Kako odrediti prijelomnu točku funkcije kroz ograničenje. Prijelomne točke funkcije i njihove vrste

Ako je funkcija f(x) nije kontinuirano u točki x = a, onda to kažu f(x) Ima jaz u ovom trenutku. Slika 1 shematski prikazuje grafove četiri funkcije, od kojih su dvije kontinuirane na x = a, a dva imaju razmak.

Kontinuirano u x = a.		Ima pauzu u x = a.
Kontinuirano u x = a.		Ima pauzu u x = a.
Slika 1.

Klasifikacija prijelomnih točaka funkcije

Sve točke prekida funkcije podijeljene su na točke diskontinuiteta prve i druge vrste .

Kažu da je funkcija f(x) Ima prijelomna točka prve vrste na x = a, ako u ovom trenutku

U ovom slučaju moguća su sljedeća dva slučaja:

Funkcija f(x) Ima prijelomna točka druge vrste na x = a, ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti.

Primjer 3.13 Razmotrite funkciju (Heaviside funkcija) na segmentu. Tada je kontinuirano na segmentu (unatoč činjenici da ima diskontinuitet prve vrste u točki).

Slika 3.15 Grafikon funkcije Heaviside

Slična se definicija također može dati za poluintervale vida i uključujući slučajeve. Međutim, ova se definicija može generalizirati na slučaj proizvoljnog podskupa kako slijedi. Najprije uvedemo pojam inducirane baze: neka je baza čiji svi završeci imaju neprazna sjecišta s. Označimo s i razmotrimo skup svih. Tada je lako provjeriti je li skup bit će baza. Dakle, za baze, i su definirane, gdje su i baze neprobušenih dvostranih (odnosno lijevo, desno) susjedstva točke (vidi njihovu definiciju na početku ovog poglavlja).

Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu.

Svojstvo 1: (Prvi Weierstrassov teorem (Weierstrass Karl (1815-1897) - njemački matematičar)). Funkcija koja je kontinuirana na intervalu ograničena je na taj interval, t.j. na segmentu [ a , b ] stanje - M £ f (x ) £ M .

Dokaz ovog svojstva temelji se na činjenici da je funkcija koja je kontinuirana u točki x 0 ograničena u nekom svom susjedstvu, a ako podijelimo segment [ a , b ] u beskonačan broj segmenata koji se "skupljaju" u točku x 0 , tada se formira neko susjedstvo točke x 0.

Svojstvo 2: Funkcija kontinuirana na segmentu [ a , b ], preuzima najveću i najmanju vrijednost.

Oni. postoje vrijednosti x1 i x2 takve da f (x 1) = m, f (x 2) \u003d M, štoviše

m £ f (x ) £ M

Napominjemo ove maksimalne i minimalne vrijednosti koje funkcija može poprimiti na segmentu i nekoliko puta (na primjer - f(x) \u003d sinx).

Razlika između najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu naziva se oklijevanje funkcije na segmentu.

Svojstvo 3: (Drugi Bolzano-Cauchyjev teorem). Funkcija kontinuirana na segmentu [ a , b ], preuzima na ovom segmentu sve vrijednosti između dvije proizvoljne vrijednosti.

Svojstvo 4: Ako je funkcija f(x ) je kontinuirana u točki x = x 0 , tada postoji neka okolina točke x 0 u kojoj funkcija zadržava svoj predznak.

Svojstvo 5: (Prvi Bolzanov teorem (1781-1848) - Cauchy). Ako je funkcija f(x ) kontinuirano je na intervalu [ a , b ] i ima suprotne predznake na krajevima segmenta, tada unutar ovog segmenta postoji točka gdje f(x) = 0.

T . e . ako znak (f(a))¹ znak(f(b)), zatim $ x 0 : f(x 0) = 0.

