Формула падіння із горизонтальною швидкістю. Вивчення руху тіла, кинутого під кутом до горизонту

Тіло можна кинути і так, щоб його початкова швидкість v 0буде направлено горизонтально (α = 0). Так спрямована, наприклад, початкова швидкість тіла, що відірвалося від літака, що горизонтально летить. Легко зрозуміти, якою траєкторією буде рухатися тіло. Звернемося до малюнка 15, на якому показана параболічна траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту. У вищій точці траєкторії параболи швидкість тіла якраз і спрямована горизонтально. Як ми вже знаємо, за цією точкою тіло рухається правою гілкою параболи. Очевидно, що й всяке тіло, кинуте горизонтально, теж рухатиметься по гілці параболи.

Траєкторію руху тіл, кинутих горизонтально чи під кутом до горизонту, можна наочно вивчити у досвіді. Посудину, наповнену водою, розташовують на деякій висоті над столом і з'єднують гумовою трубкою з наконечником, з краном. струмені води, що випускаються безпосередньо показують траєкторії руху частинок води. Таким чином, можна спостерігати траєкторії при різних значеннях кута падіння α і швидкості v 0.

Час руху тіла, кинутого горизонтально з деякої початкової висоти, визначається лише тим часом, який необхідний вільного падіння тіла з цієї початкової висоти. Тому, наприклад, куля, випущена стрільцем з рушниці в горизонтальному напрямку, впаде на землю одночасно з кулею, випущеною випадково в момент пострілу (за умови, що стрілець кидає кулю з тієї ж висоти, на якій вона знаходиться в рушницю в момент пострілу!). .). Але упущена куля впаде біля ніг стрільця, а куля, що вилетіла з рушничного ствола - у багатьох сотнях метрів від нього.

Приклад розв'язання задачі

Саме цей приклад був обраний з тієї причини, що завдання має досить загальний характер і дозволяє на прикладі її рішення краще зрозуміти всі особливості руху тіла під дією сили тяжіння.

Вихідні припущення, що накладаються на умови вирішення задачі

При вирішенні цього завдання ми будемо використовувати лише два вихідні припущення:

ми нехтуватимемо залежністю величини модуля вектора прискорення вільного падіння від висоти, на якій знаходиться тіло в будь-який момент руху (див. рис. 11 та коментар до нього)
ми нехтуватимемо кривизною земної поверхні при аналізі руху тіла (див. рис. 11 та коментар до нього)

Умова задачі:

З точки з координатами x 0 y 0 кинуто тіло під кутом α 0 до горизонту зі швидкістю v 0 (див. малюнок 16). Знайти:

положення та швидкість тіла через час t;
рівняння траєкторії польоту;
нормальне та тангенціальне прискорення та радіус кривизни траєкторії в момент t;
повний час польоту;
найбільшу висоту підйому;
кут, під яким треба кинути тіло, щоб висота його підйому дорівнювала дальності польоту (за умови, що x 0 = y 0 = 0).

Рішення

Направимо осі прямокутної системи координат X та Y за напрямками горизонтального та вертикального переміщень точки. Оскільки вектор прискорення вільного падіння не має компоненти, паралельної осі X , тобто векторні рівняння руху тіла мають вигляд:

У явному вигляді вираз для проекцій векторних величин, що входять до першого рівняння, на осі системи координат, має вигляд, що визначає положення тіла в момент часу t:

Оскільки кожен вектор можна подати у вигляді суми його проекцій (це теж вектори) на осі координат, кожне векторне рівняння може бути представлене у вигляді двох векторних рівнянь, але вже для проекцій. Виразивши проекції векторних величин, що входять до другого рівняння, на осі системи координат, знаходимо складові швидкості

і вираз для результуючої швидкості (використана теорема Піфагора) Тангенс кута між напрямком результуючої швидкості та віссю X дорівнює, тобто він змінюється з часом. І це зрозуміло, оскільки величина швидкості має геометричну інтерпретацію як величини тангенса кута нахилу дотичної до залежності координати чи радіус-вектора від часу.

Виключивши t з обох рівнянь, що визначають положення тіла в момент t отримаємо рівняння траєкторії польоту

Щоб визначити тангенціальне і нормальне прискорення тіла в точці з координатами x, y, зауважимо, що повне прискорення тіла весь час спрямоване вниз і є тільки прискоренням сили тяжіння (інших сил і прискорень за умовою завдання немає). Тангенціальне прискорення дорівнює проекції вектора на дотичну до траєкторії (тобто −g sinγ , як видно на пояснювальному малюнку до завдання), а нормаль прискорення до дотичної дорівнює проекції −g cosγ (див. рис. 16)

то

Знайдемо принагідно наближене значення радіусу кривизни (R) траєкторії в момент t. Приймаючи, що точка рухається дугою кола (це наближення, що спрощує кінцеву математичну формулу результату, що насправді не має місця і найкраще виконується поблизу точки максимального підйому тіла), скористаємося формулою

тоді

Якщо тіло кинуто з точки на поверхні, де і y = 0, завдання суттєво спрощується. Зменшуючи на (x max − x 0) , знаходимо, що

Повний час польоту можна визначити з формули звідки

Найбільша висота підйому тіла досягається в момент t тоді, коли y = 0 . Так як складова вектора швидкості вздовж осі Y дорівнює, то в точці максимального підйому тіла має місце рівність v y = 0, звідки отримуємо

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально і що рухається під впливом однієї лише сили тяжкості (опір повітря нехтуємо). Наприклад, уявімо, що кулі, що лежить на столі, повідомляють поштовх, і він докочується до краю столу і починає вільно падати, маючи початкову швидкість, спрямовану горизонтально (рис. 174).

