Gaussi meetod. Gaussi meetod: lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise algoritmi kirjeldus, näited, lahendused

Gaussi meetod suurepärane lineaarsete algebraliste võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamiseks. Sellel on teiste meetodite ees mitmeid eeliseid:

esiteks ei ole vaja võrrelda võrrandisüsteemi ühilduvuse eeluurimist;
teiseks saab Gaussi meetodit kasutada mitte ainult SLAE-de lahendamiseks, milles võrrandite arv langeb kokku tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriks on mittedegenereerunud, vaid ka võrrandisüsteeme, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga;
kolmandaks, Gaussi meetod viib tulemuseni suhteliselt väikese arvutustehte arvuga.

Artikli lühiülevaade.

Esiteks anname vajalikud määratlused ja tutvustame mõningaid tähistusi.

Järgnevalt kirjeldame Gaussi meetodi algoritmi kõige lihtsamal juhul, st lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide puhul võrrandite arv, milles ühtib tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga. Selliste võrrandisüsteemide lahendamisel on kõige selgemini nähtav Gaussi meetodi olemus, mis seisneb tundmatute muutujate järjestikuses kõrvaldamises. Seetõttu nimetatakse Gaussi meetodit ka tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodiks. Toome välja mitme näite üksikasjalikud lahendused.

Kokkuvõtteks vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide Gaussi lahendust, mille põhimaatriks on kas ristkülikukujuline või degenereerunud. Selliste süsteemide lahendusel on mõned omadused, mida analüüsime üksikasjalikult näidete abil.

Leheküljel navigeerimine.

Põhimõisted ja tähistus.

Vaatleme p lineaarvõrrandi süsteemi n tundmatuga (p võib olla võrdne n):

Kus on tundmatud muutujad, kas arvud (päris- või kompleksarvud), on vabaliikmed.

Kui a , siis nimetatakse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi homogeenne, muidu - heterogeenne.

Tundmatute muutujate väärtuste kogumit, milles kõik süsteemi võrrandid muutuvad identiteetideks, nimetatakse SLAU otsus.

Kui lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemil on vähemalt üks lahendus, siis seda nimetatakse liigend, muidu - Sobimatu.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud. Kui lahendusi on rohkem kui üks, kutsutakse süsteem välja ebakindel.

Süsteem on väidetavalt sisse kirjutatud koordinaatide vorm kui sellel on vorm
.

See süsteem sisse maatriksvorm kirjetel on vorm , kus - SLAE põhimaatriks, - tundmatute muutujate veeru maatriks, - vabaliikmete maatriks.

Kui liita maatriksile A (n + 1)-ndaks veeruks vabade liikmete maatriks-veerg, siis saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse suurendatud maatriksit tähega T ja vabade liikmete veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Ruutmaatriksit A nimetatakse degenereerunud kui selle determinant on null. Kui , siis nimetatakse maatriksit A mitte-mandunud.

Tuleb märkida järgmist punkti.

Kui järgmised toimingud sooritatakse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemiga

vahetage kaks võrrandit,
korrutage mis tahes võrrandi mõlemad pooled suvalise ja nullist erineva reaal- (või kompleksarvuga) k,
mis tahes võrrandi mõlemale osale lisage teise võrrandi vastavad osad, korrutatuna suvalise arvuga k,

siis saame samaväärse süsteemi, millel on samad lahendused (või, nagu algselgi, pole lahendusi).

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi puhul tähendavad need toimingud elementaarseid teisendusi ridadega:

kahe nööri vahetamine
maatriksi T mis tahes rea kõigi elementide korrutamine nullist erineva arvuga k ,
liites maatriksi mis tahes rea elementidele teise rea vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga k .

Nüüd saame jätkata Gaussi meetodi kirjeldusega.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga ja süsteemi põhimaatriks on mittedegenereerunud, Gaussi meetodil.

Mida me teeksime koolis, kui saaksime ülesandeks leida lahendus võrrandisüsteemile .

Mõni teeks nii.

Pange tähele, et kui lisate esimese võrrandi vasaku külje teise võrrandi vasaku poole ja parema poole paremale poole, saate vabaneda tundmatutest muutujatest x 2 ja x 3 ning leida kohe x 1:

Asendame leitud väärtuse x 1 \u003d 1 süsteemi esimesse ja kolmandasse võrrandisse:

Kui korrutada süsteemi kolmanda võrrandi mõlemad osad -1-ga ja liita need esimese võrrandi vastavatele osadele, siis vabaneme tundmatust muutujast x 3 ja leiame x 2:

Asendame saadud väärtuse x 2 \u003d 2 kolmanda võrrandiga ja leiame ülejäänud tundmatu muutuja x 3:

Teised oleksid teisiti teinud.

Lahendame süsteemi esimese võrrandi tundmatu muutuja x 1 suhtes ja asendame saadud avaldise süsteemi teise ja kolmanda võrrandiga, et see muutuja neist välja jätta:

Nüüd lahendame süsteemi teise võrrandi x 2 suhtes ja asendame saadud tulemuse kolmanda võrrandiga, et välistada sellest tundmatu muutuja x 2:

Süsteemi kolmandast võrrandist on näha, et x 3 =3. Teisest võrrandist leiame , ja esimesest võrrandist saame .

Tuttavad lahendused, eks?

Kõige huvitavam on siin see, et teine lahendusmeetod on sisuliselt tundmatute järjestikuse elimineerimise meetod ehk Gaussi meetod. Kui väljendasime tundmatuid muutujaid (esimene x 1, järgmine x 2) ja asendasime need süsteemi ülejäänud võrranditega, jätsime need seega välja. Teostasime erandi kuni hetkeni, mil viimane võrrand jättis ainult ühe tundmatu muutuja. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise protsessi nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast edasiliikumise lõpetamist on meil võimalus arvutada viimases võrrandis tundmatu muutuja. Tema abiga leiame eelviimasest võrrandist järgmise tundmatu muutuja jne. Nimetatakse protsessi tundmatute muutujate järjestikuse leidmiseks, liikudes viimaselt võrrandilt esimesele vastupidine Gaussi meetod.

Tuleb märkida, et kui väljendame x 1 esimeses võrrandis x 2 ja x 3 kaudu ning seejärel asendame saadud avaldise teise ja kolmanda võrrandiga, viivad järgmised toimingud sama tulemuseni:

Tõepoolest, selline protseduur võimaldab meil ka tundmatu muutuja x 1 süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja jätta:

Nüansid tundmatute muutujate kõrvaldamisel Gaussi meetodil tekivad siis, kui süsteemi võrrandid ei sisalda mõnda muutujat.

