Netko se s oprezom odnosi prema riječi "napredak", kao prema vrlo složenom pojmu iz odjeljaka viša matematika. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksi brojača (gdje još uvijek ostaju). I shvatite suštinu (a u matematici nema ništa važnije od "shvaćanja suštine") aritmetički niz Nije tako teško kada shvatite nekoliko osnovnih pojmova.

Matematički niz brojeva

Uobičajeno je numerički niz nazivati ​​nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

i 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojki i brojeva. Pozornost ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem ovisnošću koja se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a - vrijednost člana brojčanog niza;

n - njegov serijski broj;

f(n) je funkcija gdje je ordinal u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sljedećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog, te će se takva aritmetička progresija povećavati.

Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto numerički niz nazvano "povećanje".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrijednost navedenog člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost nekog proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To možete učiniti tako da uzastopno izračunate vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, ovaj način nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntnog člana. Tradicionalni izračun će potrajati dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istražiti korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom s brojem traženog člana, minus jedan .

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog člana

Riješimo sljedeći problem nalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: za određivanje vrijednosti danog člana koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.

Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne traje više od 2 retka.

Zbroj zadanog broja pojmova

Vrlo često, u danom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Također ne treba izračunavati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj članova čiji se zbroj mora pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnoženog s brojem člana n i podijeljenog s dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

U zadatku je potrebno odrediti zbroj članova niza od 56 do 101.

Odluka. Koristimo formulu za određivanje zbroja progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo određujemo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Očito, da bismo saznali zbroj uvjeta progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka vratimo se primjeru aritmetičkog niza danog u prvom odlomku – taksimetar (taxi autometar). Razmotrimo takav primjer.

Ulazak u taksi (koji uključuje 3 km) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja / km. Udaljenost putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Članski broj je broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbroj.

Prvi termin u ovom problemu bit će jednak 1 = 50 rubalja.

Razlika napredovanja d = 22 str.

broj koji nas zanima - vrijednost (27 + 1) člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, duljina orbite geometrijski ovisi o udaljenosti nebeskog tijela do svjetiljke. Osim toga, različiti brojčani nizovi uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakterizira velika, u usporedbi s aritmetičkom, stopa promjene. Nije slučajno da se u politici, sociologiji, medicini često, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija eksponencijalno.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je 2, odnosno:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;

q je nazivnik geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije ravna linija, onda geometrijski crta malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Pronađite 5. član progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen nazivnikom smanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gornjom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova razmatranog brojevnog niza imat će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen jednak 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Kakva je to progresija?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete jednostavno vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente po redu.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će zbrajanje u paru prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, tih je zbroja samo 5, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) s rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i zadnjeg a n , kao i ukupan broj pojmova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi put pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je postavio učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvih elemenata), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-og. Da bi se riješio problem, zadani segment od m do n progresije treba biti predstavljen kao novi brojevni niz. U ovom prikazu, m-ti član a m bit će prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. i završavajući s 12.:

Navedeni brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima razmatrane algebarske progresije, a također znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Dobiti:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbroj prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)

U kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog čeličnim pojmom koji se također naziva razlika koraka ili progresije.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, pomoću formule možete pronaći bilo koji od njegovih elemenata

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

Obratno je također istina. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, prema svojstvu aritmetičke progresije, gornja se formula može generalizirati na sljedeće

To je lako provjeriti ako pojmove napišemo desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje izračuna u problemima.

2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se po formuli

Dobro zapamtite formulu za zbroj aritmetičke progresije, nezamjenjiva je u izračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k -tog člana, onda će vam sljedeća formula zbroja dobro doći

4) Od praktičnog je interesa pronaći zbroj n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Tu teorijsko gradivo završava i prelazimo na rješavanje problema koji su uobičajeni u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Odluka:

Prema stanju imamo

Definirajte korak napredovanja

Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetičku progresiju daju njezin treći i sedmi član. Pronađite prvi član progresije i zbroj deset.

Odluka:

Zadane elemente progresije zapisujemo prema formulama

Prvu jednadžbu oduzimamo od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađena vrijednost zamjenjuje se u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije

Izračunajte zbroj prvih deset članova progresije

Bez primjene složenih izračuna, pronašli smo sve tražene vrijednosti.

Primjer 3. Aritmetičku progresiju daje nazivnik i jedan od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.

Odluka:

Napišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na temelju prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbroj prvih 100

Zbroj progresije je 250.

Primjer 4

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Odluka:

Zapisujemo jednadžbe u terminima prvog člana i koraka progresije te ih definiramo

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u formulu zbroja kako bismo odredili broj članova u zbroju

Izrada pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednadžbu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Tako je zbroj prvih osam članova progresije 111.

