Дайте визначення матриці. Види матриць

Матриці. Види матриць. Операції над матрицями та його властивості.

Визначник матриці n-го порядку. N, Z, Q, R, C,

Матрицею порядку m*n називається прямокутна таблиця з чисел, що містить m-рядок і n - стовпців.

Рівність матриць:

Дві матриці називаються рівними, якщо число рядків і стовпців однієї з них дорівнює відповідно числу рядків і стовпців іншого і відповідн. ел-ти цих матриць рівні.

Примітка: Ел-ти, які мають однакові індекси, є відповідними.

Види матриць:

Квадратна матриця: матриця називається квадратною, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців.

Прямокутна: матриця називається прямокутною, якщо число рядків не дорівнює числу стовпців.

Матриця рядок: матриця порядку 1 * n (m = 1) має вигляд a11, a12, a13 і називається матрицею рядка.

Матриця стовпець:………….

Діагональна: діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, тобто складається з елементів а11, а22 ... - називається головною діагоналлю. (опред: квадратна матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, крім тих, що розташовані на головній діагоналі, називається діагональною матрицею.

Поодинока: діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи розташовані на головній діагоналі і дорівнюють 1.

Верхня трикутна: А = | | aij | | називається верхньою трикутною матрицею, якщо aij=0. За умови i>j.

Нижня трикутна: aij=0. i

Нульова: це матриця Ел-ти якої дорівнює 0.

Операції над матрицями.

1.Транспонування.

2.Умножение матриці на число.

3.Складання матриць.

4.Умноження матриць.

Основні св-ва події над матрицями.

1.A+B=B+A (комутативність)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність)

3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивність)

4.(a+b)A=aA+bA (дистриб'ютор)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)

6.AB≠BA (відсутня кому.)

7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –виконується, якщо опред. Виробів матриць виконується.

8.A(B+C)=AB+AC (дистриб'ютор)

(B+C)A=BA+CA (дистриб'ютор)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Визначник квадратної матриці - визначення та його властивості. Розкладання визначника по рядках та стовпцях. Способи обчислення визначників.

Якщо матриця має порядок m>1, то визначник цієї матриці – число.

Алгебраїчним доповненням Aij ел-та aij матриці А називається мінор Mij, помножений на число

ТЕОРЕМА1: Визначник матриці А дорівнює сумі творів всіх елементів довільного рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.

Основні властивості визначників.

1. Визначник матриці не зміниться під час її транспонування.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак, а абсолютна величина його не змінюється.

3. Визначник матриці, що має два однакові рядки (стовпці) дорівнює 0.

4.При множенні рядка (стовпця) матриці на число її визначник множиться на це число.

5. Якщо один із рядків (стовпців) матриці складається з 0, то визначник цієї матриці дорівнює 0.

6. Якщо всі елементи i-го рядка (стовпця) матриці представлені у вигляді суми двох доданків, то її визначник можна подати у вигляді суми визначників двох матриць.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного стовпця (рядка) додати відповідно ел-ти іншого стовпця (рядка) попередньо множ. на те саме число.

8.Сума довільних елементів якогось стовпця (рядка) визначника на відповідне додаток алгебри елементів іншого стовпця (рядка) дорівнює 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Способи обчислення визначника:

1. За визначенням чи теоремою 1.

2. Приведення до трикутного вигляду.

Визначення та властивості зворотної матриці. Обчислення зворотної матриці. Матричні рівняння.

Визначення: Квадратна матриця порядку n називається зворотною до матриці А того ж порядку і позначається

Для того, щоб для матриці А існувала зворотна матриця, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А був відмінний від 0.

Властивості зворотної матриці:

1. Єдиність: для цієї матриці А її зворотна – єдина.

2. визначник матриці

3. Операція взяття транспонування та взяття матриці зворотної.

Матричні рівняння:

Нехай А та В дві квадратні матриці того ж порядку.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Поняття лінійної залежності та незалежності стовпців матриці. Властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи стовпців.

Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно залежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю.

Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно незалежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю.

Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти С(l) дорівнюють 0 і не тривіальною в іншому випадку.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2.для того, щоб стовпці були лінійно залежні необхідно і достатньо, щоб який-небудь стовпець був лінійною комбінацією інших стовпців.

Нехай 1 з стовпців є лінійною комбінацією інших стовпців.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" лінійно залежні, то і всі стовпці лінійно залежні.

4. Якщо система шпальт лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема так само лінійно незалежна.

(Все, що сказано щодо стовпців, справедливо і для рядків).

Мінори матриці. Базисні мінори. Ранг матриці. Метод обрамляють мінорів обчислення рангу матриці.

Мінором порядку до матриці А називається визначник елементи якого розташовані на перетині до рядків і до стовпців матриці А.

Якщо всі мінори до-го порядку матриці А = 0, то будь-який мінор порядку до +1 теж дорівнює 0.

Базовий мінор.

Рангом матриці А називається порядок її базового мінору.