Näiteks SLAU-s esimeses võrrandis pole tundmatut muutujat x 1 (teisisõnu, koefitsient selle ees on null). Seetõttu ei saa me lahendada süsteemi esimest võrrandit x 1 suhtes, et välistada see tundmatu muutuja ülejäänud võrranditest. Väljapääs sellest olukorrast on süsteemi võrrandite vahetamine. Kuna me käsitleme lineaarvõrrandisüsteeme, mille põhimaatriksite determinandid erinevad nullist, on alati olemas võrrand, milles meile vajalik muutuja on olemas ja me saame selle võrrandi ümber paigutada soovitud positsioonile. Meie näite puhul piisab süsteemi esimese ja teise võrrandi vahetamisest , siis saate lahendada x 1 esimese võrrandi ja jätta selle süsteemi ülejäänud võrranditest välja (kuigi x 1 teises võrrandis juba puudub).

Loodame, et saite sisust aru.

Kirjeldame Gaussi meetodi algoritm.

Peame lahendama n lineaarsest algebralisest võrrandist koosneva süsteemi n tundmatu kujuga muutujaga , ja olgu selle põhimaatriksi determinant nullist erinev.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Tundmatu muutuja x 1 jätame süsteemi kõikidest võrranditest välja, alates teisest. Selleks liida esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, liida esimene korrutatud võrrand kolmandale võrrandile ja nii edasi, liida esimene korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a .

Sama tulemuseni jõuaksime, kui väljendaksime x 1 süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendaksime saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks liida süsteemi kolmandale võrrandile teine korrutatud, neljandale võrrandile liidetakse teine korrutatuna ja nii edasi, liidetakse teine korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamist, toimides samamoodi joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud väärtust x n leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 võrrand.

Analüüsime algoritmi näite abil.

Näide.

Gaussi meetod.

Lahendus.

Koefitsient a 11 erineb nullist, nii et jätkame Gaussi meetodi otsese käiguga, st tundmatu muutuja x 1 kõrvaldamisega kõigist süsteemi võrranditest, välja arvatud esimene. Selleks lisage teise, kolmanda ja neljanda võrrandi vasak- ja parempoolsesse ossa esimese võrrandi vasak ja parem osa, korrutatuna vastavalt . ja:

Tundmatu muutuja x 1 on elimineeritud, liigume edasi välistamise x 2 juurde. Süsteemi kolmanda ja neljanda võrrandi vasakule ja paremale osale liidame teise võrrandi vasaku ja parema osa, korrutatuna ja :

Gaussi meetodi edasiliikumise lõpuleviimiseks peame süsteemi viimasest võrrandist välja jätma tundmatu muutuja x 3. Lisage neljanda võrrandi vasakule ja paremale poolele vastavalt kolmanda võrrandi vasak ja parem külg, korrutatuna :

Võite alustada Gaussi meetodi vastupidist kurssi.

Viimasest võrrandist, mis meil on ,
kolmandast võrrandist saame ,
teisest
esimesest.

Kontrollimiseks saate asendada tundmatute muutujate saadud väärtused algsesse võrrandisüsteemi. Kõik võrrandid muutuvad identiteetideks, mis tähendab, et Gaussi meetodi lahendus leiti õigesti.

Vastus:

Ja nüüd anname sama näite lahenduse Gaussi meetodil maatriksi kujul.

Näide.

Leia võrrandisüsteemile lahendus Gaussi meetod.

Lahendus.

Süsteemi laiendatud maatriksil on vorm . Iga veeru kohale on kirjutatud tundmatud muutujad, mis vastavad maatriksi elementidele.

Gaussi meetodi otsene kulg hõlmab siin süsteemi laiendatud maatriksi viimist trapetsikujulisele kujule, kasutades elementaarteisendusi. See protsess sarnaneb tundmatute muutujate välistamisega, mida tegime süsteemiga koordinaatide kujul. Nüüd olete selles veendunud.

Teisendame maatriksi nii, et kõik elemendid esimeses veerus, alates teisest, muutuvad nulliks. Selleks lisage teise, kolmanda ja neljanda rea elementidele esimese rea vastavad elemendid, mis on korrutatud arvuga , ja vastavalt:

Järgmisena teisendame saadud maatriksi nii, et teises veerus muutuvad kõik elemendid alates kolmandast nulliks. See vastaks tundmatu muutuja x 2 välistamisele. Selleks lisage kolmanda ja neljanda rea elementidele maatriksi esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna ja :

Jääb süsteemi viimasest võrrandist välja jätta tundmatu muutuja x 3. Selleks lisame saadud maatriksi viimase rea elementidele eelviimase rea vastavad elemendid, korrutatuna :

Tuleb märkida, et see maatriks vastab lineaarvõrrandi süsteemile

mis saadi varem pärast otsekolimist.

On aeg tagasi pöörata. Märkuse maatrikskujul hõlmab Gaussi meetodi pöördkäik saadud maatriksi sellist teisendust nii, et joonisel märgitud maatriks

muutus diagonaaliks, st võttis kuju

kus on mõned numbrid.

Need teisendused on sarnased Gaussi meetodi omadega, kuid neid ei teostata mitte esimesest reast viimaseni, vaid viimasest esimeseni.

Lisage kolmanda, teise ja esimese rea elementidele viimase rea vastavad elemendid, korrutatuna , edasi ja edasi vastavalt:

Nüüd lisame teise ja esimese rea elementidele kolmanda rea vastavad elemendid, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Gaussi meetodi pöördliikumise viimases etapis lisame esimese rea elementidele teise rea vastavad elemendid, korrutatuna .

Saadud maatriks vastab võrrandisüsteemile , millest leiame tundmatud muutujad.

Vastus:

MÄRGE.

Kasutades Gaussi meetodit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, tuleks vältida ligikaudseid arvutusi, kuna see võib viia absoluutselt valede tulemusteni. Soovitame kümnendkohti mitte ümardada. Parem on liikuda kümnendmurdudelt tavamurdudele.

Näide.

Kolme võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodil .

Lahendus.

Pange tähele, et selles näites on tundmatutel muutujatel erinev tähistus (mitte x 1 , x 2 , x 3 , vaid x, y, z ). Liigume edasi tavaliste murdude juurde:

Eemaldage süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist tundmatu x:

Saadud süsteemis pole teises võrrandis tundmatut muutujat y ja y on olemas kolmandas võrrandis, seetõttu vahetame teise ja kolmanda võrrandi:

Siinkohal on Gaussi meetodi otsene kulg läbi (te ei pea y-d kolmandast võrrandist välja jätma, kuna seda tundmatut muutujat enam ei eksisteeri).

Läheme tagasi.

Viimasest võrrandist leiame ,
eelviimasest

esimesest võrrandist, mis meil on

Vastus:

X = 10, y = 5, z = -20.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute arvuga või süsteemi põhimaatriks on degenereerunud, Gaussi meetodil.

Võrrandisüsteemidel, mille põhimaatriks on ristkülikukujuline või degenereerunud ruut, ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahend või lõpmatu arv lahendeid.

Nüüd mõistame, kuidas Gaussi meetod võimaldab teil tuvastada lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse või vastuolu ja selle ühilduvuse korral määrata kõik lahendused (või üks lahendus).

Põhimõtteliselt jääb selliste SLAE-de puhul tundmatute muutujate kõrvaldamise protsess samaks. Siiski tasub mõnel tekkida võival olukorral üksikasjalikult peatuda.