Definicija. Funkcija f(x ) Zove se jednoliko kontinuirano na segmentu [ a , b ], ako postoji e >0 postoji D >0 tako da je za bilo koje točke x 1 O [ a , b ] i x 2 O [ a , b ] tako da

ï x 2 - x 1 ï< D

istinska nejednakostï f (x 2 ) - f (x 1 ) ï< e

Razlika između jednolikog kontinuiteta i "običnog" kontinuiteta je u tome što za bilo koji e ima svoj D , što ne ovisi o x, već o “uobičajenom” kontinuitetu D ovisi o e i x.

Svojstvo 6: Kantorov teorem (Kantor Georg (1845-1918) - njemački matematičar). Funkcija koja je neprekidna na segmentu jednoliko je neprekidna na njemu.

(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente, ne za intervale i poluintervale.)

Primjer .

Kontinuitet funkcije u točki. Funkcija y = f(x ) naziva se nepre-

diskontinuirano u točki x 0 ako:

1) ova je funkcija definirana u nekom susjedstvu točke x 0 ;

2) postoji granica lim f(x);

→ x0

3) ova granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x 0 , tj. limf (x )= f (x 0 ) .
		x → x0
Posljednji uvjet je ekvivalentan uvjetu lim		y = 0, gdje je x = x - x 0 - at-
	x → 0
rotacija argumenta, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) je prirast funkcije koja odgovara
povećanje argumenta	x , tj. funkcija	f (x ) je kontinuiran u točki x 0

ako i samo ako u ovoj točki beskonačno mali prirast argumenta odgovara beskonačno malom prirastu funkcije.

Jednostrani kontinuitet. Funkcija y \u003d f (x) naziva se kontinuirana

lijevo u točki x 0 ako je definirana na nekom poluintervalu (a ;x 0 ]

i lim f (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 − 0

Funkcija y \u003d f (x) naziva se desno-kontinuiranom u točki x 0 ako je op-

definiran na nekom poluintervalu [ x 0 ;a ) i limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

Funkcija y = f(x)		kontinuirano na x 0			ako i samo ako ona
stalan
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x → x0

Kontinuitet funkcije na skupu. Poziva se funkcija y = f(x).

kontinuirano na setu X ako je kontinuiran u svakoj točki x ovog skupa. Štoviše, ako je funkcija definirana na kraju određenog intervala numeričke osi, tada se kontinuitet u ovoj točki shvaća kao kontinuitet s desne ili lijeve strane. Konkretno, funkcija y = f (x) naziva se ne-

diskontinuirano na segmentu [ a; b] ako je

1) kontinuirano u svakoj točki intervala(a; b);

2) kontinuirano s desne strane u točki a;

3) lijevo kontinuirano u točki b.

Točke prekida funkcije. Točka x 0 koja pripada području definicije funkcije y = f (x) , ili je granična točka ove domene, naziva se

prijelomna točka ove funkcije, ako f(x) nije kontinuirano u toj točki.

Prijelomne točke se dijele na prijelomne točke prve i druge vrste:

1) Ako postoje konačne granice lim f (x )= f (x 0 − 0) i

x→ x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0) , a ne sva tri broja f (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) ,		f (x 0 ) su jednaki
x→ x0 + 0
jedno drugom, zatim x 0		naziva se točka diskontinuiteta prve vrste.
	Konkretno, ako su lijeva i desna granica funkcije u točki x 0		jednaki su između
	sebe, ali	nisu jednake vrijednosti funkcije u toj točki:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , tada se x 0 naziva točkom diskontinuiteta.

U ovom slučaju, postavljanjem f (x 0 )= A , možemo modificirati funkciju u točki x 0

tako da postaje kontinuirano redefinirati funkciju kontinuitetom). Razlika f (x 0 + 0) − f (x 0 − 0) naziva se funkcija skok u točki x 0 .

Skok funkcije u točki uklonjivog diskontinuiteta jednak je nuli.

2) Točke diskontinuiteta koje nisu točke diskontinuiteta prve vrste nazivaju se točke diskontinuiteta druge vrste. U točkama diskontinuiteta druge vrste, barem jedna od jednostranih granica f (x 0 − 0) i f (x 0 + 0) ne postoji ili je beskonačna.

