Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat tuletisinstrumentide kohta. Sellel õppetükil on mitu osa.

Kõigepealt räägin teile, mis tuletised üldiselt on ja kuidas neid arvutada, kuid mitte keerukas akadeemilises keeles, vaid nii, nagu ma ise sellest aru saan ja kuidas ma seda oma õpilastele selgitan. Teiseks käsitleme ülesannete lahendamise lihtsaimat reeglit, mille kohaselt otsime summade tuletisi, erinevuse tuletisi ja astmefunktsiooni tuletisi.

Vaatleme keerukamaid kombineeritud näiteid, millest saate eelkõige teada, et sarnaseid probleeme, mis hõlmavad juuri ja isegi murde, saab lahendada astmefunktsiooni tuletise valemi abil. Lisaks on loomulikult palju ülesandeid ja näiteid erineva keerukusega lahendustest.

Üldiselt kavatsesin esialgu salvestada lühikese 5-minutilise video, kuid näete ise, mis sellest välja tuli. Nii et piisab laulusõnadest – asume asja kallale.

Mis on tuletis?

Niisiis, alustame kaugelt. Mitu aastat tagasi, kui puud olid rohelisemad ja elu lõbusam, mõtlesid matemaatikud sellele: vaatleme selle graafikuga antud lihtsat funktsiooni, nimetagem seda $y=f\left(x \right)$. Muidugi ei eksisteeri graafikut iseseisvalt, seega tuleb joonistada $x$ telg ja ka $y$ telg. Ja nüüd valime sellel graafikul suvalise punkti, absoluutselt ükskõik millise. Nimetagem abstsissiks $((x)_(1))$, ordinaat, nagu võite arvata, on $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Mõelge teisele punktile samal graafikul. Vahet pole kumb, peaasi et originaalist erineks. Sellel on jällegi abstsiss, nimetagem seda $((x)_(2))$, samuti ordinaat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Seega saime kaks punkti: neil on erinevad abstsissid ja seetõttu erinevad funktsiooni väärtused, kuigi viimane on valikuline. Kuid tegelikult on oluline see, et me teame planimeetria kursusest, et sirge saab tõmmata läbi kahe punkti ja pealegi ainult ühe. Siin, käivitame selle.

Ja nüüd tõmbame sirge läbi kõige esimese, paralleelselt x-teljega. Saame täisnurkse kolmnurga. Nimetagem seda $ABC$, täisnurk $C$. Sellel kolmnurgal on üks väga huvitav omadus: fakt on see, et nurk $\alpha $ on tegelikult võrdne nurgaga, mille all sirgjoon $AB$ lõikub abstsisstelje jätkuga. Otsustage ise:

1. sirge $AC$ on konstruktsioonilt paralleelne teljega $Ox$,
2. rida $AB$ lõikub punktiga $AC$ $\alpha $ all,
3. seega $AB$ lõikub $Ox$ sama $\alpha $ all.

Mida me saame öelda $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ kohta? Ei midagi konkreetset, välja arvatud see, et kolmnurgas $ABC$ on jala $BC$ ja jala $AC$ suhe võrdne just selle nurga puutujaga. Nii et kirjutame:

Muidugi on $AC$ sel juhul lihtne kaaluda:

Samamoodi $BC$ jaoks:

Teisisõnu võime kirjutada järgmise:

\[\operaatorinimi(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \parem))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Nüüd, kui oleme selle kõik ära teinud, läheme tagasi oma graafiku juurde ja vaatame uut punkti $B$. Kustutage vanad väärtused ja võtke $B$ kuskile $((x)_(1))$ lähemale. Tähistame selle abstsissi uuesti kui $((x)_(2))$ ja ordinaati $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Vaatleme uuesti meie väikest kolmnurka $ABC$ ja $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ selle sees. On üsna ilmne, et see saab olema täiesti erinev nurk, ka puutuja on erinev, kuna lõikude $AC$ ja $BC$ pikkused on oluliselt muutunud ning nurga puutuja valem pole üldse muutunud - see on ikkagi funktsiooni muutmise ja argumendi muutmise suhe.

Lõpuks jätkame $B$ nihutamist algpunktile $A$ aina lähemale, mille tulemusena väheneb kolmnurk veelgi ja lõiku $AB$ sisaldav sirge näeb üha enam välja nagu lõigu puutuja. funktsiooni graafik.

Selle tulemusena, kui jätkame punktidele lähenemist, st vähendame kaugust nullini, siis sirge $AB$ muutub selles punktis tõepoolest graafiku puutujaks ja $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ muutub tavalisest kolmnurga elemendist nurgaks graafiku puutuja ja $Ox$ telje positiivse suuna vahel.

Ja siin liigume sujuvalt edasi $f$ definitsiooni juurde, nimelt funktsiooni tuletis punktis $((x)_(1))$ on puutuja vahelise nurga $\alpha $ puutuja. graafik punktis $((x)_(1))$ ja $Ox$ telje positiivne suund:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operaatorinimi(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Tulles tagasi meie graafiku juurde, tuleb märkida, et $((x)_(1))$-na saate valida graafikul mis tahes punkti. Näiteks saaksime sama eduga eemaldada löögi joonisel näidatud kohas.

Nimetame puutuja ja telje positiivse suuna vahelist nurka $\beta $. Sellest lähtuvalt on $f$ punktis $((x)_(2))$ võrdne selle nurga $\beta $ puutujaga.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Igal graafiku punktil on oma puutuja ja sellest tulenevalt ka funktsiooni oma väärtus. Kõigil neil juhtudel, lisaks punktile, kus otsime erinevuse või summa tuletist või astmefunktsiooni tuletist, on vaja võtta mõni muu punkt, mis asub sellest mingil kaugusel ja siis suunake see punkt algsele ja muidugi uurige, kuidas selle käigus selline liikumine kaldenurga puutujat muudab.

Võimsusfunktsiooni tuletis

Kahjuks see määratlus meile üldse ei sobi. Kõik need valemid, pildid, nurgad ei anna meile vähimatki ettekujutust, kuidas reaalsetes ülesannetes reaalset tuletist arvutada. Seetõttu kaldugem veidi kõrvale formaalsest määratlusest ja kaalume tõhusamaid valemeid ja võtteid, mille abil saate juba reaalseid probleeme lahendada.

Alustame lihtsamatest konstruktsioonidest, nimelt funktsioonidest kujul $y=((x)^(n))$, st. toitefunktsioonid. Sel juhul saame kirjutada järgmise: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Teisisõnu, aste, mis oli eksponendis, näidatakse ees olevas kordajas , ja eksponenti ennast vähendatakse ühiku võrra, näiteks:

\[\begin(joona)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(joonda) \]

Ja siin on veel üks võimalus:

\[\begin(joona)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(joonda)\]

Kasutades neid lihtsaid reegleid, proovime võtta järgmistest näidetest kõrvale.

Seega saame:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Nüüd lahendame teise avaldise:

\[\begin(joona)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \parem))^(\ esinumber ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(joonda)\]

Muidugi olid need väga lihtsad ülesanded. Tegelikud probleemid on aga keerulisemad ja need ei piirdu funktsiooni pädevusega.

Niisiis, reegel number 1 - kui funktsioon on esitatud kahe teisena, siis on selle summa tuletis võrdne tuletiste summaga:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Samamoodi on kahe funktsiooni erinevuse tuletis võrdne tuletiste erinevusega:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \parem))^(\ algnumber ))+((\left(x \right))^(\algaline ))=2x+1\]

Lisaks on veel üks oluline reegel: kui mõnele $f$ eelneb konstant $c$, millega see funktsioon korrutatakse, siis kogu selle konstruktsiooni $f$ loetakse järgmiselt:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \parem))^(\ algnumber ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Lõpetuseks veel üks väga oluline reegel: probleemid sisaldavad sageli eraldi terminit, mis ei sisalda $x$ üldse. Näiteks võime seda jälgida oma tänastes väljendites. Konstandi tuletis, s.o arvu, mis ei sõltu kuidagi $x$-st, on alati võrdne nulliga ja pole üldse oluline, millega konstant $c$ võrdub:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Lahenduse näide:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Veelkord põhipunktid:

1. Kahe funktsiooni summa tuletis on alati võrdne tuletiste summaga: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Sarnastel põhjustel on kahe funktsiooni erinevuse tuletis võrdne kahe tuletise erinevusega: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Kui funktsioonil on faktorikonstant, siis saab selle konstanti tuletise märgist välja võtta: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. Kui kogu funktsioon on konstant, siis on selle tuletis alati null: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Vaatame reaalsete näidete abil, kuidas see kõik toimib. Niisiis:

Kirjutame üles:

\[\begin(joona)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \paremale))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \parem))^(\algaline ))-((\left(3((x)^(2)) \parem))^(\algaline ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\algaline ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(joonda)\]

Selles näites näeme nii summa kui ka erinevuse tuletist. Seega on tuletis $5((x)^(4))-6x$.

Liigume edasi teise funktsiooni juurde:

Kirjutage lahendus üles:

\[\begin(joona)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3(x)^( 2)) \parem))^(\algmärk ))-((\vasak(2x \parem))^(\algaline ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \parem))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(joonda)\]

Siit oleme leidnud vastuse.

Liigume edasi kolmanda funktsiooni juurde - see on juba tõsisem:

\[\begin(joona)& ((\left(2(x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \parem ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(() (x)^(3)) \parem))^(\algaline ))-3((\vasak(((x)^(2)) \parem))^(\algaline ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]

Oleme vastuse leidnud.

Liigume edasi viimase väljendi juurde - kõige keerulisem ja pikim:

Niisiis, me kaalume:

\[\begin(joona)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\algaline ))-((\left(14((x)^(3)) \parem))^(\algaline )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(joonda)\]

Kuid lahendus ei lõpe sellega, sest meil palutakse mitte ainult tõmme eemaldada, vaid arvutada selle väärtus konkreetses punktis, seega asendame avaldises $x$ asemel −1:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Läheme kaugemale ja liigume veelgi keerulisemate ja huvitavamate näidete juurde. Asi on selles, et astmetuletise $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) lahendamise valem )$ on veelgi laiem ulatus, kui tavaliselt arvatakse. Selle abiga saate lahendada näiteid murdude, juurtega jne. Seda me nüüd teeme.

Alustuseks paneme veel kord kirja valemi, mis aitab meil leida võimsusfunktsiooni tuletise:

Ja nüüd tähelepanu: seni oleme $n$-deks pidanud ainult naturaalarve, kuid miski ei takista meil arvesse võtta murde ja isegi negatiivseid arve. Näiteks võime kirjutada järgmise:

\[\begin(joona)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ algnumber ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(joonda)\]

Pole midagi keerulist, nii et vaatame, kuidas see valem aitab meid keerulisemate probleemide lahendamisel. Nii et näide:

Kirjutage lahendus üles:

\[\begin(joona)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ vasak(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(joonda)\]

Läheme tagasi meie näite juurde ja kirjutame:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

See on nii raske otsus.

Liigume edasi teise näite juurde – termineid on ainult kaks, kuid igaüks neist sisaldab nii klassikalist kraadi kui ka juuri.

Nüüd õpime, kuidas leida võimsusfunktsiooni tuletist, mis lisaks sisaldab juurt:

\[\begin(joona)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \parem))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3)) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3)) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(joonda)\]

Mõlemad terminid on arvutatud, jääb üle kirjutada lõplik vastus:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Oleme vastuse leidnud.

Murru tuletis astmefunktsiooni järgi

Kuid valemi võimalused astmefunktsiooni tuletise lahendamiseks sellega ei lõpe. Fakt on see, et selle abiga saate lugeda mitte ainult näiteid juurtega, vaid ka murdosadega. See on just see haruldane võimalus, mis lihtsustab oluliselt selliste näidete lahendamist, kuid sageli eiratakse seda mitte ainult õpilaste, vaid ka õpetajate poolt.

Niisiis, proovime nüüd ühendada kaks valemit korraga. Ühelt poolt astmefunktsiooni klassikaline tuletis

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Teisest küljest teame, et avaldist kujul $\frac(1)(((x)^(n)))$ saab esitada kujul $((x)^(-n))$. Järelikult

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Seega arvutatakse klassikalise valemi abil ka lihtmurdude tuletised, kus lugeja on konstant ja nimetaja aste. Vaatame, kuidas see praktikas töötab.

Nii et esimene funktsioon:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ paremal))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Esimene näide on lahendatud, liigume teise juurde:

\[\begin(joona)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3(x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \parem))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \parem))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \parem))^(\algaline ))+((\left(2((x)^(3)) \parem))^(\peanumber ))-((\left( 3((x)^(4)) \parem))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4(x)^(4))) \parem))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \parem))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3(x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \parem) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \parem))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ vasak(3((x)^(4)) \parem))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(joonda)\]...

Nüüd kogume kõik need terminid ühte valemisse:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Saime vastuse.

Enne edasiminekut juhin aga tähelepanu originaalväljendite endi kirjutamisvormile: esimesse avaldisesse kirjutasime $f\left(x \right)=...$, teise: $y =...$ Paljud õpilased on eksinud, kui näevad erinevaid tähistusvorme. Mis vahe on $f\left(x \right)$ ja $y$ vahel? Tegelikult mitte midagi. Need on lihtsalt erinevad kirjed, millel on sama tähendus. See on lihtsalt nii, et kui me ütleme $f\left(x\right)$, siis me räägime ennekõike funktsioonist ja kui räägime $y$-st, siis peame enamasti silmas funktsiooni graafikut. Vastasel juhul on see sama, st tuletist peetakse mõlemal juhul samaks.

Keerulised probleemid tuletisinstrumentidega

Kokkuvõtteks tahaksin kaaluda paari keerulist kombineeritud probleemi, mis kasutavad korraga kõike, mida oleme täna kaalunud. Neis ootame juuri, murde ja summasid. Need näited on aga keerulised vaid tänase videoõpetuse raames, sest ees ootavad tõeliselt keerulised tuletisfunktsioonid.

Niisiis, tänase videoõpetuse viimane osa, mis koosneb kahest kombineeritud ülesandest. Alustame esimesest:

\[\begin(joona)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \parem))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \parem))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \parem))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ vasak(((x)^(-3)) \parem))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3)) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(joonda)\]

Funktsiooni tuletis on:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Esimene näide on lahendatud. Mõelge teisele probleemile:

Teises näites toimime sarnaselt:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \parem))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \parem))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\peamine))\]

Arvutame iga termini eraldi:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \parem))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ vasak(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \parem))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(joonda)\]

Kõik terminid loetakse. Nüüd pöördume tagasi algse valemi juurde ja liidame kokku kõik kolm terminit. Saame, et lõplik vastus on:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Ja see on kõik. See oli meie esimene õppetund. Järgmistes tundides vaatleme keerulisemaid konstruktsioone, samuti saame teada, miks tuletisi üldse vaja on.

Tuletisarvutus on diferentsiaalarvutuse üks olulisemaid tehteid. Allpool on tabel lihtsate funktsioonide tuletiste leidmiseks. Keerulisemate diferentseerimisreeglite kohta vaadake teisi õppetükke:

• Eksponent- ja logaritmfunktsioonide tuletiste tabel

Kasutage etteantud valemeid võrdlusväärtustena. Need aitavad lahendada diferentsiaalvõrrandeid ja ülesandeid. Pildil on lihtfunktsioonide tuletiste tabelis "petuleht" tuletise leidmise põhijuhtudest kasutamiseks arusaadaval kujul, selle kõrval iga juhtumi kohta selgitused.

Lihtfunktsioonide tuletised

1. Arvu tuletis on null
с´ = 0
Näide:
5' = 0

Selgitus:
Tuletis näitab kiirust, millega funktsiooni väärtus muutub argumendi muutumisel. Kuna arv ei muutu ühelgi tingimusel, on selle muutumise kiirus alati null.

2. Muutuja tuletis võrdne ühega
x' = 1

Selgitus:
Iga argumendi (x) ühe võrra suurendamisega suureneb funktsiooni väärtus (arvutustulemus) sama palju. Seega on funktsiooni y = x väärtuse muutumise kiirus täpselt võrdne argumendi väärtuse muutumise kiirusega.

3. Muutuja ja teguri tuletis on võrdne selle teguriga
сx´ = с
Näide:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Selgitus:
Sel juhul iga kord, kui funktsiooni argument ( X) selle väärtus (y) kasvab sisse Koosüks kord. Seega on funktsiooni väärtuse muutumise määr argumendi muutumise kiiruse suhtes täpselt võrdne väärtusega Koos.

Kust see järeldub
(cx + b)" = c
ehk lineaarfunktsiooni diferentsiaal y=kx+b on võrdne sirge kaldega (k).

4. Muutuja moodultuletis on võrdne selle muutuja ja tema mooduli jagatisega
|x|"= x / |x| eeldusel, et x ≠ 0
Selgitus:
Kuna muutuja tuletis (vt valem 2) on võrdne ühega, siis mooduli tuletis erineb ainult selle poolest, et funktsiooni muutumise kiiruse väärtus muutub lähtepunkti ületamisel vastupidiseks (proovige joonistada graafik funktsiooni y = |x| ja vaadake ise. See on täpselt väärtus ja tagastab avaldise x / |x| Kui x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - üks. See tähendab, et muutuja x negatiivsete väärtuste korral väheneb funktsiooni väärtus iga argumendi muutuse suurenemisega täpselt sama väärtuse võrra ja positiivsete väärtuste korral see vastupidi suureneb, kuid täpselt sama väärtus.

5. Muutuja võimsustuletis on võrdne selle võimsuse arvu ja võimsuse muutuja korrutisega, vähendatuna ühe võrra
(x c)"= cx c-1 tingimusel, et x c ja cx c-1 on defineeritud ja c ≠ 0
Näide:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Valemi meeldejätmiseks:
Võtke kordajaks muutuja "alla" eksponent ja seejärel vähendage eksponenti ennast ühe võrra. Näiteks x 2 puhul oli kaks x-st ees ja siis andis vähendatud võimsus (2-1 = 1) meile lihtsalt 2x. Sama juhtus ka x 3 puhul - alandame kolmikut, vähendame seda ühe võrra ja kuubi asemel on ruut, see tähendab 3x 2 . Natuke "ebateaduslik", kuid väga lihtne meelde jätta.

6.Murdtuletis 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Näide:
Kuna murdosa saab kujutada negatiivse astmeni tõstmisena
(1/x)" = (x -1)" , siis saate rakendada tuletiste tabeli 5. reegli valemit
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Murdtuletis suvalise astme muutujaga nimetajas
(1/x c)" = - c / x c+1
Näide:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. juurtuletis(ruutjuure all oleva muutuja tuletis)
(√x)" = 1 / (2√x) või 1/2 x -1/2
Näide:
(√x)" = (x 1/2)", et saaksite rakendada 5. reegli valemit
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Suvalise astme juure all oleva muutuja tuletis
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.

Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusena, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.

Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletisinstrumentide ja diferentseerimisreeglite kohta. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.

Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid - diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.

Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on koosinus. Asendame need väärtused tuletiste summas ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerige kui summa tuletis, milles teise liikme konstantse teguriga saab selle tuletise märgist välja võtta:

Kui on veel küsimusi, kust miski pärineb, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabeli ja lihtsamate eristamisreeglite lugemist. Me läheme kohe nende juurde.

Lihtfunktsioonide tuletiste tabel

1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati null. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli
2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "x". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline meeles pidada
3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel tuleb mitteruutjuured teisendada astmeks.
4. Muutuja tuletis astmega -1
5. Ruutjuure tuletis
6. Siinustuletis
7. Koosinustuletis
8. Puutuja tuletis
9. Kootangensi tuletis
10. Arsiinuse tuletis
11. Kaarkoosinuse tuletis
12. Kaartangensi tuletis
13. Pöördtangensi tuletis
14. Naturaallogaritmi tuletis
15. Logaritmifunktsiooni tuletis
16. Eksponent tuletis
17. Eksponentfunktsiooni tuletis

Eristamise reeglid

1. Summa või vahe tuletis
2. Toote tuletis
2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga
3. Jagatise tuletis
4. Kompleksfunktsiooni tuletis

1. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid

enamgi veel

need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.

Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.

2. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav

enamgi veel

need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.

Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:

Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.

Näiteks kolme kordaja jaoks:

3. reegelKui funktsioonid

mingil hetkel eristuvad ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav.u/v ja

need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .

Kust teistelt lehtedelt vaadata

Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel reaalsetes ülesannetes on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on artiklis rohkem näiteid nende tuletiste kohta."Korrutise ja jagatise tuletis".

Kommenteeri. Konstanti (st arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva liikmena ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See on tüüpiline viga, mis esineb tuletiste uurimise algfaasis, kuid kuna keskmine õpilane lahendab mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.

Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, kus u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .

Teine levinud viga on kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis pühendatud eraldi artiklile. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.

Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod ja Tegevused murdarvudega .

Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb , seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".

Kui teil on ülesanne nagu , siis olete õppetunnis "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".

Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Määrame funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise diferentseerimise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:

Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine ​​liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "x" muutub üheks ja miinus 5 - nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:

Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimusega nõutava funktsiooni tuletise:

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Kasutame jagatise eristamiseks valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:

Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine ​​tegur, võetakse miinusmärgiga:

Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis" .

Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja muude trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga .

Millel analüüsisime lihtsamaid tuletisi ning tutvusime ka diferentseerimise reeglitega ja mõne tuletise leidmise tehnikaga. Seega, kui te ei tunne funktsioonide tuletisi väga hästi või pole selle artikli mõned punktid täiesti selged, lugege esmalt ülaltoodud õppetund. Häälestage end tõsisele meeleolule - materjal ei ole lihtne, kuid ma püüan selle siiski lihtsalt ja selgelt esitada.

Praktikas tuleb keerulise funktsiooni tuletisega tegeleda väga sageli, ma isegi ütleks, et peaaegu alati, kui antakse ülesandeid tuletisi leidmiseks.

Vaatame tabelist reeglit (nr 5) keeruka funktsiooni eristamiseks:

Me mõistame. Kõigepealt vaatame tähistust. Siin on meil kaks funktsiooni - ja ning funktsioon piltlikult öeldes on pesastatud funktsioonis . Sellist funktsiooni (kui üks funktsioon on teise sees pesastatud) nimetatakse kompleksfunktsiooniks.

Kutsun funktsiooni välja väline funktsioon ja funktsioon – sisemine (või pesastatud) funktsioon.

! Need määratlused ei ole teoreetilised ja ei tohiks esineda ülesannete lõplikus vormis. Kasutan mitteametlikke väljendeid "väline funktsioon", "sisemine" ainult selleks, et teil oleks materjalist lihtsam aru saada.

Olukorra selgitamiseks kaaluge:

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis

Siinuse all pole mitte ainult täht "x", vaid kogu avaldis, nii et tuletise kohene leidmine tabelist ei toimi. Samuti märkame, et siin on võimatu rakendada nelja esimest reeglit, näib olevat erinevus, kuid tõsiasi on see, et siinust pole võimalik "lahti rebida":

Selles näites on juba minu selgitustest intuitiivselt selge, et funktsioon on kompleksfunktsioon ja polünoom on sisemine funktsioon (kinnitamine) ja väline funktsioon.

Esimene samm, mida tuleb sooritada kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel mõista, milline funktsioon on sisemine ja milline väline.

Lihtsate näidete puhul näib olevat selge, et siinuse all on pesastatud polünoom. Aga mis siis, kui see pole ilmne? Kuidas täpselt kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine? Selleks teen ettepaneku kasutada järgmist tehnikat, mida saab läbi viia vaimselt või mustandi järgi.

Kujutagem ette, et peame kalkulaatoriga avaldise väärtuse välja arvutama (ühe asemel võib olla suvaline arv).

Mida me kõigepealt arvutame? Esiteks peate tegema järgmise toimingu: , seega on polünoom sisemine funktsioon:

Teiseks peate leidma, nii et siinus - on väline funktsioon:

Pärast meie MÕISTA sisemiste ja välimiste funktsioonide puhul on aeg rakendada liitfunktsioonide eristamise reeglit .

Hakkame otsustama. Õppetunnist Kuidas tuletist leida? mäletame, et mis tahes tuletise lahenduse kujundamine algab alati nii - lisame avaldise sulgudesse ja tõmbame paremasse ülaossa kriipsu:

Esiteks leiame välisfunktsiooni tuletise (siinuse), vaatame elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit ja paneme tähele, et . Kõik tabelivalemid on rakendatavad isegi siis, kui "x" on asendatud kompleksavaldisega, sel juhul:

Pange tähele, et sisemine funktsioon ei ole muutunud, me ei puuduta seda.

Noh, see on üsna ilmne

Valemi rakendamise tulemus puhas näeb välja selline:

Konstanttegur paigutatakse tavaliselt avaldise algusesse:

Kui tekib arusaamatus, kirjutage otsus paberile ja lugege uuesti selgitusi.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Nagu alati, kirjutame:

Me selgitame välja, kus meil on väline funktsioon ja kus on sisemine. Selleks proovime (vaimselt või mustandi järgi) arvutada avaldise väärtuse . Mida tuleb kõigepealt teha? Kõigepealt peate arvutama, millega alus on võrdne:, mis tähendab, et polünoom on sisemine funktsioon:

Ja alles siis tehakse eksponentsiatsioon, seetõttu on võimsusfunktsioon väline funktsioon:

Vastavalt valemile , tuleb esmalt leida välisfunktsiooni tuletis, antud juhul aste. Otsime tabelist soovitud valemit:. Kordame uuesti: mis tahes tabelivalem ei kehti mitte ainult "x", vaid ka kompleksavaldise jaoks. Seega kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli rakendamise tulemus järgmine:

Rõhutan veel kord, et kui võtame välisfunktsiooni tuletise, siis sisemine funktsioon ei muutu:

Nüüd jääb üle leida sisemise funktsiooni väga lihtne tuletis ja tulemust veidi “kammida”:

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

See on näide ise lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Keerulise funktsiooni tuletise mõistmise kinnistamiseks toon ilma kommentaarideta näite, proovige omal käel aru saada, põhjendage, kus on väline ja kus on sisemine funktsioon, miks ülesandeid nii lahendatakse?

Näide 5

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni tuletis

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on meil juur ja juure eristamiseks tuleb see esitada astmena. Seega viime funktsiooni esmalt eristamiseks õigesse vormi:

Funktsiooni analüüsides jõuame järeldusele, et kolme liikme summa on sisefunktsioon ja astendamine on välisfunktsioon. Rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit :

Astet esitatakse jällegi radikaalina (juur) ja sisefunktsiooni tuletise puhul rakendame summa eristamiseks lihtsat reeglit:

Valmis. Samuti saab avaldise tuua sulgudes ühise nimetaja juurde ja kirjutada kõik ühe murruna. See on muidugi ilus, kuid kui saadakse tülikad pikad tuletised, on parem seda mitte teha (lihtne on segadusse sattuda, tarbetu viga teha ja õpetajal on seda ebamugav kontrollida).

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

See on näide ise lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Huvitav on märkida, et mõnikord võib keeruka funktsiooni eristamise reegli asemel kasutada jagatise eristamise reeglit , kuid selline lahendus näeb välja ebatavaline perverssus. Siin on tüüpiline näide:

Näide 8

Leia funktsiooni tuletis

Siin saab kasutada jagatise diferentseerimise reeglit , kuid palju tulusam on tuletise leidmine keeruka funktsiooni diferentseerimisreegli abil:

Valmistame funktsiooni diferentseerimiseks ette - võtame tuletisest välja miinusmärgi ja tõstame koosinuse lugejani:

Koosinus on sisemine funktsioon, astendamine on väline funktsioon.
Kasutame oma reeglit :

Leiame sisemise funktsiooni tuletise, lähtestame koosinuse allapoole:

Valmis. Vaadeldavas näites on oluline mitte märkides segadusse sattuda. Muide, proovige seda reegliga lahendada , peavad vastused ühtima.

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis

See on näide ise lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Seni oleme käsitlenud juhtumeid, kus keerulises funktsioonis oli meil ainult üks pesa. Praktilistes ülesannetes võib sageli leida tuletisi, kus nagu pesitsevatel nukkudel üks teise sisse pesatakse korraga 3 või isegi 4-5 funktsiooni.

Näide 10

Leia funktsiooni tuletis

Mõistame selle funktsiooni manuseid. Proovime avaldist hinnata eksperimentaalse väärtuse abil. Kuidas me arvestaksime kalkulaatoriga?

Kõigepealt peate leidma, mis tähendab, et arcsiinus on sügavaim pesa:

See ühtsuse arcsiini tuleks seejärel ruudus teha:

Ja lõpuks tõstame seitse võimu:

See tähendab, et selles näites on meil kolm erinevat funktsiooni ja kaks pesastust, samas kui sisemine funktsioon on arcsinus ja välimine funktsioon on eksponentsiaalne funktsioon.

Hakkame otsustama

Reegli järgi esmalt tuleb võtta välisfunktsiooni tuletis. Vaatame tuletiste tabelit ja leiame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise: Ainus erinevus on see, et "x" asemel on meil kompleksavaldis, mis ei muuda selle valemi kehtivust. Niisiis, kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli rakendamise tulemus järgmiseks.

Esimene tase

Funktsiooni tuletis. Põhjalik juhend (2019)

Kujutage ette sirget teed, mis läbib künklikku ala. See tähendab, et see läheb üles ja alla, kuid ei pööra paremale ega vasakule. Kui telg on suunatud horisontaalselt piki teed ja vertikaalselt, on teejoon väga sarnane mõne pideva funktsiooni graafikuga:

Telg on teatud nullkõrguse tase, elus kasutame sellena meretaset.

Sellist teed mööda edasi liikudes liigume ka meie üles või alla. Võime ka öelda: kui argument muutub (liikudes mööda abstsisstelge), muutub funktsiooni väärtus (liikudes mööda ordinaattelge). Nüüd mõtleme, kuidas määrata meie tee "järsust"? Mis see väärtus võiks olla? Väga lihtne: kui palju muutub kõrgus teatud vahemaa edasi liikudes. Tõepoolest, erinevatel teelõikudel, liikudes edasi (mööda abstsissit) ühe kilomeetri, tõuseme või langeme merepinna suhtes (mööda ordinaati) erineva arvu meetreid.

Me tähistame edasiliikumist (loe "delta x").

Kreeka tähte (delta) kasutatakse matemaatikas tavaliselt eesliitena, mis tähendab "muutust". See tähendab - see on suurusjärgu muutus, - muutus; mis see siis on? See on õige, suuruse muutus.

Tähtis: avaldis on üks olem, üks muutuja. Te ei tohiks kunagi "x" või mõne muu tähe "deltat" maha rebida! See tähendab näiteks.

Niisiis, oleme liikunud edasi, horisontaalselt, edasi. Kui võrrelda tee joont funktsiooni graafikuga, siis kuidas tähistada tõusu? Muidugi, . See tähendab, et edasi liikudes tõuseme kõrgemale.

Väärtust on lihtne arvutada: kui alguses olime kõrgusel ja pärast liikumist kõrgusel, siis. Kui lõpp-punkt osutus alguspunktist madalamaks, on see negatiivne - see tähendab, et me ei tõuse, vaid laskume.

Tagasi "järsusele": see on väärtus, mis näitab, kui palju (järsult) kõrgus ühiku võrra edasi liikudes suureneb:

Oletame, et tee mõnel lõigul km võrra edasi liikudes tõuseb tee km võrra ülespoole. Siis on selle koha järsus võrdne. Ja kui tee m edasi liikudes km võrra vajuks? Siis on kalle võrdne.

Mõelge nüüd mäe tippu. Kui võtta lõigu algus pool kilomeetrit tippu ja lõpp - pool kilomeetrit peale seda, siis on näha, et kõrgus on peaaegu sama.

See tähendab, et meie loogika kohaselt selgub, et kalle on siin peaaegu võrdne nulliga, mis ilmselgelt pole tõsi. Vaid mõne miili kaugusel võib palju muutuda. Järsu adekvaatsema ja täpsema hinnangu saamiseks tuleb arvestada väiksemate aladega. Näiteks kui mõõta kõrguse muutust ühe meetri liigutamisel, on tulemus palju täpsem. Kuid isegi sellest täpsusest ei pruugi meile piisata - kui tee keskel on post, võime ju sellest lihtsalt läbi lipsata. Millise vahemaa peaksime siis valima? Sentimeeter? Millimeeter? Vähem on parem!

Reaalses elus on kauguse mõõtmisest millimeetri täpsusega enam kui piisav. Kuid matemaatikud püüdlevad alati täiuslikkuse poole. Seetõttu oli kontseptsioon lõpmatult väike, see tähendab, et mooduli väärtus on väiksem kui ükski number, mida saame nimetada. Näiteks ütlete: triljondik! Kui palju vähem? Ja jagate selle arvu - ja see on veelgi väiksem. Ja nii edasi. Kui tahame kirjutada, et väärtus on lõpmatult väike, kirjutame nii: (loeme “x kipub nulli”). On väga oluline mõista et see arv ei võrdu nulliga! Aga sellele väga lähedal. See tähendab, et seda saab jagada.

Lõpmatult väikesele vastandlik mõiste on lõpmata suur (). Tõenäoliselt olete seda juba kohanud, kui töötasite ebavõrdsuse kallal: see arv on mooduli poolest suurem kui ükski number, mida võite ette kujutada. Kui leiate suurima võimaliku arvu, korrutage see lihtsalt kahega ja saate veelgi rohkem. Ja lõpmatus on veelgi enam kui see, mis juhtub. Tegelikult on lõpmatult suur ja lõpmatult väike teineteise pöördväärtus, see tähendab at ja vastupidi: at.

Nüüd tagasi meie teele. Ideaalselt arvutatud kalle on tee lõpmatult väikese lõigu jaoks arvutatud kalle, see tähendab:

Märgin, et lõpmata väikese nihke korral on ka kõrguse muutus lõpmatult väike. Kuid tuletan meelde, et lõpmata väike ei tähenda nulliga võrdset. Kui jagada lõpmata väikesed arvud üksteisega, saate näiteks täiesti tavalise arvu. See tähendab, et üks väike väärtus võib olla täpselt kaks korda suurem kui teine.

Miks see kõik? Tee, järsk... Me ei lähe rallile, vaid õpime matemaatikat. Ja matemaatikas on kõik täpselt sama, ainult kutsutakse teisiti.

Tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral.

Kasv matemaatikas nimetatakse muutuseks. Kui palju on argument () muutunud piki telge liikudes, kutsutakse argumentide juurdekasv ja tähistatakse Kui palju on funktsioon (kõrgus) muutunud piki telge kauguse võrra edasi liikudes funktsiooni juurdekasv ja on märgitud.

Seega on funktsiooni tuletis seos millal. Tuletist tähistame funktsiooniga sama tähega, ainult joonega ülalt paremalt: või lihtsalt. Niisiis, kirjutame tuletisvalemi järgmiste tähiste abil:

Sarnaselt teele on siin, kui funktsioon suureneb, on tuletis positiivne ja kui see väheneb, on see negatiivne.

Kuid kas tuletis on võrdne nulliga? Muidugi. Näiteks kui sõidame tasasel horisontaalsel teel, on järsus null. Tõepoolest, kõrgus ei muutu üldse. Nii ka tuletisega: konstantse funktsiooni tuletis (konstant) on võrdne nulliga:

kuna sellise funktsiooni juurdekasv on mis tahes puhul null.

Võtame näite mäe tipust. Selgus, et segmendi otsad oli võimalik paigutada tipu vastaskülgedele nii, et otste kõrgus osutub samaks, see tähendab, et segment on teljega paralleelne:

Kuid suured segmendid on märk ebatäpsest mõõtmisest. Tõstame oma lõigu endaga paralleelselt üles, siis selle pikkus väheneb.

Lõpuks, kui oleme tipule lõpmatult lähedal, muutub lõigu pikkus lõpmatult väikeseks. Kuid samal ajal jäi see teljega paralleelseks, see tähendab, et kõrguse erinevus selle otstes on võrdne nulliga (ei kaldu, vaid on võrdne). Seega tuletis

Seda võib mõista järgmiselt: kui seisame päris tipus, muudab väike nihe vasakule või paremale meie kõrgust tühiselt.

Sellel on ka puhtalt algebraline seletus: ülaosast vasakul funktsioon suureneb ja paremal väheneb. Nagu me juba varem teada saime, on funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja kui see väheneb, siis negatiivne. Aga see muutub sujuvalt, ilma hüpeteta (sest tee ei muuda kuskil järsult kallet). Seetõttu peavad olema negatiivsed ja positiivsed väärtused. See on koht, kus funktsioon ei suurene ega vähene – tipupunktis.

Sama kehtib ka oru kohta (ala, kus funktsioon vasakul väheneb ja paremal suureneb):

Pisut lähemalt juurdekasvust.

Seega muudame argumendi väärtuseks. Millisest väärtusest me muudame? Mis temast (argumendist) nüüd on saanud? Saame valida mis tahes punkti ja nüüd tantsime sellest.

Vaatleme koordinaadiga punkti. Funktsiooni väärtus selles on võrdne. Seejärel teeme sama sammu: suurendame koordinaati võrra. Mis on nüüd argument? Väga lihtne: . Mis on funktsiooni väärtus praegu? Kuhu argument läheb, sinna läheb funktsioon: . Aga funktsiooni juurdekasv? Ei midagi uut: see on ikkagi summa, mille võrra funktsioon on muutunud:

Harjutage juurdekasvu leidmist:

1. Leia funktsiooni juurdekasv punktis, mille argumendi juurdekasv on võrdne.
2. Sama funktsiooni kohta punktis.

Lahendused:

Erinevates punktides, kui argumendi kasv on sama, on funktsiooni juurdekasv erinev. See tähendab, et tuletis igas punktis on oma (seda arutasime kohe alguses - tee järskus erinevates punktides on erinev). Seetõttu peame tuletise kirjutamisel näitama, millisel hetkel:

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kus argument on mingil määral (loogiline, eks?).

Ja - mingil määral: .

Lihtsaim juhtum on siis, kui eksponents on:

Leiame selle tuletise ühest punktist. Pidage meeles tuletise määratlust:

Nii et argument muutub väärtusest kuni. Mis on funktsiooni juurdekasv?

Kasv on. Kuid funktsioon mis tahes punktis on võrdne selle argumendiga. Sellepärast:

Tuletis on:

Tuletis on:

b) Vaatleme nüüd ruutfunktsiooni (): .

Nüüd meenutagem seda. See tähendab, et juurdekasvu väärtuse võib tähelepanuta jätta, kuna see on lõpmatult väike ja seetõttu teise termini taustal tähtsusetu:

Niisiis, meil on veel üks reegel:

c) Jätkame loogilist seeriat: .

Seda avaldist saab lihtsustada mitmel viisil: avage esimene sulg, kasutades summa kuubi lühendatud korrutamise valemit, või jagage kogu avaldis teguriteks, kasutades kuubikute erinevuse valemit. Proovige seda ise mõnel soovitatud viisil teha.

Niisiis, sain järgmise:

Ja meenutagem seda veel kord. See tähendab, et võime tähelepanuta jätta kõik terminid, mis sisaldavad:

Saame: .

d) Sarnased reeglid on saadaval suurte võimsuste jaoks:

e) Selgub, et seda reeglit saab üldistada suvalise astendajaga astmefunktsiooni jaoks, isegi mitte täisarvuga:

(2)

Reegli saate sõnastada sõnadega: "aste tuuakse koefitsiendina ette ja seejärel väheneb".

Tõestame seda reeglit hiljem (peaaegu päris lõpus). Vaatame nüüd mõnda näidet. Leidke funktsioonide tuletis:

1. (kahel viisil: valemiga ja kasutades tuletise definitsiooni - funktsiooni juurdekasvu lugedes);

1. . Uskuge või mitte, see on võimsusfunktsioon. Kui teil on küsimusi nagu „Kuidas läheb? Ja kus on kraad? ”, Jäta teema meelde“ ”!
   Jah, jah, juur on ka aste, ainult murdosa:.
   Seega on meie ruutjuur lihtsalt aste, millel on aste:
   .
   Otsime tuletist, kasutades hiljuti õpitud valemit:

   Kui siinkohal jäi jälle selgusetuks, korrake teemat "" !!! (umbes kraad negatiivse indikaatoriga)

2. . Nüüd astendaja:

   Ja nüüd läbi määratluse (kas olete juba unustanud?):
   ;
   .
   Nüüd, nagu tavaliselt, jätame tähelepanuta termini, mis sisaldab:
   .

3. . Varasemate juhtumite kombinatsioon: .

trigonomeetrilised funktsioonid.

Siin kasutame ühte fakti kõrgemast matemaatikast:

Kui väljendus.

Tõestust õpid instituudi esimesel kursusel (ja sinna pääsemiseks pead eksami hästi sooritama). Nüüd näitan seda lihtsalt graafiliselt:

Näeme, et kui funktsiooni pole olemas, siis graafikul olev punkt on läbistatud. Kuid mida lähemal väärtusele, seda lähemal on funktsioon.

Lisaks saate seda reeglit kontrollida kalkulaatoriga. Jah, jah, ärge kartke, võtke kalkulaator, me pole veel eksamil.

Nii et proovime: ;

Ärge unustage lülitada kalkulaatorit radiaanirežiimile!

jne. Näeme, et mida väiksem, seda lähemal on suhtarvu väärtus.

a) Vaatleme funktsiooni. Nagu tavaliselt, leiame selle juurdekasvu:

Muudame siinuste erinevuse korrutiseks. Selleks kasutame valemit (pidage meeles teemat ""):.

Nüüd tuletis:

Teeme asendused: . Siis on lõpmata väikese jaoks ka lõpmata väike: . Avaldis jaoks on järgmine:

Ja nüüd meenutame seda väljendiga. Ja ka, mis siis, kui lõpmata väike väärtus võib summas (st at) jätta tähelepanuta.

Seega saame järgmise reegli: siinuse tuletis on võrdne koosinusega:

Need on põhituletised ("tabel"). Siin on need ühes loendis:

Hiljem lisame neile veel mõned, kuid need on kõige olulisemad, kuna neid kasutatakse kõige sagedamini.

Harjuta:

1. Leia funktsiooni tuletis punktis;
2. Leia funktsiooni tuletis.

Lahendused:

1. Esiteks leiame tuletise üldkujul ja seejärel asendame selle väärtuse:
   ;
   .
2. Siin on midagi võimsusfunktsiooniga sarnast. Proovime teda tuua
   tavavaade:
   .
   Ok, nüüd saate kasutada valemit:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Mis see on????

Olgu, sul on õigus, me ei tea ikka veel, kuidas selliseid tuletisi leida. Siin on meil mitut tüüpi funktsioonide kombinatsioon. Nendega töötamiseks peate õppima veel mõned reeglid:

Eksponent ja naturaallogaritm.

Matemaatikas on selline funktsioon, mille tuletis mis tahes jaoks on võrdne funktsiooni enda väärtusega sama jaoks. Seda nimetatakse eksponendiks ja see on eksponentsiaalne funktsioon

Selle funktsiooni alus - konstant - on lõpmatu kümnendmurd, see tähendab irratsionaalne arv (näiteks). Seda nimetatakse "Euleri numbriks", mistõttu on see tähistatud tähega.

Nii et reegel on:

Seda on väga lihtne meeles pidada.

Noh, me ei lähe kaugele, kaalume kohe pöördfunktsiooni. Mis on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (st baasiga logaritmi) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent ja naturaallogaritm on funktsioonid, mis on tuletise poolest ainulaadselt lihtsad. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mis reeglid? Jälle uus termin?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

Ainult ja kõike. Mis on selle protsessi teine ​​sõna? Mitte proizvodnovanie... Matemaatika diferentsiaali nimetatakse funktsiooni väga juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletise märgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las või lihtsam.

Näited.

Leia funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

1. (tuletis on kõigis punktides sama, kuna see on lineaarne funktsioon, mäletate?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponendit (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Kus on siis mingi number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, nii et proovime oma funktsiooni viia uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, see jääb, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leia funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa arvutada ilma kalkulaatorita, see tähendab, et seda ei saa kirjutada lihtsamal kujul. Seetõttu jäetakse see vastuses sellisele kujule.

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi baasi viima. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetajaks osutus lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis on väga lihtne:

Eksponent- ja logaritmifunktsioonide tuletisi ei leia eksamil peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega kaartangens. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui logaritm tundub sulle keeruline, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik saab korda), kuid matemaatikas ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveierit: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Selgub selline komposiitobjekt: lindiga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidiseid toiminguid vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: esmalt leiame arvu koosinuse ja seejärel teeme saadud arvu ruudu. Niisiis, nad annavad meile numbri (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis sina ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks teeme esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise teise toimingu sellega, mis juhtus esimese tulemusel.

Võime teha samu toiminguid vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust:. Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teisisõnu, Kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Esimese näitena .

Teine näide: (sama). .

Viimane toiming, mida teeme, nimetatakse "väline" funktsioon ja vastavalt esimesena sooritatud toiming "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sisemiste ja välimiste funktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutumisele: näiteks funktsioonis

1. Milliseid meetmeid me kõigepealt võtame? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis tõstame selle kuubiks. Seega on see sisemine, mitte väline funktsioon.
   Ja algne funktsioon on nende koostis: .
2. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
3. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
4. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
5. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .

muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd ekstraheerime oma šokolaadi - otsige tuletist. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Algse näite puhul näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Kõik tundub olevat lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi nüüdseks vähendada! Koosinuse alt ei võeta midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et siin on kolmetasandiline kompleksfunktsioon: see on ju juba omaette keeruline funktsioon ja me võtame sealt ikkagi juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga portfellis). Kuid karta pole põhjust: igatahes “pakkime” selle funktsiooni lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda "välisem" on vastav funktsioon. Toimingute jada - nagu varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Määrame tegevussuuna.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Sinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmata väikese juurdekasvuga:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletise märgist välja:

Summa tuletis:

Tuletistoode:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.