Kolmnurk on primitiivne hulknurk, mis on tasapinnal piiratud kolme punktiga ja kolme neid punkte paarikaupa ühendava lõiguga. Kolmnurga nurgad on teravad, nürinurgad ja täisnurgad. Kolmnurga nurkade summa on pidev ja võrdub 180 kraadiga.

Sa vajad

• Algteadmised geomeetriast ja trigonomeetriast.

Juhend

1. Tähistame kolmnurga külgede pikkused a=2, b=3, c=4 ja selle nurgad u, v, w, millest igaüks asub ühe külje vastasküljel. Koosinusseaduse järgi võrdub kolmnurga külje pikkuse ruut ülejäänud kahe külje pikkuste ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinusega. See tähendab, et a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). Asendame selle avaldisega külgede pikkused ja saame: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. Avaldame saadud võrrandist cos(u). Saame järgmise: cos(u) = 7/8. Järgmisena leiame tegeliku nurga u. Selleks arvutame arccos(7/8). See tähendab, et nurk u = arccos(7/8).

3. Samamoodi, väljendades teisi külgi ülejäänud osas, leiame ülejäänud nurgad.

Märge!
Ühe nurga väärtus ei tohi ületada 180 kraadi. Arccos() märk ei tohi sisaldada arvu, mis on suurem kui 1 ja väiksem kui -1.

Kasulikud nõuanded
Kõigi kolme nurga tuvastamiseks pole vaja kõiki kolme külge väljendada, on lubatud tuvastada ainult 2 nurka ja kolmanda saab saada, lahutades ülejäänud 2 väärtused 180 kraadist. See tuleneb asjaolust, et kolmnurga kõigi nurkade summa on pidev ja võrdub 180 kraadiga.

Geomeetrias on nurk kujund, mille moodustavad ühest punktist (nurga tipust) väljuv kaks kiirt. Kõige sagedamini mõõdetakse nurki kraadides, täisnurga või pöördega 360 kraadi. Hulknurga nurga saate arvutada, kui teate hulknurga tüüpi ja selle teiste nurkade suurust või täisnurkse kolmnurga puhul selle kahe külje pikkust.

Sammud

Hulknurga nurkade arvutamine

Loendage hulknurga nurkade arv.

Leidke hulknurga kõigi nurkade summa. Hulknurga kõigi sisenurkade summa leidmise valem on (n - 2) x 180, kus n on hulknurga külgede ja nurkade arv. Siin on mõne levinud hulknurga nurkade summad:

• Kolmnurga (kolmetahulise hulknurga) nurkade summa on 180 kraadi.
• Nelinurga (neljatahulise hulknurga) nurkade summa on 360 kraadi.
• Viisnurga (viiepoolse hulknurga) nurkade summa on 540 kraadi.
• Kuusnurga (kuuepoolse hulknurga) nurkade summa on 720 kraadi.
• Kaheksanurga (kaheksanurkse hulknurga) nurkade summa on 1080 kraadi.

1. Määrake, kas hulknurk on korrapärane. Tavaline hulknurk on selline, mille kõik küljed ja nurgad on üksteisega võrdsed. Korrapäraste hulknurkade näideteks on võrdkülgne kolmnurk ja ruut, Washingtonis asuv Pentagoni hoone on ehitatud tavalise viisnurga kujul ja stoppmärk on tavalise kaheksanurga kujuline.

   Liidage kokku hulknurga teadaolevad nurgad ja lahutage see summa kõigi selle nurkade kogusummast. Enamik selliseid geomeetriaülesandeid puudutavad kolmnurki või nelinurki, kuna need nõuavad vähem sisendit, seega teeme sama.

   • Kui kolmnurga kaks nurka on vastavalt 60 kraadi ja 80 kraadi, lisage need numbrid. Saa 140 kraadi. Seejärel lahutage see summa kolmnurga kõigi nurkade kogusummast, st 180 kraadist: 180 - 140 = 40 kraadi. (Kolmnurka, mille kõik nurgad on üksteisega ebavõrdsed, nimetatakse mittevõrdkülgseks.)
   • Selle lahenduse saate kirjutada kujul a = 180 - (b + c), kus a on nurk, mida soovite leida, b ja c on teadaolevad nurgad. Hulknurkade puhul, millel on rohkem kui kolm külge, asendage 180 antud tüüpi hulknurga nurkade summaga ja lisage iga teadaoleva nurga kohta sulgudes olevale summale üks liige.
   • Mõnel hulknurgal on oma "nipid", mis aitavad teil teadmata nurga arvutada. Näiteks võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdset külge ja kaks võrdset nurka. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed ja vastasnurgad on võrdsed.

   Täisnurkse kolmnurga nurkade arvutamine

   1. Tehke kindlaks, milliseid andmeid teate. Täisnurkset kolmnurka nimetatakse nn, kuna üks selle nurkadest on täisnurkne. Kahest ülejäänud nurgast ühe väärtuse leiate, kui teate ühte järgmistest väärtustest.

      Määrake, millist trigonomeetrilist funktsiooni kasutada. Trigonomeetrilised funktsioonid väljendavad kolmnurga kolme külje kahe suhet. Trigonomeetrilisi funktsioone on kuus, kuid kõige sagedamini kasutatakse järgmisi:

Elus tuleb sageli silmitsi seista matemaatikaprobleemidega: koolis, ülikoolis ja siis lapse abistamisel kodutööde tegemisel. Teatud elukutsete inimesed puutuvad matemaatikaga iga päev kokku. Seetõttu on kasulik matemaatilisi reegleid pähe õppida või meelde tuletada. Selles artiklis analüüsime ühte neist: täisnurkse kolmnurga jala leidmist.

Mis on täisnurkne kolmnurk

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad punkte, mis ei asu samal sirgel, ja selle kujundi üks nurkadest on 90 kraadi. Külgesid, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks ja külge, mis asetseb täisnurga vastas, nimetatakse hüpotenuusiks.

Täisnurkse kolmnurga jala leidmine

Jala pikkuse väljaselgitamiseks on mitu võimalust. Tahaksin neid üksikasjalikumalt käsitleda.

Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Kui teame hüpotenuusi ja jalga, saame Pythagorase teoreemi abil leida tundmatu jala pikkuse. See kõlab järgmiselt: "Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga." Valem: c²=a²+b², kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad. Teisendame valemi ja saame: a²=c²-b².

Näide. Hüpotenuus on 5 cm ja jalg on 3 cm. Teisendame valemi: c²=a²+b² → a²=c²-b². Järgmisena otsustame: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonomeetrilised seosed täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Samuti on võimalik leida tundmatu jalg, kui on teada täisnurkse kolmnurga mõni teine ​​külg ja mõni teravnurk. Jala leidmiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil on neli võimalust: siinus, koosinus, puutuja, kotangens. Probleemide lahendamiseks aitab meid allolev tabel. Vaatleme neid võimalusi.

Leidke siinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga siinus (sin) on vastasjala ja hüpotenuusi suhe. Valem: sin \u003d a / c, kus a on antud nurga vastas olev jalg ja c on hüpotenuus. Järgmiseks teisendame valemi ja saame: a=sin*c.

Näide. Hüpotenuus on 10 cm ja nurk A on 30 kraadi. Tabeli järgi arvutame nurga A siinuse, see on võrdne 1/2-ga. Seejärel lahendame teisendatud valemi abil: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Otsige koosinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga koosinus (cos) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Valem: cos \u003d b / c, kus b on antud nurgaga külgnev jalg ja c on hüpotenuus. Teisendame valemi ja saame: b=cos*c.

Näide. Nurk A on 60 kraadi, hüpotenuus on 10 cm. Tabeli järgi arvutame nurga A koosinuse, see on võrdne 1/2-ga. Järgmisena lahendame: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Leidke puutuja abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga puutuja (tg) on ​​vastasharu ja külgneva jala suhe. Valem: tg \u003d a / b, kus a on nurga vastas olev jalg ja b külgnev. Teisendame valemi ja saame: a=tg*b.

Näide. Nurk A on 45 kraadi, hüpotenuus 10 cm Tabeli järgi arvutame nurga A puutuja, see on võrdne Lahenda: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Leidke kotangensi abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga kootangens (ctg) on ​​külgneva jala ja vastasjala suhe. Valem: ctg \u003d b / a, kus b on nurgaga külgnev jalg ja on selle vastas. Teisisõnu, kootangens on "pööratud puutuja". Saame: b=ctg*a.

Näide. Nurk A on 30 kraadi, vastasjalg on 5 cm. Nurga A puutuja on tabeli järgi √3. Arvuta: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Niisiis, nüüd teate, kuidas leida jalg täisnurksest kolmnurgast. Nagu näete, pole see nii keeruline, peamine on valemeid meeles pidada.

Geomeetrias on sageli probleeme kolmnurkade külgedega. Näiteks on sageli vaja leida kolmnurga külg, kui ülejäänud kaks on teada.

Kolmnurgad on võrdhaarsed, võrdkülgsed ja võrdkülgsed. Kõigist sortidest valime esimese näite jaoks ristkülikukujulise (sellise kolmnurga üks nurkadest on 90 °, sellega külgnevaid külgi nimetatakse jalgadeks ja kolmas on hüpotenuus).

Kiire artiklite navigeerimine

Täisnurkse kolmnurga külgede pikkus

Ülesande lahendus tuleneb suure matemaatiku Pythagorase teoreemist. See ütleb, et täisnurkse kolmnurga jalgade ruutude summa on võrdne selle hüpotenuusi ruuduga: a²+b²=c²

• Leidke jala pikkuse ruut a;
• Leidke jala b ruut;
• Panime need kokku;
• Saadud tulemusest eraldame teise astme juure.

Näide: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. See tähendab, et selle kolmnurga hüpotenuusi pikkus on 5.

Kui kolmnurgal ei ole täisnurka, siis kahe külje pikkustest ei piisa. Selleks on vaja kolmandat parameetrit: see võib olla nurk, kõrgus, kolmnurga pindala, sellesse kantud ringi raadius jne.

Kui perimeeter on teada

Sel juhul on ülesanne veelgi lihtsam. Ümbermõõt (P) on kolmnurga kõikide külgede summa: P=a+b+c. Seega, lahendades lihtsa matemaatilise võrrandi, saame tulemuse.

Näide: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Lahendame võrrandi, kandes kõik teadaolevad parameetrid võrdusmärgi ühele küljele:

2) Asendage nende asemel väärtused ja arvutage kolmas külg:

c=18-7-6=5, kokku: kolmnurga kolmas külg on 5.

Kui nurk on teada

Kolmnurga kolmanda külje arvutamiseks nurga ja ülejäänud kahe külje arvutamiseks taandatakse lahendus trigonomeetrilise võrrandi arvutamiseks. Teades kolmnurga külgede ja nurga siinuse seost, on kolmandat külge lihtne arvutada. Selleks peate mõlemad küljed ruutu tegema ja nende tulemused kokku liitma. Seejärel lahutage saadud külgede korrutisest, mis on korrutatud nurga koosinusega: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Kui piirkond on teada

Sel juhul ühest valemist ei piisa.

1) Esiteks arvutame sin γ, väljendades seda kolmnurga pindala valemist:

sin γ = 2S/(a*b)

2) Järgmise valemi abil arvutame sama nurga koosinuse:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 – sin² α)=√(1– (2S/(a*b))²)

3) Ja jällegi kasutame siinusteoreemi:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Asendades selles võrrandis muutujate väärtused, saame vastuse probleemile.

mille külgede pikkused (a, b, c) on teada, kasuta koosinusteoreemi. Ta väidab, et kummagi külje pikkuse ruut on võrdne kahe teise külje pikkuste ruutude summaga, millest lahutatakse samade kahe külje pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuskorrutis . Selle teoreemi abil saate arvutada nurga mis tahes tipus, oluline on teada ainult selle asukohta külgede suhtes. Näiteks külgede b ja c vahele jääva nurga α leidmiseks tuleb teoreem kirjutada järgmiselt: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Väljendage soovitud nurga koosinus valemist: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Rakenda võrrandi mõlemale osale pöördkoosinusfunktsioon – kaarekoosinus. See võimaldab taastada nurga väärtuse kraadides koosinuse väärtusega: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Vasakut külge saab lihtsustada ning külgede b ja c vahelise nurga arvutamine saab lõpliku kuju: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Täisnurksest kolmnurgast teravnurkade suuruste leidmisel pole kõigi külgede pikkuste teadmine vajalik, piisab kahest. Kui need kaks külge on jalad (a ja b), jagage soovitud nurga (α) vastas oleva külje pikkus teise pikkusega. Nii saate soovitud nurga puutuja väärtuse tg(α) = a/b ja rakendades pöördfunktsiooni - arktangensi - mõlemale võrdsuse osale ja lihtsustades vasakut külge, nagu eelmises etapis, tuletage lõpptulemus valem: α = arctg(a/b ).

Kui teadaolevad küljed on jalg (a) ja hüpotenuus (c), kasutage nende külgede moodustatud nurga (β) arvutamiseks koosinusfunktsiooni ja selle pöördkoosinust. Koosinus määratakse jala pikkuse ja hüpotenuusi suhtega ning lõppvalemi saab kirjutada järgmiselt: β = arccos(a/c). Tuntud jala vastas asuva sama algse teravnurga (α) arvutamiseks kasutage sama suhet, asendades arkosiini arkosiiniga: α = arcsin(a/c).

Allikad:

• 2 küljega kolmnurga valem

Vihje 2: kuidas leida kolmnurga nurki selle külgede pikkuste järgi

Kolmnurga kõigi nurkade väärtuste leidmiseks on mitu võimalust, kui selle kolme pikkused on teada. peod. Üks võimalus on kasutada kahte erinevat ala valemit kolmnurk. Arvutuste lihtsustamiseks võite rakendada siinuse teoreemi ja nurkade summa teoreemi kolmnurk.

Juhend

Kasutage pindala arvutamiseks näiteks kahte valemit kolmnurk, millest üks hõlmab vaid kolme tema teadaolevat peod s (Gerona) ja teises - kaks peod s ja nendevahelise nurga siinus. Erinevate paaride kasutamine teises valemis peod, saate määrata iga nurga suuruse kolmnurk.

Lahendage probleem üldiselt. Heroni valem määrab ala kolmnurk, kui poolperimeetri korrutise ruutjuur (pool kõigist peod) poolperimeetri ja mõlema vahelise erinevuse kohta peod. Kui asendame summa peod, siis saab valemi kirjutada järgmiselt: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C teine peod s piirkonnas kolmnurk võib väljendada poolena selle kahe korrutisest peod nendevahelise nurga siinuse järgi. Näiteks selleks peod a ja b nurgaga γ saab selle valemi kirjutada järgmiselt: S=a∗b∗sin(γ). Asenda võrrandi vasak pool Heroni valemiga: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Tuletage sellest võrrandist valem