Svojstva funkcija kontinuiranih u točki.

		f(x)	i g (x) su kontinuirani u točki x 0 , tada su funkcije
f (x) ± g (x),	f(x)g(x) i	f(x)	(gdje su g(x)≠ 0) također kontinuirani na x.
		g(x)

2) Ako je funkcija u (x) kontinuirana u točki x 0, a funkcija f (u) je kontinuirana

u točki u 0 = u (x 0 ) , tada je kompleksna funkcija f (u (x )) kontinuirana u točki x 0 .

3) Sve osnovne elementarne funkcije ( c , x a , a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) kontinuirane su u svakoj

do točke njihovih domena definicije.

Iz svojstava 1)–3) proizlazi da su sve elementarne funkcije (funkcije dobivene iz osnovnih elementarnih funkcija uz pomoć konačnog broja aritmetičkih operacija i operacije sastava) također kontinuirane u svakoj točki svog područja definicije.

Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu.

1) (teorem o međuvrijednostima) Neka je definirana funkcija f(x).

na i kontinuirano na intervalu [a; b]. Zatim za bilo koji broj C priložen

između brojeva f (a) i f (b) , (f (a)< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Bolzano–Cauchyjev teorem

diskontinuiran na segmentu [a;b] i na svojim krajevima poprima vrijednosti različitih predznaka.

Tada postoji barem jedna točka x 0 [ a ; b ] takva da je f (x 0 )= 0 .

3) (1 Weierstrassov teorem) Neka je funkcija f (x) definirana i nepromjenjiva

diskontinuirano na segmentu [a; b]. Tada je ova funkcija ograničena na ovaj interval.

4) (2 Weierstrassov teorem) Neka je funkcija f (x) definirana i nepromjenjiva

rastrgan u segmentu		[a; b] Tada ova funkcija doseže segment [a; b]
najveći		najmanje	vrijednosti, tj.	postojati
x1, x2 [a; b] ,		za bilo koje	točke x [ a ; b ]	pravedan	nejednakosti

f (x 1)≤ f (x)≤ f (x2) .

Primjer 5.17. Koristeći definiciju kontinuiteta, dokazati da je funkcija y = 3x 2 + 2x − 5 kontinuirana u proizvoljnoj točki x 0 na realnoj osi.

Rješenje: 1 način: Neka je x 0 proizvoljna točka na realnoj osi. Vas-

prvo izračunamo granicu funkcije f (x) kao x → x 0, primjenjujući teoreme o granici zbroja i umnoška funkcija:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x → x0	x → x0	x → x0	x → x0
Zatim izračunamo vrijednost funkcije u točki x :f (x)= 3x 2							− 5 .
Uspoređujući dobivene rezultate, vidimo				lim f (x)= f (x 0 ) , što prema
				x → x0

definicija i znači kontinuitet razmatrane funkcije u točki x 0 .

Metoda 2: Neka		x je prirast argumenta u točki x 0 . Nađimo odgovarajuće
relevantan	prirast			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x )2 .
Izračunajmo sada granicu prirasta funkcije, kada je inkrement argumenta
		traži

	y=lim(6x+2)		x + (x)2 = (6x + 2)lim		x + (limx )2 = 0 .
x → 0	x → 0			x → 0	x → 0

Dakle, lim y = 0 , što znači, po definiciji, kontinuitet

x → 0

funkcije za bilo koji x 0 R .

Primjer 5.18. Pronađite prijelomne točke funkcije f (x) i odredite njihov rod. NA

u slučaju razrješivog diskontinuiteta, proširiti funkciju kontinuitetom:

1) f (x) = 1 − x 2 za x< 3;

5x za x ≥ 3

2) f (x) \u003d x 2 + 4 x + 3;

x+1

	f(x)=
		x4 (x − 2)
	f(x)= arctg
			(x − 5)

Rješenje: 1) Domena ove funkcije je cijeli broj

lijeva os (−∞ ;+∞) . Na intervalima (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) funkcija je kontinuirana. Jaz je moguć samo u točki x = 3 , u kojoj se mijenja analitička definicija funkcije.

