Vaatame nüüd, kas lainevõrrand tõesti kirjeldab helilainete põhiomadusi keskkonnas. Kõigepealt tahame järeldada, et helilaine ehk häiring liigub ühtlase kiirusega. Lisaks peame tõestama, et kaks erinevat vibratsiooni võivad teineteist vabalt läbida, st superpositsiooni põhimõte. Samuti tahame tõestada, et heli võib levida nii paremale kui ka vasakule. Kõik need omadused peavad sisalduma meie ühes võrrandis.

Varem märkisime, et mis tahes häiringut, mis on tasapinnalise laine kujul ja mis liigub püsiva kiirusega, saab kirjutada kui f(x—vt). Vaatame nüüd, kas f(x— vt) lainevõrrandi lahendus. Arvutamine dχ/dx, saame funktsiooni tuletise d χ / dx= f`(x—vt). Jällegi eristades leiame

Sama funktsiooni eristamine χ peal t, saada väärtust - v, korrutatuna tuletisega või d χ / dt = —vf`(x — vt); teine ​​tuletis aja suhtes annab

On ilmne, et f (X — vt) rahuldab lainevõrrandit, kui v võrdub cs.
Seega saame mehaanika seadustest, et igasugune helihäire levib kiirusega cs ja pealegi,

seeläbi oleme seostanud helilainete kiiruse omadustegakeskkond.

On lihtne näha, et helilaine võib levida ka negatiivse suunas X, st vormi helihäire χ(x, t)=g(x+vt) rahuldab samuti lainevõrrandi. Ainus erinevus selle laine ja vasakult paremale leviva laine vahel on märk v, aga märk d 2 χ / dt2 ei sõltu valikust x+vt või X—vt, sest see tuletis sisaldab ainult v 2 . Sellest järeldub, et võrrandi lahendus kirjeldab laineid, mis liiguvad kiirusega mis tahes suunas cs .


Eriti huvitav on lahenduste superpositsiooni küsimus. Oletame, et leidsime ühe lahenduse χ 1 . See tähendab, et teine ​​tuletis χ 1 . peal X võrdne teise tuletisega χ 1 peal t, korrutatuna 1/c 2 s . Ja olgu teine ​​lahendus χ 2 millel on sama vara. Lisades need kaks lahendust, saame

Nüüd tahame selles veenduda χ(x,t) esindab ka teatud lainet, st. χ rahuldab ka lainevõrrandit. Seda on väga lihtne tõestada, kuna

Sellest järeldub d 2 χ/dx 2 = (1/c 2 s)d2χ ldt2, seega on superpositsiooniprintsiibi kehtivus kontrollitud. Superpositsiooniprintsiibi olemasolu on tingitud asjaolust, et lainevõrrand lineaarselt peal χ .


Nüüd oleks loomulik eeldada, et tasapinnaline valguslaine levib piki telge X ja polariseeritud nii, et elektriväli on suunatud piki telge juures, rahuldab ka lainevõrrandit

kus Koos on valguse kiirus. Valguslaine lainevõrrand on üks Maxwelli võrrandite tagajärgi. Elektrodünaamika võrrandid viivad valguse lainevõrrandini, nii nagu mehaanika võrrandid viivad heli lainevõrrandini.

Lained. laine võrrand

Lisaks juba käsitletud liikumistele on peaaegu kõigis füüsikavaldkondades veel üks liikumistüüp - lained. Selle liikumise eripära, mis muudab selle ainulaadseks, seisneb selles, et laines ei levi mitte aineosakesed, vaid nende oleku muutused (häired).

Aja jooksul ruumis levivaid häireid nimetatakse lained . Lained on mehaanilised ja elektromagnetilised.

elastsed lainedlevivad elastse keskkonna häired.

Elastse keskkonna häire on selle keskkonna osakeste mis tahes kõrvalekalle tasakaaluasendist. Häired tekivad keskkonna deformeerumise tagajärjel selle mis tahes kohas.

Kõigi punktide kogum, kuhu laine antud ajahetkel on jõudnud, moodustab pinna, mida nimetatakse lainefront .

Esiosa kuju järgi jagunevad lained sfäärilisteks ja tasapindadeks. Suund määratakse lainefrondi levik lainefrondiga risti, nn tala . Sfäärilise laine puhul on kiired radiaalselt lahknev kiir. Tasapinnalise laine puhul on kiir paralleelsete joonte kiir.

Igas mehaanilises laines eksisteerib korraga kahte tüüpi liikumist: keskkonna osakeste võnkumised ja häire levik.

Lainet, milles keskkonna osakeste võnkumised ja häirituse levimine toimub samas suunas nimetatakse pikisuunaline (joon.7.2 a).

Lainet, milles keskkonna osakesed võnguvad häiringute levimissuunaga risti, nimetatakse põiki (joonis 7.2 b).

Pikisuunalises laines kujutavad häired keskkonna kokkusurumist (või harvenemist) ja põiklaines on need keskkonna mõne kihi nihked (nihked) teiste suhtes. Pikilained võivad levida kõigis keskkondades (vedelas, tahkes ja gaasilises keskkonnas), ristlained aga ainult tahkes.

Iga laine levib teatud kiirusega . Under laine kiirus υ mõista häire levimiskiirust. Laine kiiruse määravad keskkonna omadused, milles see laine levib. Tahketes kehades on pikisuunaliste lainete kiirus suurem kui põiklainete kiirus.

Lainepikkusλ on kaugus, mille üle laine levib aja jooksul, mis on võrdne selle allika võnkeperioodiga. Kuna laine kiirus on konstantne väärtus (antud keskkonna jaoks), on laine läbitav teepikkus võrdne kiiruse ja selle levimisaja korrutisega. Seega lainepikkus

Võrrandist (7.1) järeldub, et üksteisest intervalliga λ eraldatud osakesed võnguvad samas faasis. Seejärel saame anda lainepikkusele järgmise definitsiooni: lainepikkus on kaugus kahe lähima punkti vahel, mis võnkuvad samas faasis.

Tuletame tasapinnalise laine võrrandi, mis võimaldab määrata laine mis tahes punkti nihke igal ajal. Laske lainel levida piki kiirt allikast mingi kiirusega v.

Allikas ergastab lihtsaid harmoonilisi võnkumisi ja laine mis tahes punkti nihe igal ajahetkel määratakse võrrandiga

S = Asinωt (7, 2)

Siis teostab harmoonilisi võnkumisi ka keskkonna punkt, mis asub laineallikast x kaugusel, kuid ajalise viivitusega, s.o. aeg, mis kulub vibratsioonide levimiseks allikast sellesse punkti. Võnkepunkti nihkumist tasakaaluasendi suhtes igal ajahetkel kirjeldab seos

(7. 3)

See on tasapinnalise laine võrrand. Seda lainet iseloomustavad järgmised parameetrid:

· S - nihkumine elastse keskkonna tasakaalupunkti asendist, milleni võnkumine on jõudnud;

· ω - allika poolt tekitatud võnkumiste tsükliline sagedus, millega võnguvad ka keskkonna punktid;

· υ - laine levimiskiirus (faasikiirus);

x – kaugus keskkonna selle punktini, kuhu on jõudnud võnkumine ja mille nihe on võrdne S-ga;

· t – võnkumiste algusest loetud aeg;

Sisestades avaldisesse (7. 3) lainepikkuse λ, saab tasapinnalise laine võrrandi kirjutada järgmiselt:

(7. 4)

kus nimetatakse lainenumbriks (lainete arv pikkuseühiku kohta).

laine võrrand

Tasapinnaline lainevõrrand (7. 5) on osatuletistega ülddiferentsiaalvõrrandi üks võimalikest lahendustest, mis kirjeldab häire levimisprotsessi keskkonnas. Sellist võrrandit nimetatakse Laine . Võrrandid (7.5) sisaldavad muutujaid t ja x, s.o. nihe muutub perioodiliselt nii ajas kui ruumis S = f(x, t). Lainevõrrandi saab saada, diferentseerides (7.5) kaks korda t suhtes:

Ja kaks korda x

Asendades esimese võrrandi teisega, saame piki X-telge liikuva tasapinnalise laine võrrandi:

(7. 6)

Nimetatakse võrrandit (7.6). Laine, ja üldjuhul, kui nihe on nelja muutuja funktsioon, on sellel vorm

(7.7)

, kus on Laplace'i operaator

§ 7.3 Laineenergia. Vektor Umov.

