dx. Ωστόσο, αυτός ο περιορισμός δεν είναι πολύ σημαντικός, καθώς οποιαδήποτε τέτοια έκφραση, χρησιμοποιώντας κατάλληλες συμβάσεις, μπορεί να «τεντωθεί» σε γραμμική μορφή. Κάποιο σύνολο M που περιέχεται στο L; λέγεται ένα σύνολο λέξεων του αλφαβήτου L. Αν πούμε απλώς ότι το M είναι ένα σύνολο λέξεων, τότε εννοούμε ότι είναι μια λέξη κάποιου αλφαβήτου. Τώρα η παραπάνω γλωσσική υπόθεση μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: σε οποιαδήποτε γλώσσα, οποιοδήποτε σύνολο εκφράσεων είναι ένα σύνολο λέξεων.

1.1.2. Πολλοί αληθινοί ισχυρισμοί

Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα υποσύνολο T του συνόλου L; (όπου L είναι το αλφάβητο κάποιας γλώσσας που εξετάζουμε), το οποίο ονομάζεται το σύνολο των «αληθών δηλώσεων» (ή απλώς «αλήθειες»). Περνώντας απευθείας στο υποσύνολο Τ, παραλείπουμε τα ακόλουθα ενδιάμεσα βήματα συλλογισμού: πρώτον, ποιες λέξεις του αλφαβήτου L είναι καλοσχηματισμένες εκφράσεις της γλώσσας, δηλαδή έχουν ορισμένη αξίαστην ερμηνεία αυτής της γλώσσας (για παράδειγμα, 2+3, x+3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 είναι καλοσχηματισμένες εκφράσεις, ενώ εκφράσεις όπως +=x δεν είναι). δεύτερον, ποιες εκφράσεις είναι τύποι, δηλ. μπορεί να εξαρτάται από μια παράμετρο (π.χ. x=3, x=y, 2=3, 2=2). τρίτον, ποιοι από τους τύπους είναι κλειστοί τύποι, δηλ. δηλώσεις που δεν εξαρτώνται από παραμέτρους (για παράδειγμα, 2=3, 2=2). και τέλος, ποιοι κλειστοί τύποι είναι αληθείς προτάσεις (για παράδειγμα, 2=2).

1.1.3. Βασικό ζεύγος γλωσσών

1.2. "Απαράδεικτο"

«Μη αποδείξιμα» σημαίνει ότι δεν υπάρχουν στοιχεία.

1.3. Απόδειξη

Παρά το γεγονός ότι ο όρος «απόδειξη» είναι ίσως ένας από τους πιο σημαντικούς στα μαθηματικά (οι Μπουρμπάκη ξεκινούν το βιβλίο τους «Βασικές αρχές των Μαθηματικών» με τις λέξεις: «Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, το να λέγαμε «μαθηματικά» σήμαινε το ίδιο. λέγοντας «απόδειξη»»), δεν έχει ακριβή ορισμό. Γενικά, η έννοια της απόδειξης με όλους τους σημασιολογικούς της κλάδους ανήκει, μάλλον, στον τομέα της ψυχολογίας παρά στα μαθηματικά. Αλλά όπως και να έχει, η απόδειξη είναι απλώς ένα επιχείρημα που εμείς οι ίδιοι βρίσκουμε αρκετά πειστικό για να πείσουμε όλους τους άλλους.

Όταν γράφεται, η απόδειξη γίνεται λέξη σε κάποιο αλφάβητο P, όπως και κάθε άλλο Αγγλικό κείμενοείναι μια λέξη του αλφαβήτου L, ένα παράδειγμα της οποίας δόθηκε παραπάνω. Το σύνολο όλων των αποδείξεων σχηματίζει ένα υποσύνολο (και ένα αρκετά μεγάλο υποσύνολο) του συνόλου P?. Δεν θα επιχειρήσουμε να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό αυτής της «αφελούς» και της «απόλυτης» έννοιας της απόδειξης, ή -που είναι ισοδύναμο- να ορίσουμε το αντίστοιχο υποσύνολο του P?. Αντίθετα, θα εξετάσουμε ένα επίσημο ανάλογο αυτής της αόριστης έννοιας, για την οποία θα συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τον όρο «απόδειξη» σε όσα ακολουθούν. Αυτό το ανάλογο έχει δύο πολύ σημαντικά χαρακτηριστικά που το διακρίνουν από τη διαισθητική ιδέα (αν και η διαισθητική ιδέα της απόδειξης εξακολουθεί να αντανακλά αυτά τα χαρακτηριστικά σε κάποιο βαθμό). Πρώτα απ 'όλα, υποθέτουμε ότι υπάρχουν διαφορετικές έννοιες της απόδειξης, δηλαδή, επιτρέπονται διαφορετικά υποσύνολα αποδείξεων στο P?, και ακόμη περισσότερο από αυτό: θα υποθέσουμε, στην πραγματικότητα, ότι το ίδιο το αλφάβητο των αποδείξεων του P μπορεί να αλλάξει . Στη συνέχεια, θα απαιτήσουμε για κάθε τέτοια απόδειξη να υπάρχει μια αποτελεσματική μέθοδος, με άλλα λόγια, ένας αλγόριθμος που θα καθόριζε αναγκαστικά αν δεδομένη λέξηαλφάβητο P απόδειξη ή όχι. Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχει ένας αλγόριθμος που μπορεί πάντα να καθορίσει ποια πρόταση αποδεικνύει δοθεί απόδειξη. (Σε πολλές περιπτώσεις, η δήλωση που αποδεικνύεται είναι απλώς η τελευταία δήλωση στην ακολουθία των βημάτων που αποτελούν την απόδειξη.)

Έτσι, η τελική μας διατύπωση του ορισμού είναι η εξής:

(1) Έχουμε το αλφάβητο L (το αλφάβητο της γλώσσας) και το αλφάβητο P (το αλφάβητο της απόδειξης).

(2) Μας δίνεται ένα σύνολο P που είναι υποσύνολο του P? και του οποίου τα στοιχεία ονομάζονται "αποδείξεις". Στο μέλλον, θα υποθέσουμε ότι έχουμε επίσης έναν αλγόριθμο που μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε εάν μια αυθαίρετη λέξη του αλφαβήτου P είναι στοιχείο του συνόλου P, δηλαδή απόδειξη ή όχι.

(3) Επίσης έχουμε μια λειτουργία; (για την εύρεση του τι ακριβώς έχει αποδειχθεί), ποιος είναι ο τομέας; ικανοποιεί τη συνθήκη P?P?, και του οποίου το εύρος είναι στο P?. Υποθέτουμε ότι έχουμε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει αυτή τη συνάρτηση (η ακριβής σημασία των λέξεων "ο αλγόριθμος υπολογίζει μια συνάρτηση" είναι η ακόλουθη: οι τιμές συνάρτησης λαμβάνονται χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο - ένα σύνολο ειδικών κανόνων μετασχηματισμού). Θα πούμε ότι το στοιχείο p; Το P είναι απόδειξη της λέξης;(p) του αλφαβήτου L.

Τρόϊκα<Р, Р, ?>, η ικανοποίηση των συνθηκών (1)-(3) ονομάζεται απαγωγικό σύστημα πάνω από το αλφάβητο L.

Για τον αναγνώστη που είναι εξοικειωμένος με τον συνήθη τρόπο ορισμού της «απόδειξης» με όρους «αξίωμα» και «κανόνα συμπερασμάτων», θα εξηγήσουμε τώρα πώς αυτή η μέθοδος μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του ορισμού που δίνεται στην ενότητα 1.3.2. Δηλαδή, μια απόδειξη ορίζεται συνήθως ως μια ακολουθία τέτοιων γλωσσικών εκφράσεων, καθεμία από τις οποίες είναι είτε αξίωμα είτε προηγουμένως λαμβάνεται από ήδη υπάρχουσες προτάσεις χρησιμοποιώντας έναν από τους κανόνες συμπερασμάτων. Εάν προσθέσουμε μια νέα λέξη * στο αλφάβητο της γλώσσας μας, τότε μπορούμε να γράψουμε μια τέτοια απόδειξη ως μια λέξη που συντίθεται χρησιμοποιώντας το αλφάβητο που προκύπτει: η ακολουθία των εκφράσεων γίνεται η λέξη C1*C2*...*Cn. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση που καθορίζει τι ακριβώς έχει αποδειχθεί έχει την αξία της στο τμήμα αυτής της λέξης αμέσως μετά το τελευταίο γράμμα * της ακολουθίας. Ο αλγόριθμος του οποίου η ύπαρξη απαιτείται στην Ενότητα 1.3.2. ορισμοί, μπορούν εύκολα να κατασκευαστούν αφού έχουμε ορίσει επακριβώς οποιαδήποτε από τις αποδεκτές έννοιες των λέξεων "αξίωμα" και "κανόνας συμπερασμάτων".

1.4 Προσπαθεί να διατυπώσει με ακρίβεια το θεώρημα της μη πληρότητας

1.4.1. Πρώτη προσπάθεια

«Υπό ορισμένες προϋποθέσεις για το θεμελιώδες ζεύγος της γλώσσας του αλφαβήτου L και του απαγωγικού συστήματος<Р, Р, ?>πάνω από το L, υπάρχει πάντα μια λέξη στο Τ που δεν έχει απόδειξη. Αυτή η επιλογή εξακολουθεί να φαίνεται ασαφής. Συγκεκριμένα, θα μπορούσαμε εύκολα να καταλήξουμε σε όσα απαγωγικά συστήματα μας αρέσουν που να έχουν πολύ λίγες αποδείξιμες λέξεις. ;) δεν υπάρχουν λέξεις καθόλου που θα είχε στοιχεία.