Pronađite jednostrane granice funkcije u navedenoj točki:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x→3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Vidimo da su lijeva i desna granica konačne, pa je x = 3
jaz I			f(x) . Uskočite u funkciju
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , dakle u točki		x=3

f (x ) je desno kontinuirano.

2) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj osi, osim na točki x = − 1, gdje nije definirano. Transformiramo izraz za f (x) proširenjem brojnika

razlomci u množitelje:		f(x)=			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	X + 3 za x ≠ − 1.
					x+1			x+1
Nađimo jednostrane granice funkcije u točki x = − 1:
	f(x)= lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x→−1−0	x →−1 +0		x→−1

Doznali smo da lijeva i desna granica funkcije u točki koja se proučava postoje, konačne su i jedna drugoj jednake, stoga je x = − 1

pravac y = x + 3 s “izbušenom” točkom M (− 1;2) . Da bi funkcija postala konstantna

diskontinuirano, moramo staviti f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .

Dakle, produživši f (x ) kontinuitetom u točki x = − 1, dobili smo funkciju f * (x )= x + 3 s domenom (−∞ ;+∞ ) .

3) Ova je funkcija definirana i kontinuirana za sve x , osim točaka

x = 0 ,x = 2 , u kojem nazivnik razlomka nestaje.

Razmotrimo točku x = 0:

Budući da u dovoljno malom susjedstvu nule, funkcija zauzima samo

	su negativne vrijednosti, tada je f (− 0)= lim			= −∞ = f(+0)	Oni. točka
			(x − 2)
	x → −0
	x = 0 je točka diskontinuiteta druge vrste funkcije		f(x) .

Razmotrimo sada točku x = 2:

Funkcija uzima negativne vrijednosti blizu lijevo od razmatrane

	danu točku i pozitivne na desnoj strani, dakle				f(2−0)=			= −∞,
							x4 (x − 2)
						x →2 −0
	f(2+0)=lim			= +∞ . Kao iu prethodnom slučaju, u točki x = 2
			(x − 2)
	x →2 +0

cija nema ni lijeve ni desne konačne granice, t.j. u ovom trenutku trpi diskontinuitet druge vrste.

x = 5 .

f (5− 0)= lim arctg

π ,f (5+ 0)= lim arctg

x=5

(x − 5)

(x − 5)

x→5 −0

x →5 +0

ka jaz

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (vidi sliku 5.2).

Zadaci za samostalno rješavanje

5.174. Koristeći samo definiciju, dokazati kontinuitet funkcije f ( x ) in

svaka točka x 0 R :

a) f(x) = c= const;		b) f (x) \u003d x;
c) f (x) \u003d x 3;		d) f(x)= 5x 2 − 4x + 1;
e) f (x) \u003d sinx.
5.175. Dokažite da je funkcija	f (x) = x 2	1 za x ≥ 0,	je kontinuirano
		1 na x< 0
cijeli brojevni pravac. Nacrtajte ovu funkciju.
5.176. Dokažite da je funkcija	f (x) = x 2	1 za x ≥ 0,	nije kontinuirano
		0 na x< 0

u točki x = 0 , ali je u toj točki desno kontinuirano. Nacrtajte funkciju f (x ) .

diskontinuirano u točki x =

Ali ostaje kontinuirano u ovom trenutku. Izgradi grafikon

funkcije f(x) .

5.178. Funkcije zapleta

a) y =

x+1

b) y= x+

x+1

x+1

x+1

Koji su od uvjeta kontinuiteta u točkama diskontinuiteta ovih funkcija zadovoljeni, a koji nisu?

5.179. Navedite točku prekida funkcije

grijeh x		Za x ≠ 0
		za x = 0

Koji su od uvjeta kontinuiteta u ovom trenutku ispunjeni, a koji nisu?

4.1. Osnovne teorijske informacije

Definicija. Funkcija y=f(x) naziva se kontinuirano u točki x 0 , ako je ova funkcija definirana u nekom susjedstvu točke x 0 i ako

odnosno beskonačno mali prirast argumenta u susjedstvu točke x 0 odgovara beskonačno malom prirastu funkcije .

Definicija. Funkcija y=f(x) kontinuirano je u točki x 0 , ako je definirana u nekom susjedstvu ove točke i ako granica funkcije kao nezavisne varijable teži x do x 0 postoji i jednaka je vrijednosti funkcije na x=x 0 , tj

Definicija. Neka bude x→ x 0 , ostajući cijelo vrijeme lijevo od x 0 . Ako pod ovim uvjetom f(x) teži granici, tada se zove lijeva granica funkcije f(x) u točki x 0 , tj

Desna granica definirana je slično

Definicija. Funkcija je kontinuirana u točki x 0 ako:

funkcija definirana u točki x 0 ;

postoje lijeva i desna granica funkcije f(x) na x→ x 0 ;

sva tri broja (X 0 ), f(x 0 –0), f(x 0 +0) podudaranje, tj.

Definicija. Funkcija se naziva kontinuiranom na intervalu ako je kontinuirana u svakoj točki tog intervala.

Teorema . Ako dvije funkcije f(x) i g(x) definirani su u istom

interval i oba su kontinuirana u točki x 0 , zatim u istoj točki funkcije

Teorema. Složena funkcija koja se sastoji od konačnog broja kontinuiranih funkcija je kontinuirana.

Sve osnovne elementarne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije .

Definicija. Ako u bilo kojem trenutku x 0 funkcija nije kontinuirana, onda točka x 0 naziva se točka diskontinuiteta funkcije, a sama funkcija je u ovoj točki diskontinuirana .

Definicija. Ako u točki x 0 postoji konačan lim f(x)= A

(lijeva i desna granica postoje, konačne su i jednake jedna drugoj), ali se ne podudara s vrijednošću funkcije u točki, ili funkcija u točki nije definirana, tada je točka x 0 nazvana točka prekida . Slika primljene točke uklonjivi razmak prikazan je na sl. jedan .

Definicija. Točka diskontinuiteta prve vrste ili konačna točka diskontinuiteta je takva točka x 0 , u kojem funkcija ima lijevu i desnu konačnu granicu, ali one nisu međusobno jednake.

Na sl. Slika 2 prikazuje grafički prikaz diskontinuiteta funkcije prve vrste u točki x 0

Definicija. Ako barem jedna od granica f(x 0 – 0) ili f(x 0 + 0) ne postoji ili je beskonačan, onda točka x 0 naziva se točka diskontinuiteta, druge vrste.

Grafički prikazi diskontinuiteta funkcija druge vrste u točki x 0 prikazano na sl. 3 (a B C).

Gornje definicije kontinuiteta funkcije f(x) u točki x 0

prikazani su na sl. 4, gdje se napominje da je glavna premisa u određivanju kontinuiteta funkcije (nužni uvjet) u točki x 0 je li to f(x) definiran je u točki i njenom susjedstvu .

Primjer Istražite kontinuitet, odredite prirodu prijelomnih točaka,

predstavljaju u susjedstvu točaka diskontinuiteta funkciju

Ovo je racionalna funkcija. Definirana je i kontinuirana za sve vrijednosti X, osim x= 1, budući da x = 1 nazivnik ide na nulu . NA točka x = 1 funkcija je pokvarena. Izračunajmo granicu ove funkcije za

x→ 1, imamo

Konačna granica funkcije na x→ 1 postoji, a funkcija u točki

x = 1 nije definirano; znači točka x= 1 je točka diskontinuiteta koja se može uvući.

Ako redefiniramo funkciju, odnosno stavimo f (1) = 5, tada funkcija

bit će kontinuiran.

x = 1 prikazan je na sl. 4.

Komentar. Ova funkcija

nedefinirano na x = 1, isto kao i kontinuirana funkcija

u svim točkama osim x=1

Istražiti kontinuitet funkcije i odrediti prirodu njezinih točaka diskontinuiteta

Opseg funkcije je cijela numerička os. Na intervalima (–, 0), (0,+) funkcija je kontinuirana . Razmak je moguć samo u točki x= 0, pri čemu se mijenja analitička definicija funkcije.

Nađimo jednostrane granice funkcije :

Lijeva i desna granica, iako su konačne, nisu međusobno jednake. Stoga, u točki x= 0 funkcija ima diskontinuitet prve vrste. Skok funkcije u točki diskontinuiteta je

Ponašanje funkcije u susjedstvu točke x = 0 je prikazano na sl. 5.

Riža. 5

Primjer Istražite funkciju f(x) o kontinuitetu, odrediti prirodu njegovih točaka diskontinuiteta, opisati njegovo ponašanje u blizini točaka diskontinuiteta.

Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj osi, osim na točkama x, = –2 i x 2 = 2, i

ne postoji .

Izračunajte jednostrane granice u točki x, = –2.

Dakle, u točki x = - 2 funkcija trpi diskontinuitet druge vrste. Proučavamo prirodu diskontinuiteta funkcije u točki x 2 = 2. Imamo

U točki x 2 = 2 funkcija također trpi diskontinuitet druge vrste.

Ponašanje funkcije u susjedstvu točaka x x = – 2 i x 2 = 2 prikazano na sl. 6 .

Istražite funkciju f(x) = e x + i za kontinuitet , odrediti prirodu točaka diskontinuiteta, opisati ponašanje funkcije u blizini točaka diskontinuiteta.

Funkcija nedefinirano na x= –3, dakle funkcija
kontinuirano za sve
osim x= -3. Odredimo prirodu diskontinuiteta funkcije. Imamo

odnosno jedna od granica jednaka je beskonačnosti, što znači da se funkcija prekida

druga vrsta .

Ponašanje funkcije f(x) = e x +3 u blizini točke diskontinuiteta x =-3 je prikazano na sl. 7

4.2. Vježbe za samostalan rad učenika

1. Istražiti funkcije za kontinuitet, odrediti prirodu njihovih točaka diskontinuiteta, grafički prikazati ponašanje funkcija u susjedstvu

2. Istražiti funkcije za kontinuitet, odrediti prirodu njihovih točaka diskontinuiteta, grafički prikazati ponašanje funkcija u blizini točaka diskontinuiteta

Određivanje točke prekida funkcije
Krajnja točka x 0 pozvao točka prekida funkcije f (x), ako je funkcija definirana na nekom probijeno susjedstvo točke x 0 , ali u ovom trenutku nije kontinuirano.

To jest, u točki diskontinuiteta, funkcija ili nije definirana ili definirana, ali barem jedna jednostrana granica u ovoj točki ili ne postoji, ili nije jednaka vrijednosti f (x0) funkcije u točki x 0 . cm." Određivanje kontinuiteta funkcije u točki ».

Određivanje točke loma 1. vrste
Točka se zove prijelomna točka prve vrste, ako je prijelomna točka i postoje konačna jednostrana ograničenja s lijeve i desne strane:
.

Definicija skoka funkcije
Funkcija skoka Δ u točki naziva se razlika između granica s desne i lijeve strane
.

Određivanje točke prekida
Točka se zove prijelomna točka ako postoji granica
,
ali funkcija u točki ili nije definirana ili nije jednaka graničnoj vrijednosti: .

Dakle, točka diskontinuiteta koja se može uvući je točka diskontinuiteta prve vrste, u kojoj je skok funkcije jednak nuli.

Određivanje točke loma 2. vrste
Točka loma se zove prijelomna točka druge vrste, ako nije točka diskontinuiteta 1. vrste. To jest, ako ne postoji barem jedna jednostrana granica ili je barem jedna jednostrana granica u točki jednaka beskonačnosti.

Istraživanje funkcija za kontinuitet

Kada istražujemo funkcije za kontinuitet, koristimo se sljedećim činjenicama.

• Elementarne funkcije a njihovi inverzi su kontinuirani u svojoj domeni definicije. To uključuje sljedeće značajke:
  , kao i konstanta i njihove inverzne funkcije. cm." Referenca za osnovne funkcije ».
• Zbroj, razlika i proizvod kontinuirana, na nekom skupu funkcija, kontinuirana je funkcija na ovom skupu.
  Privatna od dva kontinuirana, na nekom skupu funkcija, neprekidna je funkcija na ovom skupu, osim točaka u kojima nazivnik razlomka nestaje. cm." Aritmetička svojstva kontinuiranih funkcija »
• Složena funkcija je kontinuirana u točki ako je funkcija kontinuirana u točki i funkcija je kontinuirana u točki . cm." Granica i kontinuitet složene funkcije »

Primjeri

Primjer 1

S obzirom na funkciju i dvije vrijednosti argumenata i . Potrebno je: 1) utvrditi je li data funkcija kontinuirana ili diskontinuirana za svaku od zadanih vrijednosti argumenta; 2) u slučaju prekida funkcije pronaći njezine granice u točki prijeloma s lijeve i desne strane, postaviti vrstu prekida; 3) izraditi shematski crtež.
.

Zadana funkcija je složena. Može se promatrati kao sastav od dvije funkcije:
, . Zatim
.

Razmotrimo funkciju. Sastoji se od funkcije i konstanti pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja i dijeljenja. Funkcija je elementarna - funkcija snage s eksponentom 1 . Definiran je i kontinuiran za sve vrijednosti varijable. Dakle, funkcija je definirana i kontinuirana za sve , osim za točke u kojima nazivnik razlomka nestaje. Izjednačimo nazivnik s nulom i riješimo jednadžbu:
.
Dobivamo jedan korijen.
Dakle, funkcija je definirana i kontinuirana za sve osim točke .

Razmotrimo funkciju. Ovo je eksponencijalna funkcija s pozitivnom bazom. Definiran je i kontinuiran za sve vrijednosti varijable.
Stoga je zadana funkcija definirana i kontinuirana za sve vrijednosti varijable, osim za točku.

Dakle, u točki , zadana funkcija je kontinuirana.

Grafikon funkcije y = 4 1/(x+2).

Razmotrimo točku. U ovom trenutku funkcija nije definirana. Stoga nije kontinuirano. Utvrdimo vrstu diskontinuiteta. Da bismo to učinili, nalazimo jednostrane granice.

Korištenje odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija, za granicu s lijeve strane imamo:
u ,
,
,
.

Ovdje smo koristili sljedeću konvencionalnu notaciju:
.
Također smo koristili svojstvo eksponencijalne funkcije s bazom:
.

Slično, za granicu s desne strane imamo:
u ,
,
,
.

Budući da je jedna od jednostranih granica jednaka beskonačnosti, u točki postoji diskontinuitet druge vrste.

U jednom trenutku funkcija je kontinuirana.
Na mjestu diskontinuiteta druge vrste,
.

Primjer 2

Funkcija je postavljena. Pronađite prijelomne točke funkcije, ako postoje. Navedite vrstu prekida i skokova funkcije, ako ih ima. Napravite crtež.
.

Grafikon zadane funkcije.

Funkcija je funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom jednakim 1 . Takvu funkciju nazivamo i linearnom funkcijom. Definiran je i kontinuiran za sve vrijednosti varijable.

Uključene su još dvije funkcije: i . Sastoje se od funkcije i konstanti pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja i množenja:
, .
Stoga su oni također kontinuirani za sve.

Budući da su funkcije uključene u sastav kontinuirane za sve, može imati točke diskontinuiteta samo na mjestima lijepljenja svojih komponenti. To su točke i . Istražujemo kontinuitet u tim točkama. Da bismo to učinili, nalazimo jednostrane granice.