Метод обрамляють мінорів: - Вибираємо не нульовий елемент матриці А (Якщо такого елемента не існує, то ранг А = 0)

Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку. (Якщо цей мінор не дорівнює 0, то ранг >=2) Якщо ранг цього мінору =0, то обрамляємо вибраний мінор 1-го порядку іншими мінорами 2-го порядку. (Якщо всі мінори 2-го порядку = 0, то ранг матриці = 1).

Ранг матриці. Способи знаходження рангу матриці.

Рангом матриці А називається порядок його базисного мінору.

Способи обчислення:

1) Метод окаймляющих мінорів: -Вибираємо ненульовий елемент матриці А (якщо такого елемента немає, то ранг =0) - Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку..gif" width="40" >r+1 Mr+1=0.

2) Приведення матриці до ступінчастого вигляду: цей метод ґрунтується на елементарних перетвореннях. При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється.

Елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

Перестановка двох рядків (стовпців).

Умножение всіх елементів деякого стовпця (рядки) число не =0.

Додаток до всіх елементів деякого стовпця (рядка) елементів іншого стовпця (рядка), попередньо помножених на одне і те ж число.

Теорема про базисний мінор. Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника.

Базовим мінором матриці А називається мінор найбільшого до-го порядку відмінного від 0.

Теорема про базисний мінор:

Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців).

Рядки та стовпці на перетині яких стоїть базисний мінор називаються відповідно базисними рядками та стовпцями.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необхідні та достатні умови рівності нулю визначника:

Для того щоб визначник n-го порядку = 0, необхідно і достатньо, щоб рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Системи лінійних рівнянь, їх класифікація та форми запису. Правило Крамер.

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на додаток алгебри A11 елемента a11, 2-е рівняння – на A21 і 3-е – на A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми.

Системи лінійних рівнянь. Умова сумісності лінійних рівнянь. Теорема Кронекер-Капеллі.

Рішенням системи алгебраїчних рівнянь називається така сукупність n чисел C1, C2, C3……Cn, яка при підстановці у вихідну систему на місце x1, x2, x3…..xn звертає всі рівняння системи у тотожності.

Система лінійних рівнянь алгебри називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має безліч рішень.

Умови сумісності систем лінійних рівнянь алгебри.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того щоб система m лінійних рівнянь з n невідомими була спільною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці А.

Примітка: Ця теорема дає лише критерії існування рішення, але не вказує способу пошуку рішення.

10 питання.

Системи лінійних рівнянь. Метод базисного мінору - загальний спосіб відшукування всіх рішень систем лінійних рівнянь.

A=a21 a22…..a2n

Метод базисного мінору:

Нехай система спільна та RgA=RgA'=r. Нехай базовий мінор розписаний у верхньому лівому кутку матриці А.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Якщо ранг основної матриці і аналізованої дорівнює r=n, то в цьому випадку dj=bj і система має єдине рішення.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь алгебри називається однорідною, якщо всі її вільні члени рівні нулю.

AX=0 – однорідна система.

АХ = В – неоднорідна система.

Однорідні системи завжди спільні.

Х1 = х2 = .. = хn = 0

Теорема 1.

Однорідні системи мають неоднорідні рішення, коли ранг матриці системи менший за кількість невідомих.

Теорема 2.

Однорідна система n-лінійних рівнянь з n-невідомими має нульове рішення, коли визначник матриці А дорівнює нулю. (detA=0)

Властивості розв'язків однорідних систем.

Будь-яка лінійна комбінація рішення однорідної системи є рішенням цієї системи.

α1C1 +α2C2; α1 та α2- деякі числа.

А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (AC2) = 0

Для неоднорідної системи це властивість немає місця.

Фундаментальна система рішень.

Теорема 3.

Якщо ранг матричної системи рівняння з n-невідомими дорівнює r, ця система має n-r лінійно-незалежних рішень.

Нехай базовий мінор у лівому верхньому кутку. Якщо r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система n-r лінійно-незалежних рішень однорідної системи лінійних рівнянь з n-невідомими рангами r називається фундаментальною системою рішень.

Теорема 4.

Будь-яке рішення системи лінійних рівнянь є лінійною комбінацією рішення фундаментальної системи.

С = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Якщо r

12 питання.

Загальне розв'язання неоднорідної системи.

Сон (заг. неоднор.) = Соо + Сч (приватне)

АХ = В (неоднорідна система); АХ = 0

(АСоо) +АСч = АСч = В, тому що (АСоо) = 0

Сон = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч

Метод Гауса.

Це спосіб послідовних винятків невідомих (змінних) – у тому, що з допомогою елементарних перетворень, вихідна система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх змінних, знаходять інші змінні.

Нехай а≠0 (якщо це не так, то перестановкою рівнянь домагаються цього).

1) виключаємо змінну х1 з другого, третього ... n-го рівняння, помножуючи перше рівняння на відповідні числа і додаючи отримані результати до 2-го, 3-го ... n-го рівняння, тоді отримуємо:

Отримуємо систему рівносильну вихідній.

2) виключаємо змінну х2

3) виключаємо змінну х3 і т.д.

Продовжуючи процес послідовного виключення змінних х4; х5 ... хr-1 отримаємо для (r-1) кроку.