Liigume edasi kõige olulisema sammu juurde.

Niisiis, oletame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem pärast Gaussi meetodi edasijooksu lõpetamist võtab kuju ja ükski võrranditest pole taandatud (sel juhul järeldame, et süsteem on vastuolus). Tekib loogiline küsimus: "Mida edasi teha"?

Kirjutame välja tundmatud muutujad, mis on saadud süsteemi kõigi võrrandite esikohal:

Meie näites on need x 1 , x 4 ja x 5 . Süsteemi võrrandite vasakpoolsetesse osadesse jätame ainult need liikmed, mis sisaldavad välja kirjutatud tundmatuid muutujaid x 1, x 4 ja x 5, ülejäänud liikmed kanname vastupidise märgiga võrrandite paremale poolele:

Anname võrrandite paremal pool asuvatele tundmatutele muutujatele suvalised väärtused, kus - suvalised arvud:

Pärast seda leitakse arvud kõigi meie SLAE võrrandite õigetest osadest ja saame liikuda Gaussi meetodi vastupidise käigu juurde.

Süsteemi viimasest võrrandist saame , eelviimasest võrrandist leiame , esimesest võrrandist saame

Võrrandisüsteemi lahendus on tundmatute muutujate väärtuste kogum

Numbrite andmine erinevad väärtused, saame võrrandisüsteemi erinevad lahendid. See tähendab, et meie võrrandisüsteemil on lõpmatult palju lahendeid.

Vastus:

kus - suvalised arvud.

Materjali koondamiseks analüüsime üksikasjalikult veel mitme näite lahendusi.

Näide.

Lahendage homogeenne lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x. Selleks lisage teise võrrandi vasak- ja parempoolsele osale vastavalt esimese võrrandi vasak ja parem osa, korrutatuna , ning kolmanda võrrandi vasak ja parem osa - vasak ja parem osa. esimene võrrand, korrutatud:

Nüüd jätame saadud võrrandisüsteemi kolmandast võrrandist välja y:

Saadud SLAE on süsteemiga samaväärne .

Süsteemi võrrandite vasakusse serva jätame ainult tundmatuid muutujaid x ja y sisaldavad liikmed ning paremale poole kanname tundmatu muutujaga z:

Haridusasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

Juhised

teema "Gaussi meetod lineaarsete süsteemide lahendamiseks" uurimiseks

Võrrandid” arvestusteaduskonna korrespondentõppe õppevormi (NISPO) üliõpilaste poolt

Gorki, 2013

Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

Ekvivalentsed võrrandisüsteemid

Kaht lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui iga lahendus neist on teise lahendus. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise protsess seisneb selle järjestikuses teisendamises samaväärseks süsteemiks, kasutades nn. elementaarsed teisendused , mis on:

1) süsteemi mis tahes kahe võrrandi permutatsioon;

2) süsteemi mis tahes võrrandi mõlema osa korrutamine nullist erineva arvuga;

3) mis tahes võrrandile teise võrrandi lisamine, mis on korrutatud mis tahes arvuga;

4) nullidest koosneva võrrandi kustutamine, s.o. tüüpi võrrandid.

Gaussi eliminatsioon

Mõelge süsteemile m lineaarvõrrandid n teadmata:

Gaussi meetodi ehk tundmatute järjestikuse välistamise meetodi olemus on järgmine.

Esiteks, elementaarteisenduste abil jäetakse tundmatu kõigist süsteemi võrranditest välja, välja arvatud esimene. Selliseid süsteemi teisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooni etapp . Tundmatut kutsutakse lahendav muutuja ümberkujundamise esimesel etapil. Koefitsienti nimetatakse eraldusvõime tegur , nimetatakse esimest võrrandit võrrandi lahendamine , ja koefitsientide veerg juures luba veerg .

Ühe Gaussi eliminatsioonietapi sooritamisel tuleb järgida järgmisi reegleid:

1) lahendusvõrrandi koefitsiendid ja vaba tähtaeg jäävad muutumatuks;

2) lahutuskoefitsiendist allpool asuva lahutusveeru koefitsiendid muutuvad nulliks;

3) kõik muud esimeses etapis olevad koefitsiendid ja vabad liikmed arvutatakse ristkülikureegli järgi:

, kus i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Sarnased teisendused teostame süsteemi teisel võrrandil. See toob kaasa süsteemi, kus tundmatu jäetakse kõigis võrrandites välja, välja arvatud kaks esimest. Selliste teisenduste tulemusena süsteemi iga võrrandi üle (Gaussi meetodi otsene kulg) taandatakse algne süsteem ühte järgmistest tüüpidest ekvivalentseks astmesüsteemiks.

Vastupidine Gaussi meetod

Sammusüsteem

on kolmnurkse kujuga ja kõik (i=1,2,…,n). Sellisel süsteemil on ainulaadne lahendus. Tundmatud määratakse alates viimasest võrrandist (Gaussi meetodi vastupidine).

Sammusüsteemil on vorm

kus , st. süsteemivõrrandite arv on väiksem või võrdne tundmatute arvuga. Sellel süsteemil pole lahendusi, kuna viimane võrrand ei kehti muutuja ühegi väärtuse puhul.

Astmelise vaate süsteem

on lõpmatu arv lahendusi. Viimasest võrrandist lähtudes väljendatakse tundmatut tundmatute kaudu . Siis asendatakse tundmatu asemel selle avaldis tundmatute kujul eelviimasesse võrrandisse . Jätkates Gaussi meetodi vastupidist kurssi, tundmatud saab väljendada tundmatute kaudu . Antud juhul tundmatu helistas tasuta ja võib võtta mis tahes väärtuse ja tundmatu põhilised.

Praktikas süsteemide lahendamisel on mugav teha kõiki teisendusi mitte võrrandisüsteemiga, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga, mis koosneb tundmatute koefitsientidest ja vabade liikmete veerust.

Näide 1. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi ja teostame elementaarsed teisendused:

Süsteemi laiendatud maatriksis on number 3 (see on esile tõstetud) eraldusvõime tegur, esimene rida on eraldusvõime rida ja esimene veerg on eraldusvõime veerg. Järgmisele maatriksile liikumisel lahutusrida ei muutu, kõik lahendava elemendi all oleva lahendava veeru elemendid asendatakse nullidega. Ja kõik teised maatriksi elemendid arvutatakse ümber nelinurkreegli järgi. Teise rea elemendi 4 asemel kirjutame , kirjutatakse see teise rea elemendi -3 asemel jne. Seega saadakse teine maatriks. Selle maatriksi teises reas on lahutuselemendi number 18. Järgmise (kolmanda maatriksi) moodustamiseks jätame teise rea muutmata, kirjutame lahendava elemendi all olevasse veergu null ja arvutame ülejäänud kaks elementi ümber: numbri 1 asemel kirjutame , ja numbri 16 asemel kirjutame .

