Sirge on hüperbooli sihtmärk. Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

Amet 10 . Teise järgu kõverad.

10.1. Ellips. Kanooniline võrrand. Poolvõllid, ekstsentrilisus, graafik.

10.2. Hüperbool. Kanooniline võrrand. Poolteljed, ekstsentrilisus, asümptoodid, graafik.

10.3. Parabool. Kanooniline võrrand. Parabooli parameeter, graafik.

Tasapinna teist järku kõveraid nimetatakse joonteks, mille kaudne spetsifikatsioon on kujul:

kus
- antud reaalarvud,
- kõverate punktide koordinaadid. Olulisemad jooned teist järku kõverate hulgas on ellips, hüperbool, parabool.

10.1. Ellips. Kanooniline võrrand. Poolvõllid, ekstsentrilisus, graafik.

Ellipsi definitsioon.Ellips on tasapinnaline kõver, mille kauguste summa kahest fikseeritud punktist
lennukiga mis tahes punkti

(need.). punktid
nimetatakse ellipsi koldeks.

Ellipsi kanooniline võrrand:
. (2)

(või telg
) läbib koldeid
, ja päritolu on punkt - asub segmendi keskel
(Joonis 1). Ellips (2) on sümmeetriline koordinaattelgede ja alguspunkti (ellipsi keskpunkti) suhtes. Alaline
,
helistas ellipsi poolteljed.

Kui ellips on antud võrrandiga (2), siis leitakse ellipsi fookused järgmiselt.

1) Esiteks määrame kindlaks, kus asuvad fookused: fookused asuvad koordinaatteljel, millel asuvad peamised poolteljed.

2) Seejärel arvutatakse fookuskaugus (kaugus fookusest päritoluni).

Kell
fookused asuvad teljel
;
;
.

ekstsentrilisus ellipsiks nimetatakse väärtust: (at
);(at
).

Ellipsil on alati olnud
. Ekstsentrilisus on ellipsi kokkusurumise tunnusjoon.

Kui ellipsi (2) liigutada nii, et ellipsi keskpunkt on punktis

,
, siis on saadud ellipsi võrrandil kuju

10.2. Hüperbool. Kanooniline võrrand. Poolteljed, ekstsentrilisus, asümptoodid, graafik.

Hüperbooli definitsioon.Hüperbool on tasapinnaline kõver, milles on kahe fikseeritud punkti kauguste erinevuse absoluutväärtus
lennukiga mis tahes punkti
see kõver on punktist sõltumatu konstant
(need.). punktid
nimetatakse hüperbooli fookusteks.

Hüperbooli kanooniline võrrand:
või
. (3)

Selline võrrand saadakse, kui koordinaatide telg
(või telg
) läbib koldeid
, ja päritolu on punkt - asub segmendi keskel
. Hüperboolid (3) on sümmeetrilised koordinaatide telgede ja alguspunkti suhtes. Alaline
,
helistas hüperbooli poolteljed.

Hüperbooli fookused leitakse järgmiselt.

Hüperbooli juures
fookused asuvad teljel
:
(joonis 2.a).

Hüperbooli juures
fookused asuvad teljel
:
(Joonis 2.b)

Siin - fookuskaugus (kaugus fookusest lähtepunktini). See arvutatakse järgmise valemiga:
.

ekstsentrilisus hüperbooli nimetatakse väärtuseks:

(eest
);(eest
).

Hüperboolil on alati olnud
.

Hüperboolide asümptoodid(3) on kaks sirgjoont:
. Hüperbooli mõlemad harud lähenevad asümptootidele lõputult kui .

Hüperbooli graafik tuleks koostada järgmiselt: esiteks piki pooltelge
ehitame abiristküliku, mille küljed on paralleelsed koordinaattelgedega; siis tõmbame läbi selle ristküliku vastastippude sirgjooned, need on hüperbooli asümptoodid; lõpuks kujutame hüperbooli harusid, need puudutavad abiristküliku vastavate külgede keskpunkte ja lähenevad kasvuga asümptootidele (joon. 2).

Kui hüperboole (3) nihutada nii, et nende kese langeb punktile
, ja poolteljed jäävad telgedega paralleelseks
,
, siis saab saadud hüperboolide võrrandi kirjutada kujule

,
.

10.3. Parabool. Kanooniline võrrand. Parabooli parameeter, graafik.

Parabooli definitsioon.Parabool on tasapinnaline kõver, milles mis tahes punkti jaoks
see kõver on kaugus
kindlasse punkti tasapind (nn parabooli fookus) on võrdne kaugusega
lennuki fikseeritud liinile(nimetatakse parabooli suunaks) .

Kanooniline parabooli võrrand:
, (4)

kus on konstant, mida nimetatakse parameeter paraboolid.

Punkt
parabooli (4) nimetatakse parabooli tipuks. Telg
on sümmeetriatelg. Parabooli (4) fookus on punktis
, suundvõrrand
. Paraboolgraafikud (4) väärtustega
ja
näidatud joonisel fig. 3.a ja 3.b vastavalt.

Võrrand
defineerib ka parabooli tasapinnas
, millel on võrreldes parabooliga (4) teljed
,
vahetasid kohad.

Kui parabooli (4) nihutada nii, et selle tipp tabab punkti
, ja sümmeetriatelg jääb teljega paralleelseks
, siis on saadud parabooli võrrandil vorm

Liigume näidete juurde.

Näide 1. Teist järku kõver on antud võrrandiga
. Andke sellele kõverale nimi. Leidke selle fookused ja ekstsentrilisus. Joonistage tasapinnal kõver ja selle fookused
.

