Tasapinna puutuja võrrand on eksplitsiitne ja kaudne. Tasapinnaline puutuja pinnaga

Mingil hetkel ja sellel on pidevad osatuletised, millest vähemalt üks ei kao, siis selle punkti läheduses on võrrandiga (1) määratletud pind õiget pinda.

Lisaks eelnevale kaudne täpsustamise viis pinda saab määratleda ilmselgelt, kui ühte muutujatest, näiteks z, saab väljendada teistega:

Samuti on olemas parameetriline määramise viis. Sel juhul määratakse pind võrrandisüsteemiga:

Lihtsa pinna kontseptsioon

Täpsemalt, lihtne pind on ühikruudu sisemuse homöomorfse kaardistuse (st üks-ühele ja vastastikku pideva kaardistamise) kujutis. Sellele määratlusele võib anda analüütilise väljendi.

Laske lennukiga koos ristkülikukujuline süsteem koordinaadid u ja v on antud ruuduga, koordinaadid sisemised punktid mis rahuldavad ebavõrdsust 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для erinevaid punkte(u, v) ja (u, v") olid erinevad vastavad punktid (x, y, z) ja (x, y, z").

Näide lihtne pind on poolkera. Kogu sfäär ei ole lihtne pind. See nõuab pinna mõiste edasist üldistamist.

Ruumi alamhulk, mille igal punktil on naabruskond, mis on lihtne pind, kutsus õiget pinda .

Pind diferentsiaalgeomeetrias

Helikoid

Katenoid

Mõõdik ei määra üheselt pinna kuju. Näiteks helikoidi ja katenoidi vastavalt parameetritega mõõdik langeb kokku, see tähendab, et nende piirkondade vahel on vastavus, mis säilitab kõik pikkused (isomeetria). Nimetatakse omadusi, mis säilivad isomeetriliste teisenduste korral sisemine geomeetria pinnad. Sisegeomeetria ei sõltu pinna asendist ruumis ega muutu ka selle painutamisel ilma pinge ja surveta (näiteks silindri painutamisel koonuseks).

Meetrilised koefitsiendid määravad mitte ainult kõigi kõverate pikkuste, vaid üldiselt ka kõigi pinnasiseste mõõtmiste tulemused (nurgad, pindalad, kõverus jne). Seetõttu viitab kõik, mis sõltub ainult meetrikast, sisemisest geomeetriast.

Tavaline ja tavaline lõik

Normaalvektorid pinnapunktides

Pinna üks peamisi omadusi on selle normaalne - ühikvektor, risti puutujatasandiga punktis antud punkt:

.

Normaali märk sõltub koordinaatide valikust.

Pinnalõige normaalset sisaldava tasapinna järgi (antud punktis) moodustab pinnale teatud kõvera, mida nimetatakse tavaline lõik pinnad. Normaalse lõigu põhinormaal langeb kokku pinnanormaaliga (märgini).

Kui pinnal olev kõver ei ole normaallõik, siis moodustab selle põhinormaal pinna normaaliga teatud nurga θ. Siis kumerus k kõverusega seotud kõver k n normaallõik (sama puutujaga) Meunieri valemi järgi:

Tavalise ühiku vektori koordinaadid erinevatel viisidel Pinnaülesanded on toodud tabelis:

	Tavalised koordinaadid pinnapunktis
kaudne määramine
selge ülesanne
parameetriline spetsifikatsioon

Kumerus

Erinevate suundade jaoks antud pinnapunktis saadakse normaallõike erinev kõverus, mida nimetatakse normaalne kumerus; sellele omistatakse plussmärk, kui kõvera põhinormaal läheb pinna normaaliga samas suunas, või miinusmärk, kui normaalide suunad on vastupidised.

Üldiselt on pinna igas punktis kaks risti asetsevat suunda e 1 ja e 2, milles normaalne kõverus võtab minimaalselt ja maksimaalne väärtus; neid suundi nimetatakse peamine. Erandiks on juhus, kui normaalkõverus kõikides suundades on sama (näiteks sfääri lähedal või pöördeellipsoidi lõpus), siis on kõik punkti suunad põhisuunad.

Negatiivse (vasakul), nulli (keskel) ja positiivse (paremal) kumerusega pinnad.

Tavalisi kumerusi põhisuundades nimetatakse peamised kumerused; tähistame neid κ 1 ja κ 2. Suurus:

K= κ 1 κ 2

helistas Gaussi kõverus, täielik kumerus või lihtsalt kumerus pinnad. Seal on ka termin kõveruse skalaar, mis tähendab kõveruse tensori konvolutsiooni tulemust; sel juhul on kõveruse skalaar kaks korda suurem kui Gaussi kõverus.

