1. Дифракція світла. Принцип Ґюйгенса-Френеля.

2. Дифракція світла на щілини у паралельних променях.

3. Дифракційні грати.

4. Дифракційний діапазон.

5. Характеристики дифракційних ґрат як спектрального приладу.

6. Рентгеноструктурний аналіз.

7. Дифракція світла на круглому отворі. Роздільна здатність діафрагми.

8. Основні поняття та формули.

9. Завдання.

У вузькому, але найбільш уживаному сенсі, дифракція світла - це огинання променями світла межі непрозорих тіл, проникнення світла у область геометричної тіні. У явищах, пов'язаних із дифракцією, має місце суттєве відхилення поведінки світла від законів геометричної оптики. (Дифракція проявляється не тільки для світла.)

Дифракція - хвильове явище, яке найвиразніше проявляється у тому випадку, коли розміри перешкоди можна порівняти (одного порядку) з довжиною хвилі світла. З дещицею довжин видимого світла пов'язане досить пізнє виявлення дифракції світла (16-17 ст.).

21.1. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцією світланазивається комплекс явищ, які зумовлені його хвильовою природою та спостерігаються при поширенні світла в середовищі з різкими неоднорідностями.

Якісне пояснення дифракції дає принцип Гюйгенса,який встановлює спосіб побудови фронту хвилі в момент часу t + Δt, якщо відомо його положення в момент часу t.

1. Згідно принципом Гюйгенса,кожна точка хвильового фронту є центром вторинних когерентних хвиль. Огибающая цих хвиль дає становище фронту хвилі наступного часу.

Пояснимо застосування принципу Гюйгенса на прикладі. Нехай на перешкоду з отвором падає пласка хвиля, фронт якої паралельний перешкоді (рис. 21.1).

Рис. 21.1.Пояснення принципу Гюйгенса

Кожна точка хвильового фронту, що виділяється отвором, є центром вторинних сферичних хвиль. На малюнку видно, що огинаюча цих хвиль проникає в область геометричної тіні, межі якої позначені штриховою лінією.

Принцип Гюйгенса нічого не говорить про інтенсивність вторинних хвиль. Цей недолік був усунений Френелем, який доповнив принцип Гюйгенса уявленням про інтерференцію вторинних хвиль та їхні амплітуди. Доповнений у такий спосіб принцип Гюйгенса отримав назву принципу Гюйгенса-Френеля.

2. Згідно принципом Гюйгенса-Френелявеличина світлових коливань в деякій точці Про результат інтерференції в цій точці когерентних вторинних хвиль, що випускаються усімаелементами хвильової поверхні. Амплітуда кожної вторинної хвилі пропорційна площі елемента dS, обернено пропорційна відстані r до точки Про і зменшується при зростанні кута α між нормаллю nдо елемента dS та напрямком на точку О (рис. 21.2).

Рис. 21.2.Випускання вторинних хвиль елементами хвильової поверхні

21.2. Дифракція на щілини в паралельних променях

Обчислення, пов'язані із застосуванням принципу Гюйгенса-Френеля, у випадку є складне математичне завдання. Однак у ряді випадків, що мають високий ступінь симетрії, знаходження амплітуди результуючих коливань може бути виконано алгебраїчним або геометричним підсумовуванням. Продемонструємо це шляхом розрахунку дифракції світла на щілини.

Нехай на вузьку щілину (АВ) у непрозорій перешкоді падає плоска монохроматична світлова хвиля, напрямок поширення якої перпендикулярно поверхні щілини (рис. 21.3 а). За щілиною (паралельно її площині) помістимо лінзу, що збирає, фокальної площиниЯкою розташуємо екран Е. Всі вторинні хвилі, що випускаються з поверхні щілини в напрямку, паралельномуоптичної осі лінзи (α = 0), приходять у фокус лінзи у однаковій фазі.Тому у центрі екрана (O) має місце максимумінтерференції для хвиль будь-якої довжини. Його називають максимумом нульового порядку.

Для того щоб з'ясувати характер інтерференції вторинних хвиль, випущених в інших напрямках, розіб'ємо поверхню щілини на n однакових зон (їх називають зонами Френеля) і розглянемо напрям, для якого виконується умова:

де b – ширина щілини, а λ - Довжина світлової хвилі.

Промені вторинних світлових хвиль, що у цьому напрямі, перетнуться у точці Про".

Рис. 21.3.Дифракція однієї щілини: а - хід променів; б – розподіл інтенсивності світла (f – фокусна відстань лінзи)

Твір bsina дорівнює різниці ходу (δ) між променями, що йдуть від країв щілини. Тоді різниця ходу променів, що йдуть від сусідніхзон Френеля, що дорівнює λ/2 (див. формулу 21.1). Такі промені при інтерференції взаємно знищуються, оскільки вони мають однакові амплітуди та протилежні фази. Розглянемо два випадки.