Razmotrimo točku. Da bismo pronašli lijevu granicu funkcije u ovom trenutku, moramo koristiti vrijednosti ove funkcije u bilo kojem trenutku lijevo probušeno susjedstvo točke. Uzmimo susjedstvo. Na njoj. Zatim granica s lijeve strane:
.
Ovdje smo koristili činjenicu da je funkcija kontinuirana u nekoj točki (kao i u bilo kojoj drugoj točki). Stoga je njezina lijeva (i desna) granica jednaka vrijednosti funkcije u ovoj točki.

Pronađite pravu granicu u točki. Da bismo to učinili, moramo koristiti vrijednosti funkcije u bilo kojem desnom probušenom susjedstvu ove točke. Uzmimo susjedstvo. Na njoj. Zatim granica s desne strane:
.
Ovdje smo također koristili kontinuitet funkcije.

Budući da u točki , granica s lijeve strane nije jednaka granici s desne strane, tada funkcija nije kontinuirana u njoj - ovo je točka diskontinuiteta. Budući da su jednostrane granice konačne, ovo je točka diskontinuiteta prve vrste. Funkcija skoka:
.

Sada razmislite o jednoj točki. Na isti način izračunavamo jednostrane granice:
;
.
Budući da je funkcija definirana u točki, a lijeva granica jednaka desnoj, funkcija je u ovoj točki kontinuirana.

Funkcija ima diskontinuitet prve vrste u točki . Funkcija skok u njemu: . U ostalim točkama funkcija je kontinuirana.

Primjer 3

Odredite točke diskontinuiteta funkcije i istražite prirodu tih točaka ako
.

Upotrijebimo činjenicu da je linearna funkcija definirana i kontinuirana za sve . Navedena funkcija sastoji se od linearne funkcije i konstanti pomoću aritmetičkih operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja:
.
Stoga je definiran i kontinuiran za sve , osim za točke u kojima nazivnik razlomka nestaje.

Pronađimo ove točke. Postavite nazivnik jednak nuli i riješite kvadratna jednadžba :
;
;
; .
Zatim
.

Koristimo formulu:
.
Uz njegovu pomoć razlažemo brojnik na faktore:
.

Tada će data funkcija poprimiti oblik:
(P1) .
Definiran je i kontinuiran za sve osim točaka i . Prema tome, točke i su točke diskontinuiteta funkcije.

Podijelite brojnik i nazivnik razlomka u (P1) sa:
(P2) .
Ovu operaciju možemo izvesti ako . Tako,
na .
To jest, funkcije i razlikuju se samo u jednoj točki: definirana je na , ali nije definirana u ovoj točki.

Da bismo odredili rod prijelomnih točaka, moramo pronaći jednostrane granice funkcije u točkama i . Da bismo ih izračunali, koristit ćemo se činjenicom da ako se vrijednosti funkcije promijene ili postanu nedefinirane u konačnom broju točaka, onda to neće imati utjecaja na vrijednost ili postojanje granice u proizvoljnoj točki (vidi “ Utjecaj vrijednosti funkcije u konačnom broju točaka na vrijednost granice"). To jest, granice funkcije u bilo kojoj točki jednake su granicama funkcije.

Razmotrimo točku. Nazivnik razlomka u funkciji , at ne nestaje. Stoga je definiran i kontinuiran za . To implicira da postoji granica na i jednaka je vrijednosti funkcije u ovoj točki:
.
Prema tome, točka je točka diskontinuiteta prve vrste.

Razmotrimo točku. Korištenje vezu između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija, imamo:
;
.
Budući da su granice beskonačne, u ovoj točki postoji diskontinuitet druge vrste.

Funkcija ima točku diskontinuiteta prve vrste na , i točku diskontinuiteta druge vrste na .

Reference:
O.I. Demoni. Predavanja o matematičkoj analizi. Dio 1. Moskva, 2004.