Gaussi kõverust saab arvutada meetrika abil ja seetõttu on see pindade sisegeomeetria objekt (pange tähele, et peamised kõverused ei kuulu sisegeomeetria alla). Pinnapunkte saab klassifitseerida kõverusmärgi alusel (vt joonist). Tasapinna kõverus on null. Raadiusega R sfääri kõverus on kõikjal võrdne. Samuti on pidev pind negatiivne kumerus- pseudosfäär.

Geodeetilised jooned, geodeetiline kõverus

Pinnal olevat kõverat nimetatakse geodeetiline liin, või lihtsalt geodeetiline, kui kõigis selle punktides langeb kõvera põhinormaal kokku pinnanormaaliga. Näide: tasapinnal on geodeesia sirgjooned ja sirgjoonte lõigud, sfääril suured ringid ja nende lõigud.

Ekvivalentne definitsioon: geodeetilise sirge korral on selle põhinormaali projektsioon võnketasandile nullvektor. Kui kõver ei ole geodeetiline, on määratud projektsioon nullist erinev; selle pikkust nimetatakse geodeetiline kõverus k g kõver pinnal. On suhe:

,

Kus k- antud kõvera kõverus, k n- selle normaallõike kõverus sama puutujaga.

Geodeetilised jooned viitavad sisegeomeetriale. Loetleme nende peamised omadused.

• Läbi see punkt pinnad sisse antud suundüks ja ainult üks geodeetiline läbib.
• Piisavalt väikesel pinnal saab geodeetiliselt alati ühendada kaks punkti ja pealegi ainult ühe. Selgitus: sfääril on vastaspoolused ühendatud lõpmatu arvu meridiaanidega ja kahte lähedast punkti saab ühendada mitte ainult suure ringi lõiguga, vaid ka selle liitmisega täielikuks ringiks, nii et ainulaadsus säilib ainult väikeses.
• Geodeetiline tee on lühim tee. Täpsemalt: väikesel pinnatükil kulgeb lühim tee antud punktide vahel piki geodeesiat.

Ruut

Pinna teine ​​oluline atribuut on selle ruut, mis arvutatakse järgmise valemiga:

Koordinaatidena saame:

	selge ülesanne	parameetriline spetsifikatsioon
ala väljendus

Just nimelt sellest, mida pealkirjas näed. Põhimõtteliselt on see "ruumiline analoog" tangentsete probleemide leidmine Ja normaalsedühe muutuja funktsiooni graafikule ja seetõttu ei tohiks raskusi tekkida.

Alustame põhiküsimustega: MIS ON puutujatasand ja MIS ON normaalne? Paljud inimesed mõistavad neid mõisteid intuitsiooni tasemel. Lihtsaim mudel, mis meelde tuleb, on pall, millel asub õhuke lapik papitükk. Papp asub kerale võimalikult lähedal ja puudutab seda ühest punktist. Lisaks on see kokkupuutepunktis kinnitatud otse üles torgava nõelaga.

Teoreetiliselt on puutujatasandil üsna geniaalne definitsioon. Kujutage ette tasuta pinnale ja selle juurde kuuluv punkt. Ilmselgelt käib palju läbi punkti ruumilised jooned, mis kuuluvad sellele pinnale. Kellel millised ühendused on? =) ...isiklikult kujutasin ma kaheksajalga ette. Oletame, et igal sellisel real on ruumiline puutuja punktis .

Definitsioon 1: puutuja tasapind punktis pinnale – see on lennuk, mis sisaldab kõigi antud pinnale kuuluvate ja punkti läbivate kõverate puutujaid.

2. definitsioon: normaalne punktis pinnale – see on otse, mis läbib antud punkti, mis on puutujatasandiga risti.

Lihtne ja elegantne. Muide, et te materjali lihtsusest tüdimusse ei sureks, jagan veidi hiljem teiega üht elegantset saladust, mis võimaldab teil unustada erinevate määratluste KORDA JA KÕIKE toppimise.

Tutvume konkreetse näite varal töövalemite ja lahendusalgoritmiga. Enamiku probleemide puhul on vaja koostada nii puutujatasandi võrrand kui ka normaalvõrrand:

Näide 1

Lahendus:kui pind on antud võrrandiga (st kaudselt), siis saab punktis antud pinna puutujatasandi võrrandi leida järgmise valemi abil:

Erilist tähelepanu Juhin tähelepanu ebatavalistele osatuletistele – nendele ei tohiks segi ajada Koos kaudselt määratletud funktsiooni osatuletised (kuigi pind on kaudselt täpsustatud). Nende tuletiste leidmisel tuleb juhinduda kolme muutuja funktsiooni eristamise reeglid st mis tahes muutuja suhtes eristamisel peetakse ülejäänud kahte tähte konstantideks:

Kassa juurest lahkumata leiame osatuletise punktist:

Samamoodi:

See oli otsuse kõige ebameeldivam hetk, kus viga ilmneb, kui mitte lubatud, siis pidevalt. Siiski on tõhus tehnika kontrollige, millest ma tunnis rääkisin Suunatuletis ja gradient.