1) n = 2k – парне число. І тут відбувається попарне гасіння променів від усіх зон Френеля й у точці Про” спостерігається мінімум інтерференційної картини.

Мінімумінтенсивності при дифракції на щілини спостерігається для напрямків променів вторинних хвиль, що задовольняють умову

Ціле число k називається порядком мінімуму.

2) n = 2k – 1 – непарне число. У цьому випадку випромінювання однієї зони Френеля залишиться непогашеним і в точці О буде спостерігатися максимум інтерференційної картини.

Максимум інтенсивності при дифракції на щілини спостерігається для напрямків променів вторинних хвиль, що задовольняють умову:

Ціле число k називається порядком максимуму.Нагадаємо, що для спрямування α = 0 має місце максимум нульового порядку.

З формули (21.3) слід, що зі збільшенням довжини світлової хвилі кут, під яким спостерігається максимум порядку k > 0, зростає. Це означає, що для одного і того ж найближче до центру екрану розташовується фіолетова смуга, а далі - червона.

На малюнку 21.3, бпоказано розподіл інтенсивності світла на екрані залежно від відстані до центру. Основна частина світлової енергії зосереджена у центральному максимумі. У разі збільшення порядку максимуму його інтенсивність швидко зменшується. Розрахунки показують, що I 0: I 1: I 2 = 1: 0,047: 0,017.

Якщо щілина освітлена білим світлом, то на екрані центральний максимум буде білим (він загальний для всіх довжин хвиль). Побічні максимуми складатимуться із кольорових смуг.

Явище, подібне до дифракції на щілини, можна спостерігати на лезі бритви.

21.3. Дифракційні грати

При дифракції на щілини інтенсивності максимумів порядку k > 0 настільки незначні, що можуть бути використані на вирішення практичних завдань. Тому як спектральний прилад використовується дифракційні грати,яка є системою паралельних рівновіддалених щілин. Дифракційні грати можна отримати нанесенням непрозорих штрихів (подряпин) на плоскопаралельну скляну пластину (рис. 21.4). Простір між штрихами (щілини) пропускає світло.

Штрихи наносяться на поверхню грат алмазним різцем. Їхня щільність досягає 2000 штрихів на міліметр. При цьому ширина ґрат може бути до 300 мм. Загальна кількість щілин грат позначається N.

Відстань d між центрами чи краями сусідніх щілин називають постійною (періодом)дифракційної решітки.

Дифракційна картина на ґратах визначається як результат взаємної інтерференції хвиль, що йдуть від усіх щілин.

Хід променів у дифракційних ґратах представлений на рис. 21.5.

Нехай на решітку падає плоска монохроматична світлова хвиля, напрямок поширення якої перпендикулярно до площини решітки. Тоді поверхні щілин належать до однієї хвильової поверхні і є джерелами когерентних вторинних хвиль. Розглянемо вторинні хвилі, напрямок поширення яких задовольняє умову

Після проходження лінзи промені цих хвиль перетнуться в точці О".

Добуток dsina дорівнює різниці ходу (δ) між променями, що йдуть від країв сусідніх щілин. При виконанні умови (21.4) вторинні хвилі приходять до точки "О" в однаковій фазіі на екрані з'являється максимум інтерференційної картини. Максимуми, які відповідають умові (21.4), називаються головними максимумами порядку k. Саму умову (21.4) називають основною формулою дифракційної решітки.

Головні максимумипри дифракції на ґратах спостерігаються для напрямків променів вторинних хвиль, що задовольняють умові: dsinα = ± κ λ; k = 0,1,2,...

Рис. 21.4.Перетин дифракційної решітки (а) та її умовне позначення (б)

Рис. 21.5.Дифракція світла на дифракційній решітці

З низки причин, що тут не розглядаються, між головними максимумами розташовуються (N - 2) додаткових максимумів. При великій кількості щілин їх інтенсивність мізерно мала і весь простір між головними максимумами виглядає темним.

Умова (21.4), що визначає положення всіх основних максимумів, не враховує дифракцію на окремій щілині. Може вийти так, що для деякого напрямку одночасно виконуватимуться умова максимумудля грат (21.4) та умова мінімумудля щілини (21.2). І тут відповідний головний максимум немає (формально він є, та його інтенсивність дорівнює нулю).

Чим більше число щілин у дифракційній решітці (N), тим більше світлової енергії проходить через решітку, тим інтенсивнішими і гострішими будуть максимуми. На малюнку 21.6 представлені графіки розподілу інтенсивностей, отримані від ґрат з різним числом щілин (N). Періоди (d) та ширина щілин (b) у всіх решіток однакові.

Рис. 21.6.Розподіл інтенсивностей за різних значень N

21.4. Дифракційний спектр

З основної формули дифракційних грат (21.4) видно, що кут дифракції α, під яким утворюються головні максимуми, залежить від довжини хвилі падаючого світла. Тому максимуми інтенсивності, що відповідають різним довжинам хвиль, виходять у різних місцях екрану. Це дозволяє використовувати грати як спектральний прилад.

