Leidke võrrandiga antud punkti projektsioon tasapinnale. Tasapinnal oleva punkti projektsiooni koordinaatide leidmine, näited

Projektsiooniaparaat

Projektsiooniseade (joonis 1) sisaldab kolme projektsioonitasandit:

π 1 - horisontaalne projektsioonitasand;

π 2 - esiprojektsioonitasand;

π 3– projektsioonide profiiltasand .

Projektsioonitasandid on üksteisega risti ( π 1^ π 2^ π 3) ja nende ristumisjooned moodustavad teljed:

Tasapinna ristmik π 1 Ja π 2 moodustavad telje 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Tasapinna ristmik π 1 Ja π 3 moodustavad telje 0 a (π 1∩ π 3 = 0 a);

Tasapinna ristmik π 2 Ja π 3 moodustavad telje 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Võrdluspunktiks (punkt 0) loetakse telgede lõikepunkti (ОХ∩OY∩OZ=0).

Kuna tasapinnad ja teljed on üksteisega risti, on selline seade sarnane Descartes'i süsteem koordinaadid.

Projektsioonitasandid jagavad kogu ruumi kaheksaks oktandiks (joonisel 1 on need tähistatud rooma numbritega). Projektsioonitasandeid peetakse läbipaistmatuteks ja vaataja on alati sees I oktaanarv.

Projektsioon ortogonaalne projektsioonikeskmetega S1, S2 Ja S3 vastavalt horisontaal-, esi- ja profiilprojektsioonitasapinnale.

A.

Projektsioonikeskustest S1, S2 Ja S3 eenduvad talad tulevad välja l 1, l 2 Ja l 3 A

- A 1 A;

- A 2– punkti esiprojektsioon A;

- A 3– punkti profiilprojektsioon A.

Ruumipunkti iseloomustavad selle koordinaadid A(x,y,z). punktid A x, Jah Ja Az vastavalt telgedel 0X, 0 a Ja 0Z näita koordinaate x, y Ja z punktid A. Joonisel fig. 1 annab kõik vajalikud tähistused ja näitab punkti vahelist seost A ruum, selle projektsioonid ja koordinaadid.

punkti diagramm

Punkti joonistamiseks A(joonis 2), projektsiooniseadmes (joonis 1) tasapind π 1 A 1 0X π 2. Siis lennuk π 3 punktprojektsiooniga A 3, pöörake ümber telje vastupäeva 0Z, kuni see langeb lennukiga kokku π 2. Tasapindade pöörlemissuund π 2 Ja π 3 näidatud joonisel fig. 1 nooled. Samal ajal otsene A 1 A x Ja A 2 A x 0X risti A 1 A 2 ja sirgjooned A 2 A x Ja A 3 A x asub teljega ühiselt 0Z risti A 2 A 3. Neid ridu nimetatakse vertikaalne Ja horisontaalne ühendusliinid.

Tuleb märkida, et projektsiooniseadmelt diagrammile üleminekul projekteeritud objekt kaob, kuid kogu teave selle kuju kohta, geomeetrilised mõõtmed ja selle positsiooni koht ruumis säilivad.

A(x A , y A , z Ax A , y A Ja z A järgmises järjestuses (joonis 2). Seda jada nimetatakse punkti joonistamise tehnikaks.

1. Teljed on tõmmatud ortogonaalselt OX, OY Ja oz.

2. Teljel HÄRG x A punktid A ja saada punkti asukoht A x.

3. Läbi punkti A x teljega risti HÄRG

A x telje suunas OY koordinaadi arvväärtus lükkub edasi y A punktid A A 1 krundil.

A x telje suunas oz koordinaadi arvväärtus lükkub edasi z A punktid A A 2 krundil.

6. Läbi punkti A 2 teljega paralleelne HÄRG tõmmatakse horisontaaljoon. Selle sirge ja telje ristumiskoht oz annab punkti asukoha A z.

7. Horisontaalsel joonel punktist A z telje suunas OY koordinaadi arvväärtus lükkub edasi y A punktid A ja määratakse punkti profiilprojektsiooni asukoht A 3 krundil.

Punkti tunnusjoon

Kõik ruumipunktid on jagatud privaatseteks ja üldisteks positsioonideks.

