Kahemõõtmelises ruumis ristuvad kaks sirget ainult ühes punktis, mis on antud koordinaatidega (x, y). Kuna mõlemad sirged läbivad oma lõikepunkti, peavad koordinaadid (x, y) vastama mõlemale neid sirgeid kirjeldavale võrrandile. Mõnede edasijõudnute oskustega saate leida paraboolide ja muude ruutkõverate lõikepunktid.

Sammud

Kahe sirge lõikepunkt

Kirjutage üles iga rea ​​võrrand, eraldades võrrandi vasakul küljel oleva muutuja "y". Teised võrrandi liikmed tuleks asetada võrrandi paremale küljele. Võib-olla sisaldab "y" asemel teile antud võrrand muutujat f (x) või g (x); sel juhul isoleerige selline muutuja. Muutuja eraldamiseks sooritage võrrandi mõlemal poolel sobivad matemaatilised toimingud.

• Kui joonte võrrandeid teile ei anta, teile teadaoleva teabe põhjal.
• Näide. Antud sirgjooned, mida kirjeldavad võrrandid ja y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12 = -2x). Teises võrrandis tähe "y" eraldamiseks lisage võrrandi mõlemale poolele arv 12:

1. Otsite mõlema sirge lõikepunkti, st punkti, mille (x, y) koordinaadid vastavad mõlemale võrrandile. Kuna muutuja "y" on iga võrrandi vasakul küljel, saab iga võrrandi paremal küljel olevaid avaldisi võrdsustada. Kirjutage üles uus võrrand.

   • Näide. Sest y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) ja y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), siis saame kirjutada järgmise võrdsuse: .

2. Leidke muutuja "x" väärtus. Uus võrrand sisaldab ainult ühte muutujat "x". "x" leidmiseks eraldage see muutuja võrrandi vasakul küljel, tehes võrrandi mõlemal poolel vastava matemaatika. Peaksite saama võrrandi nagu x = __ (kui te seda teha ei saa, vaadake seda jaotist).

   • Näide. x + 3 = 12–2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Lisama 2x (\displaystyle 2x) võrrandi mõlemale poolele:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt 3:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Kasutage muutuja "x" leitud väärtust muutuja "y" väärtuse arvutamiseks. Selleks asendage leitud väärtus "x" võrrandis (mis tahes) sirgjoonega.

   • Näide. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Kontrolli vastust. Selleks asendage "x" väärtus mõne teise sirgjoone võrrandiga ja leidke "y" väärtus. Kui saate erinevad "y" väärtused, kontrollige, kas teie arvutused on õiged.

   • Näide: x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Teil on sama "y" väärtus, seega pole teie arvutustes vigu.

5. Kirjuta üles koordinaadid (x, y). Arvutades "x" ja "y" väärtusi, olete leidnud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Kirjutage lõikepunkti koordinaadid kujul (x, y).

   • Näide. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y=6 (\displaystyle y=6)
   • Seega ristuvad kaks sirget punktis, mille koordinaadid (3,6).

6. Arvutused erijuhtudel. Mõnel juhul ei leita muutuja "x" väärtust. Kuid see ei tähenda, et oleksite teinud vea. Erijuhtum tekib siis, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

   • Kui kaks sirget on paralleelsed, siis nad ei ristu. Sel juhul muutujat "x" lihtsalt vähendatakse ja teie võrrand muutub mõttetuks võrduseks (näiteks 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Sel juhul kirjuta oma vastusesse, et sirged ei ristu või lahendus puudub.
   • Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad ühte sirget, siis on ristumispunkte lõpmatu arv. Sel juhul muutujat "x" lihtsalt vähendatakse ja teie võrrand muutub rangeks võrdsuseks (näiteks 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Sel juhul kirjutage oma vastusesse, et need kaks rida langevad kokku.

   Probleemid ruutfunktsioonidega

   1. Ruutfunktsiooni definitsioon. Ruutfunktsioonis on ühel või mitmel muutujal teine ​​aste (kuid mitte kõrgem), näiteks x 2 (\displaystyle x^(2)) või y 2 (\displaystyle y^(2)). Ruutfunktsioonide graafikud on kõverad, mis ei tohi ristuda või ristuda ühes või kahes punktis. Selles jaotises räägime teile, kuidas leida ruutkõverate lõikepunkti või -punkte.

   2. Kirjutage iga võrrand ümber, eraldades võrrandi vasakul küljel oleva muutuja "y". Teised võrrandi liikmed tuleks asetada võrrandi paremale küljele.

      • Näide. Leidke graafikute lõikepunkt(id). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) ja
      • Eraldage võrrandi vasakul küljel muutuja "y":
      • ja y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Selles näites on teile antud üks ruutfunktsioon ja üks lineaarfunktsioon. Pidage meeles, et kui teile antakse kaks ruutfunktsiooni, on arvutused samad, mis alltoodud sammudes.

   3. Võrdsusta iga võrrandi paremal küljel olevad avaldised. Kuna muutuja "y" on iga võrrandi vasakul küljel, saab iga võrrandi paremal küljel olevaid avaldisi võrdsustada.

      • Näide. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) ja y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Viige saadud võrrandi kõik liikmed selle vasakule küljele ja kirjutage paremale küljele 0. Selleks tehke põhilised matemaatilised tehted. See võimaldab teil saadud võrrandi lahendada.

      • Näide. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Lahutage võrrandi mõlemast küljest "x":
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Lahutage võrrandi mõlemast küljest 7:

   5. Lahenda ruutvõrrand. Kui kannate kõik võrrandi liikmed selle vasakule küljele, saate ruutvõrrandi. Seda saab lahendada kolmel viisil: kasutades spetsiaalset valemit ja.

      • Näide. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Võrrandi faktoriseerimisel saad kaks binoomväärtust, mille korrutamisel saadakse algne võrrand. Meie näites esimene liige x 2 (\displaystyle x^(2)) saab lagundada x*x-ks. Sisestage järgmine kirje: (x) (x) = 0
      • Meie näites saab lõikepunkti -6 arvestada järgmiselt: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Meie näites on teine ​​liige x (või 1x). Lisage iga lõiketegurite paar (meie näites -6), kuni saate 1. Meie näites on õige lõiketegurite paar -2 ja 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), sest − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Täida lüngad leitud numbripaariga: .

   6. Ärge unustage kahe graafiku teist lõikepunkti. Kui lahendate probleemi kiiresti ja mitte eriti hoolikalt, võite teise ristumispunkti unustada. Kahe ristumispunkti x-koordinaadid leiate järgmiselt.

      • Näide (faktoring). Kui võrrandis (x - 2) (x + 3) = 0 (\kuvastiil (x-2) (x+3) = 0)üks sulgudes olevatest avaldistest võrdub 0-ga, siis võrdub kogu võrrand 0-ga. Seetõttu võime selle kirjutada järgmiselt: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ja x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (see tähendab, et leidsite võrrandi kaks juurt).
      • Näide (kasutage valemit või täielikku ruutu). Kui kasutate ühte neist meetoditest, kuvatakse lahendusprotsessis ruutjuur. Näiteks meie näite võrrand saab sellise kuju x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pidage meeles, et ruutjuure võtmisel saate kaks lahendust. Meie puhul: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), ja 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Seega kirjutage üles kaks võrrandit ja leidke kaks x väärtust.

   7. Graafikud lõikuvad ühes punktis või ei ristu üldse. Sellised olukorrad tekivad siis, kui on täidetud järgmised tingimused:

      • Kui graafikud ristuvad ühes punktis, jagatakse ruutvõrrand võrdseteks teguriteks, näiteks (x-1) (x-1) = 0 ja ruutjuur 0-st ilmub valemis ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Sel juhul on võrrandil ainult üks lahendus.
      • Kui graafikud üldse ei ristu, siis võrrand ei faktoriseerita ja valemis ilmub negatiivse arvu ruutjuur (näiteks − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Sel juhul kirjuta vastusesse, et lahendust pole.

Mõne geomeetriaülesande lahendamisel koordinaatmeetodil on vaja leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb tasapinnal otsida kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid vahel tuleb ka vaja määrata kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Seega on üldvõrranditega tasapinnal määratletud kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks vaja lahendada antud sirgete võrranditest koosnev süsteem.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leidke ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnas võrranditega x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0 defineeritud kahe sirge lõikepunkt.

Lahendus.

Meile antakse kaks üldist joonvõrrandit, millest me koostame süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendused on kergesti leitavad, kui selle esimene võrrand on lahendatud muutuja x suhtes ja see avaldis asendatakse teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

Vastus:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Niisiis, kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine, mis on määratletud tasapinna üldvõrranditega, taandatakse kahe tundmatu muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirgjoone võrrandi tüüpe)? Sellistel juhtudel saate kõigepealt viia sirge võrrandid üldkujule ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

ja .

Lahendus.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist viime nende võrrandid üldkujule. Üleminek parameetrilistest võrranditest sirgele selle sirge üldvõrrandi jaoks on järgmine:

Nüüd teostame vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormi võrrandisüsteemi lahendiks . Selle lahendamiseks kasutame:

Vastus:

M 0 (-5, 1)

Tasapinnal on kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks veel üks võimalus. Seda on mugav kasutada, kui üks ridadest on antud vormi parameetriliste võrranditega , ja teine ​​- erineva kujuga sirgjoone võrrand. Sel juhul saab muutujate x ja y asemel asendada avaldised mõnes teises võrrandis ja , millest on võimalik saada väärtus, mis vastab antud sirgete lõikepunktile. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid .

Leiame sel viisil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

Määrake sirgete lõikepunkti koordinaadid ja .

Lahendus.

Asendage otseavaldise võrrandis:

Lahendades saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades sirge parameetriliste võrranditega:
.

Vastus:

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged tõesti lõikuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Muidugi saate ilma sellise kontrollita hakkama ja koostada kohe vormi võrrandisüsteemi ja lahenda see. Kui võrrandisüsteemil on unikaalne lahend, siis annab see algsirgete ristumispunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis saame järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna ei ole olemas sellist reaalarvude x ja y paari, mis rahuldaks üheaegselt antud sirgete mõlemat võrrandit). Võrrandisüsteemi lõpmatu hulga lahendite olemasolust järeldub, et algsel sirgel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame nende olukordade jaoks sobivaid näiteid.

Näide.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad ning kui ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Lahendus.

Antud sirge võrrandid vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi .

On ilmne, et süsteemi võrrandid on üksteise kaudu lineaarselt väljendatud (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4-ga), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid ja sama sirge ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Vastus:

Võrrandid ja määravad sama sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Näide.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid ja , kui võimalik.

Lahendus.

Probleemi seisukord tunnistab, et jooned ei pruugi ristuda. Koostame nendest võrranditest süsteemi. Kohaldatav selle lahenduse jaoks, kuna see võimaldab teil tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebakõla ja kui see on ühilduv, siis leida lahendus:

Süsteemi viimane võrrand pärast Gaussi meetodi otsest kulgu muutus valeks võrrandiks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendeid. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged lõikuvad.

- tavaline joonvektor , ja vektor on sirge normaalne vektor . Kontrollime täitmist ja : võrdsus on tõsi, kuna , järelikult on antud joonte normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need jooned paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsirgete lõikepunkti koordinaate.

Vastus:

Antud sirgete lõikepunkti koordinaate on võimatu leida, kuna need sirged on paralleelsed.

Näide.

Leia sirgete 2x-1=0 lõikepunkti koordinaadid ja kui need ristuvad.

Lahendus.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist , seega on võrrandisüsteemil unikaalne lahendus, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid, st 2x-1 = 0 ja .

Vastus:

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Sarnaselt leitakse ka kahe sirge lõikepunkti koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis.

Vaatleme näiteid.

Näide.

Leia võrranditega ruumis antud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid ja .

Lahendus.

Koostame antud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate joonte lõikepunkti soovitud koordinaadid. Leiame kirjaliku võrrandisüsteemi lahenduse.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm , ja laiendatud .

Defineerime A ja maatriksi auaste T . Me kasutame

X-telje lõikepunktid peavad lahendama võrrandi y₁=y2, st k₁x+b₁=k₂x+b2.

Teisenda see võrratus, et saada k₁x-k₂x=b2-b1. Nüüd väljendage x: x=(b2-b1)/(k1-k2). Nii leiate graafikute lõikepunkti, mis asub piki OX-telge. Leia y-teljel lõikepunkt. Lihtsalt asendage mis tahes funktsioonis x väärtus, mille leidsite varem.

Eelmine valik sobib diagrammide jaoks. Kui funktsioon on , järgige järgmisi juhiseid. Samamoodi nagu lineaarfunktsiooni puhul, leidke x väärtus. Selleks lahendage ruutvõrrand. Võrrandist 2x² + 2x - 4=0 leia (võrrand on toodud näitena). Selleks kasutage valemit: D= b² - 4ac, kus b on väärtus enne X ja c on arvväärtus.

Arvväärtuste asendamisel saadakse avaldis nagu D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Võrrandid sõltuvad diskriminandi väärtusest. Nüüd lisage või lahutage (kordatult) saadud diskriminandi juur muutuja b väärtusele märgiga "-" ja jagage koefitsiendi a kahekordse korrutisega. Nii leiate võrrandi juured, st ristumispunktide koordinaadid.

Funktsioonigraafikutel on omadus: OX-telg lõikub kaks korda, see tähendab, et leiate x-telje kaks koordinaati. Kui saate perioodilise X versus Y väärtuse, siis teadke, et graafik lõikub lõpmatu arvu punktidega x-teljega. Kontrollige, kas olete ristumispunktid leidnud. Selleks asendage X väärtused võrrandiga f(x)=0.

Allikad:

• Sirgete lõikepunktide leidmine

Kui tead a väärtust, siis võid öelda, et oled ruutvõrrandi lahendanud, sest selle juured leitakse väga lihtsalt.

Sa vajad

• -ruutvõrrandi diskriminandi valem;
• -Korrutustabeli tundmine

Juhend

Seotud videod

Kasulikud nõuanded

Ruutvõrrandi diskriminant võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

Allikad:

• Ruutvõrrandite lahendamine
• diskrimineeriv on ühtlane

Vihje 3: kuidas leida funktsioonigraafiku lõikepunktide koordinaate

Funktsiooni y \u003d f (x) graafik on tasandi kõigi punktide kogum, koordinaadid x, mille puhul need vastavad seosele y \u003d f (x). Funktsioonigraafik illustreerib visuaalselt funktsiooni käitumist ja omadusi. Graafiku koostamiseks valitakse tavaliselt mitu argumendi x väärtust ja arvutatakse nende jaoks funktsiooni y=f(x) vastavad väärtused. Graafiku täpsemaks ja visuaalsemaks koostamiseks on kasulik leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Juhend

X-telje (X-telje) ületamisel on funktsiooni väärtus 0, s.o. y=f(x)=0. x arvutamiseks tuleb lahendada võrrand f(x)=0. Funktsiooni puhul saame võrrandi ax+b=0 ja leiame x=-b/a.

Seega lõikub X-telg punktis (-b/a,0).

Keerulisematel juhtudel, näiteks y ruutsõltuvuse korral x-st, on võrrandil f (x) \u003d 0 kaks juurt, seetõttu lõikub x-telg kaks korda. Kui y sõltub x-st, näiteks y=sin(x), on lõpmatu arv lõikepunkte x-teljega.

Funktsiooni graafiku ja X-telje lõikepunktide koordinaatide leidmise õigsuse kontrollimiseks on vaja asendada leitud väärtused x f (x). Mis tahes arvutatud x-i avaldise väärtus peab olema võrdne 0-ga.

Juhend

Esiteks on vaja arutada ülesande lahendamiseks sobiva koordinaatsüsteemi valikut. Tavaliselt asetatakse seda tüüpi ülesannete puhul üks kolmnurkadest 0X teljele nii, et üks punkt langeb kokku lähtepunktiga. Seetõttu ei tohiks te kalduda kõrvale üldtunnustatud otsuse kaanonitest ja teha sama (vt joonis 1). Kolmnurga ise määramise meetod ei mängi olulist rolli, kuna saate alati liikuda ühelt neist (mida näete hiljem).

Olgu soovitud kolmnurk antud selle külgede AC ja AB kahe vektoriga vastavalt a(x1, y1) ja b(x2, y2). Veelgi enam, konstruktsiooni järgi y1=0. BC kolmas külg vastab sellele joonisele c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2). Punkt A asetatakse koordinaatide alguspunkti, see tähendab selle koordinaadid A(0, 0). Seda on ka lihtne näha koordinaadid B (x2, y2), a C (x1, 0). Sellest võime järeldada, et kolmnurga määratlus kahe vektori järgi langes automaatselt kokku selle definitsiooniga kolme punkti võrra.

Järgmisena peaksite lõpetama soovitud kolmnurga selle suurusele vastava rööpkülikuga ABDC. Pealegi, et hetkel ristmikud rööpküliku diagonaalid, on need jagatud nii, et AQ on kolmnurga ABC mediaan, laskub punktist A küljele BC. Diagonaalvektor s sisaldab seda ja on rööpkülikureegli järgi a ja b geomeetriline summa. Siis s = a + b ja selle koordinaadid s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinaadid on samuti punktis D(x1+x2, y2).

Nüüd saate jätkata sirgjoone võrrandi koostamist, mis sisaldab s-i, mediaani AQ ja mis kõige tähtsam, soovitud punkti ristmikud mediaan H. Kuna vektor s ise on selle sirge juhis ja teada on ka tema juurde kuuluv punkt A (0, 0), siis kõige lihtsam on kasutada tasapinnalise sirge võrrandit kanoonilisel kujul: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Siin (x0, y0) koordinaadid sirge suvaline punkt (punkt А(0, 0)) ja (m, n) – koordinaadid s (vektor (x1+x2, y2). Nii näeb soovitud rida l1 välja selline: x/(x1+x2)=y/ y2.

Selle leidmise viis on ristmikul. Seetõttu tuleks leida veel üks sirgjoon, mis sisaldab nn. 1 teise rööpküliku АPBC konstruktsioon, mille diagonaal g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sisaldab teist mediaani CW, langetatud C-st küljele AB. See diagonaal sisaldab punkti C(x1, 0), koordinaadid mis mängib rolli (x0, y0) ja suunavektor on siin g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Siit l2 saadakse võrrandiga: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaatide leidmiseks tuleb mõlemad funktsioonid üksteisega võrdsustada, kõik $ x $ sisaldavad terminid nihutada vasakule ja ülejäänud paremale poole ning leida saadud tulemuse juured. võrrand.
2. Teine võimalus on koostada võrrandisüsteem ja lahendada see, asendades ühe funktsiooni teisega
3. Kolmas meetod hõlmab funktsioonide graafilist konstrueerimist ja ristumispunkti visuaalset määratlemist.

Kahe lineaarfunktsiooni juhtum

Vaatleme kahte lineaarset funktsiooni $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ja $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Neid funktsioone nimetatakse otsesteks. Nende loomine on piisavalt lihtne, peate lihtsalt võtma kaks väärtust $x_1$ ja $x_2$ ning leidma $f(x_1)$ ja $(x_2)$. Seejärel korrake sama funktsiooniga $ g(x) $. Järgmiseks leidke visuaalselt funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaat.

Peaksite teadma, et lineaarsetel funktsioonidel on ainult üks lõikepunkt ja ainult siis, kui $ k_1 \neq k_2 $. Vastasel juhul on $ k_1=k_2 $ korral funktsioonid üksteisega paralleelsed, kuna $ k $ on kaldetegur. Kui $ k_1 \neq k_2 $, aga $ m_1=m_2 $, siis on lõikepunktiks $ M(0;m) $. Kiirendatud probleemide lahendamiseks on soovitav seda reeglit meeles pidada.

Näide 1

Olgu $ f(x) = 2x-5 $ ja $ g(x)=x+3 $ antud. Leia funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaadid.

Lahendus

Kuidas seda teha? Kuna on esitatud kaks lineaarset funktsiooni, siis esimese asjana vaatame mõlema funktsiooni $ k_1 = 2 $ ja $ k_2 = 1 $ kalde koefitsienti. Pange tähele, et $ k_1 \neq k_2 $, seega on üks lõikepunkt. Leiame selle võrrandi $ f(x)=g(x) $ abil: $$ 2x-5 = x+3 $$ Liigume terminid $ x $ juurest vasakule ja ülejäänud paremale: $$ 2x - x = 3+5 $$ Saime $ x=8 $ graafikute lõikepunkti abstsissi ja nüüd leiame ordinaat. Selleks asendame $ x = 8 $ mis tahes võrrandis kas $ f(x) $ või $ g(x) $ võrrandis: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Niisiis, $ M (8;11) $ - on kahe lineaarfunktsiooni graafikute lõikepunkt. Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate end kurssi viia arvutamise käiguga ja koguda teavet. See aitab teil õigeaegselt õpetajalt ainepunkti saada!

Vastus

$$ M (8;11) $$

Kahe mittelineaarse funktsiooni juhtum

Näide 3

Leia funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaadid: $ f(x)=x^2-2x+1 $ ja $ g(x)=x^2+1 $

Lahendus

Kuidas on lood kahe mittelineaarse funktsiooniga? Algoritm on lihtne: võrdsustame võrrandid üksteisega ja leiame juured: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Jaotame tingimused võrrandi eri külgedele $ x $ ja ilma selleta: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Soovitud punkti abstsiss leiti, kuid sellest ei piisa. Ordinaat $ y $ on endiselt puudu. Asendage $ x = 0 $ mis tahes kahes ülesandelause võrrandis. Näiteks: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - funktsioonigraafikute lõikepunkt

Vastus

$$ M (0;1) $$

Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Jätkame geomeetriliste algoritmidega tutvumist. Viimases tunnis leidsime kahe punkti koordinaatidest sirge võrrandi. Meil on järgmise vormi võrrand:

Täna kirjutame funktsiooni, mis kahe sirge võrrandi abil leiab nende lõikepunkti koordinaadid (kui neid on). Reaalarvude võrdsuse kontrollimiseks kasutame spetsiaalset funktsiooni RealEq().

Tasapinna punkte kirjeldatakse reaalarvude paariga. Reaaltüübi kasutamisel on parem korraldada võrdlustoimingud erifunktsioonidega.

Põhjus on teada: Pascali programmeerimissüsteemis puudub Real tüübil järjestusseos, mistõttu on parem mitte kasutada kirjeid kujul a = b, kus a ja b on reaalarvud.
Täna tutvustame funktsiooni RealEq(), et rakendada operatsiooni “=” (rangelt võrdne):

Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Ülesanne. Antud on kahe sirge võrrandid: ja . Leidke nende ristumispunkt.

Lahendus. Ilmselge lahendus on lahendada joonte võrrandisüsteem: Kirjutame selle süsteemi veidi teistmoodi ümber:
(1)

Tutvustame tähistust: , , . Siin on D süsteemi determinant ja need on determinandid, mis saadakse vastava tundmatu koefitsientide veeru asendamisel vabade liikmete veeruga. Kui , siis süsteem (1) on kindel, st tal on unikaalne lahendus. Selle lahenduse saab leida järgmiste valemitega: , , mida nimetatakse Crameri valemid. Lubage mul teile meelde tuletada, kuidas arvutatakse teist järku determinant. Determinant eristab kahte diagonaali: peamist ja sekundaarset. Põhidiagonaal koosneb elementidest, mis on võetud determinandi ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka. Külgdiagonaal - ülevalt paremalt alla vasakusse. Teist järku determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega, millest on lahutatud sekundaarse diagonaali elementide korrutis.

Kood kasutab võrdsuse kontrollimiseks funktsiooni RealEq(). Arvutused reaalarvude üle tehakse täpsusega kuni _Eps=1e-7.

Programm geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(arvutuse täpsus) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Reaalne; Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Oleme koostanud programmi, mille abil saate sirgete võrrandeid teades leida nende lõikepunkti koordinaadid.