Спроектуємо рух кулі на вертикальну вісь та на горизонтальну вісь. Рух проекції кулі на вісь - це рух без прискорення зі швидкістю; рух проекції кулі на вісь - це вільне падіння з прискоренням більш початкової швидкості під дією сили тяжіння. Закони обох рухів нам відомі. Компонента швидкості залишається постійною та рівною. Компонента зростає пропорційно часу: . Результуючу швидкість легко знайти за правилом паралелограма, як показано на рис. 175. Вона буде нахилена вниз, і її нахил зростатиме з часом.

Рис. 174. Рух кулі, що скотилася зі столу

Рис. 175. Куля, кинута горизонтально зі швидкістю має в момент швидкість

Знайдемо траєкторію тіла, кинутого горизонтально. Координати тіла на момент часу мають значення

Щоб знайти рівняння траєкторії, виразимо з (112.1) час через і підставимо цей вираз (112.2). У результаті отримаємо

Графік цієї функції показано на рис. 176. Ординати точок траєкторії виявляються пропорційними квадратам абсцис. Ми знаємо, що такі криві називаються параболами. Параболою зображувався графік шляху рівноприскореного руху (§ 22). Таким чином, тіло, що вільно падає, початкова швидкість якого горизонтальна, рухається по параболі.

Шлях, який проходить у вертикальному напрямку, не залежить від початкової швидкості. Але шлях, що проходить у горизонтальному напрямку пропорційний початковій швидкості. Тому при великій горизонтальній початковій швидкості парабола, якою падає тіло, більш витягнута в горизонтальному напрямку. Якщо з розташованої горизонтально трубки випускати струмінь води (рис. 177), то окремі частинки води, так само як і кулька, рухатимуться по параболі. Чим більше відкритий кран, через який надходить вода в трубку, тим більша початкова швидкість води і тим далі від крана потрапляє струмінь на дно кювети. Поставивши позаду струменя екран із заздалегідь накресленими на ньому параболами, можна переконатися, що струмінь води дійсно має форму параболи.

112.1. Якою буде через 2с польоту швидкість тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю 15м/с? У який момент швидкість буде спрямована під кутом 45° до горизонту? Опір повітря знехтувати.

112.2. Кулька, що скотилася зі столу висоти 1м, впала на відстані 2м від краю столу. Якою була горизонтальна швидкість кульки? Опір повітря знехтувати.

Тіло кинуто горизонтально

Якщо швидкість спрямована не вертикально, рух тіла буде криволінійним.

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально з висоти h зі швидкістю (рис. 1). Опір повітря будемо нехтувати. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Ox та Oy. Початок відліку координат сумісний із початковим положенням тіла. З малюнка 1 видно, що .

Тоді рух тіла опишеться рівняннями:

Аналіз цих формул показує, що у горизонтальному напрямі швидкість тіла залишається незмінною, т. е. тіло рухається поступово. У вертикальному напрямку тіло рухається рівноприскорено з прискоренням, тобто так само, як тіло, що вільно падає без початкової швидкості. Знайдемо рівняння траєкторії. Для цього з рівняння (1) знайдемо час і, підставивши його значення у формулу (2), отримаємо

Це рівняння параболи. Отже, тіло, кинуте горизонтально, рухається параболою. Швидкість тіла в будь-який момент часу спрямована щодо параболи (див. рис. 1). Модуль швидкості можна розрахувати за теоремою Піфагора:

Знаючи висоту h, з якої кинуто тіло, можна знайти час, через який тіло впаде на землю. У цей час координата y дорівнює висоті: . З рівняння (2) знаходимо

Якщо швидкість \(~\vec \upsilon_0\) спрямована не вертикально, то рух тіла буде криволінійним.

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально з висоти hзі швидкістю \(~\vec \upsilon_0\) (рис. 1). Опір повітря будемо нехтувати. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Oxі Ой. Початок відліку координат сумісний із початковим положенням тіла. З малюнка 1 видно, що υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g.

Тоді рух тіла опишеться рівняннями:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0, \ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)

Аналіз цих формул показує, що у горизонтальному напрямі швидкість тіла залишається незмінною, т. е. тіло рухається поступово. У вертикальному напрямку тіло рухається рівноприскорено з прискоренням \(~\vec g\), тобто так само, як тіло, що вільно падає без початкової швидкості. Знайдемо рівняння траєкторії. Для цього з рівняння (1) знайдемо час \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) і, підставивши його значення у формулу (2), отримаємо\[~y = \frac(g)(2 \ upsilon^2_0) x^2\] .

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)

Знаючи висоту h, з якою кинуто тіло, можна знайти час t 1, через яке тіло впаде на землю. У цей момент координата yдорівнює висоті: y 1 = h. З рівняння (2) знаходимо\[~h = \frac(gt^2_1)(2)\]. Звідси

\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)). \qquad (3)\)

Формула (3) визначає час польоту тіла. За цей час тіло пройде у горизонтальному напрямку відстань l, яке називають дальністю польоту і яке можна знайти на підставі формули (1), враховуючи, що l 1 = x. Отже, \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) - дальність польоту тіла. Модуль швидкості тіла у цей момент \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh).\).

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 15-16.

Теорія

Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила – сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, рівним прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі дорівнюють а х = 0, а у= -g.

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладення незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

де - Початкова швидкість, α - Кут кидання.

Координати тіла, отже, змінюються так:

При нашому виборі початку координат початкові координати (рис. 1)

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення також має фізичне значення.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту – це значення координати хнаприкінці польоту, тобто. в момент часу, рівний t 0. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

(3)

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна одержати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо