Kui maatriksite järgud on võrdsed, siis. Maatriksi auaste ja maatriksi alusmoll

Definitsioon. Maatriksi auaste on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, mida peetakse vektoriteks.

1. teoreem maatriksi astme kohta. Maatriksi auaste on maatriksi nullist erineva minoori maksimaalne järjekord.

Alaealise mõistet oleme determinantide tunnis juba käsitlenud ja nüüd üldistame seda. Võtame maatriksis mõned read ja veerud ning see "miski" peaks olema väiksem kui maatriksi ridade ja veergude arv ning ridade ja veergude puhul peaks see "miski" olema sama number. Siis kui mitu rida ja mitu veergu on ristumiskohas meie algsest maatriksist väiksema järjestusega maatriks. Selle maatriksi determinandiks on k-ndat järku minoor, kui mainitud "midagi" (ridade ja veergude arv) tähistatakse k-ga.

Definitsioon. Alaealine ( r+1) järjekord, mille sees asub valitud alaealine r-ndat järjekorda, nimetatakse antud molli puhul ääristavaks.

Kaks kõige sagedamini kasutatavat meetodit maatriksi auastme leidmine. seda alaealiste fringimise viis ja elementaarteisenduste meetod(Gaussi meetodil).

Alaealiste ääristamise meetod kasutab järgmist teoreemi.

2. teoreem maatriksi astme kohta. Kui maatriksi elementidest on võimalik koostada molli r järku, mis ei ole võrdne nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne r.

Elementaarteisenduste meetodil kasutatakse järgmist omadust:

Kui algse maatriksiga ekvivalentne trapetsmaatriks saadakse elementaarteisendustega, siis selle maatriksi auaste on ridade arv selles, välja arvatud read, mis koosnevad täielikult nullidest.

Maatriksi auastme leidmine alaealiste piiritlemise meetodil

Piirnev alaealine on antud alaealise suhtes kõrgema järgu alaealine, kui see kõrgemat järku alaealine sisaldab antud alaealist.

Näiteks maatriksit arvestades

Võtame molli

servad on sellised alaealised:

Algoritm maatriksi astme leidmiseks järgmiseks.

1. Leiame teist järku alaealised, mis ei ole nulliga võrdsed. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, võrdub maatriksi auaste ühega ( r =1 ).

2. Kui on olemas vähemalt üks teist järku moll, mis ei võrdu nulliga, siis koostame piirnevad kolmandat järku mollid. Kui kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks ( r =2 ).

3. Kui vähemalt üks kolmandat järku piirnevatest alaealistest ei ole võrdne nulliga, siis moodustame sellega piirnevad alaealised. Kui kõik piirnevad neljandat järku alaealised on nullid, on maatriksi auaste kolm ( r =2 ).

4. Jätkake nii kaua, kuni maatriksi suurus seda võimaldab.

Näide 1 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Teise järgu alaealine .

Me raamime selle. Seal on neli piirnevat alaealist:

Seega on kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised võrdsed nulliga, seetõttu on selle maatriksi auaste kaks ( r =2 ).

Näide 2 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 1, kuna kõik selle maatriksi teist järku alaealised on võrdsed nulliga (selles, nagu ka kahes järgmises näites piirnevate alaealiste puhul, kutsutakse kallid õpilased ise veenduma, võib-olla kasutades determinantide arvutamise reegleid) ja esimest järku alaealiste hulgas, st maatriksi elementide hulgas, ei ole nulliga võrdsed.

Näide 3 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi teist järku minoorsed on ja kõik selle maatriksi kolmandat järku mollid on nullid. Seetõttu on selle maatriksi auaste kaks.

Näide 4 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 3, kuna selle maatriksi ainus kolmandat järku minoor on 3.

Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil (Gaussi meetodil)

Juba näites 1 on näha, et maatriksi auastme määramise probleem alaealiste piiritlemise meetodil nõuab suure hulga determinantide arvutamist. Siiski on võimalus arvutusmahtu miinimumini vähendada. See meetod põhineb elementaarmaatriksteisenduste kasutamisel ja seda nimetatakse ka Gaussi meetodiks.

Maatriksi elementaarsed teisendused tähendavad järgmisi tehteid:

1) maatriksi mis tahes rea või veeru korrutamine nullist erineva arvuga;

2) maatriksi mis tahes rea või veeru elementidele teise rea või veeru vastavate elementide lisamine sama arvuga korrutatuna;

3) maatriksi kahe rea või veeru vahetamine;

4) nullridade, st nende, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, eemaldamine;

5) kõigi proportsionaalsete ridade, välja arvatud ühe, kustutamine.

Teoreem. Elementaarteisendus ei muuda maatriksi auastet. Teisisõnu, kui kasutame maatriksist pärit elementaarteisendusi A mine maatriksisse B, siis.

Maatriksi järjestus on oluline numbriline tunnus. Kõige tüüpilisem probleem, mis nõuab maatriksi järgu leidmist, on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi ühilduvuse kontrollimine. Selles artiklis anname maatriksi auastme mõiste ja kaalume selle leidmise meetodeid. Materjali paremaks assimilatsiooniks analüüsime üksikasjalikult mitme näite lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Maatriksi järgu määramine ja vajalikud lisamõisted.

Enne maatriksi auastme definitsiooni väljaütlemist peaks olema alaealise mõistest hea arusaam ja maatriksi alaealiste leidmine eeldab determinandi arvutamise oskust. Seega soovitame vajadusel meelde tuletada artikli teooriat, maatriksdeterminandi leidmise meetodeid, determinandi omadusi.

Võtke järjestusmaatriks A. Olgu k mingi naturaalarv, mis ei ületa väikseimat arvudest m ja n , see tähendab, .

Definitsioon.

Väike k-s järjekord maatriks A on järjestuse ruutmaatriksi determinant, mis koosneb maatriksi A elementidest, mis on eelnevalt valitud k reas ja k veerus ning maatriksi A elementide asukoht on säilinud.

Teisisõnu, kui maatriksist A kustutada (p–k) read ja (n–k) veerud ning moodustada ülejäänud elementidest maatriks, säilitades maatriksi A elementide paigutuse, siis on saadud maatriksi determinant maatriksi A k-järgu moll.

Vaatame näite abil maatriks-molli definitsiooni.

Mõelge maatriksile .

Paneme kirja selle maatriksi mitu esimest järku minoori. Näiteks kui valime maatriksi A kolmanda rea ja teise veeru, siis vastab meie valik esimest järku minoorile . Teisisõnu, selle minoori saamiseks kriipsutasime maatriksist A maha esimese ja teise rea, samuti esimese, kolmanda ja neljanda veeru ning moodustasime ülejäänud elemendist determinandi. Kui valime maatriksi A esimese rea ja kolmanda veeru, siis saame minoori .

Illustreerime käsitletavate esimese järgu alaealiste saamise protseduuri
ja .

Seega on maatriksi esimest järku minoorsed maatriksielemendid ise.

Näidakem mitut teise järgu alaealist. Valige kaks rida ja kaks veergu. Näiteks võtke esimene ja teine rida ning kolmas ja neljas veerg. Selle valikuga on meil teist järku alaealine . Selle molli saab moodustada ka maatriksist A kolmanda rea, esimese ja teise veeru kustutamisega.

Teine maatriksi A teist järku moll on .

Illustreerime nende teist järku alaealiste ehitust
ja .

Sarnaselt võib leida ka maatriksi A kolmandat järku minoori. Kuna maatriksis A on ainult kolm rida, valime need kõik. Kui valime nende ridade jaoks kolm esimest veergu, saame kolmanda järgu molli

Selle saab koostada ka maatriksi A viimase veeru kustutamisega.

Teine kolmanda järgu alaealine on

saadakse maatriksi A kolmanda veeru kustutamisel.

Siin on joonis, mis näitab nende kolmanda järgu alaealiste ehitust
ja .

Antud maatriksi A puhul pole kolmandast kõrgemat järku minoorseid, kuna .

Mitu järgu maatriksi A k-ndat järku molli on olemas?

Järjekorra k-mollide arvu saab arvutada kui , kus ja - kombinatsioonide arv vastavalt p-st k-ni ja n-st k-ni.

Kuidas konstrueerida kõik maatriksi A järku p minorid n-le?

Vajame maatriksireanumbrite komplekti ja veerunumbrite komplekti. Kõike salvestades p-elementide kombinatsioonid k-ga(need vastavad maatriksi A valitud ridadele järgu k molli koostamisel). Igale reanumbrite kombinatsioonile lisame järjestikku kõik n elemendi kombinatsioonid k veerunumbri võrra. Need maatriksi A ridade ja veerunumbrite kombinatsioonide komplektid aitavad koostada kõiki k järku minoorseid.

Võtame näite.

Näide.

Leia kõik maatriksi teist järku mollid.

Lahendus.

Kuna algse maatriksi järjestus on 3 korda 3, siis on teist järku alaealiste koguarv .

Kirjutame üles kõik maatriksi A 3 kuni 2 reanumbrite kombinatsioonid: 1, 2; 1, 3 ja 2, 3. Kõik 3 korda 2 veerunumbrite kombinatsioonid on 1, 2 ; 1, 3 ja 2, 3.

Võtke maatriksi A esimene ja teine rida. Valides nende ridade jaoks esimese ja teise veeru, esimese ja kolmanda veeru, teise ja kolmanda veeru, saame vastavalt alaealised

Esimese ja kolmanda rea jaoks on meil sarnase veergude valikuga

Teisele ja kolmandale reale tuleb lisada esimene ja teine, esimene ja kolmas, teine ja kolmas veerg:

Seega leitakse maatriksi A teise järgu kõik üheksa molli.

Nüüd saame edasi liikuda maatriksi auastme määramise juurde.

Definitsioon.

Maatriksi auaste on nullist erineva maatriksi minoori kõrgeim järk.

Maatriksi A astet tähistatakse kui Rank(A) . Näete ka tähiseid Rg(A) või Rang(A) .

Maatriksi auaste ja maatriksi minoorsete definitsioonide põhjal võime järeldada, et nullmaatriksi auaste on võrdne nulliga ja nullmaatriksi auaste on vähemalt üks.

Maatriksi auastme leidmine definitsiooni järgi.

Niisiis, esimene meetod maatriksi auastme leidmiseks on väike loendusmeetod. See meetod põhineb maatriksi järjestuse määramisel.

Peame leidma järjestusmaatriksi A auaste.

Kirjelda lühidalt algoritm selle probleemi lahendamine alaealiste loendamise meetodil.

Kui on vähemalt üks maatriksi element, mis on nullist erinev, siis on maatriksi auaste vähemalt võrdne ühega (kuna on olemas esimest järku alatäht, mis ei võrdu nulliga).

Järgmisena kordame teise järgu alaealisi. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui on olemas vähemalt üks nullist erinev teist järku moll, siis läheme kolmanda järgu molli loendamise juurde ja maatriksi auaste on vähemalt võrdne kahega.

Samamoodi, kui kõik kolmanda järgu alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks. Kui on vähemalt üks nullist erinev kolmanda järgu alaealine, siis on maatriksi auaste vähemalt kolm ja jätkame neljanda järgu alaealiste loendamisega.

Pange tähele, et maatriksi aste ei tohi ületada p ja n väikseimat.

Näide.

Leidke maatriksi auaste .

Lahendus.

Kuna maatriks on nullist erinev, ei ole selle aste väiksem kui üks.

Teise järgu alaealine erineb nullist, seetõttu on maatriksi A aste vähemalt kaks. Liigume kolmanda järgu alaealiste loendamise juurde. Kõik nemad asju.

Kõik kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga. Seetõttu on maatriksi auaste kaks.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Maatriksi auastme leidmine alaealiste fringimise meetodil.

Maatriksi auastme leidmiseks on ka teisi meetodeid, mis võimaldavad saada tulemuse väiksema arvutustööga.

Üks neist meetoditest on fringing minoor meetod.

Tegeleme piirneva alaealise mõiste.

Öeldakse, et maatriksi A (k+1) järku moll M ok ümbritseb maatriksi A järgu k minoorset M, kui mollile M ok vastav maatriks "sisaldab" mollile vastavat maatriksit. M .

Ehk siis ääristatud minoorsele M-le vastav maatriks saadakse ääristavale mollile M ok vastavast maatriksist, kustutades ühe rea ja ühe veeru elemendid.

Mõelge näiteks maatriksile ja võta teise järgu molli. Paneme kirja kõik piirnevad alaealised:

Alaealiste ääristamise meetodit põhjendab järgmine teoreem (esitame selle sõnastuse ilma tõestuseta).

Teoreem.

Kui kõik maatriksi A k-ndat järku minoorset järgu p ja n ääristavad mollid on võrdsed nulliga, siis kõik maatriksi A järgu mollid (k + 1) on võrdsed nulliga.

Seega ei ole maatriksi auastme leidmiseks vaja loetleda kõiki piisavalt piirnevaid alaealisi. Järgu maatriksi A k-ndat järku minooriga piirnevate alaealiste arv leitakse valemiga . Pange tähele, et maatriksi A k-ndat järku minoorseid alasid ei ole rohkem kui maatriksi A (k + 1)-ndat järku molli. Seetõttu on enamikul juhtudel alaealiste piiritlemise meetodi kasutamine tulusam kui lihtsalt kõigi alaealiste loendamine.

Jätkame maatriksi auastme leidmisega alaealiste ääristamise meetodil. Kirjelda lühidalt algoritm seda meetodit.

Kui maatriks A on nullist erinev, siis võtame maatriksi A mis tahes elemendi, mis erineb nullist, esimest järku minoorseks. Arvestame selle piirnevate alaealistena. Kui need kõik on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui on vähemalt üks nullist erinev ääristav alaealine (selle järjekord on võrdne kahega), siis läheme selle piirnevate alaealiste arvestamise juurde. Kui need kõik on nullid, siis Aste(A) = 2 . Kui vähemalt üks piirnev alaealine on nullist erinev (selle järjestus võrdub kolmega), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Ja nii edasi. Selle tulemusena on Aste(A) = k, kui kõik maatriksi A (k + 1) järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga või Aste(A) = min(p, n), kui on olemas nullist erinev väärtus. järgu molliga piirnev moll (min( p, n) – 1) .

Analüüsime näite varal maatriksi auastme leidmiseks alaealiste piiritlemise meetodit.

Näide.

Leidke maatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil.

Lahendus.

Kuna maatriksi A element a 1 1 on nullist erinev, võtame seda esimest järku minoorsena. Alustame nullist erineva piirneva alaealise otsimist:

Leitakse nullist erinev piirnev teist järku moll. Loetleme selle piirnevaid alaealisi (nende asjad):

Kõik teist järku molliga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on maatriksi A aste võrdne kahega.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Näide.

Leidke maatriksi auaste piiriäärsete alaealiste abiga.

Lahendus.

Esimest järku nullist erineva minoorina võtame maatriksi A elemendi a 1 1 = 1 . Fringing it minor of the second order ei ole võrdne nulliga. See alaealine piirneb kolmanda järgu alaealisega
. Kuna see ei ole võrdne nulliga ja selle jaoks pole piirnevat molli, võrdub maatriksi A auaste kolmega.

Vastus:

Aste(A) = 3 .

Auastme leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil (Gaussi meetodil).

Mõelge veel ühele võimalusele maatriksi auastme leidmiseks.

Järgmisi maatriksteisendusi nimetatakse elementaarseteks:

maatriksi ridade (või veergude) permutatsioon;
maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamine suvalise arvuga k, mis erineb nullist;
mis tahes rea (veeru) elementidele lisades maatriksi teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga k.

Maatriksit B nimetatakse samaväärseks maatriksiga A, kui B saadakse A-st lõpliku arvu elementaarteisenduste abil. Maatriksite samaväärsust tähistatakse sümboliga "~", see tähendab, et see on kirjutatud A ~ B.

Maatriksi järgu leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil põhineb väitel: kui maatriksist A saadakse maatriksist A lõpliku arvu elementaarteisenduste abil, siis Rank(A) = Aste(B) .

Selle väite kehtivus tuleneb maatriksi determinandi omadustest:

Kui maatriksi read (või veerud) on permuteeritud, muudab selle determinant märki. Kui see on võrdne nulliga, siis ridade (veergude) permuteerimisel jääb see võrdseks nulliga.
Kui korrutada maatriksi mis tahes rea (veeru) kõik elemendid suvalise arvuga k, mis erineb nullist, on saadud maatriksi determinant võrdne algmaatriksi determinandiga, korrutatuna k-ga. Kui algse maatriksi determinant on võrdne nulliga, siis pärast mis tahes rea või veeru kõigi elementide korrutamist arvuga k on saadud maatriksi determinant samuti võrdne nulliga.
Maatriksi teatud rea (veeru) elementide lisamine maatriksi teise rea (veeru) vastavate elementide korrutatuna teatud arvuga k ei muuda selle determinanti.

Elementaarteisenduste meetodi olemus on viia maatriks, mille auaste peame leidma, trapetsiks (konkreetsel juhul ülemisse kolmnurksesse), kasutades elementaarteisendusi.

Milleks see mõeldud on? Seda tüüpi maatriksite järjestust on väga lihtne leida. See on võrdne ridade arvuga, mis sisaldavad vähemalt ühte mitte-null-elementi. Ja kuna maatriksi auaste elementaarsete teisenduste käigus ei muutu, on tulemuseks algmaatriksi auaste.

Toome illustratsioonid maatriksitest, millest üks tuleks saada pärast teisendusi. Nende vorm sõltub maatriksi järjestusest.

Need illustratsioonid on mallid, milleks teisendame maatriksi A.

Kirjeldame meetodi algoritm.

Oletame, et peame leidma nullist erineva maatriksi A järjestuse (p võib olla võrdne n-ga).

Niisiis, . Korrutame maatriksi A esimese rea kõik elemendid arvuga. Sel juhul saame samaväärse maatriksi, tähistame seda A (1) :

Saadud maatriksi A (1) teise rea elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Lisage kolmanda rea elementidele esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Ja nii edasi kuni p-nda reani. Saame ekvivalentmaatriksi, tähistame seda A (2) :

Kui kõik saadud maatriksi elemendid ridades teisest kuni p-ndani on võrdsed nulliga, on selle maatriksi auaste võrdne ühega ja sellest tulenevalt on algse maatriksi aste võrdne ühega. .

Kui ridades teisest kuni p-ndani on vähemalt üks nullist erinev element, siis jätkame teisenduste läbiviimist. Pealegi toimime täpselt samamoodi, kuid ainult joonisel (2) märgitud maatriksi A osaga.

Kui , siis korraldame maatriksi A (2) read ja (või) veerud ümber nii, et "uus" element muutub nullist erinevaks.

Maatriksi järgu määramine

Vaatleme maatriksit \(A\) tüüpi \((m,n)\). Olgu kindluse huvides \(m \leq n\). Võtke \(m\) rida ja vali maatriksi \(A\) veerud \(m\), nende ridade ja veergude ristumiskohas saame ruutmaatriksi järku \(m\), mille determinant on nn. väike tellimus \(m\) maatriksid \(A\). Kui see moll erineb 0-st, kutsutakse seda põhimoll ja öelda, et maatriksi \(A\) auaste on \(m\). Kui see determinant on võrdne 0-ga, siis valitakse teised \(m\) veerud, mille ristumiskohas on elemendid, mis moodustavad teise järguga \(m\) minoorse. Kui alaealine on 0, jätkame protseduuri. Kui kõigi võimalike järgu \(m\) alaealiste hulgas pole nullist erinevat, valime maatriksist \(A\) \(m-1\) read ja veerud, nende ristumiskohas ruutmaatriks järjestusega \ (m-1\) ilmub , selle determinanti nimetatakse algmaatriksi järgu minoorseks \(m-1\). Protseduuri jätkates otsime nullist erinevat alaealist, käies läbi kõik võimalikud alaealised, alandades nende järjekorda.

Definitsioon.

Nimetatakse antud maatriksi kõrgeima järgu nullist erinev minoori põhimoll algmaatriksist nimetatakse selle järjestust koht maatrikseid \(A\), ridu ja veerge, mille ristumiskohas on põhimoll, nimetatakse põhiridadeks ja -veerudeks. Maatriksi järjestust tähistab \(rang(A)\).

Sellest definitsioonist tulenevad maatriksi järgu lihtsad omadused: see on täisarv ja nullist erineva maatriksi auaste rahuldab ebavõrdsuse: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Kuidas muutub maatriksi järjestus, kui rida on läbi kriipsutatud? Kas lisada rida?

Kontrollige vastust

1) Auaste võib langeda 1 võrra.

2) Auaste võib tõusta 1 võrra.

Maatriksi veergude lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus

Olgu \(A\) \((m,n)\ tüüpi maatriks). Mõelge maatriksi \(A\) veergudele - need on \(m\) numbrite veerud. Tähistame need \(A_1,A_2,...,A_n\). Olgu \(c_1,c_2,...,c_n\) mõned arvud.

Definitsioon.

Veergu \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] nimetatakse veergude \(A_1,A_2,...,A_n\), numbrite lineaarseks kombinatsiooniks \(c_1,c_2 ,...,c_n\) nimetatakse selle lineaarse kombinatsiooni kordajateks.

Definitsioon.

Olgu antud \(p\) veerud \(A_1, A_2, ..., A_p\). Kui on arvud \(c_1,c_2,...,c_p\) sellised, et

1. kõik need arvud ei ole nullid,

2. lineaarne kombinatsioon \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) võrdub nullveeruga (st veeruga, mille kõik elemendid on nullid), siis me ütleme, et veerud \( A_1, A_2, ..., A_p\) on lineaarselt sõltuvad. Kui antud veergude komplekti jaoks selliseid numbreid \(c_1,c_2,...,c_n\) pole, loetakse veerud lineaarselt sõltumatuks.

Näide. Kaaluge 2 veergu

\[ A_1=\left(\begin(massiivi)(c) 1 \\ 0 \end(massiivi) \right), A_2=\left(\begin(massiivi)(c) 0 \\ 1 \end(massiivi) \right), \] siis mis tahes arvude \(c_1,c_2\) jaoks on meil: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(massiivi)(c) 1 \\ 0 \end(massiivi) \right) + c_2\left(\begin(massiivi)(c) 0 \\ 1 \end(massiivi) \right)=\left(\begin(massiivi)(c) c_1 \\ c_2 \end(massiivi) \right). \]

See lineaarne kombinatsioon võrdub nulli veeruga siis ja ainult siis, kui mõlemad arvud \(c_1,c_2\) on võrdsed nulliga. Seega on need veerud lineaarselt sõltumatud.

avaldus. Et veerud oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et üks neist oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

Olgu veerud \(A_1,A_2,...,A_m\) lineaarselt sõltuvad, st. mõne konstanti \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\) puhul, millest kõik ei ole 0, käivitatakse järgmine: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k =0 \ ] (paremal küljel - null veerg). Olgu näiteks \(\lambda _1 \neq 0\). Siis \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] st. esimene veerg on ülejäänute lineaarne kombinatsioon.

Põhiteoreem

Teoreem.

Iga nullist erineva maatriksi \(A\) puhul kehtib järgmine:

1. Põhiveerud on lineaarselt sõltumatud.

2. Maatriksi mis tahes veerg on selle põhiveergude lineaarne kombinatsioon.

(Sama kehtib ka keelpillide kohta).

Määratluse huvides olgu \((m,n)\) maatriksi tüüp \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) ja alusmoll asub esimeses \( r\) ridade ja veergude maatriksid \(A\). Olgu \(s\) suvaline arv vahemikus 1 kuni \(m\), \(k\) on suvaline arv vahemikus 1 kuni \(n\). Vaatleme molli järgmisel kujul: \[ D=\left| \begin(massiivi)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \punktid &\lpunktid & \lpunktid & \lpunktid & \lpunktid \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(massiivi) \right| , \] st. oleme määranud põhimollile \(s-\)-nda veeru ja \(k-\)-nda rea. Maatriksi astme definitsiooni järgi on see determinant võrdne nulliga (kui valisime \(s\leq r\) või \(k \leq r\) , siis on sellel minoorsel 2 identset veergu või 2 identset rida, kui \( s>r\) ja \(k>r\) - auastme määratluse järgi kaob moll, mille suurus on suurem kui \(r\). Laiendades seda determinandi viimasele reale, saame: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_ (ks )=0. \quad \quad(16) \]

Siin on arvud \(A_(kp)\) alumise rea \(D\) elementide algebralised täiendid. Nende väärtused ei sõltu \(k\), sest moodustatakse esimeste \(r\) ridade elementide abil. Sel juhul on \(A_(ks)\) põhimoll, mis ei ole 0. Tähistage \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)=c_s \neq 0 \). Kirjutame (16) ümber uues tähistuses: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] või jagades \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] See võrdsus kehtib mis tahes väärtuse \(k\) korral, seega \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ ( 2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ .................... . ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_(m1) + \lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Seega on \(s-\) veerg esimeste \(r\) veergude lineaarne kombinatsioon. Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri.

Põhiteoreem eeldab, et maatriksi auaste on võrdne selle lineaarselt sõltumatute veergude arvuga (mis võrdub lineaarselt sõltumatute ridade arvuga).

Tagajärg 1.

Kui determinant on null, on sellel veerg, mis on ülejäänud veergude lineaarne kombinatsioon.

Tagajärg 2.

Kui maatriksi järjestus on väiksem kui veergude arv, siis on maatriksi veerud lineaarselt sõltuvad.

Maatriksi järgu arvutamine ja alusminoori leidmine

Mõned maatriksi teisendused ei muuda selle auastet. Selliseid teisendusi võib nimetada elementaarseteks. Vastavaid fakte saab hõlpsasti kontrollida, kasutades determinantide omadusi ja maatriksi järgu definitsiooni.

1. Veergude ümberpaigutamine.

2. Mis tahes veeru elementide korrutamine nullist erineva teguriga.

3. Lisamine mis tahes muu veeru veerule, korrutatuna suvalise arvuga.

4. Nullveeru maha kriipsutamine.

Sama kehtib ka keelpillide kohta.

Nende teisenduste abil saab maatriksi teisendada nn "trapetsikujuliseks" - maatriksiks, mille põhidiagonaali all on ainult nullid. "Trapetsikujulise" maatriksi puhul on auaste nullist erinevate elementide arv põhidiagonaalil ja põhi-moll on alamoor, mille diagonaal ühtib nullist erineva elementide hulgaga teisendatud maatriksi põhidiagonaalil.

Näide. Mõelge maatriksile

\[ A=\left(\begin(massiivi)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(massiivi)\right). \] Teisendame selle ülaltoodud teisenduste abil. \[ A=\left(\begin(massiivi)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(massiivi) \right) \mapsto \left(\begin(massiivi)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(massiivi) \right) \mapsto \left(\begin(massiivi)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(massiivi) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(massiivi)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)\mapsto \left(\begin(massiivi)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(massiivi)\right). \]

Siin teeme järjekindlalt järgmisi samme: 1) teisendame teise rea ülespoole, 2) lahutame esimese rea ülejäänud hulgast sobiva teguriga, 3) lahutame teise rea kolmandast 4 korda, lisame teise rea neljandale, 4) kriipsutada maha nullrida – kolmas ja neljas . Meie lõplik maatriks on omandanud soovitud kuju: põhidiagonaalil on nullist erinevad numbrid, põhidiagonaali all nullid. Pärast seda protseduur peatub ja nullist erineva elementide arv põhidiagonaalil võrdub maatriksi auastmega. Sel juhul on põhimoll kaks esimest rida ja kaks esimest veergu. Nende ristumiskohas on 2. järku maatriks nullist erineva determinandiga. Samas saab mööda teisenduste ahelat vastupidises suunas naastes jälgida, kust see või teine rida (see või teine veerg) lõppmaatriksis tuli, s.t. määrata algse maatriksi põhiread ja veerud. Sel juhul moodustavad kaks esimest rida ja kaks esimest veergu alus-minoori.

Olgu A maatriks mõõtmetega m\ korda n ja k naturaalarv, mis ei ületa m ja n : k\leqslant\min\(m;n\). Väike k-s järjekord maatriks A on maatriksi A suvaliselt valitud k rea ja k veeru ristumiskohas elementide moodustatud k-ndat järku maatriksi determinant. Alaealisi tähistades tähistatakse valitud ridade numbreid ülemiste ja valitud veergude numbreid madalamate indeksitega, järjestades need kasvavas järjekorras.

Näide 3.4. Kirjutage erineva maatriksi järjekorra alaealisi

A=\begin(pmaatriks)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmaatriks)\!.

Lahendus. Maatriksi A mõõtmed on 3\ korda4. Sellel on: 12 I järgu alaealist, näiteks alaealist M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 alaealist 2. järku näiteks M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 alaealist 3. järku näiteks

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

M\x n maatriksis A kutsutakse r-ndat järku minoori põhilised, kui see on nullist erinev ja kõik järgu minoorsed (r + 1)-ro on võrdsed nulliga või neid pole üldse olemas.

Maatriksi auaste nimetatakse põhimolli järjekorraks. Nullmaatriksis puudub alusmoll. Seetõttu eeldatakse, et nullmaatriksi aste on definitsiooni järgi null. Maatriksi A aste on tähistatud \operaatorinimi(rg)A.

Näide 3.5. Leia kõik põhimollid ja maatriksi auaste

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Lahendus. Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna nende determinantide kolmas rida on null. Seetõttu saab põhiline olla ainult maatriksi kahes esimeses reas asuv teist järku moll. Läbides 6 võimalikku alaealist, valime nullist erineva

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmaatriks)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmaatriks) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Kõik need viis alaealist on põhilised. Seetõttu on maatriksi auaste 2.

Märkused 3.2

1. Kui maatriksis on kõik k-ndat järku mollid võrdsed nulliga, siis on ka kõrgemat järku mollid võrdsed nulliga. Tõepoolest, laiendades (k + 1)-ro järgu molli suvalisele reale, saame selle rea elementide korrutiste summa k-ndat järku kõrvaltähtedega ja need on võrdsed nulliga.

2. Maatriksi järk on võrdne selle maatriksi nullist erineva minoori suurima järguga.

3. Kui ruutmaatriks on mittedegenereerunud, siis on selle järjestus võrdne selle järjestusega. Kui ruutmaatriks on degenereerunud, on selle aste väiksem kui selle järjestus.

4. Nimetusi kasutatakse ka auastme jaoks \operaatorinimi(Rg)A,~ \operaatorinimi(aste)A,~ \operaatorinimi(aste)A.

5. Block Matrix Rank on defineeritud kui tavalise (numbrilise) maatriksi auaste, st. sõltumata selle ploki struktuurist. Sel juhul ei ole plokimaatriksi järjestus väiksem kui selle plokkide auaste: \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)A ja \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)B, kuna kõik maatriksi A (või B ) minoorsed on ka plokkmaatriksi (A\mid B) minoorsed .

Teoreemid molli ja maatriksi auastme alusel

Vaatleme peamisi teoreeme, mis väljendavad maatriksi veergude (ridade) lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse omadusi.

Teoreem 3.1 põhimolli kohta. Suvalises maatriksis A on iga veerg (rida) lineaarne kombinatsioon veergudest (ridadest), milles asub põhimoll.

Tõepoolest, ilma üldistust kaotamata eeldame, et m\times n maatriksis A asub alusmoll esimeses r reas ja esimeses r veerus. Mõelge determinandile

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmaatriks),

mis saadakse s-nda rea ja k-nda veeru vastavate elementide määramisel maatriksi A alusmollile. Pange tähele, et mis tahes 1\leqslant s\leqslant m ja see determinant on null. Kui s\leqslant r või k\leqslant r , siis determinant D sisaldab kahte identset rida või kahte identset veergu. Kui s>r ja k>r , siis on determinant D võrdne nulliga, kuna see on (r+l)-ro järgu moll. Laiendades determinandi üle viimase rea, saame

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

kus D_(r+1\,j) on viimase rea elementide algebralised täiendid. Pange tähele, et D_(r+1\,r+1)\ne0 , kuna see on põhimoll. Sellepärast

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), kus \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Kirjutades viimase võrrandi s=1,2,\ldots,m , saame

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

need. k-s veerg (mis tahes 1\leqslant k\leqslant n) on põhimolli veergude lineaarne kombinatsioon, mida tuli tõestada.

Põhiteoreem on mõeldud järgmiste oluliste teoreemide tõestamiseks.

Tingimus, et determinand on võrdne nulliga

Teoreem 3.2 (vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Et determinant oleks võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et üks selle veergudest (üks selle ridadest) oleks ülejäänud veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Tõepoolest, vajalikkus tuleneb põhimolloori teoreemist. Kui n-ndat järku ruutmaatriksi determinant on võrdne nulliga, siis on selle aste väiksem kui n, s.o. vähemalt üks veerg ei kuulu alus-minoori hulka. Seejärel on see teoreemi 3.1 järgi valitud veerg põhimolli sisaldavate veergude lineaarne kombinatsioon. Lisades sellele kombinatsioonile vajadusel muid nullkoefitsientidega veerge, saame, et valitud veerg on maatriksi ülejäänud veergude lineaarne kombinatsioon. Determinandi omadustest tuleneb piisavus. Kui näiteks determinandi viimane veerg A_n \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineaarselt väljendatuna ülejäänud osas

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

seejärel lisades A_n veeru A_1 korrutisega (-\lambda_1) , seejärel veeru A_2 korrutisega (-\lambda_2) ja nii edasi. veerg A_(n-1) korrutatuna (-\lambda_(n-1)) , saame determinandi \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) nullveeruga, mis on võrdne nulliga (determinandi omadus 2).

Maatriksi järgu invariantsus elementaarteisenduste korral

Teoreem 3.3 (järguinvariantsusest elementaarteisenduste korral). Maatriksi veergude (ridade) elementaarsete teisenduste korral selle aste ei muutu.

Tõepoolest, las . Oletame, et maatriksi A veergude ühe elementaarse teisenduse tulemusena saime maatriksi A ". Kui sooritati I tüüpi teisendus (kahe veeru permutatsioon), siis mis tahes minoor (r + l)-ro maatriksi A" järjekord või võrdne maatriksi A järgu vastava minooriga (r + l )-ro või erineb sellest märgi poolest (determinandi omadus 3). Kui teostati II tüüpi teisendus (veeru korrutamine arvuga \lambda\ne0 ), siis maatriksi A" suurusjärgus mis tahes minoor (r+l)-ro on võrdne vastava minoorse (r+l)- ro maatriksi A suurusjärku või erineb sellest kordaja \lambda\ne0 (determinandi omadus 6).Kui teostati III tüüpi teisendus (liides teise veeru ühele veerule korrutatuna arvuga \Lambda ), siis maatriksi A" iga (r + 1) järkjärgu alamiinor on kas võrdne maatriksi A vastava minoorse (r+1) järguga (determinandi omadus 9) või võrdub kaks maatriksi A (r+l)-ro järgu minoori (determinandi omadus 8). Seetõttu on mis tahes tüüpi elementaarteisendusel kõik maatriksi A" järgu minoorid (r + l) - ro võrdsed nulliga, kuna kõik maatriksi A järgu minoorid (r + l) - ro on võrdne nulliga. Seega on tõestatud, et veergude elementaarteisenduste korral ei saa astmemaatriksid suureneda.Kuna elementaarteisendused on elementaarsed, ei saa maatriksi auaste veergude elementaarteisenduste korral langeda, st ei muutu. Samuti on tõestatud, et maatriksi auaste ridade elementaarteisenduste korral ei muutu.

Tagajärg 1. Kui maatriksi üks rida (veerg) on selle teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, saab selle rea (veeru) maatriksist kustutada ilma selle järjestust muutmata.

Tõepoolest, sellise stringi saab muuta nulliks, kasutades elementaarseid teisendusi, ja nullstringi ei saa lisada põhimolli.

Tagajärg 2. Kui maatriks taandatakse lihtsaimale kujule (1.7), siis

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=r\,.

Tõepoolest, kõige lihtsama vormi (1.7) maatriksil on r-ndat järku alusmoll.

Tagajärg 3. Iga mitteainsuse ruutmaatriks on elementaarne, teisisõnu, mis tahes mitteainsuse ruutmaatriks on samaväärne sama järgu identiteedimaatriksiga.

Tõepoolest, kui A on mitteainsuse ruutmaatriks järguga n, siis \operaatorinimi(rg)A=n(vt märkuste 3.2 punkt 3). Seetõttu taandades maatriksi A elementaarteisendustega lihtsaimale kujule (1.7), saame identiteedimaatriksi \Lambda=E_n , kuna \operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=n(vt Järeldus 2). Seetõttu on maatriks A ekvivalentne identiteedimaatriksiga E_n ja selle saab saada lõpliku arvu elementaarteisenduste tulemusena. See tähendab, et maatriks A on elementaarne.

Teoreem 3.4 (maatriksi astme kohta). Maatriksi järjestus on võrdne selle maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalse arvuga.

Tõepoolest, las \operaatorinimi(rg)A=r. Siis on maatriksil A r lineaarselt sõltumatut rida. Need on read, milles asub põhimoll. Kui need oleksid lineaarselt sõltuvad, siis oleks see alatäht võrdne teoreemi 3.2 järgi nulliga ja maatriksi A aste ei oleks võrdne r . Näitame, et r on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, s.o. mis tahes p read on lineaarselt sõltuvad p>r . Tõepoolest, nendest p ridadest moodustame maatriksi B. Kuna maatriks B on maatriksi A osa, siis \operaatorinimi(rg)B\leqslant \operaatorinimi(rg)A=r

See tähendab, et vähemalt üks rida maatriksist B ei kuulu selle maatriksi põhimolli. Seejärel on see põhimoll teoreemi järgi võrdne ridade lineaarse kombinatsiooniga, milles asub alusmoll. Seetõttu on maatriksi B read lineaarselt sõltuvad. Seega on maatriksil A maksimaalselt r lineaarselt sõltumatut rida.

Tagajärg 1. Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga:

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)A^T.

See väide tuleneb teoreemist 3.4, kui seda rakendada transponeeritud maatriksi ridadele ja arvestada, et alaealised transponeerimisel ei muutu (determinandi omadus 1).

Tagajärg 2. Maatriksi ridade elementaarsete teisenduste korral säilib selle maatriksi mis tahes veergude süsteemi lineaarne sõltuvus (või lineaarne sõltumatus).

Tõepoolest, me valime antud maatriksist A mis tahes k veergu ja moodustame nendest maatriksi B. Olgu maatriksi A ridade elementaarteisenduste tulemusena saadi maatriks A" ja maatriksi B ridade samade teisenduste tulemusena maatriks B". Lause 3.3 järgi \operaatorinimi(rg)B"=\operaatorinimi(rg)B. Seega, kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltumatud, s.t. k=\operaatorinimi(rg)B(vt Järeldus 1), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltumatud, kuna k=\operaatorinimi(rg)B". Kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B"). Seetõttu säilitatakse maatriksi A mis tahes veergude puhul lineaarne sõltuvus või lineaarne sõltumatus elementaarsete rea teisenduste korral.

Märkused 3.3

1. Teoreemi 3.4 järelduse 1 kohaselt kehtib 2. järelduses näidatud veeru omadus ka iga maatriksiridade süsteemi puhul, kui elementaarteisendusi teostatakse ainult selle veergudel.

2. Teoreemi 3.3 järeldust 3 saab täpsustada järgmiselt: mis tahes mitteainsuse ruutmaatriksi, kasutades ainult selle ridade (või ainult veergude) elementaarteisendusi, saab taandada sama järku identiteedimaatriksiks.

Tõepoolest, kasutades ainult elementaarseid rea teisendusi, saab iga maatriksi A taandada lihtsustatud kujule \Lambda (joonis 1.5) (vt teoreem 1.1). Kuna maatriks A on mittesingulaarne (\det(A)\ne0), on selle veerud lineaarselt sõltumatud. Järelikult on ka maatriksi \Lambda veerud lineaarselt sõltumatud (teoreemi 3.4 järeldus 2). Seetõttu langeb mitteainsuse maatriksi A lihtsustatud vorm \Lambda kokku selle kõige lihtsama vormiga (joonis 1.6) ja on identsusmaatriks \Lambda=E (vt teoreemi 3.3 järeldus 3). Seega, teisendades ainult mitteainsuse maatriksi ridu, saab selle taandada identseks maatriksiks. Sarnane arutlus kehtib ka mitteainsuse maatriksi veergude elementaarteisenduste puhul.

Korrutise aste ja maatriksite summa

Teoreem 3.5 (maatriksite korrutise astme kohta). Maatriksite korrutise järjekord ei ületa tegurite astet:

\operaatorinimi(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operaatorinimi(rg)A,\operaatorinimi(rg)B\).

Tõepoolest, olgu maatriksite A ja B suurused m\ korda p ja p\ korda n . Määrame maatriksile A maatriksi C=AB\koolon\,(A\keskmine C). See on ütlematagi selge \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C), sest C on maatriksi osa (A\mid C) (vt märkuse 3.2 punkti 5). Pange tähele, et iga veerg C_j on maatriksi korrutamisoperatsiooni kohaselt veergude lineaarne kombinatsioon A_1,A_2,\ldots,A_p maatriksid A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Sellise veeru saab maatriksist (A\mid C) kustutada ilma selle järku muutmata (Teoreemi 3.3 järeldus 1). Kriipsutades maha kõik maatriksi C veerud, saame: \operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Siit, \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Samamoodi saab tõestada, et tingimus \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)B, ja teha järeldus teoreemi kehtivuse kohta.

Tagajärg. Kui a A on siis mittedegenereerunud ruutmaatriks \operaatorinimi(rg)(AB)= \operaatorinimi(rg)B ja \operaatorinimi(rg)(CA)=\operaatorinimi(rg)C, st. maatriksi aste ei muutu, kui see korrutatakse vasakul või paremal mitteainsuse ruutmaatriksiga.

Lause 3.6 maatriksite summa järgust. Maatriksite summa aste ei ületa terminite ridade summat:

\operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B.

Tõepoolest, loome maatriksi (A+B\keskel A\keskel B). Pange tähele, et maatriksi A+B iga veerg on maatriksite A ja B veergude lineaarne kombinatsioon. Sellepärast \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operaatorinimi(rg)(A\mid B). Arvestades, et lineaarselt sõltumatute veergude arv maatriksis (A\mid B) ei ületa \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B, a \operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)(vt märkuste 3.2 punkt 5), saame nõutava ebavõrdsuse.

Olgu antud mõni maatriks:

Valige selles maatriksis suvalised read ja suvalised veerud
. Siis determinant järjekord, mis koosneb maatriksielementidest
mis asub valitud ridade ja veergude ristumiskohas, nimetatakse alaealiseks -nda järgu maatriks
.

Definitsioon 1.13. Maatriksi auaste
on selle maatriksi nullist erineva minoori suurim järjekord.

Maatriksi auastme arvutamiseks tuleks arvesse võtta kõiki selle väikseimat järku alaealisi ja kui vähemalt üks neist on nullist erinev, siis alustada kõrgeima järgu alaealiste arvestamist. Sellist maatriksi auastme määramise meetodit nimetatakse piirdemeetodiks (või piirnevate alaealiste meetodiks).

Ülesanne 1.4. Alaealiste piirnemise meetodil määrake maatriksi auaste
.

Kaaluge näiteks esimest järku ääristamist
. Seejärel käsitleme teist järku piirdeid.

Näiteks,
.

Lõpetuseks analüüsime kolmanda järjekorra piiritust.

Seega on nullist erineva alaea kõrgeim järk 2, seega
.

Ülesande 1.4 lahendamisel võib märgata, et teist järku piirnevate alaealiste jada on nullist erinev. Sellega seoses leiab aset järgmine mõiste.

Definitsioon 1.14. Maatriksi alusmoll on mis tahes nullist erinev moll, mille järjekord on võrdne maatriksi auastmega.

Teoreem 1.2.(Põhiline molli teoreem). Põhiread (põhiveerud) on lineaarselt sõltumatud.

Pange tähele, et maatriksi read (veerud) on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui vähemalt ühte neist saab esitada teiste lineaarse kombinatsioonina.

Teoreem 1.3. Lineaarselt sõltumatute maatriksi ridade arv on võrdne lineaarselt sõltumatute maatriksi veergude arvuga ja võrdub maatriksi auastmega.

Teoreem 1.4.(Vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Selleks, et määraja - järjekorras on võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et selle read (veerud) oleksid lineaarselt sõltuvad.

Maatriksi auastme arvutamine selle definitsiooni alusel on liiga tülikas. See muutub eriti oluliseks kõrge järgu maatriksite puhul. Sellega seoses arvutatakse praktikas maatriksi auaste teoreemide 10.2–10.4 rakendamise, samuti maatriksi ekvivalentsuse ja elementaarteisenduste mõistete kasutamise põhjal.

Definitsioon 1.15. Kaks maatriksit
ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende auastmed on võrdsed, s.t.
.

Kui maatriksid
ja on samaväärsed, siis pange tähele
 .

Teoreem 1.5. Maatriksi auaste elementaarteisendustest ei muutu.

Nimetame maatriksi elementaarseid teisendusi
mis tahes järgmistest toimingutest maatriksis:

Ridade asendamine veergudega ja veergude asendamine vastavate ridadega;

Maatriksiridade permutatsioon;

Joone, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, läbikriipsutamine;

Mis tahes stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

Lisades ühe rea elementidele teise rea vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga
.

Teoreemi 1.5 järeldus. Kui maatriks
saadud maatriksist kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi, siis maatrikseid
ja on samaväärsed.

Maatriksi järgu arvutamisel tuleks see taandada trapetsikujuliseks, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi.

Definitsioon 1.16. Trapetsikujuliseks nimetatakse sellist maatriksi esitusviisi, kui nullist erineva suurima järgu piirdemollis kaovad kõik diagonaalsetest allpool olevad elemendid. Näiteks:

Siin
, maatriksi elemendid
nulli keerata. Siis on sellise maatriksi esitusvorm trapetsikujuline.

Reeglina taandatakse maatriksid Gaussi algoritmi abil trapetsikujuliseks. Gaussi algoritmi idee seisneb selles, et maatriksi esimese rea elementide korrutamisel vastavate teguritega saavutatakse see, et kõik esimese veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel korrutades teise veeru elemendid vastavate kordajatega, saavutame selle, et kõik teise veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Jätkake samamoodi.