Ruutvõrrandid – näited lahenduste, tunnuste ja valemitega. Ruutvõrrandi üldvaade

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel abrakadabrat, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on siin kirjas:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake tähelepanu meie navigaatorile, et leida kõige kasulikum ressurss

Mõiste "ruutvõrrand" võtmesõnaks on "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama ruudus muutujat (sama X) ja samal ajal ei tohiks olla X-e kolmandal (või suuremal) astmel.

Paljude võrrandite lahendus taandatakse ruutvõrrandite lahendiks.

Õpime kindlaks tegema, et meil on ruutvõrrand, mitte mõni muu.

Näide 1

Vabastage nimetaja ja korrutage võrrandi iga liige arvuga

Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid x astmete kahanevas järjekorras

Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!

Näide 2

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!

Näide 3

Korrutame kõik arvuga:

Hirmutav? Neljas ja teine ​​aste ... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4

Tundub, et on, aga vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:

Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad kõik ruutvõrrandid tinglikult järgmisteks tüüpideks:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, sest mõni element on neil puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus !!! Vastasel juhul pole see enam ruutväärtus, vaid mingi muu võrrand.

Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. Selline jaotus on tingitud lahendusmeetoditest. Vaatleme igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!

Mittetäielikud ruutvõrrandid on järgmist tüüpi:

1. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
2. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

1. i. Kuna me teame, kuidas ruutjuurt võtta, siis väljendame seda võrrandit

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et peaksite alati teadma ja meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb alles vasakust ja paremast osast juur eraldada. Lõppude lõpuks, kas mäletate, kuidas juuri välja tõmmata?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oeh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Selliste võrrandite jaoks, milles juured puuduvad, mõtlesid matemaatikud välja spetsiaalse ikooni - (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Sellel viisil,

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Siin teeme ilma näideteta.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täisruutvõrrandite lahendamine on natuke keerulisem (lihtsalt natuke) kui etteantud.

Pea meeles, mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Ülejäänud meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis võrrandil on juur Erilist tähelepanu tuleks pöörata sammule. Diskriminant () ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
• Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Tuleme tagasi võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil kaks juurt.

3. samm

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

See tähendab, et me ei saa diskriminandi juurt eraldada. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, siis on olemas sellist tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.

Näide 12:

Lahenda võrrand

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna .

Võrrandi juurte summa on, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on:

Loome ja lahendame süsteemi:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on vormi võrrand, kus - teadmata, - veel mõned arvud.

Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, a - vaba liige.

Miks? Sest kui, muutub võrrand kohe lineaarseks, sest kaob.

Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles väljaheite võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Alustuseks analüüsime mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid - need on lihtsamad.

Eristada saab järgmist tüüpi võrrandeid:

I. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.

Nüüd kaaluge kõigi nende alatüüpide lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt kirjutamiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Teguristame võrrandi vasaku külje ja leiame juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juurvalemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juur:
• Kui, siis on võrrandil sama juur, kuid tegelikult üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on juurte arv erinev? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:

Konkreetsel juhul, mis on ruutvõrrand, . Ja see tähendab, et ruutvõrrandi juured on lõikepunktid x-teljega (teljega). Parabool ei pruugi telge üldse ületada või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole ja kui - siis allapoole.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

See tähendab, et lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima numbripaari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult sellele antud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna . Muud koefitsiendid: ; .

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on:

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; .

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja sellised arvupaarid, mis korrutises sisalduvad, ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: anna kokku.

ja: anna kokku. Selle saamiseks peate lihtsalt muutma väidetavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka tööd.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​on positiivne. Nii et juurte summa on nende moodulite erinevused.

Valime sellised arvupaarid, mis annavad tootes ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, siis absoluutväärtuses väiksem juur peab olema negatiivne: . Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselgelt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemad juured on miinuses.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Nõus, see on väga mugav - leiutada juuri suuliselt, selle asemel, et seda vastikut diskrimineerijat lugeda. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selle kasutamise kasumlikuks muutmiseks peate toimingud automatiseerima. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa diskriminanti kasutada! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vastavalt Vieta teoreemile:

Tavapäraselt alustame valikut tootega:

Ei sobi, sest kogus;

: summa on see, mida vajate.

Vastus: ; .

