Дії з квадратним корінням. Модуль

Властивості квадратного коріння

Досі ми здійснювали над числами п'ять арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення, Розподіл і зведення в ступінь, причому при обчисленнях активно використовували різні властивості цих операцій, наприклад, а + b = b + а, аn-bn = (аb)n і т.д.

У цьому розділі запроваджено нову операцію - вилучення квадратного кореня з неотрицательного числа. Щоб успішно її використовувати, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції, що ми зробимо в параграфі.

Доведення. Введемо такі позначення: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Рівність" width="120" height="25 id=">!}.

Наступну теорему саме так і оформимо.

(Коротке формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коренів або корінь із приватного дорівнює приватному від коренів.)

На цей раз ми наведемо лише короткий запис доказу, а ви спробуйте зробити відповідні коментарі, аналогічні тим, що склали суть доказу теореми 1.

Примітка 3. Звичайно, цей приклад можна вирішити інакше, особливо якщо у вас під рукою мікрокалькулятор: перемножити числа 36, 64, 9, а потім витягти квадратний корінь з отриманого твору. Однак, погодьтеся, запропоноване рішення виглядає більш культурно.

Зауваження 4. При першому способі ми проводили обчислення "в лоб". Другий спосіб витонченіше:
ми застосували формулуа2 - b2 = (а - b) (а + b) і скористалися властивістю квадратного коріння.

Примітка 5. Деякі «гарячі голови» пропонують іноді таке «рішення» прикладу 3:

Це, звичайно, не так: ви бачите - результат вийшов не такий, як у нас у прикладі 3. Справа в тому, що немає властивості https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Завдання" width="148" height="26 id=">!}Є лише властивості, що стосуються множення та поділу квадратного коріння. Будьте уважні та обережні, не приймайте бажане за дійсне.

Завершуючи параграф, відзначимо ще одну досить просту і водночас важливу властивість:
якщо a > 0 та n - натуральне число, то

Перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня

Досі ми з вами виконували перетворення лише раціональних виразів, використовуючи при цьому правила дій над многочленами і алгебраїчними дробами, формули скороченого множення тощо. буд. У цьому розділі ми запровадили нову операцію - операцію вилучення квадратного кореня; ми встановили, що

де, нагадаємо, a, b – невід'ємні числа.

Використовуючи ці формулиможна виконувати різні перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня. Розглянемо кілька прикладів, причому у всіх прикладах припускатимемо, що змінні набувають лише невід'ємних значень.

приклад 3.Внести множник під знак квадратного кореня:

Приклад 6. Спростити вираз Рішення. Виконаємо послідовні перетворення:

Площа квадратної ділянки землі дорівнює 81 дм2. Знайти його сторону. Припустимо, що довжина сторони квадрата дорівнює хдециметрів. Тоді площа ділянки дорівнює х² квадратним дециметрам. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 81 дм², то х² = 81. Довжина сторони квадрата – позитивне число. Позитивним числом, квадрат якого дорівнює 81, є число 9. При розв'язанні задачі потрібно знайти число х, квадрат якого дорівнює 81, тобто вирішити рівняння х² = 81. Це рівняння має два корені: x 1 = 9 і x 2 = — 9, тому що 9² = 81 і (- 9)² = 81. Обидва числа 9 і — 9 називають квадратним корінням з числа 81.

Зауважимо, що одне з квадратних коренів х= 9 є позитивним числом. Його називають арифметичним квадратним коренем із числа 81 і позначають √81, таким чином √81 = 9.

Арифметичним квадратним коренем із числа аназивається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад, числа 6 і — 6 є квадратним корінням із числа 36. При цьому число 6 є арифметичним квадратним коренем із 36, оскільки 6 — невід'ємне число і 6² = 36. Число — 6 не є арифметичним коренем.

Арифметичний квадратний корінь із числа апозначається так: √ а.

Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня; а- називається підкореним виразом. Вираз √ ачитається так: арифметичний квадратний корінь з числа а.Наприклад, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. У тих випадках, коли ясно, що йдеться про арифметичне коріння, коротко кажуть: «корінь квадратний з а«.

Дію знаходження квадратного кореня у складі називають вилученням квадратного кореня. Ця дія є оберненою до зведення в квадрат.

Зводити в квадрат можна будь-які числа, але добувати квадратне коріння можна не з будь-якого числа. Наприклад, не можна витягти квадратний корінь із числа — 4. Якби такий корінь існував, то, позначивши його літерою х, Ми отримали б неправильну рівність х² = - 4, так як зліва стоїть невід'ємне число, а справа - негативне.

Вираз √ амає сенс тільки за а ≥ 0. Визначення квадратного кореня можна коротко записати так: √ а ≥ 0, (√а)² = а. Рівність (√ а)² = асправедливо за а ≥ 0. Таким чином, щоб переконатися в тому, що квадратний корінь з негативного числа адорівнює b, тобто в тому, що √ а =b, потрібно перевірити, чи виконуються такі дві умови: b ≥ 0, b² = а.

Квадратний корінь із дробу

Обчислимо. Зауважимо, що √25 = 5, √36 = 6, і перевіримо чи виконується рівність .

Так як і , то рівність вірна. Отже, .

Теорема:Якщо а≥ 0 та b> 0, тобто корінь із дробу дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника. Потрібно довести, що: .

Бо √ а≥0 та √ b> 0, то .

За якістю зведення дробу в ступінь та визначення квадратного кореня теорему доведено. Розглянемо кілька прикладів.

Обчислити , за доведеною теоремою .

Другий приклад: Довести, що , якщо а ≤ 0, b < 0. .

Ще приклад: Обчислити .

.

Перетворення квадратного коріння

Винесення множника з-під знаку кореня. Нехай дано вираз. Якщо а≥ 0 та b≥ 0, то за теоремою про коріння з твору можна записати:

Таке перетворення називається винесення множника з-під знака кореня. Розглянемо приклад;

Обчислити при х= 2. Безпосередня підстановка х= 2 у підкорене вираз призводить до складних обчислень. Ці обчислення можна спростити, якщо спочатку винести з-під знаку кореня множники: . Підставивши тепер х = 2 отримаємо:.

Отже, при винесенні множника з-під знака кореня являють собою підкорене вираз у вигляді твору, в якому один або кілька множників є квадратами невід'ємних чисел. Потім застосовують теорему про корені з добутку та витягують корінь із кожного множника. Розглянемо приклад: Спростити вираз А = √8 + √18 - 4√2 виносячи в перших двох доданків множники з-під знака кореня, отримаємо:. Підкреслимо, що рівність справедливо тільки за а≥ 0 та b≥ 0. якщо ж а < 0, то .

Урок та презентація на тему:
"Властивості квадратного кореня. Формули. Приклади рішень, завдання з відповідями"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Інтерактивний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 8 класу
Освітній комплекс "1С: Школа. Геометрія, 8 клас"

Властивості квадратного кореня

Ми продовжуємо вивчати коріння квадратне. Сьогодні розглянемо основні властивості коренів. Усі основні властивості інтуїтивно зрозумілі та узгоджуються з усіма операціями, які ми проводили раніше.

Властивість 1. Квадратний корінь із добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратного коріння з цих чисел: $sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b)$.

Будь-які властивості прийнято доводити, давайте це зробимо.
Нехай $sqrt(a*b)=x$, $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$. Тоді нам довести $x=y*z$.
Давайте кожен вираз зведемо у квадрат.
Якщо $\sqrt(a*b)=x$, то $a*b=x^2$.
Якщо $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$, то звівши обидва вирази в квадрат, отримаємо: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, тобто $x^2=(y*z)^2$. Якщо квадрати двох невід'ємних чисел рівні, то й самі числа рівні, що потрібно було довести.

З нашої властивості випливає, що, наприклад, $ sqrt (5) * sqrt (3) = sqrt (15) $.