1.4.2. Δεύτερη προσπάθεια

Υπάρχει ένα άλλο, περισσότερο φυσική προσέγγιση. Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια γλώσσα - με την έννοια ότι μας δίνεται ένα θεμελιώδες ζευγάρι αυτής της γλώσσας. Τώρα θα αναζητήσουμε ένα απαγωγικό σύστημα πάνω από το L (διαισθητικά, αναζητούμε μια τεχνική απόδειξης) με το οποίο θα μπορούσαμε να αποδείξουμε πώς περισσότερες λέξειςαπό το T, στο όριο όλων των λέξεων από το θεώρημα του T. Gödel περιγράφει μια κατάσταση στην οποία ένα τέτοιο απαγωγικό σύστημα (μέσω του οποίου κάθε λέξη στο Τ θα μπορούσε να αποδειχθεί) δεν υπάρχει. Έτσι, θα θέλαμε να διατυπώσουμε την ακόλουθη δήλωση:

"Υπό ορισμένες προϋποθέσεις σχετικά με το θεμελιώδες ζεύγος, δεν υπάρχει τέτοιο απαγωγικό σύστημα στο οποίο κάθε λέξη από το Τ θα έχει απόδειξη."

Ωστόσο, μια τέτοια δήλωση είναι προφανώς λανθασμένη, δεδομένου ότι είναι απαραίτητο μόνο να ληφθεί ένα απαγωγικό σύστημα στο οποίο P = L, P = P; και?(p) = p για όλα τα p στο P?; τότε κάθε λέξη από το L; είναι επιπόλαια αποδείξιμα. Επομένως, πρέπει να αποδεχθούμε κάποιους περιορισμούς σχετικά με το ποια απαγωγικά συστήματα χρησιμοποιούμε.

1.5. Συνοχή

Θα ήταν πολύ φυσικό να απαιτηθεί να αποδεικνύονται μόνο «αληθινές δηλώσεις», δηλαδή μόνο λέξεις από το Τ. Θα πούμε ότι το απαγωγικό σύστημα<Р, Р, ?>είναι συνεπής ως προς ένα θεμελιώδες ζεύγος εάν;(P)?T. Σε όλους τους επόμενους συλλογισμούς, θα μας ενδιαφέρουν μόνο τέτοια συνεπή απαγωγικά συστήματα. Εάν μας δοθεί μια γλώσσα, τότε θα ήταν εξαιρετικά δελεαστικό να βρούμε ένα τέτοιο συνεπές απαγωγικό σύστημα στο οποίο κάθε αληθινή δήλωση θα είχε μια απόδειξη. Η παραλλαγή του θεωρήματος του Γκέντελ που μας ενδιαφέρει δηλώνει ακριβώς ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις ως προς το θεμελιώδες ζεύγος, είναι αδύνατο να βρεθεί ένα τέτοιο απαγωγικό σύστημα.

1.6. πληρότητα

Λέγεται ότι το απαγωγικό σύστημα<Р,Р,?>είναι πλήρης ως προς το θεμελιώδες ζεύγος, με την προϋπόθεση ότι;(P)?T. Στη συνέχεια, η διατύπωσή μας για το θεώρημα της μη πληρότητας παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Υπό ορισμένες προϋποθέσεις σχετικά με το θεμελιώδες ζεύγος, δεν υπάρχει τέτοιο απαγωγικό σύστημα<Р,Р,?>πάνω από το L που θα ήταν ταυτόχρονα πλήρες και σχετικά συνεπές.

Βιβλιογραφία

Για την προετοιμασία αυτής της εργασίας χρησιμοποιήθηκαν υλικά από τον ιστότοπο http://filosof.historic.ru.

Ενα από τα πολλά γνωστά θεωρήματα μαθηματική λογικήτυχερός και άτυχος ταυτόχρονα. Σε αυτό είναι σαν ειδική θεωρίαΗ σχετικότητα του Αϊνστάιν. Από τη μια πλευρά, σχεδόν όλοι έχουν ακούσει κάτι για αυτούς. Από την άλλη, στη λαϊκή ερμηνεία, η θεωρία του Αϊνστάιν, όπως γνωρίζετε, "λέει ότι όλα στον κόσμο είναι σχετικά". Και το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel (στο εξής απλώς TGN), σε μια περίπου εξίσου ελεύθερη λαϊκή διατύπωση, "αποδεικνύει ότι υπάρχουν πράγματα ακατανόητα για τον ανθρώπινο νου". Και έτσι κάποιοι προσπαθούν να το προσαρμόσουν ως επιχείρημα κατά του υλισμού, ενώ άλλοι, αντίθετα, αποδεικνύουν με τη βοήθειά του ότι δεν υπάρχει θεός. Είναι αστείο όχι μόνο ότι και οι δύο πλευρές δεν μπορούν να έχουν δίκιο ταυτόχρονα, αλλά και ότι ούτε η μία ούτε η άλλη μπαίνουν στον κόπο να καταλάβουν τι λέει στην πραγματικότητα αυτό το θεώρημα.

Και λοιπόν? Παρακάτω θα προσπαθήσω να «στα δάχτυλα» να μιλήσω για αυτό. Η έκθεσή μου, φυσικά, δεν θα είναι αυστηρή και διαισθητική, αλλά θα ζητήσω από τους μαθηματικούς να μην με κρίνουν αυστηρά. Δεν αποκλείεται για τους μη μαθηματικούς (στους οποίους μάλιστα ανήκω και εγώ) να υπάρχει κάτι νέο και χρήσιμο σε όσα λέγονται παρακάτω.

Η μαθηματική λογική είναι πράγματι μια μάλλον περίπλοκη επιστήμη, και το πιο σημαντικό, όχι πολύ οικεία. Απαιτεί προσεκτικούς και αυστηρούς ελιγμούς, στους οποίους είναι σημαντικό να μην συγχέουμε το πραγματικά αποδεδειγμένο με το ότι «είναι ήδη ξεκάθαρο». Ωστόσο, ελπίζω ότι για να κατανοήσει το ακόλουθο «περίγραμμα της απόδειξης TGN», ο αναγνώστης θα χρειαστεί μόνο γνώσεις σχολικών μαθηματικών / επιστήμης υπολογιστών, δεξιότητες λογική σκέψηκαι 15-20 λεπτά χρόνου.

Απλοποιώντας κάπως, το TGN ισχυρίζεται ότι είναι αρκετό δύσκολες γλώσσεςυπάρχουν αβάσιμες δηλώσεις. Αλλά σε αυτή τη φράση, σχεδόν κάθε λέξη χρειάζεται μια εξήγηση.

Ας ξεκινήσουμε προσπαθώντας να καταλάβουμε τι είναι η απόδειξη. Ας πάρουμε κάποιο σχολικό πρόβλημα στην αριθμητική. Για παράδειγμα, ας απαιτείται να αποδειχθεί η ορθότητα του ακόλουθου απλού τύπου: "" (Σας υπενθυμίζω ότι το σύμβολο διαβάζεται "για οποιοδήποτε" και ονομάζεται "καθολικός ποσοτικός"). Μπορεί να αποδειχθεί με ταυτόσημο μετασχηματισμό, ας πούμε, ως εξής:

Η μετάβαση από τον έναν τύπο στον άλλο συμβαίνει σύμφωνα με ορισμένους γνωστούς κανόνες. Η μετάβαση από τον 4ο τύπο στον 5ο συνέβη, ας πούμε, επειδή κάθε αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του - αυτό είναι το αξίωμα της αριθμητικής. Και η όλη διαδικασία απόδειξης, έτσι, μεταφράζει τον τύπο στη δυαδική τιμή TRUE. Το αποτέλεσμα θα μπορούσε να είναι ΛΑΘΟΣ - αν διαψεύδαμε κάποια φόρμουλα. Σε αυτή την περίπτωση, θα αποδείξαμε την άρνησή του. Είναι δυνατό να φανταστεί κανείς ένα πρόγραμμα (και τέτοια προγράμματα στην πραγματικότητα γράφονται) που θα αποδείκνυε τέτοιες (και πιο σύνθετες) προτάσεις χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση.

Ας πούμε το ίδιο και λίγο πιο επίσημα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο που αποτελείται από σειρές χαρακτήρων κάποιου αλφαβήτου και υπάρχουν κανόνες με τους οποίους ένα υποσύνολο του λεγόμενου δηλώσεις- δηλαδή φράσεις με γραμματική σημασία, καθεμία από τις οποίες είναι σωστή ή ψευδής. Μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει προτάσεις από μία από τις δύο τιμές: TRUE ή FALSE (δηλαδή, τις αντιστοιχίζει σε ένα Boolean σύνολο δύο στοιχείων).

Ας καλέσουμε ένα τέτοιο ζεύγος - ένα σύνολο δηλώσεων και μια συνάρτηση από έως - "γλώσσα δηλώσεων". Σημειώστε ότι με την καθημερινή έννοια η έννοια της γλώσσας είναι κάπως ευρύτερη. Για παράδειγμα, η ρωσική φράση "Λοιπόν, έλα εδώ!"δεν είναι αληθές και όχι ψευδές, δηλαδή από την άποψη της μαθηματικής λογικής δεν είναι δήλωση.

Για ό,τι ακολουθεί, χρειαζόμαστε την έννοια του αλγορίθμου. Δεν θα δώσω εδώ τον επίσημο ορισμό του - αυτό θα μας παρέσυρε αρκετά. Θα περιοριστώ στο άτυπο: "αλγόριθμος"- αυτή η ακολουθία μονοσήμαντων οδηγιών ("πρόγραμμα"), η οποία ανά πεπερασμένος αριθμόςβήματαμετατρέπει τα δεδομένα εισόδου σε έξοδο. Η πλάγια γραφή είναι θεμελιωδώς σημαντική - εάν το πρόγραμμα κολλήσει σε κάποια αρχικά δεδομένα, τότε δεν περιγράφει τον αλγόριθμο. Για απλότητα και εφαρμογή στην περίπτωσή μας, ο αναγνώστης μπορεί να θεωρήσει ότι ένας αλγόριθμος είναι ένα πρόγραμμα γραμμένο σε οποιαδήποτε γνωστή γλώσσα προγραμματισμού, το οποίο, για οποιαδήποτε δεδομένα εισόδου από μια δεδομένη κλάση, είναι εγγυημένο ότι θα ολοκληρώσει την εργασία του με ένα αποτέλεσμα Boole.

