Triviaalne lahendus süsteemile. Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks

Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid(SLAU) on kahtlemata kõige olulisem teema lineaaralgebra kursus. Suurepärane summa kõikide matemaatikaharude ülesanded taandatakse süsteemide lahendamisele lineaarvõrrandid. Need tegurid selgitavad selle artikli põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• korja üles optimaalne meetod lahendused teie lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, kaaludes tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikke lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks, kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (meetod järjestikune kõrvaldamine tundmatud muutujad). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Pärast seda liigume edasi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamise juurde üldine vaade, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või on süsteemi põhimaatriks ainsus. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide (kui need on ühilduvad) lahendust kasutades maatriksi alusmolli mõistet. Samuti käsitleme Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Kindlasti peatume ka lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja põhimõttelise lahendussüsteemi kontseptsiooni ja näitame, kuidas kirjutada ühine otsus SLAE kasutades põhilahendussüsteemi vektoreid. Sest parem arusaamine Vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks käsitleme võrrandisüsteeme, mida saab taandada lineaarseteks, aga ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel SLAE-d tekivad.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n) kujul

Tundmatud muutujad - koefitsiendid (mõned reaalsed või kompleksarvud), - vabad terminid (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE salvestamise vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm selle võrrandisüsteemi kirjutamisel on vorm,
Kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate veerumaatriks, - vabade terminite veerumaatriks.

Kui maatriksile A lisada (n+1) veeruks vabade terminite maatriks-veerg, saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse laiendatud maatriksit tähega T ja vabade terminite veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Maatriksvõrrand Tundmatute muutujate etteantud väärtuste puhul muutub ka identiteet.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda mitteliigeste.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis – ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamine.

Kui süsteemi võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis nimetatakse selliseid SLAE-sid. elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Hakkasime selliseid SLAEsid uurima aastal Keskkool. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Oletame, et peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja - maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Selle tähise korral arvutatakse tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodi valemeid as . Nii leitakse Crameri meetodi abil lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutame selle determinandi (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostame ja arvutame välja vajalikud determinandid (determinandi saame, kui asendame maatriksi A esimese veeru vabade liikmete veeruga, determinandi, asendades teise veeru vabade liikmete veeruga ja maatriksi A kolmanda veeru asendades vabade liikmete veeruga) :

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui võrrandite arv süsteemis on suurem kui kolm.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul, kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna Maatriks A on inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakpoolsega, saame valemi tundmatute muutujate maatriks-veeru leidmiseks. Nii saime lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile maatriks meetod.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodi abil. Kasutades pöördmaatriks selle süsteemi lahenduse võib leida järgmiselt .

Koostame pöördmaatriksi kasutades maatriksit alates algebralised liitmised maatriksi A elemendid (vajadusel vt artiklit):

Jääb üle arvutada tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamise teel vabaliikmete maatriks-veerule (vajadusel vaadake artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaaralgebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti ruutmaatriksid järjekord suurem kui kolmandik.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest kõrvaldamisest: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alustades teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast jne, kuni jääb alles ainult tundmatu muutuja x n. viimases võrrandis. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi ettepoole suunatud käigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, kasutades seda eelviimase võrrandi väärtust, arvutatakse x n-1 ja nii edasi, leitakse x 1 esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Eemaldame tundmatu muutuja x 1 kõigist süsteemi võrranditest, alustades teisest. Selleks liidame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna -ga, kolmandale võrrandile liidame esimese, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame esimese, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja .

Oleksime jõudnud samale tulemusele, kui oleksime x 1 väljendanud süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendanud saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud

Selleks liidame süsteemi kolmandale võrrandile teise, korrutatuna -ga, neljandale võrrandile teise, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame teise, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamisega, samal ajal toimime sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju

Nüüdsest alustame vastupidine löök Gaussi meetod: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud x n väärtust, leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale poolele esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja:

Nüüd eemaldame x 2 kolmandast võrrandist, lisades selle vasakule ja parem pool teise võrrandi vasak ja parem külg, korrutatuna järgmisega:

See lõpetab Gaussi meetodi edasikäigu; alustame tagurpidikäiku.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame järelejäänud tundmatu muutuja ja lõpetame sellega Gaussi meetodi vastupidise variandi.

Vastus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

IN üldine juhtum süsteemi p võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruut ja ainsus.

Kronecker-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Küsimusele, millal SLAE on ühilduv ja millal vastuoluline, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
Selleks, et n tundmatuga võrrandisüsteem p (p võib olla võrdne n) oleks järjepidev, on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste oleks võrdne auastmega laiendatud maatriks, st Aste(A)=Aste(T) .

Vaatleme näiteks Kroneckeri–Capelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutame alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame sellega piirnevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik kolmanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste võrdne kahega.

Omakorda laiendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna moll on kolmandat järku

nullist erinev.

Seega Vahemik (A), seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi kasutades järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on ebajärjekindel.

Vastus:

Süsteemil pole lahendusi.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida lahendus SLAE-le, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi alusmolli mõistet ja teoreemi maatriksi järgu kohta.

Alaealine kõrgeim järjekord nimetatakse nullist erinevat maatriksit A põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A korral võib olla mitu põhi-minoori, üks põhimoll alati on.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järjestus p võrra n on võrdne r-ga, siis kõik maatriksi rea (ja veeru) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimollori, väljendatakse lineaarselt vastavate rea (ja veeru) elementidena. alus alaealine.

Mida ütleb meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri–Capelli teoreemi järgi tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise alusmolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis seda teevad. ei moodusta valitud põhimolli. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi mittevajalike võrrandite kõrvalejätmist võimalik kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna moll on teist järku nullist erinev. Laiendatud maatriksi järjestus on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on null

ja eespool käsitletud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri–Capelli teoreemi põhjal saame väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2.

Aluseks võtame molli . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seega jätame selle maatriksi järgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kui võrrandite arv r saadud SLAE-s vähem numbrit tundmatud muutujad n, siis võrrandite vasakule poolele jätame aluse moodustavad liikmed minoorseks ja ülejäänud liikmed kanname vastasmärgiga süsteemi võrrandite paremale poole.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (r neist), mis jäävad võrrandite vasakule küljele peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (seal on n - r tükki), mis asuvad paremal pool tasuta.

Nüüd usume, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujate kaudu ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Lahendage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Lahendus.

Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme alaealiste piiritlemise meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molliga piirneva teist järku nullist erineva molli otsimist:


Nii leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Võtame aluseks leitud kolmanda järgu nullist erineva molli.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame baas-molliga seotud terminid süsteemi võrrandite vasakusse serva ja ülejäänu kanname vastupidised märgid paremale küljele:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st aktsepteerime , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Lahendame saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi Crameri meetodi abil:


Seega,.

Ärge unustage oma vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks määrame kõigepealt kindlaks selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, järeldame, et süsteem ei ühildu.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime alus-molli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud alus-molli moodustamisel.

Kui järjekorra alusel alaealine võrdne arvuga tundmatute muutujate korral on SLAE-l ainulaadne lahendus, mille leiame mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame süsteemivõrrandite vasakule poolele põhitundmatute muutujatega terminid, kanname ülejäänud liikmed paremale poole ja anname suvalised väärtused. vabad tundmatud muutujad. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad meetodi järgi Cramer, maatriksmeetod või Gaussi meetod.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit saab kasutada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks ilma nende järjepidevuse kontrollimiseta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka mitteühilduvuse kohta ning kui lahendus on olemas, siis võimaldab see selle leida.

Arvutuslikust seisukohast eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata ette Täpsem kirjeldus ja analüüsis artiklis näiteid Gaussi meetodist üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaarsete algebrasüsteemide üldlahenduse kirjutamine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles jaotises me räägime lineaarsete algebraliste võrrandite samaaegsetel homogeensetel ja mittehomogeensetel süsteemidel lõpmatu hulk otsuseid.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne lahenduste süsteem n tundmatu muutujaga p lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite kogum, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi kui X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on veerulised maatriksid mõõtmega n 1) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvalise konstantsed koefitsiendid C1, C2, ..., C (n-r), see tähendab.

Mida tähendab homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud lahendused algne SLAE, teisisõnu, võttes suvaliste konstantide C 1, C 2, ..., C (n-r) väärtuste komplekti, saame valemi järgi ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused defineerida kui .

Näidakem homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi alusmolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad liikmed vastasmärkidega süsteemivõrrandite paremale poole. Andkem tasuta tundmatuid muutuvaid väärtusi 1,0,0,…,0 ja arvutada peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks kasutades Crameri meetodit. Selle tulemuseks on X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui annad tasuta tundmatud väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutada peamised tundmatud, saame X (2) . Ja nii edasi. Kui omistame vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (n-r) . Sel viisil konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja selle üldlahenduse saab kirjutada kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend kujul , kus on vastava homogeense süsteemi üldlahend ja algse mittehomogeense SLAE konkreetne lahendus, mille saame vabadele tundmatutele väärtused andes. ​0,0,...,0 ja peamiste tundmatute väärtuste arvutamine.

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame alaealiste ääristamise meetodil põhimaatriksi auaste. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leiame teist järku piirneva nullist erineva molli:

Leiti nullist erinev teist järku moll. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste võrdne kahega. Võtame . Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poole:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Fundamentaalne süsteem Selle SLAE lahendused koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on võrdne kahega. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 = 1, x 4 = 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Kooliajal õppis igaüks meist võrrandeid ja suure tõenäosusega võrrandisüsteeme. Kuid vähesed inimesed ei tea, et nende lahendamiseks on mitu võimalust. Täna analüüsime üksikasjalikult kõiki meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks, mis koosnevad enam kui kahest võrdsusest.

Lugu

Tänapäeval on teada, et võrrandite ja nende süsteemide lahendamise kunst sai alguse aastal Vana Babülon ja Egiptus. Võrdsused oma tuttaval kujul tekkisid aga pärast võrdusmärgi "=" ilmumist, mis võeti kasutusele 1556. Inglise matemaatik Lindistus. Muide, see märk valiti põhjusega: see tähendab kahte paralleelset võrdset segmenti. Ja see on tõsi parim näide võrdsust ei saa välja mõelda.

Tundmatute ja kraadimärkide tänapäevaste tähttähiste rajaja on prantsuse matemaatik Selle nimetused erinesid aga oluliselt tänapäeva omadest. Näiteks ruut teadmata kuupäev ta tähistas tähte Q (lat. "quadratus") ja kuubi - tähte C (lat. "cubus"). See tähistus tundub praegu ebamugav, kuid tol ajal oli see kõige arusaadavam viis lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide kirjutamiseks.

Tolleaegsete lahendusmeetodite puuduseks oli aga see, et matemaatikud ainult arvestasid positiivsed juured. Võib-olla on see tingitud asjaolust, et negatiivsed väärtused ei olnud ühtegi praktilise rakendamise. Nii või teisiti, aga olge esimene, kes loeb negatiivsed juured Selle algatasid 16. sajandil Itaalia matemaatikud Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli. A moodne välimus, loodi põhilahendusmeetod (diskriminandi kaudu) alles 17. sajandil tänu Descartes'i ja Newtoni tööle.

18. sajandi keskel leidis Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uus viis Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise lihtsustamiseks. See meetod sai hiljem tema nime ja kasutame seda siiani. Kuid Crameri meetodist räägime veidi hiljem, kuid praegu käsitleme lineaarseid võrrandeid ja meetodeid nende lahendamiseks süsteemist eraldi.