Kõik "koostisosad" on leitud ja nüüd tuleb hoolikalt asendada täiendavate lihtsustustega:

– üldvõrrand soovitud puutuja tasapind.

Soovitan tungivalt kontrollida ka seda lahendusetappi. Kõigepealt peate veenduma, et puutepunkti koordinaadid vastavad leitud võrrandile:

- tõeline võrdsus.

Nüüd "eemaldame" koefitsiendid üldvõrrand tasapinnad ja kontrollige nende kokkulangevust või proportsionaalsust vastavate väärtustega. IN antud juhul proportsionaalne. Nagu mäletate analüütilise geomeetria kursus, - See normaalvektor puutuja tasapind ja ta on ka juhtvektor tavaline sirgjoon. Koostame kanoonilised võrrandid normaalväärtused punkti- ja suunavektori järgi:

Põhimõtteliselt saab nimetajaid kahe võrra vähendada, kuid selleks pole erilist vajadust

Vastus:

Keelatud pole võrrandite tähistamine mõne tähega, aga jällegi, miks? Siin on juba väga selge, mis on mis.

Järgmised kaks näidet on mõeldud sõltumatu otsus. Väike "matemaatiline keeleväänaja":

Näide 2

Leidke punktis oleva pinna puutujatasandi võrrandid ja normaal.

Ja tehnilisest küljest huvitav ülesanne:

Näide 3

Kirjutage võrrandid punktis oleva pinna puutujatasandi ja normaalse kohta

Punktis.

On kõik võimalused mitte ainult segadusse sattuda, vaid ka salvestamisel tekkida raskusi sirge kanoonilised võrrandid. Ja nagu te ilmselt aru saate, kirjutatakse tavalised võrrandid tavaliselt sellisel kujul. Kuigi mõne nüansi unustamise või teadmatuse tõttu on parameetriline vorm enam kui vastuvõetav.

Ligikaudsed näited lahenduste lõplikust teostamisest tunni lõpus.

Kas pinna mis tahes punktis on puutujatasapind? IN üldine juhtum Muidugi mitte. Klassikaline näide- See kooniline pind ja punkt - puutujad selles punktis moodustavad otseselt koonilise pinna ja loomulikult ei asu samal tasapinnal. Analüütiliselt on lihtne kontrollida, kas midagi on valesti: .

Teine probleemide allikas on tõsiasi olematus mis tahes osatuletis punktis. See aga ei tähenda, et antud punktis poleks ühtki puutujat.

Kuid see oli pigem populaarteaduslik kui praktiliselt oluline teave ja me pöördume tagasi pakiliste küsimuste juurde:

Kuidas kirjutada võrrandid puutujatasandi ja normaalpunkti jaoks,
kui pind on määratud eksplitsiitse funktsiooniga?

Kirjutame selle kaudselt ümber:

Ja samu põhimõtteid kasutades leiame osatuletised:

Seega teisendatakse puutujatasandi valem järgmiseks võrrandiks:

Ja vastavalt kanoonilised võrrandid normaalsed:

Nagu arvata võis, - need on juba "päris" kahe muutuja funktsiooni osatuletised punktis, mida me varem tähistasime tähega “z” ja leidsime 100500 korda.

Pange tähele, et selles artiklis piisab, kui meenutada kõige esimest valemit, millest on vajadusel lihtne tuletada kõik muu (loomulikult omades algtase ettevalmistus). See on lähenemine, mida tuleks õppimisel kasutada täppisteadused, st. minimaalse teabe põhjal peame püüdma "teha" maksimaalselt järeldusi ja tagajärgi. “Kaalutlus” ja olemasolevad teadmised aitavad! See põhimõte on kasulik ka seetõttu, et suure tõenäosusega päästab see sind kriitilises olukorras, kui tead väga vähe.

Töötame välja "muudetud" valemid paari näitega:

Näide 4

Kirjutage võrrandid pinna puutuja ja normaaltasandi jaoks punktis .

Siin on märgetega väike ülekate - nüüd tähistab täht punkti lennukis, aga mis teha - nii populaarne täht...

Lahendus: koostame soovitud puutujatasandi võrrandi valemi abil:

Arvutame funktsiooni väärtuse punktis:

Arvutame I järgu osatuletised sel hetkel:

Seega:

ettevaatlikult, ärge kiirustage:

Kirjutame punktis normaalväärtuse kanoonilised võrrandid:

Vastus:

Ja viimane näide teie enda lahenduse jaoks:

Näide 5

Kirjutage üles võrrandid punktis oleva pinna puutujatasandi ja normaalväärtuse jaoks.

Lõplik – kuna olen praktiliselt kõik tehnilised punktid lahti seletanud ja midagi erilist lisada pole. Isegi selles ülesandes pakutud funktsioonid ise on tuhmid ja monotoonsed - praktikas on peaaegu garanteeritud, et kohtate "polünoomi" ja selles mõttes näeb näide nr 2 eksponendiga välja nagu "must lammas". Muide, palju tõenäolisemalt kohtab pinda võrrandiga antud ja see on veel üks põhjus, miks see funktsioon lisati artiklisse kui number kaks.