Selle tulemusena taandatakse algne süsteem samaväärseks süsteemiks

Kolmandast võrrandist leiame . Asendage see väärtus teise võrrandiga: y=3. Asendage leitud väärtused esimesse võrrandisse y ja z: , x=2.

Seega on selle võrrandisüsteemi lahendus x=2, y=3, .

Näide 2. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Teeme elementaarsed teisendused süsteemi laiendatud maatriksil:

Teises maatriksis jagatakse iga kolmanda rea element 2-ga.

Neljandas maatriksis jagati iga kolmanda ja neljanda rea element 11-ga.

. Saadud maatriks vastab võrrandisüsteemile

Selle süsteemi lahendamisel leiame , , .

Näide 3. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja sooritame elementaarsed teisendused:

Teises maatriksis jagati iga teise, kolmanda ja neljanda rea element 7-ga.

Selle tulemusena võrrandisüsteem

võrdväärne originaaliga.

Kuna võrrandeid on kaks vähem kui tundmatuid, siis teisest võrrandist . Asendage esimeses võrrandis avaldis: , .

Seega valemid andke selle võrrandisüsteemi üldlahendus. Tundmatud ja tasuta ning võivad võtta mis tahes väärtuse.

Olgu näiteks Siis ja . Lahendus on üks süsteemi erilahendusi, mida on lugematu arv.

Küsimused teadmiste enesekontrolliks

1) Milliseid lineaarsüsteemide teisendusi nimetatakse elementaarseteks?

2) Milliseid süsteemi teisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooniastmeks?

3) Mis on lahutusmuutuja, lahutustegur, lahutusveerg?

4) Milliseid reegleid tuleks kasutada Gaussi eliminatsiooni ühe sammu sooritamisel?

Alates 16.-18. sajandi algusest hakkasid matemaatikud intensiivselt uurima funktsioone, tänu millele on meie elus nii mõndagi muutunud. Ilma nende teadmisteta poleks arvutitehnoloogiat lihtsalt olemas. Keeruliste ülesannete lahendamiseks on loodud lineaarvõrrandeid ja -funktsioone, erinevaid mõisteid, teoreeme ja lahendustehnikaid. Üks selliseid universaalseid ja ratsionaalseid meetodeid ja tehnikaid lineaarvõrrandite ja nende süsteemide lahendamiseks oli Gaussi meetod. Maatriksid, nende auaste, determinant – kõike saab arvutada ilma keerulisi tehteid kasutamata.

Mis on SLAU

Matemaatikas on mõiste SLAE – lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem. Mida ta esindab? See on m võrrandite kogum nõutava n tundmatuga, mida tavaliselt tähistatakse kui x, y, z või x 1 , x 2 ... x n või muid sümboleid. Selle süsteemi lahendamine Gaussi meetodil tähendab kõigi tundmatute leidmist. Kui süsteemis on sama arv tundmatuid ja võrrandeid, siis nimetatakse seda n-ndat järku süsteemiks.

Kõige populaarsemad meetodid SLAE lahendamiseks

Keskhariduse õppeasutustes uuritakse erinevaid meetodeid selliste süsteemide lahendamiseks. Enamasti on need lihtsad võrrandid, mis koosnevad kahest tundmatust, nii et mis tahes olemasolev meetod neile vastuse leidmiseks ei võta palju aega. See võib olla nagu asendusmeetod, kui ühest võrrandist tuletatakse teine võrrand ja asendatakse see algse võrrandiga. Või termini haaval lahutamine ja liitmine. Kuid Gaussi meetodit peetakse kõige lihtsamaks ja universaalsemaks. See võimaldab lahendada võrrandeid mis tahes arvu tundmatutega. Miks peetakse seda tehnikat ratsionaalseks? Kõik on lihtne. Maatriksmeetod on hea, kuna see ei nõua tarbetute märkide tundmatute kujul ümberkirjutamist mitu korda, piisab, kui teha koefitsientidega aritmeetilisi tehteid - ja saate usaldusväärse tulemuse.

Kus SLAE-sid praktikas kasutatakse?

SLAE lahenduseks on funktsioonide graafikute sirgete lõikepunktid. Meie kõrgtehnoloogilisel arvutiajastul peavad mängude ja muude programmide arendamisega tihedalt seotud inimesed teadma, kuidas selliseid süsteeme lahendada, mida need kujutavad ja kuidas saadud tulemuse õigsust kontrollida. Kõige sagedamini töötavad programmeerijad välja spetsiaalsed lineaaralgebrakalkulaatorid, see hõlmab lineaarsete võrrandite süsteemi. Gaussi meetod võimaldab arvutada kõik olemasolevad lahendused. Kasutatakse ka muid lihtsustatud valemeid ja tehnikaid.

SLAE ühilduvuskriteerium

Sellist süsteemi saab lahendada ainult siis, kui see on ühilduv. Selguse huvides esitame SLAE kujul Ax=b. Sellel on lahendus, kui rang(A) võrdub rang(A,b). Sel juhul on (A,b) laiendatud vormimaatriks, mille saab maatriksist A vabade terminitega ümber kirjutades. Selgub, et lineaarvõrrandite lahendamine Gaussi meetodi abil on üsna lihtne.

Võib-olla pole mõni märge täiesti selge, seetõttu on vaja kõike näite abil käsitleda. Oletame, et on olemas süsteem: x+y=1; 2x-3a = 6. See koosneb ainult kahest võrrandist, milles on 2 tundmatut. Süsteemil on lahendus ainult siis, kui selle maatriksi aste on võrdne suurendatud maatriksi astmega. Mis on auaste? See on süsteemi sõltumatute ridade arv. Meie puhul on maatriksi järjestus 2. Maatriks A koosneb tundmatute lähedal asuvatest koefitsientidest ja laiendatud maatriksisse mahuvad ka "=" märgi taga olevad koefitsiendid.

Miks saab SLAE-d esitada maatriksi kujul

Tõestatud Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi ühilduvuskriteeriumi alusel saab lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esitada maatrikskujul. Kasutades Gaussi kaskaadi meetodit, saate lahendada maatriksi ja saada kogu süsteemi jaoks ainsa usaldusväärse vastuse. Kui tavalise maatriksi auaste on võrdne selle laiendatud maatriksi auastmega, kuid väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv vastuseid.

Maatriksiteisendused

Enne maatriksite lahendamise juurde asumist on vaja teada, milliseid toiminguid saab nende elementidega teha. On mitmeid elementaarseid teisendusi:

Süsteemi maatrikskujule ümber kirjutades ja selle lahendamist teostades on võimalik kõik seeria elemendid korrutada sama koefitsiendiga.
Maatriksi teisendamiseks kanooniliseks vormiks saab vahetada kaks paralleelset rida. Kanooniline vorm tähendab, et kõik maatriksi elemendid, mis asuvad piki põhidiagonaali, muutuvad ühtedeks ja ülejäänud nullideks.
Maatriksi paralleelsete ridade vastavaid elemente saab üksteisele liita.