Privaatsed positsioonipunktid. Projektsiooniseadmesse kuuluvaid punkte nimetatakse konkreetse asukoha punktideks. Nende hulka kuuluvad projektsioonitasanditesse kuuluvad punktid, teljed, lähte- ja projektsioonikeskmed. Erapositsioonipunktide iseloomulikud tunnused on:

Metamatemaatiline - üks, kaks või kõik koordinaatide arvväärtused on võrdsed nulliga ja (või) lõpmatusega;

Diagrammil - punkti kaks või kõik projektsioonid asuvad telgedel ja (või) asuvad lõpmatuses.

punktid üldine seisukoht. Üldasendis olevad punktid hõlmavad punkte, mis ei kuulu projektsiooniaparatuuri. Näiteks punkt A joonisel fig. 1 ja 2.

IN üldine juhtum punkti koordinaatide arvväärtused iseloomustavad selle kaugust projektsioonitasandist: koordinaat X lennukist π 3; koordineerida y lennukist π 2; koordineerida z lennukist π 1. Tuleb märkida, et koordinaatide arvväärtuste märgid näitavad punkti projektsioonitasanditelt eemaldamise suunda. Sõltuvalt punkti koordinaatide arvväärtuste märkide kombinatsioonist sõltub see, millises oktaanarvus see asub.

Kahe pildi meetod

Praktikas kasutatakse lisaks täisprojektsioonimeetodile kahe pildi meetodit. See erineb selle poolest, et selle meetodi puhul on objekti kolmas projektsioon välistatud. Kahe kujutise meetodi projektsiooniseadme saamiseks jäetakse profiilprojektsioonitasand koos selle projektsioonikeskmega täisprojektsiooniseadmest välja (joonis 3). Lisaks teljel 0X lähtekoht on määratud (punkt 0 ) ja sellest risti teljega 0X projektsioonitasanditel π 1 Ja π 2 kulu telg 0 a Ja 0Z vastavalt.

Selles aparaadis on kogu ruum jagatud neljaks kvadrandiks. Joonisel fig. 3 on tähistatud rooma numbritega.

Projektsioonitasandeid peetakse läbipaistmatuteks ja vaataja on alati sees I kvadrand.

Mõelge seadme toimimisele punkti projitseerimise näitel A.

Projektsioonikeskustest S1 Ja S2 eenduvad talad tulevad välja l 1 Ja l 2. Need kiired läbivad punkti A ja lõikuvad projektsioonitasanditega, moodustavad selle projektsioonid:

- A 1- punkti horisontaalprojektsioon A;

- A 2– punkti esiprojektsioon A.

Punkti joonistamiseks A(joonis 4), projektsiooniseadmes (joonis 3) tasapind π 1 saadud punktprojektsiooniga A 1 pöörake ümber telje päripäeva 0X, kuni see langeb lennukiga kokku π 2. Tasapinna pöörlemise suund π 1 näidatud joonisel fig. 3 noolt. Samal ajal jääb kahe pildi meetodil saadud punkti diagrammile ainult üks punkt. vertikaalne sideliin A 1 A 2.

Praktikas punkti joonistamine A(x A , y A , z A) viiakse läbi vastavalt selle koordinaatide arvväärtustele x A , y A Ja z A järgmises järjestuses (joonis 4).

1. Joonistatakse telg HÄRG ja lähtekoht on määratud (punkt 0 ).

2. Teljel HÄRG koordinaadi arvväärtus lükkub edasi x A punktid A ja saada punkti asukoht A x.

3. Läbi punkti A x teljega risti HÄRG tõmmatakse vertikaalne joon.

4. Vertikaalsel joonel punktist A x telje suunas OY koordinaadi arvväärtus lükkub edasi y A punktid A ja määratakse punkti horisontaalprojektsiooni asukoht A 1 OY ei ole joonistatud, vaid eeldatakse olevat positiivsed väärtused asub telje all HÄRG, samas kui negatiivsed on kõrgemad.

5. Punktist vertikaalsel joonel A x telje suunas oz koordinaadi arvväärtus lükkub edasi z A punktid A ja määratakse punkti frontaalprojektsiooni asukoht A 2 krundil. Tuleb märkida, et diagrammil on telg oz ei ole joonistatud, kuid eeldatakse, et selle positiivsed väärtused asuvad telje kohal HÄRG, samas kui negatiivsed on madalamad.