Зауваження 1. Властивість справедлива і для випадку, коли під коренем понад два невід'ємні множники.
Властивість 2. Якщо $а≥0$ і $b>0$, то справедлива наступна рівність: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Тобто корінь із частки дорівнює приватному коріння.
Доведення.
Скористаємося таблицею та коротко доведемо нашу властивість.

Приклади використання властивостей квадратного коріння

приклад 1.
Обчислити: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Рішення.
Звичайно, ми можемо взяти калькулятор, перемножити всі числа під коренем і виконати операцію добування квадратного кореня. А якщо під рукою немає калькулятора, то як бути тоді?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Відповідь: 495.

Приклад 2. Обчислити: $ sqrt (11 frac (14) (25)) $.

Рішення.
Підкорене число представимо у вигляді неправильного дробу: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)(25) $.
Скористаємось властивістю 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Відповідь: 3,4.

приклад 3.
Обчислити: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Рішення.
Ми можемо обчислити наш вираз безпосередньо, але завжди його можна спростити. Спробуймо це зробити.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Отже, $ sqrt (40 2-24 2) = sqrt (16 * 64) = sqrt (16) * sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Відповідь: 32.

Діти, зверніть увагу, що для операцій складання та віднімання підкорених виразів жодних формул не існує і подані нижче вирази не вірні.
$sqrt(a+b)≠sqrt(a)+sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

приклад 4.
Обчислити: а) $ sqrt (32) * sqrt (8) $; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Рішення.
Властивості, подані вище, працюють як і зліва направо, так і в зворотному порядку, тобто:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Використовуючи це, розв'яжемо наш приклад.
а) $ sqrt (32) * sqrt (8) = sqrt (32 * 8) = sqrt (256) = 16. $

Б) $ frac (sqrt (32)) ( sqrt (8)) = sqrt (frac (32) (8)) = sqrt (4) = 2 $.

Відповідь: а) 16; б) 2.

Властивість 3. Якщо $а≥0$ і n – натуральне число, виконується рівність: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Наприклад. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ і так далі.

Приклад 5.
Обчислити: $ \ sqrt (129600) $.

Рішення.
Представлене нам число досить велике, давайте розкладемо його на прості множники.
Ми отримали: $129600=5^2*2^6*3^4$ або $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Відповідь: 360.

Завдання для самостійного вирішення

1. Обчислити: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Обчислити: $ sqrt (8 frac (1) (36)) $.
3. Обчислити: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Обчислити:
а) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що оточує тебе, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними висловлюваннями, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), ну а через деякий час, як висловився один учений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли усі числа". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, що на даний момент позначається як √, була зафіксована у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але у другому тисячолітті до зв. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені висіли процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.

Поряд з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а давні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження цього терміну пов'язують з арабським уявленням числа: давні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневе" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду "галочка" - з'явилася лише XVII столітті завдяки Рене Декарту.

Наші дні

З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак це визначення актуальне лише для арифметичного кореня, оскільки воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, √y=z, де z більше або 0.

У випадку, що діє визначення алгебраїчного кореня, значення висловлювання може бути як позитивним, і негативним. Таким чином, через те, що z 2 = y і (-z) 2 = y, маємо: √y=±z або √y=|z|.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята квадратного кореня. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за таким принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути квадратним коренем з року. Так, наступного разу відзначатиме це свято 4 квітня 2016 року.

Властивості квадратного кореня на полі R

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, що визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібний, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі дорівнюватиме нулю. Кількість ходів і стане в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

Наступне непарне число – це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких випадків існує розкладання до ряду Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , де n приймає значення від 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графічне зображення функції z=√y

Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:

Крива росте з початку координат і обов'язково перетинає крапку (1; 1).

Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R

1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).

3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.

4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.

5. Функція z=√y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).

7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.

8. Функція z=√y безперервно зростає.

9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.

Варіанти зображення функції z=√y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому квадратний корінь представляється звичайною статечною функцією.

А в програмуванні заміною символу є комбінація букв sqrt.

Слід зазначити, що у цій галузі квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить до складу більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний в комплексному полі

За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння та за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.

Формули коріння. Властивості квадратного коріння.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.