Число нуль останніх n-r в рівняннях означають, що їхня ліва частина має вигляд: 0х1 +0х2+..+0хn

Якщо хоча б одне із чисел вr+1, вr+2… не дорівнюють нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) не спільна. Таким чином, для будь-якої спільної системи ця вr+1 … вm дорівнює нулю.

Останнє n-r рівняння у системі (1;r-1) є тотожностями і можна не брати до уваги.

Можливі два випадки:

а) число рівнянь системи (1; r-1) дорівнює числу невідомих, тобто r = n (у цьому випадку система має трикутний вигляд).

б) r

Перехід від системи (1) до рівносильної системи (1;r-1) називається прямим ходом методу Гаусса.

Про перебування змінної із системи (1;r-1) – зворотним ходом методу Гаусса.

Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи їх не з рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів.

13 питання.

Подібні матриці.

Розглянемо тільки квадратні матриці порядку n/

Матриця А називається подібною матриці (А~В), якщо існує така неособлива матриця S, що А=S-1BS.

Властивості таких матриць.

1) Матриця А подібна сама до себе. (А~А)

Якщо S=Е, тоді ЕАЕ=Е-1АЕ=А

2) Якщо А ~ В, то В ~ А

Якщо А = S-1ВS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Якщо А~В і одночасно В~С, то А~С

Дано, що А=S1-1BS1 і В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, де S3 = S2S1

4)Визначники подібних матриць рівні.

Дано, що А~В, треба довести, що detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (скорочуємо) = detB.

5) Ранги подібних матриць збігаються.

Власні вектори та власні значення матриць.

Число λ називається власним значенням матриці А, якщо існує ненульовий вектор Х(матр. стовпець) такий, що АХ= λ Х, вектор Х називається власним вектором матриці А, а сукупність всіх власних значень називається спектром матриці А.

Властивості власних векторів.

1)При множенні власного вектора число отримаємо власний вектор із тим самим власним значенням.

АХ = λ Х; Х≠0

α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)

2) Власні вектори з попарно-різними власними значеннями лінійно незалежні λ1, λ2,.. λк.

Нехай система складається з одного вектора, зробимо індуктивний крок:

С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn = 0 (1) – множимо на А.

С1 АХ1 + С2 АХ2 + .. + Сn АХn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Помножуємо на λn+1 і віднімемо

С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn + Сn +1 Хn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Потрібно щоб С1 = С2 = ... = Сn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Характеристичне рівняння.

А-λЕ називається характеристичною матрицею для матриці А.

Для того, щоб ненульовий вектор Х був власним вектором матриці А, відповідний власному значенню необхідно, щоб він був рішенням однорідної системи лінійно-алгебраїчних рівнянь (А - λЕ)Х = 0

Нетривіальне рішення система має тоді, коли det (А – XЕ) = 0 – це характеристичне рівняння.

Твердження!

Характеристичні рівняння таких матриць збігаються.

det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)

Характеристичний багаточлен.

det(A – λЕ)- функція щодо параметра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А.

Наслідок:

1) Якщо матриці А~В, то сума їх діагональних елементів збігається.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2)Багато власних значень подібних матриць збігаються.

Якщо характеристичні рівняння матриць збігаються, всі вони необов'язково подібні.

Для матриці А

Для матриці В

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Для того, щоб матриця А порядку n була діагоналізована, необхідно, щоб існували лінійно-незалежні власні вектори матриці А.

Слідство.

Якщо всі власні значення матриця А різні, вона діагоналізована.

Алгоритм знаходження власних векторів та власних значень.

1)складаємо характеристичне рівняння

2) знаходимо коріння рівнянь

3)складаємо систему рівнянь визначення свого вектора.

λi (A-λi E)X = 0

4) знаходимо фундаментальну систему рішень

x1,x2..xn-r, де r - ранг характеристичної матриці.

r = Rg(A - λi E)

5) власний вектор, власні значення λi записуються у вигляді:

X = С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn-r Хn-r, де С12 + С22 + ... С2n ≠ 0

6) перевіряємо, чи може матриця бути приведена до діагонального вигляду.

7) знаходимо Ag

Ag = S-1AS S =

15 питання.

Базис прямої, площини, простору.

DIV_ADBLOCK371">

Модулем вектора називається його довжина, тобто відстань між А та В (││, ││). Модуль вектора дорівнює нулю тоді, коли цей вектор нульовий (│ō│=0)

4.Орт вектор.

Ортом даного вектора називається вектор, який спрямований однаково з цим вектором і має модуль, що дорівнює одиниці.

Рівні вектори мають рівні орти.

5. Кут між двома векторами.

Це менша частина площі, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки і спрямовані однаково з цими векторами.

Складання векторів. Умноження вектора на число.

1) Додавання двох векторів

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)Умножение вектора на скаляр.

Добутком вектора та скаляра називають новий вектор, який має:

а) = добутки модуля множення вектора на абсолютну величину скаляра.

б) напрямок однаковий з множуваним вектором, якщо скаляр позитивний, і протилежний, якщо скаляр негативний.

λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Властивості лінійних операцій над векторами.

1. Закон комунітативності.

2. Закон асоціативності.

3. Додавання з нулем.

а(вектор)+ō= а(вектор)

4.Складання з протилежним.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Закон дистрибутивності.

Вираз вектор через його модуль і орт.

Максимальна кількість лінійно-незалежних векторів називаються базисом.

Базисом на прямий є будь-який вектор.

Базисом на площині є будь-які два некаленіарні вектори.

Базисом у просторі є система будь-яких трьох некомпланарних векторів.

Коефіцієнт розкладання вектора деяким базисом називається компонентами або координатами вектора в даному базисі.

Виконати дію складання та множення на скаляр, то в результаті будь-якої кількості таких дій отримаємо:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює ?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-незалежними, якщо не існує їхня нетривіальна лінійна комбінація.

Властивості лінійно-залежних та Незалежних векторів:

1) система векторів, що містить нульовий вектор лінійно-залежна.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> були лінійно-залежними, необхідно, щоб якийсь вектор був лінійною комбінацією інших векторів.

3) якщо частина векторів із системи а1(вектор), а2(вектор) ... ак(вектор) лінійно-залежні, то і всі вектори лінійно-залежні.

4)якщо всі вектори .

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Лінійні операції у координатах.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Скалярний добуток 2-х векторів – це число, що дорівнює добутку векторів на косинус кута між ними.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, тоді і тільки тоді, коли вектори ортоганальні або якийсь із векторів дорівнює 0.

4. Дистрибутивність (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Вираз скалярного твору a та b через їх координати

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

При виконанні умови (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> і називається третій вектор який задовольняє наступним рівнянням:

3. - права

Властивості векторного твору:

4. Векторний твір координатних ортів

Ортонормований базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Часто для позначення ортів ортонормованого базису використовуються 3 символи

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Якщо – це ортонормований базис, то

DIV_ADBLOCK375">

Пряма лінія на площині. Взаємне розташування 2 прямих. Відстань від точки до прямої лінії. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності 2-х прямих.

1. Часовий випадок розташування 2-х прямих на площині.

1)- рівняння прямої паралельної осі ОХ

2) - рівняння прямої паралельної осі ОУ

2. Взаємне розташування 2-х прямих.

Теорема 1 Нехай щодо афінної системи координат дано рівняння прямих

А) Тоді необхідна та достатня умова коли вони перетинаються має вигляд:

Б) Тоді необхідна і достатня умова того, що прямі паралельні є умова:

B) Тоді необхідною і достатньою умовою того, що прямі зливаються в одну є умова:

3. Відстань від точки до прямої.

Теорема. Відстань від точки до прямої щодо декартової системи координат:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності.

Нехай 2 прямі задані щодо декартової системи координат загальними рівняннями.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Якщо , то прямі перпендикулярні.

24 питання.

Площина у просторі. Умова комплонарності вектора та площини. Відстань від точки до площини. Умова паралельності та перпендикулярності двох площин.

1. Умова комплонарності вектора та площини.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Кут між 2-ма площинами. Умови перпендикулярності.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Якщо , то площини перпендикулярні.

25 питання.

Пряма ліня у просторі. Різні види рівняння прямої лінії у просторі.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторне прямого рівняння в просторі.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Канонічне рівняння пряме.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 питання.

Еліпс. Виведення канонічного рівняння еліпса. Форма. Властивості

Еліпс – геометричне місце точок, котрим сума відстаней від двох фіксованих відстаней, званих фокусами є це число 2a, більше відстань 2c між фокусами.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е дотичної до еліпсу

DIV_ADBLOCK378">

Канонічне рівняння гіперболи

Форма та св-ва

y=±b/a помножити на корінь (x2-a2)

Вісь симетрії гіперболи - її осі

Відрізок 2a - дійсна вісь гіперболи

Ексентриситет e=2c/2a=c/a

Якщо b=a виходить рівнобока гіпербола

Асимтота - називається пряма, якщо при необмеженому видаленні точки M1 по кривій відстань від точки до прямої прагне до нуля.

lim d=0 при x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

дотична гіперболи

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометричне місце точок, рівновіддалене від точки, названої фокусом і даною прямою, названою директрисою

Канонічне рівняння параболи

властивості

вісь симетрії параболи проходить через її фокус і перпендіукулярна до директриси.

якщо обертати параболу вийде еліптичний параболоїд

всі параболи подібні

питання 30. Дослідження рівняння загального виду кривої другого порядку.

Тип кривої опр. при старших членах A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->крива параболічного типу

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Якщо Е=0 => Ax2+2Dx+F=0

то x1 = x2 - зливається в одну

x1≠x2 - прямі паралельні Оу

x1≠x2 і коріння уявне, не має геометричного образу

З≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Висновок: крива параболічного типу це або парабола, або 2 паралельні прямі, або уявні, або в одну зливаються.

2.AC>0 -> крива еліптичного типу

Доповнюючи до повного квадрата вихідне рівняння перетворимо до канонічного, тоді отримаємо випадки

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - еліпс

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - уявний еліпс

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка з координатою x0 y0

Висновок: крива ел. типу це або еліпс, або уявний, або крапка

3. АС<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гіпербола, дійсна вісь паралельна Ох

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гіпербола, дійсна вісь паралельна Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двох прямих

Висновок: крива гіперболічного типу це або гіпербола, або дві прямі

Матрицею розмірності називається таблиця чисел, що містить рядків та стовпців. Числа називаються елементами цієї матриці, де номер рядка, номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент. Матриця, що містить рядків та стовпців, має вигляд: .

Види матриць:

1) при – квадратна , причому називають порядком матриці ;

2) квадратна матриця, у якої всі недіагональні елементи дорівнюють нулю

– діагональна ;

3) діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні

одиниці – одинична і позначається;

4) при – прямокутна ;

5) при - матриця-рядок (вектор-рядок);

6) при - матриця-стовпець (вектор-стовпець);

7) за всіх – нульова матриця.

Зауважимо, що основною числовою характеристикою квадратної матриці є її визначник. Визначник, відповідний матриці -го порядку, також має порядок.

Визначником матриці 1-го порядку називається число.

Визначником матриці 2-го порядку називається число . (1.1)

Визначником матриці 3-го порядку називається число . (1.2)

Наведемо необхідні подальшого викладу визначення.

Мінором М ij елемента а ij матриці n-гопорядку А називається визначник матриці ( n-1)-держаку, отриманої з матриці А шляхом викреслення i-ого рядка та j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням А ij елемента а ij матриці n- гопорядка А називається мінор цього елемента, взятий зі знаком .

Сформулюємо основні властивості визначників, властиві визначникам всіх порядків і спрощують їх обчислення.

1. Під час транспонування матриці її визначник не змінюється.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак.

3. Визначник, що має два пропорційні (рівні) рядки (стовпці), дорівнює нулю.

4. Загальний множник елементів якогось рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

5. Якщо елементи якогось рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників.

6. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на будь-яке число.

7. Визначник матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого його рядка (стовпця) на доповнення алгебри цих елементів.

Пояснимо цю властивість з прикладу визначника 3-го порядку. В даному випадку властивість 7 означає, що - Розкладання визначника по елементах 1-го рядка. Зауважимо, що з розкладання вибирають той рядок (стовпець), де є нульові елементи, оскільки відповідні їм доданки в розкладанні звертаються в нуль.

Властивість 7 є теоремою про розкладання визначника, сформульовану Лапласом.

8. Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на додатки алгебри відповідних елементів іншого його рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Остання властивість часто називають псевдорозкладом визначника.

Запитання для самоперевірки.

1. Що називається матрицею?

2. Яка матриця називається квадратною? Що розуміється під її порядком?

3. Яка матриця називається діагональною, одиничною?

4. Яка матриця називається матрицею-рядком і матрицею-стовпцем?

5. Що є основною числовою характеристикою квадратної матриці?

6. Яке число називається визначником 1-го, 2-го та 3-го порядку?

7. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням елемента матриці?

8. Які основні властивості визначників?

9. За допомогою якої властивості можна визначити обчислювач будь-якого порядку?

Дії над матрицями(схема 2)

На безлічі матриць визначено ряд операцій, основними серед яких є такі:

1) транспонування - Заміна рядків матриці на стовпці, а стовпців на рядки;

2) множення матриці на число проводиться поелементно, тобто , де , ;

3) додавання матриць, визначене тільки для матриць однієї розмірності;

4) множення двох матриць, визначене лише узгоджених матриць.

Сумою (різницею) двох матриць називається така результуюча матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі (різниці) відповідних елементів матриць-складників.

Дві матриці називаються узгодженими якщо кількість стовпців першої з них дорівнює кількості рядків іншого. Добутком двох узгоджених матриць і називається така результуюча матриця , що , (1.4)

де , . Звідси випливає, що елемент -ого рядка і -го стовпця матриці дорівнює сумі попарних творів елементів -ого рядка матриці на елементи -го стовпця матриці.

Добуток матриць не комутативно, тобто А . У В . А. Виняток становить, наприклад, добуток квадратних матриць на одиничну А . Е = Е . А.

приклад 1.1.Перемножити матриці A та B, якщо:

.

Рішення.Так як матриці узгоджені (кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці), то скористаємося формулою (1.4):

Запитання для самоперевірки.

1. Які дії здійснюються над матрицями?

2. Що називається сумою (різницею) двох матриць?

3. Що називається добутком двох матриць?

Метод Крамера розв'язання квадратних систем лінійних рівнянь алгебри(схема 3)

Дамо низку необхідних визначень.

Система лінійних рівнянь називається неоднорідний , якщо хоча б один її вільний член відмінний від нуля, та однорідний якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел, який, будучи підставленим замість змінних у систему, перетворює кожне її рівняння на тотожність.

Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несумісний якщо вона рішень не має.

Спільна система рівнянь називається певною , якщо вона має єдине рішення, та невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

Розглянемо неоднорідну квадратну систему лінійних рівнянь алгебри, що має наступний загальний вигляд:

. (1.5) Головною матрицею системи лінійних рівнянь алгебри називається матриця, складена з коефіцієнтів, що стоять при невідомих: .

Визначник головної матриці системи називається головним визначником і позначається.

Допоміжний визначник виходить з головного визначника шляхом заміни стовпця на стовпець вільних членів.

Теорема 1.1 (теорема Крамера).Якщо головний визначник квадратної системи лінійних рівнянь алгебри відмінний від нуля, то система має єдине рішення, що обчислюється за формулами:

Якщо головний визначник , то система або має безліч рішень (при всіх нульових допоміжних визначниках), або взагалі рішення не має (за відмінності від нуля хоча б одного з допоміжних визначників)

У світлі наведених вище визначень теорема Крамера може бути сформульована інакше: якщо головний визначник системи лінійних рівнянь алгебри відмінний від нуля, то система є спільною певною і при цьому ; якщо головний визначник нульової, то система є або спільною невизначеною (за всіх ), або несумісною (за відмінності хоча б одного з нуля).

Після цього слід провести перевірку одержаного рішення.

приклад 1.2.Вирішити систему методом Крамера

Рішення.Оскільки головний визначник системи

відмінний від нуля, система має єдине рішення. Обчислимо допоміжні визначники

Скористайтеся формулами Крамера (1.6): , ,

Запитання для самоперевірки.

1. Що називається розв'язком системи рівнянь?

2. Яка система рівнянь називається спільною, несумісною?

3. Яка система рівнянь називається певною, невизначеною?

4. Яка матриця системи рівнянь називається головною?

5. Як обчислити допоміжні визначники системи лінійних рівнянь алгебри?

6. У чому полягає суть методу Крамера розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри?

7. Якою може бути система лінійних рівнянь алгебри, якщо її головний визначник дорівнює нулю?

Розв'язання квадратних систем лінійних рівнянь алгебри методом зворотної матриці(схема 4)

Матриця, що має відмінний від нуля визначник, називається невиродженою ; має визначник рівний нулю – виродженою .

Матриця називається зворотною для заданої квадратної матриці якщо при множенні матриці на зворотну їй як праворуч, так і зліва, виходить одинична матриця, тобто . (1.7)

Зауважимо, що в даному випадку добуток матриць і комутативно.

Теорема 1.2.Необхідною та достатньою умовою існування зворотної матриці для заданої квадратної матриці є відмінність від нуля визначника заданої матриці

Якщо головна матриця системи виявилася під час перевірки виродженою, то неї немає зворотної, і аналізований метод застосувати не можна.

Якщо головна матриця невироджена, тобто визначник 0, для неї можна знайти зворотну матрицю за наступним алгоритмом.

1. Обчислити додатки алгебри всіх елементів матриці .

2. Виписати знайдені додатки алгебри в матрицю транспоновано.

3. Скласти зворотну матрицю за такою формулою: (1.8)

4. Зробити перевірку правильності знайденої матриці А-1 згідно з формулою (1.7). Зауважимо, що ця перевірка може бути включена до підсумкової перевірки самого рішення системи.

Система (1.5) лінійних рівнянь алгебри може бути представлена ​​у вигляді матричного рівняння: , де - головна матриця системи, - стовпець невідомих, - стовпець вільних членів. Помножимо це рівняння зліва на зворотну матрицю, отримаємо:

Так як за визначенням зворотної матриці, то рівняння набуває вигляду або . (1.9)

Таким чином, щоб вирішити квадратну систему лінійних рівнянь алгебри потрібно стовпець вільних членів помножити зліва на матрицю, зворотну для головної матриці системи. Після цього слід перевірити отримане рішення.

приклад 1.3.Вирішити систему методом зворотної матриці

Рішення.Обчислимо головний визначник системи

. Отже, матриця невироджена та зворотна до неї матриця існує.

Знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів головної матриці:

Запишемо додатки алгебри транспоновано в матрицю

. Скористаємося формулами (1.8) та (1.9) для знаходження рішення системи

Запитання для самоперевірки.

1. Яка матриця називається виродженою, невиродженою?

2. Яка матриця називається зворотною для заданої? Яка умова її існування?

3. Яким є алгоритм знаходження зворотної матриці для заданої?

4. Якому матричному рівнянню еквівалентна система лінійних рівнянь алгебри?

5. Як вирішити систему лінійних рівнянь алгебри за допомогою зворотної матриці для головної матриці системи?

Дослідження неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри(схема 5)

Дослідження будь-якої системи лінійних рівнянь алгебри починається з перетворення її розширеної матриці методом Гаусса. Нехай розмірність головної матриці системи дорівнює.

Матриця називається розширеною матрицею системи , якщо поруч із коефіцієнтами при невідомих, вона містить стовпець вільних членів. Отже, розмірність дорівнює .

Метод Гауса заснований на елементарні перетворення , до яких належать:

- Перестановка рядків матриці;

- множення рядків матриці на відмінне від керма число;

- поелементне складання рядків матриці;

- Викреслення нульового рядка;

– транспонування матриці (у разі перетворення виробляються по стовпцям).

Елементарні перетворення приводять початкову систему до системи, еквівалентної їй. Системи називаються еквівалентними якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень.

Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля її мінорів. Елементарні перетворення рангу матриці не змінюють.

На питання наявності рішень у неоднорідної системи лінійних рівнянь відповідає наступна теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капеллі).Неоднорідна система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу її головної матриці, тобто.

