Ruutvõrrandite lahendamise väga lühike ajalugu. Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Ruutvõrrandite tekkimise ajaloost

Algebra tekkis seoses erinevate ülesannete lahendamisega võrrandite abil. Tavaliselt on probleemide korral vaja leida üks või mitu tundmatut, teades samal ajal teatud soovitud ja etteantud kogustega tehtud toimingute tulemusi. Sellised ülesanded taandatakse ühe või mitme võrrandisüsteemi lahendamiseks, soovitud suuruste leidmiseks algebraliste operatsioonide abil antud suurustega. Algebra uurib suurustega seotud toimingute üldisi omadusi.

Mõned algebralised meetodid lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamiseks olid tuntud juba 4000 aastat tagasi Vana-Babülonis.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Babüloonlased oskasid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele. Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 2. "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis 96."

Diophantus väidab järgmiselt: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis võrdne mitte 96, vaid 100-ga. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, st .10 + x. Teine on väiksem, st 10 - x. Nende vahe on 2x. Siit ka võrrand:

(10+x)(10-x)=96,

Seega x = 2. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendust x = - 2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande, valides ühe tundmatutest numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni:

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks.

Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis Aryabhattam, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ax2 + bx = c, a>

Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalike koosolekute au, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele 3 vastav võrrand on järgmine:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

ja selle võrrandi vasaku poole ruudu täiendamiseks lisab ta mõlemale poolele 322, saades siis:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) “Ruudmed on võrdsed juurtega”, st ax2 = bx.

2) “Ruudmed on võrdsed arvuga”, st ax2 = c.

3) "Juured on võrdsed arvuga", st kirves \u003d c.

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st ax2 + c = bx.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvuga”, st ax2 + bx = c.

6) “Juured ja arvud on võrdsed ruutudega”, st bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta Al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab Al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

Ülesanne 4. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur ”(võrrandi juur on x2 + 21 \u003d 10x).

Lahendus: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta 4 juur, saad 2. Lahuta 5-st 2, saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Ruutvõrrandid EuroopasXII- XVIIsisse.

Euroopas Al-Khwarizmi mudelil ruutvõrrandite lahendamise vorme kirjeldati esmakordselt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule.

See raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud selle raamatu ülesanded kanti üle peaaegu kõikidesse Euroopa 14.–17. sajandi õpikutesse. Üldreegli ühtseks kanooniliseks vormiks x2 + bx = c taandatud ruutvõrrandite lahendamiseks kõigi võimalike märkide ja koefitsientide kombinatsioonidega b, c sõnastas Euroopas 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele omandab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase vormi.

Praktiliste probleemide lahendamise algebraliste meetodite päritolu on seotud antiikmaailma teadusega. Nagu matemaatika ajaloost teada, oli märkimisväärne osa Egiptuse, Sumeri, Babüloonia kirjatundjate-arvutite (XX-VI sajand eKr) lahendatud matemaatilise iseloomuga probleemidest arvutatud. Ent ka siis tekkis aeg-ajalt probleeme, kus mingi suuruse soovitud väärtust täpsustasid mingid kaudsed tingimused, mis nõudsid meie kaasaegsest vaatepunktist võrrandi või võrrandisüsteemi sõnastamist. Esialgu kasutati selliste ülesannete lahendamiseks aritmeetilisi meetodeid. Hiljem hakkasid kujunema algebraliste esituste alged. Näiteks Babüloonia kalkulaatorid suutsid lahendada ülesandeid, mis tänapäevase klassifikatsiooni seisukohalt on taandatud teise astme võrranditeks. Loodi tekstülesannete lahendamise meetod, mis hiljem oli aluseks algebralise komponendi esiletõstmisel ja selle iseseisval uurimisel.

See uuring viidi läbi juba teisel ajastul, esmalt araabia matemaatikute poolt (VI-X sajand pKr), kes tõid välja iseloomulikud toimingud, mille abil võrrandid taandati standardvormiks, sarnaste mõistete redutseerimine, terminite ülekandmine ühest osast. võrrand teisega märgimuutusega. Ja siis lõid renessansiajastu Euroopa matemaatikud pika otsimise tulemusel tänapäevase algebra keele, tähtede kasutamise, aritmeetiliste tehte sümbolite, sulgude jms kasutuselevõtu. 16. 17. sajandil. Algebra kui matemaatika spetsiifiline osa, millel on oma õppeaine, meetod, rakendusvaldkonnad, on juba välja kujunenud. Selle edasiarendus kuni meie ajani seisnes meetodite täiustamises, rakendusala laiendamises, mõistete ja nende seoste selgitamises teiste matemaatikaharude mõistetega.

Seega, pidades silmas võrrandi mõistega seotud materjali tähtsust ja ulatust, seostatakse selle uurimist tänapäevases matemaatika metoodikas selle esinemise ja toimimise kolme peamise valdkonnaga.

Ruutvõrrandi lahendamiseks peate teadma:

diskriminandi leidmise valem;

ruutvõrrandi juurte leidmise valem;

· Algoritmid seda tüüpi võrrandite lahendamiseks.

lahendada mittetäielikke ruutvõrrandeid;

lahendada täisruutvõrrandid;

lahendada etteantud ruutvõrrandid;

leida lahendatud võrranditest vigu ja parandada need;

Tehke kontroll.

Iga võrrandi lahendus koosneb kahest põhiosast:

selle võrrandi teisendamine kõige lihtsamateks;

võrrandite lahendamine teadaolevate reeglite, valemite või algoritmide järgi.

Õpilaste aktiivsusmeetodite üldistamine ruutvõrrandite lahendamisel toimub järk-järgult. Teema "Ruudvõrrandid" uurimisel saab eristada järgmisi etappe:

I etapp – "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine."

II etapp – "Täielike ruutvõrrandite lahendamine".

III etapp – "Taatud ruutvõrrandite lahendamine".

Esimeses etapis võetakse arvesse mittetäielikke ruutvõrrandeid. Kuna algul õppisid matemaatikud lahendama mittetäielikke ruutvõrrandeid, siis selleks ei pidanud nad, nagu öeldakse, midagi leiutama. Need on võrrandid kujul: ax2 = 0, ax2 + c = 0, kus c≠ 0, ax2 + bx = 0, kus b ≠ 0. Vaatleme mitme järgmise võrrandi lahendust:

1. Kui ax2 = 0. Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) leia x2;

2) leia x.

Näiteks 5x2 = 0 . Jagades võrrandi mõlemad pooled 5-ga, selgub: x2 = 0, seega x = 0.

2. Kui ax2 + c = 0, c≠ 0 Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) tõsta terminid paremale poole;

2) leidke kõik arvud, mille ruudud on võrdsed arvuga c.

Näiteks x2 - 5 = 0, See võrrand on samaväärne võrrandiga x2 = 5. Seetõttu peate leidma kõik arvud, mille ruudud on võrdsed arvuga 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> ja sellel pole muid juuri.

3. Kui ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) liigutada ühistegurit sulgudest välja;

2) leidke x1, x2.

Näiteks x2 - 3x \u003d 0. Kirjutame võrrandi x2 - 3x \u003d 0 ümber kujul x (x - 3) \u003d 0. Ilmselgelt on sellel võrrandil juured x1 \u003d 0, x2 \u003d. sellel pole muid juuri, sest kui x asemel on asendatud mõni muu arv peale nulli ja 3, siis võrrandi x (x - 3) \u003d 0 vasakul küljel saate arvu, mis ei ole võrdne nulliga.

Niisiis näitavad need näited, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid:

1) kui võrrandi kuju on ax2 = 0, siis on sellel üks juur x = 0;

2) kui võrrand on kujul ax2 + bx = 0, siis kasutatakse faktoriseerimise meetodit: x (ax + b) = 0; nii et kas x = 0 või ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Juhul -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, st - = m, kus m>0, võrrandil x2 = m on kaks juurt

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (sel juhul on lubatud lühem märge =.

Seega võib mittetäielikul ruutvõrrandil olla kaks juurt, üks juur, mitte ühtegi juurt.

Teises etapis viiakse läbi üleminek täieliku ruutvõrrandi lahendusele. Need on võrrandid kujul ax2 + bx + c = 0, kus a, b, c on antud arvud, a ≠ 0, x on tundmatu.

Iga täieliku ruutvõrrandi saab teisendada vormiks , et määrata ruutvõrrandi juurte arv ja leida need juured. Vaadeldakse järgmisi täielike ruutvõrrandite lahendamise juhtumeid: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Kui D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Näiteks 2x2 + 4x + 7 = 0. Lahendus: siin a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Kuna D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Kui D \u003d 0, siis ruutvõrrandil ax2 + bx + c \u003d 0 on üks juur, mis leitakse valemiga.