Jordani-Gaussi meetod

Lineaarsete homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite süsteemide Gaussi meetodil lahendamise põhiolemus on tundmatute järkjärguline kõrvaldamine. Oletame, et meil on kahe võrrandi süsteem, milles on kaks tundmatut. Nende leidmiseks peate kontrollima süsteemi ühilduvust. Gaussi võrrand lahendatakse väga lihtsalt. Iga tundmatu lähedal asuvad koefitsiendid tuleb maatrikskujul välja kirjutada. Süsteemi lahendamiseks tuleb välja kirjutada liitmaatriks. Kui ühes võrrandis on väiksem arv tundmatuid, siis tuleb puuduva elemendi asemele panna "0". Maatriksile rakendatakse kõiki teadaolevaid teisendusmeetodeid: korrutamist, arvuga jagamist, ridade vastavate elementide üksteisele liitmist ja muud. Selgub, et igas reas on vaja jätta üks muutuja väärtusega "1", ülejäänud tuleks vähendada nullini. Täpsema arusaamise jaoks on vaja käsitleda Gaussi meetodit näidetega.

Lihtne näide 2x2 süsteemi lahendamisest

Alustuseks võtame lihtsa algebralise võrrandisüsteemi, milles on 2 tundmatut.

Kirjutame selle ümber liitmaatriksisse.

Selle lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on vaja ainult kahte tehtet. Peame viima maatriksi kanoonilisele kujule, nii et piki põhidiagonaali oleks ühikuid. Niisiis, tõlkides maatriksvormilt tagasi süsteemi, saame võrrandid: 1x+0y=b1 ja 0x+1y=b2, kus b1 ja b2 on lahendamise käigus saadud vastused.

Esimene samm liitmaatriksi lahendamisel on järgmine: esimene rida tuleb korrutada -7-ga ja lisada vastavad elemendid vastavalt teisele reale, et vabaneda teises võrrandis ühest tundmatust.
Kuna võrrandite lahendamine Gaussi meetodil eeldab maatriksi viimist kanoonilisele kujule, siis on vaja teha samad toimingud esimese võrrandiga ja eemaldada teine muutuja. Selleks lahutame esimesest teise rea ja saame vajaliku vastuse - SLAE lahenduse. Või, nagu joonisel näidatud, korrutame teise rea koefitsiendiga -1 ja lisame teise rea elemendid esimesele reale. See on sama.

Nagu näete, on meie süsteem lahendatud Jordani-Gaussi meetodil. Kirjutame selle ümber nõutud kujul: x=-5, y=7.

Näide SLAE 3x3 lahendamisest

Oletame, et meil on keerulisem lineaarvõrrandisüsteem. Gaussi meetod võimaldab välja arvutada vastuse ka kõige segasema näiva süsteemi puhul. Seetõttu võib arvutusmetoodikasse süvenemiseks liikuda edasi keerukama näite juurde, kus on kolm tundmatut.

Nagu eelmises näites, kirjutame süsteemi ümber laiendatud maatriksi kujul ja hakkame seda kanoonilisele kujule viima.

Selle süsteemi lahendamiseks peate tegema palju rohkem toiminguid kui eelmises näites.

Kõigepealt peate esimesse veergu tegema ühe elemendi ja ülejäänud nullid. Selleks korrutage esimene võrrand -1-ga ja lisage sellele teine võrrand. Oluline on meeles pidada, et kirjutame esimese rea ümber selle algsel kujul ja teise - juba muudetud kujul.
Järgmisena eemaldame kolmandast võrrandist sama esimese tundmatu. Selleks korrutame esimese rea elemendid -2-ga ja lisame need kolmandale reale. Nüüd kirjutatakse esimene ja teine rida ümber nende algsel kujul ja kolmas - juba muudatustega. Nagu tulemusest näha, saime esimese maatriksi põhidiagonaali algusesse ja ülejäänud on nullid. Veel mõned toimingud ja Gaussi meetodi võrrandisüsteem on usaldusväärselt lahendatud.
Nüüd peate tegema toiminguid ridade teiste elementidega. Kolmanda ja neljanda sammu saab ühendada üheks. Diagonaali negatiivsetest vabanemiseks peame teise ja kolmanda rea jagama -1-ga. Kolmanda rea oleme juba viinud vajalikule vormile.
Järgmisena kanoniseerime teise rea. Selleks korrutame kolmanda rea elemendid -3-ga ja lisame need maatriksi teisele reale. Tulemusest on näha, et ka teine rida taandatakse meile vajalikule kujule. Jääb teha veel paar toimingut ja eemaldada esimesest reast tundmatute koefitsiendid.
Rea teisest elemendist 0 saamiseks tuleb kolmas rida korrutada -3-ga ja lisada see esimesele reale.
Järgmine otsustav samm on teise rea vajalike elementide lisamine esimesse ritta. Nii saame maatriksi kanoonilise vormi ja vastavalt ka vastuse.

Nagu näete, on võrrandite lahendamine Gaussi meetodil üsna lihtne.

Näide 4x4 võrrandisüsteemi lahendamisest

Mõningaid keerukamaid võrrandisüsteeme saab lahendada Gaussi meetodil, kasutades arvutiprogramme. Olemasolevatesse tühjadesse lahtritesse on vaja juhtida tundmatute koefitsiendid ja programm arvutab samm-sammult vajaliku tulemuse, kirjeldades iga toimingut üksikasjalikult.

Allpool kirjeldatakse samm-sammult juhiseid sellise näite lahendamiseks.

Esimeses etapis sisestatakse tühjadesse lahtritesse vabad koefitsiendid ja tundmatute arvud. Seega saame sama suurendatud maatriksi, mille kirjutame käsitsi.

Ja laiendatud maatriksi kanoonilisele vormile viimiseks tehakse kõik vajalikud aritmeetilised toimingud. Tuleb mõista, et võrrandisüsteemi vastus ei ole alati täisarvud. Mõnikord võib lahendus olla murdarvudest.

Lahenduse õigsuse kontrollimine

Jordan-Gaussi meetod näeb ette tulemuse õigsuse kontrollimise. Selleks, et teada saada, kas koefitsiendid on õigesti arvutatud, peate lihtsalt asendama tulemuse algse võrrandisüsteemiga. Võrrandi vasak pool peab ühtima parema poolega, mis on võrdusmärgi taga. Kui vastused ei ühti, siis peate süsteemi ümber arvutama või proovima rakendada mõnda teist teile teadaolevat SLAE lahendamise meetodit, näiteks asendamist või termini kaupa lahutamist ja liitmist. Matemaatika on ju teadus, millel on tohutult palju erinevaid lahendusviise. Kuid pidage meeles: tulemus peaks olema alati sama, olenemata sellest, millist lahendusmeetodit kasutasite.

Gaussi meetod: levinumad vead SLAE lahendamisel

Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel esineb kõige sagedamini vigu, näiteks koefitsientide ebaõige ülekandmine maatriksvormile. On süsteeme, kus ühes võrrandis puuduvad mõned tundmatud, siis võivad need andmed laiendatud maatriksisse ülekandmisel kaduda. Selle tulemusena ei pruugi selle süsteemi lahendamisel tulemus vastata tegelikule.