Позначимо кількість рядків, що залишилися в матриці після методу Гауса, через (відповідно, в системі залишається рівнянь). Ці рядки матриці називаються базисними .

Якщо система має єдине рішення (є спільною певною), її матриця елементарними перетвореннями приводиться до трикутного вигляду. Таку систему можна вирішити методом Крамера за допомогою зворотної матриці або універсальним методом Гауса.

Якщо (кількість змінних у системі більше рівнянь), матриця елементарними перетвореннями наводиться до ступінчастого виду. Така система має безліч рішень та є спільною невизначеною. У разі для знаходження рішень системи необхідно виконати ряд операцій.

1. Залишити у лівих частинах рівнянь системи невідомих ( базисні змінні ), решту невідомих перенести на праві частини ( вільні змінні ). Після поділу змінних на базисні та вільні система набуває вигляду:

. (1.10)

2. З коефіцієнтів при базисних змінних скласти мінор ( базисний мінор ), який має бути відмінний від нуля.

3. Якщо базисний мінор системи (1.10) дорівнює нулю, то одну з базисних змінних замінити на вільну; отриманий базисний мінор перевірити на відміну від нуля.

4. Застосовуючи формули (1.6) методу Крамера, вважаючи праві частини рівнянь їх вільними членами, знайти вираз базисних змінних через вільні у вигляді. Отриманий упорядкований набір змінних системи є її загальним рішенням .

5. Надаючи вільним змінним (1.10) довільні значення, обчислити відповідні значення базисних змінних. Отриманий упорядкований набір значень всіх змінних називається приватним рішенням системи, що відповідає даним значенням вільних змінних. Система має безліч приватних рішень.

6. Отримати базисне рішення системи – приватне рішення, одержуване за нульових значень вільних змінних.

Зауважимо, що кількість базисних наборів змінних системи (1.10) дорівнює числу поєднань з елементів елементів . Так як кожному базисному набору змінних відповідає своє базисне рішення, отже, базисних рішень у системи також.

p align="justify"> Однорідна система рівнянь завжди спільна, так як має хоча б одне - нульове (тривіальне) рішення. Для того щоб однорідна система лінійних рівнянь зі змінними мала ненульові рішення, необхідно і достатньо, щоб її головний визначник дорівнював нулю. Це означає, що ранг її головної матриці менший за кількість невідомих . У цьому випадку дослідження однорідної системи рівнянь на загальне та приватні рішення проводиться аналогічно до дослідження неоднорідної системи. Рішення однорідної системи рівнянь мають важливу властивість: якщо відомі два різні рішення однорідної системи лінійних рівнянь, то їх лінійна комбінація також є рішенням цієї системи. Неважко переконатися у справедливості наступної теореми.

Теорема 1.4.Загальне рішення неоднорідної системи рівнянь є сумою загального рішення відповідної однорідної системи та деякого приватного розв'язання неоднорідної системи рівнянь

приклад 1.4.

Дослідити задану систему та знайти одне приватне рішення:

Рішення.Випишемо розширену матрицю системи та застосуємо до неї елементарні перетворення:

. Так як і , то по теоремі 1.3 (Кронекера-Капеллі) задана система лінійних рівнянь алгебри спільна. Кількість змінних, тобто, значить, система є невизначеною. Кількість базисних наборів змінних системи дорівнює

. Отже, базовими можуть бути 6 комплектів змінних: . Розглянемо один із них. Тоді систему, отриману внаслідок методу Гауса, можна переписати як

. Головний визначник . За допомогою методу Крамер шукаємо загальне рішення системи. Допоміжні визначники

За формулами (1.6) маємо

. Дане вираз базисних змінних через вільні є загальним рішенням системи:

За конкретних значень вільних змінних із загального рішення отримуємо приватне рішення системи. Наприклад, приватне рішення відповідає значенням вільних змінних . При отримуємо базисне рішення системи

Запитання для самоперевірки.

1. Яка система рівнянь називається однорідною, неоднорідною?

2. Яка матриця називається розширеною?

3. Перерахуйте основні елементарні перетворення матриць. Який метод розв'язання систем лінійних рівнянь ґрунтується на цих перетвореннях?

4. Що називається рангом матриці? Яким чином його можна обчислити?

5. Про що говорить теорема Кронекера-Капеллі?

6. До якого виду може бути наведена система лінійних рівнянь алгебри в результаті її вирішення методом Гауса? Що це означає?

7. Які рядки матриці називаються базисними?

8. Які змінні системи називаються базисними, які є вільними?

9. Яке рішення неоднорідної системи називається приватним?

10. Яке її рішення називається базисним? Скільки базових рішень має неоднорідна система лінійних рівнянь?

11. Яке рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри називається загальним? Сформулюйте теорему про загальне розв'язання неоднорідної системи рівнянь.

12. Які основні властивості розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь алгебри?

Зауважимо, що елементами матриці можуть бути не лише числа. Уявімо, що ви описуєте книги, які стоять на вашій книжковій полиці. Нехай у вас на полиці порядок і всі книги стоять на певних місцях. Таблиця , яка міститиме опис вашої бібліотеки (по полицях і слідування книг на полиці), теж буде матрицею. Але така матриця буде не числовою. Інший приклад. Замість чисел стоять різні функції, поєднані між собою деякою залежністю. Отримана таблиця також називатиметься матрицею. Іншими словами, Матриця, це будь-яка прямокутна таблиця, складена з одноріднихелементів. Тут і далі ми говоритимемо про матриці, складені з чисел.

Замість круглих дужок для запису матриць застосовують квадратні дужки або прямі подвійні вертикальні лінії.

(2.1*)

Визначення 2. Якщо у виразі(1) m = n, то говорять про квадратної матриці, а якщо , то про прямокутної.

Залежно від значень m та n розрізняють деякі спеціальні види матриць:

Найважливішою характеристикою квадратнийматриці є її визначникабо детермінант, Що складається з елементів матриці і позначається

Очевидно, що D E = 1; .

Визначення 3. Якщо , то матриця A називається невиродженою або не особливою.

Визначення 4. Якщо detA = 0, то матриця A називається виродженою або особливою.

Визначення 5. Дві матриці A і B називаються рівними та пишуть A = B, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні елементи рівні, тобто.

Наприклад, матриці та рівні, т.к. вони дорівнюють за розміром і кожен елемент однієї матриці дорівнює відповідному елементу іншої матриці. А ось матриці і не можна назвати рівними, хоча детермінанти обох матриць рівні, і розміри матриць однакові, але не всі елементи, що стоять на тих самих місцях рівні. Матриці та різні, тому що мають різний розмір. Перша матриця має розмір 2х3, а друга 3х2. Хоча кількість елементів однакова - 6 і самі елементи однакові 1, 2, 3, 4, 5, 6, але вони стоять на різних місцях у кожній матриці. А ось матриці і дорівнюють, згідно з визначенням 5.

Визначення 6. Якщо зафіксувати кілька стовпців матриці A і така сама кількість ee рядків, тоді елементи, що стоять на перетині зазначених стовпців і рядків утворюють квадратну матрицю n - го порядку, визначник якої називається мінором k – го порядку матриці A.

приклад. Виписати три мінори другого порядку матриці

Крапки у просторі, твір Rvдає інший вектор, який визначає положення точки після обертання. Якщо v- Вектор-рядок , таке ж перетворення можна отримати, використовуючи vR T , де R T - транспонована до Rматриця.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олімпіада - Квадратна спіраль

Матриця: визначення та основні поняття

Де брати сили та натхнення Підзарядка 4 квадратної матриці

Сума та різниця матриць, множення матриці на число

Транспонована матриця / Транспонована матриця

Субтитри

Головна діагональ

Елементи a ii (i = 1, ..., n) утворюють головну діагональ квадратної матриці. Ці елементи лежать на уявній прямій, що проходить з верхнього лівого кута в правий нижній кут матриці. Наприклад, головна діагональ 4х4 матриці на малюнку містить елементи a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Діагональ квадратної матриці, що проходить через нижній лівий і верхній правий кути, називається побічний.

Спеціальні види

Назва	Приклад з n = 3
Діагональна-матриця	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))))
Нижня, трикутна, матриця	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Верхня, трикутна, матриця	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Діагональні та трикутні матриці

Якщо всі елементи поза головною діагоналі нульові, Aназивається діагональною. Якщо всі елементи над (під) головною діагоналлю нульові, Aназивається нижньою (верхньою) трикутною матрицею .

Одинична матриця

Q(x) = x T Ax

приймає тільки позитивні значення (відповідно, негативні значення або ті, й інші). Якщо квадратична форма набуває лише невід'ємних (відповідно, тільки непозитивних) значень, симетрична матриця називається позитивно напіввизначеною (відповідно, негативно напіввизначеною). Матриця буде невизначеною, якщо ні позитивно, ні негативно напіввизначена.

Симетрична матриця позитивно визначена і тоді, коли її власні значення позитивні. Таблиця праворуч показує два можливі випадки для матриць 2×2.

Якщо використовувати два різних вектори, отримаємо білінійну форму, пов'язану з A:

B A (x, y) = x T Ay.

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця- це квадратна матриця з речовими елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто ортонормальними). Можна також визначити ортогональну матрицю як матрицю, обернена до якої дорівнює транспонованій:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

звідки випливає

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

Ортогональна матриця Aзавжди оборотна ( A −1 = A T), унітарна ( A −1 = A*), і нормальна ( A*A = AA*). Визначник будь-якої ортонормальної матриці дорівнює або +1 або -1. В якості лінійного відображення будь-яка ортонормальна матриця з визначником +1 є простим поворотом , в той час як будь-яка ортонормальна матриця з визначником −1 є або простим відображенням або композицією відображення і повороту.

Операції

Слід

Визначник det( A) чи | A| квадратної матриці A- Це число, що визначає деякі властивості матриці. Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли її визначник ненульовий.

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а інші - нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матрицьтобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

Приклад 1

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Приклад 2

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються з метою аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють найбільше значення і формується матриця стандартизованих коефіцієнтів .

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, для порівняльного аналізу різних інвестиційних проектів, а також для оцінки інших економічних показників діяльності організацій.