Формула висоти трикутної піраміди. Піраміда

Визначення

Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).

Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.

Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:

\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;

\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;

\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.

\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.

Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.

Теорема

Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.

Доведення

Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.

1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Доведемо, що з ((c)) слід ((a)).

Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні і по катету та гострому куту. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).

Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.

5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).

Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.

Слідство

Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Визначення

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.

Важливі зауваження

1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).

2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).

3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).

4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.

Визначення

Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.

Важливі зауваження

1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.

3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.

\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]

Теорема

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \

Наслідки

Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.

1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).

3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.

\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]

Визначення

Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.

Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.

Важливі зауваження

1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.

2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.

Вирішуючи завдання C2 методом координат, багато учнів стикаються з однією проблемою. Вони не можуть розрахувати координати точок, що входять до формули скалярного твору Найбільші труднощі викликають піраміди. І якщо точки основи вважаються більш-менш нормально, то вершини – справжнє пекло.

Сьогодні ми займемося правильною чотирикутною пірамідою. Є ще трикутна піраміда (вона ж - тетраедр). Це складніша конструкція, тому їй буде присвячений окремий урок.

Для початку згадаємо визначення:

Правильна піраміда - це така піраміда, у якої:

1. В основі лежить правильний багатокутник: трикутник, квадрат тощо;
2. Висота, проведена до основи, проходить через його центр.

Зокрема, основою чотирикутної піраміди є квадрат. Прямо як у Хеопса, тільки трохи менше.

Нижче наведені розрахунки для піраміди, у якої всі ребра дорівнюють 1. Якщо у вашому завданні це не так, викладки не змінюються - просто числа будуть іншими.

Вершини чотирикутної піраміди

Отже, нехай дана правильна чотирикутна піраміда SABCD, де S – вершина, основа ABCD – квадрат. Усі ребра дорівнюють 1. Потрібно ввести систему координат і знайти координати всіх точок. Маємо:

Вводимо систему координат з початком у точці A:

1. Вісь OX спрямована паралельно ребру AB;
2. Ось OY - паралельно AD. Оскільки ABCD - квадрат, AB ⊥ AD;
3. Нарешті, вісь OZ направимо вгору, перпендикулярно площині ABCD.

Тепер рахуємо координати. Додаткова побудова: SH – висота, проведена до основи. Для зручності винесемо основу піраміди на окремий малюнок. Оскільки точки A, B, C і D лежать у площині OXY, їх координата z = 0. Маємо:

1. A = (0; 0; 0) - збігається з початком координат;
2. B = (1; 0; 0) - крок на 1 по осі OX від початку координат;
3. C = (1; 1; 0) - крок на 1 по осі OX і на 1 по осі OY;
4. D = (0; 1; 0) - крок тільки по осі OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) – центр квадрата, середина відрізка AC .

Залишилося знайти координати точки S. Зауважимо, що координати x та y точок S та H збігаються, оскільки вони лежать на прямій, паралельній осі OZ . Залишилося знайти координату z для точки S.

Розглянемо трикутники ASH і ABH:

1. AS = AB = 1 за умовою;
2. Кут AHS = AHB = 90°, оскільки SH – висота, а AH ⊥ HB як діагоналі квадрата;
3. Сторона AH – загальна.

Отже, прямокутні трикутники ASH та ABH рівніпо одному катету та гіпотенузі. Значить, SH = BH = 0,5 · BD. Але BD – діагональ квадрата зі стороною 1. Тому маємо:

Разом координати точки S:

На закінчення випишемо координати всіх вершин правильної прямокутної піраміди:

Що робити, коли ребра різні

А якщо бічні ребра піраміди не рівні ребрам основи? У цьому випадку розглянемо трикутник AHS:

Трикутник AHS - прямокутний, Причому гіпотенуза AS - це одночасно і бічне ребро вихідної піраміди SABCD. Катет AH легко вважається: AH = 0,5 · AC. катет SH, що залишився, знайдемо за теоремою Піфагора. Це буде координата z для точки S .

Завдання. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD , в основі якої лежить квадрат зі стороною 1. Бокове ребро BS = 3. Знайдіть координати точки S .

Координати x та y цієї точки ми вже знаємо: x = y = 0,5. Це випливає з двох фактів:

1. Проекція точки S на площину OXY - це точка H;
2. Одночасно точка H - центр квадрата ABCD, всі сторони якого 1.

Залишилося знайти координату точки S. Розглянемо трикутник AHS. Він прямокутний, причому гіпотенуза AS = BS = 3, катет AH – половина діагоналі. Для подальших обчислень нам знадобиться його довжина:

Теорема Піфагора для трикутника AHS: AH2 + SH2 = AS2. Маємо:

Отже, координати точки S :

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднана з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доведення.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доведення.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Так як, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доведення.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

Гіпотеза:ми вважаємо, що досконалість форми піраміди зумовлено математичними законами, закладеними у її форму.

Ціль:вивчивши піраміду як геометричне тіло, дати пояснення досконалості її форми.

Завдання:

1. Дати математичне визначення піраміді.

2. Вивчити піраміду як геометричне тіло.

3. Зрозуміти, які математичні знання єгиптяни заклали у своїх пірамідах.

Приватні питання:

1. Що таке піраміда як геометричне тіло?

2. Як можна пояснити унікальність форми піраміди з математичної точки зору?

3. Чим пояснюються геометричні дива піраміди?

4. Чим пояснюється досконалість форми піраміди?

Визначення піраміди.

ПІРАМІДА (від грецьк. pyramis, рід. п. pyramidos) - багатогранник, основа якого багатокутник, інші грані - трикутники, мають загальну вершину (рисунок). За кількістю кутів основи розрізняють піраміди трикутні, чотирикутні і т.д.

ПІРАМІДА - монументальна споруда, що має геометричну форму піраміди (іноді також ступінчасту або баштоподібну). Пірамідами називають гігантські гробниці давньоєгипетських фараонів 3-2 тис. до н. е., і навіть давньоамериканські постаменти храмів (у Мексиці, Гватемалі, Гондурасі, Перу), пов'язані з космологічними культами.

Можливо, що грецьке слово “піраміда” походить від єгипетського виразу per-em-us, тобто від терміна, що означав висоту піраміди. Визначний російський єгиптолог У. Струве вважав, що грецьке “puram…j” походить від давньоєгипетського “p"-mr".

З історії. Вивчивши матеріал у підручнику "Геометрія" авторів Атанасяна. Бутузова та інших., ми довідалися, що: Багатогранник, складений з п - косинця А1А2А3 … Аn і п трикутників РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – називається пірамідою. Багатокутник А1А2А3 … Аn – основа піраміди, а трикутники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – бічні грані піраміди, Р – вершина піраміди, відрізки РА1, РА2,…, РАn – бічні ребра.

Проте таке визначення піраміди не завжди існувало. Наприклад, давньогрецький математик, автор теоретичних трактатів з математики Евклід, що дійшли до нас, піраміду визначає як тілесну фігуру, обмежену площинами, які від однієї площини сходяться до однієї точки.

Але це визначення піддавалися критиці вже в давнину. Так Герон запропонував таке визначення піраміди: "Це фігура, обмежена трикутниками, що сходяться в одній точці і основою якої є багатокутник".

Наша група, порівнявши ці визначення, дійшла висновку, що в них немає чіткого формулювання поняття “основа”.

Ми дослідили ці визначення та знайшли визначення Адрієна Марі Лежандра, який у 1794 році у своїй праці “Елементи геометрії” піраміду визначає так: “Піраміда – тілесна фігура, утворена трикутниками, що сходяться в одній точці і закінчується на різних сторонах плоскої основи”.

Нам здається, що останнє визначення дає чітке уявлення про піраміду, тому що в ньому йдеться про те, що основа – плоска. У підручнику 19 століття фігурувало ще одне визначення піраміди: "піраміда - тілесний кут, перетнутий площиною".

Піраміда як геометричне тіло.

Т. о. пірамідою називається багатогранник, одна з граней якого (основа) - багатокутник, інші грані (бічні) - трикутники, що мають одну загальну вершину (вершину піраміди).

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини основи, називається заввишкиhпіраміди.

Крім довільної піраміди, існують правильна піраміда,в основі якої правильний багатокутник і усічена піраміда.

На малюнку – піраміда PABCD, ABCD – її основа, PO – висота.

Площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її граней.

Sповн = Sбок + Sосн,де Sбік- Сума площ бічних граней.

Об'єм піраміди знаходиться за формулою:

V=1/3Sосн. h, де Sосн. - площа основи, h- Висота.

Оссю правильної піраміди називається пряма, що містить її висоту.
Апофема ST – висота бічної грані правильної піраміди.

Площа бічної грані правильної піраміди виражається так: Sбік. =1/2P h, де Р - периметр основи, h- Висота бічної грані (апофема правильної піраміди). Якщо піраміда перетнута площиною A'B'C'D', паралельною підставі, то:

1) бічні ребра та висота діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) у перерізі виходить багатокутник A'B'C'D', подібний до основи;

DIV_ADBLOCK914">

Правильна трикутна піраміда називається тетраедром .

Усічена піраміда виходить відсіканням від піраміди її верхню частину площиною, паралельної підставі (фігура ABCDD'C'B'A').

Підстави усіченої піраміди– подібні багатокутники ABCD та A`B`C`D`, бічні грані – трапеції.

Висотаусіченої піраміди – відстань між основами.

Об'єм зрізаноїпіраміди знаходиться за формулою:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди виражається так: Sбок. = ½(P+P') h, де P і P'- периметри основ, h- висота бічної грані (апофема правильної усіченої бенкетами

Перетин піраміди.

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками.

Перетин, що проходить через два несусідні бічні ребра піраміди, називається діагональним перетином.

Якщо перетин проходить через точку на бічному ребрі і бік основи, його слідом на площину основи піраміди буде ця сторона.

Перетин, що проходить через точку, що лежить на межі піраміди, і заданий слід перерізу на площину основи, то побудування треба проводити так:

· Знаходять точку перетину площини даної грані та сліду перерізу піраміди та позначають її;

· будують пряму проходить через задану точку та отриману точку перетину;

· Повторюють ці дії і для наступних граней.

що відповідає відношенню катетів прямокутного трикутника 4:3. Таке відношення катетів відповідає добре відомому прямокутному трикутнику зі сторонами 3:4:5, який називають "досконалим", "священним" чи "єгипетським" трикутником. За свідченням істориків, "єгипетському" трикутнику надавали магічного сенсу. Плутарх писав, що єгиптяни порівнювали природу Всесвіту зі "священним" трикутником; вони символічно уподібнювали вертикальний катет чоловікові, основу - дружині, а гіпотенузу - тому, що народжується від обох.

Для трикутника 3:4:5 справедлива рівність: 32 + 42 = 52, яка виражає теорему Піфагора. Чи не цю теорему хотіли увічнити єгипетські жерці, зводячи піраміду на основі трикутника 3:4:5? Важко знайти вдалий приклад для ілюстрації теореми Піфагора, яка була відома єгиптянам задовго до її відкриття Піфагором.

Таким чином, геніальні творці єгипетських пірамід прагнули вразити далеких нащадків глибиною своїх знань, і вони досягли цього, вибравши як "головну геометричну ідею" для піраміди Хеопса - "золотий" прямокутний трикутник, а для піраміди Хефрена - "священний" або "єгипет" трикутник.

Дуже часто у своїх дослідженнях вчені використовують властивості пірамід із пропорціями Золотого перетину.

У математичному енциклопедичному словнику дається таке визначення Золотого перерізу – це гармонійне розподіл, розподіл у крайньому та середньому відношенні – розподіл відрізка АВ на дві частини таким чином, що більша його частина АС є середнім пропорційним між усім відрізком АВ та меншою його частиною СВ.

Алгебраїчне знаходження Золотого перерізу відрізка АВ = азводиться до розв'язання рівняння а: х = х: (а – х), звідки х приблизно 0,62а. Відношення х можна виразити дробами 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618, де 2, 3, 5, 8, 13, 21 - числа Фібоначчі.

Геометрична побудова Золотого перерізу відрізка АВ здійснюється так: у точці відновлюється перпендикуляр до АВ, на ньому відкладають відрізок ВЕ = 1/2 АВ, з'єднують А і Е, відкладають ДЕ = ВЕ і, нарешті, АС = АТ, тоді виконується рівність АВ: СВ = 2:3.

Золотий перетин часто застосовується у витворах мистецтва, архітектури, зустрічається у природі. Яскравими прикладами є скульптура Аполлона Бельведерського Парфенон. При будівництві Парфенона використовувалося відношення висоти будівлі до його довжини, і це відношення дорівнює 0,618. Навколишні предмети також дають приклади Золотого перерізу, наприклад, палітурки багатьох книг мають відношення ширини і довжини близьке до 0,618. Розглядаючи розташування листя на загальному стеблі рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третя розташована у місці Золотого перерізу (слайди). Кожен із нас "носить" Золотий перетин із собою "в руках" - це відношення фаланг пальців.

Завдяки знахідці кількох математичних папірусів, єгиптологи дізналися дещо про давньоєгипетські системи обчислення та заходів. Завдання, що містилися в них, вирішувалися переписувачами. Одним із найвідоміших є «Ріндський математичний папірус». Вивчаючи ці завдання, єгиптологи довідалися, як древні єгиптяни справлялися з різними кількостями, що виникали при обчисленні заходів ваги, довжини та обсягу, у яких найчастіше використовувалися дроби, і навіть як вони справлялися з кутами.

Стародавні єгиптяни використовували спосіб обчислення кутів на основі відношення висоти до основи прямокутного трикутника. Вони виражали будь-який кут мовою градієнта. Градієнт схилу виражався ставленням цілого числа, яке називалося «секед». У книзі «Математика за часів фараонів» Річард Піллінс пояснює: «Секед правильної піраміди – це нахил будь-якої з чотирьох трикутних граней до площини основи, що вимірюється енним числом горизонтальних одиниць на одну вертикальну одиницю підйому. Таким чином, ця одиниця виміру еквівалентна нашому сучасному котангенсу кута нахилу. Отже, єгипетське слово «секед» споріднене з нашим сучасним словом «градієнт»».

Числовий ключ до пірамід укладено щодо їх висоти до основи. У практичному плані - це найлегший спосіб виготовлення шаблонів, необхідних постійної перевірки правильності кута нахилу протягом усього будівництва піраміди.

Єгиптологи були б раді переконати нас у тому, що кожен фараон жадав висловити свою індивідуальність, тому й відмінності кутів нахилу кожної піраміди. Але могла бути інша причина. Можливо, всі вони хотіли втілити різні символічні асоціації, приховані у різних пропорціях. Однак кут піраміди Хафри (заснований на трикутнику (3: 4: 5) проявляється у трьох проблемах, представлених пірамідами в «Ріндському математичному папірусі»). Так що це ставлення було добре відоме давнім єгиптянам.

Щоб бути справедливими до єгиптологів, які стверджують, що стародавнім єгиптянам не був відомий трикутник 3:4:5, скажімо, що довжина гіпотенузи 5 ніколи не згадувалася. Але математичні завдання, що стосуються пірамід, завжди вирішуються на основі секеду кута - відношення висоти до основи. Оскільки довжина гіпотенузи ніколи не згадувалася, було зроблено висновок, що єгиптяни так ніколи і не вирахували довжину третьої сторони.

Відносини висоти до основи, використані в пірамідах Гізи, безсумнівно, були відомі давнім єгиптянам. Можливо, що ці відносини кожної піраміди були обрані довільно. Однак це суперечить тому значенню, яке надавалося числовому символізму у всіх видах єгипетського образотворчого мистецтва. Цілком ймовірно, що такі відносини мали суттєве значення, оскільки висловлювали конкретні релігійні ідеї. Іншими словами, весь комплекс Гізи підпорядковувався зв'язковому задуму, покликаному відобразити божественну тему. Це б пояснило, чому проектувальники обрали різні кути нахилу трьох пірамід.

У «Таємниці Оріона» Бьювел і Джілберт представили переконливі докази зв'язку пірамід Гізи із сузір'ям Оріона, зокрема із зірками Пояса Оріона. Осіріса, Ісіди та Гора.

ЧУДОВИ "ГЕОМЕТРИЧНІ".

Серед грандіозних пірамід Єгипту особливе місце посідає Велика Піраміда фараона Хеопса (Хуфу). Перш ніж приступити до аналізу форми та розмірів піраміди Хеопса, слід згадати, якою системою заходів користувалися єгиптяни. У єгиптян було три одиниці довжини: "лікоть" (466 мм), що дорівнював семи "долоням" (66,5 мм), яка, у свою чергу, дорівнювала чотирьом "пальцям" (16,6 мм).

Проведемо аналіз розмірів піраміди Хеопса (Рис.2), дотримуючись міркувань, наведених у чудовій книзі українського вченого Миколи Васютинського "Золота пропорція" (1990 р.).

Більшість дослідників сходяться в тому, що довжина сторони основи піраміди, наприклад, GFдорівнює L= 233,16 м. Ця величина відповідає майже точно 500 "ліктям". Повна відповідність 500 "ліктям" буде, якщо довжину "ліктя" вважати рівною 0,4663 м.

Висота піраміди ( H) оцінюється дослідниками по-різному від 146,6 до 148,2 м. І в залежності від прийнятої висоти піраміди змінюються всі відносини її геометричних елементів. У чому причина відмінностей щодо оцінки висоти піраміди? Справа в тому, що, строго кажучи, піраміда Хеопса є усіченою. Її верхній майданчик у наші дні має розмір приблизно 10 ´ 10 м, а століття тому він дорівнював 6 ´ 6 м. Очевидно, що вершину піраміди розібрали, і вона не відповідає початковій.

Оцінюючи висоту піраміди, необхідно враховувати такий фізичний фактор, як "осаду" конструкції. За тривалий час під впливом колосального тиску (що досягає 500 тонн на 1 м2 нижньої поверхні) висота піраміди зменшилася порівняно з початковою висотою.

Якою була початкова висота піраміди? Цю висоту можна відтворити, якщо знайти основну "геометричну ідею" піраміди.

Малюнок 2.

У 1837 р. англійський полковник Г. Вайз виміряв кут нахилу граней піраміди: він виявився рівним a= 51°51". Ця величина і сьогодні визнається більшістю дослідників. Вказаному значенню кута відповідає тангенс (tg a), рівний 1,27306. Ця величина відповідає відношенню висоти піраміди АСдо половини її заснування CB(Рис.2), тобто AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

І ось тут дослідників чекав великий сюрприз!.png" width="25" height="24">= 1,272. a= 1,27306, бачимо, що це величини дуже близькі між собою. Якщо ж прийняти кут a= 51°50", тобто зменшити його всього на одну кутову хвилину, то величина aстане рівною 1,272, тобто збігається з величиною . Слід зазначити, що у 1840 р. Р. Вайз повторив свої виміри та уточнив, що значення кута a= 51 ° 50 ".

Ці виміри привели дослідників до наступної дуже цікавої гіпотези: в основу трикутника АСВ піраміди Хеопса було закладено відношення AC / CB = = 1,272!

Розглянемо тепер прямокутний трикутник ABC, в якому ставлення катетів AC / CB= (Рис.2). Якщо тепер довжини сторін прямокутника ABCпозначити через x, y, z, а також врахувати, що ставлення y/x= , то відповідно до теореми Піфагора, довжина zможе бути обчислена за формулою:

Якщо прийняти x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Малюнок 3."Золотий" прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник, в якому сторони відносяться як t:золотим прямокутним трикутником.

Тоді, якщо прийняти за основу гіпотезу про те, що основною "геометричною ідеєю" піраміди Хеопса є "золотий" прямокутний трикутник, то легко можна обчислити "проектну" висоту піраміди Хеопса. Вона дорівнює:

H = (L/2) = 148,28 м.

Виведемо тепер деякі інші відносини для піраміди Хеопса, які з " золотої " гіпотези. Зокрема, знайдемо відношення зовнішньої площі піраміди до площі її основи. Для цього приймемо довжину катета CBза одиницю, тобто: CB= 1. Але тоді довжина сторони основи піраміди GF= 2, а площа основи EFGHбуде рівна SEFGH = 4.

Обчислимо тепер площу бічної грані піраміди Хеопса SD. Оскільки висота ABтрикутника AEFдорівнює t, то площа бічної грані дорівнюватиме SD = t. Тоді сумарна площа всіх чотирьох бічних граней піраміди дорівнюватиме 4 t, А відношення сумарної зовнішньої площі піраміди до площі основи буде дорівнює золотій пропорції! Це і є - головна геометрична таємниця піраміди Хеопса!

До групи "геометричних чудес" піраміди Хеопса можна віднести реальні та надумані властивості відносин між різними вимірами у піраміді.

Як правило, вони отримані в пошуках деяких "постійних", зокрема числа "пі" (лудольфове число), рівного 3,14159 ...; основи натуральних логарифмів "е" (Неперове число), що дорівнює 2,71828...; числа "Ф", числа "золотого перерізу", що дорівнює, наприклад, 0,618 ... і т. д.

Можна назвати, наприклад: 1) Властивість Геродота: (Висота)2 = 0,5 ст. осн. х Апофема; 2) Властивість В. Прайсу: Висота: 0.5 ст. осн = Корінь квадратний із "Ф"; 3) Властивість М. Ейста: Периметр основи: 2 Висота = "Пі"; в іншій інтерпретації – 2 ст. осн. : Висота = "Пі"; 4) Властивість Г. Ребера: Радіус вписаного кола: 0,5 ст. осн. = "Ф"; 5) Властивість К. Клеппіша: (Ст. осн.) 2: 2 (ст. осн. х Апофема) = (ст. осн. У. Апофема) = 2 (ст. осн. х Апофема): ((2 ст. осн.X Апофема) + (ст. осн.)2). І тому подібне. Таких властивостей можна придумати безліч, особливо якщо підключити сусідні дві піраміди. Наприклад, як "Властивості А. Ареф'єва" можна згадати, що різниця обсягів піраміди Хеопса і піраміди Хефрена дорівнює подвоєному обсягу піраміди Мікеріна.

Багато цікавих положень, зокрема, про побудову пірамід по "золотому перерізу" викладено у книгах Д. Хембідж "Динамічна симетрія в архітектурі" та М. Гіка "Естетика пропорції в природі та мистецтві". Нагадаємо, що "золотим перетином" називається розподіл відрізка в такому відношенні, коли частина А в стільки разів більша частини В, у скільки разів А менше всього відрізка А + В. Відношення А/В при цьому дорівнює числу "Ф"==1,618. .. Вказується на використання "золотого перерізу" не тільки в окремих пірамідах, а й у всьому комплексі пірамід у Гізі.

Найцікавіше, однак, те, що та сама піраміда Хеопса просто "не може" вмістити в себе стільки чудових властивостей. Взявши якесь властивість поодинці, його можна "підігнати", але всі разом вони не підходять - не збігаються, суперечать один одному. Тому, якщо, наприклад, при перевірці всіх властивостей, брати вихідно ту саму сторону основи піраміди (233 м), то висоти пірамід з різними властивостями також будуть різними. Іншими словами, існує якась "родина" пірамід, зовні подібних до Хеопсової, але відповідають різним властивостям. Зауважимо, що в "геометричних" властивостях нічого особливо чудового немає - багато виникає суто автоматично, з властивостей самої фігури. "Чудом" слід вважати лише щось явно неможливе для древніх єгиптян. Сюди, зокрема, відносять "космічні" дива, в яких виміри піраміди Хеопса або комплексу пірамід у Гізі зіставляються з деякими астрономічними вимірами і вказуються "рівні" числа: у мільйон разів, у мільярд разів менше, тощо. Розглянемо деякі "космічні" співвідношення.

Одне із тверджень таке: "якщо розділити бік заснування піраміди на точну довжину року, то отримаємо точно 10-мільйонну частку земної осі". Обчисли: розділимо 233 на 365, отримаємо 0,638. Радіус Землі 6378 км.

Інше твердження фактично обернено попередньому. Ф. Ноетлінг вказував, що й скористатися придуманим ним самим " єгипетським ліктем " , сторона піраміди буде відповідати " найточнішої тривалості сонячного року, вираженої з точністю до однієї мільярдної дня " - 365.540.903.777.

Твердження П. Сміта: "Висота піраміди становить рівно одну мільярдну частку відстані від Землі до Сонця". Хоча зазвичай береться висота 146,6 м, Сміт брав її 148,2 м. За сучасними радіолокаційними вимірюваннями велика піввісь земної орбіти становить 149,597.870 + 1,6 км. Такою є середня відстань від Землі до Сонця, але в перигелії вона на 5.000.000 кілометрів менша, ніж в афелії.

Останнє цікаве твердження:

"Чим пояснити, що маси пірамід Хеопса, Хефрена і Мікеріна ставляться одна до одної, як маси планет Земля, Венера, Марс?" Обчислимо. Маси трьох пірамід відносяться як: Хефрена – 0,835; Хеопса – 1,000; Мікеріна – 0,0915. Відносини мас трьох планет: Венера – 0,815; Земля – 1,000; Марс – 0,108.

Отже, незважаючи на скепсис, відзначимо відому стрункість побудови тверджень: 1) висота піраміди, як лінія, "що йде в простір" - відповідає відстані від Землі до Сонця; 2) сторона заснування піраміди, найближча "до субстрату", тобто до Землі, відповідає за земний радіус та земне звернення; 3) обсяги піраміди (читай – маси) відповідають відношенню мас найближчих до Землі планет. Схожий "шифр" простежується, наприклад, у бджолиній мові, проаналізованій Карлом фон Фрішем. Втім, поки що утримаємося від коментарів з цього приводу.

ФОРМА ПІРАМІД

Знаменита чотиригранна форма пірамід виникла не відразу. Скіфи робили поховання у вигляді земляних пагорбів – курганів. Єгиптяни ставили "пагорби" з каменю – піраміди. Вперше це сталося після об'єднання Верхнього та Нижнього Єгипту, у XXVIII столітті до нашої ери, коли перед засновником ІІІ династії фараоном Джосером (Зосером) стояло завдання зміцнення єдності країни.

І тут, на думку істориків, важливу роль у зміцненні центральної влади відіграла "нова концепція обожнювання" царя. Хоча царські поховання і відрізнялися більшою пишністю, вони в принципі не відрізнялися від гробниць придворних вельмож, являли собою одні й самі споруди - мастаби. Над камерою з саркофагом, що містить мумію, насипався прямокутний пагорб із дрібного каміння, де ставилася потім невелика будівля з великих кам'яних блоків - "мастаба" (арабською - "лава"). На місці мастабу свого попередника, Санахта, фараон Джосер і поставив першу піраміду. Була вона ступінчастою та була зримим перехідним етапом від однієї архітектурної форми до іншої, від мастаби – до піраміди.

У такий спосіб "підняв" фараона мудрець і архітектор Імхотеп, який згодом вважався чарівником і ототожнюваний греками з богом Асклепієм. Було споруджено як би шість мастаб поспіль. Причому перша піраміда займала площу 1125 х 115 метрів, з імовірною висотою 66 метрів (за єгипетськими заходами - 1000 "долонів"). Спочатку архітектор задумував побудувати мастабу, але не довгасту, а квадратну в плані. Пізніше її розширили, але оскільки прибудову зробили нижче, утворилося як би два щаблі.

Така ситуація не задовольнила архітектора, і на верхньому майданчику величезної плоскої мастаби Імхотеп поставив ще три, що поступово зменшуються до верху. Усипальниця була під пірамідою.

Відомо ще кілька ступінчастих пірамід, але надалі будівельники перейшли до будівництва більш звичних для нас чотиригранних пірамід. Чому ж, однак, не тригранні чи, скажімо, восьмигранні? Непряма відповідь дає той факт, що практично всі піраміди чудово зорієнтовані по чотирьох сторонах світла, тому мають чотири сторони. До того ж піраміда була "будинком", оболонкою чотирикутного похоронного приміщення.

Але чим було зумовлено кут нахилу граней? У книзі "Принцип пропорцій" цьому присвячено цілу главу: "Що могло зумовити кути нахилів пірамід". Зокрема, вказується, що "образ, якого тяжіють великі піраміди Стародавнього царства - трикутник з прямим кутом у вершині.

У просторі це напівоктаедр: піраміда, в якій ребра та сторони основи рівні, грані - рівносторонні трикутники". Певні розгляди наведені з цього приводу в книгах Хембіджу, Гіка та інших.

Чим вигідний кут напівоктаедра? Згідно з описами археологів та істориків, деякі піраміди обвалилися під власним тягарем. Потрібен був "кут довговічності", кут, найбільш енергетично надійний. Чисто емпірично цей кут можна взяти з вершинного кута в купі сухого піску, що обсипається. Але, щоб отримати точні дані, потрібно скористатися моделлю. Взявши чотири міцно закріплені кулі, потрібно покласти на них п'яту і виміряти кути нахилу. Втім, і тут можна помилитися, тому рятує теоретичний розрахунок: слід з'єднати лініями центри куль (подумки). В основі вийде квадрат зі стороною, що дорівнює подвоєному радіусу. Квадрат буде якраз підставою піраміди, довжина ребер якої також дорівнюватиме подвоєному радіусу.

Таким чином щільна упаковка куль за типом 1: 4 дасть нам правильний напівоктаедр.

Однак, чому ж багато пірамід, тяжіючи до подібної форми, проте не зберігають її? Мабуть, піраміди старіють. Всупереч знаменитій приказці:

"Все у світі бояться часу, а час бояться пірамід", будівлі пірамід повинні старіти, в них можуть і повинні відбуватися не тільки процеси зовнішнього вивітрювання, а й процеси внутрішньої "усадки", від чого піраміди, можливо, стають нижчими. Усадка можлива і тому, що, як з'ясовано роботами Д. Давидовиця, стародавні єгиптяни застосовували технологію виготовлення блоків з вапняної крихти, простіше кажучи, з бетону. Саме подібні процеси могли б пояснити причину руйнування Медумської піраміди, розташованої за 50 км на південь від Каїра. Їй 4600 років, розміри основи 146 х 146 м, висота – 118м. "Чому вона так понівечена? - Запитує В. Замаровський. - Звичайні посилання на згубний вплив часу і "використання каменю для інших будівель" тут не підходять.

Адже більшість її блоків і облицювальних плит і досі залишилася на місці, в руїнах біля її підніжжя". Як побачимо, ряд положень змушує замислитися навіть над тим, що і знаменита піраміда Хеопса теж "усохла". ...

Форму пірамід могло породити і наслідування: деяким природним зразкам, "нерукотворної досконалості", скажімо, деяких кристалів у вигляді октаедра.

Подібними кристалами могли виявитися кристали алмазу та золота. Характерна велика кількість ознак, що "перетинаються", для таких понять, як Фараон, Сонце, Золото, Алмаз. Скрізь - благородний, блискучий (блискучий), великий, бездоганний і таке інше. Подібності не випадкові.

Сонячний культ, як відомо, становив важливу частину релігії Стародавнього Єгипту. "Хоч би ми перекладали назву найбільшої з пірамід, - зазначається в одному з сучасних посібників - "Небосхил Хуфу" або "Небосхильний Хуфу", воно означало, що цар є сонцем". Якщо Хуфу у блиску своєї могутності уявив себе другим сонцем, його син Джедеф-Ра став першим з єгипетських царів, хто став іменувати себе " сином Ра " , тобто сином Сонця. Сонце практично в усіх народів символізувалося " сонячним металом " , золотом. "Великий диск яскравого золота" - так єгиптяни називали наше денне світило. Золото єгиптяни знали чудово, знали його самородні форми, де кристали золота можуть бути у вигляді октаедрів.

Як "зразок форм" цікавий тут і "сонячний камінь" – алмаз. Назва алмазу прийшла саме з арабського світу, "алмас" - найтвердіший, найтвердіший, незламний. Стародавні єгиптяни знали алмаз та його властивості дуже непогано. Згідно з деякими авторами, вони навіть використовували для буріння бронзові трубки з алмазними різцями.

Нині основним постачальником алмазів є Південна Африка, але на алмази багата і Африка Західна. Територію Республіки Малі там називають навіть "Діамантовим краєм". Тим часом саме на території Малі проживають наздоганяння, з якими прихильники гіпотези палеовізіту пов'язують чимало надій (див. далі). Алмази не могли спричинити контакти стародавніх єгиптян з цим краєм. Однак, так чи інакше, але, можливо, що саме копіюючи октаедри кристалів алмазу і золота, древні єгиптяни обожнювали тим самим "незламних" як алмаз і "блискучих" як золото фараонів, синів Сонця, порівнянних лише з чудовими творами природи.

Висновок:

Вивчивши піраміду як геометричне тіло, познайомившись з її елементами та властивостями, ми переконалися у справедливості думки про красу форми піраміди.

В результаті наших досліджень ми дійшли висновку, що єгиптяни, зібравши найцінніші математичні знання, втілили їх у піраміді. Тому піраміда воістину – найдосконаліший витвір природи та людини.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

«Геометрія: Навч. для 7 - 9 кл. загальноосвіт. установ \, та ін - 9-е вид. - М.: Просвітництво, 1999

Історія математики у шкільництві, М: «Просвіта», 1982 р.

Геометрія 10-11 клас, М: «Освіта», 2000

Пітер Томпкінс "Таємниці великої піраміди Хеопса", М: "Центрополіграф", 2005 р.

Інтернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html