Võistlevad punktid

Samal väljaulatuval kiirel olevaid punkte nimetatakse konkureerivateks punktideks. Neil on ühine projektsioon eenduva kiire suunas, st. nende prognoosid langevad identselt kokku. iseloomulik tunnus konkureerivad punktid diagrammil on nende samanimeliste projektsioonide identne kokkulangevus. Konkurents seisneb nende projektsioonide nähtavuses vaatleja suhtes. Teisisõnu, ruumis on vaatleja jaoks üks punktidest nähtav, teine ​​mitte. Ja vastavalt joonisel: üks konkureerivate punktide projektsioon on nähtav ja teise punkti projektsioon on nähtamatu.

Ruumiprojektsiooni mudelil (joonis 5) kahest konkureerivast punktist A Ja IN nähtav punkt A kahel üksteist täiendaval põhjusel. Keti järgi S 1 → A → B punkt A vaatlejale lähemal kui punkt IN. Ja vastavalt projektsioonitasapinnast kaugemale π 1(need. z A > z A).

Riis. 5 Joon.6

Kui punkt ise on nähtav A, siis on nähtav ka selle projektsioon A 1. Seoses sellega kokku langeva projektsiooniga B1. Selguse huvides ja vajadusel diagrammil on punktide nähtamatud projektsioonid tavaliselt sulgudes.

Eemaldage mudelilt punktid A Ja IN. Nende kattuvad projektsioonid lennukis jäävad alles π 1 ja eraldi projektsioonid - sisse π 2. Tinglikult jätame vaatleja frontaalprojektsiooni (⇩), mis asub projektsiooni keskel S1. Seejärel mööda piltide ahelat ⇩ → A2 → B2 seda saab hinnata z A > z B ja et punkt ise on nähtav A ja selle projektsioon A 1.

Samamoodi kaaluge konkureerivaid punkte KOOS Ja D ilmselt tasandi π 2 suhtes. Kuna nende punktide ühine eenduv kiir l 2 teljega paralleelne 0 a, siis võistlevate punktide nähtavuse märk KOOS Ja D määrab ebavõrdsus yC > yD. Seetõttu punkt D punktiga suletud KOOS ja vastavalt punkti projektsioon D2 kaetakse punkti projektsiooniga Alates 2 pinnal π 2.

Vaatleme, kuidas määratakse konkureerivate punktide nähtavus kompleksjoonisel (joonis 6).

Vastavalt sobivatele prognoosidele A 1≡IN 1 punktid ise A Ja IN asuvad samal eendil teljega paralleelselt 0Z. Seega tuleb koordinaate võrrelda z A Ja z B need punktid. Selleks kasutame eraldi punktikujutistega frontaalprojektsiooni tasapinda. IN sel juhul z A > z B. Sellest järeldub, et projektsioon on nähtav A 1.

punktid C Ja D vaadeldaval kompleksjoonisel (joon. 6) on samuti samal eenduval talal, kuid ainult paralleelselt teljega 0 a. Seega võrdlusest yC > yD järeldame, et projektsioon C 2 on nähtav.

Üldreegel . Nähtavus konkureerivate punktide kattuvate projektsioonide korral määratakse nende punktide koordinaatide võrdlemisel ühise väljaulatuva kiire suunas. Nähtav on selle punkti projektsioon, mille puhul see koordinaat on suurem. Sel juhul viiakse koordinaatide võrdlus läbi projektsioonide tasapinnal eraldi punktide kujutistega.

Figuuride omaduste uurimine ruumis ja tasapinnal on võimatu, teadmata kaugusi punkti ja selliste geomeetriliste objektide vahel nagu sirgjoon ja tasapind. Selles artiklis näitame, kuidas neid kaugusi leida, võttes arvesse punkti projektsiooni tasapinnale ja sirgele.

Kahe- ja kolmemõõtmeliste ruumide sirgjoone võrrand

Punkti kaugused sirgjoonest ja tasapinnast arvutatakse, kasutades selle projektsiooni nendele objektidele. Nende projektsioonide leidmiseks peaks teadma, mis kujul on antud sirgete ja tasandite võrrandid. Alustame esimesest.

Sirge on punktide kogum, millest igaüks saab eelmisest, kandes üle üksteisega paralleelsetesse vektoritesse. Näiteks on olemas punkt M ja N. Neid ühendav vektor MN¯ võtab M punktiks N. On ka kolmas punkt P. Kui vektor MP¯ või NP¯ on paralleelne MN¯-ga, asuvad kõik kolm punkti sama rida ja moodustavad selle.

Sõltuvalt ruumi mõõtmest võib sirgjoont defineeriv võrrand oma kuju muuta. Jah, kõik teavad lineaarne sõltuvus y-koordinaadid x-st ruumis kirjeldab tasapinda, mis on paralleelne kolmanda z-teljega. Sellega seoses käsitleme selles artiklis ainult sirgjoone vektorvõrrandit. Sellel on sama välimus lennukile ja kolmemõõtmelised ruumid A.

Ruumis saab defineerida sirge järgnev väljend:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Siin vastavad nullindeksiga koordinaatide väärtused mõnele joonele kuuluvale punktile, u¯(a; b; c) on antud sirgel paikneva suunavektori koordinaadid, α on suvaline tegelik arv, mida muutes saate kõik joone punktid. Seda võrrandit nimetatakse vektoriks.

Sageli on ülaltoodud võrrand kirjutatud laiendatud kujul:

Samamoodi saate kirjutada võrrandi sirge jaoks, mis asub tasapinnal, st kahemõõtmelises ruumis:

(x; y) = (x0; y0) + a*(a; b);

Tasapinnaline võrrand

Punkti ja projektsioonitasandite kauguse leidmiseks peate teadma, kuidas tasand on määratletud. Nii nagu sirgjoont, saab seda kujutada mitmel viisil. Siin käsitleme ainult ühte: üldvõrrandit.

Oletame, et punkt M(x 0 ; y 0 ; z 0) kuulub tasapinnale ja vektor n¯(A; B; C) on sellega risti, siis kõigi tasandi punktide (x; y; z) puhul tasapinnal kehtib võrdsus:

A*x + B*y + C*z + D = 0, kus D = -1* (A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Tuleb meeles pidada, et selles tasandi üldvõrrandis on koefitsiendid A, B ja C tasapinnaga normaalvektori koordinaadid.

Kauguste arvutamine koordinaatide järgi

Enne punkti tasapinnale ja sirgjoonele projektsioonide käsitlemist tuleks meelde tuletada, kuidas arvutada kahe teadaoleva punkti vaheline kaugus.

Olgu kaks ruumipunkti:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ja A 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

Seejärel arvutatakse nende vaheline kaugus järgmise valemi abil:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)

Seda avaldist kasutades määratakse ka vektori A 1 A 2 ¯ pikkus.

Tasapinnal, kui kaks punkti on antud vaid koordinaatide paariga, saame kirjutada sarnase võrdsuse ilma z-ga termini olemasoluta:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Nüüd vaatleme erinevaid punkti tasapinnal sirgjoonele ja ruumitasandile projekteerimise juhtumeid.

Punkt, joon ja nendevaheline kaugus

Oletame, et on mingi punkt ja joon:

P2 (x 1; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Nende geomeetriliste objektide vaheline kaugus vastab vektori pikkusele, mille algus asub punktis P 2 ja lõpp asub punktis P määratud sirgel, mille vektor P 2 P ¯ on risti. sellele reale. Punkti P nimetatakse punkti P 2 projektsiooniks vaadeldavale sirgele.

Alloleval joonisel on näidatud punkt P 2, selle kaugus d sirgest, samuti juhtvektor v 1 ¯. Valitakse ka liinil suvaline punkt P 1 ja sellest P 2-le tõmmatakse vektor. Punkt P langeb siin kokku kohaga, kus rist lõikub sirgega.

On näha, et oranž ja punane nool moodustavad rööpküliku, mille külgedeks on vektorid P 1 P 2 ¯ ja v 1 ¯ ning kõrgus on d. Geomeetriast on teada, et rööpküliku kõrguse leidmiseks tuleks selle pindala jagada aluse pikkusega, millele risti langetatakse. Kuna rööpküliku pindala arvutatakse selle külgede vektorkorrutisena, saame d arvutamise valemi:

d = ||/|v 1 ¯|

Kõik selle avaldise vektorid ja punktikoordinaadid on teada, nii et saate seda kasutada ilma teisendusi tegemata.

Selle probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Selleks tuleks kirjutada kaks võrrandit:

• P 2 P ¯ ja v 1 ¯ skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga, kuna need vektorid on üksteisega risti;
• punkti P koordinaadid peavad rahuldama sirge võrrandit.

Nendest võrranditest piisab, et leida eelmises lõigus toodud valemi abil koordinaadid P ja seejärel pikkus d.

Sirge ja punkti vahelise kauguse leidmine

Näitame teile, kuidas andmeid kasutada teoreetiline teave konkreetse probleemi lahendamiseks. Oletame, et on teada järgmine punkt ja sirge:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Tasapinnal on vaja leida projektsioonipunktid sirgel, samuti kaugus M-st jooneni.

Tähistage punktiga M 1 (x 1 ; y 1) leitavat projektsiooni. Lahendame selle probleemi kahel viisil, mida on kirjeldatud eelmises lõigus.

Meetod 1. Suunavektori v 1 ¯ koordinaadid on (0; 2). Rööpküliku konstrueerimiseks valime mõne sirgele kuuluva punkti. Näiteks punkt koordinaatidega (3; 1). Siis on rööpküliku teise külje vektoril koordinaadid:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Nüüd peaksite arvutama rööpküliku külgi määravate vektorite korrutise:

Asendame selle väärtuse valemis, saame kauguse d M-st sirgjooneni:

Meetod 2. Nüüd leiame muul viisil mitte ainult kauguse, vaid ka M sirgele projektsiooni koordinaadid, nagu ülesande tingimus nõuab. Nagu eespool mainitud, on ülesande lahendamiseks vaja koostada võrrandisüsteem. See on järgmisel kujul:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1) -α*(0; 2)

Lahendame selle süsteemi:

Koordinaadi algpunkti projektsioon on M 1 (3; -3). Siis on soovitud vahemaa:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Nagu näete, andsid mõlemad lahendusmeetodid sama tulemuse, mis näitab sooritamise õigsust matemaatilised tehted.

Punkti projekteerimine tasapinnale

Nüüd mõelge, milline on ruumis antud punkti projektsioon teatud tasapinnale. Lihtne on arvata, et see projektsioon on ka punkt, mis koos algse projektsiooniga moodustab tasapinnaga risti oleva vektori.

Oletame, et projektsioonil punkti M tasapinnale on järgmised koordinaadid:

Tasapinda ennast kirjeldab võrrand:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Nende andmete põhjal saame sõnastada tasapinnaga täisnurga all lõikuva sirge võrrandi, mis läbib M ja M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Siin on nullindeksiga muutujad punkti M koordinaadid. Punkti M 1 asendit tasapinnal saab arvutada lähtuvalt sellest, et selle koordinaadid peavad vastama mõlemale kirja pandud võrrandile. Kui ülesande lahendamisel neist võrranditest ei piisa, saab kasutada MM 1 ¯ paralleelsuse tingimust ja juhtvektorit antud tasandi jaoks.

Ilmselt ühtib tasapinnale kuuluva punkti projektsioon iseendaga ja vastav kaugus on null.

Probleem punkti ja tasapinnaga

Olgu antud punkt M(1; -1; 3) ja tasapind, mida kirjeldatakse alljärgnevalt üldvõrrand:

Peaksite arvutama punkti tasapinnale projektsiooni koordinaadid ja arvutama nende geomeetriliste objektide vahelise kauguse.

Alustuseks koostame sirge võrrandi, mis läbib M-i ja on risti määratud tasapinnaga. See näeb välja nagu:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Tähistame punkti, kus see sirge lõikub tasapinnaga, M 1 . Tasapinna ja sirge võrrandid peavad olema täidetud, kui nendesse on asendatud koordinaadid M 1. Kirjutades selgesõnaliselt sirgjoone võrrandi, saame järgmised neli võrdsust:

X1 + 3*y1 -2*z1 + 4 = 0;

y 1 \u003d -1 + 3 * α;

Viimasest võrratusest saame parameetri α, seejärel asendame selle eelviimasega ja teise avaldisega, saame:

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 = -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 = 1/2 * z 1 - 1/2

Asendame tasandi võrrandis y 1 ja x 1 avaldise, saame:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Kust me saame:

y 1 \u003d -3/2 * 15/7 + 3,5 \u003d 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Oleme kindlaks teinud, et punkti M projektsioon on antud lennuk vastab koordinaatidele (4/7; 2/7; 15/7).

Nüüd arvutame kauguse |MM 1 ¯|. Vastava vektori koordinaadid on:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Nõutav vahemaa on:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Kolm projektsioonipunkti

Jooniste koostamise käigus on sageli vaja saada lõikude projektsioonid üksteisega risti asetseval kolmel tasapinnal. Seetõttu on kasulik kaaluda, millised on mõne punkti M projektsioonid koordinaatidega (x 0 ; y 0 ; z 0) kolmel koordinaattasandid.

Pole raske näidata, et xy tasapinda kirjeldab võrrand z = 0, xz tasapind vastab avaldisele y = 0 ja ülejäänud yz tasapind on tähistatud x = 0. On lihtne arvata, et projektsioonid punkti kolmel tasapinnal on võrdne:

kui x = 0: (0; y0; z0);

kui y = 0: (x0; 0; z0);

kui z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Kus on oluline teada punkti projektsioone ja selle kaugusi tasanditest?

Punktide projektsiooni asukoha määramine antud tasapinnal on oluline selliste suuruste leidmisel nagu pindala ja ruumala jaoks kaldus prismad ja püramiidid. Näiteks kaugus püramiidi tipust aluse tasapinnani on kõrgus. Viimane sisaldub selle joonise mahu valemis.

Vaadeldavad valemid ja meetodid projektsioonide ja kauguste määramiseks punktist sirge ja tasapinnani on üsna lihtsad. Oluline on ainult meeles pidada vastavad vormid tasapinna ja sirge võrrandid ning neil on ka hea ruumiline kujutlusvõime et neid edukalt rakendada.

Punkti projektsioon tasapinnale on erijuhtum ühine ülesanne punkti projektsiooni leidmine pinnale. Punkti projektsiooni pinnalt puutuvale tasapinnale arvutamise lihtsuse tõttu kasutatakse seda üldülesande lahendamisel null-lähendusena.

Vaatleme punkti projitseerimist raadiusvektoriga antud tasapinnale

Eeldame, et vektorid ei ole kollineaarsed. Oletame, et üldiselt ei ole vektorid ortogonaalsed ja nende pikkus ei ole ühikuline. Tasapind läbib punkti, kus parameetrid on võrdsed nulliga, ja vektorid määravad parameetrilised suunad. Antud punktil on ainulaadne projektsioon tasapinnale (4.6.1). Konstrueerime tasapinnaga normaalse ühiku

Riis. 4.6.1. Punkti projektsioon tasapinnale s(u, v)

Arvutame tasapinnale projektsiooni punkti raadiuse vektori projitseeritud punkti raadiusvektori ja tasandi normaalsega paralleelse vektori komponendi vahena,

(4.6.4)

Joonisel fig. 4.6.1 näitab tasapinna vektoreid, selle alguspunkti ja projektsiooni antud punkt.

Projektsioonide parameetrid ja pikkused on seotud võrranditega

kus vektorite vahelise nurga koosinus määratakse valemiga (1.7.13).

Nende võrrandite süsteemist leiame punkti projektsiooni parameetrid tasapinnale

(4.6.6)

kus on esimese peamise koefitsiendid ruutvorm tasapinnad (1.7.8), mis on ka metrilise pinnatensori kovariantsed komponendid, on meetrilise pinnatensori kontravariantsed komponendid. Kui vektorid on ortogonaalsed, on valemid (4.6.6) ja (4.6.7) kujul

Kaugus punktist kuni selle projektsioonini tasapinnale arvutatakse üldiselt vektori pikkusena. Punkti kaugust selle projektsioonist tasapinnale saab määrata ilma punkti projektsiooni arvutamata, vaid arvutades vektori projektsiooni tasapinna normaalsele

(4.6.8)

Erijuhtumid.

Punkti projektsioonid mõnele analüütilisele pinnale on leitavad ilma kaasamiseta numbrilised meetodid. Näiteks selleks, et leida punkti projektsioon ringikujulise silindri, koonuse, kera või toruse pinnale, peate projitseeritud punkti teisendama kohalik süsteem pinnakoordinaadid, kust on lihtne leida projektsiooniparameetreid. Samamoodi võib leida väljaulatuvaid osasid ekstrusiooni- ja pöörlemispindadel. Mõnel konkreetsel juhul on selle projektsiooni punkti asukohad kergesti leitavad ka teistel pindadel.

Üldine juhtum.

