Що означає різниця чисел та виконання. Віднімання чисел

Різниця чи віднімання цілих чисел безпосередньо з темою складання цілих чисел. Адже знаючи суму і один із доданків, можна знайти другий доданок. Розглянемо приклад:

У нас є 10 яблук у кошику. Вперше до кошика додали 2 яблука, скільки по-друге додали яблук у кошик, щоб у результаті отримати 10 яблук?
Позначимо змінну x – кількість яблук, доданих вдруге. Якщо ми додамо до змінної х два яблука, то отримаємо 10 яблук. Математично запис виглядатиме так:

щоб знайти змінну x потрібно з кошика прибрати 2 яблука або від суми 10 відібрати одне відоме доданок 2.

Тобто змінна x=8.

Визначення:
Різницею двох цілих чисел називається ціле число, яке в сумі з віднімається дає зменшуване.

Різниця цілих чисел a та b позначається як a-b.

Різницяa-b це сума чиселa та протилежного числаb.
a-b=a+(-b)

де b та –b – це протилежні числа.

Приклад:
5-2=5+(-2)=3

Віднімання цілих позитивних чисел у прикладах.

Приклад:
Виконайте віднімання від цілого числа 12 число 5.

Рішення:
За правилом різниці ми повинні замінити віднімається 5 замінити на протилежне число, тобто -5 і виконати .

Приклад:
З числа 37 виконайте віднімання числа 56.

Рішення:
Потрібно віднімати число 56 замінити на протилежне число, тобто число -56 і виконати складання цілих чисел з різними знаками.

37-56=37+(-56)=-21

Приклад:
З числа -4 треба відняти число 7.

Рішення:
Замінюємо віднімається число 7 на протилежне число -7 і складаємо за правилом

4-7=-4+(-7)=-11

Віднімання цілих негативних чисел у прикладах.

Приклад:
Знайдіть різницю чисел 6 та -8.

Рішення:
За правилом різниці потрібно замінити віднімається -8 на протилежне число +8 або 8 і порахувати суму цілих чисел. Отримаємо:

З цілого числа -14 відніміть число -10.
Потрібно віднімати -10 замінити на протилежне число +10 або 10 за правилом віднімання цілих чисел і потім виконати додавання.

14-(-10)=-14+10=-4

Віднімання нуля з цілих чисел.

Якщо відняти нуль від цілого числа, то число не зміниться.

Розглянемо приклад:
3-0=3+0=3

a-0=a

Якщо відняти нуль від нуля, то отримаємо нуль.

Віднімання однакових цілих чисел.

Розглянемо завдання:
Мишко отримав від мами 2 цукерки і він відразу пригостив свого друга Сашу двома цукерками. Скільки залишилося цукерок у Михайла?

Рішення:
Мишко отримав 2 цукерки і віддав 2 цукерки, математично можна записати так:

Відповідь: у Михайла залишилося 0 цукерок.

Тобто якщо виконати віднімання рівних чисел в результаті отримаємо нуль.

Перевірка результату віднімання.

Як перевірити чи правильно ви знайшли різницю двох цілих чисел?
Відповідь проста він полягає в самому визначенні різниці двох цілих чисел. Потрібно різницю скласти з віднімається отримаємо зменшуване. Словесна формула виглядатиме так:

Різниця+Віднімання=Зменшуване

Приклад:
19-5=14

19 – це у нас зменшуване;
5 - віднімається;
14 – різниця.

Виконаємо перевірку:
До різниці додамо зменшуване, якщо правильно виконали віднімання, то отримаємо зменшуване.

Ще приклад:
Виконайте перевірку віднімання 12-23=-11

12 - зменшуване;
23 - віднімається;
-11 - Різниця.

Виконаємо перевірку віднімання:
Різниця+Віднімання=Зменшуване

Відняти означає відібрати одне число від іншого.

Віднімання є така дія, в якій забирають меншу кількість від більшої.При відніманні цілих чисел більше зменшується на стільки одиниць, скільки їх міститься в меншому. Відняти одне число від іншого означає зменшитиодне число іншим, тому віднімання є дія зворотна додавання.

У відніманні двох даних числа називаються зменшуваним і віднімається , а шукане - різницею .

Зменшуваним називають більше число, від якого забирають інше.Воно зменшується від вирахування.

