Розглянуті точкові оцінки параметрів розподілу дають оцінку як числа, найбільш близького до значення невідомого параметра. Такі оцінки використовують лише за великої кількості вимірів. Чим менший обсяг вибірки, тим легше припуститися помилки при виборі параметра. Для практики важливо не лише отримати точкову оцінку, а й визначити інтервал, що називається довірчим,між межами якого із заданою довірити ймовірністю

де q - Рівень значимості; х н, х в - нижня і верхня межі інтервалу, знаходиться справжнє значення параметра, що оцінюється.

Загалом довірчі інтервали можна будувати на основі нерівності Чебишева.За будь-якого закону розподілу випадкової величини, що володіє моментами перших двох порядків, верхня межа ймовірності попадання відхилення випадкової величини х від центру розподілу Х ц в інтервал tS x описується нерівністю Чебишева

де S x - Оцінка СКО розподілу; t - додатне число.

Для знаходження довірчого інтервалу не потрібно знати закону розподілу результатів спостережень, але потрібно знати оцінку СКО. Отримані за допомогою нерівності Чебишева інтервали виявляються надто широкими для практики. Так, довірчої ймовірності 0,9 для багатьох законів розподілів відповідає довірчий інтервал 1,6 S X . Нерівність Чебишева дає у разі 3,16 S X . У зв'язку з цим воно не набуло широкого поширення.

У метрологічній практиці використовують головним чином кван-тильні оцінкидовірчого інтервалу. Під 100 P-процентним квантилем х р розуміють абсцис такий вертикальної лінії, зліва від якої площа під кривою щільності розподілу дорівнює Р%. Інакше кажучи, квантиль- Це значення випадкової величини (похибки) із заданою довірчою ймовірністю Р. Наприклад, медіана розподілу є 50%-ним квантилем х 0,5.

Насправді 25- і 75%-ный квантили прийнято називати згинами,або квантилями розподілу.Між ними укладено 50% всіх можливих значень випадкової величини, інші 50% лежать поза ними. Інтервал значень випадкової величини х між х 005 і х 095 охоплює 90% всіх її можливих значень і називається інтерквантильним проміжком з 90% ймовірністю.Його протяжність дорівнює d 0,9 = х 0,95 - х 0,05.

На підставі такого підходу вводиться поняття квантильних значень похибки,тобто. значень похибки із заданою довірчою ймовірністю Р - меж інтервалу невизначеності ±DД = ± (х р - х 1-р)/2 = ± d p /2. На його довжині зустрічається Р% значень випадкової величини (похибки), a q = (1- Р)% загального їх числа залишаються поза цього інтервалу.

Для отримання інтервальної оцінки нормально розподіленої випадкової величини необхідно:

Визначити точкову оцінку МО х̅ та СКО S x випадкової величини за формулами (6.8) та (6.11) відповідно;

Вибрати довірчу ймовірність Р із рекомендованого ряду значень 0,90; 0,95; 0,99;

Знайти верхню х в і нижню х н кордону відповідно до рівнянь

одержаними з урахуванням (6.1). Значення х н і х визначаються з таблиць значень інтегральної функції розподілу F (t ) або функції Лапласа Ф(1).

Отриманий довірчий інтервал задовольняє умову

(6.13)

де n - Число виміряних значень; z p - аргумент функції Лапласа Ф(1), що відповідає ймовірності Р/2. В даному випадку z p називається квантильним множником. Половина довжини довірчого інтервалу називається довірчою межею похибки результату вимірів.

Приклад 6.1. Зроблено 50 вимірів постійного опору. Визначити довірчий інтервал для МО значення постійного опору, якщо закон розподілу нормальний з параметрами m x = R = 590 Ом, S x = 90 Ом за довірчої ймовірності Р = 0,9.

Оскільки гіпотеза про нормальність закону розподілу не суперечить досвідченим даним, довірчий інтервал визначається за формулою

Звідси Ф(z р ) = 0,45. З таблиці, наведеної у додатку 1, знаходимо, що z p = 1,65. Отже, довірчий інтервал запишеться у вигляді

Або 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R< 611 Ом.

За відмінності закону розподілу випадкової величини від нормального необхідно побудувати його математичну модель та визначати довірчий інтервал із її використанням.

Розглянутий спосіб знаходження довірчих інтервалів справедливий для досить великої кількості спостережень n коли s= S x . Слід пам'ятати, що обчислювана оцінка СКО S x є лише деяким наближенням до справжнього значенняs. Визначення довірчого інтервалу при заданій ймовірності виявляється тим менш надійним, чим менше спостережень. Не можна користуватися формулами нормального розподілу при малій кількості спостережень, якщо немає можливості теоретично на основі попередніх дослідів з достатньою кількістю спостережень визначити СКО.

Розрахунок довірчих інтервалів випадку, коли розподіл результатів спостережень нормально, та його дисперсія невідома, тобто. при малій кількості спостережень п, можливо виконати з використанням розподілу Стьюдента S (t, k ). Воно визначає щільність розподілу відносини (дробі Стьюдента):

де Q - Справжнє значення вимірюваної величини. Величини х̅ , S x . та S x ̅ обчислюються на підставі дослідних даних і є точковими оцінками МО, СКО результатів вимірювань і СКО середнього арифметичного значення.

Імовірність того, що дріб Стьюдента в результаті виконаних спостережень прийме деяке значення в інтервалі (- t p; + t p)

(6.14)

де k - Число ступенів свободи, рівне (п - 1). Величини t p (звані в даному випадку коефіцієнтами Стьюдента),розраховані за допомогою двох останніх формул для різних значень довірчої ймовірності та числа вимірювань табульовані (див. таблицю в додатку 1). Отже, за допомогою розподілу Стьюдента можна знайти ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного від справжнього значення вимірюваної величини не перевищує

У тих випадках, коли розподіл випадкових похибок не є нормальним, все ж таки часто користуються розподілом Стьюдента з наближенням, ступінь якого залишається невідомим. Розподіл Стьюдента застосовують при числі вимірів n < 30, поскольку уже при n = 20, ...,30 воно перетворюється на нормальне і замість рівняння (6.14) можна використовувати рівняння (6.13). Результат виміру записується у вигляді: ; P = Р д, де Р д – конкретне значення довірчої ймовірності. Множник t при великій кількості вимірів n дорівнює квантильному множнику z p. При малому n він дорівнює коефіцієнту Стьюдента.

Отриманий результат виміру не є одним конкретним числом, а являє собою інтервал, всередині якого з певною ймовірністю Р д знаходиться справжнє значення вимірюваної величини. Виділення середини інтервалу х зовсім не передбачає, що справжнє значення ближче до нього, ніж до інших точок інтервалу. Воно може бути будь-де інтервалу, а з ймовірністю 1 - Р д навіть поза ним.

Приклад 6.2. Визначення питомих магнітних втрат для різних зразків однієї партії електротехнічної сталі марки 2212 дало такі результати: 1,21; 1,17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 та 1,18 Вт/кг. Вважаючи, що систематична похибка відсутня, а випадкова розподілена за нормальним законом, потрібно визначити довірчий інтервал при значеннях довірчої ймовірності 0,9 та 0,95. Для вирішення задачі використовувати формулу Лапласа та розподіл Стьюдента.

За формулами (6.8) у (6.11) знаходимо оцінки середнього арифметичного значення та СКО результатів вимірювань. Вони відповідно дорівнюють 1,18 та 0,0278 Вт/кг. Вважаючи, що оцінка СКО дорівнює самому відхилення, знаходимо:

Звідси, використовуючи значення функції Лапласа, наведені у таблиці додатка 1, визначаємо, щоz p = 1,65. Для Р = 0,95 коефіцієнт z p =1,96. Довірчі інтервали, що відповідають Р = 0,9 та 0,95, дорівнюють 1,18 ± 0,016 та 1,18±0,019 Вт/кг.

У тому випадку, коли немає підстав вважати, що СКО та його оцінка рівні, довірчий інтервал визначається на основі розподілу Стьюдента:

За таблицею додатка 1 знаходимо, що t 0,9 = 1,9 та t 0,95 = 2,37. Звідси довірчі інтервали відповідно дорівнюють 1,18±0,019 та 1,18±0,023 Вт/кг.

Контрольні питання.

1. За яких умов похибка виміру може розглядатися як випадкова величина?

2. Перерахуйте властивості інтегральної та диференціальної функцій розподілу випадкової величини.

3. Назвіть числові параметри законів розподілу.

4. Як може задаватися центр розподілу?

5. Що таке моменти розподілу? Які з них знайшли застосування у метрології?

6. Назвіть основні класи розподілів, що використовуються у метрології.

7. Дайте характеристику розподілу, що входять до класу трапецеїдальних розподілів.

8. Що таке експоненційні розподіли? Які їх властивості та показники?

9. Що таке нормальний розподіл? Чому воно відіграє особливу роль у метрології?

10. Що таке функція Лапласа і навіщо вона використовується?

11. Як описується і де використовується сімейство розподілів Стьюдента?

12. Які точкові оцінки законів розподілу ви знаєте? Які вимоги до них?

13. Що таке довірчий інтервал? Які способи його завдання вам відомі?

У якому з можливістю знаходиться генеральний параметр. Імовірності, визнані достатніми для впевненого судження про генеральні параметри на підставі вибіркових показників, називають довірчими.

Поняття про довірчі ймовірності випливає з принципу, що малоймовірні події вважаються практично неможливими, а події, ймовірність яких близька до одиниці, вважають майже достовірними. Зазвичай як довірчі використовують ймовірності Р 1 = 0.95, Р 2 = 0.99, Р 3 = 0.999. Певним значенням ймовірностей відповідають рівні значущості, під якими розуміють різницю α = 1-Р. Імовірності 0.95 відповідає рівень значущості α 1 = 0.05 (5%), ймовірності 0.99 - α 2 = 0.01 (1%), ймовірності 0.999 - α 3 = 0.001 (0.1%).

Це означає, що з оцінці генеральних параметрів за вибірковими показниками існує ризик помилитися у разі 1 разів у 20 випробувань, тобто. у 5% випадків; у другому - 1 разів на 100 випробувань, тобто. у 1% випадків; у третьому - 1 разів на 1000 випробувань, тобто. у 0.1% випадків. Таким чином, рівень значущості означає можливість отримання випадкового відхилення від встановлених з певною ймовірністю результатів. Імовірності, прийняті як довірчі, визначають довірчий інтервал з-поміж них. На них можна грунтувати оцінку тієї чи іншої величини і ті межі, в яких вона може бути за різних ймовірностей.

Для різних ймовірностей довірчі інтервали будуть такими:

Р 1 = 0.95 інтервал - 1.96σ до + 1.96σ (рис. 5)

Р 2 = 0.99 інтервал - 2.58σ до + 2.58σ

Р 3 = 0.999 інтервал - 3.03σ до + 3.03σ

Довірчим ймовірностям відповідають такі величини нормованих відхилень:

Імовірність Р 1 = 0.95 відповідає t 1 = 1.96σ

Імовірність Р 2 = 0.99 відповідає t 2 = 2.58σ

Імовірність Р 3 = 0.999 відповідає t 3 = 3.03σ

Вибір тієї чи іншої порога довірчої ймовірності здійснюють зважаючи на важливість події. Рівень значущості у разі - ця та ймовірність, якої вирішено нехтувати у цій дослідженні чи явище.

Середня помилка (m), або помилка репрезентативності.

Вибіркові характеристики, як правило, не збігаються за абсолютною величиною з відповідними генеральними параметрами. Величину відхилення вибіркового показника з його генерального параметра називають статистичної помилкою, чи помилкою репрезентативності. Статистичні помилки притаманні лише вибірковим характеристикам, вони виникають у процесі відбору варіант із генеральної сукупності.

Середня помилка обчислюється за такою формулою:

де σ - середнє квадратичне відхилення,

n - кількість вимірів (обсяг вибірки).

Виражається у тих самих одиницях виміру, як і .

Величина середньої помилки обернено пропорційна чисельності вибіркової сукупності. Чим більші розміри вибірки, тим менша середня помилка, а отже, менша розбіжність між значеннями ознак у вибіркових та генеральній сукупностях.

Середню помилку вибірки можна використовуватиме оцінки генеральної середньої відповідно до закону нормального розподілу. Так, у межах ±1 знаходиться 68.3% всіх вибіркових середніх арифметичних, у межах ±2 - 95.5% всіх вибіркових середніх, у межах ±3 - 99.7% всіх вибіркових середніх.

Точність оцінки, довірча ймовірність (надійність)

Довірчий інтервал

При вибірці малого обсягу слід скористатися інтервальними оцінками т.к. це дозволяє уникнути грубих помилок, на відміну точкових оцінок.

Інтервальної називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває параметр, що оцінюється. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика служить оцінкою невідомого параметра. Вважатимемо постійним числом (може бути і випадковою величиною). Ясно, що * тим точніше визначає параметр, чим менше абсолютна величина різниці | - * |. Інакше кажучи, якщо >0 і | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Проте статистичні методи неможливо категорично стверджувати, що оцінка * задовольняє нерівності | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки * називають ймовірність, з якою здійснюється нерівність | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Нехай ймовірність того, що | - *|<, равна т.е.

Замінивши нерівність - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

Р(*-< <*+)=.

Довірчим називають інтервал (*-, *+), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за відомого.

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за відомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

де t(/n^?)= - точність оцінки, n - обсяг вибірки, t - значення аргументу функції Лапласа Ф(t), у якому Ф(t)=/2.

З рівності t(/n^?)=, можна зробити такі висновки:

1. у разі зростання обсягу вибірки n число зменшується і, отже, точність оцінки збільшується;

2. збільшення надійності оцінки = 2Ф(t) призводить до збільшення t (Ф(t) - зростаюча функція), отже, і до зростання; іншими словами, збільшення надійності класичної оцінки спричиняє зменшення її точності.

приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл із відомим середнім квадратичним відхиленням =3. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного очікування a за середнім вибірковим х, якщо обсяг вибірки n = 36 і задана надійність оцінки = 0,95.

Рішення. Знайдемо t. Зі співвідношення 2Ф(t) = 0,95 отримаємо Ф(t) = 0,475. За таблицею знаходимо t=1,96.

Знайдемо точність оцінки:

точність довірчий інтервал вимір

T(/n^?)= (1,96.3)//36 = 0,98.

Довірчий інтервал такий: (х – 0,98; х + 0,98). Наприклад, якщо х = 4,1, то довірчий інтервал має такі довірчі межі:

х – 0,98 = 4,1 – 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Таким чином, значення невідомого параметра, що узгоджуються з даними вибірки, задовольняють нерівності 3,12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Пояснимо сенс, що має задана надійність. Надійність = 0,95 вказує, що якщо зроблено досить велику кількість вибірок, то 95% їх визначає такі довірчі інтервали, у яких параметр справді укладено; лише 5% випадків може вийти межі довірчого інтервалу.

Якщо потрібно оцінити математичне очікування з наперед заданою точністю та надійністю, то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою

Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого

Інтервальною оцінкою з надійністю математичного очікування а нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою х за невідомого середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності служить довірчий інтервал

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

де s -«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення, t() знаходять таблиці по заданим і n.

приклад. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=16 знайдено середню вибіркову x = 20,2 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Оцінити невідоме математичне очікування за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.

Рішення. Знайдемо t(). Користуючись таблицею, = 0,95 і n=16 знаходимо t()=2,13.

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 20,2 - 2,13*. 0,8/16? = 19,774

х + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20,626

Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр міститься в довірчому інтервалі 19,774< а < 20,626

Оцінка істинного значення вимірюваної величини

Нехай проводиться n незалежних рівноточних вимірів деякої фізичної величини, справжнє значення якої невідомо.

Розглянемо результати окремих вимірів як випадкові величини Хl, Х2,…Хn. Ці величини незалежні (вимірювання незалежні). Мають одне й те математичне очікування а (справжнє значення вимірюваної величини), однакові дисперсії ^2 (вимірювання рівноточні) і розподілені нормально (таке припущення підтверджується досвідом).

Таким чином, всі припущення, які були зроблені при виведенні довірчих інтервалів, виконуються, і, отже, ми маємо право використовувати формули. Іншими словами, справжнє значення вимірюваної величини можна оцінювати за середнім арифметичним результатом окремих вимірювань за допомогою довірчих інтервалів.