Ja lõpuks lubatud saladus: kuidas siis vältida definitsioonide tuupimist? (Ma ei pea muidugi silmas olukorda, kui tudeng enne eksamit palavikuliselt midagi topib)

Mis tahes mõiste/nähtuse/objekti definitsioon annab ennekõike vastuse järgmine küsimus: MIS SEE ON? (kes/sellised/sellised/on). Teadlikult vastates see küsimus, peaksite proovima peegeldada märkimisväärne märgid, kindlasti konkreetse mõiste/nähtuse/objekti tuvastamine. Jah, algul osutub see kuidagi keeletuks, ebatäpseks ja üleliigseks (õpetaja küll parandab =)), kuid aja jooksul kujuneb välja päris korralik teaduskõne.

Harjutage näiteks kõige abstraktsematel objektidel, vastake küsimusele: kes on Cheburashka? See pole nii lihtne ;-) See on " muinasjutu tegelane suurte kõrvade, silmade ja pruuni karvaga"? Kaugel ja väga kaugel määratlusest – iial ei tea, et selliste omadustega tegelasi leidub... Kuid see on määratlusele palju lähemal: “Tšeburaška on kirjanik Eduard Uspenski 1966. aastal välja mõeldud tegelane, kes ... (peamiste loetelu eristavad tunnused)» . Pange tähele, kui hästi see algas

Puutujatasandid mängivad geomeetrias suurt rolli. Puutujate tasandite ehitamine sisse praktilises mõttes on oluline, kuna nende olemasolu võimaldab meil määrata normaalse suuna kokkupuutepunktis pinnale. Seda probleemi kasutatakse laialdaselt inseneripraktikas. Puutetasandeid kasutatakse ka visandite koostamiseks. geomeetrilised kujundid, piiratud suletud pindadega. Teoreetiliselt kasutatakse pinnaga puutuvaid tasapindu diferentsiaalgeomeetrias, et uurida pinna omadusi kokkupuutepunkti piirkonnas.

Põhimõisted ja määratlused

Tasapinna puutujat tuleks käsitleda lõiketasandi piirasendina (analoogiliselt kõvera puutujaga, mis on samuti määratletud kui käände piirasend).

Pinna tasapinnaline puutuja pinna antud punktis on kõigi sirgjoonte kogum – antud punkti kaudu pinnale tõmmatud puutujad.

Diferentsiaalgeomeetrias on tõestatud, et kõik tavalises punktis tõmmatud pinna puutujad on tasapinnalised (kuuluvad samale tasapinnale).

Uurime välja, kuidas joonistada pinda puutuvat sirgjoont. Pinna β puutuja t pinnal määratud punktis M (joonis 203) tähistab kahes punktis (MM 1, MM 2, ..., MM n) pinda lõikuva sekandi l j piirasendit, kui ristumispunktid langevad kokku (M ≡ M n , l n ≡ l M). Ilmselgelt (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, kuna g ⊂ β. Ülaltoodust tuleneb järgmine määratlus: Pinna puutuja on pinda kuuluva mis tahes kõvera puutuja sirgjoon.

Kuna tasapind on defineeritud kahe ristuva sirgega, siis pinna puutuja tasandi määratlemiseks antud punktis piisab, kui tõmmata läbi selle punkti kaks pinnale kuuluvat suvalist (soovitavalt lihtsa kujuga) sirget ja konstrueerida sellele puutujad. igaüks neist nende joonte lõikepunktis . Konstrueeritud puutujad määravad üheselt puutujatasandi. Visuaalne esitus joonisel fig 1 on toodud tasapinna α puutuja pinnaga β antud punktis M. 204. See joonis näitab ka normaalset n pinna β suhtes.

Pinna normaal antud punktis on puutujatasandiga risti ja puutepunkti läbiv sirge.

Pinna ja normaalset läbiva tasapinna lõikejoont nimetatakse pinna normaallõikeks. Olenevalt pinna tüübist võib puutujatasandil olla kas üks või mitu punkti (joont) pinnaga. Puutejoon võib samal ajal olla ka pinna ja tasapinna lõikejoon.

On ka juhtumeid, kui pinnal on punkte, kuhu pole võimalik pinnale puutujat tõmmata; selliseid punkte nimetatakse ainsuseks. Ainsuse punktide näitena võib tuua punktid, mis kuuluvad torso pinna tagasiserva või pöördepinna meridiaani ja selle telje lõikepunkti, kui meridiaan ja telg ei ristu paremal. nurgad.

Puudutuste tüübid sõltuvad pinna kõveruse olemusest.

Pinna kumerus

Pinna kõveruse probleeme on uuritud prantsuse matemaatik F. Dupin (1784-1873), kes pakkus välja visuaalse viisi pinna normaalsete lõikude kõveruse muutuste kujutamiseks.

