Punkti projekteerimine koordinaatnurga projektsioonide kolmele tasapinnale algab selle kujutise saamisest tasapinnal H - projektsioonide horisontaaltasapinnal. Selleks tõmmatakse läbi punkti A (joon. 4.12, a) tasandiga H risti eenduv kiir.

Joonisel on H tasapinnaga risti paralleelne Oz-teljega. Tala lõikepunkt tasapinnaga H (punkt a) valitakse meelevaldselt. Lõik Aa määrab, kui kaugel on punkt A tasapinnast H, näidates seega üheselt punkti A asukohta joonisel projektsioontasandite suhtes. Punkt a on punkti A ristkülikukujuline projektsioon tasapinnale H ja seda nimetatakse punkti A horisontaalprojektsiooniks (joon. 4.12, a).

Punkti A kujutise saamiseks tasapinnal V (joon. 4.12, b) tõmmatakse eenduv kiir läbi punkti A, mis on risti frontaalprojektsioonitasandiga V. Joonisel on tasapinnaga V ristuv rist paralleelne Oy-ga. telg. Tasapinnal H tähistab kaugus punktist A tasandini V lõiguga aa x, mis on paralleelne Oy-teljega ja risti Ox-teljega. Kui kujutame ette, et väljaulatuv kiir ja selle kujutis teostatakse samaaegselt tasapinna V suunas, siis kui kiire kujutis lõikub Ox-teljega punktis a x, lõikub kiir tasandiga V punktis a. Joonis punktist a x V tasapinnal, mis on risti Ox-teljega , mis on projitseeriva kiire Aa kujutis tasapinnal V, saadakse punkt a ristumiskohas väljaulatuva kiirega. Punkt a "on punkti A frontaalprojektsioon, st selle kujutis tasapinnal V.

Punkti A kujutis projektsioonide profiiltasandil (joon. 4.12, c) on ehitatud W-tasandiga risti asetseva projitseeriva tala abil Joonisel on W-tasandiga risti paralleelne Ox-teljega. Tasapinnal H punktist A tasapinnale W ulatuvat kiirt kujutatakse segmendiga aa y, mis on paralleelne Ox-teljega ja risti Oy-teljega. Punktist Oy, mis on paralleelne Oz-teljega ja risti Oy teljega, ehitatakse väljaulatuva tala aA kujutis ja ristumiskohas eenduva kiirega saadakse punkt a. Punkt a on punkti profiilprojektsioon. A, st punkti A kujutis tasapinnal W.

Punkti a "saab konstrueerida, joonistades punktist a" lõigu a "a z (projekteeriva kiire Aa kujutis" tasapinnal V) paralleelselt Ox-teljega ja punktist a z - lõigu a "a z". paralleelselt Oy teljega, kuni see lõikub väljaulatuva kiirega.

Pärast punkti A kolm projektsiooni projektsioonitasanditel on koordinaatnurk paigutatud ühele tasapinnale, nagu on näidatud joonisel fig. 4.11, b koos punkti A projektsioonidega ja väljaulatuvate kiirtega ning punkt A ja väljaulatuvad kiired Aa, Aa "ja Aa" eemaldatakse. Kombineeritud projektsioonitasandite servi ei teostata, vaid teostatakse ainult projektsiooniteljed Oz, Oy ja Ox, Oy 1 (joonis 4.13).

Punkti ortogonaaljoonise analüüs näitab, et kolm kaugust - Aa, Aa ja Aa" (joon. 4.12, c), mis iseloomustavad punkti A asukohta ruumis, saab määrata projektsiooniobjekti enda - punkti A - kõrvale heitmisega. , ühel tasapinnal paikneval koordinaatnurgal (joonis 4.13). Lõigud a "a z, aa y ja Oa x on võrdsed Aa" vastavate ristkülikute vastaskülgedena (joon. 4.12, c ja 4.13). Need määravad kauguse, mille kaugusel punkt A asub projektsioonide profiiltasandist. Lõigud a "a x, a" a y1 ja Oa y on võrdsed lõiguga Aa, määravad kauguse punktist A horisontaalse projektsioonitasandini, lõigud aa x, a "a z ja Oa y 1 on võrdsed lõiguga Aa", mis määrab kaugus punktist A frontaalprojektsiooni tasapinnani.

Projektsioonitelgedel asuvad lõigud Oa x, Oa y ja Oa z on punkti A koordinaatide X, Y ja Z suuruste graafiline avaldis. Punkti koordinaate tähistatakse vastava tähe indeksiga. Nende segmentide suurust mõõtes saate määrata punkti asukoha ruumis, st määrata punkti koordinaadid.

Diagrammil on lõigud a "a x ja aa x paigutatud ühe sirgena, mis on risti Ox-teljega ning lõigud a" a z ja a "a z - Oz-teljega. Neid sirgeid nimetatakse projektsiooniühendusjoonteks. Need lõikuvad projektsiooniteljed vastavalt punktides a x ja ja z. Punkti A horisontaalset projektsiooni profiiliga ühendav projektsiooniühenduse joon osutus punktis a y “lõigatuks”.

Sama punkti kaks projektsiooni asuvad alati samal projektsiooni ühendusjoonel, mis on projektsiooniteljega risti.

Punkti asukoha kujutamiseks ruumis piisab kahest selle projektsioonist ja etteantud alguspunktist (punkt O). 4.14, b, punkti kaks projektsiooni määravad täielikult ära selle asukoha ruumis. Neid kahte projektsiooni kasutades saab koostada punktist A profiilprojektsiooni. Seega tulevikus, kui profiilprojektsiooni pole vaja, on diagrammid ehitatud kahele projektsioonitasandile: V ja H.

Riis. 4.14. Riis. 4.15.

Vaatleme mitmeid näiteid punkti ülesehitamise ja joonise lugemise kohta.

Näide 1 Diagrammil antud punkti J koordinaatide määramine kahe projektsiooni abil (joonis 4.14). Mõõdetakse kolme lõiku: lõik Ov X (X-koordinaat), lõik b Xb (Y-koordinaat) ja segment b Xb "(Z-koordinaat). Koordinaadid kirjutatakse järgmises järjekorras: X, Y ja Z, tähe tähise järel. punktist, näiteks , B20; 30; 15.

Näide 2. Punkti ehitamine etteantud koordinaatide järgi. Punkt C on antud koordinaatidega C30; kümme; 40. Leidke Ox-teljel (joonis 4.15) punkt x-iga, kus projektsiooniühenduse joon lõikub projektsiooniteljega. Selleks joonistatakse X-koordinaat (suurus 30) piki Ox-telge alates lähtepunktist (punkt O) ja saadakse punkt, millel on x. Läbi selle punkti, risti Ox-teljega, tõmmatakse projektsiooni ühendusjoon ja asetatakse punktist Y-koordinaat (suurus 10), saadakse punkt c - punkti C horisontaalprojektsioon. Koordinaat Z (suurus) 40) joonistatakse punktist c x üles mööda projektsiooni ühendusjoont (suurus 40), saadakse punkt c" - punkti C frontaalprojektsioon.

Näide 3. Punkti profiilprojektsiooni ehitamine etteantud projektsioonide järgi. Punkti D - d ja d projektsioonid on paika pandud.Punkti O kaudu tõmmatakse projektsiooniteljed Oz, Oy ja Oy 1 (joonis 4.16, a) see paremale Oz-telje taha. Sellel sirgel paikneb punkti D profiilprojektsioon. See asub Ozi teljest sellisel kaugusel, kus asub punkti d horisontaalprojektsioon: Ox teljest, st kaugel. dd x. Lõigud d z d "ja dd x on samad, kuna need määravad sama kauguse - kauguse punktist D frontaalprojektsiooni tasapinnani. See kaugus on punkti D Y-koordinaat.

Graafiliselt on lõik d z d "ehitatud lõigu dd x ülekandmisel projektsioonide horisontaaltasapinnalt profiilile. Selleks tõmmake projektsiooniühenduse joon paralleelselt Ox-teljega, saage Oy teljele punkt d y ( Joonis 4.16, b) Seejärel kandke lõigu Od y suurus Oy 1 teljele, tõmmates punktist O kaare, mille raadius on võrdne segmendiga Od y, kuni see lõikub teljega Oy 1 (joonis 4.16). , b), saadakse punkt dy 1. Selle punkti saab konstrueerida ja, nagu on näidatud joonisel 4.16, c, tõmmata sirge punktist d y Oy telje suhtes 45° nurga all. Punktist d y1 tõmmake Oz-teljega paralleelne projektsiooniühendusjoon ja asetage sellele lõik, mis on võrdne lõiguga d "d x, saage punkt d".

Lõigu d x d väärtuse ülekandmine projektsioonide profiiltasandile saab toimuda konstantse sirgjoonelise joonise abil (joon. 4.16, d). Sel juhul tõmmatakse projektsiooni ühendusjoon dd y läbi Oy 1 teljega paralleelse punkti horisontaalprojektsiooni, kuni see lõikub konstantse sirgjoonega, ja seejärel paralleelselt Oy teljega, kuni see lõikub projektsiooni jätkuga. ühendusliin d "d z.

Punktide paiknemise erijuhud projektsioonitasandite suhtes

Punkti asend projektsioonitasapinna suhtes määratakse vastava koordinaadiga, st projektsiooniühendusjoone lõigu väärtusega Ox-teljelt vastava projektsioonini. Joonisel fig. 4.17 punkti A Y-koordinaadi määrab lõigu aa x - kaugus punktist A tasapinnani V. Punkti A Z-koordinaadi määrab lõigu a "a x - kaugus punktist A tasapinnani H. Kui üks koordinaatidest on null, siis asub punkt projektsioonitasandil. Joonisel 4.17 on toodud näited punktide erinevatest asukohtadest projektsioonitasandite suhtes.Punkti B Z-koordinaat on null, punkt on tasapinnal H. Selle frontaalprojektsioon on Ox-teljel ja langeb kokku punktiga b x Punkti C Y-koordinaat on null, punkt asub tasapinnal V, selle horisontaalprojektsioon c on x-teljel ja ühtib punktiga c x.

Seega, kui punkt asub projektsioonitasandil, asub üks selle punkti projektsioon projektsiooniteljel.

Joonisel fig. 4.17, punkti D Z ja Y koordinaadid on nullid, seetõttu on punkt D projektsiooniteljel Ox ja selle kaks projektsiooni langevad kokku.

Ruumipunkt on määratletud mis tahes kahe selle projektsiooniga. Kui kahe etteantud järgi on vaja ehitada kolmas projektsioon, tuleb punktist projektsioonitasapinnani kauguste määramisel kasutada saadud projektsiooni ühendusjoonte segmentide vastavust (vt joonis 2.27 ja joon. 2.28).

Näiteid ülesannete lahendamisest I oktandis

Antud on A 1 ; A 2	Ehitus A 3
Antud on A 2 ; A 3	Ehitus A 1
Antud on A 1 ; A 3	Ehitus A2

Mõelge punkti A koostamise algoritmile (tabel 2.5)

Tabel 2.5

Algoritm punkti A konstrueerimiseks
vastavalt antud koordinaatidele A ( x = 5, y = 20, z = -9)

Järgmistes peatükkides käsitleme pilte: sirgeid ja tasapindu ainult esimesel veerandil. Kuigi kõiki vaadeldavaid meetodeid saab rakendada igas kvartalis.

leiud

Seega on G. Monge’i teooriale tuginedes võimalik kujundi (punkti) ruumiline kujutis tasapinnaliseks teisendada.

See teooria põhineb järgmistel punktidel:

1. Kogu ruum jagatakse kahe vastastikku risti asetseva tasandi p 1 ja p 2 abil 4 veerandiks või kolmanda vastastikku risti oleva tasandi p 3 liitmisel 8 oktandiks.

2. Ruumikujutise kujutis nendel tasapindadel saadakse ristkülikukujulise (ristkülikukujulise) projektsiooni abil.

3. Ruumikujutise tasapinnaliseks kujutiseks teisendamiseks arvestatakse, et p 2 tasand on paigal ja p 1 tasand pöörleb ümber telje x nii et positiivne pooltasapind p 1 langeb kokku negatiivse pooltasapinnaga p 2, siis p 1 negatiivne osa langeb kokku positiivse osaga p 2 .

4. Tasapind p 3 pöörleb ümber telje z(tasapindade lõikejooned) kuni joondamiseni tasapinnaga p 2 (vt joonis 2.31).

Kujutiste ristkülikukujulise projektsiooniga tasapindadel p 1 , p 2 ja p 3 saadud kujutisi nimetatakse projektsioonideks.

Tasapinnad p 1 , p 2 ja p 3 koos neil kujutatud projektsioonidega moodustavad tasapinnalise kompleksjoonise või diagrammid.

Jooned, mis ühendavad kujutise projektsioone ^ telgedega x, y, z, nimetatakse projektsioonijoonteks.

Kujutiste täpsemaks defineerimiseks ruumis saab rakendada kolme üksteisega risti oleva tasandi p 1, p 2, p 3 süsteemi.

Olenevalt probleemi olukorrast saab pildile valida kas süsteemi p 1 , p 2 või p 1 , p 2 , p 3 .

Tasapindade süsteemi p 1 , p 2 , p 3 saab ühendada Descartes'i koordinaatide süsteemiga, mis võimaldab objekte mitte ainult graafiliselt või (verbaalselt), vaid ka analüütiliselt (numbrite abil) täpsustada.

Selline piltide, eriti punktide kujutamise viis võimaldab lahendada selliseid positsiooniprobleeme nagu:

• punkti asukoht projektsioonitasapindade suhtes (üldasend, tasapinna kuuluvus, telg);
• punkti asukoht kvartalites (millises kvartalis punkt asub);
• punktide asukoht üksteise suhtes (kõrgem, madalam, lähemal, kaugemal projektsioonitasandite ja vaataja suhtes);
• punkti projektsioonide asukoht projektsioonitasapindade suhtes (võrdne kaugus, lähemal, kaugemal).

Mõõdikute ülesanded:

• projektsiooni võrdne kaugus projektsioonitasanditest;
• projektsioonitasapindadest projektsiooni eemaldamise suhe (2–3 korda, rohkem, vähem);
• punkti kauguse määramine projektsioonitasapindadest (koordinaatsüsteemi kasutuselevõtmisel).

Küsimused enesevaatluseks

1. Milliste tasandite lõikejoon on telg z?

2. Milliste tasandite lõikejoon on telg y?

3. Kuidas paikneb punkti frontaal- ja profiilprojektsiooni projektsiooniühendusjoon? Näita.

4. Millised koordinaadid määravad punkti projektsiooni asukoha: horisontaalne, frontaalne, profiil?

5. Millises veerandis on punkt F (10; -40; -20)? Millisest projektsioonitasapinnast on punkt F kõige kaugemal?

6. Kaugus, millisest projektsioonist millise teljeni määrab punkti kauguse tasapinnast p 1 ? Mis on selle kauguse punkti koordinaat?

Vaatleme punktide projektsioone kahele tasapinnale, mille jaoks võtame kaks risti asetsevat tasapinda (joonis 4), mida nimetame horisontaalseks frontaaliks ja tasapindadeks. Nende tasandite lõikejoont nimetatakse projektsiooniteljeks. Ühe punkti A projekteerime vaadeldavatele tasapindadele tasapinnalise projektsiooni abil. Selleks on vaja langetada etteantud punktist ristid Aa ja A vaadeldavatele tasapindadele.

Projitseerimist horisontaaltasandile nimetatakse plaanivaade punktid AGA ja projektsioon a? frontaaltasandil nimetatakse eesmine projektsioon.

Punkte, mis tuleb projitseerida kirjeldavas geomeetrias, tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega. A, B, C. Väikesi tähti kasutatakse punktide horisontaalsete projektsioonide tähistamiseks. a, b, c... Esiprojektsioonid on tähistatud väikeste tähtedega, mille ülaosas on kriips a?, b?, c?…

Kasutatakse ka punktide tähistamist rooma numbritega I, II, ... ja nende projektsioonide jaoks - araabia numbritega 1, 2 ... ja 1?, 2? ...

Kui horisontaaltasapinda pöörata 90°, võib saada joonise, millel mõlemad tasapinnad on samas tasapinnas (joonis 5). Seda pilti nimetatakse punkti krunt.

Läbi risti asetsevate joonte Ah ja ah? joonistage tasapind (joon. 4). Saadud tasapind on frontaal- ja horisontaaltasandiga risti, kuna see sisaldab nende tasanditega risti. Seetõttu on see tasapind risti tasandite lõikejoonega. Saadud sirgjoon lõikab horisontaaltasapinda sirgjooneliselt aa x ja frontaaltasand - sirgjooneliselt Ah? X. Otse aah ja Ah? x on risti tasandite lõiketeljega. St Aaah? on ristkülik.

Horisontaalse ja frontaalprojektsiooni tasapinna kombineerimisel a ja a? asetseb ühel risti tasandite lõiketeljega, kuna horisontaaltasandi pöörlemisel on segmentide risti aa x ja Ah? x pole katki.

Saame selle projektsioonidiagrammil a ja a? mingi punkt AGA asetsevad alati samal risti tasandite lõiketeljega.

Kaks projektsiooni a ja a? mõne punkti A saab üheselt määrata oma asukoha ruumis (joonis 4). Seda kinnitab tõsiasi, et projektsioonist a horisontaaltasapinnale risti konstrueerides läbib see punkti A. Sarnaselt projektsioonist lähtuv perpendikulaar a? otspinnale läbib punkti AGA, st punkt AGA asub korraga kahel kindlal joonel. Punkt A on nende lõikepunkt, st see on kindel.

Mõelge ristkülikule Aaa X a?(joonis 5), mille kohta kehtivad järgmised väited:

1) Punkti kaugus AGA frontaaltasandist võrdub selle horisontaalprojektsiooni a kaugusega tasandite lõiketeljest, s.o.

ah? = aa X;

2) punkti kaugus AGA projektsioonide horisontaaltasapinnast võrdub selle esiprojektsiooni kaugusega a? tasandite lõiketeljest, s.o.

Ah = Ah? X.

Teisisõnu, isegi ilma punktita joonisel, kasutades ainult selle kahte projektsiooni, saate teada, millisel kaugusel igast projektsioonitasandist see punkt asub.

Kahe projektsioonitasandi ristumiskoht jagab ruumi neljaks osaks, mida nimetatakse veerandid(joonis 6).

Tasapindade lõiketelg jagab horisontaaltasapinna kaheks veerandiks - esi- ja tagumiseks ning frontaaltasandi ülemiseks ja alumiseks veerandiks. Esimese veerandi piirideks loetakse frontaaltasandi ülemist osa ja horisontaaltasandi eesmist osa.

Diagrammi kättesaamisel horisontaaltasand pöörleb ja langeb kokku frontaaltasandiga (joon. 7). Sel juhul langeb horisontaaltasapinna esikülg kokku esitasandi põhjaga ja horisontaaltasapinna tagumine külg eesmise tasapinna ülaosaga.

Joonistel 8-11 on kujutatud punktid A, B, C, D, mis asuvad ruumi erinevates kvartalites. Punkt A asub esimesel veerandil, punkt B on teisel, punkt C on kolmandal ja punkt D on neljandal.

Kui punktid asuvad nende esimeses või neljandas kvartalis horisontaalsed projektsioonid asuvad horisontaaltasandi esiküljel ja diagrammil asuvad need tasandite lõiketelje all. Kui punkt asub teises või kolmandas veerandis, asub selle horisontaalprojektsioon horisontaaltasandi tagaküljel ja graafikul on see tasandite lõiketelje kohal.

Eesmised projektsioonid punktid, mis asuvad esimesel või teisel veerandil, asuvad frontaaltasandi ülaosas ja diagrammil asuvad need tasandite lõiketelje kohal. Kui punkt asub kolmandas või neljandas veerandis, on selle esiprojektsioon tasandite lõiketeljest allpool.

Kõige sagedamini asetatakse reaalsetes konstruktsioonides kujund ruumi esimesse kvartalisse.

Mõnel konkreetsel juhul on punkt ( E) võib asuda horisontaalsel tasapinnal (joonis 12). Sel juhul langevad selle horisontaalprojektsioon e ja punkt ise kokku. Sellise punkti frontaalprojektsioon on tasapindade lõikepunkti teljel.

Juhul, kui punkt To asub frontaaltasandil (joonis 13), selle horisontaalprojektsioon k asub tasapindade lõiketeljel ja esiosa k? näitab selle punkti tegelikku asukohta.

Selliste punktide puhul on märk, et see asub ühel projektsioonitasanditest, et üks selle projektsioon asub tasandite lõiketeljel.

Kui punkt asub projektsioonitasandite lõiketeljel, langevad see ja mõlemad selle projektsioonid kokku.

Kui punkt ei asu projektsioonitasanditel, nimetatakse seda üldise seisukoha punkt. Järgnevalt, kui erimärke pole, on vaatluse all olev punkt üldpositsioonis.

2. Projektsioonitelje puudumine

Selgitamaks, kuidas saada mudelil punkti projektsioone risti projektsioonitasanditele (joonis 4), on vaja võtta pikliku ristküliku kujuline paksu paberitükk. Seda tuleb eendite vahel painutada. Murdejoon kujutab tasapindade lõikepunkti telge. Kui pärast seda painutatud paberitükk uuesti sirgendada, saame joonisel kujutatuga sarnase skeemi.

Kombineerides kaks projektsioonitasapinda joonistustasapinnaga, ei saa näidata voltimisjoont, st ei joonista diagrammile tasapindade lõiketelge.

Diagrammile konstrueerides tuleks alati asetada projektsioonid a ja a? punkt A ühel vertikaalsel sirgel (joon. 14), mis on risti tasapindade lõiketeljega. Seega, isegi kui tasandite lõiketelje asukoht jääb määratlemata, kuid selle suund on määratud, saab tasandite lõiketelg olla diagrammil ainult risti sirgjoonega ah?.

Kui punktidiagrammil pole projektsioonitelge, nagu esimesel joonisel 14 a, võite ette kujutada selle punkti asukohta ruumis. Selleks tõmmake mis tahes kohta, mis on joonega risti ah? projektsioonitelg, nagu teisel joonisel (joonis 14) ja painutage joonist mööda seda telge. Kui taastame punktides perpendikulaarid a ja a? enne kui need ristuvad, saad punkti AGA. Projektsioonitelje asukoha muutmisel saadakse küll punkti erinevad asukohad projektsioonitasapindade suhtes, kuid projektsioonitelje asukoha määramatus ei mõjuta mitme punkti või kujundi suhtelist asendit ruumis.

3. Punkti projektsioonid kolmele projektsioonitasandile

Mõelge projektsioonide profiiltasandile. Projektsioonid kahel risti asetseval tasapinnal määravad tavaliselt kujundi asukoha ja võimaldavad välja selgitada selle tegelikud mõõtmed ja kuju. Kuid on aegu, mil kahest prognoosist ei piisa. Seejärel rakendage kolmanda projektsiooni konstruktsiooni.

Kolmas projektsioonitasand viiakse läbi nii, et see on mõlema projektsioonitasandiga korraga risti (joonis 15). Kolmandat lennukit nimetatakse profiil.

Sellistes konstruktsioonides nimetatakse horisontaal- ja frontaaltasandi ühisjoont telg X , horisontaal- ja profiiltasandi ühisjoon - telg juures , ning esi- ja profiiltasandi ühine sirgjoon - telg z . Punkt O, mis kuulub kõigile kolmele tasapinnale, nimetatakse lähtepunktiks.

Joonis 15a näitab punkti AGA ja kolm selle projektsiooni. Projektsioon profiiltasandile ( a??) kutsutakse profiili projektsioon ja tähistada a??.

Punkti A diagrammi saamiseks, mis koosneb kolmest projektsioonist a, a a, on vaja lõigata kolmnurk, mille moodustavad kõik y-telje tasandid (joonis 15b) ja ühendada kõik need tasapinnad frontaalprojektsiooni tasapinnaga. Horisontaaltasapinda tuleb pöörata ümber telje X, ja profiilitasand on telje lähedal z noolega näidatud suunas joonisel 15.

Joonisel 16 on näidatud väljaulatuvate osade asukoht ah, ah? ja a?? punktid AGA, mis saadakse kõigi kolme tasapinna kombineerimisel joonistustasandiga.

Lõike tulemusena tekib y-telg diagrammil kahes erinevas kohas. Horisontaaltasandil (joonis 16) võtab see vertikaalse asendi (risti teljega). X) ja profiili tasapinnal - horisontaalne (risti teljega z).

Joonisel 16 on näidatud kolm projektsiooni ah, ah? ja a?? punktidel A on diagrammil rangelt määratletud asukoht ja nende suhtes kehtivad ühemõttelised tingimused:

a ja a? peab alati asuma ühel vertikaalsel sirgel, mis on teljega risti X;

a? ja a?? peavad alati asuma samal horisontaalsel teljega risti z;

3) tõmmatuna läbi horisontaalprojektsiooni ja horisontaaljoone, kuid läbi profiilprojektsiooni a??- vertikaalne sirgjoon, konstrueeritud jooned lõikuvad tingimata projektsioonitelgede vahelise nurga poolitaja, kuna joonis Oa juures a 0 a n on ruut.

Punkti kolme projektsiooni koostamisel on vaja kontrollida iga punkti kõigi kolme tingimuse täitmist.

4. Punkti koordinaadid

Punkti asukohta ruumis saab määrata kolme numbri abil, mida nimetatakse punktiks koordinaadid. Iga koordinaat vastab punkti kaugusele mingist projektsioonitasandist.

Punkti kaugus AGA profiili tasapinnale on koordinaat X, kus X = Ah?(joon. 15), kaugus frontaaltasandist - koordinaadi y järgi ja y = Ah?, ja kaugus horisontaaltasapinnast on koordinaat z, kus z = aA.

Joonisel 15 on punkt A ristkülikukujulise kasti laiune ja selle kasti mõõdud vastavad selle punkti koordinaatidele, st kõik koordinaadid on joonisel 15 esitatud neli korda, st:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Diagrammil (joonis 16) esinevad x- ja z-koordinaadid kolm korda:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Kõik lõigud, mis vastavad koordinaadile X(või z) on üksteisega paralleelsed. Koordineerida juures püstitatud kaks korda vertikaalteljega:

y \u003d Oa y \u003d a x a

ja kaks korda - asub horisontaalselt:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

See erinevus ilmnes seetõttu, et y-telg on diagrammil kahes erinevas asendis.

Tuleb märkida, et iga projektsiooni asukoht määratakse diagrammil ainult kahe koordinaadiga, nimelt:

1) horisontaalne - koordinaadid X ja juures,

2) frontaalne - koordinaadid x ja z,

3) profiil - koordinaadid juures ja z.

Koordinaatide kasutamine x, y ja z, saate diagrammile luua punkti projektsioonid.

Kui punkt A on antud koordinaatidega, defineeritakse nende kirje järgmiselt: A ( X; y; z).

Punktprojektsioonide koostamisel AGA tuleb kontrollida järgmisi tingimusi:

1) horisontaalsed ja frontaalprojektsioonid a ja a? X X;

2) frontaal- ja profiilprojektsioonid a? ja a? peaks asuma teljega samal risti z, kuna neil on ühine koordinaat z;

3) horisontaalprojektsioon ja ka teljelt eemaldatud X, nagu profiilprojektsioon a teljest eemal z, kuna projektsioon ah? ja ah? neil on ühine koordinaat juures.

Kui punkt asub mõnel projektsioonitasandil, on üks selle koordinaatidest võrdne nulliga.

Kui punkt asub projektsiooniteljel, on selle kaks koordinaati null.

Kui punkt asub lähtepunktis, on kõik selle kolm koordinaati null.

Polüheedrite pinnad piirduvad teatavasti lamedate kujunditega. Seetõttu on hulktahuka pinnal vähemalt ühe projektsiooniga määratletud punktid üldjuhul kindlad punktid. Sama kehtib ka teiste geomeetriliste kehade pindade kohta: silinder, koonus, kuul ja torus, mis on piiratud kõverate pindadega.

Leppigem kokku kehapinnal lebavate nähtavate punktide kujutamises ringidena, nähtamatud punktid mustade ringidena (täppidena); Nähtavad jooned kuvatakse pidevate joontena ja nähtamatud jooned katkendlike joontena.

Olgu antud sirge kolmnurkse prisma pinnal paikneva punkti A horisontaalprojektsioon A 1 (joon. 162, a).

TAlgus-->Tend-->

Nagu jooniselt näha, on prisma eesmine ja tagumine põhi paralleelsed frontaalprojektsioonitasandiga P 2 ja projitseeritakse sellele ilma moonutusteta, prisma alumine külgpind on paralleelne horisontaalse projektsioonitasandiga P 1 ja projitseeritakse ka ilma moonutusteta. Prisma külgmised servad on frontaalselt eenduvad sirged, seetõttu projitseeritakse need punktidena frontaalprojektsioonitasandile P 2.

Kuna projektsioon A 1 . on kujutatud heleda ringiga, siis on punkt A nähtav ja seetõttu asub see prisma paremal pool. See tahk on frontaalprojektsioon ja punkti frontaalprojektsioon A2 peab ühtima sirgjoonega kujutatud tasapinna frontaalprojektsiooniga.

Olles tõmmanud konstantse sirge k 123, leiame punkti A kolmanda projektsiooni A 3. Projektsioonide profiiltasandile projitseerides jääb punkt A nähtamatuks, seetõttu on punkt A 3 näidatud musta ringina. Punkti määramine frontaalprojektsiooni B 2 abil on määratlemata, kuna see ei määra punkti B kaugust prisma esiosast.

Ehitame prisma ja punkti A isomeetrilise projektsiooni (joon. 162, b). Ehitamist on mugav alustada prisma esiosast. Ehitame aluse kolmnurga vastavalt kompleksjooniselt võetud mõõtmetele; piki y-telge "jätame kõrvale prisma serva suuruse. Ehitame punkti A aksonomeetrilise kujutise A", kasutades mõlemal joonisel kahekordse peenikese joonega ringjoont ümbritsetud koordinaatpolüliini.

Olgu antud punkti C frontaalprojektsioon C 2, mis asub korrapärase nelinurkse püramiidi pinnal ja mis on antud kahe põhiprojektsiooniga (joon. 163, a). Punkti C on vaja ehitada kolm projektsiooni.

Frontaalprojektsioonist on näha, et püramiidi tipp on kõrgemal kui püramiidi ruudukujuline alus. Nendel tingimustel on kõik neli külgpinda horisontaalsele projektsioonitasandile П 1 projitseerimisel nähtavad. Esiprojektsioonitasapinnale P 2 projekteerimisel on nähtav ainult püramiidi esikülg. Kuna projektsioon C 2 on joonisel kujutatud heleda ringina, on punkt C nähtav ja kuulub püramiidi esiküljele. Horisontaalse projektsiooni C 1 ehitamiseks tõmbame läbi punkti C 2 paralleelse püramiidi aluse joonega abisirge D 2 E 2. Leiame selle horisontaalprojektsiooni D 1 E 1 ja sellelt punkti C 1. Kui püramiidil on kolmas projektsioon, leiame punkti C 1 horisontaalprojektsiooni lihtsamalt: olles leidnud profiilprojektsiooni C 3, ehitame kolmanda üks kasutab kahte projektsiooni, kasutades horisontaalset ja horisontaalset-vertikaalset sideliini. Ehituse käik on joonisel näidatud nooltega.

TAlusta-->
Tend-->

Ehitame püramiidi ja punkti C dimeetrilise projektsiooni (joon. 163, b). Ehitame püramiidi aluse; selleks joonestame läbi punkti O "võetud r-teljel" teljed x ja y; x-teljel "jätsime kõrvale aluse tegelikud mõõtmed ja y-teljel" - pooleks. Saadud punktide kaudu tõmbame sirgjooned paralleelselt telgedega x "ja y". z-teljele joonistame püramiidi kõrguse, saadud punkti ühendame aluse punktidega, arvestades servade nähtavust.Punkti C konstrueerimiseks kasutame joonistel ringiga koordinaatide polüjoont kahekordne peenike joon Lahenduse täpsuse kontrollimiseks tõmbame läbi leitud punkti C paralleelse x teljega sirge D "E". Selle pikkus peab olema võrdne sirge D 2 E 2 (või D 1 E 1) pikkusega.

Punkti asukohta ruumis saab määrata selle kahe ortogonaalse projektsiooniga, näiteks horisontaal- ja frontaalprojektsiooniga, frontaal- ja profiilprojektsiooniga. Mis tahes kahe ortogonaalprojektsiooni kombinatsioon võimaldab teil välja selgitada punkti kõigi koordinaatide väärtuse, koostada kolmanda projektsiooni, määrata oktanti, milles see asub. Vaatleme mõningaid tüüpilisi ülesandeid kirjeldava geomeetria kursusest.

Vastavalt punktide A ja B antud kompleksjoonisele on vajalik:

Määrame esmalt punkti A koordinaadid, mille saab kirjutada kujul A (x, y, z). Punkti A horisontaalprojektsioon on punkt A ", mille koordinaadid on x, y. Joonistage punktist A" risti x, y telgedega ja leidke vastavalt A x, A y. Punkti A x-koordinaat võrdub plussmärgiga lõigu A x O pikkusega, kuna A x asub positiivsete x-telje väärtuste piirkonnas. Võttes arvesse joonise mõõtkava, leiame x \u003d 10. Y-koordinaat võrdub miinusmärgiga lõigu A y O pikkusega, kuna t. A y asub negatiivsete y-telje väärtuste piirkonnas . Arvestades joonise mõõtkava, y = -30. Punkti A frontaalprojektsioonil - punktil A"" on x ja z koordinaadid. Langetame risti punktist A"" z-teljele ja leiame A z . Punkti A z-koordinaat võrdub miinusmärgiga segmendi A z O pikkusega, kuna A z asub z-telje negatiivsete väärtuste piirkonnas. Arvestades joonise mõõtkava, z = -10. Seega on punkti A koordinaadid (10, -30, -10).

