парність непарність функції як. Парні та непарні функції

Графіки парної та непарної функції мають такі особливості:

Якщо функція є парною, її графік симетричний щодо осі ординат. Якщо функція є непарною, її графік симетричний щодо початку координат.

приклад.Побудувати графік функції \(y=\left|x \right|\).

Рішення.Розглянемо функцію: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) і підставимо замість \(x \) протилежне \(-x \). В результаті не складних перетворень отримаємо: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Іншими словами, якщо аргумент замінити на протилежний за знаком, функція не зміниться.

Отже ця функція - парна, та її графік буде симетричний щодо осі ординат (вертикальній осі). Графік цієї функції наведено малюнку зліва. Це означає що при побудові графіка, можна будувати лише половину, а другу частину (лівіше за вертикальну осю малювати вже симетрично правої частини). Визначивши симетричність функції перед початком побудови її графіка, можна спростити процес побудови чи дослідження функції. Якщо складно виконувати перевірку у загальному вигляді, можна зробити простіше: підставити в рівняння однакові значення різних знаків. Наприклад -5 і 5. Якщо значення функції вийдуть однаковими, то можна сподіватися, що функція буде парною. З математичної точки зору такий підхід не зовсім правильний, але з практичної – зручний. Щоб збільшити достовірність результату, можна підставити кілька пар таких протилежних значень.

приклад.Побудувати графік функції \(y=x\left|x \right|\).

Рішення.Виконаємо перевірку так само, як у попередньому прикладі: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) $$ Це означає, що вихідна функція є непарною (символ функції змінився на протилежний).

Висновок: функція симетрична щодо початку координат. Можна будувати лише одну половину, а другу малювати симетрично. Таку симетрію малювати складніше. Це означає, що ви дивитеся на графік з іншого боку листа та ще й перевернувши вгору ногами. А можна ще так: беремо намальовану частину та обертаємо її навколо початку координат на 180 градусів проти годинникової стрілки.

приклад.Побудувати графік функції \(y=x^3+x^2\).

Рішення.Виконаємо таку ж перевірку на зміну знака, як і попередніх двох прикладах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результаті отримаємо, що: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А це означає, що функція не є ні парною, ні непарною.

Висновок: функція не симетрична щодо початку координат ні щодо центру системи координат. Це сталося тому, що вона є сумою двох функцій: парної і не парної. Така сама ситуація буде якщо віднімати дві різні функції. А ось множення чи поділ призведе до іншого результату. Наприклад, твір парної та непарної функцій дає непарну. Або приватне двох непарних призводить до парної функції.

Приховати Показати

Способи завдання функції

Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.

Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x у формулі y=2x^(2)-3 можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.

Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.

Парна та непарна функція

Функція є парною функцієюколи f(-x)=f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.

Функція є непарною функцієюколи f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .

Функція є ні парної, ні непарноїі називається функцією загального вигляду, коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.

Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot(-x)^(3)-7 \cdot(-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.

Періодична функція

Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцієюз періодом T \neq 0 .

Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .

Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.

f(x) > 0 на (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Обмеженість функції

Обмеженою знизуприйнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .

Обмеженої зверхуназивається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .

Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.

Зростаюча та спадна функція

Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Екстремуми функції

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необхідна умова

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Достатня умова

1. Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
2. x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу на плюс при переході через стаціонарну точку x_(0).

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Кроки обчислень:

1. Шукається похідна f"(x);
2. Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
3. Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точках та кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значенням функції, а більше - найбільшим.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знакостійності		Координати точок перетину графіка з Оу
		х = -5, х = 2	x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

		f(1) та f(– 1)	f(2) та f(– 2)	графіки	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		і не визна.

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайому вам, але не менш важливу, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричним безліччю.

Приклади:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а); б) у = х · (5 - х 2). 2. Дослідіть на парність функцію:

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, що задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція.

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, які задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) – непарна функція.

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного змісту якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

Парність і непарність функції одна із основних її властивостей, і парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Власне кажучи, досліджувану функцію вважають парною, якщо протилежних значень незалежної змінної (x), що у її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f(x), яка задана в області D. Вона буде парною, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить у цій галузі визначення,

• f(-x) = f(x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідна області визначення подібної функції, а саме, симетричність щодо точки Про, що є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний до осі ординат (Oy) вигляд.

Як на практиці визначити парність функції?

Нехай задається з допомогою формули h(x)=11^x+11^(-x). Наслідуючи алгоритм, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) протилежне значення (-x).
Отримуємо:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Оскільки додавання задовольняє комутативному (переміщувальному) закону, очевидно, h(-x) = h(x) і задана функціональна залежність - парна.

Перевіримо парність функції h(x)=11^x-11^(-x). Наслідуючи той самий алгоритм, отримуємо, що h(-x) = 11^(-x) -11^x. Винісши мінус, у підсумку, маємо
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Отже, h(x) – непарна.

До речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають низку цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій одержують парну;
• в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
• парна, також парна;
• в результаті множення двох таких функцій одержують парну;
• в результаті множення непарної та парної функцій отримують непарну;
• в результаті поділу непарної та парної функцій отримують непарну;
• похідна такої функції – непарна;
• якщо звести непарну функцію квадрат, отримаємо парну.

Чітність функції можна використовувати під час вирішення рівнянь.

Щоб вирішити рівняння типу g(x) = 0, де ліва частина рівняння є парною функцією, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід'ємних значень змінної. Отримані коріння рівняння необхідно поєднати з протилежними числами. Один із них підлягає перевірці.