Lineaarvõrrandid

Lineaarvõrrandid on kõige lihtsamad võrrandid, millel on muutuja (muutujad). Neid klassifitseeritakse algebralisteks. kirjutatakse üldkujul järgmiselt: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Peame neid hiljem süsteemide ja maatriksite koostamisel sellel kujul esitama.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid

Selle mõiste määratlus on järgmine: see on võrrandite kogum, millel on ühised tundmatud suurused ja ühine lahendus. Koolis lahendasid kõik reeglina kahe või isegi kolme võrrandiga süsteeme. Kuid on süsteeme, millel on neli või enam komponenti. Mõelgem esmalt välja, kuidas need kirja panna, et neid oleks edaspidi mugav lahendada. Esiteks näevad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid paremad välja, kui kõik muutujad on kirjutatud kui x ja vastava alaindeksiga: 1,2,3 jne. Teiseks tuleks kõik võrrandid viia kanoonilisele kujule: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Pärast kõiki neid samme võime hakata rääkima sellest, kuidas leida lahendusi lineaarvõrrandisüsteemidele. Maatriksid on selleks väga kasulikud.

Maatriksid

Maatriks on tabel, mis koosneb ridadest ja veergudest ning nende ristumiskohas on selle elemendid. Need võivad olla kas konkreetsed väärtused või muutujad. Enamasti paigutatakse elementide tähistamiseks nende alla alaindeksid (näiteks 11 või 23). Esimene indeks tähendab rea numbrit ja teine ​​veeru numbrit. Üle maatriksite, nagu iga teisegi matemaatiline element saate teha erinevaid toiminguid. Seega saate:

2) Korrutage maatriks suvalise arvu või vektoriga.

3) Transponeerimine: muutke maatriksiread veergudeks ja veerud ridadeks.

4) Korrutage maatriksid, kui neist ühe ridade arv on võrdne teise veergude arvuga.

Arutame kõiki neid tehnikaid üksikasjalikumalt, kuna need on meile tulevikus kasulikud. Maatriksite lahutamine ja liitmine on väga lihtne. Kuna me võtame sama suurusega maatriksid, korreleerub ühe tabeli iga element teise tabeli iga elemendiga. Seega liidame (lahutame) need kaks elementi (oluline on, et nad seisaksid oma maatriksites samadel kohtadel). Maatriksi korrutamisel arvu või vektoriga korrutate lihtsalt iga maatriksi elemendi selle arvuga (või vektoriga). Ülevõtmine on väga huvitav protsess. Vahel on teda väga huvitav näha päris elu, näiteks tahvelarvuti või telefoni orientatsiooni muutmisel. Töölaual olevad ikoonid kujutavad maatriksit ja kui asend muutub, siis see transponeerub ja muutub laiemaks, kuid väheneb kõrguselt.

Vaatame teist protsessi, näiteks: kuigi me ei vaja seda, on selle teadmine siiski kasulik. Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui ühe tabeli veergude arv on võrdne teise tabeli ridade arvuga. Nüüd võtame ühe maatriksi rea elemendid ja teise maatriksi vastava veeru elemendid. Korrutame need üksteisega ja liidame siis (st näiteks elementide a 11 ja a 12 korrutis b 12 ja b 22 võrdub: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Nii saadakse üks tabeli element ja see täidetakse sarnasel meetodil edasi.

Nüüd saame hakata kaaluma, kuidas lineaarvõrrandisüsteemi lahendatakse.

Gaussi meetod

Seda teemat hakatakse käsitlema koolis. Teame hästi mõistet "kahe lineaarvõrrandi süsteem" ja teame, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui võrrandite arv on suurem kui kaks? See aitab meid

Loomulikult on seda meetodit mugav kasutada, kui teete süsteemist maatriksi. Kuid te ei pea seda muutma ja puhtal kujul lahendama.