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peaks välja tulema, kuid korrutis on võrdne.

Kuid kuna see peaks olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).

Vastus: ; .

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Kõik tingimused on vaja üle kanda ühte ossa:

Juurte summa võrdub korrutisega.

Jah, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate tooma võrrandi. Kui te ei saa seda välja tuua, loobuge sellest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi toomine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdsustamist järgmisega:

Suurepärane. Siis on juurte summa ja korrutis võrdne.

Siin on lihtsam üles võtta: lõppude lõpuks - algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; .

4. ülesanne.

Vaba termin on negatiivne. Mis selles nii erilist on? Ja see, et juured on erineva märgiga. Ja nüüd, valiku ajal, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, kuid toode.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; .

5. ülesanne.

Mida tuleb kõigepealt teha? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peab olema võrdne, mis tähendab, et miinusega on suurem juur.

Vastus: ; .

Lubage mul teha kokkuvõte:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades saate juured leida valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit ei anta või ei leitud vaba liikme sobivat tegurite paari, siis täisarvu juured puuduvad ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Täisruudu valiku meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad liikmed on esitatud terminitena lühendatud korrutise valemitest - summa või vahe ruut -, siis pärast muutujate muutumist saab võrrandit esitada mittetäieliku tüübi ruutvõrrandina.

Näiteks:

Näide 1:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Üldiselt näeb teisendus välja järgmine:

See tähendab:.

Kas see ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineerija! Täpselt nii saadi diskrimineeriva valem.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on ruutvõrrandi kordajad, on vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, on võrrand järgmisel kujul: ,
• kui see on vaba termin, on võrrandi vorm: ,
• kui ja, on võrrandi vorm: .

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendage tundmatut: ,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis on võrrandil kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Lahendus diskriminandi abil

1) Toome võrrandi standardkujule: ,

2) Arvutage diskriminant valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand, kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , a.

2.3. Täisruudu lahendus

Kui vormi ruutvõrrandil on juured, siis saab selle kirjutada kujul: .

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Eksami eduka sooritamise, eelarvega instituuti vastuvõtmise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - Osta õpik - 499 rubla

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oluline on oskus neid lahendada.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a , b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. Neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruut- ja lineaarvõrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac .

See valem peab olema peast teada. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel arvavad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskriminandi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit samal viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane võrrand jääb alles:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on võrdne nulliga - juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid välja kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu – aga te ei aja koefitsiente segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui "täidate oma käe", ei pea te mõne aja pärast enam kõiki koefitsiente välja kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd lahenduse juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest – saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siin aitab jällegi ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, värvige iga samm - ja vabanege vigadest väga kiiresti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb definitsioonis esitatust mõnevõrra. Näiteks:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2–16 = 0.

On lihtne näha, et nendes võrrandites puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: nende jaoks pole vaja isegi diskriminanti arvutada. Nii et tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on väga keeruline juhtum võimalik, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b \u003d c \u003d 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 \u003d 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x \u003d 0.

Vaatleme teisi juhtumeid. Olgu b \u003d 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c \u003d 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, on viimasel võrrandil mõtet ainult siis, kui (−c / a ) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + c = 0 rahuldab ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c / a )< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminant vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0. Piisab kui väljendada x 2 väärtust ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Nüüd käsitleme võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi faktoriseerimisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks analüüsime mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Juhend

Võrrandi juurte leidmiseks on kaks võimalust: diskriminandi kaudu (tähistatakse tähega D) või Vieta teoreemi abil. Lahendus läbi diskriminandi eeldab järgmiste valemite tundmist: tegelikult diskriminandi leidmine D= b2-4ac; võrrandi x=(-b±√D)/2a juurte arvutamine.

Juurte arv sõltub saadud diskriminandist. Kui D>0, siis on võrrandil kaks erinevat juurt. Kui D=0, on vastuseks ainus juur x=(-b)/2a. Kui D0, on kaks lahendit: x=(-3+√49)/(2*2)=1; x=(-3-√49)/(2*2)=-2,5. Tulemuseks -2,5 ja 1.