Дифракційний спектр- Спектр, отриманий за допомогою дифракційної решітки.

При падінні на дифракційну решітку білого світла всі максимуми, крім центрального, розкладуться у спектр. Положення максимуму порядку k для світла з довжиною хвилі визначається формулою:

Чим більша довжина хвилі (λ), тим далі від центру відстоїть k-й максимум. Тому фіолетова область кожного головного максимуму звернена до центру дифракційної картини, а червона - назовні. Зауважимо, що при розкладанні білого світла призмою сильніше відхиляються фіолетові промені.

Записуючи основну формулу грат (21.4), ми вказали, що k - ціле число. Наскільки велике воно може бути? Відповідь це питання дає нерівність |sinα|< 1. Из формулы (21.5) найдем

де L – ширина решітки, а N – число штрихів.

Наприклад, для грат із щільністю 500 штрихів на мм d = 1/500 мм = 2х10 -6 м. Для зеленого світла з λ = 520 нм = 520х10 -9 м отримаємо k< 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.

21.5. Характеристики дифракційних ґрат як спектрального приладу

Основна формула дифракційної решітки (21.4) дозволяє визначити довжину хвилі світла, вимірюючи кут α, що відповідає положенню k максимуму. Таким чином, дифракційна решітка дозволяє отримувати та аналізувати спектри складного світла.

Спектральні характеристики решітки

Кутова дисперсія -величина, що дорівнює відношенню зміни кута, під яким спостерігається дифракційний максимум, до зміни довжини хвилі:

де k – порядок максимуму, α - кут, під яким він спостерігається.

Кутова дисперсія тим вища, чим більший порядок спектру і чим менше період решітки (d).

Роздільна здатність(дозволяюча сила) дифракційної решітки - величина, що характеризує її здатність давати

де k – порядок максимуму, а N – число штрихів решітки.

З формули видно, що близькі лінії, які зливаються у спектрі першого порядку, можуть сприйматися окремо у спектрах другого чи третього порядків.

21.6. Рентгеноструктурний аналіз

Основна формула дифракційних грат може бути використана не тільки для визначення довжини хвилі, але і для вирішення зворотної задачі - знаходження постійної дифракційної решітки по відомій довжині хвилі.

Як дифракційні грати можна взяти структурні грати кристала. Якщо на просту кристалічну решітку направити потік рентгенівських променів під деяким кутом θ (рис. 21.7), то вони будуть дифрагувати, оскільки відстань між центрами (атомами), що розсіюють, в кристалі відповідає

довжина хвилі рентгенівського випромінювання. Якщо на деякій відстані від кристала помістити фотопластинку, вона зареєструє інтерференцію відбитих променів.

де d - міжплощинна відстань у кристалі, θ - кут між площиною

Рис. 21.7.Дифракція рентгенівських променів на простій кристалічній решітці; точками вказано розташування атомів

кристала і падаючим рентгенівським променем (кут ковзання), - довжина хвилі рентгенівського випромінювання. Співвідношення (21.11) називається умовою Брегга-Вульфа.

Якщо відома довжина хвилі рентгенівського випромінювання та виміряний кут θ, що відповідає умові (21.11), то можна визначити міжплощинну (міжтомну) відстань d. На цьому ґрунтується рентгеноструктурний аналіз.

Рентгеноструктурний аналіз -метод визначення структури речовини шляхом дослідження закономірностей дифракції рентгенівського випромінювання на зразках, що вивчаються.

Рентгенівські дифракційні картини дуже складні, так як кристал є тривимірним об'єктом і рентгенівські промені можуть дифрагувати на різних площинах під різними кутами. Якщо речовина являє собою монокристал, то дифракційна картина є чергуванням темних (засвічених) і світлих (незасвічених) плям (рис. 21.8, а).

У тому випадку коли речовина є сумішшю великого числа дуже маленьких кристаликів (як у металі або порошку), виникає серія кілець (рис. 21.8, б). Кожне кільце відповідає дифракційному максимуму певного порядку k, причому рентгенограма утворюється у вигляді кіл (рис. 21.8, б).

Рис. 21.8.Рентгенограма для монокристала (а), рентгенограма для полікристала (б)

Рентгеноструктурний аналіз використовують і на дослідження структур біологічних систем. Наприклад, цим методом було встановлено структуру ДНК.

21.7. Дифракція світла на круглому отворі. Роздільна здатність діафрагми

На закінчення розглянемо питання про дифракцію світла на круглому отворі, який представляє великий практичний інтерес. Такими отворами є, наприклад, зіниця ока та об'єктив мікроскопа. Нехай на лінзу падає світло від точкового джерела. Лінза є отвором, який пропускає тільки частинасвітлової хвилі. Внаслідок дифракції на екрані, розташованому за лінзою, виникне дифракційна картина, показана на рис. 21.9, а.

Як і для щілини, інтенсивності побічних максимумів малі. Центральний максимум у вигляді світлого кружка (дифракційна пляма) і є зображенням крапки, що світиться.

Діаметр дифракційної плями визначається формулою:

де f – фокусна відстань лінзи, а d – її діаметр.

Якщо на отвір (діафрагму) падає світло від двох точкових джерел, то залежно від кутової відстані між ними (β) їх дифракційні плями можуть сприйматися окремо (рис. 21.9 б) або зливатися (рис. 21.9 в).

Наведемо без висновку формулу, яка забезпечує роздільне зображення близьких точкових джерел на екрані (роздільна здатність діафрагми):

де λ – довжина хвилі падаючого світла, d – діаметр отвору (діафрагми), β – кутова відстань між джерелами.

Рис. 21.9.Дифракція на круглому отворі від двох точкових джерел

21.8. Основні поняття та формули

Закінчення таблиці

21.9. Завдання

1. Довжина хвилі світла, що падає на щілину перпендикулярно до її площини, укладається в ширині щілини 6 разів. Під яким кутом буде видно 3 дифракційний мінімум?

2. Визначити період грат шириною L = 2,5 см, що має N = 12500 штрихів. Відповідь записати у мікрометрах.

Рішення

d = L/N = 25000 мкм/12500 = 2 мкм. Відповідь: d=2 мкм.

3. Чому дорівнює постійна дифракційної решітки, якщо в спектрі 2-го порядку червона лінія (700 нм) помітна під кутом 30°?

4. Дифракційні грати містять N = 600 штрихів на L = 1 мм. Знайти найбільший порядок спектру для світла із довжиною хвилі λ = 600 нм.

5. Помаранчеве світло з довжиною хвилі 600 нм та зелене світло з довжиною хвилі 540 нм проходять через дифракційну решітку, що має 4000 штрихів на сантиметр. Чому дорівнює кутова відстань між помаранчевим та зеленим максимумами: а) першого порядку; б) третій порядок?

Δα = α ор - α з = 13,88 ° - 12,47 ° = 1,41 °.

6. Знайти найбільший порядок спектру для жовтої лінії натрію = 589 нм, якщо постійна решітки дорівнює d = 2 мкм.

Рішення

Наведемо d і λ до однакових одиниць: d = 2 мкм = 2000 нм. За формулою (21.6) знайдемо k< d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Відповідь: k = 3.

7. Дифракційну решітку з числом щілин N = 10 000 використовують на дослідження спектра світла області 600 нм. Знайти мінімальну різницю довжин хвиль, яку можна виявити такими ґратами під час спостереження максимумів другого порядку.

Грати збоку виглядають подібним чином.

Застосування також знаходять відбивні грати, які отримані нанесенням алмазним різцем на поліровану поверхню металу тонких штрихів Відбитки на желатині або пластиці після такого гравіювання називають реплікамиале такі дифракційні решітки зазвичай низької якості, тому застосування їх обмежене. Хорошими відбивними ґратами вважаються такі, у яких повна довжина становить близько 150 мм, за загальної кількості штрихів – 600 шт/мм.

Основні характеристики дифракційної решітки – це загальна кількість штрихів N, густота штрихування n (кількість штрихів, що припадає на 1 мм) та період(постійна) решітки d, яку можна знайти як d = 1/n.

Решітка освітлена одним фронтом хвилі та її N прозорих штрихів прийнято розглядати як N когерентних джерел.

Якщо згадати явище інтерференціївід багатьох однакових джерел світла, то інтенсивність світлавиражається відповідно до закономірності:

де i 0 – інтенсивність світлової хвилі, яка пройшла через одну щілину

Виходячи з поняття максимальної інтенсивності хвилі, отриманого за умови:

β = mπ при m = 0, 1, 2 і т.д.

.

Перейдемо від допоміжного кутаβ до просторового кута спостереження Θ, і тоді:

(π d sinΘ)/λ = m π,

Головні максимуми з'являються за умови:

sinΘ м = m λ/ d, при m = 0, 1, 2 і т.д.

Інтенсивність світла в головних максимумахможна знайти згідно з формулою:

I м = N 2 i 0.

Тому потрібно виготовляти грати з малим періодом d, тоді існує можливість отримання великих кутів розсіювання променівта широкої дифракційної картини.

Наприклад:

На продовженні попереднього прикладурозглянемо випадок, коли у першому максимумі червоні промені (λ кр = 760 нм) відхилиться на кут Θ до = 27°, а фіолетові (λ ф = 400 нм) відхилиться на кут Θ ф = 14°.

Видно, що за допомогою дифракційних ґрат існує можливість вимірювання довжини хвилітого чи іншого кольору. Для цього просто потрібно знати період решітки та виміряти кут, але який відхилився промінь, що відповідає необхідному світлу.

Дифракційні грати

Дифракцієюназивається будь-яке відхилення поширення світла від прямолінійного, не пов'язане з відображенням та заломленням.Якісний метод розрахунку дифракційної картини запропонував Френель. Основною ідеєю методу є принцип Гюйгенса - Френеля:

Кожна точка, до якої доходить хвиля, є джерелом когерентних вторинних хвиль, а подальше поширення хвилі визначається інтерференцією вторинних хвиль.

Геометричне місце точок, для яких коливання мають однакові фази, називають хвильовою поверхнею . Хвильовий фронт також хвильової поверхнею.

Дифракційні гратиявляє собою сукупність великої кількості паралельних щілин або дзеркал однакової ширини та віддалених один від одного на однаковій відстані. Періодом решітки ( d) називається відстань між серединами сусідніх щілин, або що ж сума ширини щілини (а) і непрозорого проміжку (b) між ними (d = a + b).

Розглянемо принцип дії дифракційних ґрат. Нехай на решітку нормально до поверхні падає паралельний пучок променів білого світла (рис. 1). На щілинах решітки, ширина яких можна порівняти з довжиною хвилі світла, відбувається дифракція.

В результаті за дифракційними ґратами згідно з принципом Гюйгенса-Френеля від кожної точки щілини світлові промені поширюватимуться у всіх можливих напрямках, яким можна зіставити кути відхилення. φ світлових променів ( кути дифракції) від початкового напряму. Паралельні між собою промені (дифрагіруючі під однаковим кутом φ ) можна сфокусувати, встановивши за ґратами лінзу, що збирає. Кожен пучок паралельних променів збереться у задній фокальній площині лінзи у певній точці А. Паралельні промені, що відповідають іншим кутам дифракції, зберуться в інших точках фокальної площини лінзи. У цих точках спостерігатиметься інтерференція світлових хвиль, що походять від різних щілин решітки. Якщо оптична різниця ходу між відповідними променями монохроматичного світла дорівнюватиме цілому довжини хвиль , κ = 0, ±1, ±2, …, то в точці накладання променів буде спостерігатися максимум інтенсивності світла для даної довжини хвилі, З малюнка 1 видно, що оптична різниця ходу між двома паралельними променями, що виходять з відповідних точок сусідніх щілин, дорівнює

де φ – кут відхилення променя ґратами.

Отже, умова виникнення головних інтерференційних максимумівграти або рівняння дифракційної решітки

, (2)

де λ – довжина світлової хвилі.

У фокальній площині лінзи для променів, що не зазнали дифракції, спостерігається центральний білий максимум нульового порядку ( φ = 0, κ = 0), праворуч і ліворуч від якого розташовуються кольорові максимуми (спектральні лінії) першого, другого та наступних порядків (рис. 1). Інтенсивність максимумів зменшується зі зростанням їхнього порядку, тобто. із збільшенням кута дифракції.

Однією з основних характеристик дифракційних ґрат є її кутова дисперсія. Кутова дисперсіяґрати визначає кутову відстань dφміж напрямками для двох спектральних ліній, що відрізняються за довжиною хвилі на 1 нм ( = 1 нм), та характеризує ступінь розтягнутості спектру поблизу даної довжини хвилі:

Формула для розрахунку кутової дисперсії решітки може бути отримана при диференціюванні рівняння (2) . Тоді

. (5)

З формули (5) випливає, що кутова дисперсія решітки тим більше, чим більший порядок спектру.

Для решіток з різними періодами ширина спектра більша у решітки, що характеризується меншим періодом. Зазвичай, у межах одного порядку змінюється незначно (особливо для решіток з невеликим числом штрихів на міліметр), тому дисперсія в межах одного порядку майже не змінюється. Спектр, отриманий при постійній дисперсії, рівномірно розтягнутий у всій області довжин хвиль, що вигідно відрізняє спектр решітки від спектра, що дається призмою.

Кутова дисперсія пов'язана з лінійною дисперсією. Лінійну дисперсію можна також обчислити за формулою

, (6) де – лінійна відстань на екрані або фотопластинці між спектральними лініями, f- Фокусна відстань лінзи.

Дифракційні грати також характеризуються роздільною здатністю. Ця величина, що характеризує здатність дифракційної решітки давати роздільне зображення двох близьких спектральних ліній

R = , (7)

де l – середня довжина хвилі спектральних ліній, що дозволяються; dl – різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній.

Залежність роздільної здатності від числа щілин дифракційної решітки Nвизначається формулою

R = = kN, (8)

де k- Порядок спектру.

З рівняння для дифракційної решітки (1) можна зробити такі висновки:

1. Дифракційна решітка даватиме помітну дифракцію (значні кути дифракції) тільки в тому випадку, коли період решітки можна порівняти з довжиною світлової хвилі, тобто d»l» 10 -4 см. Ґрати з періодом менше довжини хвилі не дають дифракційних максимумів.

2. Положення основних максимумів дифракційної картини залежить від довжини хвилі. Спектральні складові випромінювання немонохроматичного пучка відхиляються гратами на різні кути ( дифракційний спектр). Це дозволяє використовувати дифракційну решітку як спектральний прилад.

3. Максимальний порядок спектру, при нормальному падінні світла на дифракційні ґрати, визначається співвідношенням:

k max £ d¤l.

Дифракційні грати, що використовуються в різних областях спектру, відрізняються розмірами, формою, матеріалом поверхні, профілем і частотою штрихів, що дозволяє перекрити область спектру від ультрафіолетової частини (l » 100 нм) до інфрачервоної (l » 1 мкм). Широко використовуються в спектральних приладах гравіровані решітки (репліки), які є відбитками грат на спеціальних пластмасах з наступним нанесенням металевого відбивного шару.

ВИЗНАЧЕННЯ

Дифракційними ґратаминазивають спектральний прилад, що є системою деякої кількості щілин, розділених непрозорими проміжками.

Дуже часто на практиці використовують одновимірні дифракційні грати, що складається з паралельних щілин однакової ширини, що знаходяться в одній площині, які поділяють рівними по ширині непрозорими проміжками. Такі ґрати виготовляють за допомогою спеціальної ділильної машини, яка наносить на пластині зі скла паралельні штрихи. Кількість таких штрихів може бути більш як тисяча на один міліметр.

Найкращими вважаються відбивні дифракційні грати. Це сукупність ділянок, що відбивають світло з ділянками, які відбивають світло. Такі решітки є відшліфованою металевою пластиною, на якій штрихи, що розсіюють світло, нанесені різцем.

Картина дифракції на ґратах — це результат взаємної інтерференції хвиль, що йдуть від усіх щілин. Отже, за допомогою дифракційних ґрат реалізується багатопроменева інтерференція когерентних пучків світла, які зазнали дифракції і які йдуть від усіх щілин.

Припустимо, що на дифракційній решітці ширина щілини буде a, ширина непрозорої ділянки - b тоді величина:

називається періодом (постійної) дифракційної решітки.

Картина дифракції на одномірній дифракційній решітці

Припустимо, що нормально до площини дифракційної ґрат падає монохроматична хвиля. Внаслідок того, що щілини розташовані на рівних відстанях один від одного, то різниці ходу променів (), що йдуть від пари сусідніх щілин, для обраного напрямку будуть однакові для всієї цієї дифракційної решітки:

Головні мінімуми інтенсивності спостерігаються у напрямках, визначених умовою:

Крім головних мінімумів, внаслідок взаємної інтерференції променів світла, які посилає пара щілин, у деяких напрямках вони гасять один одного, це означає, що з'являються додаткові мінімуми. Вони виникають у напрямках, де різницю ходу променів становлять непарне число напівхвиль. Умову додаткових мінімумів записують як:

де N - число щілин дифракційної решітки; k' приймає будь-які цілі значення, крім 0, . Якщо грати мають N щілин, між двома головними максимумами знаходяться додатковий мінімум, які поділяють вторинні максимуми.

Умовою головних максимумів для дифракційної решітки є вираз:

Оскільки величина синуса може бути більше одиниці, кількість головних максимумов:

Якщо через ґрати пропускати біле світло, то всі максимуми (крім центрального m=0) будуть розкладені в спектр. При цьому фіолетова область даного спектра буде звернена до центру картини дифракції. Ця властивість дифракційної решітки застосовується для вивчення складу спектру світла. Якщо відомий період решітки, то обчислення довжини хвилі світла можна звести до знаходження кута, який відповідає напрямку максимум.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання	Який максимальний порядок спектру, який можна отримати за допомогою дифракційної решітки з постійною м, якщо на неї перпендикулярно до поверхні падає монохроматичний пучок світла з довжиною хвилі м?
Рішення	Як основу для вирішення задачі використовуємо формулу, яка є умовою спостереження головних максимумів для дифракційної картини, отриманої при проходженні світла через дифракційну решітку: Максимальним значенням є одиниця, тому: З (1.2) висловимо, отримаємо: Проведемо обчислення:
Відповідь

ПРИКЛАД 2

Завдання	Через дифракційну решітку пропускають монохроматичне світло з довжиною хвилі. На відстані L від ґрат поставлений екран. На нього за допомогою лінзи, що знаходиться біля ґрат, створюють проекцію дифракційної картини. При цьому перший максимум дифракції знаходиться на відстані від центрального. Яка кількість штрихів на одиницю довжини дифракційних ґрат (N), якщо світло падає на неї нормально?
Рішення	Зробимо малюнок.

Дифракційні грати - Оптичний пристрій, що являє собою сукупність великої кількості паралельних, зазвичай рівновіддалених один від одного, щілин.

Дифракційні грати можна отримати нанесенням непрозорих подряпин (штрихів) на скляну пластину. Непроцарапанные місця — щілини — пропускатимуть світло; штрихи, відповідні проміжку між щілинами, розсіюють і пропускають світла. Перетин таких дифракційних грат ( а) та її умовне позначення (б)показано на рис. 19.12. Сумарну ширину щілини ата проміжок бміж щілинами називають постійноюабо періодом дифракційної решітки:

с = а + б.(19.28)

Якщо на ґрати падає пучок когерентних хвиль, то вторинні хвилі, що йдуть у різних напрямках, інтерферуватимуть, формуючи дифракційну картину.

Нехай на ґрати нормально падає плоскопаралельний пучок когерентних хвиль (рис. 19.13). Виберемо деякий напрямок вторинних хвиль під кутом a щодо нормалі до ґрат. Промені, що йдуть від крайніх точок двох сусідніх щілин, мають різницю ходу d = А "В".Така ж різниця ходу буде для вторинних хвиль, що йдуть від відповідно розташованих пар точок сусідніх щілин. Якщо ця різниця ходу кратна цілому довжини хвиль, то при інтерференції виникнуть основні максимуми,для яких виконується умова ÷ А "В¢÷ = ± k l , або

з sin a = ± k l , (19.29)

де k = 0,1,2,... — порядок основних максимумів.Вони розташовані симетрично щодо центрального (k= 0, a = 0). Рівність (19.29) є основною формулою дифракційної решітки.

Між головними максимумами утворюються мінімуми (додаткові), кількість яких залежить від кількості всіх щілин решітки. Виведемо умову для додаткових мінімумів. Нехай різниця ходу вторинних хвиль, що йдуть під кутом a від відповідних точок сусідніх щілин, дорівнює l /N,тобто.

d = з sin a = l /N,(19.30)

де N- Число щілин дифракційної решітки. Цієї різниці ходу 5 [див. (19.9)] відповідає різниця фаз Dj = 2 p /N.

Якщо вважати, що вторинна хвиля від першої щілини має в момент складання з іншими хвилями нульову фазу, то фаза хвилі від другої щілини дорівнює 2 p /N,від третьої - 4 p /N,від четвертої - 6p /Nі т. д. Результат складання цих хвиль з урахуванням фазової відмінності зручно отримати за допомогою векторної діаграми: сума Nоднакових векторів напруженості електричного поля, кут (різниця фаз) між будь-якими сусідніми з яких є 2 p /N,дорівнює нулю. Це означає, що умова (19:30) відповідає мінімуму. При різниці ходу вторинних хвиль від сусідніх щілин d = 2( l /N)або різниці фаз Dj = 2(2p/N)буде також отримано мінімум інтерференції вторинних хвиль, що йдуть від усіх щілин, тощо.

Як ілюстрація на рис. 19.14 зображено векторну діаграму, що відповідає дифракційним гратам, що складається з шести щілин: і т. д. - вектори напруженості електричної складової електромагнітних хвиль від першої, другої і т. д. щілин. П'ять додаткових мінімумів (сума векторів дорівнює нулю), що виникають при інтерференції, спостерігаються при різниці фаз хвиль, що приходять від сусідніх щілин, в 60° ( а), 120° (б), 180 ° (в), 240° (г)та 300° (Д).

Рис. 19.14

Так, можна переконатися, що між центральним і кожним першим головним максимумом є N-1 додаткових мінімумів, що задовольняють умові

з sin a = ± l /N; 2l /N, ..., ±(N - 1)l /N.(19.31)

Між першим та другим головними максимумами також розташовані N - 1 додаткових мінімумів, що задовольняють умові

з sin a = ± ( N+ 1)l /N, ±(N+ 2)l /N, ...,(2N - 1)l /N,(19.32)

і т. д. Отже, між будь-якими двома сусідніми головними максимумами спостерігається N - 1додаткових мінімумів.

При великій кількості щілин окремі додаткові мінімуми практично не різняться, а простір між головними максимумами виглядає темним. Чим більше число щілин дифракційної решітки, тим більше різкі основні максимуми. На рис. 19.15 представлені фотографії дифракційної картини, отриманої від ґрат з різним числом Nщілин (постійна дифракційної решітки однакова), але в рис. 19.16 - графік розподілу інтенсивності.

Особливо зауважимо роль мінімумів від однієї щілини. У напрямі, що відповідає умові (19.27), кожна щілина дає мінімум, тому щонайменше від однієї щілини збережеться і для всіх ґрат. Якщо для певного напрямку одночасно виконуються умови мінімуму для щілини (19.27) та головного максимуму грат (19.29), то відповідний головний максимум не виникне. Зазвичай намагаються використовувати головні максимуми, які розміщуються між першими мінімумами від однієї щілини, тобто в інтервалі

arcsin (l /a) > a > - arcsin (l /a) (19.33)

При падінні на дифракційні ґрати білого чи іншого немонохроматичного світла кожен головний максимум, крім центрального, виявиться розкладеним у спектр [див. (19.29)]. В цьому випадку kвказує порядок спектру.

Таким чином, грати є спектральним приладом, тому для неї суттєві характеристики, які дозволяють оцінювати можливість розрізнення спектрів.

Одна з таких характеристик кутова дисперсія- Визначає кутову ширину спектра. Вона чисельно дорівнює кутовому відстані da між двома лініями спектра, довжини хвиль яких різняться на одиницю (dl. = 1):

D= da/dl.

Диференціюючи (19.29) та використовуючи тільки позитивні значення величин, отримуємо

з cos a da =. k dl.

З останніх двох рівностей маємо

D = ..k /(c cos a). (19.34)

Оскільки зазвичай використовують невеликі кути дифракції, то cos a » 1. Кутова дисперсія Dтим вище, чим більше порядок kспектру і чим менша постійна здифракційної решітки.

Можливість розрізняти близькі спектральні лінії залежить як від ширини спектра, чи кутовий дисперсії, а й від ширини спектральних ліній, які можуть накладатися друг на друга.

Прийнято вважати, що якщо між двома дифракційними максимумами однакової інтенсивності знаходиться область, де сумарна інтенсивність становить 80% від максимальної, спектральні лінії, яким відповідають ці максимуми, вже дозволяються.

При цьому, згідно з Дж. У. Реле, максимум однієї лінії збігається з найближчим мінімумом іншої, що і вважається критерієм дозволу. На рис. 19.17 зображено залежність інтенсивності I окремих ліній від довжини хвилі (суцільна крива) та їх сумарна інтенсивність (штрихова крива). З малюнків легко побачити невирішеність двох ліній ( а) та граничну дозволеність ( б), коли максимум однієї лінії збігається із найближчим мінімумом іншої.

Дозвіл спектральних ліній кількісно оцінюється роздільною здатністю,рівної відношенню довжини хвилі до найменшого інтервалу довжин хвиль, які ще можуть бути дозволені:

R = l./Dl. (19.35)

Так, якщо є дві близькі лінії з довжинами хвиль l 1 ³ l 2 Dl = l 1 - l 2 , то (19.35) можна приблизно записати у вигляді

R= l 1 /(l 1 - l 2), або R= l 2 (l 1 - l 2) (19.36)

Умова головного максимуму для першої хвилі

з sin a = k l 1 .

З ним збігається найближчий мінімум для другої хвилі, умова якого

з sin a = k l 2 + l 2 /N.

Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей, маємо

k l 1 = k l 2 + l 2 /N, k(l 1 - l 2) = l 2 /N,

звідки [з урахуванням (19.36)]

R =k N .

Отже, роздільна здатність дифракційних ґрат тим більше, чим більше порядок kспектру та число Nштрихів.

Розглянемо приклад. У спектрі, отриманому від дифракційних ґрат з числом щілин N = 10 000 є дві лінії поблизу довжини хвилі l = 600 нм. При якій найменшій різниці довжин хвиль Dl ці лінії розрізняються у спектрі третього порядку (k = 3)?

Для відповіді це питання прирівняємо (19.35) і (19.37), l/Dl = kN,звідки Dl = l/( kN). Підставляючи числові значення цієї формули, знаходимо Dl = 600 нм/(3 . 10 000) = 0,02 нм.

Так, наприклад, помітні в спектрі лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,02 нм і не помітні лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,01 нм

Виведемо формулу дифракційних ґрат для похилого падіння когерентних променів (рис. 19.18, b — кут падіння). Умови формування дифракційної картини (лінза, екран у фокальній площині) ті ж, що й за нормального падіння.

Проведемо перпендикуляри А "Вкпадаючим променям і АВ"до вторинних хвиль, що йдуть під кутом a до перпендикуляра, відновленого до площини решітки. З рис. 19.18 видно, що до положення А¢Впромені мають однакову фазу, від АВ"і далі різниця фаз променів зберігається. Отже, різниця ходу є

d = ВВ "-АА".(19.38)

З D АА"Вмаємо АА¢= АВ sin b = з sin b. З D ВВ"Азнаходимо ВВ" = АВ sin a = з sin a. Підставляючи вирази для АА¢і ВВ"в (19.38) та враховуючи умову для головних максимумів, маємо

з(sin a – sin b) = ± kl. (19.39)

Центральний головний максимум відповідає напрямку падаючих променів (a = b).

Поряд із прозорими дифракційними решітками використовують відбивні, у яких штрихи нанесені на металеву поверхню. Спостереження у своїй ведеться у відбитому світлі. Відбивні дифракційні ґрати, виготовлені на увігнутій поверхні, здатні утворювати дифракційну картину без лінзи.

У сучасних дифракційних решітках максимальна кількість штрихів становить понад 2000 на 1 мм, а довжина ґрат більше 300 мм, що дає значення Nблизько мільйона.