Niisiis, kuidas see meetod lahendab lineaarsete Gaussi võrrandite süsteemi? Muide, kuigi see meetod on nime saanud tema järgi, avastati see iidsetel aegadel. Gauss teeb ettepaneku: viia läbi võrranditega tehteid, et viia kogu komplekt lõpuks astmeline vaade. See tähendab, et on vaja, et ülalt alla (kui see on õigesti paigutatud) esimesest võrrandist viimaseni väheneks tundmatu. Teisisõnu, me peame veenduma, et saame näiteks kolm võrrandit: esimeses on kolm tundmatut, teises on kaks, kolmandas üks. Seejärel leiame viimasest võrrandist esimese tundmatu, asendame selle väärtuse teise või esimese võrrandiga ja seejärel leiame ülejäänud kaks muutujat.

Crameri meetod

Selle meetodi valdamiseks on ülimalt oluline omada maatriksite liitmise ja lahutamise oskusi ning samuti tuleb osata leida determinante. Seega, kui teete seda kõike halvasti või ei tea, kuidas üldse, peate õppima ja harjutama.

Mis on selle meetodi olemus ja kuidas seda teha nii, et saadakse lineaarsete Crameri võrrandite süsteem? Kõik on väga lihtne. Peame konstrueerima lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi arvuliste (peaaegu alati) koefitsientide maatriksi. Selleks võtame lihtsalt numbrid tundmatute ette ja järjestame need tabelisse süsteemi kirjutamise järjekorras. Kui numbri ees on märk “-”, siis kirjutame üles negatiivse koefitsiendi. Niisiis, oleme koostanud tundmatute koefitsientide esimese maatriksi, mis ei sisalda võrdusmärkide järel olevaid numbreid (loomulikult tuleks võrrand taandada kanooniliseks vormiks, kui paremal on ainult arv ja kõik koefitsientidega tundmatud on sees vasak). Seejärel tuleb luua veel mitu maatriksit – üks iga muutuja jaoks. Selleks asendame iga koefitsientidega veeru esimeses maatriksis omakorda arvude veeruga pärast võrdusmärki. Seega saame mitu maatriksit ja seejärel leiame nende determinandid.

Pärast seda, kui oleme määrajad leidnud, on see väike asi. Meil on esialgne maatriks ja seal on mitu saadud maatriksit, mis vastavad erinevatele muutujatele. Süsteemi lahenduste saamiseks jagame saadud tabeli determinandi algtabeli determinandiga. Saadud arv on ühe muutuja väärtus. Samamoodi leiame kõik tundmatud.

Muud meetodid

Lineaarvõrrandisüsteemide lahenduste leidmiseks on veel mitmeid meetodeid. Näiteks nn Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse süsteemile lahenduste leidmiseks ruutvõrrandid ja on seotud ka maatriksite kasutamisega. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks on olemas ka Jacobi meetod. Seda on kõige lihtsam arvutiga kohandada ja seda kasutatakse arvutis.

Keerulised juhtumid

Keerukus tekib tavaliselt siis, kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Siis võime kindlalt väita, et kas süsteem on ebaühtlane (st tal puuduvad juured) või kipub selle lahenduste arv lõpmatuseni. Kui meil on teine ​​juhtum, siis peame kirja panema lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse. See sisaldab vähemalt ühte muutujat.

Järeldus

Siin jõuamegi lõppu. Teeme kokkuvõtte: saime aru, mis on süsteem ja maatriks, ning õppisime leidma lineaarvõrrandisüsteemile üldlahendust. Lisaks kaalusime muid võimalusi. Saime teada, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi: Gaussi meetodit ja rääkisime sellest rasked juhtumid ja muud viisid lahenduste leidmiseks.

Tegelikult on see teema palju ulatuslikum ja kui soovite sellest paremini aru saada, soovitame lugeda rohkem erialakirjandust.