Punkti B koordinaadid saab kirjutada kui B (x, y, z). Mõelge punkti B - punkti B horisontaalprojektsioonile. "Kuna see asub teljel x, siis B x \u003d B" ja koordinaat B y \u003d 0. Punkti B abstsiss x on võrdne lõigu pikkusega B x O plussmärgiga. Võttes arvesse joonise mõõtkava, x = 30. Punkti B - punkti B˝ frontaalprojektsiooni koordinaadid on x, z. Joonistage risti B"" z-teljega, leides nii B z . Punkti B rakendus z võrdub miinusmärgiga segmendi B z O pikkusega, kuna B z asub z-telje negatiivsete väärtuste piirkonnas. Võttes arvesse joonise mõõtkava, määrame väärtuse z = -20. Seega on B-koordinaadid (30, 0, -20). Kõik vajalikud konstruktsioonid on näidatud alloleval joonisel.

Punktide projektsioonide ehitamine

Tasapinna P 3 punktidel A ja B on järgmised koordinaadid: A""" (y, z); B""" (y, z). Sel juhul asuvad A"" ja A""" z-teljega samal ristil, kuna neil on ühine z-koordinaat. Samamoodi asuvad B"" ja B""" ühisel ristil z-teljele. Et leida t. A profiilprojektsioon, jätame piki y-telge kõrvale varem leitud vastava koordinaadi väärtuse. Joonisel on selleks tehtud ringkaare raadiusega A y O. Pärast seda tõmbame risti punktist A "" z-teljele taastatud risti punktist A y lõikepunktini. Nende kahe risti lõikepunkt määrab A""" asukoha.

Punkt B""" asub z-teljel, kuna selle punkti y-ordinaat on null. Punkti B profiilprojektsiooni leidmiseks selles ülesandes on vaja joonestada punktist B"" ainult z-ga risti -telg. Selle risti ja z-telje lõikepunkt on B """.

Punktide asukoha määramine ruumis

Kujutades visuaalselt ette projektsioonitasanditest P 1, P 2 ja P 3 koosnevat ruumilist paigutust, oktantide asukohta, samuti paigutuse diagrammideks teisendamise järjekorda, saate otse kindlaks teha, et t. A asub oktandis III, ja t. B asub tasapinnal P 2 .

Teine võimalus selle probleemi lahendamiseks on erandite meetod. Näiteks punkti A koordinaadid on (10, -30, -10). Positiivne abstsiss x võimaldab otsustada, et punkt asub neljas esimeses oktandis. Negatiivne y-ordinaat näitab, et punkt asub teises või kolmandas oktandis. Lõpuks näitab z negatiivne rakendus, et punkt A on kolmandas oktandis. Antud arutluskäiku illustreerib selgelt järgmine tabel.

Oktandid	Koordinaatide märgid
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Punkti B koordinaadid (30, 0, -20). Kuna t. B ordinaat on võrdne nulliga, asub see punkt projektsioonitasandil П 2 . Punkti B positiivne abstsiss ja negatiivne aplikaat näitavad, et see asub kolmanda ja neljanda oktandi piiril.

Punktide visuaalse kujutise konstrueerimine tasandite süsteemis P 1, P 2, P 3

Frontaalset isomeetrilist projektsiooni kasutades koostasime kolmanda oktandi ruumilise paigutuse. See on ristkülikukujuline kolmnurk, mille tahud on tasapinnad P 1, P 2, P 3 ja nurk (-y0x) on 45 º. Selles süsteemis joonistatakse lõigud piki x-, y- ja z-telge täissuuruses ilma moonutusteta.

Punkti A (10, -30, -10) visuaalse kujutise konstrueerimine algab selle horisontaalprojektsiooniga A ". Olles kõrvale jätnud vastavad koordinaadid piki abstsissi ja ordinaate, leiame punktid A x ja A y. Perpendikulaaride lõikepunkt, mis on taastatud vastavalt punktidest A x ja A y telgedele x ja y, määrab punkti A asukoha". Pannes punktist A paralleelselt z-teljega selle negatiivsete väärtuste suunas lõigu AA", mille pikkus on 10, leiame punkti A asukoha.

Punkti B (30, 0, -20) visuaalne pilt konstrueeritakse sarnaselt - P 2 tasapinnal tuleb piki x- ja z-telge kõrvale jätta vastavad koordinaadid. Punkti B x ja B z alusel rekonstrueeritud perpendikulaaride lõikepunkt määrab punkti B asukoha.