Віднімається називають менше число, яке віднімають від більшого.

Різницею називають висновок, отриманий від вирахування.Різниця визначає, чим одне число більше за інше або показує різницю між двома числами.

Знак віднімання. Дія віднімання позначається знаком - (мінус).

Віднімання однозначних чисел

Щоб позначити, що з 9 потрібно відняти 6, пишуть ці числа поруч, відокремлюючи їх знаком (мінус):

Різниця між цими числами буде 3, і перебіг обчислення висловлюють словесно:

дев'ять без шести дорівнює трьом.

Письменно:

Більше число 9 буде зменшуваним, менше 6 віднімається, число 3 залишком.

Способи віднімання

Можна двома способами відняти одне число з іншого:

або можна відібрати від більшого числа стільки одиниць, скільки їх міститься в меншому. Так, з 9 відняти 6 означає від 9 відібрати 6. Число 3 буде шуканий залишок;

або можна до меншого числа додавати по одиниці до тих пір, поки не отримаємо більше. Так, віднімаючи 6 з 9, ми до 6 додаємо 3 одиниці. Число одиниць, яке потрібно додати до меншого числа, щоб зрівняти його з більшим, визначає різницю. Менше число з різницею має дорівнювати більшому числу, отже, менше число і різниця суть доданки, а більше - їх сума. На цьому ґрунтується інше визначення віднімання:

Віднімання є така дія, в якій по цій сумі і одному доданку перебуває інше доданок.

В цьому випадку дана сума є зменшуване, дане доданок - віднімається, а позовома я різниця- інше доданок.

Віднімання багатозначних чисел

Віднімання багатозначних чисел ґрунтується на тій властивості чисел, за якою відняти число все одно, що відняти всі його частини. З цієї властивості видно, що відняти якесь число все одно, що відняти послідовно всі його одиниці, десятки, сотні і т. д. Щоб позначити, що з числа 7228 потрібно відняти 3517, пишуть:

і віднімають окремо одиниці з одиниць, десятки з десятків тощо.

Щоб полегшити віднімання, підписують менше під великим так, щоб одиниці однакових порядків перебували в одному вертикальному стовпці, проводять межу, зліва ставлять знак віднімання - і під межею підписують різницю.

Хід обчислення висловлюють словесно:

Починаємо віднімання з простих одиниць: 8 без 7 становлять 1; підписують під одиницями 1.

Віднімаємо десятки: 2 без 1 дають 1, підписуємо під десятками 1

Віднімаємо сотні. П'ять не можна відняти з 2, тому займаємо у наступного вищого порядку (тисяч) одиницю, що і позначаємо тим, що над 7 ставимо крапку. Одиниця кожного порядку містить 10 одиниць наступного порядку. Приєднуючи ці 10 одиниць до 2, отримаємо 12; 12 без 5 становлять 7, підписуємо під сотнями 7. Коли займають одиницю у вищого ладу, позначають це тим, що ставлять крапку над порядком, у якого займають.

Віднімаємо тисячі.Тисяч залишилося замість 7 тільки 6, бо одна була взята. 6 без 3 становлять 3; підписуємо під тисячами 3

Хід обчислення висловлюють письмово:

приклад. З 17004 відняти 6025.

З 4 не можна відняти 5. Займаємо одиницю в десятків, наступного вищого порядку, але у цьому порядку одиниць немає; займаємо у сотень, - і сотень немає; займаємо у тисяч і позначаємо це крапкою над цифрою 7.

Одиниця четвертого має 10 одиниць третього порядку. Взявши з них одну для десятків, залишаємо їх у сотнях лише 9. Приєднавши 10 до 4, маємо 14.

Виробляючи віднімання, отримаємо:

для одиниць 14 – 5 = 9

для десятків 9 – 2 = 7

для сотень 9 - 0 = 9

для тисяч 6 – 6 = 0

Для десятків тисяч маємо 1, бо цю цифру зменшуваного переносимо у різницю без зміни.

Хід обчислення висловиться письмово:

Із попередніх прикладів виводимо правила віднімання:

Щоб зробити віднімання цілих чисел, потрібно віднімати підписати під зменшуваним так, щоб одиниці однакових порядків стояли в одному вертикальному стовпці, провести межу, під якою і підписати різницю.