Primjer 5

riješiti jednadžbu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednadžba je zbroj aritmetičke progresije. Zapisujemo njegov prvi član i nalazimo razliku progresije

IV Jakovljev | Materijali iz matematike | MathUs.ru

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a zatim geometrijske) progresije, moramo ukratko raspraviti važan koncept brojevnog niza.

Slijed

Zamislite uređaj na čijem su ekranu neki brojevi prikazani jedan za drugim. Recimo 2; 7; trinaest; jedan; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva samo je primjer niza.

Definicija. Brojčani niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (tj. staviti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Broj s brojem n naziva se n-ti član niza.

Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi član niza, koji se može označiti s a1; broj pet ima broj 6 koji je peti član niza, koji se može označiti a5 . općenito, n-ti član nizovi su označeni s (ili bn, cn, itd.).

Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira slijed: 1; jedan; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira slijed: 1; jedan; jedan; jedan; : : :

Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži ¾previše brojeva da bi se prenumerirali. Skup R svih realnih brojeva također nije niz. Ove činjenice dokazuju se tijekom matematičke analize.

Aritmetička progresija: osnovne definicije

Sada smo spremni definirati aritmetičku progresiju.

Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član (počevši od drugog) jednak zbroju prethodnog člana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).

Na primjer, sekvenca 2; 5; osam; jedanaest; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 2 i razlikom 3. Niz 7; 2; 3; osam; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 7 i razlikom 5. Slijed 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija s nultom razlikom.

Ekvivalentna definicija: Niz an se naziva aritmetičkom progresijom ako je razlika an+1 an konstanta (ne ovisi o n).

Za aritmetičku progresiju kaže se da raste ako je njena razlika pozitivna, a opada ako je njena razlika negativna.

1 A evo i sažetije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.

Prema zadanim postavkama, nizovi se smatraju beskonačnim, odnosno sadrže beskonačan broj brojeva. Ali nitko se ne trudi uzeti u obzir i konačne nizove; zapravo, bilo koji konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, konačni slijed 1; 2; 3; 4; 5 se sastoji od pet brojeva.

Formula n-tog člana aritmetičke progresije

Lako je razumjeti da je aritmetička progresija potpuno određena s dva broja: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?

Nije teško dobiti željenu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka an

Zadatak 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; osam; jedanaest; : : : pronađite formulu n-tog člana i izračunajte stoti član.

Odluka. Prema formuli (1) imamo:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Svojstvo i znak aritmetičke progresije

svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji an za bilo koji

Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina susjednih članova.

što je bilo potrebno.

Općenitije, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost

a n = a n k+ a n+k

za bilo koji n > 2 i bilo koji prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ispada da je formula (2) ne samo nužna, nego i dovoljno stanje da je niz aritmetička progresija.

Znak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.

Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:

a na n 1= a n+1a n:

To pokazuje da razlika an+1 an ne ovisi o n, a to samo znači da je niz an aritmetička progresija.

Svojstvo i znak aritmetičke progresije može se formulirati kao jedan iskaz; radi praktičnosti, to ćemo učiniti za tri broja (to je situacija koja se često događa u problemima).

Karakterizacija aritmetičke progresije. Nastaju tri broja a, b, c aritmetička progresija ako i samo ako je 2b = a + c.

Zadatak 2. (Moskovsko državno sveučilište, Ekonomski fakultet, 2007.) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 navedenim redoslijedom čine opadajuću aritmetičku progresiju. Pronađite x i napišite razliku ove progresije.

Odluka. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Ako je x = 1, tada se dobiva opadajući napredak od 8, 2, 4 s razlikom od 6. Ako je x = 5, onda se dobiva rastući napredak od 40, 22, 4; ovaj slučaj ne radi.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije

Legenda kaže da je jednom učiteljica rekla djeci da pronađu zbroj brojeva od 1 do 100 i sjela tiho čitati novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to 9-godišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najveći matematičari u povijesti.

Ideja malog Gaussa je bila ova. Neka bude

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ovaj iznos obrnutim redoslijedom:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodajte ove dvije formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih je ukupno 100. Dakle

2S = 101 100 = 10100;

Koristimo ovu ideju za izvođenje formule zbroja

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Korisna modifikacija formule (3) dobiva se zamjenom formule za n-ti član an = a1 + (n 1)d:

Zadatak 3. Pronađite zbroj svih pozitivnih troznamenkastih brojeva djeljivih s 13.

Odluka. Troznamenkasti brojevi, višekratnici 13, čine aritmetičku progresiju s prvim članom 104 i razlikom 13; n-ti član ove progresije je:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Hajdemo saznati koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednakost:

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Dakle, u našoj progresiji ima 69 članova. Prema formuli (4) nalazimo potrebnu količinu:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2