Це успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.

Наприклад, чи є значення параметра a, при якому рівняння 2x^6-x^4-ax^2=1 матиме три корені?

Якщо врахувати, що змінна входить у рівняння парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то ним є і протилежне число. Висновок очевидний: коріння рівняння, відмінне від нуля, входить у безліч його рішень «парами».

Зрозуміло, що саме число 0 не є, тобто число коренів подібного рівняння може бути парним і, природно, ні за якого значення параметра воно не може мати трьох коренів.

І це число коренів рівняння 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може бути непарним, причому будь-якого значення параметра. Справді, легко перевірити, що багато коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його рівняння, отримуємо 2=2 . Таким чином, окрім «парних» 0 також є коренем, що й доводить їх непарну кількість.

Дослідження функції.

1) D(y) – Область визначення: безліч усіх тих значень змінної х. при яких вирази алгебри f(x) і g(x) мають сенс.

Якщо функція задана формулою, область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має сенс.

2) Властивості функції: парність/непарність, періодичність:

Непарнимиі парниминазиваються функції, графіки яких мають симетрію щодо зміни знака аргументу.

Непарна функція- функція, що змінює значення на протилежне зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо центру координат).

Парна функція- функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо осі ординат).

Ні парна ні непарна функція (функція загального вигляду)- функція, що не має симетрії. До цієї категорії відносять функції, що не підпадають під попередні 2 категорії.

Функції, що не належать жодній із категорій вище, називаються ні парними ні непарними(або функціями загального вигляду).

Непарні функції

Непарний ступінь де - довільне ціле число.

Чітні функції

парний ступінь де - довільне ціле число.

Періодична функція― функція, що повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа ( періодуфункції) по всій області визначення.

3) Нулі (коріння) функції - точки, де вона перетворюється на нуль.

Знаходження точки перетину графіка з віссю Ой. Для цього потрібно обчислити значення f(0). Знайти також точки перетину графіка з віссю Ox, для чого знайти коріння рівняння f(x) = 0 (або переконатися у відсутності коріння).

Точки, в яких графік перетинає вісь, називають нулями функції. Щоб знайти нулі функції потрібно вирішити рівняння, тобто знайти ті значення «ікс», у яких функція перетворюється на нуль.

4) Проміжки сталості знаків, знаки у яких.

Проміжки, де функція f(x) зберігає знак.

Інтервал знаковості - це інтервал, у кожній точці якогофункція позитивна чи негативна.

Вище осі абсцис.

НИЖЧЕ ОСІ.

5) Безперервність (точки розриву, характер розриву, асимптоти).

Безперервна функція- функція без «стрибків», тобто така, у якої малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Усунуті точки розриву

Якщо межа функції існує, Але функція не визначена в цій точці, або межа не збігається зі значенням функції цієї точки:

,

то точка називається точкою усуненого розривуфункції (у комплексному аналізі -усувна особлива точка).

Якщо «поправити» функцію в точці розриву, що усувається, і покласти , то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усувногорозриву.

Точки розриву першого та другого роду

Якщо функція має розрив у цій точці (тобто межа функції у цій точці відсутня чи збігається зі значенням функції у цій точці), то числових функцій виникає два можливі варіанти, що з існуванням у числових функцій односторонніх меж:

якщо обидва односторонні межі існують і кінцеві, то таку точку називають точкою розриву першого роду. Крапки усуненого розриву є точками розриву першого роду;

якщо хоча б одна з односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду.

Асимптота - пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від точки кривої до цієї прямийпрагне до нуля при видаленні точки вздовж гілки внескінченність.

Вертикальна

Вертикальна асимптота - пряма межа .

Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають не одну межу, а дві односторонні (ліву та праву). Це робиться з метою визначити, як функція поводиться в міру наближення до вертикальної асимптоти з різних боків. Наприклад:

Горизонтальна

Горизонтальна асимптота прямавиду за умови існування межі

.

Похила

Похила асимптота - прямавиду за умови існування меж

Зауваження: функція може мати не більше двох похилих (горизонтальних) асимптотів.

Зауваження: якщо хоча б одна з двох згаданих вище меж не існує (або дорівнює), то похилої асимптоти при (або) не існує.

якщо в п. 2.), то і межа знаходиться за формулою горизонтальної асимптоти, .

6) Знаходження проміжків монотонності.Знайти інтервали монотонності функції f(x) (Тобто інтервали зростання та спадання). Це робиться за допомогою дослідження похідного знака f(x). Для цього знаходять похідну f(x) і вирішують нерівність f(x)0. На проміжках, де ця нерівність виконана, функція f(x) Зростає. Там, де виконано зворотну нерівність f(x)0, функція f(x) Зменшується.

Знаходження локального екстремуму.Знайшовши інтервали монотонності, ми можемо відразу визначити точки локального екстремуму там, де зростання змінюється зменшенням, розташовуються локальні максимуми, а там, де зменшення змінюється зростанням - локальні мінімуми. Обчислити значення функції у цих точках. Якщо функція має критичні точки, які є точками локального екстремуму, то корисно обчислити значення функції й у цих точках.

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції y = f(x) на відрізку(продовження)

1. Знайти похідну функції: f(x). 2. Знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Визначити належність точок х 1 ,х 2 , … відрізку [ a; b]: нехай x 1a;b, а x 2a;b .