Віднімання потрібно починати з простих одиниць, тобто з першого стовпця, і потім, переходячи до наступних стовпців від правої руки до лівої, віднімають десятки з десятків, сотні з сотень і т.д.

Якщо цифра віднімається менше цифри зменшуваного, різницю підписують у тому стовпці; якщо цифри дорівнюють, різниця буде нуль. Якщо ж цифра віднімається більше відповідної цифри зменшуваного, займають одиницю у наступного порядку зменшуваного, позначаючи це точкою, поставленою над цифрою, у якої займають, прикладають 10 до цифри зменшуваного і виробляють віднімання. Цифру з точкою вважають на одиницю менше.

Якщо при відніманні цифра зменшуваного, у якого займають, буде 0, за яким у зменшуваному слідують теж нулі, то займають у першої цифри, ставлячи над нею і всіма проміжними нулями точки. Цифру з точкою вважають на одиницю меншою, а нулі з точкою вважають за 9.

Віднімання продовжують доти, доки не отримають повної різниці.

Зайві цифри зменшуваного переносять у різницю.

Залежність між даними та шуканими відніманнями

З прикладу 9 – 6 = 3 видно, що

Зменшуване і віднімається, складеному з різницею: 9 = 6 + 3.

Віднімається і зменшується без різниці: 6 = 9 - 3.

Різниця дорівнює зменшуваному без віднімання: 3 = 9 - 6.

Арифметичний додаток. Різниця між числом та найближчою більшою одиницею називається арифметичним доповненням. Так, арифметичними доповненнями чисел 7, 79, 983 будуть числа:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Арифметичним доповненням іноді користуються полегшення арифметичних обчислень.

Існують чотири основні арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та поділ. Вони – основа математики, з допомогою виробляються й інші, складніші обчислення. Додавання та віднімання – найпростіші з них і взаємно протилежні. Але з термінами, що використовуються при додаванні, ми частіше стикаємося у житті.

Говоримо про «складання зусиль» при намаганні спільно отримати необхідний результат, про «доданки досягнутого успіху» і т.п. Назви ж, пов'язані з відніманням, залишаються в межах математики, рідко з'являючись у повсякденному мовленні. Тому менш звичні слова «віднімається», «зменшуване», «різницю». Правило знаходження кожного з цих компонентів можна застосувати лише за розумінні значення цих назв.

На відміну від багатьох наукових термінів, що мають грецьке, латинське або арабське походження, в даному випадку використовуються слова з російським корінням. Так що зрозуміти їх значення нескладно, а значить легко і запам'ятати, яким терміном позначається.

Якщо придивитися до самої назви, стає помітно, що вона стосується слів «різний», «різниця». З цього можна зробити висновок, що мається на увазі встановлена різниця між кількостями.

Дане поняття в математиці означає:

різницю між двома числами;
це показник того, наскільки одна кількість більша або менша за іншу;
це результат, отриманий під час віднімання — таке визначення пропонує шкільна програма.

Зверніть увагу!Якщо кількості рівні одна одній, між ними немає різниці. Отже різниця їх дорівнює нулю.

Що таке зменшуване і віднімається

Як випливає з назви, що зменшується – це те, що роблять менше. А зробити кількість меншою можна, відібравши від неї частину. Таким чином, що зменшується називається число, від якого віднімають частину.

Віднімається, відповідно, називається те число, яке від нього забирають.

Зменшуване		Віднімається		Різниця
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

Корисне відео: зменшуване, віднімання, різницю

Правила знаходження невідомого елемента

Розібравшись у термінах, неважко встановити, за яким правилом перебуває кожен із елементів віднімання.

Оскільки різниця – результат цієї арифметичної дії, то її і знаходять за допомогою цієї дії, жодних інших правил тут не потрібно. Але вони на випадок, якщо невідомий інший член математичного висловлювання.

Як знайти зменшуване

Даним терміном, як було з'ясовано, називають кількість, з якої відняли частину. Але якщо одну відняли, а інша залишилася в результаті, отже, з цих двох частин число і складається. Виходить, що знайти невідоме зменшуване можна, склавши два відомі елементи.

Отже, в даному випадку, щоб знайти невідоме, слід виконати складання віднімання та різниці:

Так само і у всіх подібних випадках:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

Як знайти віднімання

Якщо ціле складається з двох частин (у разі кількостей), то при відніманні однієї з них у результаті вийде друга. Таким чином, щоб знайти невідоме віднімання, достатньо замість нього відняти від цілого різницю.

За тим самим правилом вирішуються й інші подібні приклади.

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

Слово «різниця» може вживатися у багатьох значеннях. Це може означати і різницю чогось, наприклад, думок, поглядів, інтересів. У деяких наукових, медичних та інших професійних сферах цим терміном позначають різні показники, наприклад рівня цукру в крові, атмосферного тиску, погодних умов. Поняття «різниця» як математичний термін теж існує.

Вконтакте

Арифметичні дії з числами

Основними арифметичними діями математики є:

додавання;
віднімання;
множення;
розподіл.

Кожен результат цих дій також має свою назву:

сума - результат, що вийшов під час складання чисел;
різницю - результат, що вийшов при відніманні чисел;
твір – результат множення чисел;
приватне – результат поділу.

Простішою мовою пояснюючи поняття суми, різниці, твори та частки в математиці, можна спрощено записати їх лише як словосполучення:

сума – додати;
різницю - відібрати;
твір – помножити;
приватне – розділити.

Розглядаючи визначення, що таке різницю чисел у математиці, можна позначити це поняття декількома способами:

І всі ці визначення є вірними.

Як знайти різницю величин

Візьмемо за основу те позначення різниці, яке нам пропонує шкільна програма:

Різницею називається результат віднімання одного числа з іншого. Перше з цих чисел, з якого здійснюється віднімання, називається зменшуваним, а друге, яке віднімають з першого, називається віднімається.

Ще раз вдавшись до шкільної програми, ми знаходимо правило, як знайти різницю:

Щоб знайти різницю, треба від зменшуваного відібрати віднімається.

Все зрозуміло. Але ми отримали ще кілька математичних термінів. Що вони означають?

Зменшуване - це математичне число, від якого забирають і воно зменшується (стає менше).
Віднімання - це математичне число, яке віднімають із зменшуваного.

Тепер зрозуміло, що різниця складається з двох чисел, які для її обчислення мають бути відомі. А як їх знайти теж скористаємося визначеннями:

Щоб знайти зменшуване, треба до віднімання додати різницю.
Щоб знайти віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Математичні дії з різницею чисел

Маючи виведені правила, можна розглянути наочні приклади. Математика, найцікавіша наука. Ми тут візьмемо для вирішення лише найпростіші цифри. Навчившись віднімати їх, ви навчитеся вирішувати і складніші значення, тризначні, чотиризначні, цілі, дробові, в ступенях, коренях, інші.

Прості приклади

Приклад 1. Визначити різницю двох величин.

20 - значення, що зменшується,

15 - віднімається.

Рішення: 20 – 15 = 5

Відповідь: 5 – різниця величин.

Приклад 2. Знайти зменшуване.

48 - різницю,

32 - значення, що віднімається.

Рішення: 32 + 48 = 80

Приклад 3. Знайти значення, що віднімається.

7 - різниця,

17 - величина, що зменшується.

Рішення: 17 – 7 = 10

Відповідь: значення, що віднімається 10.

Більш складні приклади

На прикладах 1-3 розглянуті події з простими цілими числами. Але у математиці різницю обчислюють із застосуванням як двох, а й кількох чисел, і навіть цілих, дробових, раціональних, ірраціональних, ін.

Приклад 4. Визначити різницю трьох значень.

Дано цілі значення: 56, 12, 4.

56 - значення, що зменшується,

12 і 4 - значення, що віднімаються.

Рішення можна виконати двома способами.

1 спосіб (послідовне віднімання віднімаються значень):

1) 56 - 12 = 44 (тут 44 - різниця двох перших величин, що вийшла, яка в другій дії буде зменшуваним);

2 спосіб (вилучення зі зменшуваної суми двох віднімаються, які в такому випадку називаються доданками):

1) 12 + 4 = 16 (де 16 - сума двох доданків, яка в наступній дії буде віднімається);

2) 56 - 16 = 40.

Відповідь: 40 – різниця трьох значень.

Приклад 5. Знайти різницю раціональних дробових чисел.

Дано дроби з однаковими знаменниками, де

4/5 - зменшуваний дріб,

3/5 - віднімається.

Щоб виконати рішення, потрібно повторити події з дробами. Тобто треба знати як віднімати дроби з однаковим знаменником. Як поводитися з дробами, які мають різні знаменники. Їх треба вміти привести до спільного знаменника.

Рішення: 4/5 – 3/5 = (4 – 3)/5 = 1/5

Відповідь: 1/5.

Приклад 6. Потроїти різницю чисел.

А як виконати такий приклад, коли потрібно подвоїти чи потроїти різницю?

Знову вдамося до правил:

Подвоєне число – це величина, помножена на два.
Потрійне число – це величина, помножена на три.
Подвоєна різницю - це різниця величин, помножена на два.
Потрійна різницю - це різниця величин, помножена на три.

7 - величина, що зменшується,

5 - віднімається величина.

2) 2 * 3 = 6. Відповідь: 6 - різниця чисел 7 та 5.

Приклад 7. Знайти різницю величин 7 та 18.

7 - величина, що зменшується;

18 - віднімається.

Начебто все зрозуміло. Стоп! Віднімаємо більше зменшуваного?

І знову є застосовуване для конкретного випадку правило:

Якщо віднімання більше зменшуваного, різниця виявиться негативною.

Відповідь: - 11. Це негативне значення і є різниця двох величин, за умови, що величина, що віднімається, більше зменшуваної.

Математика для блондинок

У Всесвітньому павутинні можна знайти масу тематичних сайтів, які дадуть відповідь на будь-яке запитання. Так само в будь-яких математичних розрахунках вам допоможуть онлайн-калькулятори на будь-який смак. Всі розрахунки, що виробляються на них, чудова підмога для квапливих, нецікавих, лінивих. Математика для блондинок – один із таких ресурсів. Причому вдаються до нього ми всі, незалежно від кольору волосся, статі та віку.

У школі подібні дії з математичними величинами нас навчали обчислювати у стовпчик, а пізніше – на калькуляторі. Калькулятор - це також зручна підмога. Але, для розвитку мислення, інтелекту, кругозору та інших життєвих якостей, радимо виробляти арифметичні дії на папері чи навіть в умі. Краса людського тіла – це велике досягнення сучасного фітнес-плану. Але мозок - це теж м'яз, який вимагає іноді її качати. Отже, не відкладаючи, починайте думати.

І нехай на початку шляху обчислення зводяться до примітивних прикладів, все у вас попереду. А освоїти доведеться чимало. Ми, що дій з різними величинами в математиці безліч. Тому крім різниці необхідно вивчити, як обчислити та інші результати арифметичних процесів:

суму - додаванням доданків;
твір – множенням множників;
приватне - розподілом поділеного на дільник.

Ось така цікава арифметика.

Визначення суми чисел

сумою (лат. summa- Результат, загальна кількість) чисел називається результат підсумовування цих чисел: . Зокрема, якщо складається два числа і , то

Завдання.Знайти суму чисел:

Відповідь.

Властивості суми чисел

Асоціативність:

З цих властивостей можемо зробити висновок, що з перестановки місць доданків сума не змінюється.

Дистрибутивність по відношенню до множення

Завдання.Знайти суму чисел зручним способом:

Рішення.За властивостями складання маємо

Відповідь. 1)

При додаванні великих чисел або десяткових дробів використовується додавання в стовпчик.

Рішення.Складаємо ці числа до стовпчика, для цього запишемо їх один під одним, розряд під розрядом. У разі десяткових дробів орієнтуємось на те, щоб кома першого числа стояла під комою другого. Далі складаємо числа, що стоять один під одним, рухаючись праворуч на ліво і записуючи результат під рисою дробу. Якщо сума чисел в одному стовпці перевищує десять, то кількість десятків додаємо до чисел, що стоять у наступному стовпці зліва від цього стовпця:

Відповідь. 1)

Додавання раціональних дробів проводиться за правилом

Рішення.Обчислимо першу суму, використовуючи правило складання раціональних чисел

Чисельник та знаменник отриманого дробу можна скоротити на 2, тоді у відповіді отримаємо

Для обчислення другої суми, перетворимо спочатку другий доданок в неправильний дріб, для цього помножимо цілу частину на знаменник і додамо отримане число до чисельника. Далі застосуємо правило додавання раціональних дробів

Виділимо в отриманому дробі цілу частину, при цьому розділимо чисельник на знаменник із залишком. Отримане приватне запишемо в цілу частину, а залишок від поділу на чисельник.

Відповідь. 1) ; 2)

Як знайти різницю чисел у математиці

Арифметичні дії з числами

приватне – результат поділу.

сума – додати;

твір – помножити;

Різниця чисел означає, наскільки одне з них більше за інше.

Це цифра, яка становить залишок при мінусуванні двох величин.

Це результат однієї з чотирьох арифметичних дій, яким є віднімання.

Це те, що вийде, якщо зі зменшуваного відібрати віднімається.

Як знайти різницю величин

Різницею називається результат віднімання одного числа з іншого. Перше з цих чисел, з якого здійснюється віднімання, називається зменшуваним, а друге, яке віднімають з першого, називається віднімається.

Ще раз вдавшись до шкільної програми, ми знаходимо правило, як знайти різницю:

Приклад 3. Знайти значення, що віднімається.

Рішення: 17 – 7 = 10

Дано цілі значення: 56, 12, 4.

12 і 4 - значення, що віднімаються.

1 спосіб (послідовне віднімання віднімаються значень):

2 спосіб (вилучення зі зменшуваної суми двох віднімаються, які в такому випадку називаються доданками):

Відповідь: 40 – різниця трьох значень.

Приклад 5. Знайти різницю раціональних дробових чисел.

Дано дроби з однаковими знаменниками, де

4/5 - зменшуваний дріб,

Рішення: 4/5 – 3/5 = (4 – 3)/5 = 1/5

А як виконати такий приклад, коли потрібно подвоїти чи потроїти різницю?

Подвоєне число – це величина, помножена на два.
Потрійне число – це величина, помножена на три.
Подвоєна різницю - це різниця величин, помножена на два.
Потрійна різницю - це різниця величин, помножена на три.

2) 2 * 3 = 6. Відповідь: 6 - різниця чисел 7 та 5.

7 - величина, що зменшується;

Якщо віднімання більше зменшуваного, різниця виявиться негативною.

твір – множенням множників;
приватне - розподілом поділеного на дільник.

Основними арифметичними діями математики є:

Кожен результат цих дій також має свою назву:

сума - результат, що вийшов під час складання чисел;
твір – результат множення чисел;

Це цікаво: що таке модуль числа?

різницю - відібрати;
приватне – розділити.

Це віднімання одного числа з іншого.

Візьмемо за основу те позначення різниці, яке нам пропонує шкільна програма:

Зменшуване - це математичне число, від якого забирають і воно зменшується (стає менше).
Віднімання - це математичне число, яке віднімають із зменшуваного.
Щоб знайти зменшуване, треба до віднімання додати різницю.
Щоб знайти віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Математичні дії з різницею чисел

Рішення: 20 – 15 = 5

Рішення: 32 + 48 = 80

Відповідь: значення, що віднімається 10.

Більш складні приклади

Рішення можна виконати двома способами.

1) 56 - 12 = 44 (тут 44 - різниця двох перших величин, що вийшла, яка в другій дії буде зменшуваним);

1) 12 + 4 = 16 (де 16 - сума двох доданків, яка в наступній дії буде віднімається);

Начебто все зрозуміло. Стоп! Віднімаємо більше зменшуваного?

Математика для блондинок

різницю - результат, що вийшов при відніманні чисел;

Різниця у математиці

Різницею в математиці називається результат, що вийшов при відніманні друг від друга двох чи більше чисел.
Це величина, що є результатом віднімання двох значень.
Різниця показує кількісну різницю між двома цифрами.

І всі ці визначення є вірними.

Щоб знайти різницю, треба від зменшуваного відібрати віднімається.

Все зрозуміло. Але ми отримали ще кілька математичних термінів. Що вони означають?

Прості приклади

Приклад 1. Визначити різницю двох величин.

20 - значення, що зменшується,

Відповідь: 5 – різниця величин.

Приклад 2. Знайти зменшуване.

32 - значення, що віднімається.

17 - величина, що зменшується.

Приклад 4. Визначити різницю трьох значень.

56 - значення, що зменшується,

Приклад 6. Потроїти різницю чисел.

Знову вдамося до правил:

7 - величина, що зменшується,

5 - віднімається величина.

Приклад 7. Знайти різницю величин 7 та 18.

І знову є застосовуване для конкретного випадку правило:

суму - додаванням доданків;

Ось така цікава арифметика.

1-й клас Математика. «Сума та значення суми»

Цілі:

Ознайомити та формувати вміння користуватися математичними термінами "сума", "значення суми". Удосконалювати обчислювальні навички.

Розвивати вміння порівнювати, аналізувати, узагальнювати. Розвивати математичну мову, інтерес до математики.

Виховувати самостійність, дисциплінованість, уміння працювати у колективі.

Обладнання: Крейда, дошка, картки, мультимедійна установка, презентація.

1. Організація класу під час урок.

2. Повідомлення теми та цілей уроку:

Сьогодні на уроці ми відкриватимемо та розкриватимемо таємниці математики. Отже, у дорогу!

3. Ознайомлення з новим матеріалом.

Хлопці, а ви любите казки? А казки Уолта Діснея? Зараз я зачитаю уривок із казки, а ви спробуйте здогадатися про кого йдеться.

Прокидайся, друже Пугаче! - весело крикнуло зайченя Товстун. - Новий принц народився!

Радісна звістка миттєво облетіла ліс, і всі лісові жителі поспішали подивитися на новонародженого оленя. Вони розчулювалися, дивлячись на те, як він намагається встати. Його ніжки були ще надто слабкими, і він увесь час падав.

Хто його впізнав? Це дійсно оленя на ім'я Бембі. І ось одного разу настав час познайомити його з лісом. З казки ми з вами знаємо, що Бембі допитливий, тому він захоплювався всім, що бачив навколо.

Давайте ми з вами вирушимо з оленятком у незвичайний «ліс-математики».

Оленя потрапляє на галявину і бачить безліч квітів. Але придивившись ближче, він зауважує, що квіти зберігають у собі якусь таємницю.

Допоможіть йому розгадати цю таємницю.

Подивіться та скажіть, що ви бачите? Які різні математичні записи ми можемо скласти?

Формули скороченого множення

При розрахунку багаточленів алгебри для спрощення обчислень використовуються формули скороченого множення. Усього таких формул сім. Їх все потрібно знати напам'ять.

Слід також пам'ятати, що замість a і b у формулах можуть стояти як числа, так і будь-які інші алгебраїчні багаточлени.

Різниця квадратів

Різниця квадратівдвох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел та його суми.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 з 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суми

Квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Зауважте, що за допомогою цієї формули скороченого множення легко знаходити квадрати великих чиселне використовуючи калькулятор або множення в стовпчик. Пояснимо на прикладі:

Розкладемо 112 на суму чисел, чиї квадрати ми добре пам'ятаємо.
112 = 100 + 1
Запишемо суму чисел у дужки та поставимо над дужками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Скористаємося формулою квадрата суми:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Пам'ятайте, що формула квадрат суми також справедлива для будь-яких багаточленів алгебри.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Квадрат різниці

Квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Також варто запам'ятати дуже корисне перетворення:

Формула вище доводиться простим розкриттям дужок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потрійний добуток квадрата першого числа на другий плюс потрійний добуток першого на квадрат другого плюс куб другого.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Як запам'ятати куб суми

Запам'ятати цю «страшну» на вигляд формулу досить легко.

Вивчіть, що на початку йде «a3».
Два многочлени посередині мають коефіцієнти 3 .
Згадаймо, що будь-яке число в нульовому ступені є 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко зауважити, що у формулі йде зниження ступеня «a» та збільшення ступеня «b». У цьому можна переконатися:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Застереження!

Куб різниці

Куб різницідвох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потрійний добуток квадрата першого числа на друге плюс потрійний добуток першого числа на квадрат другого мінус куб другого.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запам'ятовується ця формула як і попередня, але з урахуванням чергування знаків « + » і « − ». Перед першим членом a 3 стоїть + (за правилами математики ми його не пишемо). Отже, перед наступним членом стоятиме «−», потім знову «+» тощо.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сума кубів

Чи не плутати з кубом суми!

Сума кубівдорівнює добутку суми двох чисел на неповний квадрат різниці.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Сума кубів – це твір двох дужок.

Перша дужка – сума двох чисел.
Друга дужка – неповний квадрат різниці чисел. Неповним квадратом різниці називають вираз:
(a 2 − ab + b 2)
Цей квадрат неповний, тому що посередині замість подвоєного добутку звичайний добуток чисел.

Різниця кубів

Не плутати з кубом різниці!

Різниця кубівдорівнює добутку різниці двох чисел на неповний квадрат суми.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте уважні під час запису знаків.

Застосування формул скороченого множення

Слід пам'ятати, що це формули, наведені вище, використовується і справа наліво.

Багато прикладів у підручниках розраховані те що, що з допомогою формул зберете многочлен назад.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицю з усіма формулами скороченого множення ви можете завантажити в розділі "Шпаргалки".

21. Куб суми та куб різниці. Правила

За будь-яких значень a і b вірна рівність

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2 a b + b 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Так як рівність (1) правильна при будь-яких значеннях a і b,
формулою куба суми. Якщо в цю формулу замість a та b
то знову вийде тотожність.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3 . (2)

Тому формула куба суми читається так:

куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу
плюс потрійний добуток квадрата першого виразу та другого,
плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого,
плюс куб другого виразу.

(a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

A 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Так як рівність (3) вірна за будь-яких значень a і b,
то воно є тотожністю. Ця тотожність називається
формулою куба різниці. Якщо в цю формулу замість a та b
підставити якісь вирази, наприклад 5 y 3 і 2 z ,
то знову вийде тотожність.

(5 y 3 − 2 z) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (4)

Тому формула куба різниці читається так:

куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого виразу
мінус потроєний твір квадрата першого виразу та другого,
плюс потрійний твір першого виразу та квадрата другого,
мінус куб другого виразу.

Завдання на тему «Куб суми та куб різниці»

Використовуючи формулу куба суми чи куба різниці, перетворіть вираз
у багаточлен стандартного вигляду та виберіть правильну відповідь.

1) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 − c 3

2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Невірно. Не клакай на порожнє поле. (x + 2 y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Неправильно. Неправильно. Неправильно. Не клакай на порожнє поле. Неправильно. (3 a − 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 − 27 a 2 b + 12 a b 2 − 8 b 3

2) = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3

3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Невірно. Неправильно. Не клакай на порожнє поле. Неправильно. (

Пільгова пенсія за шкідливістю у 2018 році Загальна інформація Громадяни, яким належить пільгова пенсія за шкідливістю, обов'язково мають відпрацювати не менше 10 років у небезпечних та шкідливих умовах. Якщо стажу не вистачає, вихід на […]
Закон про захист прав споживачів ст 27-31 Спори про захист прав споживачів - одні з найпоширеніших та найактуальніших У спорах про захист прав споживачів, однією зі сторін завжди виступає громадянин, який набуває, замовляє товари […]
ЩО ВАЖЛИВО ЗНАТИ ПРО НОВИЙ ЗАКОНОПРОЕКТ ПРО ПЕНСІЇ Підписка на новини Лист для підтвердження підписки надіслано на вказаний вами e-mail. 15 березня 2018 року Пенсійний фонд нагадує, що з 2018 року програму материнського капіталу розширено […]
Адвокат вимагає покарати пристава, який не пустив його до зали суду Адвоката Євгена Баранникова не пустили до зали засідання до свого підзахисного, тоді як прокурору таке право надали. Баранников дійшов до касаційної інстанції в […]
Зразок претензії, якщо порушено права споживача під час використання послуг автосервісу При здачі автомобіля на автосервіс насамперед необхідно простежити за правильним оформленням документів. Відповідно до п. 15 "Правил надання послуг […]
Як здійснити повернення товару постачальнику в 1с Питання: Як зробити повернення товару постачальнику в "1С:Бухгалтерії 8" (ред. 3.0)? Дата публікації 11.05.2016 Використано реліз 3.0.43 Повернення не прийнятого на облік товару Повернення прийнятого на […]
Створення Навчального центру В даний час створення навчального центру можливе у двох варіантах: 1. Створення Навчального центру професійної підготовки (для робочих спеціальностей). 2. Створення корпоративного навчального центру у формі […]
Про морально-психологічне забезпечення оперативно-службової діяльності органів внутрішніх справ Російської Федерації МІНІСТЕРСТВО ВНУТРІШНІХ СПРАВ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ПРИКАЗ “11” лютого 2010 р. № 80 Про морально-психологічне забезпечення […]