Lahendus. See kõver on ellips, mille keskpunkt on punktis
ja teljevõllid
. Seda saab asendamisega hõlpsasti kontrollida
. See teisendus tähendab liikumist etteantud Descartes'i koordinaatsüsteemist
uude Descartes'i koordinaatsüsteemi
, mille teljed
paralleelselt telgedega
,
. Seda koordinaatide teisendust nimetatakse süsteeminihkeks.
täpselt . Uues koordinaatsüsteemis
kõvera võrrand teisendatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks
, selle graafik on näidatud joonisel fig. neli.

Otsime nippe.
, nii et nipid
teljel paiknev ellips
.. Koordinaatsüsteemis
:
. Sest
, vanas koordinaatsüsteemis
fookustel on koordinaadid.

Näide 2. Andke teist järku kõvera nimi ja esitage selle graafik.

Lahendus. Valime täisruudud muutujaid sisaldavate terminite järgi ja .

Nüüd saab kõvera võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

Seetõttu on antud kõver ellips, mille keskpunkt on punktis
ja teljevõllid
. Saadud teave võimaldab meil koostada selle graafiku.

Näide 3. Andke nimi ja joonistage joondiagramm
.

Lahendus. . See on punkti keskpunktiga ellipsi kanooniline võrrand
ja teljevõllid
.

Sest,
, järeldame: antud võrrand defineerib tasapinnal
ellipsi alumine pool (joon. 5).

Näide 4. Andke teise järku kõvera nimi
. Leia tema nipid, ekstsentrilisus. Esitage selle kõvera graafik.

- pooltelgedega hüperbooli kanooniline võrrand
.

Fookuskaugus.

Miinusmärk on termini ees ees , nii et nipid
teljel asuvad hüperboolid
:. Hüperbooli harud asuvad telje kohal ja all
.

on hüperbooli ekstsentrilisus.

Hüperbooli asümptoodid:.

Selle hüperbooli graafiku koostamine toimub ülaltoodud protseduuri kohaselt: ehitame abiristküliku, joonistame hüperbooli asümptoodid, joonistame hüperbooli harud (vt joonis 2.b).

Näide 5. Leia võrrandiga antud kõvera kuju
ja joonistada seda.

- punkti keskpunktiga hüperbool
ja poolvõllid.

Sest järeldame: antud võrrand määrab selle osa hüperboolist, mis asub sirgest paremal
. Hüperbool on parem joonistada abikoordinaadisüsteemis
saadud koordinaatsüsteemist
nihe
ja seejärel valige jämeda joonega hüperbooli soovitud osa

Näide 6. Uurige välja kõvera tüüp ja joonistage selle graafik.

Lahendus. Valige muutujaga terminite järgi täisruut :

Kirjutame kõvera võrrandi ümber.

See on punktis tipuga parabooli võrrand
. Nihketeisendusega taandatakse parabooli võrrand kanooniliseks vormiks
, millest on näha, et see on parabooli parameeter. Keskendu paraboolid süsteemis
on koordinaadid
, ja süsteemis
(vastavalt nihketeisendusele). Paraboolgraafik on näidatud joonisel fig. 7.

Kodutöö.

1. Joonistage võrranditega antud ellipsid:
Leidke nende poolteljed, fookuskaugus, ekstsentrilisus ja märkige ellipsigraafikutele nende fookuste asukohad.

2. Joonistage võrranditega antud hüperboolid:
Leidke nende poolteljed, fookuskaugus, ekstsentrilisus ja märkige hüperboolide graafikutele nende fookuste asukoht. Kirjutage antud hüperboolide asümptootide võrrandid.

3. Joonistage võrranditega antud paraboolid:
. Leidke nende parameeter, fookuskaugus ja märkige paraboolgraafikutel fookuse asukoht.

4. Võrrand
määrab 2. järku kõvera osa. Leidke selle kõvera kanooniline võrrand, kirjutage üles selle nimi, koostage selle graafik ja valige sellele kõvera osa, mis vastab algsele võrrandile.

Hüperbool on punktide asukoht, mille kauguste erinevus tasandi kahest fikseeritud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstant; näidatud erinevus võetakse absoluutväärtusena ja seda tähistatakse tavaliselt 2a. Hüperbooli fookused on tähistatud tähtedega F 1 ja F 2, nende vaheline kaugus on läbi 2s. Hüperbooli 2a määratluse järgi

Olgu antud hüperbool. Kui Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi teljed on valitud nii, et antud hüperbooli fookused paiknevad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, siis selles koordinaatsüsteemis on hüperbooli võrrandil selline kuju

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

kus b \u003d √ (c 2 - a 2). Kuju (I) võrrandit nimetatakse hüperbooli kanooniliseks võrrandiks. Näidatud koordinaatsüsteemi valiku korral on koordinaatide teljed hüperbooli sümmeetriateljed ja koordinaatide alguspunktiks selle sümmeetriakese (joonis 1). 18). Hüperbooli sümmeetriatelgi nimetatakse lihtsalt selle telgedeks, sümmeetriakese on hüperbooli keskpunkt. Hüperbool ristub ühe oma telgedest; lõikepunkte nimetatakse hüperbooli tippudeks. Joonisel fig. 18 Hüperbooli tipud on punktid A" ja A.

Hüperbooli põhiristkülikuks nimetatakse ristkülikut külgedega 2a ja 2b, mis paiknevad sümmeetriliselt hüperbooli telgede suhtes ja puudutavad seda tippudes.

Hüperbooli põhiristküliku külgede keskpunkte ühendavaid lõike pikkusega 2a ja 2b nimetatakse ka selle telgedeks. Põhiristküliku diagonaalid (piiramatult pikendatud) on hüperbooli asümptoodid; nende võrrandid on järgmised:

y = b/a x, y = - b/a x

Võrrand

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

määrab koordinaattelgede suhtes sümmeetrilise hüperbooli, mille fookused on y-teljel; võrrandit (2), nagu ka võrrandit (1), nimetatakse hüperbooli kanooniliseks võrrandiks; sel juhul on hüperbooli suvalise punkti ja fookuste vahekauguste pidev erinevus võrdne 2b-ga.

Kaks hüperbooli, mis on määratletud võrranditega

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

samas koordinaatsüsteemis nimetatakse konjugaadiks.

Võrdsete poolharudega hüperbooli (a \u003d b) nimetatakse võrdkülgseks; selle kanooniline võrrand on

x 2 - y 2 = 2 või - x 2 + y 2 \u003d a 2.

kus a on kaugus hüperbooli keskpunktist selle tipuni, nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Ilmselgelt iga hüperbooli puhul ε > 1. Kui M(x; y) on hüperbooli suvaline punkt, siis segmente F 1 M ja F 2 M (vt joonis 18) nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Hüperbooli parempoolse haru punktide fookusraadiused on arvutatud valemid

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

vasaku haru punktide fookusraadiused - vastavalt valemitele

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Kui hüperbool on antud võrrandiga (1), siis võrranditega defineeritud sirged

x = -a/ε, x = a/ε

nimetatakse selle direktoriteks (vt joonis 18). Kui hüperbool on antud võrrandiga (2), siis on suunad määratud võrranditega

x = -b/ε, x = b/ε

Igal suunal on järgmine omadus: kui r on kaugus hüperbooli suvalisest punktist mingi fookuseni, d on kaugus samast punktist selle fookusega ühepoolse suunani, siis suhe r/d on konstant väärtus, mis on võrdne hüperbooli ekstsentrilisusega:

515. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused paiknevad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, teades lisaks, et:

1) selle teljed 2a = 10 ja 2b = 8;

2) kaugus fookuste 2с = 10 ja telje 2b = 8 vahel;

3) fookuste vaheline kaugus 2с = 6 ja ekstsentrilisus ε = 3/2;

4) telg 2a = 16 ja ekstsentrilisus ε = 5/4;

5) asümptootide võrrandid y = ±4/3x ja fookuste vaheline kaugus 2c = 20;

6) suundade vaheline kaugus on 22 2/13 ja fookuste vaheline kaugus on 2c = 26; 39

7) suundade vaheline kaugus on 32/5 ja telg 2b = 6;

8) suundade vaheline kaugus on 8/3 ja ekstsentrilisus ε = 3/2;

9) asümptootvõrrandid y = ± 3/4 x ja suundade vaheline kaugus on 12 4/5.

516. Kirjutage võrrand hüperboolile, mille fookused paiknevad y-teljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, teades lisaks, et:

1) selle poolteljed a = 6, b = 18 (täht a tähistab abstsissteljel paikneva hüperbooli pooltelge);

2) fookuste vaheline kaugus 2с = 10 ja ergutus ε = 5/3; oh mina. 12

3) asümptootide võrrandid y = ±12/5x ja tippude vaheline kaugus on 48;

4) suundade vaheline kaugus on 7 1/7 ja ekstsentrilisus ε = 7/5;

5) asümptootvõrrandid y = ± 4/3x ja suundade vaheline kaugus on 6 2/5.

517. Määrake iga järgmise hüperbooli poolteljed a ja b:

1) x 2 /9 - y 2 /4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4a 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9a 2 = 25; 6) 25x 2 -16 a 2 \u003d 1;

7) 9x 2 – 64 a 2 = 1.

518. Antud hüperbool 16x 2 - 9y 2 = 144. Leia: 1) poolteljed a ja b; 2) trikid; 3) ekstsentrilisus; 4) asümptootide võrrandid; 5) suundvõrrandid.

519. Antud hüperbool 16x 2 - 9y 2 = -144. Leia: 1) poolteljed a ja b; 2) trikid; 3) ekstsentrilisus; 4) asümptootide võrrandid; 5) suundvõrrandid.

520. Arvutage hüperbooli x 2 /4 - y 2 /9 = 1 ja sirge 9x + 2y - 24 = 0 asümptootide poolt moodustatud kolmnurga pindala.

521. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega:

1) y \u003d + 2/3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4/3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√ (x 2 + 25)

522. Antud punkt M 1 (l0; - √5) hüperboolil - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Koostage võrrandid sirgetest, millel asuvad punkti M 1 fookusraadiused.

523. Veendudes, et punkt M 1 (-5; 9/4) asub guilerkuulil x 2 /16 - y 2 /9 = 1, määrake punkti M 1 fookusraadiused.

524. Hüperbooli ε = 2, tema punkti M fookusraadius mõnest fookusest tõmmatud ekstsentrilisus on 16. Arvutage selle fookusega kaugus punktist M ühepoolse sihikuni.

525. Hüperbooli ekstsentrilisus ε = 3, kaugus hüperbooli punktist M on 4. Arvutage kaugus punktist M fookuseni, selle suunaga ühepoolne.

526. Hüperbooli ekstsentrilisus ε = 2, selle kese asub algpunktis, üks fookustest on F(12; 0). Arvutage kaugus abstsissiga 13 hüperbooli punktist M 1 antud fookusele vastava suunani.

527. Hüperbooli ekstsentrilisus ε = 3/2, selle keskpunkt asub algpunktis, üks suundi on antud võrrandiga x = -8. Arvutage kaugus abstsissiga 10 hüperbooli punktist M 1 antud suunale vastava fookuseni.

528. Määrake hüperbooli punktid - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, mille kaugus parempoolsest fookusest on 4,5.

529. Määrake hüperbooli x 2 /9 - y 2 /16 = 1 punktid, mille kaugus vasakpoolsest fookusest on 7.

530. Hüperbooli x 2 /144 - y 2 /25 = 1 vasaku fookuse kaudu tõmmatakse risti tema tippe sisaldava telje külge. Määrake kaugused fookustest selle risti ja hüperbooli ristumispunktideni.

531. Konstrueerige ühe kompassi abil hüperbooli fookused x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (eeldusel, et koordinaatide teljed on näidatud ja mõõtkava ühik on antud).

532. Kirjutage hüperbooli võrrand, mille fookused asuvad x-teljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, kui see on antud:

1) punktide M 1 (6; -1) ja M 2 (-8; 2√2) hüperboolid;

2) punkt M 1 (-5; 3) hüperboolid ja ekstsentrilisus ε = √2;

3) hüperbooli ja asümptootide võrrandi punkt M 1 (9/2;-l) y = ± 2,3x;

4) punkt M 1 (-3; 5.2) hüperboolid ja suundvõrrandid x = ± 4/3;

5) asümptootvõrrandid y = ±-3/4x ja suundvõrrandid x = ± 16/5

533. Määrake võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus.

534. Määrake hüperbooli ekstsentrilisus, kui selle tippude vaheline lõik on konjugeeritud hüperbooli fookustest nähtav 60° nurga all.

535. Hüperbooli fookused langevad kokku ellipsi fookustega x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui selle ekstsentrilisus ε = 2.

536. Kirjutage võrrand hüperboolile, mille fookused asuvad ellipsi tippudes x 2 /100 + y 2 /64 = 1 ja suunaridades läbivad selle ellipsi fookused.

537. Tõesta, et hüperbooli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 fookuse kaugus asümptoodini on võrdne b-ga.

538. Tõesta, et kauguste korrutis hüperbooli mis tahes punktist x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 selle kahe asümptoodini on konstantne väärtus, mis võrdub a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Tõesta, et rööpküliku pindala, mida piiravad hüperbooli asümptootid x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja mis tahes selle asümptootidega paralleelse punkti tõmmatud sirged, on konstantne väärtus, mis on võrdne kuni ab/2.

540. Koostage hüperbooli võrrand, kui selle poolteljed a ja b on teada, keskpunkt C (x 0; y 0) ja fookused asuvad sirgel: 1) paralleelselt Ox-teljega; 2) paralleelselt Oy teljega.

541. Tehke kindlaks, et kõik järgmised võrrandid määratlevad hüperbooli, ja leidke selle keskpunkti C koordinaadid, pooltelje, ekstsentrilisuse, asümptootvõrrandid ja suundvõrrandid:

1) 16x 2 - 9 a 2 - 64x - 54 a - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16 a 2 + 90x + 32 a - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9 a 2 - 64x - 18 a + 199 = 0.

542. Määrake, millised sirged on määratud järgmiste võrranditega:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7-3/2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4 a - 12).

Joonista need jooned joonisele.

543. Kirjutage hüperbooli võrrand, teades, et:

1) selle tippude vaheline kaugus on 24 ja fookused on F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fookused on F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) ja suundade vaheline kaugus on 3,6;

3) asümptootide vaheline nurk on 90° ja fookused on F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui selle ekstsentrilisus ε = 5/4, fookus F (5; 0) ja vastava suuna võrrand 5x - 16 = 0 on teada.

545. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui on teada tema ekstsentrilisus e - fookus F (0; 13) ja vastava suuna võrrand 13y - 144 = 0.

546. Punkt A (-3; -5) asub hüperboolil, mille fookus on F (-2; -3), ja vastav suund on antud võrrandiga x + 1 = 0. Kirjutage selle hüperbooli võrrand .

547. Kirjutage hüperbooli võrrand, kui selle ekstsentrilisus ε = √5, fookus F(2;-3) ja vastava suuna võrrand Zx - y + 3 = 0 on teada.

548. Punkt M 1 (1; 2) asub hüperboolil, mille fookus on F(-2; 2), ja vastav suund on antud võrrandiga 2x - y - 1 = 0. Kirjutage selle jaoks võrrand hüperbool.

549. Antud on võrdkülgse hüperbooli võrrand x 2 - y 2 = a 2. Leidke uues süsteemis selle võrrand, võttes selle asümptoote koordinaattelgedeks.

550. Olles kindlaks teinud, et iga järgnev võrrand defineerib hüperbooli, leidke igaühe jaoks nende keskpunkt, poolteljed, asümptootvõrrandid ja kandke need joonisele: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Leidke sirge 2x - y - 10 = 0 ja hüperbooli x 2 /20 - y 2 /5 = 1 lõikepunktid.

552. Leidke sirge 4x - 3y - 16 = 0 ja hüperbooli x 2 /25 - y 2 /16 = 1 lõikepunktid.

553. Leidke sirge 2x - y + 1 = 0 ja hüperbooli x 2 /9 - y 2 /4 = 1 lõikepunktid.

554. Määrake järgmistel juhtudel, kuidas sirge paikneb hüperbooli suhtes: kas see lõikub, puudutab või läheb sellest väljapoole:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2/12 - y 2/3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Määrake, milliste m väärtuste korral on sirge y = 5/2x + m

1) lõikab hüperbooli x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) puudutab teda;

3) läheb sellest hüperboolist välja.

556. Tuletage tingimus, mille korral sirge y \u003d kx + m puudutab hüperbooli x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Koostage võrrand hüperbooli puutujast x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 selle punktis Af, (*,; #i).

558. Tõesta, et sama läbimõõduga otstesse tõmmatud hüperbooli puutujad on paralleelsed.

559. Koostage sirgega 4x + Zy - 7 \u003d 0 risti oleva hüperbooli x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1 puutujate võrrandid.

560. Koostage sirgega 10x - 3y + 9 = 0 paralleelse hüperbooli puutujate võrrandid x 2 /16 - y 2 /64 = 1.

561. Joonistage sirgega 2x + 4y - 5 = 0 paralleelsele hüperboolile x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 puutujad ja arvutage nendevaheline kaugus d.

562. Leidke hüperboolil x 2 /24- y 2 /18 = 1 sirgele Zx + 2y + 1 = O lähim punkt M 1 ja arvutage kaugus d punktist M x selle sirgeni.

563. Koostage punktist A (- 1; -7) tõmmatud hüperbooli x 2 - y 2 = 16 puutujate võrrand.

564. Punktist C (1; -10) tõmmatakse hüperbooli puutujad x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Kirjutage kokkupuutepunkte ühendava kõõlu võrrand.

565. Punktist P (1; -5) tõmmatakse hüperbooli puutujad x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Arvutage kaugus d punktist P puutepunkte ühendava hüperbooli kõõluni.

566. Hüperbool läbib punkti A(√6; 3) ja puudutab sirget 9x + 2y - 15 == 0. Kirjutage selle hüperbooli võrrand eeldusel, et selle teljed ühtivad koordinaattelgedega.

567. Kirjutage kahe sirge hüperbooli puutuja võrrand: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, eeldusel, et selle teljed langevad kokku koordinaattelgedega.

568. Veendudes, et ellipsi x 2 /3 - y 2 /5 = 1 ja hüperbooli x 2 /12 - y 2 /3 = 1 lõikepunktid on ristküliku tipud, koostage selle külgede võrrandid. .

569. Hüperboolid x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja mõned selle puutujad on antud: P - puutuja lõikepunkt teljega Ox, Q - puutepunkti projektsioon samale. telg. Tõesta, et OP OQ = a 2 .

570. Tõesta, et hüperbooli fookused asuvad tema mis tahes puutuja vastaskülgedel.

571. Tõesta, et fookuste ja hüperbooli puutuja x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 kauguste korrutis on konstant, mis on võrdne b 2 .

572. Sirge 2x - y - 4 == 0 puudutab hüperbooli, mille fookused on punktides F 1 (-3; 0) ja F 2 (3; 0). Kirjutage selle hüperbooli võrrand.

573. Koostage võrrand hüperboolist, mille fookused paiknevad abstsissteljel sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, kui hüperbooli puutuja võrrand 15x + 16y - 36 = 0 ja selle tippude vaheline kaugus 2a = 8 on teatud.

574. Tõesta, et hüperbooli puutuja mingis punktis M teeb võrdsed nurgad fookusraadiustega F 1 M, F 2 M ja läbib nurga F 1 MF 2 seest. X^

575. Hüperbooli x 2 /5 - y 2 /4 = 1 parempoolsest fookusest nurga α(π

576. Tõesta, et ühise fookusega ellips ja hüperbool ristuvad täisnurga all.

577. Tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient Ox-telje suhtes on 4/3. Määrake sirge võrrand, milleks selle tihendamise käigus teisendatakse hüperbool x 2 /16 - y 2 /9 = 1. Näidustus. Vaata ülesannet 509.

578. Tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient telje Oy suhtes on 4/5. Määrake sirge võrrand, millesse selle tihendamise käigus teisendatakse hüperbool x 2 /25 - y 2 /9 = 1.

579. Leidke sirge võrrand, milleks teisendatakse hüperbool x 2 - y 2 \u003d 9 tasapinna kahe järjestikuse ühtlase kokkusurumisega koordinaattelgedele, kui tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsiendid telgedele Ox ja Oy on vastavalt 2/3 ja 5/3.

580. Määrake tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient q Ox-telje suhtes, mille juures hüperbool - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 muudetakse hüperbooliks x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Määrake tasapinna ühtlase kokkusurumise koefitsient q Oy telje suhtes, mille juures hüperbool x 2 /4 - y 2 /9 = 1 teisendatakse hüperbooliks x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Määrake tasapinna kahe järjestikuse ühtlase kokkusurumise koefitsiendid q 1 ja q 2 telgedele Ox ja Oy, mille juures hüperbool x 2 /49 - y 2 /16 = 1 on teisendatud hüperbooliks x 2 /25 - y 2 /64 = 1.

Hüperbool on punktide hulk tasapinnal, mille kauguste erinevus kahest antud punktist, fookusest, on konstant ja võrdne .

Sarnaselt ellipsile asetame fookused punktidesse , (vt joonis 1).

Riis. üks

Jooniselt on näha, et võib esineda juhtumeid ja title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

On teada, et kolmnurgas on kahe külje erinevus väiksem kui kolmandal küljel, seetõttu saame näiteks:

Toome mõlemad osad platsile ja pärast edasisi ümberkujundamisi leiame:

kus . Hüperboolne võrrand (1) on hüperbooli kanooniline võrrand.

Hüperbool on sümmeetriline koordinaatide telgede suhtes, seetõttu, nagu ka ellipsi puhul, piisab selle graafiku joonistamisest esimeses kvartalis, kus:

Väärtusvahemik esimese kvartali kohta.

Kui meil on üks hüperbooli tippudest . Teine tipp. Kui , siis alates (1) - pärisjuuri pole. Me ütleme seda ja oleme hüperbooli kujuteldavad tipud. Suhtarvust selgub, et piisavalt suurte väärtuste puhul on koht lähima võrdsuse jaoks title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Hüperbooli kuju ja omadused

Uurime võrrandi (1) abil hüperbooli kuju ja asukohta.

Muutujad ja sisestage võrrand (1) paariastmetena. Seega, kui punkt kuulub hüperbooli, kuuluvad punktid ka hüperbooli alla. See tähendab, et joonis on sümmeetriline telgede ja , ja punkti suhtes, mida nimetatakse hüperbooli keskpunktiks.
Leiame koordinaatide telgedega lõikepunktid. Asendades võrrandi (1), saame, et hüperbool lõikub teljega punktides . Pannes saame võrrandi, millel pole lahendeid. See tähendab, et hüperbool ei ristu teljega. Punkte nimetatakse hüperbooli tippudeks. Segmenti = ja nimetatakse hüperbooli tegelikuks teljeks ning segmenti nimetatakse hüperbooli kujuteldavaks teljeks. Arve ja nimetatakse vastavalt hüperbooli tegelikeks ja imaginaarseteks pooltelgedeks. Telgede poolt loodud ristkülikut nimetatakse hüperbooli põhiristkülikuks.
Võrrandist (1) selgub, et , see on . See tähendab, et kõik hüperbooli punktid asuvad sirgest paremal (hüperbooli parem haru) ja joonest vasakul (hüperbooli vasak haru).
Võtame punkti esimeses kvadrandis kohta hüperbool, see on ja seega . Alates 0" title="(!LANG: Renderdab QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renderdas QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Hüperbooli asümptoodid

Hüperboolil on kaks asümptooti. Leiame hüperbooli esimese veerandi haru asümptoot ja kasutame seejärel sümmeetriat. Mõelge punktile esimeses veerandis, st . Sel juhul , , siis on asümptoodi vorm: , kus

Seega on joon funktsiooni asümptoot. Seetõttu on sümmeetria tõttu hüperbooli asümptoodid sirged.

Väljakujunenud karakteristikute põhjal konstrueerime esimeses kvartalis paikneva hüperbooli haru ja kasutame sümmeetriat:

Riis. 2

Kui , st hüperbooli kirjeldatakse võrrandiga . Selles hüperboolis asümptoodid, mis on koordinaatnurkade poolitajad.

Hüperbooli koostamise ülesannete näited

Näide 1

Ülesanne

Leia hüperbooli asümptootide teljed, tipud, fookused, ekstsentrilisus ja võrrandid. Koostage hüperbool ja selle asümptoodid.

Lahendus

Taandame hüperbooli võrrandi kanooniliseks vormiks:

Võrreldes seda võrrandit kanoonilise võrrandiga (1), leiame , , . Tipud , fookused ja . Ekstsentrilisus ; asmptoodid; Ehitame parabooli. (vt joonis 3)

Kirjutage hüperbooli võrrand:

Lahendus

Kirjutades asümptoodi võrrandi kujule, leiame hüperbooli pooltelgede suhte. Probleemi tingimustest järeldub, et . Seetõttu taandati ülesanne võrrandisüsteemi lahendamiseks:

Asendades süsteemi teise võrrandi, saame:

kus . Nüüd leiame.

Seetõttu on hüperboolil järgmine võrrand:

Vastus

Hüperbool ja selle kanooniline võrrand värskendas: 17. juunil 2017: Teaduslikud artiklid.Ru

Definitsioon . Hüperbool on punktide lookus, mille erinevus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus

Võtame koordinaatide süsteemi nii, et fookused asuvad abstsissteljel ja koordinaatide alguspunkt jagab lõigu F 1 F 2 pooleks (joonis 30). Tähistame F 1 F 2 = 2c. Siis F1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 = r 2, MF 1 = r 1 on hüperbooli fookusraadiused.

Hüperbooli definitsiooni järgi r 1 - r 2 = konst.

Tähistame seda 2a-ga

Siis r 2 - r 1 = ±2a, nii et:

=> hüperbooli kanooniline võrrand

Kuna hüperbooli x ja y võrrand on paarisastmetes, siis kui punkt M 0 (x 0; y 0) asub hüperboolil, siis punktid M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0, -x 0, -y 0) M3 (-x 0; -y 0).

Seetõttu on hüperbool sümmeetriline mõlema koordinaattelje suhtes.

Kui y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Hüperbooli tipud on punktid A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).

. Sümmeetria tõttu viiakse uuring läbi I kvartalis

1) kell
y-l on imaginaarne väärtus, sellest tulenevad hüperbooli punktid abstsissidega
ei eksisteeri

2) kohas x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) kuulub hüperbooli

3) x > a korral; y > 0. Veelgi enam, x piiramatu suurenemise korral läheb hüperbooli haru lõpmatusse.

Sellest järeldub, et hüperbool on kõver, mis koosneb kahest lõpmatust harust.

P 6. Hüperbooli asümptoodid

Vaatleme koos võrrandiga
sirgjoone võrrand

To kõver jääb sirgest allapoole (joonis 31). Mõelge punktidele N (x, Y) ja M (x, y), mille abstsissid on samad, ja Y - y \u003d MN. Võtke arvesse lõigu MN pikkust

Otsime üles

Seega, kui punkt M, liikudes esimesel veerandil mööda hüperbooli, eemaldub lõpmatuseni, siis selle kaugus sirgest
väheneb ja kipub nulli.

Sümmeetria tõttu on sirgel sama omadus.
.

Definitsioon. Otseliinid, kuhu
kõverat, mis läheneb lõputult, nimetatakse asümptootideks.

Ja
seega hüperbooli asümptootide võrrand
.

Hüperbooli asümptoodid paiknevad piki ristküliku diagonaale, mille üks külg on paralleelne x-teljega ja on võrdne 2a ning teine on paralleelne y-teljega ja on võrdne 2b-ga ning keskpunkt asub lähtekohas (joonis 32).

P 7. Hüperbooli ekstsentrilisus ja suunad

r 2 – r 1 = ± 2a märk + viitab hüperbooli paremale harule

märk – viitab hüperbooli vasakpoolsele harule

Definitsioon. Hüperbooli ekstsentrilisus on selle hüperbooli fookuste vahelise kauguse ja selle tippude vahelise kauguse suhe.

. Kuna c > a, ε > 1

Hüperbooli fookusraadiusi väljendame ekstsentrilisuse kaudu:

Definitsioon . Kutsume liine
, mis on risti hüperbooli fookusteljega ja asub eemalselle keskpunktist paremale ja vasakule fookusele vastava hüperbooli suuna järgi.

T
nagu hüperbooli jaoks
järelikult paiknevad hüperbooli suunarid selle tippude vahel (joon. 33). Näitame, et hüperbooli mis tahes punkti ja fookuse ja vastava suuna kauguste suhe on konstant ja võrdne ε-ga.

Lk 8 Parabool ja selle võrrand

O
määratlus. Parabool on punktide asukoht, mis on võrdsel kaugusel antud punktist, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks.

Parabooli võrrandi koostamiseks võtame x-telje sirgjoonena, mis läbib fookust F 1, mis on risti sihikuga ja vaatleme x-telge, mis on suunatud otsejoonest fookusesse. Koordinaatide alguspunktiks võtame lõigu keskpunkti O punktist F antud sirgele, mille pikkust tähistame p-ga (joonis 34). Suurust p nimetatakse parabooli parameetriks. Fookuse koordinaatpunkt
.

Olgu M(x, y) parabooli suvaline punkt.

Definitsiooni järgi

juures 2 = 2px on parabooli kanooniline võrrand

Parabooli tüübi määramiseks teisendame selle võrrandi
see tähendab. Seetõttu on parabooli tipp lähtepunktis ja parabooli sümmeetriatelg on x. Positiivse p-ga võrrand y 2 \u003d -2px taandatakse võrrandiks y 2 \u003d 2px, asendades x väärtusega -x ja selle graafik näeb välja selline (joonis 35).

Kell
võrrand x 2 \u003d 2py on parabooli võrrand, mille tipp on punktis O (0; 0), mille harud on suunatud ülespoole.

X
2 \u003d -2ru - alguspunkti tsentreeritud parabooli võrrand on sümmeetriline y-telje suhtes, mille harud on suunatud allapoole (joonis 36).

Paraboolil on üks sümmeetriatelg.

Kui x on esimesel astmel ja y on teisel astmel, siis on sümmeetriatelg x.

Kui x on teisel astmel ja y on esimesel astmel, siis on sümmeetriatelg y-telg.

Märkus 1. Parabooli otsevõrrandil on vorm
.

Märkus 2. Kuna parabooli jaoks , siisε parabool on 1.ε = 1 .

Tere, kallid Argemony ülikooli tudengid! Tere tulemast järjekordsele loengule funktsioonide ja integraalide võludest.

Täna räägime hüperboolist. Alustame lihtsast. Hüperbooli lihtsaim vorm on:

Sellel funktsioonil on erinevalt standardvormide sirgjoonest singulaarsus. Nagu me teame, ei saa murdosa nimetaja olla võrdne nulliga, sest nulliga jagada ei saa.
x ≠ 0
Sellest järeldame, et definitsioonipiirkond on terve reaaljoon, välja arvatud punkt 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Kui x kipub paremalt 0-ni (kirjutatud nii: x->0+), st. muutub väga-väga väikeseks, kuid siiski positiivseks, siis y muutub väga-väga suureks positiivseks (y->+∞).
Kui x kaldub vasakult 0-ni (x->0-), st. muutub absoluutväärtuselt väga-väga väikeseks, aga jääb negatiivseks, siis on y ka negatiivne, aga absoluutväärtuses väga suureks (y->-∞).
Kui x kipub suurendama lõpmatust (x->+∞), st. muutub väga suureks positiivseks arvuks, siis y muutub järjest väiksemaks positiivseks arvuks, s.t. kipub olema 0, jäädes kogu aeg positiivseks (y->0+).
Kui x kaldub miinus lõpmatusse (x->-∞), s.t. muutub suureks mooduliks, kuid negatiivseks arvuks, siis on y samuti alati negatiivne arv, kuid väike moodul (y->0-).

Y, nagu x, ei saa võtta väärtust 0. See kipub olema ainult null. Seetõttu on väärtuste kogum sama, mis määratluspiirkond: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Nendele kaalutlustele tuginedes saame skemaatiliselt joonistada funktsiooni graafiku

On näha, et hüperbool koosneb kahest osast: üks on 1. koordinaadi nurgas, kus x ja y väärtused on positiivsed, ja teine osa on kolmandas koordinaatnurgas, kus on x ja y väärtused. on negatiivsed.
Kui liigume -∞-lt +∞-le, siis näeme, et meie funktsioon väheneb 0-lt -∞-le, siis toimub järsk hüpe (-∞-lt +∞-le) ja algab funktsiooni teine haru, mis samuti väheneb, kuid +∞-lt 0-ni. See tähendab, et see hüperbool väheneb.

Kui muudate funktsiooni vaid veidi: kasutage miinusmaagiat,

(1")

Seejärel liigub funktsioon imekombel 1. ja 3. veerandist 2. ja 4. veerandisse ning muutub suurenevaks.

Tuletage meelde, et funktsioon on suureneb, kui kahe väärtuse x 1 ja x 2 korral nii, et x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Ja funktsioon saab olema kahanev kui f(x 1) > f(x 2) samade x väärtuste korral.

Hüperbooli oksad lähenevad telgedele, kuid ei ristu neid kunagi. Nimetatakse selliseid sirgeid, millele funktsiooni graafik läheneb, kuid ei ristu kunagi asümptoot seda funktsiooni.
Meie funktsiooni (1) jaoks on asümptoodid sirged x=0 (OY-telg, vertikaalne asümptoot) ja y=0 (OX-telg, horisontaalne asümptoot).

Teeme nüüd lihtsaimat hüperbooli veidi keerulisemaks ja vaatame, mis saab funktsiooni graafikust.

(2)

Lihtsalt lisati nimetajale konstandi "a". Mingi arvu lisamine nimetajale kui terminile x tähendab kogu "hüperboolse konstruktsiooni" (koos vertikaalse asümptoodiga) liigutamist (-a) positsioonide võrra paremale, kui a on negatiivne arv, ja (-a) positsioonide võrra paremale. vasak, kui a on positiivne arv.

Vasakpoolsel graafikul lisatakse x-le negatiivne konstant (a<0, значит, -a>0), mis põhjustab diagrammi paremale liikumise ja paremal graafikul positiivne konstant (a>0), mille tõttu graafik nihutatakse vasakule.

Ja milline maagia võib mõjutada "hüperboolse konstruktsiooni" ülekandmist üles või alla? Konstantse liikme lisamine murrule.

(3)

Nüüd tõuseb kogu meie funktsioon (nii harud kui ka horisontaalne asümptoot) b positsiooni ülespoole, kui b on positiivne arv, ja b positsiooni võrra allapoole, kui b on negatiivne arv.

Pange tähele, et asümptoodid liiguvad koos hüperbooliga, st. hüperbooli (mõlemat selle haru) ja mõlemaid asümptoote tuleb tingimata käsitleda lahutamatu konstruktsioonina, mis liigub ühena vasakule, paremale, üles või alla. See on väga meeldiv tunne, kui saad kogu funktsiooni suvalises suunas liikuma panna, lisades vaid mõne numbri. Miks mitte maagia, mida saate väga lihtsalt omandada ja oma äranägemise järgi õiges suunas suunata?
Muide, nii saate juhtida mis tahes funktsiooni liikumist. Järgmistes tundides me kinnistame seda oskust.

Enne kui annan teile kodutöö, tahan juhtida teie tähelepanu sellele funktsioonile

(4)

Hüperbooli alumine haru liigub 3. koordinaatnurgast ülespoole teisele, nurgale, kus y väärtus on positiivne, s.t. see haru peegeldub sümmeetriliselt ümber OX-telje. Ja nüüd saame ühtlase funktsiooni.

Mida tähendab "ühtlane funktsioon"? Funktsiooni kutsutakse isegi, kui tingimus on täidetud: f(-x)=f(x)
Funktsiooni kutsutakse kummaline, kui tingimus on täidetud: f(-x)=-f(x)
Meie puhul

(5)

Iga paarisfunktsioon on OY telje suhtes sümmeetriline, s.t. graafiku joonisega pärgamenti saab kokku voltida piki OY-telge ja graafiku kaks osa lähevad täpselt kokku.

Nagu näete, on sellel funktsioonil ka kaks asümptooti - horisontaalne ja vertikaalne. Erinevalt ülaltoodud funktsioonidest suureneb see funktsioon ühest osast ja teisest osast väheneb.

Proovime nüüd seda graafikut juhtida konstantide lisamisega.

(6)

Tuletage meelde, et konstandi lisamine terminile "x" põhjustab kogu graafiku (koos vertikaalse asümptoodiga) liikumise horisontaalselt, piki horisontaalset asümptooti (vasakule või paremale, olenevalt selle konstandi märgist).

(7)

Ja konstandi b lisamine murdosale põhjustab graafiku liikumise üles või alla. Kõik on väga lihtne!

Proovige nüüd ise selle maagiaga katsetada.

Kodutöö 1.

Igaüks kasutab oma katsetes kahte funktsiooni: (3) ja (7).
a = teie LD esimene number
b = teie LD teine number
Proovige jõuda nende funktsioonide võluni, alustades kõige lihtsamast hüperboolist, nagu ma tegin õppetükis, ja lisades järk-järgult oma konstandid. Funktsiooni (7) saab juba modelleerida funktsiooni (3) lõpliku vormi järgi. Määrake määratlusvaldkonnad, väärtuste kogum, asümptoodid. Kuidas funktsioonid käituvad: vähenevad, suurenevad. Isegi veider. Üldiselt proovige läbi viia sama uurimistööd, mis tunnis tehti. Võib-olla leiate veel midagi, mille unustasin mainida.

Muide, kõige lihtsama hüperbooli (1) mõlemad harud on sümmeetrilised koordinaatnurkade poolitaja 2 ja 4 suhtes. Kujutage nüüd ette, et hüperbool hakkas selle telje ümber pöörlema. Saame just sellise kena figuuri, mida saab kasutada.

2. ülesanne. Kus saab seda kujundit kasutada? Proovige joonistada funktsiooni (4) pöörlemiskuju ümber selle sümmeetriatelje ja arutlege, kus saab sellist kujundit kasutada.

Mäletate, kuidas saime sirge punktiga, mis oli viimase õppetunni lõpus välja löödud? Ja siin on viimane ülesanne 3.
Looge selle funktsiooni jaoks graafik:

(8)

Koefitsiendid a, b on samad, mis ülesandes 1.
c = teie LD 3. number või a-b, kui teie LD on kahekohaline.
Väike vihje: esmalt tuleb pärast arvude asendamist saadud murdosa lihtsustada ja siis saadakse tavaline hüperbool, mille peate koostama, kuid lõpuks peate arvestama algse avaldise domeeniga.