Teine peamine viga võib olla lõpptulemuse vale väljakirjutamine. Tuleb selgelt mõista, et esimene koefitsient vastab esimesele süsteemist tundmatule, teine - teisele ja nii edasi.

Gaussi meetod kirjeldab üksikasjalikult lineaarvõrrandite lahendamist. Tänu temale on lihtne teha vajalikke toiminguid ja leida õige tulemus. Lisaks on see universaalne tööriist usaldusväärse vastuse leidmiseks mis tahes keerukusega võrranditele. Võib-olla just seetõttu kasutatakse seda SLAE lahendamisel nii sageli.

Käesolevas artiklis käsitletakse meetodit lineaarvõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamise viisina. Meetod on analüütiline, see tähendab, et see võimaldab teil kirjutada lahendusalgoritmi üldisel kujul ja seejärel asendada väärtusi konkreetsetest näidetest. Erinevalt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatult palju lahendeid. Või pole neil seda üldse.

Mida Gauss tähendab

Kõigepealt peate kirja panema meie võrrandisüsteemi jaotisesse See näeb välja selline. Süsteem võetakse:

Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja paremal eraldi veerus - vabaliikmed. Vabaliikmetega veerg on mugavuse huvides eraldatud Seda veergu sisaldavat maatriksit nimetatakse laiendatud.

Lisaks tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemise kolmnurga kujuliseks. See on süsteemi Gaussi meetodil lahendamise põhipunkt. Lihtsamalt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema selline, nii et selle vasakpoolses alumises osas on ainult nullid:

Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ülaltoodud võrrandiga, leitakse teine juur jne.

See on lahenduse kirjeldus Gaussi meetodil kõige üldisemalt. Ja mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatult palju? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodil lahenduses kasutatud elemente.

Maatriksid, nende omadused

Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihtsalt mugav viis hilisemate toimingute jaoks andmete salvestamiseks. Isegi koolilapsed ei peaks neid kartma.

Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkmaatriksi ehitamisele, ilmub kirjesse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nullid võib ära jätta, kuid need on kaudsed.

Maatriksil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), selle "pikkus" on veergude arv (n). Siis tähistatakse maatriksi A suurust (tähistusena kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui A m×n . Kui m = n, on see maatriks ruut ja m = n on selle järjekord. Vastavalt sellele võib maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea ja veeru numbriga: a xy ; x - rea number, muudatused , y - veeru number, muudatused .

B ei ole lahenduse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid teha otse võrrandite endaga, kuid märkimine osutub palju tülikamaks ja selles on palju lihtsam segadusse sattuda.

Determinant

Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Selle tähenduse väljaselgitamine pole seda väärt, võite lihtsalt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse tõmmatakse kujuteldavad diagonaalid; korrutatakse igal neist asuvad elemendid ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - "pluss" märgiga, kaldega vasakule - "miinus" märgiga.

Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade arvust ja veergude arvust väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas asuvad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi alusminooriks.

Enne võrrandisüsteemi Gaussi meetodil lahendamist ei tee paha determinandi arvutada. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.

Süsteemi klassifikatsioon

On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (alus-molli meeles pidades võib öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).

Vastavalt sellele, kuidas asjad auastmega on, võib SLAE jagada järgmisteks osadeks:

Ühine. Kellühendsüsteemide puhul ühtib põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) auastmega laiendatud maatriksi (vabaliikmete veeruga) auastmega. Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagatakse liitesüsteemid lisaks:
- teatud- ainulaadse lahenduse olemasolu. Teatud süsteemides on maatriksi auaste ja tundmatute arv (või veergude arv, mis on sama asi) võrdsed;
- määramata - lõpmatu hulga lahendustega. Selliste süsteemide maatriksite järjestus on väiksem kui tundmatute arv.
Sobimatu. Kell selliste süsteemide puhul ei lange põhi- ja laiendatud maatriksite järjestused kokku. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.

Gaussi meetod on hea selle poolest, et võimaldab saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebakõla kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldlahendust süsteemile, mille lahendamise käigus on lõpmatu arv lahendusi.

Elementaarsed teisendused

Enne otse süsteemi lahenduse juurde asumist on võimalik muuta see vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned ülaltoodud elementaarteisendused kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli täpselt SLAE. Siin on nende teisenduste loend:

Stringi permutatsioon. On ilmne, et kui me muudame süsteemikirje võrrandite järjekorda, siis see ei mõjuta lahendust kuidagi. Sellest tulenevalt on võimalik ka selle süsteemi maatriksis ridu vahetada, unustamata muidugi vabaliikmete veergu.
Stringi kõigi elementide korrutamine mõne teguriga. Väga kasulik! Selle abil saate maatriksis suuri numbreid vähendada või nullid eemaldada. Lahenduste komplekt, nagu tavaliselt, ei muutu ja edasisi toiminguid on mugavam teha. Peaasi, et koefitsient ei oleks võrdne nulliga.
Kustutage proportsionaalsete koefitsientidega read. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rea korrutamisel / jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi rohkem) absoluutselt identset rida ja saate eemaldada täiendavad, jättes alles ainult üks.
Nullrea eemaldamine. Kui teisenduste käigus saadakse kuskil string, milles kõik elemendid, ka vabaliige, on nullid, siis võib sellist stringi nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
Lisades ühe rea elementidele teise rea elemendid (vastavates veergudes), korrutatuna teatud koefitsiendiga. Kõige ebaselgem ja kõige olulisem teisendus üldse. Sellel tasub põhjalikumalt peatuda.

Koefitsiendiga korrutatud stringi lisamine

Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist võetakse kaks rida:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Oletame, et peate liitma esimese teisega, korrutatuna koefitsiendiga "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Seejärel asendatakse maatriksis teine rida uuega ja esimene jääb muutumatuks.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Tuleb märkida, et korrutustegurit saab valida nii, et kahe stringi liitmise tulemusena on üks uue stringi elementidest võrdne nulliga. Seetõttu on süsteemis võimalik saada võrrand, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saad kaks sellist võrrandit, siis saab operatsiooni uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab juba kahte tundmatut vähem. Ja kui me iga kord keerame nulli ühe koefitsiendi kõigi ridade jaoks, mis on madalamad kui algne, siis saame nagu sammud laskuda maatriksi kõige põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakse süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil.

Üldiselt

Las olla süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Saate selle üles kirjutada järgmiselt:

Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse vabade liikmete veerg ja eraldatakse need mugavuse huvides ribaga.

maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k = (-a 21 / a 11);
liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine rida;
teise rea asemel sisestatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastavalt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a 21 elemendiga 31 . Seejärel korratakse kõike 41, ... a m1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade esimene element on võrdne nulliga. Nüüd peame unustama rea number ühe ja käivitama sama algoritmi alates teisest reast:

koefitsient k \u003d (-a 32 / a 22);
teine muudetud rida lisatakse "praegusele" reale;
liitmise tulemus asendatakse kolmandal, neljandal ja nii edasi real, kusjuures esimene ja teine jäävad muutumatuks;
maatriksi ridades on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.

Algoritmi tuleb korrata seni, kuni ilmub koefitsient k = (-a m,m-1 /a mm). See tähendab, et viimati käivitati algoritm ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumine rida sisaldab võrdsust a mn × x n = b m . Koefitsient ja vabaliige on teada ning nende kaudu väljendub juur: x n = b m /a mn. Saadud juur asendatakse ülemisse ritta, et leida x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja kui olete jõudnud süsteemi "ülaossa", võite leida palju lahendusi. See jääb ainukeseks.

Kui lahendusi pole

Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid, välja arvatud vaba liige, võrdsed nulliga, siis sellele reale vastav võrrand näeb välja 0 = b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemi sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.

Kui lahendusi on lõpmatult palju

Võib selguda, et vähendatud kolmnurkmaatriksis pole ridu, millel on üks element - võrrandi koefitsient ja üks - vaba liige. On ainult stringe, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?

Kõik maatriksi muutujad on jagatud põhilisteks ja vabadeks. Põhilised - need on need, mis seisavad astmelise maatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad vabade järgi.

Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks kõigepealt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases, kus täpselt jäi ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub teisele. Seda tehakse iga võrrandi jaoks ühe põhimuutujaga. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui selle tulemusena ilmub taas avaldis, mis sisaldab ainult ühte põhimuutujat, siis väljendatakse seda sealt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.

Võite leida ka süsteemi põhilahenduse - andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage sellel konkreetsel juhul põhimuutujate väärtused. Erilahendusi on lõpmatult palju.

Lahendus konkreetsete näidetega

Siin on võrrandisüsteem.

Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe luua

Teatavasti jääb Gaussi meetodil lahendamisel esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasakpoolne element on väikseim - siis pärast toiminguid ülejäänud ridade esimesed elemendid muutuvad nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik esimese rea asemele panna teine.

teine rida: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 = -24

kolmas rida: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 = -57

Nüüd, et mitte segadusse sattuda, on vaja üles kirjutada maatriks teisenduste vahetulemustega.

On ilmne, et sellist maatriksit saab mõne operatsiooni abil tajumiseks mugavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt realt, korrutades iga elemendi "-1"-ga.

Samuti väärib märkimist, et kolmandas reas on kõik elemendid kolmekordsed. Seejärel saate stringi selle arvu võrra vähendada, korrutades iga elemendi "-1/3"-ga (miinus - samal ajal negatiivsete väärtuste eemaldamiseks).

Näeb palju kenam välja. Nüüd peame esimese rea rahule jätma ning töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada teine rida kolmandale reale, korrutades sellise teguriga, et element a 32 võrdub nulliga.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 murrud ja alles siis, kui vastused on laekunud, otsustage, kas ümardada ja tõlkida muusse tähistusvormi)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi edasisi teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saab kolmandalt realt eemaldada üldkoefitsiendi "-1/7".

Nüüd on kõik ilus. Asi on väike - kirjutage maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutage juured

x + 2a + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab z väärtust:

y = (24–11 × (61/9))/7 = –65/9

Ja esimene võrrand võimaldab teil leida x:

x = (12 - 4z - 2 a)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Meil on õigus nimetada sellist süsteemi ühenduskohaks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus on kirjutatud järgmisel kujul:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Näide ebamäärasest süsteemist

Teatud süsteemi Gaussi meetodil lahendamise varianti on analüüsitud, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on määramatu ehk sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Juba süsteemi vorm on murettekitav, sest tundmatute arv on n = 5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m = 4, see tähendab, ruutdeterminandi suurim järg on 4. See tähendab, et lahendeid on lõpmatult palju ja selle üldkuju on vaja otsida. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.

Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse suurendatud maatriks.

Teine rida: koefitsient k = (-a 21 / a 11) = -3. Kolmandas reas on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja lisades need soovitud ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:

Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida elementidest, mis on üksteisega proportsionaalsed. Teine ja neljas on üldiselt samad, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea number 3. Jällegi jätke üks kahest identsest reast.

Selgus selline maatriks. Süsteem pole veel üles kirjutatud, siin on vaja kindlaks määrata põhimuutujad - koefitsientide 11 \u003d 1 ja 22 \u003d 1 juures ning vabad - kõik ülejäänud.

Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x 2 . Seega saab seda väljendada sealt, kirjutades läbi muutujate x 3 , x 4 , x 5 , mis on vabad.

Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga.

Selgus võrrand, milles ainus põhimuutuja on x 1. Teeme sellega sama, mis x 2-ga.

Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saab vastuse kirjutada üldkujul.

Samuti saate määrata ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks reeglina nullid. Siis on vastus järgmine:

16, 23, 0, 0, 0.

Näide kokkusobimatust süsteemist

Ebajärjekindlate võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil on kiireim. See lõpeb niipea, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et kaob üsna pikk ja kõle juurte arvutamise etapp. Arvesse võetakse järgmist süsteemi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ja see on taandatud astmeliseks vormiks:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida vormi võrrandit

millel puudub lahendus. Seetõttu on süsteem ebajärjekindel ja vastus on tühi komplekt.

Meetodi eelised ja puudused

Kui valite, millise meetodi SLAE paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda, kui see juhtub, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutate seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite - determinant, minoorsed, pöördväärtused jne - arvutamiseks. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise ja ei eksi, on otstarbekam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, sest nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega.

Rakendus

Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Aga kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis olgu öeldud, et kõige lihtsam koht meetodi paigutamiseks on tabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (lisada saab ainult ühesuurused maatriksid!), arvuga korrutamine, maatrikskorrutamine (ka teatud piirangutega), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam. , determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on maatriksi auaste määramine ja seega ka selle ühilduvuse või ebakõla kindlakstegemine palju kiirem.

1. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem

1.1 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi mõiste

Võrrandisüsteem on tingimus, mis seisneb mitme võrrandi samaaegses täitmises mitmes muutujas. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem (edaspidi SLAE), mis sisaldab m võrrandit ja n tundmatut, on süsteem järgmisel kujul:

kus arve a ij nimetatakse süsteemi koefitsientideks, siis arvud b i on vabaliikmed, aij ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) on mõned teadaolevad arvud ja x 1 ,…, x n- teadmata. Koefitsientide tähistuses aij esimene indeks i tähistab võrrandi arvu ja teine indeks j on tundmatu arv, mille juures see koefitsient asub. Sõltuvalt arvu x n leidmisest. Sellist süsteemi on mugav kirjutada kompaktse maatriksi kujul: AX=B. Siin on A süsteemi koefitsientide maatriks, mida nimetatakse põhimaatriksiks;

on tundmatu xj veeruvektor.
on vabade liikmete bi veeruvektor.

Maatriksite A * X korrutis on defineeritud, kuna maatriksis A on sama palju veerge kui maatriksis X ridu (n tükki).

Süsteemi laiendatud maatriks on süsteemi maatriks A, mida täiendab vabade terminite veerg

1.2 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus

Võrrandisüsteemi lahendus on järjestatud arvude (muutujate väärtuste) kogum, kui muutujate asemel neid asendada, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrduseks.

Süsteemi lahenduseks on n tundmatute x1=c1, x2=c2,…, xn=cn väärtust, mille asendamisel muutuvad kõik süsteemi võrrandid tõelisteks võrdusteks. Süsteemi mis tahes lahenduse saab kirjutada maatriksveeruna

Võrrandisüsteemi nimetatakse järjekindlaks, kui sellel on vähemalt üks lahend, ja ebajärjekindlaks, kui sellel pole lahendeid.

Liitsüsteemi nimetatakse kindlaks, kui sellel on kordumatu lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus. Viimasel juhul nimetatakse iga selle lahendust süsteemi konkreetseks lahenduseks. Kõikide konkreetsete lahenduste hulka nimetatakse üldlahenduseks.

Süsteemi lahendamine tähendab välja selgitada, kas see on järjepidev või vastuoluline. Kui süsteem on ühilduv, leidke selle üldine lahendus.

Kahte süsteemi nimetatakse samaväärseks (ekvivalentseks), kui neil on sama üldlahendus. Teisisõnu, süsteemid on samaväärsed, kui iga lahendus neist ühele on lahendus teisele ja vastupidi.

Teisendust, mille rakendamine muudab süsteemi uueks, algse samaväärseks süsteemiks, nimetatakse ekvivalentseks või samaväärseks teisenduseks. Samaväärsete teisenduste näideteks võivad olla järgmised teisendused: süsteemi kahe võrrandi vahetamine, kahe tundmatu vahetamine kõigi võrrandite koefitsientidega, süsteemi mis tahes võrrandi mõlema osa korrutamine nullist erineva arvuga.

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna x1=x2=x3=…=xn=0 on süsteemi lahendus. Seda lahendust nimetatakse nulliks või triviaalseks.

2. Gaussi eliminatsiooni meetod

2.1 Gaussi eliminatsioonimeetodi olemus

Klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks on tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod - Gaussi meetod(Seda nimetatakse ka Gaussi eliminatsioonimeetodiks). See on meetod muutujate järjestikuseks elimineerimiseks, kui elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem astmelise (või kolmnurkse) vormiga ekvivalentsüsteemiks, millest kõik muud muutujad leitakse järjestikku, alustades viimased (arvu järgi) muutujad.

Gaussi lahendusprotsess koosneb kahest etapist: edasi- ja tagasiliigutustest.

1. Otsene käik.

Esimeses etapis viiakse läbi nn otseliikumine, kui elementaarsete teisenduste abil üle ridade viiakse süsteem astmelisele või kolmnurksele kujule või tehakse kindlaks, et süsteem on ebaühtlane. Nimelt valitakse maatriksi esimese veeru elementide hulgast nullist erinev üks, see viiakse ridade permuteerimise teel ülemisse asendisse ning ülejäänud ridadest lahutatakse pärast permutatsiooni saadud esimene rida, korrutades see väärtus, mis on võrdne kõigi nende ridade esimese elemendi ja esimese rea esimese elemendi suhtega, nullides seega selle all oleva veeru.

Pärast näidatud teisenduste tegemist kriipsutatakse esimene rida ja esimene veerg mõtteliselt läbi ja jätkatakse, kuni jääb alles nullsuurusega maatriks. Kui mõnel esimese veeru elementide iteratsioonil ei leitud nullist erinevat ühte, minge järgmise veeru juurde ja tehke sarnane toiming.

Esimesel etapil (edasisõit) taandatakse süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks).

Allolev süsteem on astmeline:

Koefitsiente aii nimetatakse süsteemi peamisteks (juht)elementideks.

(kui a11=0, siis korralda maatriksi read ümber nii a 11 ei olnud võrdne 0-ga. See on alati võimalik, sest vastasel juhul sisaldab maatriks nulli veergu, selle determinant on võrdne nulliga ja süsteem on ebaühtlane).

Teisendame süsteemi, elimineerides tundmatu x1 kõigis võrrandites, välja arvatud esimene (kasutades süsteemi elementaarseid teisendusi). Selleks korrutage esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga

ja liita liige liikme haaval süsteemi teise võrrandiga (või teisest võrrandist lahutame liikme kaupa esimese korrutisega ). Seejärel korrutame esimese võrrandi mõlemad osad arvuga ja lisame selle süsteemi kolmandasse võrrandisse (või lahutame esimese võrrandi korrutatuna kolmanda liikmega). Seega korrutame esimese rea järjestikku arvuga ja liidame i-th rida, jaoks i= 2, 3, …,n.

Seda protsessi jätkates saame samaväärse süsteemi:

- tundmatute ja vabade liikmete koefitsientide uued väärtused süsteemi viimastes m-1 võrrandites, mis määratakse valemitega:

Seega hävitatakse esimeses etapis kõik esimese juhtelemendi a 11 all olevad koefitsiendid

0, hävitab teine samm teise juhtelemendi all olevad elemendid a 22 (1) (kui a 22 (1) 0) jne. Seda protsessi edasi jätkates taandame lõpuks algse süsteemi kolmnurkseks süsteemiks sammus (m-1).

Kui süsteemi astmelisele vormile redutseerimise käigus tekivad nullvõrrandid, s.o. võrdusi kujul 0=0, jäetakse need kõrvale. Kui on olemas vormi võrrand

See näitab süsteemi kokkusobimatust.

See lõpetab Gaussi meetodi otsese kulgemise.

2. Tagurpidi liikumine.

Teises etapis viiakse läbi nn pöördliikumine, mille põhiolemus on väljendada kõik saadud põhimuutujad mittepõhilistena ja konstrueerida fundamentaalne lahenduste süsteem või kui kõik muutujad on põhimuutujad, siis väljendage arvuliselt lineaarvõrrandisüsteemi ainsat lahendust.

See protseduur algab viimase võrrandiga, millest vastav põhimuutuja väljendatakse (selles on ainult üks) ja asendatakse eelmiste võrranditega ja nii edasi, minnes "astmeid" ülespoole.

Iga rida vastab täpselt ühele põhimuutujale, nii et igal sammul, välja arvatud viimane (ülemine), kordab olukord täpselt viimase rea juhtu.

Märkus: praktikas on mugavam töötada mitte süsteemiga, vaid selle laiendatud maatriksiga, tehes selle ridadel kõik elementaarsed teisendused. On mugav, kui koefitsient a11 on võrdne 1-ga (korrastage võrrandid ümber või jagage võrrandi mõlemad pooled a11-ga).

2.2 Näited SLAE lahendamisest Gaussi meetodil

Selles osas näitame kolme erineva näite abil, kuidas saab Gaussi meetodit kasutada SLAE lahendamiseks.

Näide 1. Lahendage 3. järku SLAE.

Seadke koefitsiendid nulli

teises ja kolmandas reas. Selleks korrutage need vastavalt 2/3 ja 1-ga ning lisage need esimesele reale: