Paaris paaritu funktsioon as. Paaris- ja paaritu funktsioonid

Paaritute ja paaritute funktsioonide graafikutel on järgmised omadused:

Kui funktsioon on paaris, siis on selle graafik sümmeetriline y-telje suhtes. Kui funktsioon on paaritu, siis on selle graafik sümmeetriline alguspunkti suhtes.

Näide. Joonistage funktsioon \(y=\left|x \right|\).

Lahendus. Mõelge funktsioonile: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ja asendage \(x \) vastandiga \(-x \). Lihtsate teisenduste tulemusena saame: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In teisisõnu, kui asendada argument vastupidise märgiga, funktsioon ei muutu.

See tähendab, et see funktsioon on paaris ja selle graafik on y-telje suhtes sümmeetriline (vertikaalne telg). Selle funktsiooni graafik on näidatud vasakpoolsel joonisel. See tähendab, et graafiku joonistamisel saab ehitada ainult poole ja teise osa (vertikaalteljest vasakule, joonistada juba sümmeetriliselt paremale). Määrates funktsiooni sümmeetria enne selle graafiku koostamist, saate funktsiooni konstrueerimise või uurimise protsessi oluliselt lihtsustada. Kui üldisel kujul on kontrollimist keeruline teha, saate seda teha lihtsamalt: asendage võrrandisse erinevate märkide samad väärtused. Näiteks -5 ja 5. Kui funktsiooni väärtused on samad, siis võime loota, et funktsioon on paaris. Matemaatilisest seisukohast ei ole see lähenemine täiesti õige, kuid praktilisest seisukohast on see mugav. Tulemuse usaldusväärsuse suurendamiseks võite asendada mitu paari selliseid vastandlikke väärtusi.

Näide. Joonistage funktsioon \(y=x\left|x \right|\).

Lahendus. Kontrollime sama, mis eelmises näites: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ See tähendab, et algne funktsioon on paaritu (funktsiooni märk on vastupidine).

Järeldus: funktsioon on päritolu suhtes sümmeetriline. Saate ehitada ainult ühe poole ja joonistada teise poole sümmeetriliselt. Seda sümmeetriat on raskem joonistada. See tähendab, et vaatate diagrammi lehe teisest küljest ja pöörate isegi tagurpidi. Ja saate ka seda teha: võtke joonistatud osa ja pöörake seda algpunkti ümber 180 kraadi vastupäeva.

Näide. Joonistage funktsioon \(y=x^3+x^2\).

Lahendus. Teeme sama märgimuutuste kontrolli nagu kahes eelmises näites. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Mis tähendab, et funktsioon ei ole paaris ega paaritu .

Järeldus: funktsioon ei ole sümmeetriline ei koordinaatsüsteemi alguspunkti ega keskpunkti suhtes. See juhtus, kuna see on kahe funktsiooni summa: paaris ja paaritu. Sama olukord on siis, kui lahutate kaks erinevat funktsiooni. Kuid korrutamine või jagamine annab teistsuguse tulemuse. Näiteks paaris ja paaritu funktsiooni korrutis annab paaritu. Või kahe paaritu jagatis annab paarisfunktsiooni.

Peida saade

Funktsiooni seadistamise viisid

Olgu funktsioon antud valemiga: y=2x^(2)-3 . Määrates sõltumatule muutujale x mis tahes väärtuse, saate selle valemi abil arvutada sõltuva muutuja y vastavad väärtused. Näiteks kui x=-0,5 , siis valemit kasutades saame, et y vastav väärtus on y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Arvestades mis tahes väärtust, mille x argumendi võtab valemis y=2x^(2)-3 , saab arvutada ainult ühe sellele vastava funktsiooni väärtuse. Funktsiooni saab esitada tabelina:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Seda tabelit kasutades saate aru, et argumendi väärtusele -1 vastab funktsiooni -3 väärtus; ja väärtus x=2 vastab y=0-le ja nii edasi. Samuti on oluline teada, et iga argumendi väärtus tabelis vastab ainult ühele funktsiooni väärtusele.

Graafiku abil saab määrata rohkem funktsioone. Graafiku abil tehakse kindlaks, milline funktsiooni väärtus korreleerub teatud x väärtusega. Enamasti on see funktsiooni ligikaudne väärtus.

Paaris ja paaritu funktsioon

Funktsioon on ühtlane funktsioon, kui f(-x)=f(x) mis tahes domeeni x jaoks. Selline funktsioon on sümmeetriline Oy telje suhtes.

Funktsioon on paaritu funktsioon kui f(-x)=-f(x) domeeni mis tahes x jaoks. Selline funktsioon on sümmeetriline lähtepunkti O suhtes (0;0) .

Funktsioon on mitte isegi, ega veider ja helistas üldine funktsioon kui sellel puudub sümmeetria telje või alguspunkti suhtes.

Pariteedi jaoks uurime järgmist funktsiooni:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sümmeetrilise definitsioonipiirkonnaga päritolu kohta. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^ (7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Seega on funktsioon f(x)=3x^(3)-7x^(7) paaritu.

Perioodiline funktsioon

Funktsiooni y=f(x) , mille domeenis f(x+T)=f(x-T)=f(x) on tõene mis tahes x korral, nimetatakse perioodiline funktsioon perioodiga T \neq 0 .

Funktsiooni graafiku kordamine abstsisstelje mis tahes segmendil, mille pikkus on T .

Intervallid, kus funktsioon on positiivne, st f (x) > 0 - abstsisstelje lõigud, mis vastavad funktsiooni graafiku punktidele, mis asuvad abstsisstelje kohal.

f(x) > 0 sisse (x_(1); x_(2)) \tass (x_(3); +\infty)

Lüngad, kus funktsioon on negatiivne, st f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \tass (x_(2); x_(3))

Funktsiooni piiratus

altpoolt piiratud on tavaks kutsuda funktsiooni y=f(x), x \in X, kui on olemas arv A, mille puhul kehtib võrratus f(x) \geq A mis tahes x \in X korral.

Näide funktsioonist, mis on piiratud allpool: y=\sqrt(1+x^(2)), kuna y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 mis tahes x jaoks.

ülalt piiratud funktsioon y=f(x), x \in X kutsutakse välja, kui on olemas arv B, mille võrratus f(x) \neq B kehtib mis tahes x \in X korral.

Allpool piiritletud funktsiooni näide: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] kuna y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 iga x \in [-1;1] jaoks.

Piiratud on tavaks kutsuda funktsiooni y=f(x), x \in X, kui on olemas arv K > 0, mille puhul ebavõrdsus \vasak | f(x) \parem | \neq K mis tahes x \in X .

Piiratud funktsiooni näide: y=\sin x on täisarvu real piiratud, sest \vasakul | \sin x \right | \neq 1.

Funktsiooni suurendamine ja vähenemine

Tavapäraselt räägitakse funktsioonist, mis suureneb vaadeldaval intervallil as funktsiooni suurendamine kui suurem x väärtus vastab funktsiooni y=f(x) suuremale väärtusele. Siit selgub, et kui võtta vaadeldavast intervallist argumendi x_(1) ja x_(2) kaks suvalist väärtust ning x_(1) > x_(2) , on see y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Kutsutakse funktsiooni, mis väheneb vaadeldaval intervallil vähenev funktsioon kui suurem x väärtus vastab funktsiooni y(x) väiksemale väärtusele. Siit selgub, et kui võtta vaadeldavast intervallist argumendi x_(1) ja x_(2) kaks suvalist väärtust ning x_(1) > x_(2) , on see y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funktsiooni juured on tavaks nimetada punkte, kus funktsioon F=y(x) lõikub abstsissteljega (need saadakse võrrandi y(x)=0 lahendamise tulemusena).

a) Kui paarisfunktsioon x > 0 korral suureneb, siis x korral see väheneb< 0

b) Kui paarisfunktsioon x > 0 korral väheneb, siis see x korral suureneb< 0

c) Kui paaritu funktsioon suureneb x > 0 korral, suureneb see ka x korral< 0

d) Kui paaritu funktsioon väheneb x > 0 korral, väheneb see ka x korral< 0

Funktsiooni äärmused

Funktsiooni miinimumpunkt y=f(x) on tavaks nimetada sellist punkti x=x_(0) , milles selle naabruses on teisi punkte (v.a punkt x=x_(0) ) ja nende jaoks siis võrratus f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - funktsiooni tähistus punktis min.

Funktsiooni maksimumpunkt y=f(x) on tavaks nimetada sellist punkti x=x_(0) , milles selle naabruses on teised punktid (v.a punkt x=x_(0) ) ja siis võrratus f(x) jääks nendega rahule< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Vajalik seisukord

Vastavalt Fermat' teoreemile: f"(x)=0, siis kui funktsioon f(x) , mis on diferentseeruv punktis x_(0) , tekib selles punktis ekstreemum.

Piisav seisukord

1. Kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, siis x_(0) on miinimumpunkt;
2. x_(0) - on maksimumpunkt ainult siis, kui tuletis muudab statsionaarse punkti x_(0) läbimisel märgi miinusest plussiks.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus intervallil

Arvutamise etapid:

1. Otsin tuletist f"(x) ;
2. Leitakse funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid ning valitakse intervalli kuuluvad;
3. Funktsiooni f(x) väärtused leitakse segmendi statsionaarsetes ja kriitilistes punktides ning otstes. Tulemustest on väikseim funktsiooni väikseim väärtus, ja veel - suurim.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loomingulist tegevust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

a) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafi ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, paljastasime veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse olulisus funktsioonide uurimisel ja joonistamisel.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. üks Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis sa arvad, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas on vastupidine, kui funktsiooni valdkond on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).ja f(X):

• kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• kui f(–X) ≠ f(X) ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. võimalus

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x-i puhul, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsuse omaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral langeb selle funktsiooni väärtus kokku funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Paaris- ja paaritu funktsioonid on selle üks peamisi omadusi ning paarsus moodustab muljetavaldava osa matemaatika koolikursusest. See määrab suuresti funktsiooni käitumise olemuse ja hõlbustab oluliselt vastava graafiku koostamist.

Määratleme funktsiooni paarsuse. Üldiselt vaadeldakse uuritavat funktsiooni isegi siis, kui selle domeenis asuva sõltumatu muutuja (x) vastandväärtuste korral on y (funktsiooni) vastavad väärtused võrdsed.

Anname rangema määratluse. Vaatleme mõnda funktsiooni f (x), mis on määratletud domeenis D. See on isegi siis, kui mis tahes punkti x puhul, mis asub definitsioonipiirkonnas:

• -x (vastaspunkt) asub samuti antud ulatuses,

• f(-x) = f(x).

Ülaltoodud definitsioonist tuleneb sellise funktsiooni määratluspiirkonna jaoks vajalik tingimus, nimelt sümmeetria punkti O suhtes, mis on koordinaatide alguspunkt, kuna kui mingi punkt b sisaldub definitsioonipiirkonnas. paarisfunktsioon, siis selles valdkonnas asub ka vastav punkt - b. Eelnevast järeldub seega järeldus: paarisfunktsioonil on vorm, mis on ordinaattelje (Oy) suhtes sümmeetriline.

Kuidas määrata funktsiooni paarsust praktikas?

Olgu see antud valemiga h(x)=11^x+11^(-x). Otseselt definitsioonist tulenevat algoritmi järgides uurime kõigepealt selle definitsioonivaldkonda. Ilmselt on see defineeritud kõigi argumendi väärtuste jaoks, see tähendab, et esimene tingimus on täidetud.

Järgmine samm on argumendi (x) asendamine selle vastupidise väärtusega (-x).
Saame:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kuna liitmine rahuldab kommutatiivse (nihke)seaduse, siis on ilmne, et h(-x) = h(x) ja antud funktsionaalne sõltuvus on paaris.

Kontrollime funktsiooni h(x)=11^x-11^(-x) ühtlust. Sama algoritmi järgides saame h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kui miinust välja võtta, siis selle tulemusena on meil
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Seega on h(x) paaritu.

Muide, tuleb meeles pidada, et on funktsioone, mida ei saa nende kriteeriumide järgi klassifitseerida, neid ei nimetata paaristeks ega paarituteks.

Isegi funktsioonidel on mitmeid huvitavaid omadusi:

• sarnaste funktsioonide lisamise tulemusena saadakse ühtlane;
• selliste funktsioonide lahutamise tulemusena saadakse paaris;
• ühtlane, ka ühtlane;
• kahe sellise funktsiooni korrutamise tulemusena saadakse ühtlane;
• paaritute ja paarisfunktsioonide korrutamise tulemusena saadakse paaritu;
• paaritu ja paarisfunktsioonide jagamise tulemusena saadakse paaritu;
• sellise funktsiooni tuletis on paaritu;
• Kui paneme paaritu funktsiooni ruutu, saame paarisfunktsiooni.

Funktsiooni paarsust saab kasutada võrrandite lahendamisel.

Sellise võrrandi nagu g(x) = 0 lahendamiseks, kus võrrandi vasak pool on paarisfunktsioon, piisab muutuja mittenegatiivsete väärtuste jaoks lahenduse leidmisest. Saadud võrrandi juured tuleb kombineerida vastandarvudega. Üks neist kuulub kontrollimisele.

Sama kasutatakse edukalt parameetriga mittestandardsete probleemide lahendamiseks.

Näiteks, kas parameetril a on mõni väärtus, mis muudaks võrrandil 2x^6-x^4-ax^2=1 kolme juure?

Kui arvestada, et muutuja siseneb võrrandisse paarisastmetes, siis on selge, et x asendamine -x-ga antud võrrandit ei muuda. Sellest järeldub, et kui teatud arv on selle juur, siis on ka vastupidine arv. Järeldus on ilmne: võrrandi juured, välja arvatud null, sisalduvad selle lahendite komplektis "paarides".

On selge, et arv 0 ise ei ole, see tähendab, et sellise võrrandi juurte arv saab olla ainult paaris ja loomulikult ei saa see ühegi parameetri väärtuse korral olla kolme juurega.

Kuid võrrandi 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 juurte arv võib olla paaritu ja seda parameetri mis tahes väärtuse korral. Tõepoolest, on lihtne kontrollida, kas antud võrrandi juurte hulk sisaldab lahendeid "paarides". Kontrollime, kas 0 on juur. Asendades selle võrrandisse, saame 2=2. Seega on 0 lisaks "paaritud" ka juur, mis tõestab nende paaritut arvu.

Funktsiooniuuringud.

1) D(y) – määratluspiirkond: muutuja x kõigi nende väärtuste kogum. mille all on algebralised avaldised f(x) ja g(x) mõttekad.

Kui funktsioon on antud valemiga, koosneb definitsioonipiirkond kõigist sõltumatu muutuja väärtustest, mille jaoks valem on mõttekas.

2) Funktsiooni omadused: paaris/paaritu, perioodilisus:

kummaline ja isegi nimetatakse funktsioonideks, mille graafikud on argumendi märgi muutuse suhtes sümmeetrilised.

paaritu funktsioon- funktsioon, mis muudab sõltumatu muutuja märgi muutumisel väärtust vastupidiseks (sümmeetriline koordinaatide keskpunkti suhtes).

Ühtlane funktsioon- funktsioon, mis ei muuda oma väärtust sõltumatu muutuja märgi muutumisel (sümmeetriline y-telje suhtes).

Ei paaris ega paaritu funktsioon (üldfunktsioon) on funktsioon, millel puudub sümmeetria. See kategooria sisaldab funktsioone, mis ei kuulu kahe eelmise kategooria alla.

Kutsutakse funktsioone, mis ei kuulu ühtegi ülaltoodud kategooriasse ei paaris ega paaritu(või üldfunktsioonid).

Veidrad funktsioonid

Paaritu aste kus on suvaline täisarv.

Isegi funktsioonid

Paarisaste kus on suvaline täisarv.

Perioodiline funktsioon on funktsioon, mis kordab oma väärtusi argumendi teatud kindla intervalliga, st ei muuda selle väärtust, kui argumendile lisatakse mingi fikseeritud nullist erinev arv ( periood funktsioonid) kogu määratlusvaldkonnas.

3) Funktsiooni nullpunktid (juured) on punktid, kus see kaob.

Graafiku ja telje lõikepunkti leidmine Oy. Selleks peate arvutama väärtuse f(0). Leia ka graafiku lõikepunktid teljega Ox, milleks leida võrrandi juured f(x) = 0 (või veenduge, et juured puuduvad).

Nimetatakse punkte, kus graafik lõikub teljega funktsiooni nullid. Funktsiooni nullpunktide leidmiseks tuleb võrrand lahendada ehk leida need x väärtused, mille puhul funktsioon kaob.

4) Märkide püsivuse intervallid, märgid neis.

Intervallid, kus funktsioon f(x) säilitab oma märgi.

Konstantsuse intervall on intervall igas punktis, kus funktsioon on positiivne või negatiivne.

X-telje kohal.

TELJE ALL.

5) Järjepidevus (katkestuspunktid, katkestuse iseloom, asümptoodid).

pidev funktsioon- funktsioon ilma "hüpeteta", st selline, mille argumendi väikesed muutused põhjustavad funktsiooni väärtuses väikseid muutusi.

Eemaldatavad katkestuspunktid

Kui funktsiooni piir on olemas, kuid funktsioon pole selles punktis määratletud või piirang ei ühti funktsiooni väärtusega sellel hetkel:

,

siis nimetatakse punkti murdepunkt funktsioonid (kompleksanalüüsis eemaldatav ainsuse punkt).

Kui "parandame" funktsiooni eemaldatava katkestuse kohas ja paneme , siis saame funktsiooni, mis on selles punktis pidev. Sellist toimingut funktsiooniga nimetatakse funktsiooni laiendamine pidevaks või funktsiooni laiendamine järjepidevuse järgi, mis õigustab punkti nime, punktidena ühekordselt kasutatavad lõhe.

Esimest ja teist tüüpi katkestuspunktid

Kui funktsioonil on antud punktis katkestus (st funktsiooni piir antud punktis puudub või ei ühti funktsiooni väärtusega antud punktis), siis on numbriliste funktsioonide jaoks kaks võimalust seotud numbriliste funktsioonide olemasoluga ühepoolsed piirangud:

kui mõlemad ühepoolsed piirid eksisteerivad ja on lõplikud, siis sellist punkti nimetatakse esimest tüüpi murdepunkt. Eemaldatavad katkestuspunktid on esimest tüüpi katkestuspunktid;

kui vähemalt ühte ühepoolsetest piiridest ei eksisteeri või see ei ole lõplik väärtus, siis sellist punkti nimetatakse teist tüüpi murdepunkt.

Asümptoot - sirge, millel on omadus, et kaugus kõvera punktist selleni sirge kipub nulli, kui punkt liigub piki haru lõpmatuseni.

vertikaalne

Vertikaalne asümptoot – piirjoon .

Vertikaalse asümptoodi määramisel otsitakse reeglina mitte ühte piiri, vaid kahte ühepoolset (vasak ja parem). Seda tehakse selleks, et määrata, kuidas funktsioon käitub, kui see läheneb vertikaalsele asümptoodile erinevatest suundadest. Näiteks:

Horisontaalne

Horisontaalne asümptoot - sirge liigid, olenevalt olemasolust piiri

.

kaldus

Kaldus asümptoot - sirge liigid, olenevalt olemasolust piirid

Märkus. Funktsioonil võib olla kuni kaks kaldu (horisontaalset) asümptooti.

Märkus: kui vähemalt üks kahest ülalmainitud piirist ei eksisteeri (või on võrdne ), siis kaldasümptooti punktis (või ) ei eksisteeri.

kui punktis 2.), siis , ja piirang leitakse horisontaalse asümptoodi valemiga, .

6) Monotoonsuse intervallide leidmine. Leia funktsiooni monotoonsusintervallid f(x) (st suurenemise ja kahanemise intervallid). Seda tehakse tuletise märgi uurimisega f(x). Selleks leidke tuletis f(x) ja lahendage ebavõrdsus f(x)0. Intervallidel, kus see ebavõrdsus on täidetud, funktsioon f(x) suureneb. Kus kehtib vastupidine ebavõrdsus f(x)0, funktsioon f(x) väheneb.

Kohaliku ekstreemumi leidmine. Olles leidnud monotoonsuse intervallid, saame kohe määrata lokaalse ekstreemumi punktid, kus kasv asendub langusega, on lokaalsed maksimumid ja kus vähenemine asendub tõusuga, lokaalsed miinimumid. Arvutage funktsiooni väärtus nendes punktides. Kui funktsioonil on kriitilisi punkte, mis ei ole lokaalsed äärmuspunktid, siis on kasulik ka nendes punktides funktsiooni väärtus välja arvutada.

Funktsiooni y = f(x) suurima ja väikseima väärtuse leidmine segmendil(jätk)

1. Leia funktsiooni tuletis: f(x). 2. Leidke punktid, kus tuletis on null: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Määrake punktide kuuluvus X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: las x 1a;b, a x 2a;b .