Gaussi meetodil on mitmeid puudusi: pole võimalik teada, kas süsteem on järjepidev või mitte, enne kui kõik Gaussi meetodis vajalikud teisendused on tehtud; Gaussi meetod ei sobi tähekoefitsientidega süsteemide jaoks.

Vaatleme muid meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Need meetodid kasutavad maatriksi astme kontseptsiooni ja taandavad lahenduse mis tahes liigeste süsteem süsteemi lahendusele, millele kehtib Crameri reegel.

Näide 1. Leidke üldine lahendus järgmine süsteem lineaarvõrrandid, mis kasutavad taandatud homogeense süsteemi põhilahenduste süsteemi ja ebahomogeense süsteemi konkreetset lahendust.

1. Maatriksi valmistamine A ja laiendatud süsteemimaatriks (1)

2. Uurige süsteemi (1) ühtekuuluvuse eest. Selleks leiame maatriksite auastmed A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kui selgub, et , siis süsteem (1) Sobimatu. Kui me selle saame , siis on see süsteem järjepidev ja me lahendame selle. (Ühilduvusuuring põhineb Kroneckeri-Capelli teoreemil).

a. Leiame rA.

Leidma rA, vaatleme järjestikku maatriksi esimese, teise jne järgu nullist erinevaid alaealisi A ja neid ümbritsevad alaealised.

M1=1≠0 (võta 1 vasakult ülemine nurk maatriksid A).

Me piirneme M1 selle maatriksi teine ​​rida ja teine ​​veerg. . Jätkame piiri M1 teine ​​rida ja kolmas veerg..gif" width="37" height="20 src=">. Nüüd ääristame nullist erineva minoori M2′ teine ​​järjekord.

Meil on: (kuna esimesed kaks veergu on samad)

(kuna teine ​​ja kolmas rida on proportsionaalsed).

Me näeme seda rA=2, a on maatriksi alusmoll A.

b. Leiame.

Üsna elementaarne molli M2′ maatriksid Aääristage vabade terminite veeru ja kõigi ridadega (meil on ainult viimane rida).

. Sellest järeldub M3′′ jääb maatriksi põhimolliks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sest M2′- maatriksi alusmoll A süsteemid (2) , siis on see süsteem samaväärne süsteemiga (3) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (2) (eest M2′ asub maatriksi A kahes esimeses reas).

(3)

Alates põhimollist https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Selles süsteemis on kaks vaba tundmatut ( x2 Ja x4 ). Sellepärast FSR süsteemid (4) koosneb kahest lahendusest. Nende leidmiseks määrame sisse vabad tundmatud (4) väärtused esiteks x2=1 , x4=0 , ja siis - x2=0 , x4=1 .

Kell x2=1 , x4=0 saame:

.

Sellel süsteemil juba on ainuke asi lahendus (selle võib leida Crameri reegli või mõne muu meetodi abil). Lahutades esimese teisest võrrandist, saame:

Tema lahendus saab olema x1= -1 , x3=0 . Arvestades väärtusi x2 Ja x4 , mille andsime, saame esimese põhimõtteline lahendus süsteemid (2) : .

Nüüd me usume (4) x2=0 , x4=1 . Saame:

.

Lahendame selle süsteemi Crameri teoreemi abil:

.

Saame süsteemi teise põhimõttelise lahenduse (2) : .

Lahendused β1 , β2 ja meigi FSR süsteemid (2) . Siis on selle üldine lahendus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Siin C1 , C2 - suvalised konstandid.

4. Leiame ühe privaatne lahendus heterogeenne süsteem(1) . Nagu lõigus 3 , süsteemi asemel (1) Vaatleme samaväärset süsteemi (5) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (1) .

(5)

Liigutame vabad tundmatud paremale poole x2 Ja x4.