Levimisel tasapinnalise laine keskkonnas

(7.8)

toimub energiaülekanne. Toome mõttes välja elementaarmahu ∆V, mis on nii väike, et liikumiskiirust ja deformatsiooni kõigis selle punktides võib pidada vastavalt samaks ja võrdseks

Eraldatud mahul on kineetiline energia

(7.10)

m=ρ∆V on aine mass mahus ∆V, ρ on keskkonna tihedus].

(7.11)

Asendades (7.10) väärtuse , saame

(7.12)

Kineetilise energia maksimumid langevad nendele keskkonna punktidele, mis antud ajahetkel (S = 0) läbivad tasakaalupositsioone, nendel ajahetkedel iseloomustab keskkonna punktide võnkeliikumist suurim kiirus .

Vaadeldaval ruumalal ∆V on ka elastse deformatsiooni potentsiaalne energia

[E – Youngi moodul; - suhteline pikenemine või kokkusurumine].

Võttes arvesse valemit (7.8) ja tuletise avaldist, leiame, et potentsiaalne energia on võrdne

(7.13)

Avaldiste (7.12) ja (7.13) analüüs näitab, et potentsiaalse ja kineetilise energia maksimumid langevad kokku. Tuleb märkida, et see on rändlainete iseloomulik tunnus. Kogumahuenergia ∆V määramiseks peate võtma potentsiaalse ja kineetilise energia summa:

Jagades selle energia mahuga, milles see sisaldub, saame energiatiheduse:

(7.15)

Avaldisest (7.15) järeldub, et energiatihedus on x-koordinaadi funktsioon, st sellel on ruumi erinevates punktides erinevad väärtused. Energiatihedus saavutab maksimaalse väärtuse nendes ruumipunktides, kus nihe on null (S = 0). Keskmine energiatihedus keskkonna igas punktis on

(7.16)

sest keskmine

Seega on keskkonnal, milles laine levib, täiendav energiavaru, mis toimetatakse võnkeallikast keskkonna erinevatesse piirkondadesse.

Energia ülekannet lainetes iseloomustab kvantitatiivselt energiavoo tiheduse vektor. Seda elastsete lainete vektorit nimetatakse Umovi vektoriks (vene teadlase N. A. Umovi järgi). Umovi vektori suund langeb kokku energia ülekande suunaga ja selle moodul on võrdne energiaga, mille laine kannab ajaühikus läbi laine levimise suunaga risti asetseva pinnaühiku.

Mehaaniliste lainete moodustumise mehhanism elastses keskkonnas.

MEHAANILISED LAINED

1. Mehaaniliste lainete tekkemehhanism elastses keskkonnas. Piki- ja põiklained. Lainevõrrand ja selle lahendus. Harmoonilised lained ja nende omadused.

2. Faasikiirus ja laine dispersioon. Lainepakett ja rühma kiirus.

3. Sidususe mõiste. Lainehäired. seisulained.

4. Doppleri efekt helilainete jaoks.

Kui elastse keskkonna (tahke, vedel või gaasiline) mis tahes kohas ergastatakse selle osakeste võnkumisi, siis osakeste vastasmõju tõttu levib see võnkumine keskkonnas teatud kiirusega osakeselt osakesele. Võnkumiste levimise protsessi ruumis nimetatakse laineks. Punktide asukohta, milleni võnkumised ajaks t jõuavad, nimetatakse lainefrondiks (lainefrondiks). Sõltuvalt esiosa kujust võib laine olla sfääriline, tasane jne.

Lainet nimetatakse pikisuunaliseks, kui keskkonna osakeste nihke suund langeb kokku laine levimise suunaga.

Pikilaine levib tahkes, vedelas ja gaasilises keskkonnas.

Lainet nimetatakse põiksuunaliseks, kui keskkonna osakeste nihkumine on laine levimise suunaga risti. Ristsuunaline mehaaniline laine levib ainult tahkes aines (nihkekindlusega keskkonnas, seetõttu ei saa selline laine levida vedelikes ja gaasides).

Võrrand nihke määramiseks(x, t) keskkonna mis tahes punktis, mille koordinaat on x igal ajahetkel t, nimetatakse lainevõrrandiks.

Näiteks tasapinnaline laine võrrand, s.o. ühes suunas, näiteks x-telje suunas, levival lainel on vorm

Tutvustame väärtust , mida nimetatakse lainenumbriks.

Kui korrutame lainearvu laine levimissuuna ühikvektoriga, saame vektori nimega laine vektor

Laplace'i operaatori kasutamine (Laplacian) selle võrrandi saab kirjutada kokkuvõtlikumalt

(Selle võrrandi lahendus on lainevõrrand (28-1), (28-2).)

Definitsioon 1

Juhul, kui laine levib homogeenses keskkonnas, kirjeldatakse selle liikumist üldiselt laine võrrand(osalise diferentsiaalvõrrandi järgi):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightnool(s))(\partial z^2)\ parem)\vasak(1\parem)\]

\[\kolmnurk \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

kus $v$ on laine $\kolmnurk =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) faasikiirus +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ on Laplace'i operaator. Võrrand (1.2) lahendatakse mis tahes laine võrrandiga, need võrrandid rahuldavad näiteks nii tasapinnalisi kui ka sfäärilisi laineid.

Kui tasapinnaline laine levib piki $X$ telge, esitatakse võrrand (1) järgmiselt:

Märkus 1

Kui füüsikaline suurus levib nagu laine, siis see tingimata rahuldab lainevõrrandit. Vastupidine väide on tõsi: kui mis tahes suurus järgib lainevõrrandit, siis see levib nagu laine. Laine levimise kiirus võrdub koefitsiendi ruutjuurega, mis tähistab ruumiliste tuletiste summat (sellist tüüpi salvestusel).

Lainevõrrand mängib füüsikas väga olulist rolli.

Tasapinnalise laine võrrandi lahendus

Kirjutame võrrandi (2) üldlahendus vaakumis levivale valguslainele, kui skalaarfunktsioon s sõltub ainult ühest Descartes'i muutujast, näiteks $z$, st $s=s(z,t)$, mis tähendab, et funktsioonil $s$ on konstantne väärtus tasandi punktides, mis on risti $z-teljega. Lainevõrrand (1) on sel juhul järgmine:

kus valguse levimise kiirus vaakumis on võrdne $c$.

Võrrandi (4) üldlahend antud tingimustel on avaldis:

kus $s_1\left(z+ct\right)$ on funktsioon, mis kirjeldab suvalist lainet, mis liigub kiirusega $c$ negatiivses suunas $z-telje suuna suhtes, $s_2\left(z-ct \right) $ - funktsioon, mis kirjeldab suvalist lainet, mis liigub kiirusega $c$ Z$ telje suuna suhtes positiivses suunas. Tuleb märkida, et liikumise ajal $s_1$ ja $s_2$ väärtused laine mis tahes punktis ja selle laine kuju ei muutu.

Selgub, et laine, mida kirjeldatakse kahe laine superpositsiooniga (vastavalt valemile (5)). Pealegi liiguvad need komponentlained vastassuundades. Sel juhul ei saa enam rääkida laine kiirusest ega suunast. Lihtsamal juhul saadakse seisulaine. Üldjuhul on vaja arvestada keeruka elektromagnetväljaga.

Lainevõrrand ja Maxwelli võrrandisüsteem

Elektrivälja vektorite võnkumiste ja magnetvälja magnetinduktsiooni vektori lainevõrrandid saab hõlpsasti Maxwelli võrrandite süsteemist diferentsiaalkujul. Kirjutame Maxwelli võrrandite süsteemi ainele, milles puuduvad vabad laengud ja juhtivusvoolud:

Rakendame võrrandile (7) operatsiooni $rot$:

Avaldises (10) on võimalik avaldise paremal poolel diferentseerimise järjekorda muuta, kuna ruumilised koordinaadid ja aeg on sõltumatud muutujad, seega on meil:

Arvestagem seda võrrandit (6), asendades $rot\overrightarrow(B)$ avaldises (11) valemi (6) parema poolega, saame:

Teades, et $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ ja kasutades $div\overrightarrow(E)=0$, saame:

Samamoodi võib saada lainevõrrandi jaoks magnetinduktsiooni vektor. See näeb välja nagu:

Avaldistes (13) ja (14) on laine levimise faasikiirus $(v)$ võrdne:

Näide 1

Harjutus: Hankige lainevõrrandi $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial) üldlahendus t^2 )=0(1,1)$ tasapinnalisest valguslainest.

Lahendus:

Tutvustame funktsiooni $s$ sõltumatuid tüüpi muutujaid:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1,2\right).\]

Sel juhul on osatuletis $\frac(\partial s)(\partial z)$ võrdne:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1,3 \paremal).\]

Osatuletis $\frac(\partial s)(\partial t)$ on:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ kuni \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1,4\right).\]

Lahutage avaldisest (1.3) termini avaldise kaupa (1.4), saame:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \left(1,5\right).\]

Avaldiste (1.4) ja (1.3) tähtaegne liitmine annab:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1,6\right).\]

Leiame avaldiste (1.5) ja (1.6) vasakpoolsete osade korrutise ning võtame arvesse nende avaldiste parempoolsetesse osadesse kirjutatud tulemusi:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s) )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\left(1,7\right).\]

Kui integreerida avaldis (1.7) üle $\xi $, siis saame funktsiooni, mis ei sõltu sellest muutujast ja võib sõltuda ainult $\eta $, mis tähendab, et see on suvaline funktsioon $\Psi(\ eta) $. Sel juhul on võrrand (1.7) järgmine:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1,8\right).\]

Integreerime (1.8) üle $\eta $ meil on:

kus $s_1\left(3\right)$ on antiderivatiiv, $s_2\left(\xi \right)$ on integratsioonikonstant. Lisaks on funktsioonid $s_1$ ja $s_2$ suvalised. Võttes arvesse avaldisi (1.2), saab võrrandi (1.1) üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Vastus:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Näide 2

Harjutus: Määrake lainevõrrandist, milline on tasapinnalise valguslaine levimise faasikiirus.

Lahendus:

Võrreldes lainevõrrandit, näiteks väljavektori jaoks, mis on saadud Maxwelli võrranditest:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2,1)\]

lainevõrrandiga:

\[\kolmnurk \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

võimaldab järeldada, et laine levimiskiirus $(v)$ on võrdne:

Kuid siin on vaja märkida, et elektromagnetlaine kiiruse mõistel on teatud tähendus ainult lihtsa konfiguratsiooniga lainete puhul, näiteks selliste lainete jaoks sobib tasapinnaliste lainete kategooria. Seega ei ole $v$ laine levimise kiirus lainevõrrandi tuletislahenduse korral, mis hõlmab näiteks seisulaineid.

Vastus:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

Üks inseneripraktikas levinumaid teist järku osadiferentsiaalvõrrandeid on lainevõrrand, mis kirjeldab erinevat tüüpi võnkumisi. Kuna võnkumised on mittestatsionaarne protsess, on üheks sõltumatuks muutujaks aeg t. Lisaks on võrrandis olevad sõltumatud muutujad ka ruumilised koordinaadid x, y,z. Sõltuvalt nende arvust eristatakse ühe-, kahe- ja kolmemõõtmelisi lainevõrrandeid.

Ühemõõtmeline lainevõrrand- võrrand, mis kirjeldab varda pikivõnkeid, mille lõigud sooritavad tasapinnalisi paralleelseid võnkuvaid liikumisi, samuti peenikese varda (nööri) põikivõnke ja muid probleeme. 2D laine võrrand kasutatakse õhukese plaadi (membraani) vibratsiooni uurimiseks. 3D laine võrrand kirjeldab lainete levimist ruumis (näiteks helilained vedelikus, elastsed lained pidevas keskkonnas jne).

Vaatleme ühemõõtmelist lainevõrrandit, mille saab kirjutada järgmiselt

Stringi põikvibratsiooni korral soovitud funktsioon U(x, t) kirjeldab stringi asukohta hetkel t. Sel juhul a 2 = Т/ρ, kus T - nööride pinge, ρ - selle lineaarne (lineaarne) tihedus. Eeldatakse, et kõikumised on väikesed, s.t. amplituud on nööri pikkusega võrreldes väike. Lisaks on vabavõnkumiste korral kirjutatud võrrand (2.63). Sundvõnkumiste korral lisatakse võrrandi paremale poolele teatud funktsioon f(x, t), iseloomustavad välismõjusid, samas ei võeta arvesse keskkonna vastupidavust võnkeprotsessile.

Lihtsaim ülesanne võrrandi (2.63) jaoks on Cauchy ülesanne: algsel ajahetkel seatakse kaks tingimust (tingimuste arv võrdub tuletise järjekorraga t):

Need tingimused kirjeldavad stringi algkuju ja selle punktide kiirust.

Praktikas on sagedamini vaja lahendada mitte lõpmatu stringi Cauchy ülesanne, vaid mõne pikkusega piiratud stringi segaülesanne l. Sel juhul seatakse selle otstesse piirtingimused. Eelkõige siis, kui otsad on fikseeritud, on nende nihked võrdsed nulliga ja piirtingimustel on vorm

Vaatleme mõningaid erinevuste skeeme ülesande (2.63)-(2.65) lahendamiseks. Lihtsaim on selgesõnaline kolmekihiline ristskeem (mall on näidatud joonisel 2.21). Asendame võrrandis (2.63) soovitud funktsiooni teised tuletised U peal t ja X nende lõplike erinevuste seosed, kasutades ruudustiku funktsiooni väärtusi võrgu sõlmedes:

Riis. 2.21. Selge skeemi muster

Siit leiate selgesõnalise avaldise ruudustiku funktsiooni väärtuse kohta ( j + 1) kiht:

Siin, nagu tavaliselt kolmekihilistes skeemides, määrake tundmatud väärtused ( j + 1) kiht peab teadma lahendusi j-om ja ( j- 1) kihid. Seetõttu on võimalik valemite (2.66) abil loendamist alustada ainult teise kihi puhul ning null- ja esimese kihi lahendused peavad olema teada. Need leitakse algtingimuste (2.64) abil. Nullkihil, mis meil on

Esimese kihi lahuse saamiseks kasutame teist algtingimust (2.64). Asendame tuletise lõpliku erinevuse lähendusega. Lihtsamal juhul eeldatakse

(2.68)

Sellest seosest saab leida esimese ajakihi ruudustiku funktsiooni väärtused:

Pange tähele, et algtingimuse lähendamine kujul (2.68) halvendab algse diferentsiaalülesande lähendust: lähendusviga saab suurusjärgus , s.o. esimene tellimus sisse τ, kuigi skeemil (2.66) endal on teistsugune lähendusjärk sisse h ja τ. Olukorda saab parandada, kui (2.69) asemel võtame täpsema esituse:

(2.70)

Selle asemel võtke . Ja teise tuletise avaldise saab leida algse võrrandi (2.63) ja esimese algtingimuse (2.64) abil. Hangi

Seejärel võtab (2.70) kuju:

Erinevusskeemil (2.66), võttes arvesse (2.71), on järgus lähendusviga

Segaülesande lahendamisel vormi (2.65) piirtingimustega, s.o. kui funktsiooni enda väärtused on antud vaadeldava segmendi otstes, säilib lähenduse teine ​​järjekord. Sel juhul asuvad võrgu äärmised sõlmed mugavuse huvides piiripunktides ( x0=0, xI = l). Samas saab tuletisele määrata ka piirtingimused.

Näiteks varda vaba pikisuunalise vibratsiooni korral tingimus

Kui see tingimus on kirjutatud erinevuse kujul esimese lähenduse järguga, siis saab skeemi lähendusviga suurusjärgus . Seega, et säilitada selle skeemi teine ​​järjekord poolest h on vaja lähendada piirtingimust (2.72) teise järjekorraga.

Ülesande (2.63) - (2.65) lahendamiseks vaadeldav erinevusskeem (2.66) on tinglikult stabiilne. Stabiilsuse tagamiseks vajalik ja piisav tingimus:

Järelikult läheneb skeem (2.66) sellel tingimusel ja lähendamist arvesse võttes algsele probleemile kiirusega O(h2 + τ 2 ). Seda skeemi kasutatakse sageli praktilistes arvutustes. See tagab vastuvõetava lahenduse täpsuse. U(x, t), millel on pidevad neljandat järku tuletised.

Riis. 2.22. Algoritm lainevõrrandi lahendamiseks

Selle selge erinevuse skeemi abil ülesannete (2.63)-(2.65) lahendamise algoritm on näidatud joonisel fig. 2.22. Siin esitatakse lihtsaim versioon, kui kõik ruudustiku funktsiooni väärtused, mis moodustavad kahemõõtmelise massiivi, salvestatakse arvutamise ajal arvuti mällu ja pärast ülesande lahendamist kuvatakse tulemused. Lahenduse salvestamist oleks võimalik ette näha vaid kolmel kihil, mis säästaks mälu. Tulemusi saab sel juhul kuvada arvutusprotsessi käigus (vt joonis 2.13).

Lainevõrrandi lahendamiseks on ka teisi erinevusskeeme. Eelkõige on mõnikord mugavam kasutada implitsiitseid skeeme, et vabaneda tingimuse (2.73) seatud sammu suuruse piirangutest. Need skeemid on tavaliselt absoluutselt stabiilsed, kuid probleemi lahendamise algoritm ja arvutiprogramm muutuvad keerulisemaks.

Koostame lihtsaima kaudse skeemi. Teine tuletis seoses t võrrandis (2.63) lähendame, nagu varemgi, kolmepunktilise mustriga, kasutades kihtidel oleva ruudustiku funktsiooni väärtusi j- 1, j, j + 1. Tuletis to X asendame selle lähenduse poolsumma väärtusega ( j + 1)-oom ja ( j- 1) kihid (joonis 2.23):

Riis. 2.23. Kaudne skeemi muster

Sellest seosest võib saada võrrandisüsteemi ruudustiku funktsiooni tundmatute väärtuste jaoks ( j+ 1) kiht:

Saadud kaudne skeem on stabiilne ja koondub kiirusega . Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (2.74) saab lahendada eelkõige pühkimismeetodiga. Seda süsteemi tuleks täiendada erinevate alg- ja piirtingimustega. Seega saab avaldisi (2.67), (2.69) või (2.71) kasutada ruudustiku funktsiooni väärtuste arvutamiseks null- ja esmakordsel kihil.

Kahe või kolme sõltumatu ruumimuutuja puhul võtavad lainevõrrandid kuju

Nende jaoks saab koostada ka erinevusskeeme analoogselt ühemõõtmelise lainevõrrandiga. Erinevus seisneb selles, et tuletisi on vaja lähendada kahe või kolme ruumilise muutuja suhtes, mis loomulikult muudab algoritmi keerulisemaks ning nõuab palju rohkem mälu ja arvutusaega. Kahemõõtmelisi probleeme käsitletakse allpool soojusvõrrandi jaoks üksikasjalikumalt.