Näiteks 4x - 20x + 25 = 0. Lahendus: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 \u003d 0.

Kuna D = 0, on sellel võrrandil üks juur. See juur leitakse valemiga ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Koostatakse algoritm võrrandi kujul ax2 + bx + c = 0 lahendamiseks.

1. Arvutage diskriminant D valemiga D = b2 - 4ac.

2. Kui D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Kui D = 0, siis ruutvõrrandil on üks juur, mis leitakse valemiga

4..gif" width="101" height="45">.

See algoritm on universaalne, see on rakendatav nii mittetäielike kui ka täielike ruutvõrrandite jaoks. Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid see algoritm tavaliselt ei lahenda.

Matemaatikud on praktilised ja säästlikud inimesed, seetõttu kasutavad nad valemit: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, millel on sama märk kui D..gif" width="89" height="49">, siis võrrandil (3) on kaks juurt ;

2) kui siis võrrandil on kaks langevat juurt;

3) kui siis võrrandil pole juuri.

Ruutvõrrandi uurimisel on oluliseks punktiks Vieta teoreemi käsitlemine, mis väidab taandatud ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahelise seose olemasolu.

Vieta teoreem. Antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.

Teisisõnu, kui x1 ja x2 on võrrandi x2 + px + q = 0 juured, siis

Neid valemeid nimetatakse Vieta valemiteks prantsuse matemaatiku F. Vieta () auks, kes võttis kasutusele algebraliste sümbolite süsteemi, töötas välja elementaaralgebra alused. Ta oli üks esimesi, kes hakkas numbreid tähistama tähtedega, mis arendas võrranditeooriat märkimisväärselt.

Näiteks ülaltoodud võrrandil x2 - 7x +10 \u003d 0 on juured 2 ja 5. Juurte summa on 7 ja korrutis on 10. On näha, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga , võetud vastupidise märgiga ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega.

Samuti on Vieta teoreemile vastupidine teoreem.

Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile. Kui valemid (5) kehtivad arvude x1, x2, p, q puhul, siis x1 ja x2 on võrrandi x2 + px + q = 0 juured.

Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi kasutatakse sageli erinevate ülesannete lahendamisel.

Näiteks. Kirjutame etteantud ruutvõrrandi, mille juurteks on arvud 1 ja -3.

Vieta valemite järgi

– p = x1 + x2 = – 2,

Seetõttu on soovitud võrrandi vorm x2 + 2x - 3 = 0.

Vieta teoreemi omandamise keerukus on seotud mitme asjaoluga. Kõigepealt on vaja arvestada otsese ja pöördteoreemi erinevusega. Vieta otseses teoreemis on ruutvõrrand ja selle juured antud; pöördväärtuses on ainult kaks arvu ja ruutvõrrand ilmneb teoreemi lõpus. Õpilased teevad sageli vea, põhjendades oma arutluskäiku vale viitega otsesele või vastupidisele Vieta teoreemile.

Näiteks ruutvõrrandi juurte leidmisel valiku teel tuleb viidata Vieta pöördteoreemile, mitte otsesele, nagu õpilased sageli teevad. Vieta teoreemide laiendamiseks nulldiskriminandi korral peame nõustuma, et sel juhul on ruutvõrrandil kaks võrdset juurt. Sellise kokkuleppe mugavus avaldub ruudukujulise trinoomi faktoriseerimises.

Teosest pole veel HTML-i versiooni.

Sarnased dokumendid

Ruutvõrrandi juurte valemite väljatöötamise ajalugu. Ruutvõrrandid Vana-Babülonis. Ruutvõrrandite lahendus Diophantuse poolt. Ruutvõrrandid Indias, Horezmias ja Euroopas 13. - 17. sajandil. Vieta teoreem, kaasaegne algebraline tähistus.

test, lisatud 27.11.2010

Ruutvõrrandite ajalugu: võrrandid iidses Babülonis ja Indias. Võrdse koefitsiendi valemid punktis x. Konkreetse iseloomuga ruutvõrrandid. Vieta teoreem kõrgema astme polünoomide jaoks. Bikvadraatvõrrandite uurimine. Cordano valemi olemus.

abstraktne, lisatud 05.09.2009

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine matemaatika ajaloos. Erinevate teise astme võrrandite lahendamise meetodite tehnoloogiate võrdlev analüüs, näited nende rakendamisest. Ruutvõrrandite lahendamise lühiteooria, ülesannete raamatu koostamine.

abstraktne, lisatud 18.12.2012

Matemaatika tähtsus meie elus. Konto ajalugu. Arvutusmatemaatika meetodite areng tänapäeval. Matemaatika kasutamine teistes teadustes, matemaatilise modelleerimise roll. Matemaatilise hariduse olukord Venemaal.

artikkel, lisatud 01.05.2010

Kreeka matemaatika. Keskaeg ja renessanss. Kaasaegse matemaatika algus. Kaasaegne matemaatika. Matemaatika ei põhine mitte loogikal, vaid kindlal intuitsioonil. Matemaatika aluste probleemid on filosoofilised.

abstraktne, lisatud 09.06.2006

Matemaatikateaduse arengulugu Euroopas 6.-14.sajandil, selle esindajad ja saavutused. Matemaatika areng renessansiajal. Literaalarvutuse loomine, François Vieta tegevus. Arvutustehnika täiustused 16. sajandi lõpus – 16. sajandi alguses

esitlus, lisatud 20.09.2015

Ülevaade Euroopa matemaatika arengust XVII-XVIII sajandil. Euroopa teaduse ebaühtlane areng. Analüütiline geomeetria. Matemaatilise analüüsi loomine. Leibnizi teaduskool. Teaduse üldtunnused XVIII sajandil. Matemaatika arengusuunad.

esitlus, lisatud 20.09.2015

Matemaatika sünniperiood (kuni 7.-5. saj eKr). Konstantide matemaatika aeg (7.-5. saj eKr – XVII sajand pKr). Muutujate matemaatika (XVII-XIX sajand). Kaasaegne matemaatika arenguperiood. Arvutimatemaatika omadused.

esitlus, lisatud 20.09.2015

Vana-Kreeka matemaatikute saavutused, kes elasid 6. sajandil eKr. ja 5. sajand pKr. Matemaatika esialgse arenguperioodi tunnused. Pythagorase koolkonna roll matemaatika arengus: Platon, Eudoxus, Zenon, Demokritos, Euclid, Archimedes, Apollonius.

test, lisatud 17.09.2010

Matemaatika kui teaduse kujunemislugu. Algmatemaatika periood. Muutujate matemaatika loomise periood. Analüütilise geomeetria, diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomine. Matemaatika areng Venemaal XVIII-XIX sajandil.

Uurimistöö

Teemast

"Ruutvõrrandite lahendamise meetodid"

Esitatud:
8. rühma "G" klass

Tööjuht:
Benkovskaja Maria Mihhailovna

Projekti eesmärgid ja eesmärgid.

1. Näidake, et matemaatikas, nagu igal teisel teadusel, on piisavalt oma lahendamata saladusi.
2. Rõhutage, et matemaatikuid eristab ebastandardne mõtlemine. Ja vahel on hea matemaatiku leidlikkus ja intuitsioon lihtsalt imetlusväärne!
3. Näidake, et juba katse lahendada ruutvõrrandeid aitas kaasa uute matemaatika mõistete ja ideede väljatöötamisele.
4. Õppige töötama erinevate teabeallikatega.
5. Jätkata uurimistööd matemaatikas

Uurimise etapid

1. Ruutvõrrandite tekkelugu.

2. Ruutvõrrandi definitsioon ja selle liigid.

3. Ruutvõrrandite lahendamine diskrimineeriva valemi abil.

4. Francois Viet ja tema teoreem.

5. Koefitsientide omadused ruutvõrrandi juurte kiireks leidmiseks.

6. Praktiline orienteerumine.

Läbi võrrandite, teoreemide

Olen lahendanud palju probleeme.

(Chaucer, inglise luuletaja, keskaeg.)

etapp. Ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis juba iidsetel aegadel vajadus lahendada ülesandeid, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatööde leidmisega, samuti astronoomia ja matemaatika enda areng.

Babüloonlased suutsid ruutvõrrandid lahendada umbes 2000 eKr. Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on toodud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevaste omadega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reegli leidmiseni jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Diophantose aritmeetika sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite formuleerimisega, kuid see ei sisalda algebra süstemaatilist esitust.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba 499. aastal koostatud astronoomilistes traktaatides "Aryabhattiam". India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autoril on 6 tüüpi võrrandeid. Al-Khwarizmi jaoks, kes ei teadnud negatiivseid numbreid, on iga võrrandi tingimused liitmised, mitte lahutamised. Samas ei võeta teadlikult arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid, mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta al-Khwarizmi, nagu kõik teadlased enne 17. sajandit, nulllahendust.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt esitatud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja nende lahendamise valemid.

Al-Khwarizmi mudelil Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. Seda mahukat teost eristab esituse terviklikkus ja selgus. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised meetodid ülesannete lahendamiseks ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu probleemid kandusid peaaegu kõigisse 16.–17. ja osaliselt 18. sajandi Euroopa õpikutesse.

Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks koefitsientide b,c kõigi võimalike märkide kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas, kes arvestasid mitte ainult positiivsete, vaid ka negatiivsete juurtega. Alles 17. sajandil sai ruutvõrrandite lahendamise meetod tänu Girrardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele tänapäevase kuju.

TULEB VÄLJA:

Ruutvõrrandi ülesandeid leidub juba 499. aastal.

Vana-Indias olid levinud avalikud võistlused raskete ülesannete lahendamisel – OLÜMPIAADID .

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2016-04-11

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st. 10+x, teine on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei võta nulllahendust arvesse ilmselt seetõttu, et see ei oma konkreetsete praktiliste ülesannete puhul tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieta sümboolika on aga tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas. Siit tuleneb võrrand: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 või: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Lahendust x \u003d -2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid numbreid.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: ruutvõrrandid Indias. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Ruutvõrrandid al-Khorezmis. 1) "Ruudmed on võrdsed juurtega", st ax2 + c \u003d bx. 2) “Ruudmed on võrdsed arvuga”, st ax2 = c. 3) "Juured on võrdsed arvuga", st ah \u003d c. 4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st ax2 + c = bx. 5) “Ruut ja juured on võrdsed arvuga”, st ax2 + bx = c. 6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c \u003d ax2.

Ruutvõrrandid Euroopas 13.–17. sajandil. x2 + bx = c koefitsientide b, c kõigi võimalike märkide kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vieta teoreemi kohta. "Kui B + D korda A - A 2 võrdub BD, siis A võrdub B ja võrdub D." Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui (a + b)x - x2 = ab, st x2 - (a + b)x + ab = 0, siis x1 = a, x2 = b.

Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. 1. MEETOD: võrrandi vasaku poole jaotamine teguriteks. Lahendage võrrand x2 + 10 x - 24 = 0. Teguristage vasak pool: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Seetõttu saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: (x + 12) (x - 2) = 0 Kuna korrutis on null, siis on vähemalt üks selle teguritest null. Seetõttu kaob võrrandi vasak pool, kui x = 2 ja ka x = - 12. See tähendab, et arv 2 ja -12 on võrrandi x2 + 10 x - 24 = 0 juured.

2. MEETOD: täisruudu valiku meetod. Lahendame võrrandi x2 + 6 x - 7 = 0. Vali vasakult täisruut. Selleks kirjutame avaldise x2 + 6 x järgmisel kujul: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. Saadud avaldises on esimene liige arvu x ruut ja teine liige x-i kahekordne korrutis 3-ga. Seetõttu tuleb täisruudu saamiseks lisada 32, sest x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Nüüd teisendame võrrandi vasaku külje x2 + 6 x - 7 \u003d 0, lisades sellele ja lahutades 32. Meil on: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x) + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Seega saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Seetõttu x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1 või x + 3 = -4, x2 = -7.

3. MEETOD: Ruutvõrrandite lahendamine valemiga. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 4 a-ga ja saame järjestikku: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. MEETOD: võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. Nagu teate, on antud ruutvõrrandi kujund x2 + px + c \u003d 0. (1) Selle juured vastavad Vieta teoreemile, mis \u003d 1 korral on kujul x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 ja x 2 = 1, kuna q = 2 > 0 ja p = - 3 0 ja p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 ja x 2 = 1, kuna q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 ja x 2 \u003d - 1, kuna q \u003d - 9

5. MEETOD: võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil. Vaatleme ruutvõrrandit ax2 + bx + c \u003d 0, kus a ≠ 0. Korrutades selle mõlemad osad a-ga, saame võrrandi a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Olgu ax \u003d y, kust x \ u003d a/a; siis jõuame võrrandini y2 + võrra + ac = 0, mis on võrdne antud võrrandiga. Selle juured y1 ja y2 leiame Vieta teoreemi abil. Lõpuks saame x1 = y1/a ja x1 = y2/a.

Näide. Lahendame võrrandi 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Lahendus. “Viskame” koefitsient 2 vabaliikmele, mille tulemusena saame võrrandi y2 - 11 y + 30 = 0. Vieta teoreemi järgi y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Vastus : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. MEETOD: Ruutvõrrandi kordajate omadused. A. Olgu ruutvõrrand ax2 + bx + c \u003d 0, kus a ≠ 0. 1) Kui a + b + c \u003d 0 (st koefitsientide summa on null), siis x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Tõestus. Jagage võrrandi mõlemad pooled a ≠ 0-ga, saame taandatud ruutvõrrandi x 2 + b / a x + c / a \u003d 0. Vieta teoreemi järgi x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Tingimusel a - b + c = 0, kust b = a + c. Seega x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), st x1 \u003d -1 ja x2 \u003d c / a, mida taheti tõestada.

B. Kui teine koefitsient b \u003d 2 k on paarisarv, siis juurvalem C. Ülaltoodud võrrand x2 + px + q \u003d 0 langeb kokku üldvõrrandiga, milles a \u003d 1, b \u003d p ja c \u003d q. Seetõttu taandatud ruutvõrrandi jaoks juurte valem

7. MEETOD: Ruutvõrrandi graafiline lahendamine. Kui võrrandis x2 + px + q = 0 kanname teise ja kolmanda liikme paremale poole, siis saame x2 = - px - q. Koostame sõltuvusgraafikud y \u003d x2 ja y \u003d - px - q.

Näide 1) Lahendame graafiliselt võrrandi x2 - 3 x - 4 = 0 (joonis 2). Lahendus. Kirjutame võrrandi kujul x2 \u003d 3 x + 4. Konstrueerime parabooli y \u003d x2 ja sirge y \u003d 3 x + 4. Sirge y \u003d 3 x + 4 saab ehitada kahe abil punktid M (0; 4) ja N (3; 13). Vastus: x1 = - 1; x2 = 4

8. MEETOD: Ruutvõrrandite lahendamine sirkli ja joonlauaga. ruudukujulise sirkli ja joonlaua juurte leidmine (joon. 5). Võrrandid Seejärel saame sekantse teoreemi järgi OB OD = OA OC, kust OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 koos

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Ringi raadius on suurem kui keskordinaat (AS > SK või R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. MEETOD: Ruutvõrrandite lahendamine nomogrammi abil. z 2 + pz + q = 0. Nomogrammi kõverjooneline skaala on üles ehitatud valemite järgi (joonis 11): Eeldusel OS = p, ED = q, OE = a (kõik cm), Kolmnurkade sarnasusest SAN ja CDF saame proportsiooni

Näited. 1) Võrrandi z 2 - 9 z + 8 = 0 korral annab nomogramm juured z 1 = 8, 0 ja z 2 = 1, 0 (joonis 12). 2) Nomogrammi abil lahendame võrrandi 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Jagame selle võrrandi koefitsiendid 2-ga, saame võrrandi z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogramm annab juured z 1 = 4 ja z 2 = 0, 5. 3) Võrrandi z 2 - 25 z + 66 \u003d 0 puhul on koefitsiendid p ja q skaalast väljas, teostame asendused z \u003d 5 t, me saame võrrandi t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, mille lahendame nomogrammide abil ja saame t 1 = 0,6 ja t 2 = 4,4, kust z 1 = 5 t 1 = 3,0 ja z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. MEETOD: Ruutvõrrandite geomeetriline lahendamise viis. Näited. 1) Lahendame võrrandi x2 + 10 x = 39. Originaalis on see ülesanne sõnastatud järgmiselt: "Ruut ja kümme juurt võrdub 39" (joonis 15). Algse ruudu soovitud külje x jaoks saame

y2 + 6 y - 16 = 0. Lahendus on näidatud joonisel fig. 16, kus y2 + 6 y = 16 või y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Lahendus. Avaldised y2 + 6 y + 9 ja 16 + 9 on geomeetriliselt sama ruudukujulised ning algne võrrand y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 on sama võrrand. Kust saame, et y + 3 = ± 5 või y1 = 2, y2 = - 8 (joonis 16).