приклад. За даними дев'яти незалежних рівноточних вимірювань фізичної величини знайдені середні арифметичні результати окремих вимірювань х = 42,319 і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 5,0. Потрібно оцінити справжнє значення вимірюваної величини з надійністю = 0,95.

Рішення. Справжнє значення вимірюваної величини дорівнює її математичному очікуванню. Тому завдання зводиться до оцінки математичного очікування (при невідомому) за допомогою довірчого інтервалу покриває а з заданою надійністю = 0,95.

х - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Користуючись таблицею, у = 0,95 і л = 9 знаходимо

Знайдемо точність оцінки:

t()(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3.85

Знайдемо довірчі кордони:

х - t()(s/n^?) = 42,319 - 3,85 = 38,469;

x + t()(s/n^?) = 42,319 +3,85 = 46,169.

Отже, з надійністю 0,95 дійсне значення вимірюваної величини укладено в довірчому інтервалі 38,469< а < 46,169.

Довірчі інтервали для оцінки середнього відхилення квадратичного нормального розподілу.

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. Потрібно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення щодо «виправленого» вибіркового середнього квадратичного відхилення s. Для цього скористаємося інтервальною оцінкою.

Інтервальною оцінкою (з надійністю) середнього квадратичного відхилення про нормально розподілену кількісну ознаку X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

s (1 - q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

де q знаходять за таблицею за заданими n н.

Приклад 1. Кількісний ознака X генеральної сукупності розподілено нормально. За вибіркою обсягу n = 25 знайдено "виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,95.

Рішення. За таблицею за даними = 0,95 та n = 25 знайдемо q = 0,32.

Шуканий довірчий інтервал s (1 - q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Приклад 2. Кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n=10 знайдено «виправлене» середнє відхилення квадрати s = 0,16. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,999.

Рішення. За таблицею додатку за даними = 0,999 і n = 10 знайдемо 17 = 1,80 (q> 1). Шуканий довірчий інтервал такий:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Оцінкаточності вимірів

Теоретично помилок прийнято точність вимірів (точність приладу) характеризувати з допомогою середнього квадратичного відхилення випадкових помилок вимірів. Для оцінки використовують «виправлене» середнє квадратичне відхилення s. Оскільки зазвичай результати вимірювань взаємно незалежні, мають те саме математичне очікування (справжнє значення вимірюваної величини) і однакову дисперсію (у разі рівноточних вимірювань), то теорія, викладена у попередньому параграфі, застосовна з метою оцінки точності вимірювань.

приклад. За 15 рівноточними вимірами знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 0,12. Знайти точність вимірів з надійністю 0,99.

Рішення. Точність вимірів характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок, тому завдання зводиться до пошуку довірчого інтервалу s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

За таблицею додатку = 0,99 і n=15 знайдемо q = 0,73.

Шуканий довірчий інтервал

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Оцінка ймовірності (біноміального розподілу) щодо відносної частоти

Інтервальної оцінкою (з надійністю) невідомої ймовірності p біномного розподілу по відносній частоті w служить довірчий інтервал (з наближеними кінцями p1 і р2)

p1< p < p2,

де n – загальна кількість випробувань; m – число появи події; w - відносна частота, що дорівнює відношенню m/n; t - значення аргументу функції Лапласа, у якому Ф(t) = /2.

Зауваження. При великих значеннях n (порядку сотень) можна прийняти як наближені межі довірчого інтервалу

Часто оцінювачу доводиться аналізувати ринок нерухомості того сегмента, в якому знаходиться об'єкт оцінки. Якщо ринок розвинений, проаналізувати всю сукупність представлених об'єктів буває складно, для аналізу використовується вибірка об'єктів. Не завжди ця вибірка виходить однорідною, іноді потрібно очистити її від екстремумів - надто високих чи надто низьких пропозицій ринку. Для цієї мети застосовується довірчий інтервал. Мета даного дослідження - провести порівняльний аналіз двох способів розрахунку довірчого інтервалу та вибрати оптимальний варіант розрахунку під час роботи з різними вибірками у системі estimatica.pro.

Довірчий інтервал - обчислений з урахуванням вибірки інтервал значень ознаки, що з певною ймовірністю містить оцінюваний параметр генеральної сукупності.

Сенс обчислення довірчого інтервалу полягає в побудові за даними вибірки такого інтервалу, щоб можна було стверджувати із заданою ймовірністю, що значення параметра, що оцінюється, знаходиться в цьому інтервалі. Іншими словами, довірчий інтервал з певною ймовірністю містить невідоме значення величини, що оцінюється. Чим ширший інтервал, тим вища неточність.

Існують різні способи визначення довірчого інтервалу. У цій статті розглянемо 2 способи:

• через медіану та середньоквадратичне відхилення;
• через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента).

Етапи порівняльного аналізу різних способів розрахунку ДІ:

1. формуємо вибірку даних;

2. обробляємо її статистичними методами: розраховуємо середнє значення, медіану, дисперсію тощо;

3. розраховуємо довірчий інтервал двома способами;

4. аналізуємо очищені вибірки та отримані довірчі інтервали.

Етап 1. Вибірка даних

Вибірку сформовано за допомогою системи estimatica.pro. У вибірку увійшла 91 пропозиція про продаж 1 кімнатних квартир у 3-му ціновому поясі з типом планування «Хрущовка».

Таблиця 1. Вихідна вибірка

	Ціна 1 кв.м., д.е.

Рис.1. Вихідна вибірка

Етап 2. Обробка вихідної вибірки

Обробка вибірки методами статистики потребує обчислення наступних значень:

1. Середнє арифметичне значення

2. Медіана - число, що характеризує вибірку: рівно половина елементів вибірки більше медіани, інша половина менше медіани

(Для вибірки, що має непарне число значень)

3. Розмах - різниця між максимальним та мінімальним значеннями у вибірці

4. Дисперсія – використовується для більш точного оцінювання варіації даних

5. Середньоквадратичне відхилення за вибіркою (далі - СКО) - найпоширеніший показник розсіювання значень коригування навколо середнього арифметичного значення.

6. Коефіцієнт варіації - відбиває ступінь розкиданості значень коригувань

7. коефіцієнт осциляції - відбиває відносне коливання крайніх значень цін у вибірці навколо середньої

Таблиця 2. Статистичні показники вихідної вибірки

Коефіцієнт варіації, що характеризує однорідність даних, становить 12,29%, проте коефіцієнт осциляції занадто великий. Таким чином ми можемо стверджувати, що вихідна вибірка не є однорідною, тому перейдемо до розрахунку довірчого інтервалу.

Етап 3. Розрахунок довірчого інтервалу

Спосіб 1. Розрахунок через медіану та середньоквадратичне відхилення.

Довірчий інтервал визначається так: мінімальне значення - з медіани віднімається СКО; максимальне значення - до медіани додається СКО.

Таким чином, довірчий інтервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)

Рис. 2. Значення, що потрапили в інтервал довіри 1.

Спосіб 2. Побудова довірчого інтервалу через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента)

С.В. Грибовський у книзі «Математичні методи оцінки вартості майна» визначає спосіб обчислення довірчого інтервалу через коефіцієнт Стьюдента. При розрахунку цим методом оцінювач повинен сам задати рівень значущості ∝, що визначає ймовірність, з якою буде побудовано довірчий інтервал. Зазвичай використовуються рівні значення 0,1; 0,05 та 0,01. Їм відповідають довірчі ймовірності 0,9; 0,95 та 0,99. При такому методі вважають справжні значення математичного очікування та дисперсії практично невідомими (що майже завжди є вірним при вирішенні практичних завдань оцінки).

Формула довірчого інтервалу:

n – обсяг вибірки;

Критичне значення t-статистики (розподілу Стьюдента) з рівнем значимості ∝, числом ступенів свободи n-1, яке визначається за спеціальними статистичними таблицями або за допомогою MS Excel (→ "Статистичні" → СТЬЮДРАСПОБР);

∝ – рівень значущості, приймаємо ∝=0,01.

Рис. 2. Значення, що потрапили в інтервал довіри 2.

Етап 4. Аналіз різних способів розрахунку довірчого інтервалу

Два способи розрахунку довірчого інтервалу – через медіану та коефіцієнт Стьюдента – привели до різних значень інтервалів. Відповідно, вийшло дві різні очищені вибірки.

Таблиця 3. Статистичні показники за трьома вибірками.

Показник	Вихідна вибірка	1 варіант	2 варіант
Середнє значення
Дисперсія
Коеф. варіації
Коеф. осциляції
Кількість об'єктів, що вибули, шт.

З виконаних розрахунків можна сказати, що отримані різними методами значення довірчих інтервалів перетинаються, тому можна використовувати будь-який із способів розрахунку розсуд оцінювача.

Однак ми вважаємо, що при роботі в системі estimatica.pro доцільно вибирати метод розрахунку довірчого інтервалу в залежності від рівня розвиненості ринку:

• якщо ринок нерозвинений, застосовувати метод розрахунку через медіану і середньоквадратичне відхилення, оскільки кількість об'єктів, що вибули, у цьому випадку невелика;
• якщо ринок розвинений, застосовувати розрахунок через критичне значення t-статистики (коефіцієнт Стьюдента), оскільки є можливість сформувати велику вихідну вибірку.

Під час підготовки статті було використано:

1. Грибовський С.В., Сівець С.А., Левикіна І.А. Математичні методи оцінки вартості майна. Москва, 2014 р.

2. Дані системи estimatica.pro

Аналіз випадкових похибок ґрунтується на теорії випадкових помилок, що дає можливість із певною гарантією обчислити дійсне значення виміряної величини та оцінити можливі помилки.

Основу теорії випадкових помилок становлять такі припущення:

при великій кількості вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака зустрічаються однаково часто;

великі похибки трапляються рідше, ніж малі (ймовірність появи похибки зменшується із зростанням її величини);

при нескінченно великому числі вимірі справжнє значення вимірюваної величини дорівнює середньоарифметичному значенню всіх результатів вимірів;

поява тієї чи іншої результату виміру як випадкового події описується нормальним законом розподілу.

Насправді розрізняють генеральну і вибіркову сукупність вимірів.

Під генеральною сукупністю мають на увазі все безліч можливих значень вимірів або можливих значень похибок
.

Для вибіркової сукупності кількість вимірів обмежено, й у кожному даному випадку суворо визначається. Вважають, що якщо
, то середнє значення даної сукупності вимірів досить наближається для його істинного значення.

1. Інтервальна оцінка за допомогою довірчої ймовірності

Для великої вибірки та нормального закону розподілу загальною оцінною характеристикою вимірювання є дисперсія
та коефіцієнт варіації :

;
. (1.1)

Дисперсія характеризує однорідність виміру. Чим вище
тим більше розкид вимірювань.

Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище , тим більше мінливість вимірів щодо середніх значень.

Для оцінки достовірності результатів вимірювань вводяться до розгляду поняття довірчого інтервалу та довірчої ймовірності.

Довірчим називається інтервал значень , в який потрапляє справжнє значення вимірюваної величини із заданою ймовірністю.

Довірчою ймовірністю (Достовірністю) вимірювання називається ймовірність того, що справжнє значення вимірюваної величини потрапляє в даний довірчий інтервал, тобто. у зону
. Ця величина визначається у частках одиниці або у відсотках

,

де
- інтегральна функція Лапласа ( табл.1.1 )

Інтегральна функція Лапласа визначається наступним виразом:

.

Аргументом цієї функції є гарантійний коефіцієнт :

Таблиця 1.1

Інтегральна функція Лапласа

Якщо ж на основі певних даних встановлено довірчу ймовірність (часто її приймають рівною
), то встановлюється точність вимірів (довірчий інтервал
) на основі співвідношення

.

Половина довірчого інтервалу дорівнює

, (1.3)

де
- аргумент функції Лапласа, якщо
(табл.1.1 );

- функції Стьюдента, якщо
(табл.1.2 ).

Таким чином, довірчий інтервал характеризує точність виміру даної вибірки, а довірча ймовірність – достовірність виміру.

приклад

Виконано
вимірювання міцності дорожнього покриття ділянки автомобільної дороги при середньому модулі пружності
та обчисленому значенні середньоквадратичного відхилення
.

Необхідно визначити необхідну точністьвимірювань для різних рівнів довірчої ймовірності
, Прийнявши значення по табл.1.1 .

І тут відповідно |

Отже, для даного засобу та методу вимірювань довірчий інтервал зростає приблизно в рази, якщо збільшити тільки на
.