Формула середньоквадратичного відхилення приклад. Середньоквадратичне відхилення

Інструкція

Нехай є кілька чисел, що характеризують однорідні величини. Наприклад, результати вимірювань, зважувань, статистичних спостережень тощо. Усі представлені величини повинні вимірюватися однієї й тієї ж виміру. Щоб знайти квадратичне відхилення, виконайте такі дії.

Визначте середнє арифметичне всіх чисел: складіть усі числа та поділіть суму на загальну кількість чисел.

Визначте дисперсію (розкид) чисел: складіть квадрати знайдених раніше відхилень і поділіть отриману суму на кількість чисел.

У палаті лежать семеро хворих з температурою 34, 35, 36, 37, 38, 39 і 40 градусів Цельсія.

Потрібно визначити середнє відхилення від середньої.
Рішення:
"По палаті": (34 +35 +36 +37 +38 +39 +40) / 7 = 37 ºС;

Відхилення температур від середнього (в даному випадку нормального значення): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, виходить: -3, -2, -1 0, 1, 2, 3 (ºС);

Розділіть отриману ранню суму чисел їх кількість. Для точності обчислення краще скористатися калькулятором. Підсумок поділу є середнім арифметичним значенням доданків.

Уважно поставтеся до всіх етапів розрахунку, оскільки помилка хоч в одному з обчислень призведе до неправильного підсумкового показника. Перевіряйте отримані розрахунки кожному етапі. Середнє арифметичне число має той же вимірник, що й доданки, тобто якщо ви визначаєте середню відвідуваність, то всі показники у вас будуть «людина».

Даний спосіб обчислення застосовується лише в математичних та статистичних розрахунках. Так, наприклад, середнього арифметичного значення інформатики має інший алгоритм обчислення. Середнє арифметичне значення дуже умовним показником. Воно показує можливість тієї чи іншої події за умови, що він лише один чинник чи показник. Для глибокого аналізу необхідно враховувати безліч чинників. І тому застосовується обчислення більш загальних величин.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної тенденції, що широко використовується в математиці та статистичних розрахунках. Знайти середнє арифметичне число для кількох значень дуже просто, але у кожного завдання є свої нюанси, знати які для виконання вірних розрахунків просто необхідно.

Кількісні результати проведених подібних дослідів.

Як знайти середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо у масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При запису середнє арифметичне позначається буквою μ (мю) чи x (ікс з характеристикою). Далі суму алгебри слід розділити на кількість чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо масиві присутні негативні числа, то перебування середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є тільки при розрахунках у середовищі програмування, або якщо завдання має додаткові умови. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знаками зводиться до трьох дій:

1. Знаходження загальної середньої арифметичної кількості стандартним методом;
2. Знаходження середнього арифметичного негативного числа.
3. Обчислення середнього арифметичного позитивного числа.

Відповіді кожної з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, рішення відбувається методом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться у разі вимогам завдання до точності відповіді.

При роботі з натуральними дробами їх слід привести до спільного знаменника, який множиться на кількість чисел у масиві. У чисельнику відповіді буде сума наведених чисельників вихідних дробових елементів.

При статистичній перевірці гіпотез, при вимірі лінійного взаємозв'язку між випадковими величинами.

Середньоквадратичне відхилення:

Стандартне відхилення(Оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини Підлога, стіни навколо нас і стеля, xщодо її математичного очікування на основі незміщеної оцінки її дисперсії):

де - дисперсія; - Підлога, стіни навколо нас і стеля, i-й елемент вибірки; - Обсяг вибірки; - середнє арифметичне вибірки:

Слід зазначити, що обидві оцінки є зміщеними. Загалом незміщену оцінку побудувати неможливо. Однак оцінка на основі оцінки незміщеної дисперсії є заможною.

Правило трьох сигм

Правило трьох сигм() - Практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі. Більш строго - не менше ніж з 99,7% достовірністю значення нормально розподіленої випадкової величини лежить у зазначеному інтервалі (за умови, що величина істинна, а не отримана в результаті обробки вибірки).

Якщо ж справжня величина невідома, слід користуватися не , а Підлога, стіни навколо нас і стеля, s. Таким чином, правило трьох сигм перетворюється в правило трьох Підлога, стіни навколо нас і стеля, s .

Інтерпретація величини середньоквадратичного відхилення

Велике значення середньоквадратичного відхилення показує великий розкид значень у представленій множині із середньою величиною множини; Маленьке значення, відповідно, показує, що значення у множині згруповані навколо середнього значення.

Наприклад, у нас є три числові множини: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) і (6, 6, 8, 8). У всіх трьох множин середні значення дорівнюють 7, а середньоквадратичні відхилення, відповідно, дорівнюють 7, 5 і 1. У останньої множини середньоквадратичне відхилення маленьке, тому що значення у множині згруповані навколо середнього значення; у першої множини найбільше значення середньоквадратичного відхилення - значення всередині множини сильно розходяться із середнім значенням.

Загалом середньоквадратичне відхилення вважатимуться мірою невизначеності. Наприклад, у фізиці середньоквадратичне відхилення використовується визначення похибки серії послідовних вимірів будь-якої величини. Це значення дуже важливо для визначення правдоподібності досліджуваного явища в порівнянні з передбаченим теорією значенням: якщо середнє значення вимірювань сильно відрізняється від передбачених теорією значень (велике значення середньоквадратичного відхилення), то отримані значення або метод їх отримання слід перевіряти ще раз.

Практичне застосування

На практиці середньоквадратичне відхилення дозволяє визначити, наскільки значення у множині можуть відрізнятися від середнього значення.

Клімат

Припустимо, існують два міста з однаковою максимальною середньою денною температурою, але одне розташоване на узбережжі, а інше всередині континенту. Відомо, що в містах, розташованих на узбережжі, безліч різних максимальних денних температур менше, ніж у міст, розташованих усередині континенту. Тому середньоквадратичне відхилення максимальних денних температур у прибережного міста буде менше, ніж у другого міста, незважаючи на те, що середнє значення цієї величини у них однакове, що на практиці означає, що ймовірність того, що максимальна температура повітря кожного конкретного дня в році буде сильнішою. відрізнятиметься від середнього значення, вище у міста, розташованого всередині континенту.

Спорт

Припустимо, що є кілька футбольних команд, які оцінюються за деяким набором параметрів, наприклад, кількістю забитих і пропущених голів, гольових моментів і т.п. Чим менше у команди середньоквадратичне відхилення по кожному з представлених параметрів, тим більш передбачуваним є результат команди, такі команди є збалансованими. З іншого боку, у команди з великим значенням середньоквадратичного відхилення складно передбачити результат, що пояснюється дисбалансом, наприклад, сильним захистом, але слабким нападом.

Використання середньоквадратичного відхилення параметрів команди дозволяє в тій чи іншій мірі передбачити результат матчу двох команд, оцінюючи сильні та слабкі сторони команд, а отже, і способів боротьби, що вибираються.

Технічний аналіз

Див. також

Література

Ця стаття пропонується для видалення. Пояснення причин та відповідне обговорення ви можете знайти на сторінці Вікіпедія:До видалення/17 грудня 2012 року. Поки процес обговорення не завершено, статтю можна спробувати покращити, проте слід утримуватися від перейменувань або видалення змісту, докладніше див. посібник для подальшої дії. Не знімайте позначку про виставку на видалення до завершення обговорення. Адміністраторам: посилання сюди, історія (остання зміна), журнали видалити.

* Боровиків, Ст. STATISTICA. Мистецтво аналізу даних на комп'ютері: Для професіоналів/В. Боровиков. - СПб. : Пітер, 2003. – 688 с. - ISBN 5-272-00078-1.

Статистичні показники
Описова статистика	Безперервні дані Коефіцієнт зсуву Середнє (Арифметичне, Геометричне, Гармонічне) · Медіана · Мода · Розмах Варіація Ранг · Середньоквадратичне відхилення· Коефіцієнт варіації · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменти Математичне очікування · Дисперсія · Асиметрія · Ексцес Дискретні дані Частота · Таблиця контингентності
Статистичний висновок та перевірка гіпотез	Статистичний висновок Довірчий інтервал (Частотна ймовірність) · Достовірний інтервал (Байєсовський висновок) · Статистична значимість · Мета-аналіз Планування експерименту Генеральна сукупність · Планування вибірки · Районована вибірка · Реплікація · Угруповання · Чутливість та специфічність Обсяг вибірки Статистична потужність · Міра ефекту · Стандартна помилка Загальна оцінка Байєсовська оцінка рішення ·

Визначається як узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки у сукупності. Воно дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата відхилень окремих значень ознаки середньої арифметичної, тобто. корінь і може бути знайдена так:

1. Для первинного ряду:

2. Для варіаційного ряду:

Перетворення формули середнього квадратичного відхилення наводить її до вигляду, зручнішого для практичних розрахунків:

Середнє квадратичне відхиленнявизначає на скільки в середньому відхиляються конкретні варіанти від їхнього середнього значення, і до того ж є абсолютною мірою коливання ознаки і виражається в тих же одиницях, що і варіанти, і тому добре інтерпретується.

Приклади знаходження середнього квадратичного відхилення: ,

Для альтернативних ознак формула середнього квадратичного відхилення виглядає так:

де р - частка одиниць у сукупності, які мають певну ознаку;

q - частка одиниць, які не мають цієї ознаки.

Поняття середнього лінійного відхилення

Середнє лінійне відхиленнявизначається як середня арифметична абсолютних значень відхилень окремих варіантів від .

1. Для первинного ряду:

2. Для варіаційного ряду:

де сума n - сума частот варіаційного ряду.

Приклад знаходження середнього лінійного відхилення:

Перевага середнього абсолютного відхилення як міри розсіювання перед розмахом варіації, очевидно, оскільки цей захід заснований на обліку всіх можливих відхилень. Але цей показник має значні недоліки. Довільні відкидання знаків алгебри відхилень можуть призвести до того, що математичні властивості цього показника є далеко не елементарними. Це ускладнює використання середнього абсолютного відхилення під час вирішення завдань, що з ймовірнісними розрахунками.

Тому середнє лінійне відхилення як міра варіації ознаки застосовується у статистичній практиці рідко, саме тоді, коли підсумовування показників без урахування знаків має економічний сенс. З його допомогою, наприклад, аналізується оборот зовнішньої торгівлі, склад працюючих, ритмічність виробництва тощо.

Середнє квадратичне

Середнє квадратичне застосовуєтьсянаприклад, для обчислення середньої величини сторін n квадратних ділянок, середніх діаметрів стволів, труб і т. д. Вона поділяється на два види.

Середня квадратична проста. Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратичною середньою величиною.

Вона є квадратним коренем із частки від поділу суми квадратів окремих значень ознаки з їхньої число:

Середня зважена квадратична обчислюється за формулою:

де f – ознака ваги.

Середня кубічна

Середня кубічна застосовується, наприклад, щодо середньої довжини боку і кубів. Вона поділяється на два види.
Середня кубічна проста:

При розрахунку середніх величин та дисперсії в інтервальних рядах розподілу справжні значення ознаки замінюються центральними значеннями інтервалів, які відмінні від середньої арифметичної значень, включених до інтервалу. Це призводить до виникнення систематичної похибки під час розрахунку дисперсії. В.Ф. Шеппард визначив, що похибка у розрахунку дисперсії, Викликана застосуванням згрупованих даних, становить 1/12 квадрата величини інтервалу як у бік підвищення, так і в бік зниження величини дисперсії.

Виправлення Шеппардаповинна застосовуватися, якщо розподіл близький до нормального, відноситься до ознаки з безперервним характером варіації, побудовано за значною кількістю вихідних даних (n > 500). Однак, виходячи з того, що в ряді випадків обидві похибки, діючи в різних напрямках компенсують один одного, можна іноді відмовитися від введення поправок.

Чим менше значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніша сукупність і тим більш типовою буде середня величина.
На практиці статистики часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку робітників та його кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати, собівартості та прибутку, стажу роботи та продуктивності праці тощо. Для таких зіставлень показники абсолютної коливань ознак непридатні: не можна порівнювати коливання стажу роботи, вираженого в роках, з варіацією заробітної плати, вираженої в рублях.

Для здійснення таких порівнянь, а також порівнянь коливання однієї й тієї ж ознаки в декількох сукупностях з різним середнім арифметичним використовується відносний показник варіації - коефіцієнт варіації.

Структурні середні

Для характеристики центральної тенденції в статистичних розподілах не рідко раціонально разом із середньою арифметичною використовувати деяке значення ознаки X, яке в силу певних особливостей розташування у ряді розподілу може характеризувати його рівень.

Це особливо важливо тоді, коли серед розподілу крайні значення ознаки мають нечіткі межі. У зв'язку з цим точне визначення середньої арифметичної, як правило, неможливо або дуже складно. У таких випадках середній рівень можна визначити, взявши, наприклад, значення ознаки, яке розташоване в середині ряду частот або найчастіше зустрічається в поточному ряду.

Такі значення залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. Вони типові за місцем розташування у ряді частот, тому такі значення розглядаються як характеристики центру розподілу і тому одержали визначення структурних середніх. Вони застосовуються для вивчення внутрішньої будови та структури рядів розподілу значень ознаки. До таких показників відносяться.

Одним із основних інструментів статистичного аналізу є розрахунок середнього квадратичного відхилення. Даний показник дозволяє зробити оцінку стандартного відхилення за вибіркою або генеральною сукупністю. Давайте дізнаємося, як використовувати формулу визначення середньоквадратичного відхилення в Excel.

Відразу визначимо, що являє собою середньоквадратичне відхилення і як виглядає його формула. Ця величина є коренем квадратним із середнього арифметичного числа квадратів різниці всіх величин ряду та їхнього середнього арифметичного. Існує тотожне найменування цього показника - стандартне відхилення. Обидві назви цілком рівнозначні.

Але, природно, що в Екселі користувачеві не доводиться це вираховувати, оскільки за нього робить програма. Давайте дізнаємося, як порахувати стандартне відхилення в Excel.

Розрахунок у Excel

Розрахувати вказану величину в Екселі можна за допомогою двох спеціальних функцій СТАНДОТКЛОН.(за вибірковою сукупністю) та СТАНДОТКЛОН.Г(за генеральною сукупністю). Принцип їхньої дії абсолютно однаковий, але викликати їх можна трьома способами, про які ми поговоримо нижче.

Спосіб 1: майстер функцій

Спосіб 2: вкладка "Формули"

Спосіб 3: ручне введення формули

Існує також спосіб, коли взагалі не потрібно буде викликати вікно аргументів. Для цього слід запровадити формулу вручну.

Як бачимо, механізм розрахунку середньоквадратичного відхилення в Excel дуже простий. Користувачеві потрібно лише ввести числа із сукупності або посилання на комірки, які їх містять. Усі розрахунки виконує сама програма. Набагато складніше усвідомити, що ж є показник, що розраховується, і як результати розрахунку можна застосувати на практиці. Але розуміння цього вже належить більше до сфери статистики, ніж навчання роботи з програмним забезпеченням.

У цій статті я розповім про те, як знайти середньоквадратичне відхилення. Цей матеріал вкрай важливий для повноцінного розуміння математики, тому репетитор з математики повинен присвятити його вивченню окремого уроку або навіть кількох. У цій статті ви знайдете посилання на докладний і зрозумілий відеоурок, в якому розказано про те, що таке відхилення середньоквадратичне і як його знайти.

Середньоквадратичне відхиленнядає можливість оцінити розкид значень, отриманих у результаті виміру якогось параметра. Позначається символом (грецька буква "сигма").

Формула до розрахунку досить проста. Щоб знайти середньоквадратичне відхилення, потрібно взяти квадратне коріння з дисперсії. Тож тепер ви повинні запитати: "А що ж таке дисперсія?"

Що таке дисперсія

Визначення дисперсії звучить так. Дисперсія це середнє арифметичне від квадратів відхилень значень від середнього.

Щоб знайти дисперсію, послідовно проведіть такі обчислення:

• Визначте середнє (просте середнє арифметичне ряду значень).
• Потім від кожного зі значень відніміть середнє і зведіть отриману різницю в квадрат (отримали квадрат різниці).
• Наступним кроком буде обчислення середнього арифметичного отриманих квадратів різниць (чому саме квадратів ви зможете дізнатися нижче).

Розглянемо з прикладу. Допустимо, ви з друзями вирішили виміряти зростання ваших собак (у міліметрах). В результаті вимірів ви отримали такі дані вимірювань росту (в загривку): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм і 300 мм.

Обчислимо середнє значення, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Спочатку знайдемо середнє значення. Як ви вже знаєте, для цього потрібно скласти всі виміряні значення та поділити на кількість вимірів. Хід обчислень:

Середня мм.

Отже, середня (середньоарифметична) становить 394 мм.

Тепер потрібно визначити відхилення зростання кожного з собак від середнього:

Зрештою, щоб обчислити дисперсію, кожну з отриманих різниць зводимо в квадрат, а потім знаходимо середнє арифметичне від отриманих результатів:

Дисперсія мм 2 .

Таким чином, дисперсія становить 21 704 мм 2 .

Як знайти середньоквадратичне відхилення

То як же тепер вирахувати середньоквадратичне відхилення, знаючи дисперсію? Як ми пам'ятаємо, взяти із неї квадратний корінь. Тобто середньоквадратичне відхилення одно:

Мм (округлено до найближчого цілого значення мм).

Застосувавши цей метод, ми з'ясували, деякі собаки (наприклад, ротвейлери) – дуже великі собаки. Але є й дуже маленькі собаки (наприклад, такси, тільки казати їм цього не варто).

Найцікавіше, що середньоквадратичне відхилення несе корисну інформацію. Тепер ми можемо показати, які з отриманих результатів вимірювання зростання знаходяться в межах інтервалу, який ми отримаємо, якщо відкладемо від середнього (в обидва боки від нього) середньоквадратичне відхилення.

Тобто за допомогою середньоквадратичного відхилення ми отримуємо "стандартний" метод, який дозволяє дізнатися, яке із значень є нормальним (середньостатистичним), а яке екстраординарно більшим або, навпаки, малим.

Що таке стандартне відхилення

Але… все буде трохи інакше, якщо ми аналізуватимемо вибіркуданих. У нашому прикладі ми розглядали генеральну сукупність.Тобто наші 5 собак були єдиними у світі собаками, які нас цікавили.

Але якщо дані є вибіркою (значеннями, які обрали із великої генеральної сукупності), тоді обчислення потрібно вести інакше.

Якщо є значень, то:

Решта розрахунків проводяться аналогічно, зокрема і визначення середнього.

Наприклад, якщо наших п'ять собак – лише вибірка з генеральної сукупності собак (всіх собак на планеті), ми маємо ділити на 4, а не на 5,а саме:

Дисперсія вибірки = мм 2 .

При цьому стандартне відхилення щодо вибірки дорівнює мм (округлено до найближчого цілого значення).

Можна сказати, що ми зробили деяку “корекцію” у випадку, коли наші значення є лише невеликою вибіркою.

Примітка. Чому саме квадрати різниць?

Але чому при обчисленні дисперсії ми беремо квадрати різниць? Допустимо при вимірі якогось параметра, ви отримали наступний набір значень: 4; 4; -4; -4. Якщо ми просто складемо абсолютні відхилення від середнього (різниці) між собою... негативні значення взаємно знищаться із позитивними:

.

Виходить, цей варіант марний. Тоді, можливо, варто спробувати абсолютні значення відхилень (тобто модулі цих значень)?

На перший погляд виходить непогано (отримана величина, до речі, називається середнім абсолютним відхиленням), але не у всіх випадках. Спробуємо інший приклад. Нехай у результаті виміру вийшов наступний набір значень: 7; 1; -6; -2. Тоді середнє абсолютне відхилення одно:

Оце так! Знов отримали результат 4, хоча різниці мають набагато більший розкид.

А тепер подивимося, що вийде, якщо звести різниці у квадрат (і взяти потім квадратний корінь із їхньої суми).

Для першого прикладу вийде:

.

Для другого прикладу вийде:

Тепер – зовсім інша річ! Середньоквадратичне відхилення виходить тим більшим, чим більший розкид мають різниці ... чого ми і прагнули.

Фактично в цьому методі використана та сама ідея, що і при обчисленні відстані між точками, тільки застосована іншим способом.

І з математичної точки зору використання квадратів і квадратних коренів дає більше користі, ніж ми могли б отримати на підставі абсолютних значень відхилень, завдяки чому середньоквадратичне відхилення застосовується і для інших математичних завдань.

Про те, як знайти середньоквадратичне відхилення, вам розповів , Сергій Валерійович