Lahendus Vieta teoreemi kaudu seisneb juurte valimises ilma pikkade arvutusteta. Selle meetodi eripäraks on see, et koefitsient a peab olema võrdne ühega. Olgu x1 esimene juur ja x2 teine ​​juur. Kui võtame ruutvõrrandi üldvalemi ax2 + bx + c \u003d 0, siis on selle teoreemi kohaselt avaldised x1 + x2 \u003d -b ja x1 * x2 \u003d c tõesed. Lahenduse olemuse mõistmiseks kaaluge näidet.

Meile antakse tingimus x2-2x-8=0, kus a=1, b=-2 ja c=-8. Korrutame sellised kaks arvu, korrutades üksteisega saate 8. Need võivad olla paarid 2; 4 ja 1; 8. Sest arv c on negatiivne, peab ka üks teguritest olema negatiivne.

Pöörake tähelepanu koefitsiendile b, mis tuleb saada arvude summaga. Loogiliselt võttes arvude paar 1; 8 ei saa olla õige. Seetõttu jääb alles vaid paar 2; 4. Pea meeles, et üks arvudest on negatiivne.

Tõenäoliselt on number 4 miinusmärgiga, kuna ainult arvude -4 ja 2 summaga saate arvu b = -2. Niisiis, soovitud juured on -4 ja 2. Selle vastuse kontrollimiseks asendage need väärtused avaldistes x1 + x2 = -b ja x1 * x2 = c. -4+2=-2; -2 = -2. -4*2=-8;-8=-8. Sellest järeldub, et võrrand on õigesti lahendatud. Kuid pidage meeles, et mitte iga ruutvõrrandit ei saa selle teoreemi abil lahendada. Kui te numbreid ei leia, kasutage lahendamiseks diskrimineerivat valemit.

On võrrandid kujul ax2+bx=0 või ax2+c=0. Need on nn mittetäielikud. Nende erinevus standardavaldisest seisneb ühe termini puudumises. Selliste võrrandite lahendus. Olgu antud tingimus 2x2-4=0, kus a=2 ja c=-4. Sellise võrrandi juurte leidmiseks on järgmine x \u003d ± √ (-c / a). Asendades koefitsientide väärtused valemis, saate kaks juurt: -2 ja 2. Oluline on meeles pidada, et kui juure all saadakse negatiivne arv, pole võrrandil juuri. Olgu antud tingimus 4x2+8b=0, kus a=4 ja b=8. Sel juhul on esimene juur x1 alati võrdne nulliga ja teine ​​arvutatakse valemiga x2=- b/a. Sel juhul x2=-2.

Ükskõik millise ruutvõrrandi te lahendate, kasutage selle juurte leidmiseks alati kõige mugavamat viisi. Nii olete kindel, et ülesanne on õigesti täidetud.

”, see tähendab esimese astme võrrandeid. Selles õppetükis uurime mis on ruutvõrrand ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui tundmatu suurim aste on "2", on teil ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis! Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ja "c" - antud numbrid.

• "a" - esimene või vanem koefitsient;
• "b" - teine ​​koefitsient;
• "c" on vabaliige.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c \u003d 0" üldkujuga.

Harjutame ruutvõrrandites kordajate "a", "b" ja "c" määramist.

5x2 – 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Võrrand	Koefitsiendid
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandid

Erinevalt lineaarvõrranditest kasutatakse ruutvõrrandite lahendamiseks spetsiaalset võrrandit. juurte leidmise valem.

Pea meeles!

Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:

• viige ruutvõrrand üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0". See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";
• kasutage juurte jaoks valemit:

Kasutame näidet, et välja selgitada, kuidas rakendada ruutvõrrandi juurte leidmiseks valemit. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0

Võrrand "x 2 - 3x - 4 = 0" on juba taandatud üldkujule "ax 2 + bx + c = 0" ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame ainult taotlema valem ruutvõrrandi juurte leidmiseks.

Määratleme selle võrrandi koefitsiendid "a", "b" ja "c".

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Tema abiga lahendatakse mis tahes ruutvõrrand.

Valemis "x 1; 2 \u003d" asendatakse sageli juuravaldis
"b 2 − 4ac" täheks "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis „Mis on diskriminant“.

Vaatleme teist ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente "a", "b" ja "c" üsna raske määrata. Toome kõigepealt võrrandi üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Vastus: x = 3

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. Selline olukord tekib siis, kui juure all olevas valemis on negatiivne arv.

Olgu ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 antud.
Rakendame ruudu kolmiktelg 2 + bx + c samad teisendused, mida teostasime §-s 13, kui tõestasime teoreemi, et funktsiooni y \u003d ax 2 + bx + c graafik on parabool.
Meil on

Tavaliselt tähistatakse avaldist b 2 - 4ac tähega D ja seda nimetatakse ruutvõrrandi ax 2 + bx + c \u003d 0 diskriminandiks (või ruudukujulise trinoomi ax + bx + c diskriminandiks).

Sellel viisil

Seega saab ruutvõrrandi ax 2 + nende + c \u003d O ümber kirjutada järgmiselt

Iga ruutvõrrandi saab teisendada kujule (1), mis on mugav, nagu me nüüd näeme, ruutvõrrandi juurte arvu määramiseks ja nende juurte leidmiseks.

Tõestus. Kui D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Näide 1 Lahendage võrrand 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Lahendus. Siin a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Kuna D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Tõestus. Kui D = 0, saab võrrand (1) kuju

on võrrandi ainus juur.

Märkus 1. Kas mäletate, et x \u003d - on parabooli tipu abstsiss, mis toimib funktsiooni y \u003d ax 2 + ux + c graafikuna? Miks on see
väärtus osutus ruutvõrrandi ax 2 + x + c - 0 ainsaks juureks? Kirst avaneb lihtsalt: kui D on 0, siis, nagu me varem tuvastasime,

Sama funktsiooni graafik on parabool, mille tipp asub punktis (vt näiteks joon. 98). Seega on parabooli tipu abstsiss ja ruutvõrrandi ainus juur D = 0 korral sama arv.

Näide 2 Lahendage võrrand 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Lahendus. Siin a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. neli . 25 = 400 - 400 = 0.

Kuna D = 0, siis teoreemi 2 järgi on sellel ruutvõrrandil üks juur. See juur leitakse valemiga

Vastus: 2.5.

Märkus 2. Pange tähele, et 4x2 - 20x +25 on täiuslik ruut: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Kui me seda kohe märkaksime, lahendaksime võrrandi järgmiselt: (2x - 5) 2 \u003d 0, mis tähendab 2x - 5 \u003d 0, millest saame x \u003d 2,5. Üldiselt, kui D = 0, siis

ax 2 + bx + c = - me märkisime seda varem märkuses 1.
Kui D > 0, siis ruutvõrrandil ax 2 + bx + c \u003d 0 on kaks juurt, mis leitakse valemitega

Tõestus. Kirjutame ruutvõrrandi ax 2 + b x + c = 0 ümber kujul (1)

Paneme
Eeldusel D > 0, mis tähendab, et võrrandi parem pool on positiivne arv. Seejärel saame võrrandist (2) selle

Seega on antud ruutvõrrandil kaks juurt:

Märkus 3. Matemaatikas juhtub harva, et kasutusele võetud terminil puudub piltlikult öeldes igapäevane taust. Võtame uue
kontseptsioon on diskrimineeriv. Pidage meeles sõna "diskrimineerimine". Mida see tähendab? See tähendab ühtede alandamist ja teiste ülendamist, s.t. erinevad hoiakud
nie erinevatele pudyadele. Mõlemad sõnad (nii diskrimineeriv kui ka diskrimineerimine) pärinevad ladinakeelsest sõnast discriminans – “eristamine”. Diskriminant eristab ruutvõrrandid juurte arvu järgi.

Näide 3 Lahendage võrrand 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Lahendus. Siin a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Kuna D > 0, siis on teoreemi 3 järgi sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Need juured leitakse valemitega (3)

Tegelikult oleme välja töötanud järgmise reegli:

Võrrandi lahendamise reegel
ax 2 + bx + c = 0

See reegel on universaalne, see kehtib nii täielike kui ka mittetäielike ruutvõrrandite kohta. Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid selle reegli järgi tavaliselt ei lahendata, neid on mugavam lahendada nii, nagu tegime eelmises lõigus.

Näide 4 Lahenda võrrandid:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Lahendus. a) Siin a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. üks . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Kuna D > 0, on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Need juured leitakse valemitega (3)

B) Nagu kogemus näitab, on mugavam käsitleda ruutvõrrandeid, mille juhtiv koefitsient on positiivne. Seetõttu korrutame kõigepealt võrrandi mõlemad pooled -1-ga, saame

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Siin a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Kuna D = 0, on sellel ruutvõrrandil üks juur. See juur leitakse valemiga x \u003d -. Tähendab,

Seda võrrandit saab lahendada muul viisil: kuna
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, siis saame võrrandi (3x - I) 2 \u003d 0, millest leiame Zx - 1 \u003d 0, st x \u003d.

c) Siin a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Kuna D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matemaatikud on asjalikud, säästlikud inimesed. Miks nad ütlevad, et ruutvõrrandi lahendamiseks kasutatakse nii pikka reeglit, on parem kohe kirjutada üldvalem:

Kui selgub, et diskriminant D \u003d b 2 - 4ac on negatiivne arv, siis pole kirjutatud valemil mõtet (negatiivne arv on ruutjuure märgi all), mis tähendab, et juuri pole. Kui selgub, et diskriminant on võrdne nulliga, siis saame

See tähendab, et üks juur (nad ütlevad ka, et ruutvõrrandil on sel juhul kaks identset juurt:

Lõpuks, kui selgub, et b 2 - 4ac > 0, siis saadakse kaks juurt x 1 ja x 2, mis arvutatakse ülaltoodud valemite (3) abil.

Arv ise on sel juhul positiivne (nagu iga positiivse arvu ruutjuur) ja topeltmärk selle ees tähendab, et ühel juhul (x 1 leidmisel) liidetakse see positiivne arv arvule - b ja teisel juhul (x 2 leidmisel) on positiivne arv,
loe numbrilt - b.

Teil on valikuvabadus. Kui soovite, lahendage ruutvõrrand üksikasjalikult ülaltoodud reegli abil; soovi korral kirjuta kohe üles valem (4) ja tee sellest vajalikud järeldused.

Näide 5. Lahenda võrrandid:

Lahendus, a) Muidugi võib kasutada valemeid (4) või (3), arvestades, et antud juhul Miks aga teha tehteid murdudega, kui täisarvudega on lihtsam ja mis kõige tähtsam – meeldivam tegeleda? Loobume nimetajatest. Selleks peate korrutama mõlemad võrrandi osad 12-ga, see tähendab võrrandi koefitsientidena kasutatavate murdude väikseima ühisnimetajaga. Hangi

kust 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Ja nüüd kasutame valemit (4)

B) Meil ​​on jällegi võrrand murdosakoefitsientidega: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 100-ga, siis saame täisarvu koefitsientidega võrrandi:
300 x 2 – 20 x + 277 = 0.
Järgmisena kasutame valemit (4):

Lihtne oletus näitab, et diskriminant (radikaalne avaldis) on negatiivne arv. Seega pole võrrandil juuri.

Näide 6 lahendage võrrand
Lahendus. Siin, erinevalt eelmisest näitest, on eelistatav toimida reegli, mitte redutseeritud valemi (4) järgi.

Meil on \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Kuna D > 0, on ruutvõrrandil kaks juurt, mida otsime valemite (3) abil.

Näide 7 lahendage võrrand
x 2 – (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Lahendus. See ruutvõrrand erineb kõigist seni vaadeldud ruutvõrranditest selle poolest, et koefitsiendid ei ole konkreetsed arvud, vaid sõnasõnalised avaldised. Selliseid võrrandeid nimetatakse tähtkordajatega võrranditeks või parameetritega võrranditeks. Sel juhul sisaldub parameeter (täht) p võrrandi teises koefitsiendis ja vabas liikmes.
Leiame diskrimineerija:

Näide 8. Lahendage võrrand px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Lahendus. See on ka võrrand parameetriga p, kuid erinevalt eelmisest näitest ei saa seda valemite (4) või (3) abil kohe lahendada. Fakt on see, et need valemid on rakendatavad ruutvõrrandite jaoks, kuid me ei saa seda antud võrrandi kohta veel öelda. Tõepoolest, mis siis, kui p = 0? Siis
võrrand saab kuju 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, st x - 1 \u003d 0, millest saame x \u003d 1. Nüüd, kui teate seda kindlalt, saate rakendada juurte valemeid ruutvõrrandist: