Елементи послідовності точок монотонно збільшують значення. Теорема вейєрштрасу про межу монотонної послідовності

Теорема Вейєрштраса про межу монотонної послідовності

Будь-яка монотонна обмежена послідовність ( x n )має кінцеву межу, рівну точної вірніше межі, sup ( x n )для незабутньої та точної нижньої межі, inf ( x n )для зростаючої послідовності.
Будь-яка монотонна необмежена послідовність має нескінченну межу, рівну плюс нескінченності, для незнищальної і мінус нескінченності, для послідовності, що не зростає.

Доведення

1) неубутньою обмеженою послідовністю.

(1.1) .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну верхню границю
.
Це означає, що:

• для всіх n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Тут ми також використали (1.3). Комбінуючи з (1.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Першу частину теореми доведено.

2) Нехай тепер послідовність є незростаючою обмеженою послідовністю:
(2.1) всім n .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну нижню границю
.
Це означає таке:

• для всіх n виконуються нерівності:
  (2.2) ;
• для будь-якого позитивного числа існує такий номер, що залежить від ε, для якого
  (2.3) .

.
Тут ми також використали (2.3). Враховуючи (2.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Це означає, що число є межею послідовності .
Другу частину теореми доведено.

Тепер розглянемо необмежені послідовності.
3) Нехай послідовність є необмеженою неубутньою послідовністю.

Оскільки послідовність неубутня, то для всіх n виконуються нерівності:
(3.1) .

Оскільки послідовність є неубутньою і необмеженою, вона необмежена з правого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(3.2) .

Оскільки послідовність неубутня, то маємо:
.
Тут ми також використали (3.2).

.
Це означає, що межа послідовності дорівнює плюс нескінченності:
.
Третя частина теореми доведена.

4) Нарешті розглянемо випадок, коли є необмеженою незростаючою послідовністю.

Аналогічно попередньому, оскільки послідовність незростаюча, то
(4.1) всім n .

Оскільки послідовність є незростаючою і необмеженою, вона необмежена з лівого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(4.2) .

Оскільки послідовність незростаюча, то маємо:
.

Отже, для будь-якого числа M існує таке натуральне число, що залежить від M, так що для всіх номерів виконуються нерівності:
.
Це означає, що межа послідовності дорівнює мінус нескінченності:
.
Теорему доведено.

Приклад розв'язання задачі

Користуючись теоремою Вейєрштраса, довести збіжність послідовності:
, , . . . , , . . .
Після чого знайти її межу.

Подаємо послідовність у вигляді рекурентних формул:
,
.

Доведемо, що задана послідовність обмежена згори значенням
(П1) .
Доказ виконуємо методом математичної індукції.
.
Нехай. Тоді
.
Нерівність (П1) доведено.

Доведемо, що послідовність монотонно зростає.
;
(П2) .
Оскільки , то знаменник дробу і перший множник у чисельнику позитивні. З огляду на обмеженість членів послідовності нерівністю (П1), другий множник також позитивний. Тому
.
Тобто послідовність є строго зростаючою.

Оскільки послідовність зростає і обмежена зверху, вона є обмеженою послідовністю. Тому, за теоремою Вейєрштраса, вона має межу.

Знайдемо цю межу. Позначимо його через a:
.
Скористаємося тим, що
.
Застосуємо це до (П2), використовуючи арифметичні властивості меж послідовностей, що сходяться :
.
Умові задовольняє корінь.

Визначення 1. Послідовністьназивається спадаючою (незростаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 2. Послідовність
називається зростаючою (невпадаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 3. Зменшувальні, незростаючі, зростаючі та неубутні послідовності називаються монотонними послідовностями, спадні та зростаючі послідовності називають також суворо монотонними послідовності.

Очевидно, що незнижена послідовність обмежена знизу, послідовність, що не зростає, обмежена зверху. Тому будь-яка монотонна послідовність свідомо обмежена з одного боку.

приклад 1. Послідовність
зростає, не зменшується,
зменшується,
не зростає,
- Немонотонна послідовність.

Для монотонних послідовностей важливу роль відіграє

Теорема 1. Якщо незнижена (незростаюча) послідовність обмежена зверху (знизу), вона сходиться.

Доведення. Нехай послідовність
не зменшується і обмежена зверху, тобто.
і безліч
обмежена зверху. По теоремі 1 § 2 існує
. Доведемо, що
.

Візьмемо
довільно. Оскільки а- Точна верхня межа, існує номер N такий, що
. Так як послідовність незнижена, то для всіх
маємо, тобто.
тому
для всіх
, А це і означає, що
.

Для незростаючої послідовності, обмеженої знизу, доказ проводиться аналогічно ( студенти можуть довести це твердження вдома самостійно). Теорему доведено.

Зауваження. Теорему 1 можна сформулювати інакше.

Теорема 2. Для того, щоб монотонна послідовність сходилася, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена.

Достатність встановлена ​​у теоремі 1, необхідність – у теоремі 2 § 5.

Умова монотонності не є необхідною для збіжності послідовності, оскільки послідовність, що сходить, не обов'язково монотонна. Наприклад, послідовність
не монотонна, проте сходиться до нуля.

Слідство. Якщо послідовність
зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то
(
).

Дійсно, за теоремою 1
(
).

Визначення 4. Якщо
при
, то послідовність називається стягується системою вкладених відрізків .

Теорема 3 (принцип вкладених відрізків). У будь-якої системи вкладених відрізків, що стягується, існує, і до того ж єдина, точка з, Що належить усім відрізкам цієї системи.

Доведення. Доведемо, що точка зІснує. Оскільки
, то
і, отже, послідовність
не зменшується, а послідовність
не зростає. При цьому
і
обмежені, оскільки. Тоді за теоремою 1 існують
і
, але так як
, то
=
. Знайдена точка зналежить всім відрізкам системи, оскільки за наслідком теореми 1
,
, тобто.
для всіх значень n.

Покажемо тепер, що точка з- Єдина. Припустимо, що таких точок дві: зі dі нехай для визначеності
. Тоді відрізок
належить усім відрізкам
, тобто.
для всіх n, що неможливо, тому що
і, отже, починаючи з деякого номера,
. Теорему доведено.

Зазначимо, тут істотно те, що розглядаються замкнуті проміжки, тобто. відрізки. Якщо розглянути систему інтервалів, що стягуються, то принцип, взагалі кажучи, неправильний. Наприклад, інтервали
, очевидно, стягуються в крапку
, проте точка
не належить жодному інтервалу цієї системи.

Розглянемо тепер приклади монотонних послідовностей, що сходяться.

1) Число е.

Розглянемо тепер послідовність
. Як вона поводиться? підстава

ступеня
тому
? З іншого боку,
, а
тому
? Чи межа не існує?

Щоб відповісти на ці питання, розглянемо допоміжну послідовність
. Доведемо, що вона зменшується і обмежена знизу. При цьому нам буде потрібна

Лемма. Якщо
, то для всіх натуральних значень nмаємо

(Нерівність Бернуллі).

Доведення. Скористаємося методом математичної індукції.

Якщо
, то
, тобто. нерівність вірна.

Припустимо, що воно вірне для
і доведемо його справедливість для
+1.

Правильно
. Помножимо цю нерівність на
:

Таким чином, . Отже, згідно з принципом математичної індукції, нерівність Бернуллі правильна для всіх натуральних значень n. Лемма доведена.

Покажемо, що послідовність
зменшується. Маємо

‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
,А це і означає, що послідовність
зменшується.

Обмеженість знизу випливає з нерівності
‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
для всіх натуральних значень n.

За теоремою 1 існує
, який позначають буквою е. Тому
.

Число еірраціонально та трансцендентно, е= 2,718281828…. Воно є, як відомо, основою натуральних логарифмів.

Зауваження. 1) Нерівність Бернуллі можна використовувати для доказу того, що
при
. Справді, якщо
, то
. Тоді, за нерівністю Бернуллі,
. Звідси при
маємо
, тобто
при
.

2) У розглянутому вище прикладі основа ступеня прагне до 1, а показник ступеня n- До , тобто має місце невизначеність виду . Невизначеність такого виду, як ми показали, розкривається за допомогою чудової межі
.

2)
(*)

Доведемо, що це послідовність сходиться. Для цього покажемо, що вона обмежена знизу та не зростає. При цьому скористаємося нерівністю
для всіх
, яке є наслідком нерівності
.

Маємо
див. нерівність вище
, тобто. послідовність обмежена знизу числом
.

Далі,
так як

, тобто. послідовність не зростає.

За теоремою 1 існує
, який позначимо х. Переходячи в рівності (*) до межі при
, отримаємо

, тобто.
, звідки
(беремо знак «плюс», оскільки всі члени послідовності є позитивними).

Послідовність (*) застосовується при обчисленні
приблизно. За беруть будь-яке позитивне число. Наприклад, знайдемо
. Нехай
. Тоді
,. Таким чином,
.

3)
.

Маємо
. Оскільки
при
, існує номер N, такий, що для всіх
виконується нерівність
. Таким чином, послідовність
, починаючи з деякого номера N, зменшується і обмежена знизу, оскільки
для всіх значень n. Отже, за теоремою 1 існує
. Оскільки
, маємо
.

Отже,
.

4)
, справа – n коріння.

Методом математичної індукції покажемо, що
для всіх значень n. Маємо
. Нехай
. Тоді звідси отримуємо твердження за принципом математичної індукції. Використовуючи цей факт, бачимо, тобто. послідовність
зростає та обмежена зверху. Тому існує, оскільки
.

Таким чином,
.

Монотонність послідовності

Монотонна послідовність- Послідовність, що задовольняє одній з наступних умов:

Серед монотонних послідовностей виділяються суворо монотонніпослідовності, що задовольняють одну з таких умов:

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «невипадна послідовність», а термін «зменшується послідовність» - як синоніму терміну «незростаюча послідовність». У такому разі зростаючі та спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадаючими», відповідно.

Деякі узагальнення

Може виявитися, що вищезазначені умови виконуються не для всіх номерів, а лише для номерів з певного діапазону

(тут допускається звернення правого кордону N+ у нескінченність). У цьому випадку послідовність називається монотонної на проміжку I , а сам діапазон Iназивається проміжком монотонностіпослідовності.

Приклади

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Монотонність послідовності" в інших словниках:

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних функцій. Теорія функцій розпадається на дві області: теорію функцій дійсного змінного та теорію функцій комплексного змінного, відмінність між якими настільки велика, що… Енциклопедія Кольєра

Тестування псевдовипадкових послідовностей сукупність методів визначення міри близькості заданої псевдовипадкової послідовності до випадкової. Як такий захід зазвичай виступає наявність рівномірного розподілу, великого… … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Міра. Міра множини невід'ємна величина, інтуїтивно інтерпретована як розмір (обсяг) множини. Власне, міра це деяка числова функція, що ставить у відповідність кожному ... Вікіпедія

Відомий письменник. Рід. в Орлі 1871 р.; батько його був землемір. Навчався в Орловській гімназії та в університетах С. Петербурзькому та Московському, з юридичного факультету. Студентам дуже потребував. Тоді ж він написав перше своє оповідання "про… … Велика біографічна енциклопедія

Чисельні методи розв'язання методи, що замінюють рішення крайової задачі рішенням дискретної задачі (див. Лінійне крайове завдання; численні методи розв'язання та Нелінійне рівняння; чисельні методи розв'язання). У багатьох випадках, особливо при розгляді… Математична енциклопедія

Манускрипт Войнича написано за допомогою невідомої системи листа Рукопис Войнича (англ. Voyni … Вікіпедія

Написаний за допомогою невідомої системи листа Рукопис Войнича (англ. Voynich Manuscript) таємнича книга, написана близько 500 років тому невідомим автором, невідомою мовою, з використанням невідомого алфавіту. Рукопис Войнича… … Вікіпедія

Сіджизмондо д'Індія (італ. Sigismondo d India, бл. 1582, Палермо? до 19 квітня 1629, Модена) італійський композитор. Зміст 1 Біографія 2 Творчість … Вікіпедія

Модернізація- (Modernization) Модернізація це процес зміни чогось відповідно до вимог сучасності, перехід до більш досконалих умов, за допомогою введення різних нових оновлень Теорія модернізації, типи модернізації, органічна… Енциклопедія інвестора

Одне з основних математичних понять, сенс якого з розвитком математики зазнавав ряду узагальнень. I. Ще в «Початках» Евкліда (3 ст. до н. е.) були виразно сформульовані властивості Ст, званих тепер, на відміну від ... Велика Радянська Енциклопедія

Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n , то кажуть, що задана числова послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 називають членом послідовності з номером 1 або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2 або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n.

Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули.

Завдання послідовності за допомогою формули загального члена послідовності- Це завдання послідовності

x 1 , x 2 , … x n , …

за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n .

приклад 1 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана за допомогою формули загального члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули.

x 1 , x 2 , … x n , …

називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n

x n + 1 >x n

Приклад 3 . Послідовність натуральних чисел

1, 2, 3, … n, …

є зростаючою послідовністю.

Визначення 2. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

x n + 1 < x n

Приклад 4 . Послідовність

задана формулою

є спадною послідовністю.

Приклад 5 . Числова послідовність

1, - 1, 1, - 1, …

задана формулою

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю.

Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями.

Обмежені та необмежені послідовності

Визначення 4. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою зверху,якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 5. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою знизу,якщо існує таке число m, кожен член цієї послідовності більшечисла m.

Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

Визначення 6. Числову послідовність

x 1 , x 2 , … x n , …

називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу.

Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

m< x n < M

Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями.

Приклад 6 . Числова послідовність

1, 4, 9, … n 2 , …

задана формулою

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху.

Приклад 7 . Послідовність

задана формулою

є обмеженою послідовністю, оскільки для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ та ОДЕ з математики.

Для школярів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи російської мовина високий бал, навчальний центр "Резольвента" проводить

Іноді такі послідовності зв. строго зростаючим і термін "В. п." застосовується до послідовностей, які задовольняють всім лиш умові Такі послідовності зв. також незабутніми. Будь-яка обмежена зверху неубутня послідовність має кінцевий , а всяка не обмежена зверху має нескінченну межу, рівну +нескінченну. Л. Д. Кудрявцев.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитись що таке "ПОЛІКУВАЛЬНА ПОСЛІДНЮВАЛЬНІСТЬ" в інших словниках:

зростаюча послідовність- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN ascending sequence … Довідник технічного перекладача

Завдання пошуку найбільшої підпослідовності, що збільшується, полягає у відшуканні найбільш довгої зростаючої підпослідовності в даній послідовності елементів. Зміст 1 Постановка задачі 2 Родинні алгоритми … Вікіпедія

Монотонна функція це функція, збільшення якої не змінює знака, тобто або завжди неотрицательно, або завжди непозитивно. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонною. Зміст 1 Визначення 2… … Вікіпедія

Послідовність Числова послідовність це послідовність елементів числового простору. Числові пос… Вікіпедія

Це послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають ряд відмінних рис і додаткових властивостей.

Монотонна послідовність послідовність, яка задовольняє одну з наступних умов: для будь-якого номера виконується нерівність (неубутня послідовність), для будь-якого номера виконується нерівність (незростаюча… … Вікіпедія

Розділ теорії чисел, які вивчаються і метрично (тобто на основі теорії міри) характеризуються безлічі чисел, що володіють певними арифметич. властивостями. М. т. ч. тісно пов'язана з теорією ймовірностей, що іноді дає можливість… Математична енциклопедія

Стверджує, що будь-яка обмежена зростаюча послідовність має межу, причому ця межа дорівнює її точній верхній грані. Незважаючи на простоту доказу, ця теорема виявляється дуже зручною для знаходження меж багатьох ... Вікіпедія

Теорема, що дає оцінку густини суми двох послідовностей. Нехай А=(0, а 1, а.2,. . ., а i, ...) зростаюча послідовність цілих чисел і Щільністю послідовності Аназ. величина А р і ф м е т і ч е с кі сумою двох ... ... Математична енциклопедія

Простір, пов'язаний з простором основних (досить хороших) функцій. Важливу роль тут відіграють простори Фреше (типу FS) і сильно пов'язані до них (типу DFS). Простір типу FS є проективною межею компактної. Математична енциклопедія