Selleks asetatakse punktis M vaadeldava pinna puutuja tasapinnas (joonis 205, 206) segmendid selle punkti mõlemal küljel tavaliste lõikude puutujatele. võrdne juurtega nende sektsioonide vastavate kõverusraadiuste väärtuste ruut. Punktide komplekt - segmentide otsad määratlevad kõvera, mida nimetatakse Dupini indikaator. Dupini indikaatori (joonis 205) koostamise algoritmi saab kirjutada:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

kus R on kõverusraadius.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) on Dupini indikaator.

Kui pinna Dupini indikaator on ellips, siis punkti M nimetatakse elliptiliseks ja pinda elliptiliste punktidega pinnaks.(joonis 206). Sellisel juhul on puutujatasandil pinnaga ainult üks seos ühine punkt, ja kõik pinnale kuuluvad sirged, mis ristuvad vaadeldavas punktis, asuvad ühel pool puutujatasandit. Elliptiliste punktidega pindade näited on: pöördeparaboloid, pöördeellipsoid, kera (antud juhul on Dupini indikaator ring jne).

Torsopinna puutuja joonestamisel puudutab tasapind seda pinda mööda sirget generatriksit. Sellel sirgel olevaid punkte nimetatakse paraboolne ja pind on paraboolsete punktidega pind. Dupini indikaator on sel juhul kaks paralleelset sirget (joonis 207*).

Joonisel fig. 208 näitab pinda, mis koosneb punktidest, milles

* Teist järku kõver – parabool – võib teatud tingimustel jaguneda kaheks reaalseks paralleelseks sirgeks, kaheks mõtteliseks paralleelseks sirgeks, kaheks kokkulangevaks sirgeks. Joonisel fig. 207 on tegemist kahe reaalse paralleelse sirgega.

Iga puutujatasand lõikab pinda. Sellist pinda nimetatakse hüperboolne, ja selle juurde kuuluvad punktid on hüperboolsed punktid. Dupini indikaator on sel juhul hüperbool.

Pinnal, mille kõik punktid on hüperboolsed, on sadula kuju (kaldtasapind, üheleheline hüperboloid, nõgusad pöördepinnad jne).

Ühel pinnal võib olla punkte erinevat tüüpi, näiteks torso pinna lähedal (joonis 209) on punkt M elliptiline; punkt N on paraboolne; punkt K on hüperboolne.

Diferentsiaalgeomeetria käigus on tõestatud, et normaallõiked, mille kumerusväärtused K j = 1/ R j (kus R j on vaadeldava lõigu kõverusraadius), on äärmuslikud, paiknevad kahes vastastikku risti asetsevad tasapinnad.

Sellised kumerused K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min nimetatakse peamiseks ning väärtused H = (K 1 + K 2)/2 ja K = K 1 K 2 on vastavalt pinna keskmine kumerus ja summaarne (Gaussi) pinna kõverus kõnealuses punktis. Elliptiliste punktide K > 0 korral hüperboolsed punktid K

Pinna puutujatasandi määramine Monge diagrammil

Allpool konkreetsed näited Näitame elliptiliste (näide 1), paraboolsete (näide 2) ja hüperboolsete (näide 3) punktidega pinna puutuja tasapinna konstruktsiooni.

NÄIDE 1. Koostage elliptiliste punktidega pöörde β pinna puutuja α. Vaatleme selle ülesande lahendamiseks kahte võimalust: a) punkt M ∈ β ja b) punkt M ∉ β

Variant a (joonis 210).

Puutujatasand määratakse kahe puutujaga t 1 ja t 2, mis on tõmmatud punktis M pinna β paralleelile ja meridiaanile.

Pinna β paralleelse h puutuja t 1 projektsioonid on t" 1 ⊥ (S"M") ja t" 1 || x telg Punkti M läbiva pinna β meridiaani d puutuja t" 2 horisontaalprojektsioon langeb kokku meridiaani horisontaalprojektsiooniga. Puutuja t" 2 frontaalprojektsiooni leidmiseks tuleb meridiaanitasand γ(γ ∋ M) ümber pinna telje pöörates kantakse β asendisse γ 1, paralleelselt tasapinnagaπ 2. Sel juhul punkt M → M 1 (M" 1, M" 1 puutuja t" 2 rarr; t" 2 1 projektsioon määratakse (M" 1 S"). Kui nüüd viia tasapind γ 1 tagasi algsesse asendisse, siis jääb punkt S" paigale (pöördtelje juurde kuuluvana) ning M" 1 → M" ja puutuja t" 2 frontaalprojektsioon olema määratud (M" S")

Kaks puutujat t 1 ja t 2, mis ristuvad punktis M ∈ β, määratlevad tasandi α, mis puutub pinnaga β.

Valik b (joonis 211)

Pinnale mittekuuluvat punkti läbiva pinna puutuja konstrueerimiseks tuleb lähtuda järgmistest kaalutlustest: pinnast väljapoole jääva punkti kaudu, mis koosneb elliptilistest punktidest, saab tõmmata palju pinnaga puutujaid. Nende pindade ümbris on kooniline pind. Seega, kui täiendavaid juhiseid pole, on probleemil palju lahendusi ja see taandub sel juhul täitmisele kooniline pindγ antud pinna puutuja β.

Joonisel fig. 211 näitab kera β puutuja koonilise pinna γ konstruktsiooni. Iga koonilise pinna γ puutuja tasapind α on pinna β puutuja.

Pinna γ projektsioonide konstrueerimiseks punktidest M" ja M" tõmbame ringidele h" ja f" puutujad - sfääri projektsioonid. Märkige puutepunktid 1 (1" ja 1"), 2 (2" ja 2"), 3 (3" ja 3") ja 4 (4" ja 4"). Ringjoone horisontaalprojektsioon – koonilise pinna ja sfääri puutejoon projitseeritakse [ 1"2"] Ellipsi punktide leidmiseks, millesse see ring projektsioonide esitasandile projitseeritakse, kasutame sfääri paralleelid.

Joonisel fig. 211 on sel viisil määratletud eesmised projektsioonid punktid E ja F (E" ja F"). Koonilise pinnaga γ konstrueerime sellele puutujatasandi α. Graafika olemus ja järjestus

Konstruktsioonid, mida selleks teha tuleb, on toodud järgmises näites.

NÄIDE 2 Koostage paraboolsete punktidega pinna β puutuja α

Nagu näites 1, käsitleme kahte lahendust: a) punkt N ∈ β; b) punkt N ∉ β

Variant a (joonis 212).

Kooniline pind tähistab pindu, millel on paraboolsed punktid (vt. joon. 207.) Koonilise pinna puutuja puudutab seda mööda sirgjoont Selle konstrueerimiseks on vaja:

1) tõmmake läbi antud punkti N generaator SN (S"N" ja S"N");

2) märgi generatriksi (SN) lõikepunkt juhikuga d: (SN) ∩ d = A;

3) puhub ka puutujale t kuni d punktis A.

Geneatriks (SA) ja seda lõikuva puutuja t määratlevad koonusepinna β puutuja tasandi α antud punktis N*.

Joonistada tasapind α, mis puutub koonilise pinnaga β ja läbib punkti N, ei kuulu

* Kuna pind β koosneb paraboolpunktidest (välja arvatud tipp S), on selle puutujatasandil α ühine mitte üks punkt N, vaid sirge (SN).

lõikamine antud pind, vajalik:

1) tõmmake läbi etteantud punkti N ja koonilise pinna β tipu S sirge a (a" ja a") ;

2) määrab selle sirge horisontaalse jälje H a;

3) tõmmake läbi H a kõvera h 0β puutujad t" 1 ja t" 2 - koonilise pinna horisontaalne jälg;

4) ühendage puutujapunktid A (A" ja A") ja B (B" ja B") koonilise pinna S (S" ja S" tipuga).

Lõikuvad sirged t 1, (AS) ja t 2, (BS) määravad kindlaks soovitud puutujatasandid α 1 ja α 2

NÄIDE 3. Koostage hüperboolsete punktidega pinna β puutuja α.

Punkt K (joon. 214) asub globoidi pinnal ( sisepind rõngad).

Puutujatasandi α asukoha määramiseks on vaja:

1) tõmmata paralleel pinnaga β h(h", h") läbi punkti K;

2) joonestada läbi punkti K" puutuja t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) meridionaallõike puutuja projektsioonide suundade määramiseks on vaja tõmmata tasapind γ läbi punkti K ja pinna telje, horisontaalprojektsioon t" 2 langeb kokku h 0γ-ga; konstrueerida puutuja t" 2 frontaalprojektsioon, teisendame esmalt tasapinna γ, pöörates seda ümber pöörlemispinna telje asendisse γ 1 || π 2. Sel juhul joondub meridionaalne läbilõige tasapinnaga γ frontaalprojektsiooni vasakpoolse kontuurikaarega - poolring g".

Punkt K (K", K"), mis kuulub meridionaalse lõigu kõverale, liigub positsiooni K 1 (K" 1, K" 1). Läbi K" 1 joonistame puutuja t" 2 1 frontaalprojektsiooni, mis on kombineeritud tasapinnaga γ 1 || π 2 asendisse ja märkige selle lõikepunkt pöörlemistelje S" 1 frontaalprojektsiooniga. Viime tasapinna γ 1 tagasi algasendisse, punkt K" 1 → K" (punkt S" 1 ≡ S") Puutuja t" 2 frontaalprojektsioon määratakse punktidega K" ja S".

Puutujad t 1 ja t 2 määravad soovitud puutujatasandi α, mis lõikub pinnaga β piki kõverat l.

NÄIDE 4. Koostage punktis K pinna β puutuja α. Punkt K asub ühelehelise pöördehüperboloidi pinnal (joonis 215).

Selle probleemi saab lahendada, järgides eelmises näites kasutatud algoritmi, kuid võttes arvesse, et ühelehelise pöörde hüperboloidi pind on reeglina pind, millel on kaks sirgjooneliste generaatorite perekonda ja igal generaatoril üks. perekond lõikub kõik teise perekonna generaatorid (vt § 32, joon. 138). Selle pinna iga punkti kaudu saab tõmmata kaks lõikuvat sirgjoont - generaatorid, mis on samaaegselt puutujad ühelehelise pöörde hüperboloidi pinnaga.

Need puutujad määravad puutujatasandi, see tähendab, et ühelehelise pöörde hüperboloidi pinna puutuja tasapind lõikub selle pinnaga piki kahte sirget g 1 ja g 2. Nende joonte projektsioonide koostamiseks piisab horisontaalne projektsioon punktid K, tõmmake puutujad t" 1 ja t" 2 horisontaaltasapinnale

ringjoone projektsioon d" 2 - ühelehelise pöördehüperboloidi pinna neelus; määrake punktid 1" ja 2, kus t" 1 ja t" 2 lõikuvad ühte ning suunapinnad d 1. Alates 1" ja 2" leiame 1" ja 2", mis koos K" määravad vajalike joonte frontaalprojektsioonid.

Pinna määratletakse punktide kogumina, mille koordinaadid vastavad teatud tüüpi võrrandid:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Kui funktsioon F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) on mingis punktis pidev ja sellel on pidevad osatuletised, millest vähemalt üks ei kao, siis selle punkti läheduses on võrrandiga (1) antud pind õiget pinda.

Lisaks eelnevale kaudne täpsustamise viis, saab pinda määratleda ilmselgelt, kui ühte muutujatest, näiteks z, saab väljendada teistega:

z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Rangemalt lihtne pind on ühikruudu sisemuse homöomorfse kaardistuse (st üks-ühele ja vastastikku pideva kaardistamise) kujutis. Sellele määratlusele võib anda analüütilise väljendi.

Olgu ruut antud tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga u ja v, mille sisepunktide koordinaadid rahuldavad võrratuse 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Näide lihtne pind on poolkera. Kogu sfäär ei ole lihtne pind. See nõuab pinna mõiste edasist üldistamist.

Ruumi alamhulk, mille igal punktil on naabruskond, mis on lihtne pind, kutsus õiget pinda .

Pind diferentsiaalgeomeetrias

Helikoid

Katenoid

Mõõdik ei määra üheselt pinna kuju. Näiteks helikoidi ja katenoidi vastavalt parameetritega mõõdikud langevad kokku, see tähendab, et nende piirkondade vahel on vastavus, mis säilitab kõik pikkused (isomeetria). Nimetatakse omadusi, mis säilivad isomeetriliste teisenduste korral sisemine geomeetria pinnad. Sisegeomeetria ei sõltu pinna asendist ruumis ega muutu ka selle painutamisel ilma pinge ja surveta (näiteks silindri painutamisel koonuseks).

Meetrilised koefitsiendid E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) määrata mitte ainult kõigi kõverate pikkused, vaid ka üldiselt kõigi pinnasiseste mõõtmiste tulemused (nurgad, pindalad, kumerus jne). Seetõttu viitab kõik, mis sõltub ainult meetrikast, sisemisest geomeetriast.

Tavaline ja tavaline lõik

Normaalvektorid pinnapunktides

Pinna üks peamisi omadusi on selle normaalne- ühikvektor, mis on antud punktis puutujatasandiga risti:

m = [ r u ′ , r v ′ ] |.

Normaali märk sõltub koordinaatide valikust.

[ r u ′ , r v ′ ] | tavaline lõik pinnad. Normaalse lõigu põhinormaal langeb kokku pinnanormaaliga (märgini).

(\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Pinna läbilõige tasapinnaga, mis sisaldab pinnanormaali antud punktis, moodustab teatud kõvera, mida nimetatakse Kui pinnal olev kõver ei ole normaalne lõik, siis moodustab selle põhinormaal pinna normaaliga teatud nurga θ (\displaystyle \theta ). Siis kumerus k (\displaystyle k) kõverusega seotud kõver

k n (\displaystyle k_(n))

normaallõik (sama puutujaga) Meunieri valemi järgi:

	Tavalised koordinaadid pinnapunktis
kaudne määramine	k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta)
selge ülesanne	Tavalise ühikvektori koordinaadid erinevate pinna määratlemise meetodite jaoks on toodud tabelis:
parameetriline spetsifikatsioon	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(() \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))

(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\)) osaline x))\parem)^(2)+\vasak((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1)))) D (y , z) D (u , v) = |.

y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = |.

Kumerus

Erinevate suundade jaoks antud pinnapunktis saadakse normaallõike erinev kõverus, mida nimetatakse normaalne kumerus; sellele omistatakse plussmärk, kui kõvera põhinormaal läheb pinna normaaliga samas suunas, või miinusmärk, kui normaalide suunad on vastupidised.

Üldiselt on pinna igas punktis kaks risti asetsevat suunda z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | Ja , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | peamine. Erandiks on juhus, kui normaalkõverus kõikides suundades on sama (näiteks sfääri lähedal või pöördeellipsoidi lõpus), siis on kõik punkti suunad põhisuunad.

Negatiivse (vasakul), nulli (keskel) ja positiivse (paremal) kumerusega pinnad.

Tavalisi kumerusi põhisuundades nimetatakse peamised kumerused(\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmaatriks)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ algus(vmaatriks)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))) Kõik tuletised võetakse punktis Ja (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))) e 1 (\displaystyle e_(1))

e 2 (\displaystyle e_(2))

, milles normaalne kõverus võtab minimaalsed ja maksimaalsed väärtused; neid suundi nimetatakse kõveruse skalaar, mis tähendab kõveruse tensori konvolutsiooni tulemust; sel juhul on kõveruse skalaar kaks korda suurem kui Gaussi kõverus.

; määrame need κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))κ 2 (\displaystyle \kappa _(2))

. Suurus:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

nimetatakse Gaussi kõveruseks, totaalseks kõveruseks või lihtsalt pinnakõveruseks. Seal on ka termin

Gaussi kõverust saab arvutada meetrika abil ja seetõttu on see pindade sisegeomeetria objekt (pange tähele, et peamised kõverused ei kuulu sisegeomeetria alla). Pinnapunkte saab klassifitseerida kõverusmärgi alusel (vt joonist). Tasapinna kõverus on null. Raadiusega R sfääri kõverus on kõikjal võrdne

1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2))))

. Seal on ka pideva negatiivse kumerusega pind -

Olgu meil pind, mis on määratletud vormi võrrandiga

Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1. Sirget nimetatakse pinna puutujaks mingil hetkel, kui see on nii

Tõestus. Vaatleme teatud sirget L pinnal (joonis 206), mis läbib pinna antud punkti P. Olgu vaadeldav kõver antud parameetriliste võrranditega

Kõvera puutuja on pinna puutuja. Selle puutuja võrranditel on vorm

Kui avaldised (2) asendada võrrandiga (1), muutub see võrrand t suhtes identiteediks, kuna kõver (2) asub pinnal (1). Eristades seda me saame

Selle vektori projektsioonid sõltuvad - punkti P koordinaatidest; Pange tähele, et kuna punkt P on tavaline, siis need projektsioonid punktis P ei kao korraga ja seetõttu

punkti P läbiva ja pinnal asetseva kõvera puutuja. Selle vektori projektsioonid arvutatakse võrrandite (2) alusel punktile P vastava parameetri t väärtuses.

Arvutame dot toode vektorid N ja mis on võrdne samanimeliste projektsioonide korrutistega:

Võrdsuse (3) põhjal on parempoolne avaldis võrdne nulliga, seega

Viimasest võrratusest järeldub, et vektor LG ja kõvera (2) puutuja vektor punktis P on risti. Ülaltoodud arutluskäik kehtib iga kõvera (2) kohta, mis läbib punkti P ja asub pinnal. Järelikult on iga pinna puutuja punktis P risti sama vektoriga N ja seetõttu asuvad kõik need puutujad samal tasapinnal, mis on risti vektoriga LG. Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 2. Tasapinda, millel asuvad kõik selle antud punkti P läbiva pinna puutujajooned, nimetatakse pinna puutujatasandiks punktis P (joonis 207).

Pange tähele, et sisse erilised punktid Pinna puutujatasandit ei pruugi olla. Sellistes punktides ei pruugi pinna puutujajooned asuda samal tasapinnal. Näiteks koonilise pinna tipp on singulaarpunkt.

Koonilise pinna puutujad selles punktis ei asu samas tasapinnas (nad ise moodustavad koonilise pinna).

Kirjutame tavapunktis pinna (1) puutujatasandi võrrandi. Kuna see tasapind on risti vektoriga (4), on selle võrrandil kuju

Kui pinna võrrand on antud kujul või puutujatasandi võrrand võtab sel juhul kuju

Kommenteeri. Kui paneme valemisse (6), võtab see valem kuju

teda parem pool esindab täielik diferentsiaal funktsioonid Seega,. Seega on kahe muutuja funktsiooni summaarne diferentsiaal punktis, mis vastab sõltumatute muutujate x ja y juurdekasvule, võrdne pinna puutujatasandi rakenduste vastava juurdekasvuga, mis on selle funktsiooni graafik.

Definitsioon 3. Pinnale puutujatasandiga risti oleva punkti (1) kaudu tõmmatud sirgjoont nimetatakse pinna normaalseks (joonis 207).