Mõelge punkti pinnale projitseerimise probleemile üldiselt. Olgu nõutud, et leida kõik pinna punkti projektsioonid. Iga soovitud punkt pind rahuldab kahe võrrandisüsteemi

Võrrandisüsteem (4.6.9) sisaldab kahte tundmatut suurust - parameetreid u ja v. See ülesanne lahendatakse samamoodi nagu antud punkti projektsioonide leidmine kõverale.

Esimeses etapis määrame punkti projektsioonide jaoks pinnaparameetrite nullilähedused ja teises etapis leiame parameetrite täpsed väärtused, mis määravad antud punkti projektsioonid pinnale.

Liigume üle pinna sammudega, mis on arvutatud valemitega (4.2.4) ja (4.2.5), mida kirjeldati ülalpool piki parameetrilist piirkonda liikumise viisi. Tähistame nende punktide parameetreid, mille kaudu me läbime . Igas punktis arvutame vektorite skalaarkorrutised

(4.6.10)

Kui soovitud lahendus asub punkti lähedal, mille parameetrid on , siis on see meil olemas erinevad märgid, samuti ja on erinevad märgid. Märkide muutus skalaarproduktid näitab, et soovitud lahendus on läheduses. Parameetrite nullilähendamiseks võtame väärtused, alustades parameetrite nullilähendamisest, mis on üks lahendusmeetoditest. mittelineaarsed võrrandid leida probleemile lahendus etteantud täpsusega. Näiteks Newtoni meetodi puhul saab iteratsioonidel projektsiooniparameetrite juurdekasvud leida lineaarvõrrandisüsteemist

kus on raadiusvektori osatuletised parameetrite suhtes. järgmine lähendus punkti projektsiooni parameetrid on võrdsed . Parameetrite täpsustamise protsess viiakse lõpule, kui ebavõrdsused on täidetud järgmisel iteratsioonil , kus on määratud viga. Samamoodi leiame kõik teised võrrandisüsteemi (4.6.9) juured.

Kui teil on vaja leida ainult antud punkti lähim projektsioon pinnale, saate läbida geomeetrilise objekti samad punktid ja valida antud punktile lähima. Lähima punkti ja parameetrid tuleks valida ülesande lahenduse nulllähenduseks.

Punkti projekteerimine pinnale antud suunas.

Teatud juhtudel tekib probleem punkti projektsiooni määramisel pinnale mitte piki selle normaalset, vaid mööda etteantud suunda. Olgu projektsiooni suund antud vektori ühiku pikkusega q. Ehitame sirge

(4.6.12)

läbib antud punkti ja millel on suund antud vektor. Punkti projektsioonid pinnale sisse antud suund defineerime pinna lõikepunktidena antud punkti antud suunas läbiva sirgega (4.6.12).

PUNKTI PROJEKTSIOON KAHELE PROJEKTISTASANDILE

Sirgesegmendi AA 1 moodustumist saab kujutada punkti A liikumise tulemusena suvalises tasapinnas H (joon. 84, a), tasapinna moodustumist aga sirgjoonelõigu AB nihkena ( joon. 84, a) joon. 84, b).

Punkt – peamine geomeetriline element jooned ja pinnad, seega algab objekti ristkülikukujulise projektsiooni uurimine punkti ristkülikukujuliste projektsioonide ehitamisest.

Kosmosesse kahetahuline nurk, mille moodustavad kaks risti asetsevat tasapinda - projektsioonide V esiosa (vertikaalne) ja projektsioonide H horisontaaltasapind, asetame punkti A (joonis 85, a).

Projektsioonitasandite lõikejoon on sirgjoon, mida nimetatakse projektsiooniteljeks ja tähistatakse tähega x.

V-tasand on siin näidatud ristkülikuna ja H-tasand rööpkülikuna. Selle rööpküliku kaldkülg on tavaliselt joonistatud selle horisontaalse külje suhtes 45° nurga all. Kaldkülje pikkus on 0,5 selle tegelikust pikkusest.

Punktist A langetatakse ristid tasapindadel V ja H. Perpendikulaaride ja projektsioonitasandite V ja H lõikepunktid a "ja a on ristkülikukujulised projektsioonid punktid A. Kujund Aaa x a "ruumis on ristkülik. Selle ristküliku külg aa visuaalsel kujutisel väheneb 2 korda.

Joondame H-tasandi V-tasandiga, pöörates V-d ümber x-tasandite lõikejoone. Tulemuseks on punkti A kompleksjoonis (joonis 85, b)

Kompleksjoonise lihtsustamiseks ei ole projektsioonitasandite V ja H piire märgitud (joon. 85, c).

Punktist A projektsioonitasapindadele tõmmatud perpendikulaare nimetatakse projektsioonijoonteks ja nende väljaulatuvate sirgete aluseid - punkte a ja a "nimetatakse punkti A projektsioonideks: a" on punkti A frontaalprojektsioon, a on projektsiooni horisontaalprojektsioon. punkt A.

Joon a "a nimetatakse projektsiooniühenduse vertikaalseks jooneks.

Punkti projektsiooni asukoht kompleksjoonisel oleneb selle punkti asukohast ruumis.

Kui punkt A asub horisontaalprojektsiooni tasandil H (joon. 86, a), siis selle horisontaalprojektsioon a ühtib antud punktiga ja frontaalprojektsioon a " asub teljel. Kui punkt B asub frontaalprojektsioonil tasapind V, selle esiprojektsioon ühtib selle punktiga ja horisontaalprojektsioon asub x-teljel. eesmine projektsioon antud punkt C, mis asub x-teljel, langeb selle punktiga kokku. Punktide A, B ja C kompleksjoonis on näidatud joonisel fig. 86b.

PUNKTI PROJEKTSIOON KOLMELE PROJEKTIDE TASAKONDELE

Juhtudel, kui objekti kuju on võimatu ette kujutada kahest projektsioonist, projitseeritakse see kolmele projektsioonitasandile. Sel juhul võetakse kasutusele projektsioonide W profiiltasand, tasapindadega risti V ja H. Kolmest projektsioonitasandist koosneva süsteemi visuaalne esitus on toodud joonisel fig. 87 a.

Kolmnurkse nurga (projektsioonitasandite lõikepunkti) servi nimetatakse projektsioonitelgedeks ja neid tähistatakse x, y ja z-ga. Projektsioonitelgede ristumiskohta nimetatakse projektsioonitelgede alguseks ja seda tähistatakse tähega O. Laskeme risti punktist A projektsioonitasapinnale W ja märkides perpendikulaari aluse tähega a, me saada profiili projektsioon punktid A.

Keerulise joonise saamiseks joondatakse H- ja W-tasandi punktid A V-tasandiga, pöörates neid ümber Ox- ja Oz-telgede. Punkti A kompleksjoonis on näidatud joonisel fig. 87b ja c.

Punktist A projektsioonitasanditeni ulatuvate joonte lõike nimetatakse punkti A koordinaatideks ja neid tähistatakse: x A, y A ja z A.

Näiteks punkti A koordinaat z A, mis on võrdne lõiguga a "a x (joonis 88, a ja b), on kaugus punktist A horisontaalse projektsioonitasapinnani H. Koordinaat punktis A võrdub segment aa x on kaugus punktist A projektsioonide V frontaaltasandini. Lõiguga aa y võrdne x A koordinaat on kaugus punktist A projektsioonide W profiiltasandini.

Seega määrab punkti projektsiooni ja projektsioonitelje vaheline kaugus punkti koordinaadid ja on võtmeks selle keeruka joonise lugemisel. Punkti kahe projektsiooni abil saab määrata punkti kõik kolm koordinaati.

Kui punkti A koordinaadid on antud (näiteks x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm ja z A \u003d 25 mm), saab ehitada selle punkti kolm projektsiooni.

Selleks pannakse koordinaatide O algpunktist Oz telje suunas koordinaat z A ja koordinaat y A. lõigud, mis on võrdsed x koordinaadiga A. Saadud punktid a "ja a - eesmine ja horisontaalne projektsioon punktid A.

Kahe projektsiooni a "ja punkti A kohaselt saab selle profiilprojektsiooni konstrueerida kolmel viisil:

1) lähtepunktist O tõmmatakse abikaar raadiusega Oa y, mis on võrdne koordinaadiga (joonis 87, b ja c), saadud punktist a y1 tõmmatakse Oz-teljega paralleelne sirge ja asetatakse a segment võrdne z A;

2) punktist a y tõmmatakse telje Oy suhtes 45° nurga all abisirge (joon. 88, a), saadakse punkt a y1 jne;

3) lähtepunktist O tõmmake abisirge 45° nurga all telje Oy suhtes (joon. 88, b), saada punkt a y1 jne.