Ας αναρωτηθούμε: υπάρχει ένας «αλγόριθμος απόδειξης» για κάθε συνάρτηση (ή, εν συντομία, "επαγωγικός") ισοδύναμη με αυτήν τη συνάρτηση, δηλαδή μεταφράζοντας κάθε πρόταση στην ίδια ακριβώς boolean τιμή με αυτήν; Πιο συνοπτικά, το ίδιο ερώτημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: είναι κάθε συνάρτηση πάνω από ένα σύνολο προτάσεων υπολογίσιμος? Όπως μπορείτε ήδη να μαντέψετε, από την εγκυρότητα του TGN προκύπτει ότι όχι, όχι καμία - υπάρχουν μη υπολογίσιμες συναρτήσεις αυτού του τύπου. Με άλλα λόγια, δεν μπορεί να αποδειχθεί κάθε αληθής δήλωση.

Μπορεί κάλλιστα αυτή η δήλωση να σας προκαλέσει μια εσωτερική διαμαρτυρία. Αυτό οφείλεται σε διάφορες συνθήκες. Πρώτον, όταν διδασκόμαστε σχολικά μαθηματικά, τότε μερικές φορές υπάρχει μια εσφαλμένη εντύπωση για την σχεδόν πλήρη ταυτότητα των φράσεων «το θεώρημα είναι αληθές» και «είναι δυνατό να αποδειχθεί ή να επαληθευτεί το θεώρημα». Αλλά αν το σκεφτείς, δεν είναι καθόλου προφανές. Μερικά θεωρήματα αποδεικνύονται πολύ απλά (για παράδειγμα, με την απαρίθμηση ενός μικρού αριθμού επιλογών), και μερικά είναι πολύ δύσκολα. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το περίφημο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά:

η απόδειξη του οποίου βρέθηκε μόλις τρεισήμισι αιώνες μετά την πρώτη διατύπωση (και απέχει πολύ από το στοιχειώδες). Είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ της αλήθειας μιας δήλωσης και της αποδεικτικότητάς της. Δεν προκύπτει από πουθενά ότι δεν υπάρχουν αληθείς, αλλά αναπόδεικτες (και όχι πλήρως επαληθεύσιμες) δηλώσεις.

Το δεύτερο διαισθητικό επιχείρημα κατά του TGN είναι πιο λεπτό. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποια αναπόδεικτη (μέσα στο πλαίσιο αυτής της απαγωγικής) δήλωσης. Τι μας εμποδίζει να το δεχτούμε ως νέο αξίωμα; Έτσι, θα περιπλέκουμε ελαφρώς το σύστημα αποδείξεών μας, αλλά αυτό δεν είναι τρομερό. Αυτό το επιχείρημα θα ήταν απολύτως σωστό αν υπήρχε ένας πεπερασμένος αριθμός αναπόδεικτων προτάσεων. Στην πράξη, μπορεί να συμβεί το εξής - αφού θέσετε ένα νέο αξίωμα, θα σκοντάψετε σε μια νέα αναπόδεικτη δήλωση. Πάρτε το ως άλλο αξίωμα - θα σκοντάψετε στο τρίτο. Και ούτω καθεξής επί άπειρον. Λένε ότι το deductica θα μείνει ατελής. Μπορούμε επίσης να λάβουμε αυστηρά μέτρα ώστε ο αλγόριθμος απόδειξης να τελειώνει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων με κάποιο αποτέλεσμα για οποιαδήποτε δήλωση της γλώσσας. Ταυτόχρονα όμως θα αρχίσει να λέει ψέματα - να οδηγεί στην αλήθεια για λανθασμένες δηλώσεις ή στα ψέματα - για τους πιστούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι η απαγωγική αντιφατικός. Έτσι, μια ακόμη διατύπωση του TGN ακούγεται ως εξής: "Υπάρχουν προτασιακές γλώσσες για τις οποίες είναι αδύνατη η πλήρης συνεπής απαγωγή" - εξ ου και το όνομα του θεωρήματος.

Μερικές φορές ονομάζεται «θεώρημα Gödel» είναι η δήλωση ότι οποιαδήποτε θεωρία περιέχει προβλήματα που δεν μπορούν να επιλυθούν στο πλαίσιο της ίδιας της θεωρίας και απαιτούν τη γενίκευσή της. Κατά μία έννοια αυτό είναι αλήθεια, αν και μια τέτοια διατύπωση συσκοτίζει το ζήτημα παρά το διευκρινίζει.

Σημειώνω επίσης ότι αν μιλούσαμε για τις συνήθεις λειτουργίες που εμφανίζουν το σετ πραγματικούς αριθμούςσε αυτό, τότε η "μη υπολογισιμότητα" της συνάρτησης δεν θα εκπλήσσει κανέναν (απλώς μην συγχέετε τις "υπολογίσιμες συναρτήσεις" και τους "υπολογιζόμενους αριθμούς" - αυτά είναι διαφορετικά πράγματα). Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι, ας πούμε, στην περίπτωση μιας συνάρτησης, πρέπει να είστε πολύ τυχεροί με το επιχείρημα έτσι ώστε η διαδικασία υπολογισμού της ακριβούς δεκαδικής αναπαράστασης της τιμής αυτής της συνάρτησης να τελειώνει σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Και πιθανότατα θα το υπολογίσετε χρησιμοποιώντας μια άπειρη σειρά, και αυτός ο υπολογισμός δεν θα οδηγήσει ποτέ σε ακριβές αποτέλεσμα, αν και μπορεί να πλησιάσει όσο θέλετε - απλώς και μόνο επειδή η αξία του ημιτονοειδούς των περισσότερων από τα επιχειρήματα είναι παράλογη. Το TGN απλώς μας λέει ότι ακόμη και μεταξύ συναρτήσεων των οποίων τα ορίσματα είναι συμβολοσειρές και οι τιμές είναι μηδέν ή ένα, υπάρχουν και μη υπολογιστικές συναρτήσεις, αν και είναι διατεταγμένες με εντελώς διαφορετικό τρόπο.

Για όσα ακολουθούν, θα περιγράψουμε τη «γλώσσα της τυπικής αριθμητικής». Θεωρήστε μια κατηγορία συμβολοσειρών κειμένου πεπερασμένου μήκους, που αποτελούνται από αραβικούς αριθμούς, μεταβλητές (γράμματα Λατινικό αλφάβητο), παίρνοντας φυσικές αξίες, χώρους, χαρακτήρες αριθμητικές πράξεις, ισότητα και ανισότητα, ποσοτικοί δείκτες («υπάρχει») και («για οποιοδήποτε») και, ίσως, κάποια άλλα σύμβολα (ο ακριβής αριθμός και η σύνθεσή τους δεν έχουν σημασία για εμάς). Είναι σαφές ότι δεν έχουν νόημα όλες αυτές οι γραμμές (για παράδειγμα, το "" είναι ανοησία). Το υποσύνολο των εκφράσεων με νόημα από αυτήν την κλάση (δηλαδή, συμβολοσειρές που είναι αληθείς ή ψευδείς από την άποψη της συνηθισμένης αριθμητικής) θα είναι το σύνολο των δηλώσεών μας.

Παραδείγματα τυπικών αριθμητικών δηλώσεων:

και τα λοιπά. Τώρα ας ονομάσουμε έναν "τύπο με ελεύθερη παράμετρο" (FSP) μια συμβολοσειρά που γίνεται εντολή αν αντικαταστήσουμε σε αυτήν ως αυτήν την παράμετρο φυσικός αριθμός. Παραδείγματα FSP (με παράμετρο):

και τα λοιπά. Με άλλα λόγια, τα FSP είναι ισοδύναμα με συναρτήσεις ενός φυσικού ορίσματος με τιμή Boolean.

Σημειώστε το σύνολο όλων των FSP με το γράμμα . Είναι σαφές ότι μπορεί να παραγγελθεί (για παράδειγμα, πρώτα γράφουμε τύπους ενός γράμματος ταξινομημένοι αλφαβητικά, ακολουθούμενοι από τύπους δύο γραμμάτων κ.λπ.· σύμφωνα με το ποιο αλφάβητο θα γίνει η σειρά δεν είναι θεμελιώδες για εμάς). Έτσι, οποιοδήποτε FSP αντιστοιχεί στον αριθμό του στην ταξινομημένη λίστα και θα το συμβολίσουμε .

Ας στραφούμε τώρα σε ένα σκίτσο της απόδειξης του TGN στην ακόλουθη διατύπωση:

Για την προτασιακή γλώσσα της τυπικής αριθμητικής, δεν υπάρχει πλήρης συνεπής έκπτωση.

Θα το αποδείξουμε με αντίφαση.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει μια τέτοια απαγωγική. Ας περιγράψουμε τον ακόλουθο βοηθητικό αλγόριθμο που εκχωρεί μια boolean τιμή σε έναν φυσικό αριθμό ως εξής:

Με απλά λόγια, ο αλγόριθμος καταλήγει στην τιμή TRUE εάν και μόνο εάν το αποτέλεσμα της αντικατάστασης στο FSP του δικού του αριθμού στη λίστα μας δίνει μια ψευδή δήλωση.

Εδώ φτάνουμε στο μόνο μέρος όπου θα ζητήσω από τον αναγνώστη να δεχτεί το λόγο μου.

Προφανώς, σύμφωνα με την παραπάνω υπόθεση, οποιοδήποτε FSP από μπορεί να συσχετιστεί με έναν αλγόριθμο που περιέχει έναν φυσικό αριθμό στην είσοδο και μια Boolean τιμή στην έξοδο. Λιγότερο προφανές είναι το αντίθετο:

Η απόδειξη αυτού του λήμματος θα απαιτούσε τουλάχιστον έναν τυπικό, όχι έναν διαισθητικό, ορισμό της έννοιας του αλγορίθμου. Ωστόσο, αν το σκεφτείς λίγο, είναι αρκετά εύλογο. Πράγματι, οι αλγόριθμοι είναι γραμμένοι σε αλγοριθμικές γλώσσες, μεταξύ των οποίων υπάρχουν εξωτικές όπως, για παράδειγμα, το Brainfuck , το οποίο αποτελείται από οκτώ λέξεις ενός χαρακτήρα, στις οποίες, ωστόσο, μπορεί να εφαρμοστεί οποιοσδήποτε αλγόριθμος. Θα ήταν περίεργο εάν η πλουσιότερη γλώσσα τυπικών αριθμητικών τύπων που περιγράψαμε αποδεικνυόταν φτωχότερη - αν και, αναμφίβολα, δεν είναι πολύ κατάλληλη για συνηθισμένο προγραμματισμό.

Αφού περάσουμε αυτό το ολισθηρό μέρος, φτάνουμε γρήγορα στο τέλος.

Έτσι, περιγράψαμε τον αλγόριθμο παραπάνω. Σύμφωνα με το λήμμα που σας ζήτησα να πιστέψετε, υπάρχει ένα αντίστοιχο FSP. Έχει κάποιο αριθμό στη λίστα - ας πούμε . Ας αναρωτηθούμε, ποιο είναι το νόημα; Ας είναι ΑΛΗΘΕΙΑ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την κατασκευή του αλγορίθμου (και επομένως τη συνάρτηση που ισοδυναμεί με αυτόν), αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της αντικατάστασης ενός αριθμού στη συνάρτηση είναι FALSE. Το αντίθετο ελέγχεται με τον ίδιο τρόπο: από FALSE ακολουθεί TRUE. Φτάσαμε σε μια αντίφαση, που σημαίνει ότι η αρχική υπόθεση είναι λανθασμένη. Έτσι, για την τυπική αριθμητική, δεν υπάρχει πλήρης συνεπής έκπτωση. Q.E.D.

Εδώ είναι σκόπιμο να θυμηθούμε τον Επιμενίδη (βλ. το πορτρέτο στον τίτλο), ο οποίος, όπως γνωρίζετε, δήλωσε ότι όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες, όντας και ο ίδιος Κρητικός. Σε μια πιο συνοπτική διατύπωση, η δήλωσή του (γνωστή ως το «παράδοξο του ψεύτη») μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Λέω ψέματα». Ακριβώς μια τέτοια δήλωση, που η ίδια διακηρύσσει την ανακρίβειά της, χρησιμοποιήσαμε για την απόδειξη.

Εν κατακλείδι, θέλω να σημειώσω ότι το TGN δεν ισχυρίζεται κάτι ιδιαίτερα εκπληκτικό. Εξάλλου, όλοι έχουν συνηθίσει εδώ και πολύ καιρό το γεγονός ότι δεν μπορούν να αναπαρασταθούν όλοι οι αριθμοί ως αναλογία δύο ακεραίων (θυμηθείτε, αυτή η δήλωση έχει μια πολύ κομψή απόδειξη που είναι πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια;). Και οι ρίζες των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές δεν είναι επίσης όλοι αριθμοί. Και τώρα αποδείχθηκε ότι δεν είναι όλες οι συναρτήσεις ενός φυσικού ορίσματος υπολογίσιμες.

Το σκίτσο της απόδειξης που δόθηκε ήταν για τυπική αριθμητική, αλλά δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το THN ισχύει και για πολλές άλλες προτασιακές γλώσσες. Φυσικά, δεν είναι όλες οι γλώσσες έτσι. Για παράδειγμα, ας ορίσουμε μια γλώσσα όπως αυτή:

«Κάθε φράση κινέζικαείναι αληθινή δήλωση εάν περιέχεται στο βιβλίο αποσπασμάτων του συντρόφου Μάο Τσε Τουνγκ και είναι λανθασμένη αν δεν περιέχεται.

Τότε ο αντίστοιχος πλήρης και συνεπής αλγόριθμος απόδειξης (μπορεί να ονομαστεί «δογματικός απαγωγικός») μοιάζει κάπως έτσι:

«Ξεφυλλίστε το βιβλίο αποσπασμάτων του συντρόφου Μάο Τσε Τουνγκ μέχρι να βρείτε τη δήλωση που ψάχνετε. Αν βρεθεί, τότε είναι αληθές, και αν το βιβλίο αποσπασμάτων έχει τελειώσει και η δήλωση δεν βρεθεί, τότε είναι ψευδής.

Εδώ μας σώζει το γεγονός ότι οποιαδήποτε παραπομπή είναι προφανώς πεπερασμένη, άρα η διαδικασία της «απόδειξης» αναπόφευκτα θα τελειώσει. Επομένως, το TGN δεν μπορεί να εφαρμοστεί στη γλώσσα των δογματικών δηλώσεων. Αλλά μιλούσαμε για πολύπλοκες γλώσσες, σωστά;

Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel ήταν ένα σημείο καμπής στα μαθηματικά του 20ού αιώνα. Και στα χειρόγραφά του, που εκδόθηκαν μετά τον θάνατό του, διατηρήθηκε η λογική απόδειξη της ύπαρξης του Θεού. Στις τελευταίες χριστουγεννιάτικες αναγνώσεις, μια ενδιαφέρουσα αναφορά για αυτή τη ελάχιστα γνωστή κληρονομιά έγινε από τον Αναπληρωτή Καθηγητή της Θεολογικής Σχολής Tobolsk, Υποψήφιο Θεολογίας, Ιερέα Dimitri Kiryanov. Ο «NS» ζήτησε να εξηγήσει τις βασικές ιδέες του επιστήμονα.

Θεωρήματα μη πληρότητας Gödel: Μια τρύπα στα μαθηματικά

- Μπορείτε με κάποιο τρόπο να εξηγήσετε γενικά τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Gödel; Ο κουρέας ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Έχει κάποια σχέση αυτό το περίφημο παράδοξο;

Η κύρια θέση της λογικής απόδειξης της ύπαρξης του Θεού, που προτάθηκε από τον Kurt Gödel: "Ο Θεός υπάρχει στη σκέψη. Αλλά η ύπαρξη στην πραγματικότητα είναι μεγαλύτερη από την ύπαρξη μόνο στη σκέψη. Επομένως, ο Θεός πρέπει να υπάρχει." Στη φωτογραφία: ο συγγραφέας του θεωρήματος της μη πληρότητας Kurt Godel με τον φίλο του, συγγραφέα της θεωρίας της σχετικότητας Albert Einstein. Πρέστον. Αμερική. 1950

— Ναι, φυσικά και έχει. Πριν από τον Gödel, υπήρχε το πρόβλημα της αξιωματικοποίησης των μαθηματικών και το πρόβλημα τέτοιων παράδοξων προτάσεων που θα μπορούσαν επίσημα να γραφτούν σε οποιαδήποτε γλώσσα. Για παράδειγμα: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής." Ποια είναι η αλήθεια αυτής της δήλωσης; Αν είναι αλήθεια, τότε είναι ψευδές, αν είναι ψευδές, τότε είναι αλήθεια. με αποτέλεσμα ένα γλωσσικό παράδοξο. Ο Gödel ερεύνησε την αριθμητική και έδειξε στα θεωρήματά του ότι η συνοχή της δεν μπορεί να αποδειχθεί από τις αυτονόητες αρχές της: τα αξιώματα της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, της διαίρεσης, του πολλαπλασιασμού κ.λπ. Χρειαζόμαστε κάποιες επιπλέον υποθέσεις για να το δικαιολογήσουμε. Είναι στο πολύ η απλούστερη θεωρία, αλλά τι γίνεται με πιο σύνθετες (εξισώσεις φυσικής κ.λπ.)! Για να δικαιολογήσουμε κάποιο συλλογιστικό σύστημα, αναγκαζόμαστε πάντα να καταφεύγουμε σε κάποιο πρόσθετο συλλογισμό, που δεν δικαιολογείται στα πλαίσια του συστήματος.

Πρώτα απ 'όλα, αυτό δείχνει τους περιορισμούς των αξιώσεων του ανθρώπινου νου στη γνώση της πραγματικότητας. Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε ότι θα χτίσουμε κάποιου είδους ολοκληρωμένη θεωρία για το σύμπαν που θα εξηγεί τα πάντα - μια τέτοια θεωρία δεν μπορεί να είναι επιστημονική.

Πώς νιώθουν τώρα οι μαθηματικοί για τα θεωρήματα του Γκέντελ; Κανείς δεν προσπαθεί να τους διαψεύσει, με κάποιο τρόπο να φύγει;

«Είναι σαν να προσπαθείς να διαψεύσεις το Πυθαγόρειο θεώρημα. Τα θεωρήματα έχουν μια αυστηρή λογική απόδειξη. Ταυτόχρονα, γίνονται προσπάθειες να βρεθούν περιορισμοί στην εφαρμογή των θεωρημάτων του Gödel. Αλλά το μεγαλύτερο μέρος της διαμάχης περιστρέφεται γύρω από τις φιλοσοφικές επιπτώσεις των θεωρημάτων του Gödel.

Πόσο περίπλοκη είναι η απόδειξη του Gödel για την ύπαρξη του Θεού; Είναι τελειωμένο;

- Εργάστηκε λεπτομερώς, αν και ο ίδιος ο επιστήμονας δεν τόλμησε να το δημοσιεύσει μέχρι τον θάνατό του. Ο Gödel αναπτύσσει μια οντολογική (μεταφυσική. — "NS") ένα επιχείρημα που προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Anselm of Canterbury. Σε μια συμπυκνωμένη μορφή, αυτό το επιχείρημα μπορεί να εκφραστεί ως εξής: «Ο Θεός, εξ ορισμού, είναι Αυτός που είναι μεγαλύτερος από τον οποίο τίποτα δεν μπορεί να συλληφθεί. Ο Θεός υπάρχει στη σκέψη. Αλλά η ύπαρξη στην πραγματικότητα είναι μεγαλύτερη από την ύπαρξη μόνο στη σκέψη. Επομένως, ο Θεός πρέπει να υπάρχει». Το επιχείρημα του Anselm αναπτύχθηκε αργότερα από τον René Descartes και τον Gottfried Wilhelm Leibniz. Έτσι, σύμφωνα με τον Ντεκάρτ, το να σκέφτεσαι το Ανώτερο Τέλειο Όν, που στερείται ύπαρξης, σημαίνει να πέφτεις σε μια λογική αντίφαση. Στο πλαίσιο αυτών των ιδεών, ο Gödel αναπτύσσει τη δική του εκδοχή της απόδειξης· χωράει κυριολεκτικά σε δύο σελίδες. Δυστυχώς, η παρουσίαση του επιχειρήματός του είναι αδύνατη χωρίς την εισαγωγή μιας πολύ περίπλοκης τροπικής λογικής στα θεμέλια.

Φυσικά, η λογική άψογη των συμπερασμάτων του Γκόντελ δεν αναγκάζει έναν άνθρωπο να γίνει πιστός υπό την πίεση της δύναμης των αποδείξεων. Δεν πρέπει να είμαστε αφελείς και να πιστεύουμε ότι μπορούμε να πείσουμε οποιονδήποτε με λογική σκεπτόμενο άτομοπιστεύουν στον Θεό μέσω οντολογικών επιχειρημάτων ή άλλων αποδεικτικών στοιχείων. Η πίστη γεννιέται όταν κάποιος έρχεται πρόσωπο με πρόσωπο με την εμφανή παρουσία της υπέρτατης υπερβατικής Πραγματικότητας του Θεού. Αλλά υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο που το οντολογικό επιχείρημα οδήγησε στη θρησκευτική πίστη, και αυτός είναι ο συγγραφέας Clive Staples Lewis, ο οποίος το παραδέχτηκε ο ίδιος.

Το μακρινό μέλλον είναι το μακρινό παρελθόν

Πώς ένιωθαν οι σύγχρονοι του Gödel για αυτόν; Ήταν φίλος με κάποιον από τους μεγάλους επιστήμονες;

Ο βοηθός του Αϊνστάιν στο Πρίνστον το μαρτυρεί αυτό ο μόνος άνθρωποςμε τον οποίο ήταν φίλοι τα τελευταία χρόνιαη ζωή ήταν ο Kurt Gödel. Ήταν διαφορετικοί σχεδόν σε όλα - ο Αϊνστάιν είναι κοινωνικός, ευδιάθετος και ο Γκέντελ είναι εξαιρετικά σοβαρός, εντελώς μοναχικός και δύσπιστος. Είχαν όμως συνολική ποιότητα: και οι δύο πήγαν κατευθείαν και ειλικρινά στα κεντρικά ζητήματα της επιστήμης και της φιλοσοφίας. Παρά τη φιλία του με τον Αϊνστάιν, ο Γκέντελ είχε τη δική του συγκεκριμένη άποψη για τη θρησκεία. Απέρριψε την ιδέα του Θεού ως απρόσωπου όντος, όπως ήταν ο Θεός για τον Αϊνστάιν. Με την ευκαιρία αυτή ο Gödel παρατήρησε: «Η θρησκεία του Αϊνστάιν είναι πολύ αφηρημένη, όπως αυτή του Σπινόζα και της ινδικής φιλοσοφίας. Ο Θεός του Σπινόζα είναι λιγότερο από άτομο. Ο Θεός μου είναι κάτι περισσότερο από άτομο. γιατί ο Θεός μπορεί να παίξει το ρόλο ενός ανθρώπου». Μπορεί να υπάρχουν πνεύματα που δεν έχουν σώμα, αλλά μπορούν να επικοινωνήσουν μαζί μας και να επηρεάσουν τον κόσμο».

Πώς βρέθηκε ο Gödel στην Αμερική; Φεύγοντας από τους Ναζί;

- Ναι, ήρθε στην Αμερική το 1940 από τη Γερμανία, παρά το γεγονός ότι οι Ναζί τον αναγνώρισαν ως Άριο και σπουδαίο επιστήμονα, απελευθερώνοντάς τον από Στρατιωτική θητεία. Αυτός και η σύζυγός του Adele διέσχισαν τη Ρωσία κατά μήκος του Υπερσιβηρικού Σιδηροδρόμου. Δεν άφησε αναμνήσεις από αυτό το ταξίδι. Η Adele θυμάται μόνο συνεχής φόβοςτο βράδυ, ότι θα σταματήσουν και θα επιστρέψουν πίσω. Μετά από οκτώ χρόνια ζωής στην Αμερική, ο Gödel έγινε πολίτης των ΗΠΑ. Όπως όλοι οι αιτούντες υπηκοότητα, έπρεπε να απαντήσει σε ερωτήσεις σχετικά με το Σύνταγμα των ΗΠΑ. Όντας σχολαστικός άνθρωπος, προετοιμάστηκε για αυτή την εξέταση πολύ προσεκτικά. Τέλος, είπε ότι διαπίστωσε μια ασυνέπεια στο Σύνταγμα: «Ανακάλυψα μια λογικά θεμιτή πιθανότητα στην οποία οι ΗΠΑ θα μπορούσαν να γίνουν δικτατορία». Οι φίλοι του αναγνώρισαν ότι, ανεξάρτητα από τα λογικά πλεονεκτήματα του επιχειρήματος του Γκέντελ, αυτή η πιθανότητα ήταν καθαρά υποθετικής φύσεως και προειδοποίησαν κατά των μακροχρόνιων συζητήσεων για το θέμα στην εξέταση.

Χρησιμοποίησαν ο Γκέντελ και ο Αϊνστάιν τις ιδέες του άλλου; επιστημονική εργασία?

— Το 1949, ο Gödel εξέφρασε τις κοσμολογικές του ιδέες σε ένα μαθηματικό δοκίμιο, το οποίο, σύμφωνα με τον Albert Einstein, ήταν μια σημαντική συμβολή γενική θεωρίασχετικότητα. Ο Gödel πίστευε ότι ο χρόνος - "αυτή η μυστηριώδης και ταυτόχρονα αυτοαντιφατική οντότητα που αποτελεί τη βάση του κόσμου και της δικής μας ύπαρξης" - θα γινόταν τελικά μεγαλύτερη ψευδαίσθηση. «Κάποτε» θα πάψει να υπάρχει, και θα έρθει μια άλλη μορφή ύπαρξης, που μπορεί να ονομαστεί αιωνιότητα. Αυτή η ιδέα του χρόνου οδήγησε τον μεγάλο λογικό σε ένα απροσδόκητο συμπέρασμα. Έγραψε: «Είμαι πεπεισμένος για μια μεταθανάτια ζωή, ανεξάρτητα από τη θεολογία. Αν ο κόσμος είναι έξυπνα κατασκευασμένος, τότε πρέπει να υπάρχει μια μεταθανάτια ζωή».

«Ο χρόνος είναι μια αυτοαντιφατική οντότητα». Ακούγεται περίεργο. έχει μερικά φυσική έννοια?

Ο Γκέντελ έδειξε ότι στο πλαίσιο της εξίσωσης του Αϊνστάιν είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα κοσμολογικό μοντέλο με κλειστό χρόνο, όπου το μακρινό παρελθόν και το μακρινό μέλλον συμπίπτουν. Σε αυτό το μοντέλο, γίνεται θεωρητικά πιθανό ταξίδιεγκαίρως. Ακούγεται περίεργο, αλλά είναι μαθηματικά εκφραστικό - αυτό είναι το θέμα. Αυτό το μοντέλο μπορεί να έχει ή να μην έχει πειραματικές επιπτώσεις. Είναι ένα θεωρητικό κατασκεύασμα που μπορεί να είναι χρήσιμο ή όχι στην κατασκευή νέων κοσμολογικών μοντέλων. Η σύγχρονη θεωρητική φυσική, ιδιαίτερα η κβαντική κοσμολογία, έχει μια τόσο περίπλοκη μαθηματική δομή που είναι πολύ δύσκολο να δοθεί σε αυτές τις δομές μια ξεκάθαρη φιλοσοφική κατανόηση. Επιπλέον, ορισμένες από τις θεωρητικές κατασκευές του είναι ακόμα πειραματικά μη επαληθεύσιμες για τον απλό λόγο ότι η επαλήθευση τους απαιτεί την ανίχνευση σωματιδίων πολύ υψηλής ενέργειας. Θυμηθείτε πώς οι άνθρωποι τρόμαξαν με την εκτόξευση του Large Hadron Collider: funds μέσα μαζικής ενημέρωσηςτρόμαζε συνεχώς τους ανθρώπους με την προσέγγιση του τέλους του κόσμου. Στην πραγματικότητα, ένα σοβαρό επιστημονικό πείραμανα δοκιμάσει μοντέλα κβαντικής κοσμολογίας και τις λεγόμενες «μεγάλες θεωρίες ενοποίησης». Εάν ήταν δυνατό να ανιχνευθούν τα λεγόμενα σωματίδια Higgs, τότε αυτό θα ήταν το επόμενο βήμα στην κατανόηση των περισσότερων πρώιμα στάδιατην ύπαρξη του σύμπαντος μας. Αλλά μέχρι να υπάρξουν πειραματικά δεδομένα, τα ανταγωνιστικά μοντέλα της κβαντικής κοσμολογίας συνεχίζουν να είναι απλώς μαθηματικά μοντέλα.

Πίστη και διαίσθηση

«…Ο Θεός μου είναι κάτι περισσότερο από άτομο. αφού ο Θεός μπορεί να παίξει το ρόλο ενός ατόμου…» Απέχει ακόμα η πίστη του Γκέντελ από την Ορθόδοξη ομολογία;

— Ελάχιστες από τις δηλώσεις του Γκέντελ για την πίστη του έχουν διατηρηθεί, συλλέγονται σπιθαμή προς σπιθαμή. Παρά το γεγονός ότι ο Gödel έκανε τα πρώτα προσχέδια της δικής του εκδοχής του επιχειρήματος ήδη από το 1941, μέχρι το 1970, φοβούμενος τη γελοιοποίηση των συναδέλφων του, δεν μίλησε για αυτό. Τον Φεβρουάριο του 1970, διαισθανόμενος τον θάνατό του να πλησιάζει, επέτρεψε στον βοηθό του να αντιγράψει μια εκδοχή της απόδειξης του. Μετά τον θάνατο του Gödel το 1978, μια ελαφρώς διαφορετική εκδοχή του οντολογικού επιχειρήματος βρέθηκε στις εργασίες του. Η σύζυγος του Kurt Gödel, Adele, είπε δύο ημέρες μετά τον θάνατο του συζύγου της ότι ο Gödel, «αν και δεν πήγαινε στην εκκλησία, ήταν θρησκευόμενος και διάβαζε τη Βίβλο στο κρεβάτι κάθε Κυριακή πρωί».

Όταν μιλάμε για επιστήμονες όπως ο Γκέντελ, ο Αϊνστάιν ή, ας πούμε, ο Γαλιλαίος ή ο Νεύτωνας, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι δεν ήταν άθεοι. Είδαν ότι πίσω από το Σύμπαν υπάρχει ο Λόγος, ένας συγκεκριμένος Υψηλή ισχύς. Για πολλούς επιστήμονες, η πίστη στην ύπαρξη Ανώτατη Νοημοσύνηήταν μια από τις συνέπειες του επιστημονικού τους προβληματισμού και αυτός ο προβληματισμός δεν οδηγούσε πάντα στην εμφάνιση μιας βαθιάς θρησκευτικής σύνδεσης μεταξύ ανθρώπου και Θεού. Όσον αφορά τον Gödel, μπορεί κανείς να πει ότι ένιωθε την ανάγκη αυτής της σύνδεσης, αφού τόνισε ότι ήταν θεϊστής, ότι σκεφτόταν τον Θεό ως πρόσωπο. Αλλά, φυσικά, η πίστη του δεν μπορεί να ονομαστεί ορθόδοξη. Ήταν, θα λέγαμε, «Λουθηρανός του σπιτιού».

- Μπορείς να δώσεις ιστορικά παραδείγματα: Πώς πιστεύουν διαφορετικοί επιστήμονες στον Θεό; Εδώ είναι η γενετική του Francis Collins, σύμφωνα με τις ομολογίες του, η μελέτη της δομής του DNA οδήγησε στην πίστη στον Θεό ...

«Αυτή η φυσική γνώση του Θεού δεν αρκεί για τη γνώση του Θεού. Δεν αρκεί να ανακαλύψουμε τον Θεό μελετώντας τη φύση – είναι σημαντικό να μάθουμε να Τον γνωρίζουμε μέσω της Αποκάλυψης που έδωσε ο Θεός στον άνθρωπο. Η πίστη ενός ατόμου, είτε είναι επιστήμονας είτε όχι, βασίζεται πάντα σε κάτι που υπερβαίνει τα απλά λογικά ή επιστημονικά επιχειρήματα. Ο Φράνσις Κόλινς γράφει ότι ήρθε στην πίστη σε ηλικία 27 ετών μετά από μια μακρά διανοητική διαμάχη με τον εαυτό του και υπό την επιρροή του Κλάιβ Στέιπλς Λιούις. Δύο άνθρωποι βρίσκονται στην ίδια ιστορική κατάσταση, κάτω από τις ίδιες αρχικές συνθήκες: ο ένας γίνεται πιστός, ο άλλος άθεος. Η μελέτη του DNA από μόνη της οδηγεί στην πίστη στην ύπαρξη του Θεού. Ο άλλος μελετά και δεν έρχεται σε αυτό. Δύο άνθρωποι βλέπουν την εικόνα: ο ένας πιστεύει ότι είναι όμορφη και ο άλλος λέει: "Έτσι, μια συνηθισμένη εικόνα!" Ο ένας έχει γούστο, διαίσθηση και ο άλλος όχι. Καθηγούμενος του Ορθοδόξου Αγίου Τύχωνα ανθρωπιστικό πανεπιστήμιοΟ Vladimir Nikolaevich Katasonov, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας, μαθηματικός από την πρώτη εκπαίδευση, λέει: «Καμία απόδειξη στα μαθηματικά δεν είναι δυνατή χωρίς διαίσθηση: ένας μαθηματικός βλέπει πρώτα μια εικόνα και μετά διατυπώνει μια απόδειξη».

Το ζήτημα της πίστης ενός ατόμου είναι πάντα ένα ερώτημα που υπερβαίνει τον απλό λογικό συλλογισμό. Πώς να εξηγήσετε τι σας οδήγησε στην πίστη; Ο άντρας απαντά: Πήγα στο ναό, σκέφτηκα, διάβασα αυτό και εκείνο, είδα την αρμονία του σύμπαντος. αλλά η πιο σημαντική, η πιο εξαιρετική στιγμή, κατά την οποία ένα άτομο συνειδητοποιεί ξαφνικά ότι έχει συναντήσει την παρουσία του Θεού, δεν μπορεί να εκφραστεί. Είναι πάντα μυστικό.

- Μπορείτε να εντοπίσετε προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν σύγχρονη επιστήμη?

— Παρόλα αυτά, η επιστήμη είναι μια επιχείρηση με αρκετή αυτοπεποίθηση, ανεξάρτητη και καλά εδραιωμένη για να μιλάει τόσο έντονα. Είναι ένα καλό και πολύ χρήσιμο εργαλείο στα χέρια του ανθρώπου. Από την εποχή του Φράνσις Μπέικον, η γνώση έχει γίνει πράγματι μια δύναμη που άλλαξε τον κόσμο. Η επιστήμη αναπτύσσεται σύμφωνα με τους εσωτερικούς της νόμους: ο επιστήμονας επιδιώκει να κατανοήσει τους νόμους του σύμπαντος και δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτή η αναζήτηση θα οδηγήσει στην επιτυχία. Αλλά ταυτόχρονα είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τα όρια της επιστήμης. Δεν πρέπει να συγχέουμε την επιστήμη με εκείνα τα ιδεολογικά ερωτήματα που μπορούν να τεθούν σε σχέση με την επιστήμη. Βασικά Θέματασήμερα συνδέονται όχι τόσο με την επιστημονική μέθοδο όσο με προσανατολισμούς αξίας. Η επιστήμη κατά τον μακρύ εικοστό αιώνα θεωρήθηκε από τους ανθρώπους ως ένα απόλυτο αγαθό που συμβάλλει στην πρόοδο της ανθρωπότητας. και βλέπουμε ότι ο εικοστός αιώνας έχει γίνει ο πιο σκληρός όσον αφορά τις ανθρώπινες απώλειες. Και μετά υπάρχει το ζήτημα των αξιών. επιστημονική πρόοδος, γνώση γενικά. Οι ηθικές αξίες δεν απορρέουν από την ίδια την επιστήμη. Ένας λαμπρός επιστήμονας μπορεί να εφεύρει ένα όπλο για την καταστροφή όλης της ανθρωπότητας και εδώ τίθεται το ερώτημα της ηθικής ευθύνης ενός επιστήμονα, στο οποίο η επιστήμη δεν μπορεί να απαντήσει. Η επιστήμη δεν μπορεί να υποδείξει στον άνθρωπο το νόημα και τον σκοπό της ύπαρξής του. Η επιστήμη δεν θα μπορέσει ποτέ να απαντήσει στο ερώτημα γιατί είμαστε εδώ; Γιατί υπάρχει το σύμπαν; Αυτά τα ερωτήματα λύνονται σε διαφορετικό επίπεδο γνώσης, όπως η φιλοσοφία και η θρησκεία.

— Εκτός από τα θεωρήματα του Γκέντελ, υπάρχει κάποια άλλη απόδειξη ότι η επιστημονική μέθοδος έχει τα όριά της; Οι ίδιοι οι επιστήμονες το αναγνωρίζουν αυτό;

- Ήδη στις αρχές του 20ου αιώνα, οι φιλόσοφοι Bergson και Husserl επεσήμαναν σχετική αξία επιστημονική γνώσηφύση. Έχει γίνει πλέον μια σχεδόν καθολική πεποίθηση μεταξύ των φιλοσόφων της επιστήμης ότι οι επιστημονικές θεωρίες αντιπροσωπεύουν υποθετικά μοντέλα για την εξήγηση των φαινομένων. Ένας από τους δημιουργούς κβαντική μηχανικήΤο είπε ο Έρβιν Σρέντινγκερ στοιχειώδη σωματίδιαείναι μόνο εικόνες, αλλά μπορούμε χωρίς αυτές. Σύμφωνα με τον φιλόσοφο και λογικό Karl Popper, οι επιστημονικές θεωρίες είναι σαν ένα δίχτυ μέσα από το οποίο προσπαθούμε να πιάσουμε τον κόσμο, δεν είναι σαν τις φωτογραφίες. επιστημονικές θεωρίεςβρίσκονται σε συνεχή εξέλιξη και αλλαγή. Οι δημιουργοί της κβαντικής μηχανικής, όπως οι Pauli, Bohr, Heisenberg μίλησαν για τα όρια της επιστημονικής μεθόδου. Ο Pauli έγραψε: «...Η φυσική και η ψυχή μπορούν να θεωρηθούν ως πρόσθετες πτυχέςτην ίδια πραγματικότητα» - και επικεντρώθηκε στην αναγωγιμότητα υψηλότερα επίπεδαόντας προς τα κάτω. Διάφορες εξηγήσεις καλύπτουν μόνο μία πτυχή της ύλης κάθε φορά, αλλά μια ολοκληρωμένη θεωρία δεν θα επιτευχθεί ποτέ.

Η ομορφιά και η αρμονία του σύμπαντος συνεπάγεται τη δυνατότητα της γνώσης του επιστημονικές μεθόδους. Ταυτόχρονα, οι Χριστιανοί πάντα κατανοούσαν το ακατανόητο του μυστηρίου πίσω από αυτό το υλικό σύμπαν. Το σύμπαν δεν έχει θεμέλια από μόνο του και δείχνει την τέλεια πηγή ύπαρξης - τον Θεό.

Ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα της μαθηματικής λογικής, τυχερό και άτυχο ταυτόχρονα. Σε αυτό μοιάζει με την ειδική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Από τη μια πλευρά, σχεδόν όλοι έχουν ακούσει κάτι για αυτούς. Από την άλλη, στη λαϊκή ερμηνεία, η θεωρία του Αϊνστάιν, όπως γνωρίζετε, "λέει ότι όλα στον κόσμο είναι σχετικά". Και το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel (στο εξής απλώς TGN), σε μια περίπου εξίσου ελεύθερη λαϊκή διατύπωση, "αποδεικνύει ότι υπάρχουν πράγματα ακατανόητα για τον ανθρώπινο νου". Και έτσι κάποιοι προσπαθούν να το προσαρμόσουν ως επιχείρημα κατά του υλισμού, ενώ άλλοι, αντίθετα, αποδεικνύουν με τη βοήθειά του ότι δεν υπάρχει θεός. Είναι αστείο όχι μόνο ότι και οι δύο πλευρές δεν μπορούν να έχουν δίκιο ταυτόχρονα, αλλά και ότι ούτε η μία ούτε η άλλη μπαίνουν στον κόπο να καταλάβουν τι λέει στην πραγματικότητα αυτό το θεώρημα.

Η μαθηματική λογική είναι πράγματι μια μάλλον περίπλοκη επιστήμη, και το πιο σημαντικό, όχι πολύ οικεία. Απαιτεί προσεκτικούς και αυστηρούς ελιγμούς, στους οποίους είναι σημαντικό να μην συγχέουμε το πραγματικά αποδεδειγμένο με το ότι «είναι ήδη ξεκάθαρο». Ωστόσο, ελπίζω ότι για να κατανοήσει το ακόλουθο «περίγραμμα της απόδειξης του TGN», ο αναγνώστης θα χρειαστεί μόνο γνώσεις σχολικών μαθηματικών / επιστήμης υπολογιστών, δεξιότητες λογικής σκέψης και 15-20 λεπτά χρόνου.

Απλοποιώντας κάπως, το TGN ισχυρίζεται ότι σε αρκετά σύνθετες γλώσσες υπάρχουν αναπόδεικτες προτάσεις. Αλλά σε αυτή τη φράση, σχεδόν κάθε λέξη χρειάζεται μια εξήγηση.

Η μετάβαση από τον έναν τύπο στον άλλο γίνεται σύμφωνα με ορισμένους γνωστούς κανόνες. Η μετάβαση από τον 4ο τύπο στον 5ο συνέβη, ας πούμε, επειδή κάθε αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του - αυτό είναι το αξίωμα της αριθμητικής. Και η όλη διαδικασία απόδειξης, έτσι, μεταφράζει τον τύπο στη δυαδική τιμή TRUE. Το αποτέλεσμα θα μπορούσε να είναι ΛΑΘΟΣ - αν διαψεύδαμε κάποια φόρμουλα. Σε αυτή την περίπτωση, θα αποδείξαμε την άρνησή του. Είναι δυνατό να φανταστεί κανείς ένα πρόγραμμα (και τέτοια προγράμματα στην πραγματικότητα γράφονται) που θα αποδείκνυε τέτοιες (και πιο σύνθετες) προτάσεις χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση.

Για ό,τι ακολουθεί, χρειαζόμαστε την έννοια του αλγορίθμου. Δεν θα δώσω εδώ τον επίσημο ορισμό του - αυτό θα μας παρέσυρε αρκετά. Θα περιοριστώ στο άτυπο: "αλγόριθμος"- αυτή η ακολουθία μονοσήμαντων οδηγιών ("πρόγραμμα"), η οποία σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτωνμετατρέπει τα δεδομένα εισόδου σε έξοδο. Η πλάγια γραφή είναι θεμελιωδώς σημαντική - εάν το πρόγραμμα κολλήσει σε κάποια αρχικά δεδομένα, τότε δεν περιγράφει τον αλγόριθμο. Για απλότητα και εφαρμογή στην περίπτωσή μας, ο αναγνώστης μπορεί να θεωρήσει ότι ένας αλγόριθμος είναι ένα πρόγραμμα γραμμένο σε οποιαδήποτε γνωστή γλώσσα προγραμματισμού, το οποίο, για οποιαδήποτε δεδομένα εισόδου από μια δεδομένη κλάση, είναι εγγυημένο ότι θα ολοκληρώσει την εργασία του με ένα αποτέλεσμα Boole.

Μπορεί κάλλιστα αυτή η δήλωση να σας προκαλέσει μια εσωτερική διαμαρτυρία. Αυτό οφείλεται σε διάφορες συνθήκες. Πρώτον, όταν διδασκόμαστε σχολικά μαθηματικά, μερικές φορές υπάρχει η εσφαλμένη εντύπωση ότι οι φράσεις «το θεώρημα είναι αληθές» και «είναι δυνατό να αποδειχθεί ή να επαληθευτεί το θεώρημα» είναι σχεδόν ταυτόσημες. Αλλά αν το σκεφτείς, δεν είναι καθόλου προφανές. Μερικά θεωρήματα αποδεικνύονται πολύ απλά (για παράδειγμα, με την απαρίθμηση ενός μικρού αριθμού επιλογών), και μερικά είναι πολύ δύσκολα. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το περίφημο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά:

Σημειώνω επίσης ότι αν μιλούσαμε για τις συνήθεις συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε αυτό το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε η "μη υπολογισιμότητα" της συνάρτησης δεν θα εκπλήσσει κανέναν (απλώς μην συγχέετε τις "υπολογίσιμες συναρτήσεις" και τους "υπολογίσιμους αριθμούς" - αυτά είναι διαφορετικά πράγματα). Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι, ας πούμε, στην περίπτωση μιας συνάρτησης, πρέπει να είστε πολύ τυχεροί με το επιχείρημα έτσι ώστε η διαδικασία υπολογισμού της ακριβούς δεκαδικής αναπαράστασης της τιμής αυτής της συνάρτησης να τελειώνει σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Και πιθανότατα θα το υπολογίσετε χρησιμοποιώντας μια άπειρη σειρά και αυτός ο υπολογισμός δεν θα οδηγήσει ποτέ σε ένα ακριβές αποτέλεσμα, αν και μπορεί να πλησιάσει όσο θέλετε - απλώς επειδή η τιμή του ημιτόνου των περισσότερων από τα επιχειρήματα είναι παράλογη. Το TGN απλώς μας λέει ότι ακόμη και μεταξύ συναρτήσεων των οποίων τα ορίσματα είναι συμβολοσειρές και οι τιμές είναι μηδέν ή ένα, υπάρχουν και μη υπολογιστικές συναρτήσεις, αν και είναι διατεταγμένες με εντελώς διαφορετικό τρόπο.

Για όσα ακολουθούν, θα περιγράψουμε τη «γλώσσα της τυπικής αριθμητικής». Εξετάστε μια κατηγορία συμβολοσειρών κειμένου πεπερασμένου μήκους, που αποτελείται από αραβικούς αριθμούς, μεταβλητές (γράμματα του λατινικού αλφαβήτου) που λαμβάνουν φυσικές τιμές, κενά, σημεία αριθμητικών πράξεων, ισότητα και ανισότητα, ποσοτικοποιητές ("υπάρχει") και ("για οποιοδήποτε" ) και, ίσως, κάποια άλλα σύμβολα (ο ακριβής αριθμός και η σύνθεσή τους δεν είναι σημαντικά για εμάς). Είναι σαφές ότι δεν έχουν νόημα όλες αυτές οι γραμμές (για παράδειγμα, το "" είναι ανοησία). Το υποσύνολο των εκφράσεων με νόημα από αυτήν την κλάση (δηλαδή, συμβολοσειρές που είναι αληθείς ή ψευδείς από την άποψη της συνηθισμένης αριθμητικής) θα είναι το σύνολο των δηλώσεών μας.

Παραδείγματα τυπικών αριθμητικών δηλώσεων:

και τα λοιπά. Τώρα ας ονομάσουμε έναν "τύπο με ελεύθερη παράμετρο" (FSP) μια συμβολοσειρά που γίνεται δήλωση εάν ένας φυσικός αριθμός αντικατασταθεί σε αυτήν ως αυτή η παράμετρος. Παραδείγματα FSP (με παράμετρο):

και τα λοιπά. Με άλλα λόγια, τα FSP είναι ισοδύναμα με συναρτήσεις ενός φυσικού ορίσματος με τιμή Boolean.

Ας στραφούμε τώρα σε ένα σκίτσο της απόδειξης του TGN στην ακόλουθη διατύπωση:

Για την προτασιακή γλώσσα της τυπικής αριθμητικής, δεν υπάρχει πλήρης συνεπής έκπτωση.

Θα το αποδείξουμε με αντίφαση.

Εδώ φτάνουμε στο μόνο μέρος όπου θα ζητήσω από τον αναγνώστη να δεχτεί το λόγο μου.

Αφού περάσουμε αυτό το ολισθηρό μέρος, φτάνουμε γρήγορα στο τέλος.

«Οποιαδήποτε φράση στην κινεζική γλώσσα είναι αληθινή δήλωση εάν περιέχεται στο βιβλίο αποσπασμάτων του συντρόφου Μάο Τσε Τουνγκ και είναι λανθασμένη αν δεν περιέχεται».

«Ξεφυλλίστε το βιβλίο αποσπασμάτων του συντρόφου Μάο Τσε Τουνγκ μέχρι να βρείτε τη δήλωση που ψάχνετε. Αν βρεθεί, τότε είναι αληθές, και αν το βιβλίο αποσπασμάτων έχει τελειώσει και η δήλωση δεν βρεθεί, τότε είναι ψευδής.

Ετικέτες: Προσθήκη ετικετών

Οποιοδήποτε σύστημα μαθηματικών αξιωμάτων, ξεκινώντας από ένα ορισμένο επίπεδο πολυπλοκότητας, είναι είτε εσωτερικά ασυνεπές είτε ελλιπές.

Το 1900 πραγματοποιήθηκε στο Παρίσι το Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών, στο οποίο ο David Hilbert (1862-1943) παρουσίασε με τη μορφή περιλήψεων τα 23 σημαντικότερα, κατά τη γνώμη του, προβλήματα που διατύπωσε ο ίδιος, τα οποία επρόκειτο να επιλυθούν από θεωρητικούς επιστήμονες. του ερχόμενου εικοστού αιώνα. Το νούμερο δύο στη λίστα του ήταν ένα από αυτά απλές εργασίες, η απάντηση στο οποίο φαίνεται προφανής μέχρι να σκάψετε λίγο πιο βαθιά. ομιλία σύγχρονη γλώσσα, αυτό ήταν το ερώτημα: είναι επαρκή τα μαθηματικά από μόνα τους; Το δεύτερο πρόβλημα του Hilbert ήταν να αποδείξει αυστηρά ότι το σύστημα αξιώματα- οι βασικές δηλώσεις που λαμβάνονται στα μαθηματικά ως βάση χωρίς απόδειξη - είναι τέλειο και πλήρες, δηλαδή σας επιτρέπει να περιγράψετε μαθηματικά όλα όσα υπάρχουν. Ήταν απαραίτητο να αποδειχθεί ότι είναι δυνατό να τεθεί ένα τέτοιο σύστημα αξιωμάτων που, πρώτον, θα είναι αμοιβαία συνεπή και, δεύτερον, μπορεί κανείς να συναγάγει ένα συμπέρασμα από αυτά σχετικά με την αλήθεια ή το ψεύδος οποιασδήποτε δήλωσης.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από τη σχολική γεωμετρία. Πρότυπο Ευκλείδεια επιπεδομετρία(γεωμετρία στο επίπεδο) είναι δυνατόν να αποδειχθεί άνευ όρων ότι η πρόταση "το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°" είναι σωστή και η πρόταση "το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 137°" είναι ψευδής. Μιλώντας ουσιαστικά, στην Ευκλείδεια γεωμετρία, οποιαδήποτε δήλωση είναι είτε ψευδής είτε αληθής, και η τρίτη δεν δίνεται. Και στις αρχές του εικοστού αιώνα, οι μαθηματικοί πίστευαν αφελώς ότι η ίδια κατάσταση έπρεπε να παρατηρηθεί σε οποιοδήποτε λογικά συνεπές σύστημα.

Και τότε, το 1931, κάποιος Βιεννέζος μαθηματικός με γυαλιά, Kurt Godel, πήρε και δημοσίευσε ένα σύντομο άρθρο που απλά ανέτρεψε ολόκληρο τον κόσμο της λεγόμενης «μαθηματικής λογικής». Μετά από μακρά και πολύπλοκα μαθηματικά και θεωρητικά προοίμια, εδραίωσε κυριολεκτικά τα εξής. Ας πάρουμε οποιαδήποτε δήλωση όπως: "Η υπόθεση #247 είναι λογικά αναπόδεικτη σε αυτό το σύστημα αξιωμάτων" και ας την ονομάσουμε "δήλωση Α". Έτσι ο Gödel απλά απέδειξε την ακόλουθη καταπληκτική ιδιότητα όποιοςαξιωματικά συστήματα:

"Εάν μια πρόταση Α μπορεί να αποδειχθεί, τότε μια πρόταση που δεν είναι Α μπορεί να αποδειχθεί."

Με άλλα λόγια, εάν είναι δυνατόν να αποδειχθεί η εγκυρότητα της δήλωσης «Υπόθεση 247 δεν αποδείξιμα», τότε είναι δυνατόν να αποδειχθεί η εγκυρότητα της δήλωσης «Υπόθεση 247 αποδεικτώς". Δηλαδή, επιστρέφοντας στη διατύπωση του δεύτερου προβλήματος Hilbert, εάν το σύστημα των αξιωμάτων είναι πλήρες (δηλαδή, οποιαδήποτε δήλωση σε αυτό μπορεί να αποδειχθεί), τότε είναι ασυνεπής.

Η μόνη διέξοδος από αυτή την κατάσταση είναι η αποδοχή ενός ημιτελούς συστήματος αξιωμάτων. Πρέπει δηλαδή να τα βάλει κανείς με το γεγονός ότι στο πλαίσιο του οποιουδήποτε λογικό σύστημαθα μείνουμε με δηλώσεις "τύπου Α" που είναι γνωστό ότι είναι αληθείς ή ψευδείς - και μπορούμε μόνο να κρίνουμε την αλήθεια τους εξω αποτο πλαίσιο των αξιωματικών που υιοθετήσαμε. Αν δεν υπάρχουν τέτοιες δηλώσεις, τότε η αξιωματική μας είναι αντιφατική και στο πλαίσιο της αναπόφευκτα θα υπάρξουν διατυπώσεις που μπορούν και να αποδειχθούν και να διαψευστούν.

Η διατύπωση λοιπόν πρώτα,ή αδύναμος Θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel: "Οποιοδήποτε επίσημο σύστημα αξιωμάτων περιέχει ανεπίλυτες υποθέσεις." Όμως ο Gödel δεν σταμάτησε εκεί, να διατυπώνει και να αποδεικνύει δεύτερος,ή ισχυρός Θεώρημα μη πληρότητας του Γκόντελ: «Η λογική πληρότητα (ή η μη πληρότητα) οποιουδήποτε συστήματος αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί στο πλαίσιο αυτού του συστήματος. Για την απόδειξη ή την απόρριψή του απαιτούνται πρόσθετα αξιώματα (ενίσχυση του συστήματος)».

Θα ήταν ασφαλέστερο να πιστεύουμε ότι τα θεωρήματα του Godel είναι αφηρημένα και δεν μας αφορούν, αλλά μόνο τομείς εξαιρετικής μαθηματικής λογικής, αλλά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε ότι σχετίζονται άμεσα με τη δομή του ανθρώπινου εγκεφάλου. Άγγλος μαθηματικόςκαι ο φυσικός Roger Penrose (γενν. 1931) έδειξαν ότι τα θεωρήματα του Gödel μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν θεμελιώδεις διαφορές μεταξύ του ανθρώπινου εγκεφάλου και ενός υπολογιστή. Η ουσία του συλλογισμού του είναι απλή. Ο υπολογιστής λειτουργεί αυστηρά λογικά και δεν είναι σε θέση να προσδιορίσει εάν η πρόταση Α είναι αληθής ή ψευδής εάν υπερβαίνει το πεδίο της αξιωματικής, και τέτοιες δηλώσεις, σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel, αναπόφευκτα υπάρχουν. Ένα άτομο, αντιμέτωπο με μια τόσο λογικά αναπόδεικτη και αδιάψευστη δήλωση Α, είναι πάντα σε θέση να προσδιορίσει την αλήθεια ή το ψεύδος της - με βάση την καθημερινή εμπειρία. Τουλάχιστον σε αυτό ανθρώπινος εγκέφαλοςξεπερνάει έναν υπολογιστή δεσμευμένο με καθαρό λογικά κυκλώματα. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι σε θέση να κατανοήσει το πλήρες βάθος της αλήθειας που περιέχεται στα θεωρήματα του Gödel, αλλά ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ. Επομένως, ο ανθρώπινος εγκέφαλος κάθε άλλο παρά ένας υπολογιστής είναι. Είναι ικανός να παίρνουν αποφάσεις, και το τεστ Turing θα περάσει.

Αναρωτιέμαι αν ο Χίλμπερτ είχε ιδέα πόσο μακριά θα μας πήγαιναν οι ερωτήσεις του;

Kurt Godel, 1906-78

Αυστριακός και τότε Αμερικανός μαθηματικός. Γεννήθηκε στο Brünn (Brünn, τώρα Brno, Τσεχία). Αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο της Βιέννης, όπου παρέμεινε δάσκαλος στο Τμήμα Μαθηματικών (από το 1930 - καθηγητής). Το 1931 δημοσίευσε ένα θεώρημα που αργότερα έλαβε το όνομά του. Όντας ένας καθαρά απολιτικός άνθρωπος, επέζησε εξαιρετικά σκληρά από τη δολοφονία του φίλου και υπαλλήλου του τμήματος από έναν ναζιστή φοιτητή και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη, οι υποτροπές της οποίας τον στοίχειωσαν μέχρι το τέλος της ζωής του. Στη δεκαετία του 1930, μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες, αλλά επέστρεψε στην πατρίδα του την Αυστρία και παντρεύτηκε. Το 1940, στο απόγειο του πολέμου, αναγκάστηκε να καταφύγει στην Αμερική διαμετακομίζοντας μέσω της ΕΣΣΔ και της Ιαπωνίας. Εργάστηκε για λίγο στο Ινστιτούτο Πρίνστον προηγμένη έρευνα. Δυστυχώς, η ψυχή του επιστήμονα δεν άντεξε και πέθανε από ασιτία σε μια ψυχιατρική κλινική, αρνούμενος να φάει, επειδή ήταν πεπεισμένος ότι σκόπευαν να τον δηλητηριάσουν.