(6)

Andkem tasuta tundmatuid x2 Ja x4 suvalised väärtused, näiteks x2=2 , x4=1 ja pane need sisse (6) . Tutvume süsteemiga

Sellel süsteemil on ainulaadne lahendus (alates selle määrajast M2′0). Selle lahendades (kasutades Crameri teoreemi või Gaussi meetodit), saame x1=3 , x3=3 . Arvestades vabade tundmatute väärtusi x2 Ja x4 , saame mittehomogeense süsteemi eriline lahendus(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nüüd jääb üle vaid see kirja panna mittehomogeense süsteemi üldlahend α(1) : see on võrdne summaga privaatne lahendus see süsteem ja selle redutseeritud homogeense süsteemi üldine lahendus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

See tähendab: (7)

6. Läbivaatus. Kontrollimaks, kas lahendasite süsteemi õigesti (1) , vajame üldist lahendust (7) asendus sisse (1) . Kui iga võrrand muutub identiteediks ( C1 Ja C2 tuleb hävitada), siis leitakse lahendus õigesti.

Me asendame (7) näiteks ainult süsteemi viimane võrrand (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kus –1=–1. Meil on identiteet. Teeme seda süsteemi kõigi teiste võrranditega (1) .

kommenteerida. Kontrollimine on tavaliselt üsna tülikas. Soovitada võib järgmist “osalist kontrolli”: süsteemi üldlahenduses (1) määrake suvalistele konstantidele mõned väärtused ja asendage saadud osalahend ainult kõrvalejäetud võrranditega (st nende võrranditega (1) , mis ei kuulunud hulka (5) ). Kui saate identiteedid, siis pigem, süsteemne lahendus (1) leitud õigesti (aga selline kontroll ei anna täielikku õigsuse garantiid!). Näiteks kui sisse (7) pane C2=- 1 , C1 = 1, siis saame: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Asendades süsteemi (1) viimase võrrandi, saame: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , st –1=–1. Meil on identiteet.

Näide 2. Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus (1) , väljendades põhilisi tundmatuid vabadena.

Lahendus. Nagu näide 1, koostada maatriksid A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> nendest maatriksitest. Nüüd jätame ainult need süsteemi võrrandid (1) , mille koefitsiendid sisalduvad selles põhimollis (st meil on kaks esimest võrrandit) ja vaadelda neist koosnevat süsteemi, mis on samaväärne süsteemiga (1).

Viime vabad tundmatud nende võrrandite parempoolsetele külgedele.

süsteem (9) Lahendame Gaussi meetodil, käsitades paremaid pooli vabadena.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2. variant.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi, milles kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga homogeenne :

Iga homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna see on alati olnud null (triviaalne ) lahendus. Tekib küsimus, millistel tingimustel saab homogeensel süsteemil mittetriviaalne lahendus.

Teoreem 5.2.Homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui aluseks oleva maatriksi auaste on väiksem kui selle tundmatute arv.

Tagajärg. Ruudukujulisel homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga.

Näide 5.6. Määrake parameetri l väärtused, mille juures süsteemil on mittetriviaalsed lahendused, ja leidke need lahendused:

Lahendus. Sellel süsteemil on mittetriviaalne lahendus, kui põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga:

Seega on süsteem mittetriviaalne, kui l=3 või l=2. Kui l=3, on süsteemi põhimaatriksi aste 1. Jättes siis ainult ühe võrrandi ja eeldades, et y=a Ja z=b, saame x=b-a, st.

Kui l=2, on süsteemi põhimaatriksi auaste 2. Seejärel valides aluseks minoorse:

saame lihtsustatud süsteemi

Siit leiame selle x=z/4, y=z/2. Uskudes z=4a, saame

Homogeense süsteemi kõikide lahenduste hulgal on väga oluline lineaarne omadus : kui veerud X 1 ja X 2 - homogeense süsteemi lahendused AX = 0, siis nende mis tahes lineaarne kombinatsioon a X 1 + b X 2 on ka selle süsteemi lahendus. Tõepoolest, alates AX 1 = 0 Ja AX 2 = 0 , See A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Just selle omaduse tõttu, kui lineaarsüsteemil on rohkem kui üks lahend, siis on neid lahendeid lõpmatult palju.

Lineaarselt sõltumatud veerud E 1 , E 2 , Ek, mis on homogeense süsteemi lahendused, nimetatakse põhiline lahenduste süsteem homogeenne lineaarvõrrandisüsteem, kui selle süsteemi üldlahenduse saab kirjutada nende veergude lineaarse kombinatsioonina:

Kui homogeensel süsteemil on n muutujad ja süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne r, See k = n-r.

Näide 5.7. Leidke järgmise lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste süsteem:

Lahendus. Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme:

Seega moodustab selle võrrandisüsteemi lahenduste hulk dimensiooni lineaarse alamruumi n-r= 5 - 2 = 3. Valime aluseks minoorse

.

Seejärel, jättes alles ainult põhivõrrandid (ülejäänud on nende võrrandite lineaarne kombinatsioon) ja põhimuutujad (ülejäänud, nn vabad muutujad, nihutame paremale), saame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Uskudes x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, leiame

, .

Uskudes a= 1, b = c= 0, saame esimese põhilahendi; uskudes b= 1, a = c= 0, saame teise põhilahendi; uskudes c= 1, a = b= 0, saame kolmanda põhilahendi. Selle tulemusena kujuneb tavaline põhilahenduste süsteem

Põhisüsteemi kasutades saab homogeense süsteemi üldlahenduse kirjutada järgmiselt

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Märgime ära mõned ebahomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste omadused AX=B ja nende seos vastava homogeense võrrandisüsteemiga AX = 0.

Ebahomogeense süsteemi üldlahenduson võrdne vastava homogeense süsteemi üldlahenduse AX = 0 ja ebahomogeense süsteemi suvalise erilahenduse summaga. Tõepoolest, las Y 0 on mittehomogeense süsteemi suvaline konkreetne lahendus, s.t. JAH 0 = B, Ja Y- heterogeense süsteemi üldlahendus, s.o. AY=B. Lahutades ühe võrdsuse teisest, saame
A(Y-Y 0) = 0, st. Y-Y 0 on vastava homogeense süsteemi üldlahend AX=0. Seega Y-Y 0 = X, või Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Lase heterogeenne süsteem on kujul AX = B 1 + B 2 . Siis saab sellise süsteemi üldlahenduse kirjutada kujul X = X 1 + X 2 , kus AX 1 = B 1 ja AX 2 = B 2. See omadus väljendab mis tahes universaalset omadust lineaarsed süsteemid(algebraline, diferentsiaal, funktsionaalne jne). Füüsikas nimetatakse seda omadust superpositsiooni põhimõte, elektri- ja raadiotehnika alal - superpositsiooni põhimõte. Näiteks lineaarse teoorias elektriahelad voolu mis tahes vooluringis saab saada kui algebraline summa voolud, mis on põhjustatud igast energiaallikast eraldi.

Jätkame oma tehnoloogia lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks edasiarendus tehnikaid tuleb palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta selle artikli näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Mitte muidugi akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarteisenduste abil viia see astmelisele kujule. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(V sel juhul 3) võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks konsolideerimiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgmist tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Tulemuseks on standard sammumaatriks, ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
- vabad muutujad.

Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrand:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendagem väärtuste kolmik üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et on väga soovitatav kontrollida iga vastuvõetud vektorit - see ei võta palju aega, kuid see kaitseb teid täielikult vigade eest.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolmele saame kolmanda vektori:

Vastus: , Kus

Need, kes soovivad vältida murdarvud võiks kaaluda kolmikuid ja saada vastus samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja küsigem endalt: kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Lõppude lõpuks väljendasime siin kõigepealt põhimuutujat murdude kaudu, seejärel murdude kaudu põhimuutujat ja pean ütlema, et see protsess ei olnud kõige lihtsam ja mitte kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud baasmuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte olla ülaosas null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse: